Траектория

Сообщение №73775 от KC 27 июня 2013 г. 20:32
Тема: Траектория

Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.


Отклики на это сообщение:

> Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

А это задача качественная или количественная? Если качественная, то вроде так: когда заряд находится в плоскости , то на него со стороны диполя действует сила поперек плоскости . По мере того, как заряд поднимается (опускается) над плоскостью, на него начинает действовать сила вдоль линии, соединяющей заряд с началом координат, и эта сила тем больше, чем ближе к оси находится заряд.

Задача - с заковыркой? Пока не вижу, но нутром чую, что где-то она есть


> > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> А это задача качественная или количественная? Если качественная, то вроде так: когда заряд находится в плоскости , то на него со стороны диполя действует сила поперек плоскости . По мере того, как заряд поднимается (опускается) над плоскостью, на него начинает действовать сила вдоль линии, соединяющей заряд с началом координат, и эта сила тем больше, чем ближе к оси находится заряд.

> Задача - с заковыркой? Пока не вижу, но нутром чую, что где-то она есть

Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.


> В бюллетене «В защиту науки» помещаются статьи, отобранные редколлегией и другими членами Комиссии РАН по борьбе с лженаукой. В статьях разоблачается псевдо- и антинаучная деятельность некоторых «ученых», наносящая вред развитию науки, здоровью населения, отучающая людей от критического мышления и способствующая распространению зачатков мракобесия в нашей стране. В книгах содержатся достоверные сведения об активности лжеученых и их покровителей. В них в доступной форме рассказывается о том, почему неверны эти «труды» лжеученых и какой вред они наносят государству и отдельным гражданам. В бюллетени включаются также статьи о последних достижениях науки, имеющие важное мировоззренческое значение.
> http://MOI-VZN.narod.ru/
> В частности в последнем номере про "торсионные поля" и "метеорит почти над Челябинском" и "... уже говорят о необходимости распила... пардон, выделения, 58 миллиардов рублей на нужды космической обороны России."
> http://MOI-VZN.narod.ru/VZN_12.PDF

по поводу гравицапы свежая статья главы комиссии по борьбе с лженаукой академика Евгения Александрова Гравицапу запустили в обход Фортова, и он ужасно обиделся


> Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.


> > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.


> > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

Для нулевой начальной скорости, действительно, траектория получается простой. Задача сильно усложняется при отличной от нуля начальной скорости.


> > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> Для нулевой начальной скорости, действительно, траектория получается простой. Задача сильно усложняется при отличной от нуля начальной скорости.
>

Я бы сказал более общё - при нулевой энергии. При данном начальном положении - при нулевой скорости.


> > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > Для нулевой начальной скорости, действительно, траектория получается простой. Задача сильно усложняется при отличной от нуля начальной скорости.
> >

> Я бы сказал более общё - при нулевой энергии. При данном начальном положении - при нулевой скорости.
>

Да, так точнее.


> > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > Для нулевой начальной скорости, действительно, траектория получается простой. Задача сильно усложняется при отличной от нуля начальной скорости.
> >

> Я бы сказал более общё - при нулевой энергии.

Ваша физическая грамотность оставляет желать лучшего.

> При данном начальном положении - при нулевой скорости.

Нулевая скорость не означает нулевой энергии.

>

====================== Отвечаю на стартовое сообщение.

> Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.

Траектория в начале движения сложная, но затем она переходит в прямолинейную.

> Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат.

Еще один наглядный пример физической безграмотности. Что такое диполь? По слогам: ди-поль. Т.е. двойное поле. А еще точнее - поле образованное ДВУМЯ разноименными одинаковыми по величине зарядами. Спрашивается, КАК два вышеобозначенные заряда могут находиться в ОДНОЙ точке пространства, не скомпенсировав друг друга? Это раз.

Второе: момент диполя совершенно точно равен: (где L - вектор, проведенный из отрицательного заряда диполя к положительному) и Вам следовало бы записать .

Третье: что это за вектор такой ??? Это ж каким косномыслием надо обладать, чтобы и составляющую ВЕКТОРА E (который сам по себе в этой задаче как лишний рукав - неизвестно куда пришить) по оси ординат также записать вектором?

> Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

З.Ы. Вот из-за таких "грамотеев" как Вы и приходится уважаемому модератору read периодически размещать статейки наподобие "В защиту науки". Наука вообще, и физика в частности действительно нуждаются в защите. От Вас и Вам подобных.

З.Ы.Ы. Ничего личного. За Державу обидно.


> > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

Попалась интересная штука.

Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.


> > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> Попалась интересная штука.

> Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

> А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.

Ну, для диполя это можно и проще - есть поворотная симметрия лагранжиана относительно оси, вдоль которой расположен дипольный момент, поэтому сохраняется проекция момента количества движения на эту ось (канонический импульс относительно фи-товой координаты). Вообще, эта задача относится к интегрируемым, но данный частный случай много проще и, повторю, может быть решён продвинутым школьником. И дело не в моменте.
И траектория, и закон движения совпадают с таковыми для очень известного объекта.


<сабж>, вынужден прекратить обращать на Вас внимание. Тяжёлую ахинею читать неохота.


> > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > Попалась интересная штука.

> > Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

> > А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.

> Ну, для диполя это можно и проще - есть поворотная симметрия лагранжиана относительно оси, вдоль которой расположен дипольный момент, поэтому сохраняется проекция момента количества движения на эту ось (канонический импульс относительно фи-товой координаты). Вообще, эта задача относится к интегрируемым, но данный частный случай много проще и, повторю, может быть решён продвинутым школьником. И дело не в моменте.
> И траектория, и закон движения совпадают с таковыми для очень известного объекта.

Маятника?


> > > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > > Попалась интересная штука.

> > > Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

> > > А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.

> > Ну, для диполя это можно и проще - есть поворотная симметрия лагранжиана относительно оси, вдоль которой расположен дипольный момент, поэтому сохраняется проекция момента количества движения на эту ось (канонический импульс относительно фи-товой координаты). Вообще, эта задача относится к интегрируемым, но данный частный случай много проще и, повторю, может быть решён продвинутым школьником. И дело не в моменте.
> > И траектория, и закон движения совпадают с таковыми для очень известного объекта.

> Маятника?

Или юлы


> > > > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > > > Попалась интересная штука.

> > > > Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

> > > > А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.

> > > Ну, для диполя это можно и проще - есть поворотная симметрия лагранжиана относительно оси, вдоль которой расположен дипольный момент, поэтому сохраняется проекция момента количества движения на эту ось (канонический импульс относительно фи-товой координаты). Вообще, эта задача относится к интегрируемым, но данный частный случай много проще и, повторю, может быть решён продвинутым школьником. И дело не в моменте.
> > > И траектория, и закон движения совпадают с таковыми для очень известного объекта.

> > Маятника?

> Или юлы

Не знаю, что с форумным движком, но это было мое сообщение.
sleo



> Не знаю, что с форумным движком, но это было мое сообщение.
> sleo
Вы забыли переставить настройки в компе.


> > > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > > Попалась интересная штука.

> > > Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

> > > А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.

> > Ну, для диполя это можно и проще - есть поворотная симметрия лагранжиана относительно оси, вдоль которой расположен дипольный момент, поэтому сохраняется проекция момента количества движения на эту ось (канонический импульс относительно фи-товой координаты). Вообще, эта задача относится к интегрируемым, но данный частный случай много проще и, повторю, может быть решён продвинутым школьником. И дело не в моменте.
> > И траектория, и закон движения совпадают с таковыми для очень известного объекта.

> Маятника?

Ага!


> > > > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > > > Попалась интересная штука.

> > > > Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

> > > > А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.

> > > Ну, для диполя это можно и проще - есть поворотная симметрия лагранжиана относительно оси, вдоль которой расположен дипольный момент, поэтому сохраняется проекция момента количества движения на эту ось (канонический импульс относительно фи-товой координаты). Вообще, эта задача относится к интегрируемым, но данный частный случай много проще и, повторю, может быть решён продвинутым школьником. И дело не в моменте.
> > > И траектория, и закон движения совпадают с таковыми для очень известного объекта.

> > Маятника?

> Ага!

Про маятник я подумал сразу, причем представлял колебательное движение в виде "гармошки", растянутой вдоль оси Х, возможно, с переменной амплитудой. Жаль, что со временем у меня сейчас натяжка, поэтому до чисел не дохожу.


>
> > Не знаю, что с форумным движком, но это было мое сообщение.
> > sleo
> Вы забыли переставить настройки в компе.

Засада была только в графе "Имя". А в этой графе, если правильно не настроена кодировка, отобразится неправильное имя, и сообщение вообще не может быть послано. Знпчит, с кодировкой у меня в компе было все ОК.


> > > > > > > > Эта задача допускает очень чёткий количественный ответ. Понятный "продвинутому" школьнику.

> > > > > > > К сожалению, мой ответ не отобразился. Вкратце: видимо, нужно учесть векторные свойства поля диполя и законы сохранения. Если сразу не "выстрелило", то нужно время.

> > > > > > Ну да, законы сохранения. Получается простой наглядный ответ.

> > > > > Попалась интересная штука.

> > > > > Обобщение теоремы площадей: если направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.

> > > > > А для диполя - это как раз случай, когда направление силы, действующей на материальную точку, проходит все время через неподвижную ось, совпадающую с осью диполя.

> > > > Ну, для диполя это можно и проще - есть поворотная симметрия лагранжиана относительно оси, вдоль которой расположен дипольный момент, поэтому сохраняется проекция момента количества движения на эту ось (канонический импульс относительно фи-товой координаты). Вообще, эта задача относится к интегрируемым, но данный частный случай много проще и, повторю, может быть решён продвинутым школьником. И дело не в моменте.
> > > > И траектория, и закон движения совпадают с таковыми для очень известного объекта.

> > > Маятника?

> > Ага!

> Про маятник я подумал сразу, причем представлял колебательное движение в виде "гармошки", растянутой вдоль оси Х, возможно, с переменной амплитудой. Жаль, что со временем у меня сейчас натяжка, поэтому до чисел не дохожу.

А не надо чисел. За всё в ответе некий интеграл.


> > Вы забыли переставить настройки в компе.
> Засада была только в графе "Имя". А в этой графе, если правильно не настроена кодировка, отобразится неправильное имя, и сообщение вообще не может быть послано. Значит, с кодировкой у меня в компе было все ОК.
Ну не знаю, можно и без 2-х проверку сделать.
тык


> Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.


> > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

Нет никаких точек пересечения. Не надоело еще воду в ступе толочь вместо того чтобы взять и посчитать?


> > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?


> > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

Сегодня вроде будет немного времени, так что думаю, что повожусь. Но если до вечера ответа не будет, то тогда приводите :)

Для интересантов: движение заряда в поле диполя получается интересным и далеко не очевидным. Диполь находится а начале координат, и его ось направлена вдоль оси Y. На оси Х находится заряд (скажем, в точке х=1). Отпускаем заряд, и он начинает двигаться по полуокружности с центром (0,0), и радиусом 1. Он пересекает ось У в точке y=1, затем доходит до точки х=-1 на оси Х, разворачивается, и движется по полуокружности в обратном направлении. Снова пересекает ось Y в точке y=1, затем достигает точки х=1 на оси Х, и все повторяется по новой. Ось Х для такого заряда является "невидимым препятствием", которое он не может перейти, и поэтому периодическое движение происходит в одной полуплоскости.


> > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.


> > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.


> > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?


> > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> > Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

> Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?

Пардон, разве для маятника составляющая вдоль радиуса-вектора что-то меняет? Вот уравнение:

(пишу потому, что в "полной" - в отсутствие специфичнских начальных условий - задаче о диполе удобно пользоваться сферической СК с осью вдоль , но если хотите, пишите ). Неизменность длины радиуса-вектора - это всего лишь "связь" (можно, конечно, выписывать баланс проекции силы тяжести и натяжения нити, но к чему?), а движение определяется тангенциальной силой. Для исходной задачи всё будет аналогично (при указанных начальных условиях), только вместо возникнет .
"Эффективная" потенциальная энергия заряда в поле диполя аналогична потенциальной энергии математического маятника - из-за "связи". И всё.


> > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > > > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> > > Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

> > Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?

> Пардон, разве для маятника составляющая вдоль радиуса-вектора что-то меняет? Вот уравнение:
>
> (пишу потому, что в "полной" - в отсутствие специфичнских начальных условий - задаче о диполе удобно пользоваться сферической СК с осью вдоль , но если хотите, пишите ). Неизменность длины радиуса-вектора - это всего лишь "связь" (можно, конечно, выписывать баланс проекции силы тяжести и натяжения нити, но к чему?), а движение определяется тангенциальной силой. Для исходной задачи всё будет аналогично (при указанных начальных условиях), только вместо возникнет .

Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

> "Эффективная" потенциальная энергия заряда в поле диполя аналогична потенциальной энергии математического маятника - из-за "связи". И всё.


> > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > > > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > > > > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> > > > Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

> > > Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?

> > Пардон, разве для маятника составляющая вдоль радиуса-вектора что-то меняет? Вот уравнение:
> >
> > (пишу потому, что в "полной" - в отсутствие специфичнских начальных условий - задаче о диполе удобно пользоваться сферической СК с осью вдоль , но если хотите, пишите ). Неизменность длины радиуса-вектора - это всего лишь "связь" (можно, конечно, выписывать баланс проекции силы тяжести и натяжения нити, но к чему?), а движение определяется тангенциальной силой. Для исходной задачи всё будет аналогично (при указанных начальных условиях), только вместо возникнет .

> Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

Движение математического маятника происходит под действием двух сил - тяжести и натяжения верёвки (и именно две силы определяют "искривление" траектории). А в исходной задаче за всё отвечает одно электрическое поле диполя. Если я "знаю", что длина радиуса-вектора неизменна, то мне для аналогии достаточно анализировать только тангенциальную составляющую силы. Для маятника в неё даёт вклад только тяжесть, поэтому для аналогии достаточно того, что я написал ниже:

> > "Эффективная" потенциальная энергия заряда в поле диполя аналогична потенциальной энергии математического маятника - из-за "связи". И всё.

Ваша проблема в том, что указанное свойство у маятника Вы знаете, а у диполя пока нет...



> >Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> >Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.


> Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

Без рисунка мне тяжело понять о чём тут вообще говорится, но если полуокружность не есть решение проблемы предлагаю взамен циклоиду.
"Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной,рулеттой)"

PS. Почему вообще заряд должен реагировать на нейтральный диполь?

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0


>
> > >Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > >Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> > Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> > В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

> Без рисунка мне тяжело понять о чём тут вообще говорится, но если полуокружность не есть решение проблемы предлагаю взамен циклоиду.

Это пусть sleo отвечает...

> "Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной,рулеттой)"

> PS. Почему вообще заряд должен реагировать на нейтральный диполь?

Какой такой нейтральный диполь? Сказано же, поле создаёт диполь с моментом . Чего ещё надо?


> > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > > > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > > > > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > > > > > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> > > > > Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

> > > > Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?

> > > Пардон, разве для маятника составляющая вдоль радиуса-вектора что-то меняет? Вот уравнение:
> > >
> > > (пишу потому, что в "полной" - в отсутствие специфичнских начальных условий - задаче о диполе удобно пользоваться сферической СК с осью вдоль , но если хотите, пишите ). Неизменность длины радиуса-вектора - это всего лишь "связь" (можно, конечно, выписывать баланс проекции силы тяжести и натяжения нити, но к чему?), а движение определяется тангенциальной силой. Для исходной задачи всё будет аналогично (при указанных начальных условиях), только вместо возникнет .

> > Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> > В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

> Движение математического маятника происходит под действием двух сил - тяжести и натяжения верёвки (и именно две силы определяют "искривление" траектории). А в исходной задаче за всё отвечает одно электрическое поле диполя. Если я "знаю", что длина радиуса-вектора неизменна, то мне для аналогии достаточно анализировать только тангенциальную составляющую силы. Для маятника в неё даёт вклад только тяжесть, поэтому для аналогии достаточно того, что я написал ниже:

> > > "Эффективная" потенциальная энергия заряда в поле диполя аналогична потенциальной энергии математического маятника - из-за "связи". И всё.

> Ваша проблема в том, что указанное свойство у маятника Вы знаете, а у диполя пока нет...

Я напомню, что "одно электрическое поле диполя" не направлено в общем случае вдоль траектории. Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим. Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.


>
> > >Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > >Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> > Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> > В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

> PS. Почему вообще заряд должен реагировать на нейтральный диполь?

Какой нейтральный диполь? У диполя дипольный момент отличен от 0, и то, что его суммарный заряд 0 не означает, что эл.поля у диполя нет.


> > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > > > > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > > > > > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > > > > > > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> > > > > > Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

> > > > > Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?

> > > > Пардон, разве для маятника составляющая вдоль радиуса-вектора что-то меняет? Вот уравнение:
> > > >
> > > > (пишу потому, что в "полной" - в отсутствие специфичнских начальных условий - задаче о диполе удобно пользоваться сферической СК с осью вдоль , но если хотите, пишите ). Неизменность длины радиуса-вектора - это всего лишь "связь" (можно, конечно, выписывать баланс проекции силы тяжести и натяжения нити, но к чему?), а движение определяется тангенциальной силой. Для исходной задачи всё будет аналогично (при указанных начальных условиях), только вместо возникнет .

> > > Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> > > В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

> > Движение математического маятника происходит под действием двух сил - тяжести и натяжения верёвки (и именно две силы определяют "искривление" траектории). А в исходной задаче за всё отвечает одно электрическое поле диполя. Если я "знаю", что длина радиуса-вектора неизменна, то мне для аналогии достаточно анализировать только тангенциальную составляющую силы. Для маятника в неё даёт вклад только тяжесть, поэтому для аналогии достаточно того, что я написал ниже:

> > > > "Эффективная" потенциальная энергия заряда в поле диполя аналогична потенциальной энергии математического маятника - из-за "связи". И всё.

> > Ваша проблема в том, что указанное свойство у маятника Вы знаете, а у диполя пока нет...

> Я напомню, что "одно электрическое поле диполя" не направлено в общем случае вдоль траектории.

Вынужден напомнить Вам, что суммарная сила тяжести и натяжения верёвки для маятника не направлена вдоль траектории. Если, разумеется, маятник не неподвижен.

> Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".


> > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > > > > > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > > > > > > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > > > > > > > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> > > > > > > Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

> > > > > > Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?

> > > > > Пардон, разве для маятника составляющая вдоль радиуса-вектора что-то меняет? Вот уравнение:
> > > > >
> > > > > (пишу потому, что в "полной" - в отсутствие специфичнских начальных условий - задаче о диполе удобно пользоваться сферической СК с осью вдоль , но если хотите, пишите ). Неизменность длины радиуса-вектора - это всего лишь "связь" (можно, конечно, выписывать баланс проекции силы тяжести и натяжения нити, но к чему?), а движение определяется тангенциальной силой. Для исходной задачи всё будет аналогично (при указанных начальных условиях), только вместо возникнет .

> > > > Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> > > > В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

> > > Движение математического маятника происходит под действием двух сил - тяжести и натяжения верёвки (и именно две силы определяют "искривление" траектории). А в исходной задаче за всё отвечает одно электрическое поле диполя. Если я "знаю", что длина радиуса-вектора неизменна, то мне для аналогии достаточно анализировать только тангенциальную составляющую силы. Для маятника в неё даёт вклад только тяжесть, поэтому для аналогии достаточно того, что я написал ниже:

> > > > > "Эффективная" потенциальная энергия заряда в поле диполя аналогична потенциальной энергии математического маятника - из-за "связи". И всё.

> > > Ваша проблема в том, что указанное свойство у маятника Вы знаете, а у диполя пока нет...

> > Я напомню, что "одно электрическое поле диполя" не направлено в общем случае вдоль траектории.

> Вынужден напомнить Вам, что суммарная сила тяжести и натяжения верёвки для маятника не направлена вдоль траектории. Если, разумеется, маятник не неподвижен.

> > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

Да, это правда.

> > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

Спасибо, завтра с утра обсудим.



> > PS. Почему вообще заряд должен реагировать на нейтральный диполь?

> Какой такой нейтральный диполь? Сказано же, поле создаёт диполь с моментом . Чего ещё надо?

