Одномерное электричество: продолжение

Сообщение №8158 от Игрек 17 января 2002 г. 14:34
Тема: Одномерное электричество: продолжение

Я как-то писал, но мало откликов.
Как выглядит запись уравнения Пуассона в одномерном случае?
Понятно, что слева просто вторая производная. А что стоит справа?

Я тут подумал. Одномерность можно понимать: а) как квазитрехмерный случай (сферическая симметрия) б) как частный случай трехмерного случая, если по координатам x,y все одинаково в)как истинную одномерность, где присутствует одна координата как предельный переход. Образы:
а) точечный заряд- напряженность поля 1/r2
б) бесконечно заряженная плоскость- E=2pi*sigma (плотность размазанного по плоскости заряда)
в) точечный заряд внутри узкого цилиндра бесконечно малого радиуса с изолирующими стенками- как будто E=1/r2

Меня крайне интересует случай в). Как я писал ранее, получается бесконечность потенциала во внутренней точке заряженного отрезка (плотность заряда соответственно Q/L-
L-длина). Что будет с уравнением Пуассона в эотм случае?


Отклики на это сообщение:

> Я как-то писал, но мало откликов.
> Как выглядит запись уравнения Пуассона в одномерном случае?
> Понятно, что слева просто вторая производная. А что стоит справа?

> Я тут подумал. Одномерность можно понимать: а) как квазитрехмерный случай (сферическая симметрия) б) как частный случай трехмерного случая, если по координатам x,y все одинаково в)как истинную одномерность, где присутствует одна координата как предельный переход. Образы:
> а) точечный заряд- напряженность поля 1/r2
> б) бесконечно заряженная плоскость- E=2pi*sigma (плотность размазанного по плоскости заряда)
> в) точечный заряд внутри узкого цилиндра бесконечно малого радиуса с изолирующими стенками- как будто E=1/r2

> Меня крайне интересует случай в). Как я писал ранее, получается бесконечность потенциала во внутренней точке заряженного отрезка (плотность заряда соответственно Q/L-
> L-длина). Что будет с уравнением Пуассона в эотм случае?

Одномерным случаем в учебниках обычно называют случай "б".
Для бесконечно длинной бесконечно тонкой заряженной нити
из лапласиана фи исчезает вторая производная фи по оси z,
по которой направлена нить. При этом лапласиан фи пропорционален
дельта-функции от (x,y), умноженной на линейную плотность
заряда.


> Одномерным случаем в учебниках обычно называют случай "б".
Я тоже так думаю.

> Для бесконечно длинной бесконечно тонкой заряженной нити
> из лапласиана фи исчезает вторая производная фи по оси z,
> по которой направлена нить. При этом лапласиан фи пропорционален
> дельта-функции от (x,y), умноженной на линейную плотность
> заряда.

Эх... Какие (x,y)- координаты, когда в уравнении Пуассона (одномер) возможна лишь одна координата?


Pod "odnomernoi" v elektrodinamike ponimayut zadachu kogda sistema obladaet translyazionnoi simmetriei v ploskosti xy. To est' dielektricheskaya funkziya i vneshnie istochniki zavisyat tol'ko ot koordinaty z. Konechno v etom sluchae vozmozhny dva tipa polyarizazii - EZ i HZ volny. Vse eto razobrano v 8 tome Landau-Lifshitza v glave pro rasprostranenie elektromagnitnyh voln v neodnorodnyh sredah. Konechno, mozhno govorit' i ob odnomernoi elektrostatike, kogda zadana plotnost' zaryadov \rho(z). Kstati, odnomernye sistemy ne takaya uzh trivial'naya vesh'. Lyudi do sih pod paryatsa nad problemoi effektivnyh parametrov odnomernyh neodnorodnyh sred, andersonovskoi lokalizaziei sveta v odnomerii i t.p.


> > Одномерным случаем в учебниках обычно называют случай "б".
> Я тоже так думаю.

> > Для бесконечно длинной бесконечно тонкой заряженной нити
> > из лапласиана фи исчезает вторая производная фи по оси z,
> > по которой направлена нить. При этом лапласиан фи пропорционален
> > дельта-функции от (x,y), умноженной на линейную плотность
> > заряда.

> Эх... Какие (x,y)- координаты, когда в уравнении Пуассона (одномер) возможна лишь одна координата?

Различают размерность тела и размерность задачи.
Размерность задачи - это от скольки координат зависит поле.
Примеры:
а) точечный заряд - нульмерное тело, трехмерная задача
б) заряженная плоскость - двумерное тело, одномерная задача
в) заряженная нить - одномерное тело, двумерная задача
г) заряженный шар - трехмерное тело, трехмерная задача.


Примеры одномерных задач.
Тонкая прямая проволока конечной длины и на ее продолжении точечный заряд. Найти рапределение заряда вдоль проволоки.
Тонкая проволока. Концы при заданных температурах. Найти распределение т-ры вдоль проволоки.


