Упругое нецентральное столкновение тел

Сообщение №9182 от Gilbert 28 февраля 2002 г. 09:48
Тема: Упругое нецентральное столкновение тел

Здравствуйте.
Нужно найти общее решение задачи при упругом столкновении двух тел. Если столкновение
центральное у меня всё получается, а вот если удар идёт под углом то у меня возникают
проблемы при расчёте углов и скорости после удара.
Сколько я смотрел в интернете ничего подобного не нашёл.
Например задача: тело массой м1=3кг и скоростью v1=3 м/с ударяется под углом a=30
градусов о второе тело м2=2 кг летящее со скоростью v2=2 м/с. Нужно найти скорости
после соударения и углы отклона от первоначальных траекторий этих тел.

Помогите пожалуйста.
Спасибо.


Отклики на это сообщение:

Чтобы задача была однозначно разрешимой, необходимо уточнить, является ли столкновение центральным, и если не является - то в какой степени.



Столкновение является не центральным.
А что значит в какой степени? угол я вроде задал. Т.е. это угол между направлением движения первого тела и линией соединяющей центры обоих тел. Вот вроде так.


>
> Столкновение является не центральным.
> А что значит в какой степени? угол я вроде задал. Т.е. это угол между направлением движения первого тела и линией соединяющей центры обоих тел. Вот вроде так.

Центральность и нецентральность столкновения от угла между скоростями не зависит. Она определяется тем, совпали бы центры шаров в один из моментов, если бы они могли двигаться "друг сквозь друга" без взаимодействия, или разминулись бы.



Приветствую!
У Вас речь идет не о "нецентральном" столкновении, а
о столкновении, когда векторы скоростей объектов лежат
в одной плоскости. Ну и что тут трудного? Разложите на
составляющие. Закон сохранения импульса выполняется,
поскольку удар упругий. Тогда в чем проблемы?
Получится разложение по 2-м координатным осям. Решаете,
как Вы умеете, для каждой оси, а потом вновь складываете
получившиеся векторы и находите направления после
соударения. Вот и вся сказочка. :))
С уважением, *БИОМАССА*


> Здравствуйте.
> Нужно найти общее решение задачи при упругом столкновении двух тел. Если столкновение
> центральное у меня всё получается, а вот если удар идёт под углом то у меня возникают
> проблемы при расчёте углов и скорости после удара.
> Сколько я смотрел в интернете ничего подобного не нашёл.
> Например задача: тело массой м1=3кг и скоростью v1=3 м/с ударяется под углом a=30
> градусов о второе тело м2=2 кг летящее со скоростью v2=2 м/с. Нужно найти скорости
> после соударения и углы отклона от первоначальных траекторий этих тел.

> Помогите пожалуйста.
> Спасибо.

Дополнительно к законам сохранения энергии и импульса
может пригодиться закон сохранения момента импулься.


Понятно. Нет, центры их не совпадут никогда.


Вот примерно такая ситуация.Как мне математически (не геометрически) её решить т.е. найти углы и скорости после удара?


> Вот примерно такая ситуация.Как мне математически (не геометрически) её решить т.е. найти углы и скорости после удара?

Чтобы полностью определить задачу, надо указать еще что-то, например, минимальное расстояние, на котором прошли бы друг от друга центры шаров, если бы они были взаимно прозрачными (по отношению к радиусам шаров, конечно).

А лучше, сразу определить направление линии, соединяющей центры шаров в момент столкновения.


> > Вот примерно такая ситуация.Как мне математически (не геометрически) её решить т.е. найти углы и скорости после удара?

> Чтобы полностью определить задачу, надо указать еще что-то, например, минимальное расстояние, на котором прошли бы друг от друга центры шаров, если бы они были взаимно прозрачными (по отношению к радиусам шаров, конечно).

> А лучше, сразу определить направление линии, соединяющей центры шаров в момент столкновения.

Если известна линия между центрами, то считается, по-видимому, так - именно импульсом вдоль этой линии обменялись шары, далее по сохранению.
А как при этом можно учесть, сколько энергии ушло в "закрутку" шаров? Или, вроде как на ощупь, при "абсолютно упругом" (и мгновенном, соответственно) столкновении закрутки не происходит?


> Вот примерно такая ситуация.Как мне математически (не геометрически) её решить т.е. найти углы и скорости после удара?

