Нерелятивистская кинематика

Сообщение №74654 от Анастасия 10 сентября 2013 г. 14:24
Тема: Нерелятивистская кинематика

Какой будет продолжительность полета самолета из
Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если
в течение всего полета ветер дует под углом t к трассе со
скоростью u? Скорость самолета относительно воздуха v, длина
трассы L. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальная?


Отклики на это сообщение:

> Какой будет продолжительность полета самолета из
> Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если
> в течение всего полета ветер дует под углом t к трассе со
> скоростью u? Скорость самолета относительно воздуха v, длина
> трассы L. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальная?

--Тут не оговорено способ преодоления сноса самолета ветром:
1. Летчик, желая двигаться по прямой Новосибирск-Москва, делая поправку к курсу (не прямо на Москву). В этом случае замедление пролета по маршруту Новосибирск-Москва будет равно ускорению пролета обратно.
2. Летчик все время держал курс прямо на Москву и по мере сноса менял его.
Тут надо подумать.
--Но пока думаю, что речь идет о первом варианте. Летчики сейчас не дураки!


Очень содержательную задачу предложили Вы, Анастасия. Придется устанавливать потребные формулы нерелятивистской кинематики, чтобы решить данную задачу.
Для удобства произведем замену обозначений таким образом: t–>θ; u–>v; v–>V; L–>l.
Сначала получим формулы, выражающие решение данной задачи, о результате которого уведомил Вас Кирсанов Ю.Я. в своем сообщении №74658 от 11 сентября 2013 г. Рассмотрим случай, когда при полёте от пункта N (Новосибирск) до пункта М (Москва) ветер дует вдоль трассы и является встречным. Для общего случая полёта самолёта против ветра запишем уравнение движения в виде S'=Vt+s, где S' имеет смысл результирующей длины пути самолёта в воздухе, s=vt – часть пути самолёта, компенсирующая снос самолёта ветром назад. Время полёта равно t'1=S'/V. Имеем
t'1=(1+β)t (β=v/V). (1)
При t=l/V формула (1) определяет время полёта самолёта от N до М. Время полёта назад от М до N получим из формулы (1) при изменении в ней знака скорости v на противоположный. Суммарное время полёта туда и назад равно
T'1=2l/V, (2)
как и при отсутствии ветра. Получается, что при движении самолёта по замкнутом пути влияние ветра на полёт в целом полностью компенсируется. Об этом результате и сообщил Кирсанов.
Кроме описанного выше подхода к решению поставленной задачи, который назовем первым, воспользуемся, условно говоря, вторым подходом. Будем исходить из зависимости обратной пропорциональности между относительными скоростью V'2 и временем полёта t'2 при постоянном значении пролетаемого самолётом пути, равному длине трассы l.
t'2V'2=l. (3)
Очевидно, самолёт от N до М против ветра летит относительно трассы со скоростью
V'2=V–v. (4)
Используя (4) в (3), получаем время полёта от N до М
t'2=t/(1–β) (t=l/V). (5)
Фактически здесь, чтобы с необходимостью получилась функция от t, выражение (4) трансформировано к виду
V'2=V(1–β). (6)
Время полёта назад от М до N получим, изменяя в (5) знак скорости v на противоположный. Суммарное время полёта T'2 при втором подходе к решению задачи равно
T'2=2γ2l/V, (7)
где γ=(1–β2)–1/2.
Как видим, для случая направления ветра от М до N при двух подходах (или способах) к решению задачи мы получили разные результаты только из-за того, что при первом из них движение самолёта рассматривали относительно воздуха, а при втором – относительно трассы (то есть поверхности Земли). Отличие формул первого подхода (1), (2) от формул второго подхода (5), (7) означает, что теория решения данной задачи является, как определял на нашем форуме по физике Новичёк, внутренне противоречивой. В данной задаче противоречие между полученными результатами можно устранить, пользуясь выводами математической теории ошибок (погрешностей), применяемой для обработки результатов лабораторных измерений, поскольку различие между несовпадающими результатами количественно является малым. Оно имеет место только при учёте малых величин второго порядка относительно β. Действительно, разлагая в выражении (5) множитель при t в биноминальный ряд, имеем