Konechno, mozhno govorit' i ob odnomernoi elektrostatike, kogda zadana plotnost' zaryadov \rho(z).
Вот и я о том же.


>Kstati, odnomernye sistemy ne takaya uzh trivial'naya vesh'. Lyudi do sih pod paryatsa nad problemoi effektivnyh parametrov odnomernyh neodnorodnyh sred, andersonovskoi lokalizaziei sveta v odnomerii i t.p.
Я это только не давно понял, когда возник у меня вот такой вопрос.

Проблема видится вот в чем. Дан стержень длины L несущий заряд Q (в кулонах!). x,y координат нет. Найти потенциал поля в любой точке стержня.

а) такой вариант. Быстенько интегрируем po(z)/(z-z1)dz, получаем бесконечность. Для сравнения, если надо найти напряженность поля внутри равномернозаряженного шара (трехмерный случай), то здесь вполне хороший ответ.

б) пишем уравнение Пуассона, подставляя быстренько одномерный опратор лапласа. Непонятно правда, что писать в правой части (плотность то полагается Кл/м3). Предположим ноль.
Тогда особеннойстей нет, потенциал линеен. Но ! с ужасом убеждаемся, что получили ответ для поля типа бесконечной заряженной плоскости.


Вариант б) явно нефизичен, но формально правилен.


Так вот я и спрашиваю, в ОДНОМЕРНОМ случае каково уравнение пуассона и что с теоремой Гаусса?!


> Konechno, mozhno govorit' i ob odnomernoi elektrostatike, kogda zadana plotnost' zaryadov \rho(z).
> Вот и я о том же.

>
> >Kstati, odnomernye sistemy ne takaya uzh trivial'naya vesh'. Lyudi do sih pod paryatsa nad problemoi effektivnyh parametrov odnomernyh neodnorodnyh sred, andersonovskoi lokalizaziei sveta v odnomerii i t.p.
> Я это только не давно понял, когда возник у меня вот такой вопрос.

> Проблема видится вот в чем. Дан стержень длины L несущий заряд Q (в кулонах!). x,y координат нет. Найти потенциал поля в любой точке стержня.

> а) такой вариант. Быстенько интегрируем po(z)/(z-z1)dz, получаем бесконечность. Для сравнения, если надо найти напряженность поля внутри равномернозаряженного шара (трехмерный случай), то здесь вполне хороший ответ.

> б) пишем уравнение Пуассона, подставляя быстренько одномерный опратор лапласа. Непонятно правда, что писать в правой части (плотность то полагается Кл/м3). Предположим ноль.
> Тогда особеннойстей нет, потенциал линеен. Но ! с ужасом убеждаемся, что получили ответ для поля типа бесконечной заряженной плоскости.

>
> Вариант б) явно нефизичен, но формально правилен.

>
> Так вот я и спрашиваю, в ОДНОМЕРНОМ случае каково уравнение пуассона и что с теоремой Гаусса?!

Полное уравнение Пуассона годится и для одномерных, и для
двуменрных и для трехмерных задач. Просто когда потенциал
во всем пространстве не зависит от какой-то координаты, то
вторая производная по этой координате равна нулю, и ее
можно не писать.
В случае бесконечного стержня исчезает только одна вторая
производная. В случае конечного стержня все три вторые
производные останутся на месте. Т.е. тело - одномерное,
а задача - трехмерная. То, что наc поле вне стержня не интересует,
не меняет ситуации: природе все равно, что нас интересует.
А теорема Гаусса годится и для стержня.
В уравнении Пуассона плотность равна бесконечности в стержне
и нулю вне стержня.
Потенциал в бесконечно тонком стержне бесконечен.


> Konechno, mozhno govorit' i ob odnomernoi elektrostatike, kogda zadana plotnost' zaryadov \rho(z).
> Вот и я о том же.

Net, ty o chem-to drugom!

> >Kstati, odnomernye sistemy ne takaya uzh trivial'naya vesh'. Lyudi do sih pod paryatsa nad problemoi effektivnyh parametrov odnomernyh neodnorodnyh sred, andersonovskoi lokalizaziei sveta v odnomerii i t.p.
> Я это только не давно понял, когда возник у меня вот такой вопрос.

> Проблема видится вот в чем. Дан стержень длины L несущий заряд Q (в кулонах!). x,y координат нет.

$$ A takogo ne byvaet v prirode. Dal'she soobschenie ne kommentiruetsa.


> > Проблема видится вот в чем. Дан стержень длины L несущий заряд Q (в кулонах!). x,y координат нет.

> $$ A takogo ne byvaet v prirode. Dal'she soobschenie ne kommentiruetsa.

Вот так и думал, что скажут. КОнечно в природе такого нет.
Но ради забавы мысли почему бы не рассмотреть такой случай.
ВО всяком случае истинного физика-теоретика такой ответ не достоин.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100