Ага, рассматривается поведение заряда в самой близи диполя
"Напряженность поля диполя в произвольной точке А пространства определяется формулой 16.5"
Поле диполя

http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%A2%D0%BE%D0%BA/01-5.htm


> > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > > > > > > > > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > > > > > > > > > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> > > > > > > > > Если без интегрирования, то можно рассмотреть частный случай, когда масса заряженной частицы принимает определенное значение, и рассматривается не подъем, а спуск частицы по полуокружности. Тогда получается полная аналогия с маятником, но без жесткой связи.

> > > > > > > > Нет. Достотчно поставленных ограничений, ответ сохраняется при любых массе и заряде движущейся частицы.

> > > > > > > Немного странно. Ведь составляющие напряженности поля диполя по направлениям полярных координат в "неугловой" части (отбрасывая синус-косинус) отличаются ровно вдвое (вдоль радиус-вектора "неугловая" часть больше в два раза перпендикулярной к радиус-вектору). С другой стороны, для маятника эти "неугловые" части равны. Как тогда совместить движение заряда и маятника?

> > > > > > Пардон, разве для маятника составляющая вдоль радиуса-вектора что-то меняет? Вот уравнение:
> > > > > >
> > > > > > (пишу потому, что в "полной" - в отсутствие специфичнских начальных условий - задаче о диполе удобно пользоваться сферической СК с осью вдоль , но если хотите, пишите ). Неизменность длины радиуса-вектора - это всего лишь "связь" (можно, конечно, выписывать баланс проекции силы тяжести и натяжения нити, но к чему?), а движение определяется тангенциальной силой. Для исходной задачи всё будет аналогично (при указанных начальных условиях), только вместо возникнет .

> > > > > Не понял. Тангенциальная сила ускоряет маятник вдоль движения, но траектория ведь - не прямая, и ее нужно "изогнуть". Поэтому обязательно должна быть "изгибающая" поперечная сила, и эта сила должна быть "правильной" в том смысле, что изгиб траектории должен дать строгую окружность. У маятника ц.с. ускорение отлично от 0, и оно равно (с точностью до знака) .
> > > > > В Ваше уравнение входит ускорение , т.е. "амплитуды" у этих ускорений одинаковы; "амплитуда" . А вот для заряда в поле диполя "амплитуды" ускорений отличаются в два раза, поэтому искривляться траектория будет иначе, чем для маятника.

> > > > Движение математического маятника происходит под действием двух сил - тяжести и натяжения верёвки (и именно две силы определяют "искривление" траектории). А в исходной задаче за всё отвечает одно электрическое поле диполя. Если я "знаю", что длина радиуса-вектора неизменна, то мне для аналогии достаточно анализировать только тангенциальную составляющую силы. Для маятника в неё даёт вклад только тяжесть, поэтому для аналогии достаточно того, что я написал ниже:

> > > > > > "Эффективная" потенциальная энергия заряда в поле диполя аналогична потенциальной энергии математического маятника - из-за "связи". И всё.

> > > > Ваша проблема в том, что указанное свойство у маятника Вы знаете, а у диполя пока нет...

> > > Я напомню, что "одно электрическое поле диполя" не направлено в общем случае вдоль траектории.

> > Вынужден напомнить Вам, что суммарная сила тяжести и натяжения верёвки для маятника не направлена вдоль траектории. Если, разумеется, маятник не неподвижен.

> > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> Да, это правда.

> > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> Спасибо, завтра с утра обсудим.

Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.


>
> > > PS. Почему вообще заряд должен реагировать на нейтральный диполь?

> > Какой такой нейтральный диполь? Сказано же, поле создаёт диполь с моментом . Чего ещё надо?

> Ага, рассматривается поведение заряда в самой близи диполя
> "Напряженность поля диполя в произвольной точке А пространства определяется формулой 16.5"
> Поле диполя

Как раз нет, вдали.
Если рассматривать диполь как совокупность двух конечных противоположных зарядов, находящихся на конечном же расстоянии друг от друга, то именно вдали от них (на расстояниях, много больших расстояния в паре) электрическое поле можно представить в виде ряда по убывающим степеням этого расстояния , так что в некотором приближении можно оставлять только первый член. В этом приближении и решается задача. По факту используется модель "точечного" диполя.
Точечный диполь - это то, что создаёт только поле . Можно считать, что по определению это такой объект, который создаёт электрическое поле с потенциалом ().
Его можно мыслить как предел системы двух зарядов, в которой абсолютная величина зарядов стремится к бесконечности, расстояние между ними к нулю, а произведение этих величин - к константе . С точки зрения математики точечный диполь в точке - это нечто с плотностью заряда (ср. с т.н. точечным зарядом, у которого плотность ).


> > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.


> У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.


> > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

Чтобы увидеть рисунки, нужно "кликнуть" по заголовку сообщения. Так получилось


> > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.


> > > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> > Да, это правда.

> > > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.

Проверил, является ли интегралом движения. Взял производную по времени. Одно слагаемое дает удвоенную кин.энергию (для единичной массы). Для второго слагаемого (скалярное произведение ускорения на радиус-вектор) вначале было неочевидно, что оно выражается через потенциальную энергию, но когда расписал поле в векторном виде, то получил, что имеем удвоенную потенциальную энергию. Поэтому формула, приведенная Вами ниже, работает, а для этой задачи значение интеграла движения =0 задано в начальной точке, значит, это равенство сохраняется во всех точках. Отсюда автоматом следует, что скорость всегда перпендикулярна радиус-вектору, значит, движение - по окружности (в данной задаче - по полуокружности). Красиво!

> > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > Спасибо, завтра с утра обсудим.

> Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.

То, что пишет "Федор", тоже правильно, но не так изящно. Меня тангенциальные и нормальные ускорения интересовали в том смысле, что я хотел получить полный аналог движения заряда в поле диполя и движения маятника в грав.поле. Этого по условию задачи не требовалось, ибо требовалось получить движение по окружности, подобное движению маятника, а не полное совпадение движений. И, конечно, мое замечание о том, что между тангенциальным и нормальным ускорением должна быть связь как у маятника, не верно. Маятник - это одна из возможных реализаций движения с постоянным радиусом, и эта возможность никак не должна выделяться.


> > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> > > > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > > > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> > > Да, это правда.

> > > > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.

> Проверил, является ли интегралом движения. Взял производную по времени. Одно слагаемое дает удвоенную кин.энергию (для единичной массы). Для второго слагаемого (скалярное произведение ускорения на радиус-вектор) вначале было неочевидно, что оно выражается через потенциальную энергию, но когда расписал поле в векторном виде, то получил, что имеем удвоенную потенциальную энергию. Поэтому формула, приведенная Вами ниже, работает, а для этой задачи значение интеграла движения =0 задано в начальной точке, значит, это равенство сохраняется во всех точках. Отсюда автоматом следует, что скорость всегда перпендикулярна радиус-вектору, значит, движение - по окружности (в данной задаче - по полуокружности). Красиво!

> > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > Спасибо, завтра с утра обсудим.

> > Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.

