Вывод преобразований Лоренца

Сообщение №74692 от Некрот А.А. 14 сентября 2013 г. 11:46
Тема: Вывод преобразований Лоренца

В нашем сообщении №74621 уже был дан вывод преобразований Лоренца без использования каких-либо физических законов. Там мы исходили из выражений галилеевого формализма в случае использования в нем параметра β=v/c. Здесь мы применим другой подход.
Мандельштам в своих известных лекциях по физическим основам теории относительности указывает, для чего и как были изобретены Лоренцем его знаменитые преобразования, обеспечивающие переход в описании явлений от неподвижной системы отсчета К к движущейся системе K'. Лоренц поставил себе задачу найти формальные, не имеющие физического смысла преобразования, которые при переходе к системе K' оставляли бы инвариантными максвелловы уравнения электромагнитного поля в пустоте. Он нашел (1904), что такие преобразования имеют вид
x'=γ(x–vt); t'=γ(t–vx/c2); (1)
y'=y; z'=z. (2)
Здесь γ=(1–β2)–1/2; v и с – скорости системы K' и электромагнитных волн.
Ввиду огромной важности факта инвариантности уравнений Максвелла для электродинамики движущихся тел многие физики выводили преобразования Лоренца, по-своему раскрывая их смысл. Эйнштейн вывел (1905) их, опираясь на два свои постулата: 1) все физические явления в инерциальных системах отсчета (и механические, и электромагнитные) при одинаковых начальных условиях протекают одинаково; 2) скорость света в пустоте во всех инерциальных системах отсчета одинакова, причем одинакова по всем направлениям и не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника. При новом утверждении, что преобразования Лоренца выходят за рамки связи с уравнениями Максвелла и являются общефизическими, эти преобразования стали формальной основой специальной теории относительности (СТО), рассматривающей пространственно-временные свойства физических процессов. В начальный период становления СТО считалось, что названные выше постулаты составляют также и физическое содержание этой теории. Со временем, однако, в результате многочисленных приложений СТО произошли изменения в оценке значения её постулатов (см. Я.П. Терлецкий. Парадоксы теории относительности (Наука, Москва, 1966)). Выяснилось, что преобразования Лоренца могут быть выведены на базе различных постулатов, что основой СТО являются не её постулаты, а наличие преобразований (точнее говоря, группы) Лоренца. Терлецкий в своей названной выше книге вывел преобразования Лоренца без привлечения постулата о постоянстве скорости света, но при использовании известной формулы зависимости массы от скорости в качестве экспериментально установленного закона. Можно видеть, что в оценке содержания СТО произошли и происходят, как и в оценке других теорий, известные из истории физики изменения, при которых проверенные опытами формулы с развитием теории остаются в силе, но физическое обоснование этих формул (уравнений, преобразований) изменяется. Мы здесь представим вариант вывода преобразований Лоренца чисто математическим способом. При этом фрагментарно используем известные новые (по сравнению с первоначальными) способы выводов преобразований Лоренца, данные Эйнштейном (1917) (см. А. Эйнштейн. Физика и реальность (Наука, Москва, 1965) с. 224) и Неванлинной, применившим открытый им принцип (постулат) симметрии преобразований (см. Р. Неванлинна. Пространство, время и относительность (Мир, Москва, 1966) с. 171).
Преобразования (1), (2) записаны для случая, когда координатные оси x, x' систем K, K' совпадают, а пары других одноименных осей y, y' и z, z' параллельны между собою. Начало O' системы K' движется равномерно со скоростью v по оси х системы К. Из такой картины взаимного расположения координатных осей систем отсчета непосредственно видно, что для любой пространственной точки М справедливы преобразования для координат y, z в виде (2), как и в преобразованиях Галилея. Формулы (2) удовлетворяют принцип симметрии преобразований.
Для вывода формул (1), определяющих x', t' при заданных x и t, воспользуемся кинематическими уравнениями движения точки по осях абсцисс систем K и K'. Из зависимостей (1) видим, что скорость точки следует взять равной с и относительность её движения выразить не при помощи относительной скорости c', а посредством относительного времени t'. В качестве движущейся точки берем электромагнитный сигнал. При условии, что в момент времени t=0 начала систем O и O' совпадали, уравнения движения сигнала в системах K и K' запишем в виде
x=ct; x'=ct', (3)
причем
ct'=V't (V'=c'). (4)
Абсолютностью и относительностью скорости точки, как и времени, мы пользуемся ситуативно, не накладывая ограничений на математический формализм. Ниже, на основе одних только преобразований (1) и (2), покажем, что равенство (4) выполняется.
В начале вывода формул вида (1) будем производить формальные преобразования, как Эйнштейн при своем простом выводе преобразований Лоренца (1917) (см. его вышеназванную книгу). Зависимости (3) запишем в виде уравнений
x–ct=0; x'–ct'=0. (5)
Эти уравнения, как и (3), описывают движение одного и того же сигнала. Это значит, что справедливо общее соотношение
x'–ct'=m(x–ct), (6)
