Помогите начинающему(кванты)

Сообщение №9941 от Frost 06 апреля 2002 г. 21:53
Тема: Помогите начинающему(кванты)

Задача:
потенциал V~-(delta(x-a)+delta(x+a))
Пусть при t=0 частица находилась в правой потенциальной яме. Какова вер-ть того, что в момент t она будет в левой пот. яме.

вопросы у меня возникли такие
1) почему волновые ф-ции стац. состояний могут быть только четные или нечетные?
2) нашел я эти волновые ф-ции стац. состояний(f_odd, f_even).
Я нашел f_o, f_e от координаты, потом нашел в первом приближении уровни в этих ямах и домножив на соотв экспоненту каждую ВФ получил волн. ф-ции от времени. Это правильно?
Как я понимаю, волновая ф-ция частици в любой момент времени будет
f(x,t)=a1*f_o+a2*f_e. Это правильно? Если правильно, то как найти константы?
3) Как записать на языке волновой ф-ции частици "в момент времени t1 она находится в правое/левой яме"? Т.е. есть у меня эти слова, а как это математически записать(дабы в задаче применить), не знаю :-(((

Ну думаю, если это объясните, как найти вер-ть соображу.

PS В какой книжке по квантам есть примеры разобранных задачь с дельта-ямами? В ландавшице предметный указатьль не очень хороший, не могу найти.


Не смейтесь надо мной, другие вообще все списали и сдали. А на всех лекциях и семинарах я был, все равно не доганю, как это делать.


Отклики на это сообщение:

> Задача:
> потенциал V~-(delta(x-a)+delta(x+a))
> Пусть при t=0 частица находилась в правой потенциальной яме. Какова вер-ть того, что в момент t она будет в левой пот. яме.

> вопросы у меня возникли такие
> 1) почему волновые ф-ции стац. состояний могут быть только четные или нечетные?
Гамильтониан коммутирует с оператором P, заменяющим x на -x.
Поэтому собств. ф-ции гамильтониана будут и с.ф. оператора четности P если уровень энергии
невырожден (если H psi = E psi, то H (P psi) = E (P psi), а
E по условию невырожден)

> 2) нашел я эти волновые ф-ции стац. состояний(f_odd, f_even).
> Я нашел f_o, f_e от координаты, потом нашел в первом приближении уровни в этих ямах и домножив на соотв экспоненту каждую ВФ получил волн. ф-ции от времени. Это правильно?
Ыгы. Уровни энергии должны быть разные для четной и нечетной.
> Как я понимаю, волновая ф-ция частици в любой момент времени будет
> f(x,t)=a1*f_o+a2*f_e. Это правильно? Если правильно, то как найти константы?
> 3) Как записать на языке волновой ф-ции частици "в момент времени t1 она находится в правое/левой яме"? Т.е. есть у меня эти слова, а как это математически записать(дабы в задаче применить), не знаю :-(((
> Ну думаю, если это объясните, как найти вер-ть соображу.
Думаю имеется ввиду суперпозиция четной и нечетной ф-ции,
1/sqrt(2)(f_o+f_e) t=0, у нее пик в первой яме (x=+a)
и 0 во второй (предполагается f_e>0, f_o>0 при x>0).
> PS В какой книжке по квантам есть примеры разобранных задачь с дельта-ямами? В ландавшице предметный указатьль не очень хороший, не могу найти.
Галицкий(он с решениями к глубокому огорчению прогрессивной
общественности).
>
> Не смейтесь надо мной, другие вообще все списали и сдали. А на всех лекциях и семинарах я был, все равно не доганю, как это делать.


> > вопросы у меня возникли такие
> > 1) почему волновые ф-ции стац. состояний могут быть только четные или нечетные?

> Гамильтониан коммутирует с оператором P, заменяющим x на -x.
> Поэтому собств. ф-ции гамильтониана будут и с.ф. оператора четности P если уровень энергии
> невырожден (если H psi = E psi, то H (P psi) = E (P psi), а
> E по условию невырожден)

1) Я не смог доказать, что у этого оператора СФ только четные и нечетные. И мы(кучка ламосов) сошлись на мнени, что это вообще говоря не так.
2)А откуда мы знаем, что гамильтониан не коммутирует скажем с оператором заменяющим х на ехр(-х)?