> То, что пишет "Федор", тоже правильно, но не так изящно. Меня тангенциальные и нормальные ускорения интересовали в том смысле, что я хотел получить полный аналог движения заряда в поле диполя и движения маятника в грав.поле. Этого по условию задачи не требовалось, ибо требовалось получить движение по окружности, подобное движению маятника, а не полное совпадение движений. И, конечно, мое замечание о том, что между тангенциальным и нормальным ускорением должна быть связь как у маятника, не верно. Маятник - это одна из возможных реализаций движения с постоянным радиусом, и эта возможность никак не должна выделяться.

Прошу прощения, но с моей точки зрения аналогия полная. Да, она имеет место только для движения по полуокружности (у маятника, понятно, есть как более, так и менее "размашистые" колебания), но в этом случае совпадают не только траектории, но и скорости (и ускорения) в каждой точке траектории. Иными словами, наблюдая колебания, мы не сможем увидеть разницы. И периоды идентичны.


> > > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> >
> > > > > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > > > > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> > > > Да, это правда.

> > > > > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.

> > Проверил, является ли интегралом движения. Взял производную по времени. Одно слагаемое дает удвоенную кин.энергию (для единичной массы). Для второго слагаемого (скалярное произведение ускорения на радиус-вектор) вначале было неочевидно, что оно выражается через потенциальную энергию, но когда расписал поле в векторном виде, то получил, что имеем удвоенную потенциальную энергию. Поэтому формула, приведенная Вами ниже, работает, а для этой задачи значение интеграла движения =0 задано в начальной точке, значит, это равенство сохраняется во всех точках. Отсюда автоматом следует, что скорость всегда перпендикулярна радиус-вектору, значит, движение - по окружности (в данной задаче - по полуокружности). Красиво!

> > > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > > Спасибо, завтра с утра обсудим.

> > > Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.

> > То, что пишет "Федор", тоже правильно, но не так изящно. Меня тангенциальные и нормальные ускорения интересовали в том смысле, что я хотел получить полный аналог движения заряда в поле диполя и движения маятника в грав.поле. Этого по условию задачи не требовалось, ибо требовалось получить движение по окружности, подобное движению маятника, а не полное совпадение движений. И, конечно, мое замечание о том, что между тангенциальным и нормальным ускорением должна быть связь как у маятника, не верно. Маятник - это одна из возможных реализаций движения с постоянным радиусом, и эта возможность никак не должна выделяться.

> Прошу прощения, но с моей точки зрения аналогия полная. Да, она имеет место только для движения по полуокружности (у маятника, понятно, есть как более, так и менее "размашистые" колебания), но в этом случае совпадают не только траектории, но и скорости (и ускорения) в каждой точке траектории. Иными словами, наблюдая колебания, мы не сможем увидеть разницы. И периоды идентичны.

Если взять угол 45 градусов, то для маятника радиальное и тангенциальное ускорения по величине совпадут. А для заряда тоже совпадут?


> > > > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > >
> > > > > > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > > > > > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> > > > > Да, это правда.

> > > > > > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > > > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.

> > > Проверил, является ли интегралом движения. Взял производную по времени. Одно слагаемое дает удвоенную кин.энергию (для единичной массы). Для второго слагаемого (скалярное произведение ускорения на радиус-вектор) вначале было неочевидно, что оно выражается через потенциальную энергию, но когда расписал поле в векторном виде, то получил, что имеем удвоенную потенциальную энергию. Поэтому формула, приведенная Вами ниже, работает, а для этой задачи значение интеграла движения =0 задано в начальной точке, значит, это равенство сохраняется во всех точках. Отсюда автоматом следует, что скорость всегда перпендикулярна радиус-вектору, значит, движение - по окружности (в данной задаче - по полуокружности). Красиво!

> > > > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > > > Спасибо, завтра с утра обсудим.

> > > > Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.

> > > То, что пишет "Федор", тоже правильно, но не так изящно. Меня тангенциальные и нормальные ускорения интересовали в том смысле, что я хотел получить полный аналог движения заряда в поле диполя и движения маятника в грав.поле. Этого по условию задачи не требовалось, ибо требовалось получить движение по окружности, подобное движению маятника, а не полное совпадение движений. И, конечно, мое замечание о том, что между тангенциальным и нормальным ускорением должна быть связь как у маятника, не верно. Маятник - это одна из возможных реализаций движения с постоянным радиусом, и эта возможность никак не должна выделяться.

> > Прошу прощения, но с моей точки зрения аналогия полная. Да, она имеет место только для движения по полуокружности (у маятника, понятно, есть как более, так и менее "размашистые" колебания), но в этом случае совпадают не только траектории, но и скорости (и ускорения) в каждой точке траектории. Иными словами, наблюдая колебания, мы не сможем увидеть разницы. И периоды идентичны.

> Если взять угол 45 градусов, то для маятника радиальное и тангенциальное ускорения по величине совпадут. А для заряда тоже совпадут?

Так, это в статике. В динамике это не так, так что это замечание снимаю.


> > > > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > >
> > > > > > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > > > > > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> > > > > Да, это правда.

> > > > > > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > > > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.

> > > Проверил, является ли интегралом движения. Взял производную по времени. Одно слагаемое дает удвоенную кин.энергию (для единичной массы). Для второго слагаемого (скалярное произведение ускорения на радиус-вектор) вначале было неочевидно, что оно выражается через потенциальную энергию, но когда расписал поле в векторном виде, то получил, что имеем удвоенную потенциальную энергию. Поэтому формула, приведенная Вами ниже, работает, а для этой задачи значение интеграла движения =0 задано в начальной точке, значит, это равенство сохраняется во всех точках. Отсюда автоматом следует, что скорость всегда перпендикулярна радиус-вектору, значит, движение - по окружности (в данной задаче - по полуокружности). Красиво!

> > > > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > > > Спасибо, завтра с утра обсудим.

> > > > Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.

> > > То, что пишет "Федор", тоже правильно, но не так изящно. Меня тангенциальные и нормальные ускорения интересовали в том смысле, что я хотел получить полный аналог движения заряда в поле диполя и движения маятника в грав.поле. Этого по условию задачи не требовалось, ибо требовалось получить движение по окружности, подобное движению маятника, а не полное совпадение движений. И, конечно, мое замечание о том, что между тангенциальным и нормальным ускорением должна быть связь как у маятника, не верно. Маятник - это одна из возможных реализаций движения с постоянным радиусом, и эта возможность никак не должна выделяться.

> > Прошу прощения, но с моей точки зрения аналогия полная. Да, она имеет место только для движения по полуокружности (у маятника, понятно, есть как более, так и менее "размашистые" колебания), но в этом случае совпадают не только траектории, но и скорости (и ускорения) в каждой точке траектории. Иными словами, наблюдая колебания, мы не сможем увидеть разницы. И периоды идентичны.

> Если взять угол 45 градусов, то для маятника радиальное и тангенциальное ускорения по величине совпадут. А для заряда тоже совпадут?