Попробуй посмотреть здесь:
http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/Cyrillic/par_txt.htm#Coll

Более подробно здесь:
http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/English/par_txt.htm#Coll

Нецентральное столкновение и рассеяние шаров


> Если известна линия между центрами, то считается, по-видимому, так - именно импульсом вдоль этой линии обменялись шары, далее по сохранению.

Точно, только надо определить линию именно в момент столкновения.

> А как при этом можно учесть, сколько энергии ушло в "закрутку" шаров? Или, вроде как на ощупь, при "абсолютно упругом" (и мгновенном, соответственно) столкновении закрутки не происходит?

Это тоже вопрос. Зависит от трения. Если считать, что поверхности шаров абсолютно скользкие, то закрутки не будет.

Но если трение есть, то даже при мгновенном столкновении закруткой пренебречь нельзя. Кстати, в этом случае нельзя пренебречь и обменом импульсами по направлению, перпендикулярному линии, соединяющей центры шаров.


> > Вот примерно такая ситуация.Как мне математически (не геометрически) её решить т.е. найти углы и скорости после удара?

> Попробуй посмотреть здесь:
> http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/Cyrillic/par_txt.htm#Coll

> Более подробно здесь:
> http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/English/par_txt.htm#Coll

за ссылочку спасибо, но ещё не всё прояснило. Как опеределить угол первого тела после удара? угол падения равен углу отражения? ну а если масса первого тела больше второго, то как считать?


> Здравствуйте.
> Нужно найти общее решение задачи при упругом столкновении двух тел.

Если оба тела одной массы и второе из них стоит, сталкиваются, используется теорема косинусов и тела разлетаются всегда под 90 градусов друг к другу, причём угол удара и угол отражения удара первого равны, его скорость првращается при нуле градусов в нуль. Если скорости обоих тел после удара в квадрат взять, сложить и корень извлечь получем первоначальную скорость первого тела.
Если массы при ударе одинаковы а скорости разные, то векторное сложение их скоростей даст прямую.
Первое решение: угол падения и величина скорости обоих тел на эту прямую равны отражённым. Итак углы и скорости при столкновении одинаковых масс не изменяются.
Это решение правильно математически но не физически.
Второе решение: происходит обмен величин и направлений скоростей при столкновении одинаковых масс, угол падения равен углу отражения.
Третье решение: величины скоростей и направление обоих тел остаются после столкновения их центров тяжести неизменными – Кольцо и шар.
Четвёртое решение: Множество всех решений, если несмотря на то, что известен угол удара тел, тела не центрально ударяются.

Если массы разные и угол удара не 180 градусов, то можно скорость одного тела в вертикальные и горизонтальные составляющие разбить, оба расчёта как центральные провести и полученные скорости векторно сложить. Громоздко но верно.



одно из тел можно считать до удара покоящимся (перейдем в его систему координат).
Прицельное расстояние это расстояние центра покоящегося тела до линии движения второго.
Если удар не центральный то всегда можно рассматривать движение плоским, в плоскости прходящей через центр покоящегося и линию движения второго до удара.
Получаем 4 неизвестные компоенты скорости обоих шаров.
и 3 ур-я: 2 для компонент импульса и сохранение энергии.
Если задать прицельное расстояние то можно написать еще одно уравнение и тогда задача решится, а без него нет.


> одно из тел можно считать до удара покоящимся (перейдем в его систему координат).
> Прицельное расстояние это расстояние центра покоящегося тела до линии движения второго.
> Если удар не центральный то всегда можно рассматривать движение плоским, в плоскости прходящей через центр покоящегося и линию движения второго до удара.
> Получаем 4 неизвестные компоенты скорости обоих шаров.
> и 3 ур-я: 2 для компонент импульса и сохранение энергии.
> Если задать прицельное расстояние то можно написать еще одно уравнение и тогда задача решится, а без него нет.

Хорошо, понятно. Тогда определим к моей задаче прицельное растояние, допустим 5 м. r1=3м r2=2м, пусть будет метров. Попробуем решить?



> Хорошо, понятно. Тогда определим к моей задаче прицельное растояние, допустим 5 м. r1=3м r2=2м, пусть будет метров. Попробуем решить?

Шары лишь скользнут друг по другу, не изменив своих скоростей.


> Шары лишь скользнут друг по другу, не изменив своих скоростей.