t'2=t(1+β+β2). (5')
где мы ограничились учетом членов ряда не выше второго порядка. Видим, что результаты (1) и (5) равны в приближении, учитывающем члены не выше первого порядка, а в общем случае отличаются мало. Следовательно, величины (1) и (5) можно рассматривать в качестве двух приближенных значений истинного (точного) времени полёта t'v. Согласно теории ошибок, это истинное значение равно среднему арифметическому приближенных (ошибочных) значений, то есть t'v=t'm=(t'1+t'2)/2. Используя здесь выражения (1) и (5'), получаем
t'm=t(1+β+β2/2). (8)
Можно ради удобства вместо среднего арифметического брать среднее геометрическое. Запишем
t'v=(t'1t'2)1/2=tγ(1+β), (9)
где применены выражения (1) и (5). Поскольку при учёте в разложении фактора γ членов (эффектов) не выше второго порядка приближенно γ=1+β2/2, то (в таком приближении), как легко убедиться, величины (8) и (9) равны между собою. Получив математически правильное выражение (9) для времени полёта от N до М, при помощи замены в этом выражении v–>–v находим время полёта назад от М до N. Суммарное истинное время полёта равно
T'v=2γl/V. (10)
Такое же значение получим, взяв геометрическое среднее приближенных величин (2) и (7). В теории ошибок пользуются понятием абсолютной ошибки приближения. Согласно определению, абсолютные ошибки приближений (2), (7) соответственно равны
ΔT'1=T'v–T'1; ΔT'2=|T'v–T'2|. (11)
При использовании здесь выражений (2), (7) и (10), получаем, что в данной задаче абсолютные ошибки являются эффектом второго порядка
ΔT'1=ΔT'2=ΔT'=β 2l/2V. (12)
Таким образом, в случае направления ветра вдоль трассы продолжительность полёта самолёта туда и обратно определяется формулой (10). Разности (11) описывают не рассматриваемое явление полёта, а характеризуют применяемый математический способ получения результата (10).
Рассмотрим теперь случай, когда скорость ветра направлена перпендикулярно трассе. Определим время полёта самолёта от N до М, обозначив это время через t'3. Воспользуемся мысленно рисунком, изображающим прямоугольный треугольник NMD, в котором катеты суть NM=l и MD=vt'3 – величина сноса самолёта ветром за время полёта, а гипотенуза ND=Vt'3 – длина пути самолёта относительно воздуха. Пользуясь теоремой Пифагора, находим для времени полёта формулу t'3=γl/V. Такое же, очевидно, время полёта назад. Суммарное время полёта в данном случае равно
T'3=2γl/V. (13)
Как видим, оно совпадает со временем (10) для случая ветра, дующего вдоль трассы.
Эти формулы, полученные для двух случаев перпендикулярных друг другу направлений ветра и представляющие ответ на первый вопрос данной задачи, содержат в целом и ответ на второй вопрос задачи. Из них следует заключение, что продолжительность полёта самолёта по замкнутом пути от направления ветра не зависит. Она оказалась изотропной.
Итак, Анастасия, мы разрешили предложенную Вами задачу. При этом, однако, мы применили новый способ решения задачи в связи с установлением противоречия между формулами нерелятивистской кинематики, получаемыми в ходе решения задачи. Противоречие проявляется в том, что в теории решения задачи порождаются ошибки, неточности, которые приходится исправлять. Таким путем устанавливаются формулы нерелятивистской кинематики, отсутствующие в кинематике классической и в то же время не принадлежащие к кинематике релятивистской. Например, для времени полёта в конец трассы получились ошибочные (приближенные) выражения (1) и (5), путем исправления которых найдена точная формула (9). Аналогично для относительной скорости самолёта, кроме получающегося приближенного (ошибочного во втором порядке) значения (6), при использовании в соотношении V'1=l/t'1 выражения (1) получается другое приближенное выражение
V'1=V/(1+β), (14)
а истинное (точное) выражение для скорости находим усреднением значений (6) и (14)