Я же привёл уравнение для угла. Оно одинаковое. Не хотите для угла - посмотрите для энергии. Скорость как функция угла одинаковая.

А теперь по поводу Вашего утверждения. С чего Вы взяли, что для угла в 45 градусов ускорения совпадают? Давайте считать. Скорость маятника в этот момент (если движение начиналось из 90 градусов) по закону сохранения энергии , поэтому радиальное ускорение . В тангенциальное даёт вклад только тяжесть, поэтому оно , т.е. в два раза меньше. А теперь считайте для диполя.
Вы, по-видимому, не учитываете натяжение верёвки (хотя на его наличие я указывал не один раз). А посмотрите на нижнюю точку траектории - со стороны диполя действует притягивающая сила, а у маятника здесь тяжесть отталкивает грузик от точки подвеса. И что?


> > > > > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > >
> > > > > > > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > > > > > > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> > > > > > Да, это правда.

> > > > > > > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > > > > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.

> > > > Проверил, является ли интегралом движения. Взял производную по времени. Одно слагаемое дает удвоенную кин.энергию (для единичной массы). Для второго слагаемого (скалярное произведение ускорения на радиус-вектор) вначале было неочевидно, что оно выражается через потенциальную энергию, но когда расписал поле в векторном виде, то получил, что имеем удвоенную потенциальную энергию. Поэтому формула, приведенная Вами ниже, работает, а для этой задачи значение интеграла движения =0 задано в начальной точке, значит, это равенство сохраняется во всех точках. Отсюда автоматом следует, что скорость всегда перпендикулярна радиус-вектору, значит, движение - по окружности (в данной задаче - по полуокружности). Красиво!

> > > > > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > > > > Спасибо, завтра с утра обсудим.

> > > > > Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.

> > > > То, что пишет "Федор", тоже правильно, но не так изящно. Меня тангенциальные и нормальные ускорения интересовали в том смысле, что я хотел получить полный аналог движения заряда в поле диполя и движения маятника в грав.поле. Этого по условию задачи не требовалось, ибо требовалось получить движение по окружности, подобное движению маятника, а не полное совпадение движений. И, конечно, мое замечание о том, что между тангенциальным и нормальным ускорением должна быть связь как у маятника, не верно. Маятник - это одна из возможных реализаций движения с постоянным радиусом, и эта возможность никак не должна выделяться.

> > > Прошу прощения, но с моей точки зрения аналогия полная. Да, она имеет место только для движения по полуокружности (у маятника, понятно, есть как более, так и менее "размашистые" колебания), но в этом случае совпадают не только траектории, но и скорости (и ускорения) в каждой точке траектории. Иными словами, наблюдая колебания, мы не сможем увидеть разницы. И периоды идентичны.

> > Если взять угол 45 градусов, то для маятника радиальное и тангенциальное ускорения по величине совпадут. А для заряда тоже совпадут?

> Я же привёл уравнение для угла. Оно одинаковое. Не хотите для угла - посмотрите для энергии. Скорость как функция угла одинаковая.

> А теперь по поводу Вашего утверждения. С чего Вы взяли, что для угла в 45 градусов ускорения совпадают? Давайте считать. Скорость маятника в этот момент (если движение начиналось из 90 градусов) по закону сохранения энергии , поэтому радиальное ускорение . В тангенциальное даёт вклад только тяжесть, поэтому оно , т.е. в два раза меньше. А теперь считайте для диполя.
> Вы, по-видимому, не учитываете натяжение верёвки (хотя на его наличие я указывал не один раз). А посмотрите на нижнюю точку траектории - со стороны диполя действует притягивающая сила, а у маятника здесь тяжесть отталкивает грузик от точки подвеса. И что?

Уже поправил


> > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

Начальная скорость вдоль оси Y?

Вы уже аналогичную задачу ставили пару лет назад, но отклика тогда она не вызвала...
http://physics-animations.com/rusboard/themes/56181.html

Кстати, я порылся и нашел пару англоязычных статей на эту тему. Но Вы их, наверное, знаете.


> > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > Если в начальный момент скорость заряда 0, то движение заряда будет происходить в плоскости ХУ (или Z=0). Ось Х, поперечная оси (моменту) диполя, является эквипотенциальной линией поля диполя. Значит, если заряд заряд через некоторе время после начала движения окажется на оси Х ("с другой стороны"), то его скорость опять должна стать =0, и все должно повториться. Конечно, точки пересечения траектории с осью Х не обязательно "заморожены", но это нужно считать.

> > Да, конечно, движение будет в плоскости, и это движение будет периодическим туда-сюда. Это можно показать из достаточно общих соображений. Но то, что траектория является полуокружностью (как у математического маятника, отклонённого на "пи-пополам"), следует из наличия некоторого специфического интеграла. Его вполне может увидеть "продвинутый" школьник (если будет знать, что искать), так что задача решается без интегрирования уравнений движения. Привести или сами ещё подумаете?

> Сегодня вроде будет немного времени, так что думаю, что повожусь. Но если до вечера ответа не будет, то тогда приводите :)

То Мы милостиво разрешаем тебе разжевать и положить Нам в рот.

> Для интересантов: движение заряда в поле диполя получается интересным и далеко не очевидным. Диполь находится а начале координат, и его ось направлена вдоль оси Y. На оси Х находится заряд (скажем, в точке х=1). Отпускаем заряд, и он начинает двигаться по полуокружности с центром (0,0), и радиусом 1.

Привязанный на ниточке?

> Он пересекает ось У в точке y=1, затем доходит до точки х=-1 на оси Х, разворачивается, и движется по полуокружности в обратном направлении.

Дорогой филолог! Изучение науки физики Вам категорически противопоказано ввиду напрочь отсутствующего аналитического мышления. Даже зачатков оного у Вас в упор не наблюдаю.

При неравномерном движении по окружности радиус-вектор у Вас, оказывается, по модулю не меняется. Очень, мягко говоря, странно, учитывая что сила воздействия диполя убывает обратно пропорционально кубу расстояния, центробежная сила (у Вас) изменяется в широких пределах от 0 к некоторому значению, а пробный заряд является свободным (не привязанным на ниточке).

> Снова пересекает ось Y в точке y=1, затем достигает точки х=1 на оси Х, и все повторяется по новой. Ось Х для такого заряда является "невидимым препятствием", которое он не может перейти, и поэтому периодическое движение происходит в одной полуплоскости.

Бросайте это дело. Это не Ваше. Займитесь лучше фенЖуем.


> > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> >
> > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

> Начальная скорость вдоль оси Y?
Да, начальная скорость направлена вдоль оси Y, как и вектор напряженности в точке старта.
> Вы уже аналогичную задачу ставили пару лет назад, но отклика тогда она не вызвала...
> http://physics-animations.com/rusboard/themes/56181.html
Да не пару лет, оказывается, более 4-х лет назад. Спасибо за ссылку.
> Кстати, я порылся и нашел пару англоязычных статей на эту тему. Но Вы их, наверное, знаете.
Скорее всего, нет. Интерес к задаче был очень коротким. Если не затруднит, вышлите ссылочки. Всего хорошего.