как мне записать это математически, без учёта всякого закручивания шаров и трения?


> > Шары лишь скользнут друг по другу, не изменив своих скоростей.

> как мне записать это математически, без учёта всякого закручивания шаров и трения?

Никакого закручивания и трения не будет. Можете считать, что шары полностью разминулись.

Математически записать? Очевидно:
v1'=v1
v2'=v2
где со штрихом - скорости "после", а без штриха - исходные


> Математически записать? Очевидно:
> v1'=v1
> v2'=v2
> где со штрихом - скорости "после", а без штриха - исходные

а как ты это решил? я понимаю там надо решить систему из 3 или более уравнений, но у меня не получается. Мне как бы нужны конечные формулы для нахождения скоростей и углов после столкновения. Конечные скорости мне тут не очень важны я знаю как их находить, а вот углы это да. Как в моей задаче их найти? (математически)


> > Математически записать? Очевидно:
> > v1'=v1
> > v2'=v2
> > где со штрихом - скорости "после", а без штриха - исходные

> а как ты это решил? я понимаю там надо решить систему из 3 или более уравнений, но у меня не получается. Мне как бы нужны конечные формулы для нахождения скоростей и углов после столкновения. Конечные скорости мне тут не очень важны я знаю как их находить, а вот углы это да. Как в моей задаче их найти? (математически)

В случае d>r1+r2 или d=r1+r2 (где d-минимальное расстояние между центрами, а r1 и r2 - радиусы шаров) ничего решать не нужно. Потому что ШАРЫ НЕ СТАЛКИВАЮТСЯ. Во втором случае они слегка касаются, но НЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮТ.


> Мне как бы нужны конечные формулы для нахождения >скоростей и углов после столкновения. Конечные скорости >мне тут не очень важны я знаю как их находить, а вот углы >это да. Как в моей задаче их найти? (математически)

> В случае d>r1+r2 или d=r1+r2 (где d-минимальное расстояние между центрами, а r1 и r2 - радиусы шаров) ничего решать не нужно. Потому что ШАРЫ НЕ СТАЛКИВАЮТСЯ. Во втором случае они слегка касаются, но НЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮТ.

а тогда как решить если d


> а тогда как решить если dМожно так:
1. Перейти в систему покоя первого шара.
2. Найти угол между скоростью второго шара и линией, соединяющей центры шаров. Он будет равен +-arcsin{d/(r1+r2)}. (Возможны два случая, соответствующие столкновению "слева от центра" и "справа от центра")
3.Предполагая отсутствие трения, можно считать, что шары обмениваются импульсами только вдоль линии, соединяющей их центры. Разложить импульс второго шара по двум направлениям - вдоль и поперек линии столкновения. Для поперечного направления написать два условия сохранения импульса(для первого шара - компонента импульса остается нулевой, для второго шара - компонента импульса остается прежней). Для продольного направления написать условие сохранения суммы компонентов импульсов шаров. Добавить к этому условие сохранения суммарной кинетической энергии. Решить систему.
4.Вернуться в исходную систему координат. Определить углы между скоростями и все, что Вам необходимо.


> Можно так:
> 1. Перейти в систему покоя первого шара.
> 2. Найти угол между скоростью второго шара и линией, соединяющей центры шаров. Он будет равен +-arcsin{d/(r1+r2)}. (Возможны два случая, соответствующие столкновению "слева от центра" и "справа от центра")
> 3.Предполагая отсутствие трения, можно считать, что шары обмениваются импульсами только вдоль линии, соединяющей их центры. Разложить импульс второго шара по двум направлениям - вдоль и поперек линии столкновения. Для поперечного направления написать два условия сохранения импульса(для первого шара - компонента импульса остается нулевой, для второго шара - компонента импульса остается прежней). Для продольного направления написать условие сохранения суммы компонентов импульсов шаров. Добавить к этому условие сохранения суммарной кинетической энергии. Решить систему.
> 4.Вернуться в исходную систему координат. Определить углы между скоростями и все, что Вам необходимо.

спасибо, но я всё равно не пойму никак. Решая эту ситему найду только скорости после удара, это не трудно. Допустим я нашёл эти скорости, как угол найти между ними вот что непойму.