V'v=(V'1V'2)1/2=Vγ(1–β). (15)
Формулы (9), (15) и являются теми правильными формулами нерелятивистской кинематики, которые требуются для непротиворечивого решения данной задачи и ей подобных любым из двух использованных здесь способов. Подтверждением правильности этих формул является тот факт, что они обеспечивают инвариантность соотношения обратной пропорциональности вида (3). Именно в утверждении ранее неизвестных точных формул кинематики, необходимых для решения задач типа рассматриваемой здесь, и состоит новизна примененного нами способа решения.
В виде замечания о важности данной задачи добавим к сказанному о ней следующее. Формулы (7), (13) и вторая (11) при учете в ней имеющего место равенства T'v=T'3 известны в классической теории опыта Майкельсона. Можно, следовательно, считать, что рассмотрения явлений, лежащих в основе как этого опыта, так и в основе решаемой задачи являются задачами однотипными. Мы обнаружили, что имеющиеся решения задач такого типа не удовлетворяют требование единственности решения, не обеспечивают получения единственного результата. Например, кроме традиционного результата (7), обнаружен результат (2). Другими словами, существующая теория решения задач данного типа является внутренне противоречивой. Противоречивость теории проявляется в том, что она порождает ошибки (неточности), или эффекты второго порядка в виде (11), (12). Установление наличия ошибок второго порядка в физической теории не является нашим открытием. Мы пользуемся открытием математика Неванлинны (см. Р. Неванлинна. Пространство, время и относительность (Мир, Москва, 1966)). Он установил принцип (постулат) симметрии преобразований, требующий применять симметричные преобразования. С точки зрения этого принципа, пары приближенных выражений (1), (5) и (6), (14) просто являются несимметричными преобразованиями. Принцип симметрии Неванлинны требует осуществлять симметризацию таких пар преобразований. В результате получаем соответственно точные, симметричные формулы (9) и (15), которые и надлежит применять, чтобы избежать получения ошибок второго порядка. Однако, как стало видно из обсуждения на форуме по физике и на соседнем форуме наших сообщений о наличии ошибок второго порядка в современной теории, факты о существовании таких ошибок не воспринимаются, игнорируются участниками форумов. Очень категорически против утверждения о наличии ошибок в современной физике выступил Хворостенко. Фактически не воспринимается требование математически правильно описывать физические явления. Так что, Анастасия, предложенное выше решение сформулированной Вами задачи, основанное на факте существования в теории ошибок и необходимости их исправления, придется еще защищать. Благо физика есть точная наука, истинное решение будет найдено. Давайте для этого обратимся к физикам с просьбой критически оценить приведенное здесь решение задачи и предложить другие, более совершенные варианты решений. Какие имеются критические замечания по существу выше изложенного?


> > Какой будет продолжительность полета самолета из
> > Новосибирска в Москву и обратно, происходящего по прямой, если
> > в течение всего полета ветер дует под углом t к трассе со
> > скоростью u? Скорость самолета относительно воздуха v, длина
> > трассы L. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальная?

> --Тут не оговорено способ преодоления сноса самолета ветром:
> 1. Летчик, желая двигаться по прямой Новосибирск-Москва, делая поправку к курсу (не прямо на Москву). В этом случае замедление пролета по маршруту Новосибирск-Москва будет равно ускорению пролета обратно.
> 2. Летчик все время держал курс прямо на Москву и по мере сноса менял его.
> Тут надо подумать.
> --Но пока думаю, что речь идет о первом варианте. Летчики сейчас не дураки!

Стоит добавить, что из-за кривизны Земли, прямая Новосибирск-Москва может проходить под землей.
Что делать, ума не приложу :)))


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100