где m – некоторая постоянная. Рассмотрим далее движение сигнала против оси х. Для этого случая уравнения движения сигнала в виде математических уравнений получим из выражений (5) путем замены c–>–c. Общее соотношение между полученными таким путем уравнениями запишем в виде, аналогичном (6). Пользуясь постоянной p, получаем
x'+ct'=p(x+ct). (7)
Теперь разрешим систему уравнений (6) и (7) относительно x' и t'. Складывая данные уравнения, получаем
x'=kx–lct, (8)
где обозначено
k=(m+p)/2; l=(m–p)/2.
Вычитая из уравнения (7) уравнение (6), находим
t'=kt–lx/c. (9)
Вместо l введем теперь другой параметр – скорость движения системы K' относительно системы К. Для точки O' в системе K' в любой момент времени выполняется условие x'=0. При этом условии из уравнения (8) получаем l=kv/c, где v=x/t. Используем это значение l в уравнениях (8) и (9). Имеем
x'=k(x–vt); t'=k(t–vx/c2). (10)
Мы пришли к уравнениям (10), из которых Неванлинна (см. его книгу, названную выше) получил лоренцевы формулы (1). Он доказал, что требование симметричности выводимых преобразований удовлетворяется при k=γ. Доказательство Неванлинны заключается в следующем. Сначала убедимся, что преобразования (10) при k=1 не симметричны. Для этого выведем из них обратные преобразования двумя известными способами. Один из них заключается в непосредственном решении уравнений (10) относительно нештрихованных переменных x,t. Имеем
x=γ2(x'+vt')/k; t=γ2(t'+vx'/c2)/k. (11)
Другой способ обращения преобразований (10) состоит в том, что в них штрихованные переменные заменяются нештрихованными и наоборот (x'<–>x, t'<–>t), а также знак параметра преобразований заменяется на противоположный (v–>–v). Получаем
x=k(x'+vt'); t=k(t'+vx'/c2). (12)
По определению, симметричными являются преобразования, обращения которых двумя данными способами обеспечивают одинаковый результат. Мы выдим, что обратные преобразования (11) и (12), полученные из "прямых" (10), не совпадают между собою. Следовательно преобразования (10) при k=1 не симметричны. Установив этот факт, мы далее можем считать, что обратные преобразования двух видов (11) и (12) получены при произвольном значении коэффициента k. Требуя совпадения преобразований (11) и (12), то есть требуя их симметричности, находим такое значение k, при котором эти преобразования и преобразования (10) симметричны. Получаем для этого значения выражение γ2/k=k, то есть равенство k=γ.
Завершив вывод преобразований Лоренца, докажем теперь справедливость равенства (4). Делением лоренцевых координатных функций из (1) и (2) на время t, получаем для общего случая направленности движения сигнала проекции его относительной скорости
V'x=γ(Vx–v); V'y=Vy; V'z=Vz. (13)
Квадрат относительной скорости как сумма квадратов проекций (13) равен
V'22((Vx–v)2+(1–β2)(Vy2+Vz2)).
Отсюда, используя зависимости v=βc и Vx2+Vy2+Vz2=c2, находим
V'=γ(c–βVx). (14)
Путем умножения этого выражения на t получаем доказываемое равенство (4), в котором t' определяется лоренцевой формулой преобразования времени.
Преобразования (1) являются функциями вида x'=x'(x,t), t'=t'(t,x). Получим аналогичные функции r'=r'(r,x) и x'=x'(x,r), представляющие частный случай геометрических преобразований Лоренца. Выразим длину радиуса-вектора пространственной точки М кинематически в виде уравнений движения сигнала в системах K', K
r'=ct', r=ct. (15)
Используя здесь для t' лоренцево преобразование и учитывая второе уравнение, получаем
r'=γ(r–βx). (16)
В выражении (1) для x' исключим время при помощи второго уравнения (15). Имеем
x'=γ(x–βr). (17)
Формулы (16), (17) составляют искомые геометрические преобразования Лоренца.
Приведем примеры получения известных физических формул при помощи преобразований (14), (16), (17). Используя формулы (16), (17) при x=rcosθ и x'=r'cosθ' находим полученную Эйнштейном (1905) аберрационную формулу
cosθ'=(cosθ–β)/(1–βcosθ). (18)
Формула (14) при Vx=Vcosθ (V=c) принимает вид
V'=cγ(1–βcosθ). (19)
При использовании в формуле (19) зависимостей V'=λν', c=λν между скоростью с, частотой ν и длиной волны λ, существующие в системах K' и K, получаем современную формулу оптического эффекта Допплера
ν'=νγ(1–βcosθ). (20)
Из аберрационной формулы (18) найдем выражение для cosθ и применим это выражение в (20). Выводим таким путем другую разновидность формулы эффекта Допплера
ν'=ν/γ(1+βcosθ'). (21)
Формулы (20) и (21), совпадающие при учете закона аберрации (18), тоже впервые получены в СТО.
Главное, что показано в данном сообщении, состоит, по нашему мнению, в том, что преобразования Лоренца имеют математическое происхождение, принадлежат, как и преобразования Галилея, к математическому формализму кинематики. В своих применениях, как видно из их вывода, они ограничены только принципом симметричности преобразований. Физическими законами они не ограничены, и в силу этого применимы не только в электродинамике и оптике, но и в механике. Например, формулы эффекта Допплера (20) и (21), как показано в нашем сообщении №74014, успешно функционируют и в акустике, позволяя решить проблему эффектов второго порядка в классической теории явления Допплера. Основанная на формуле (19) теория данного явления подтверждается экспериментами. При помощи этой формулы, решается, в частности, предложенная нами в сообщениях №74184 и №74375 механическая задача о влиянии ветра на полет вертолёта по замкнутому пути.


Отклики на это сообщение:

Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100