> > а тогда как решить если d> Можно так:
> 1. Перейти в систему покоя первого шара.
> 2. Найти угол между скоростью второго шара и линией, соединяющей центры шаров. Он будет равен +-arcsin{d/(r1+r2)}. (Возможны два случая, соответствующие столкновению "слева от центра" и "справа от центра")
> 3.Предполагая отсутствие трения, можно считать, что шары обмениваются импульсами только вдоль линии, соединяющей их центры. Разложить импульс второго шара по двум направлениям - вдоль и поперек линии столкновения. Для поперечного направления написать два условия сохранения импульса(для первого шара - компонента импульса остается нулевой, для второго шара - компонента импульса остается прежней). Для продольного направления написать условие сохранения суммы компонентов импульсов шаров. Добавить к этому условие сохранения суммарной кинетической энергии. Решить систему.
> 4.Вернуться в исходную систему координат. Определить углы между скоростями и все, что Вам необходимо.

Расскажу как я решаю: беру линию соединящую центры шаров за ось ох, нахожу проекции скоростей на эту ось. И решаю по формулам как при горизонтальном ударе:
u1=((m1-m2)*V1+2*m2*V2))/(m1+m2)
u2=((m2-m1)*V2+2*m1*V1))/(m1+m2)

Вот. Тем самым я нахожу проекции скоростей после удара на эту ось. Вот как теперь перейти в исходную систему координат, т.е. найти угол?


> Расскажу как я решаю: беру линию соединящую центры шаров за ось ох,

Линия,соединяющая центры шаров, может менять направление. Нужно определить ее направление в момент удара.

>нахожу проекции скоростей на эту ось. И решаю по формулам как при горизонтальном ударе:
> u1=((m1-m2)*V1+2*m2*V2))/(m1+m2)
> u2=((m2-m1)*V2+2*m1*V1))/(m1+m2)

Что за формулы? Что-то я не въеду откуда они.

Закон сохранения импульса по оси удара x запишется как:
m1*v1x + m2*v2x = m1*v'1x + m2*v'2x
Здесь со штрихами - скорости после удара, без штрихов - до. Цифра - номер шара.

Для поперечной оси просто записываете:
v1y = v'1y (если это система покоя первого шара, то v1y = v'1y =0)
и v2y = v'2y

Нужно еще одно ур-ние: закон сохранения энергии, иначе система не решится.

> Вот. Тем самым я нахожу проекции скоростей после удара на эту ось. Вот как теперь перейти в исходную систему координат, т.е. найти угол?

Исходное преобразование у Вас где-то записано. Выражаете исходные координаты через преобразованные и получаете обратное преобразование.


> >нахожу проекции скоростей на эту ось. И решаю по формулам как при горизонтальном ударе:
> > u1=((m1-m2)*V1+2*m2*V2))/(m1+m2)
> > u2=((m2-m1)*V2+2*m1*V1))/(m1+m2)

> Что за формулы? Что-то я не въеду откуда они.

эти формулы как раз получаются когда решишь систему из 2-х уравнений: закон сохр. импульса и закон сохр. инергии.


> > Вот. Тем самым я нахожу проекции скоростей после удара на эту ось. Вот как теперь перейти в исходную систему координат, т.е. найти угол?

> Исходное преобразование у Вас где-то записано. Выражаете >исходные координаты через преобразованные и получаете >обратное преобразование.

Можешь на примере объяснить как определяется угол, у меня не получается.


Утверждаю, что при ударе двух тел независимо от их скорости v, размера r,
угла удара X или его вида ( вдогонку, сбоку или нецентрально) и их веса m
по закону сохранения импульса и энергии, произойдет следущее:
Центр тяжести всей системы до и после удара продолжает двигаться дальше с неизменной скоростью и направлением причём угол центра тяжести равен
X0 = arctan ( (v2*sinX) / (v1*(m2/m1)+1) ), скорости тел не изменяются,
их углы равны: X1 = 180+2* X0- X, X2 = X1+ X.
Импульсы складываются векторно, исключение составляют столкновение тел одинаковых масс –обмен скоростей и направлений даже при нецентральном ударе.
Если оба тела одной массы и второе из них стоит, сталкиваются, используется теорема косинусов и тела разлетаются всегда под 90 градусов друг к другу, причём угол удара и угол отражения удара первого равны, его скорость првращается при нуле градусов в нуль. Если скорости обоих тел после удара в квадрат взять, сложить и корень извлечь получем первоначальную скорость первого тела.