> > 2) нашел я эти волновые ф-ции стац. состояний(f_odd, f_even).
> > Я нашел f_o, f_e от координаты, потом нашел в первом приближении уровни в этих ямах и домножив на соотв экспоненту каждую ВФ получил волн. ф-ции от времени. Это
правильно?

> Ыгы. Уровни энергии должны быть разные для четной и
нечетной.

Ага, так и получилось.

> > Как я понимаю, волновая ф-ция частици в любой момент времени будет
> > f(x,t)=a1*f_o+a2*f_e. Это правильно? Если правильно, то как найти константы?

А тут что не ответили? Совсем что-то не то спросил? :-))
Ну для меня эти коэф-ты единственная зацепка - они хоть как-то связанны со словом "вероятность". :-)

> > 3) Как записать на языке волновой ф-ции частици "в момент времени t1 она находится в правое/левой яме"? Т.е. есть у меня эти слова, а как это математически записать(дабы в задаче применить), не знаю :-(((
> > Ну думаю, если это объясните, как найти вер-ть соображу.


> Думаю имеется ввиду суперпозиция четной и нечетной ф-ции,
> 1/sqrt(2)(f_o+f_e) t=0, у нее пик в первой яме (x=+a)
> и 0 во второй (предполагается f_e>0, f_o>0 при x>0).

Ага, так и есть. Я долго смотрел на это в чужой тетрадке.
Только я думал, что во второй яме должен быть минимум, а в той, где частица - максимум ВФ.


> > > вопросы у меня возникли такие
> > > 1) почему волновые ф-ции стац. состояний могут быть только четные или нечетные?

> > Гамильтониан коммутирует с оператором P, заменяющим x на -x.
> > Поэтому собств. ф-ции гамильтониана будут и с.ф. оператора четности P если уровень энергии
> > невырожден (если H psi = E psi, то H (P psi) = E (P psi), а
> > E по условию невырожден)

> 1) Я не смог доказать, что у этого оператора СФ только четные и нечетные. И мы(кучка ламосов) сошлись на мнени, что это вообще говоря не так.
У какого этого? У четности?
P2=1 Поэтому для его собств. значений получаем
p2=1, p=+-1.
Если P psi(x)= psi(x) , т.е. psi(-x)=psi(x) то psi(x) четная
по оперделению.
> 2)А откуда мы знаем, что гамильтониан не коммутирует скажем с оператором заменяющим х на ехр(-х)?
Проверьте ;)
> > > 2) нашел я эти волновые ф-ции стац. состояний(f_odd, f_even).
> > > Я нашел f_o, f_e от координаты, потом нашел в первом приближении уровни в этих ямах и домножив на соотв экспоненту каждую ВФ получил волн. ф-ции от времени. Это
> правильно?

> > Ыгы. Уровни энергии должны быть разные для четной и
> нечетной.

> Ага, так и получилось.

> > > Как я понимаю, волновая ф-ция частици в любой момент времени будет
> > > f(x,t)=a1*f_o+a2*f_e. Это правильно? Если правильно, то как найти константы?

> А тут что не ответили? Совсем что-то не то спросил? :-))
> Ну для меня эти коэф-ты единственная зацепка - они хоть как-то связанны со словом "вероятность". :-)

Да вроде очевидно, a1=exp(-iEot)/sqrt(2), a2=exp(-iEet)/sqrt(2)
поскольку вначале (t=0) a1=a2=1/sqrt(2) что вроде я пытался толкнуть в ответе
на следующий вопросец.
> > > 3) Как записать на языке волновой ф-ции частици "в момент времени t1 она находится в правое/левой яме"? Т.е. есть у меня эти слова, а как это математически записать(дабы в задаче применить), не
знаю :-(((
> > > Ну думаю, если это объясните, как найти вер-ть соображу.

>
> > Думаю имеется ввиду суперпозиция четной и нечетной ф-ции,
> > 1/sqrt(2)(f_o+f_e) t=0, у нее пик в первой яме (x=+a)
> > и 0 во второй (предполагается f_e>0, f_o>0 при x>0).

> Ага, так и есть. Я долго смотрел на это в чужой тетрадке.
> Только я думал, что во второй яме должен быть минимум, а в той, где частица - максимум ВФ.


Я тут позволю себе еще и со своей стороны добавить.

> Задача:
> потенциал V~-(delta(x-a)+delta(x+a))
> Пусть при t=0 частица находилась в правой потенциальной яме. Какова вер-ть того, что в момент t она будет в левой пот. яме.