> Можешь на примере объяснить как определяется угол, у меня не получается.

Давай попроще.

Пусть первый шар m1=1 - неподвижный (v1=0), второй шар m2=1 движется вдоль оси x со скоростью v2=1. В момент столкновения линия, соединяющая центры шаров, составляет угол 60 град. с осью x. Трения нет.

Раскладываем импульс по линии, соединяющей центры шаров, (индекс a) и по перпендикуляру к ней (индекс b):
m2*v2a = m2*v2*cos(60 град.) = m2*v2/2 = 1/2
m2*v2b = m2*v2*sin(60 град.) = m2*v2*√3/2 = √3/2
(Если бы первый шар двигался, его импульс тоже надо было бы разложить).

Записываем условие сохранения импульса по оси a:
1/2 = m1*v1'a + m2*v2'a
Записываем условие невзаимодействия по оси b:
v1'b = v1b = 0 и
√3/2 = m2*v2'b
Добавляем закон сохранения энергии:
m1*(v1'a)^2 + m2*(v2'a)^2 + m2*(v2'b)^2 = 1 (удвоенная кинетическая энергия второго шара до столкновения)

Решая систему, находим:
v1'a = 1/2
v2'a = 0
v1'b = 0
v2'b = √3/2

Какие углы теперь Вам нужны? Если между скоростями после столкновения (v1' и v2'), то берете их скалярное произведение и делите на произведение длин (можно прямо в координатных осях a и b), в результате находите косинус угла:
cos(α) = 0 (Так уж вышло, что в нашем примере угол оказался 90 град.)

А если между новыми и старыми скоростями, то лучше перейти в исходные координаты x и y, например, для скорости v1':
v1'x = v1'a*cos(60 град.) + v1'b*cos(30 град.) = 1/4
v1'y = v1'a*cos(30 град.) - v1'b*cos(60 град.) = √3/4
Можно подсчитать, что его длина равна 1/2

Косинус угла между v1 и v1' определяете так же (скалярное произведение делить на произведение длин):
cos(α1) = 1/4 : 1/2 = 1/2
Т.е. этот угол равен 60 град.

Угол между v1 и v2' можно было бы определить по такой же схеме, но мы уже знаем, что угол между v1' и v2' равен 90 град., т.е. угол между v1 и v2' равен:
90 - 60 = 30 град.


спасибо, но опять же почему скорость второго шара после удара получается 0.8660, тогда закон сохранения импульса не выполняется. До столкновения 1 а после получается больше. Почему?


т.е. я не понимаю как вы получили следущее преобразование:
v1':
> v1'x = v1'a*cos(60 град.) + v1'b*cos(30 град.) = 1/4
> v1'y = v1'a*cos(30 град.) - v1'b*cos(60 град.) = √3/4

как тогда будет для v2'x и v2'y?


> спасибо, но опять же почему скорость второго шара после удара получается 0.8660, тогда закон сохранения импульса не выполняется. До столкновения 1 а после получается больше. Почему?

Скорость второго шара после удара получается меньше 1, т.е. и импульс тоже меньше. Часть импульса передается первому шару (он начинает двигаться).


> т.е. я не понимаю как вы получили следущее преобразование:
> v1':
> > v1'x = v1'a*cos(60 град.) + v1'b*cos(30 град.) = 1/4
> > v1'y = v1'a*cos(30 град.) - v1'b*cos(60 град.) = √3/4

Рисуете оси x и y, рисуете линию, соединяющую центры шаров (ось a), рисуете перпендикуляр к ней (ось b), отмечаете углы (где 60 град, а где 90-60=30 град).

Теперь раскладываете вектор, направленный по a (v1'a), на проекции по осям x и y. Величину соответствующей проекции находите как катет соответствующего прямоугольного треугольника с гипотенузой v1'a. Затем так же раскладываете вектор, направленный по b (v1'b). Складываете проекции.

> как тогда будет для v2'x и v2'y?

То же самое. Только надо подставлять значения v2'a и v2'b вместо v1'a и v1'b.



> > как тогда будет для v2'x и v2'y?

> То же самое. Только надо подставлять значения v2'a и v2'b вместо v1'a и v1'b.

Всё получилось!
Спасибо большое!!! :)


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100