Вот здесь довольно тонкое место. Находиться в той или иной потенциальной яме можно двумя "способами". Первый - быть в состоянии, которое является связанным состоянием в одной яме при отсутствии второй (точнее модификация этого состояния). Второй - волновая функция является собственной функцией оператора координаты с собственным значением a. Хотя, как правило, под положением частицы подразумевают именно второе (это приводит к серьезному техническому усложнению задачи и довольно длинному решению), однако, думается, что в данном случае имеется в виду первое.

Итак, далее речь идет только о состояниях с отрицательной энергией.

> вопросы у меня возникли такие
> 1) почему волновые ф-ции стац. состояний могут быть только четные или нечетные?

Запишем стационарное уравнение Шредингера

-\hbar^2 /2m d^2 \psi(x) /dx^2 + V(x) \psi(x) = E\psi(x)

и сделаем замену x' = - x.

Т.к. d^2/dx'^2 = d^2/dx^2 и V(x') = V(x), то получаем, что \psi(x') = \psi(-x) является решением того же уравнения. А если уровень E является невырожденным (существует только одно решение с точностью до умножения на постоянную с данной энергией), то это должна быть та же самая функция, умноженная на c. Другими словами, если ввести оператор четности P, который меняет знак у координаты, то получаем, что решение данного уравнения является собственной функцией этого оператора

P \psi = c\psi .

Далее идет то, что уже написал Begemot, в результате чего получается, что c может принимать только два значения 1 (и тогда имеем четные функции) или -1 (нечетные).

> 2) нашел я эти волновые ф-ции стац. состояний(f_odd, f_even).
> Я нашел f_o, f_e от координаты, потом нашел в первом приближении уровни в этих ямах и домножив на соотв экспоненту каждую ВФ получил волн. ф-ции от времени. Это правильно?

Правильно. Теперь давайте разбираться, что у нас получилось. Определимся со знаками так, чтобы f_e(x) и f_o(x) были больше нуля при x > a (и, естественно, интегралы от квадратов их модулей по всему пространству равны 1). Введем для этих функций обозначения |e> и |o>. Итак, мы получили два стационарных состояния и любые другие состояния представляются в виде суперпозиции этих

|s> = \alpha_e |e> + \alpha_o |o>

Теперь, если мы хотим выяснить динамику состояний, нам нужно подействовать оператором эволюции

U |s> = \alpha_e U |e> + \alpha_o U |o> ,

но стационарные состояния не изменяются со временем (потому они и стационарные), а только лишь умножаются на exp(-i E t/\hbar), где E - энергия соответствующего состояния. Т.е.

U |e,o> = exp(- E_{e,o}t/\hbar}) |e,o> .

Смысл же \alpha_e и \alpha_o - амплитуды вероятности того, что состояние |s> выглядит как то или иное базисное состояние. Находятся эти амплитуды стандартным образом

\alpha_e = , \alpha_o = .

> Как я понимаю, волновая ф-ция частици в любой момент времени будет
> f(x,t)=a1*f_o+a2*f_e. Это правильно? Если правильно, то как найти константы?
> 3) Как записать на языке волновой ф-ции частици "в момент времени t1 она находится в правое/левой яме"? Т.е. есть у меня эти слова, а как это математически записать(дабы в задаче применить), не знаю :-(((

Собственно, вот это здесь самое сложное. Рассмотрим две комбинации |R> = (|e> + |o))/\sqrt{2} и |L> = (|e> - |o))/\sqrt{2}. Первая из них сосредоточена при x > 0, вторая - при x < 0. Вероятно, предполагается, что первое состояние и есть "частица в правой потенциальной яме", а второе - "в левой".

Если так, то искомая вероятность запишется в виде

P = ||^2.

Далее, расписывая здесь все на свете, учитывая правило действия оператора эволюции на |e> и |o> и то, что = 0, получаем

P = \sin^2 (E_e - E_o) t /\hbar .

Если же нахождение в яме считается через собственные функции оператора координаты, то указанных двух состояний становится недостаточно, надо включать состояния из непрерывного спектра (с положительной энергией).

> Ну думаю, если это объясните, как найти вер-ть соображу.

> PS В какой книжке по квантам есть примеры разобранных задачь с дельта-ямами? В ландавшице предметный указатьль не очень хороший, не могу найти.

Есть еще такой двухтомник Флюгге "Задачи по квантовой механике", всего там решено около двух сотен различных задач. С дельта-функциями есть несколько задач в первом томе.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100