> > Кстати, я порылся и нашел пару англоязычных статей на эту тему. Но Вы их, наверное, знаете.

> Скорее всего, нет. Интерес к задаче был очень коротким. Если не затруднит, вышлите ссылочки. Всего хорошего.


Using computer algebra to investigate the motion of an electric charge in magnetic and electric dipole fields

Motion of a Point Charge near an Electric Dipole

В первой ссылке, к сожалению, только одна страница для просмотра, остальные - платные. Если у кого есть бесплатный доступ - мне было бы интересно взглянуть.
Вторая статья - полностью.
Enjoy!


> > > Кстати, я порылся и нашел пару англоязычных статей на эту тему. Но Вы их, наверное, знаете.

> > Скорее всего, нет. Интерес к задаче был очень коротким. Если не затруднит, вышлите ссылочки. Всего хорошего.

>
> Using computer algebra to investigate the motion of an electric charge in magnetic and electric dipole fields

> Motion of a Point Charge near an Electric Dipole

> В первой ссылке, к сожалению, только одна страница для просмотра, остальные - платные. Если у кого есть бесплатный доступ - мне было бы интересно взглянуть.
> Вторая статья - полностью.
> Enjoy!

Спасибо!


> Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.
Вот мне интересно Эдуард, зачем тебе столько имён?


> > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

Из рисунка следует, что ось Х "отражает" заряженную частицу, как и в случае V=0. Необходимым условием отражения является перемена знака Y-компоненты скорости, т.е. Y-компонента скорости в точке отражения должна зануляться. Т.к. ось Х - это линия нулевого потенциала, а полная энергия сохраняется, то при V=/=0 модуль скорости тоже должен быть ненулевым на оси Х, значит, при отражении от оси Х должна быть ненулевая Х-компонента скорости. На рисунке изображена траектория, которая "расширяется" вдоль оси Х, что согласуется с наличием Х-компоненты скорости в области оси Х. Однако движение частицы в этой области должно осуществляться приблизительно вдоль оси Х, т.е. там не должно быть острых зубцов, как мы видим на рисунке. Как это можно объяснить?


> Как это можно объяснить?

Как можно объяснить траектории устойчивых трасс спутникоов GPS и высокоэллиптических?
СМ. сообщение:
http://physics-animations.com/matboard/messages/40395.html


> > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> >
> > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

>

> Из рисунка следует, что ось Х "отражает" заряженную частицу, как и в случае V=0. Необходимым условием отражения является перемена знака Y-компоненты скорости, т.е. Y-компонента скорости в точке отражения должна зануляться. Т.к. ось Х - это линия нулевого потенциала, а полная энергия сохраняется, то при V=/=0 модуль скорости тоже должен быть ненулевым на оси Х, значит, при отражении от оси Х должна быть ненулевая Х-компонента скорости. На рисунке изображена траектория, которая "расширяется" вдоль оси Х, что согласуется с наличием Х-компоненты скорости в области оси Х. Однако движение частицы в этой области должно осуществляться приблизительно вдоль оси Х, т.е. там не должно быть острых зубцов, как мы видим на рисунке. Как это можно объяснить?

Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.
Уравнение, которое записал выше КС, легко интегрируется. Удобно разложить вектор скорости на радиальную и "угловую" составляющие. Далее легко находится зависимость радиус-вектора и радиальной скорости от времени. Закон сохранения энергии дает уравнение для "угловой" составляющей скорости. Приравнивая ее нулю, находим точки разворота. Анализ увлекательный, но сейчас полно дел.
Почти на все старые вопросы http://physics-animations.com/rusboard/themes/56181.html
ответы угадываются. Но вот интересно, есть ли для дипольного поля интеграл движения в общем случае, когда энергия заряженной частицы отлична от нуля? Может быть, КС поможет?


> > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > >
> > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

> >

> > Из рисунка следует, что ось Х "отражает" заряженную частицу, как и в случае V=0. Необходимым условием отражения является перемена знака Y-компоненты скорости, т.е. Y-компонента скорости в точке отражения должна зануляться. Т.к. ось Х - это линия нулевого потенциала, а полная энергия сохраняется, то при V=/=0 модуль скорости тоже должен быть ненулевым на оси Х, значит, при отражении от оси Х должна быть ненулевая Х-компонента скорости. На рисунке изображена траектория, которая "расширяется" вдоль оси Х, что согласуется с наличием Х-компоненты скорости в области оси Х. Однако движение частицы в этой области должно осуществляться приблизительно вдоль оси Х, т.е. там не должно быть острых зубцов, как мы видим на рисунке. Как это можно объяснить?

> Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.

Честно говоря, мне аналогично sleo непонятен эффект отражения именно от оси Х.

> Уравнение, которое записал выше КС, легко интегрируется. Удобно разложить вектор скорости на радиальную и "угловую" составляющие. Далее легко находится зависимость радиус-вектора и радиальной скорости от времени. Закон сохранения энергии дает уравнение для "угловой" составляющей скорости. Приравнивая ее нулю, находим точки разворота. Анализ увлекательный, но сейчас полно дел.
> Почти на все старые вопросы http://physics-animations.com/rusboard/themes/56181.html
> ответы угадываются. Но вот интересно, есть ли для дипольного поля интеграл движения в общем случае, когда энергия заряженной частицы отлична от нуля? Может быть, КС поможет?

Кажется, есть. Но надо искать.
Но, с другой стороны, функции, явно зависящие от времени, тоже иногда называют интегралами движения, тогда вполне себе интеграл. Проблема, конечно, в том, что он определяет гиперповерхность в расширенном фазовом просранстве.
Опять-таки мы можем явно найти в сферической СК, исключить из энергии с помощью сохраняющейся компоненты момента импульса, и тогда из энергии имеем (правда, неавтономное) уравнение первого порядка для .


> > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > >
> > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

> >

> > Из рисунка следует, что ось Х "отражает" заряженную частицу, как и в случае V=0. Необходимым условием отражения является перемена знака Y-компоненты скорости, т.е. Y-компонента скорости в точке отражения должна зануляться. Т.к. ось Х - это линия нулевого потенциала, а полная энергия сохраняется, то при V=/=0 модуль скорости тоже должен быть ненулевым на оси Х, значит, при отражении от оси Х должна быть ненулевая Х-компонента скорости. На рисунке изображена траектория, которая "расширяется" вдоль оси Х, что согласуется с наличием Х-компоненты скорости в области оси Х. Однако движение частицы в этой области должно осуществляться приблизительно вдоль оси Х, т.е. там не должно быть острых зубцов, как мы видим на рисунке. Как это можно объяснить?

> Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.
> Уравнение, которое записал выше КС, легко интегрируется. Удобно разложить вектор скорости на радиальную и "угловую" составляющие. Далее легко находится зависимость радиус-вектора и радиальной скорости от времени. Закон сохранения энергии дает уравнение для "угловой" составляющей скорости. Приравнивая ее нулю, находим точки разворота. Анализ увлекательный, но сейчас полно дел.
> Почти на все старые вопросы http://physics-animations.com/rusboard/themes/56181.html
> ответы угадываются. Но вот интересно, есть ли для дипольного поля интеграл движения в общем случае, когда энергия заряженной частицы отлична от нуля? Может быть, КС поможет?

КС на этот вопрос уже ответил. У меня есть несколько замечаний.

1. Вы можете сделать численный зум, чтобы более подробно разглядеть траекторию вблизи оси Х? Достаточно сделать зум для одной точки поворота, чтобы понять характер движения вблизи этой точки.

2. Потенциал диполя обратно пропорционален квадрату радиус-вектора. Значит, по теореме вириала средние по времени кинетическая и потенциальные энергии должны быть равны (для нестационарной системы). Вы можете проверить это равенство численно?


> > > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > >
> > > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > > Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

> > >

> > > Из рисунка следует, что ось Х "отражает" заряженную частицу, как и в случае V=0. Необходимым условием отражения является перемена знака Y-компоненты скорости, т.е. Y-компонента скорости в точке отражения должна зануляться. Т.к. ось Х - это линия нулевого потенциала, а полная энергия сохраняется, то при V=/=0 модуль скорости тоже должен быть ненулевым на оси Х, значит, при отражении от оси Х должна быть ненулевая Х-компонента скорости. На рисунке изображена траектория, которая "расширяется" вдоль оси Х, что согласуется с наличием Х-компоненты скорости в области оси Х. Однако движение частицы в этой области должно осуществляться приблизительно вдоль оси Х, т.е. там не должно быть острых зубцов, как мы видим на рисунке. Как это можно объяснить?

> > Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.

> Честно говоря, мне аналогично sleo непонятен эффект отражения именно от оси Х.
Траектория пересекает ось Х и разворот траектории(смена знака угловой скорости) происходит в левой полуплоскости. Соответствующие картинки пришлю вечером. Но и аналитика подтверждает сказанное: можно получить выражение для угла между радиус вектором и вектором дипольного момента, соответствующего обращению угловой скорости радиус-вектора в ноль:
cos(Ф)=-(Vo*Ro)²m/(2kp)
> > Уравнение, которое записал выше КС, легко интегрируется. Удобно разложить вектор скорости на радиальную и "угловую" составляющие. Далее легко находится зависимость радиус-вектора и радиальной скорости от времени. Закон сохранения энергии дает уравнение для "угловой" составляющей скорости. Приравнивая ее нулю, находим точки разворота. Анализ увлекательный, но сейчас полно дел.
> > Почти на все старые вопросы http://physics-animations.com/rusboard/themes/56181.html
> > ответы угадываются. Но вот интересно, есть ли для дипольного поля интеграл движения в общем случае, когда энергия заряженной частицы отлична от нуля? Может быть, КС поможет?

> Кажется, есть. Но надо искать.
> Но, с другой стороны, функции, явно зависящие от времени, тоже иногда называют интегралами движения, тогда вполне себе интеграл. Проблема, конечно, в том, что он определяет гиперповерхность в расширенном фазовом просранстве.
> Опять-таки мы можем явно найти в сферической СК, исключить из энергии с помощью сохраняющейся компоненты момента импульса, и тогда из энергии имеем (правда, неавтономное) уравнение первого порядка для .


> > > Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.

> > Честно говоря, мне аналогично sleo непонятен эффект отражения именно от оси Х.
> Траектория пересекает ось Х и разворот траектории(смена знака угловой скорости) происходит в левой полуплоскости. Соответствующие картинки пришлю вечером. Но и аналитика подтверждает сказанное: можно получить выражение для угла между радиус вектором и вектором дипольного момента, соответствующего обращению угловой скорости радиус-вектора в ноль:
> cos(Ф)=-(Vo*Ro)²m/(2kp)
Ошибся в знаке, правильно так:
cos(Ф)=(Vo*Ro)²m/(2kp)


> > > > Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.

> > > Честно говоря, мне аналогично sleo непонятен эффект отражения именно от оси Х.
> > Траектория пересекает ось Х и разворот траектории(смена знака угловой скорости) происходит в левой полуплоскости. Соответствующие картинки пришлю вечером. Но и аналитика подтверждает сказанное: можно получить выражение для угла между радиус вектором и вектором дипольного момента, соответствующего обращению угловой скорости радиус-вектора в ноль:
> > cos(Ф)=-(Vo*Ro)²m/(2kp)
> Ошибся в знаке, правильно так:
> cos(Ф)=(Vo*Ro)²m/(2kp)

У меня получается . Можно сравнить обозначения
Да, любопытно.


Понял, какой интеграл, не зависящий явно от времени, сохраняется в задаче.
Это .


> Понял, какой интеграл, не зависящий явно от времени, сохраняется в задаче.
> Это .

Или можно и так: , где , . Похоже на задачу о заряде в поле монополя.
В общем, в сферической СК с осью вдоль с использованием интегралов движения


сначала интегрируем радиальное движение из (или как раньше), потом тэтовое из и в завершение фитовое из .
Хорошо у нас получилось.


> > > > > Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.

> > > > Честно говоря, мне аналогично sleo непонятен эффект отражения именно от оси Х.
> > > Траектория пересекает ось Х и разворот траектории(смена знака угловой скорости) происходит в левой полуплоскости. Соответствующие картинки пришлю вечером. Но и аналитика подтверждает сказанное: можно получить выражение для угла между радиус вектором и вектором дипольного момента, соответствующего обращению угловой скорости радиус-вектора в ноль:
> > > cos(Ф)=-(Vo*Ro)²m/(2kp)
> > Ошибся в знаке, правильно так:
> > cos(Ф)=(Vo*Ro)²m/(2kp)

> У меня получается . Можно сравнить обозначения
> Да, любопытно.

Я потерял в знаменателе заряд частицы, обозначенный Вами e. Теперь формулы совпадают.


> Понял, какой интеграл, не зависящий явно от времени, сохраняется в задаче.
> Это .

Легко проверить, что эта величина сохраняется. Я догадывался, что с осевой симметрией поля связан некоторый инвариант, но как Вы сумели найти его? Поразительно.


> > Понял, какой интеграл, не зависящий явно от времени, сохраняется в задаче.
> > Это .

> Или можно и так: , где , . Похоже на задачу о заряде в поле монополя.
Здесь я попрошу у Вас пояснений. Что за величина построена выше?


> В общем, в сферической СК с осью вдоль с использованием интегралов движения
>
>


Вижу полную энергию, угловой момент. Но что такое K ?
> сначала интегрируем радиальное движение из (или как раньше), потом тэтовое из и в завершение фитовое из .
> Хорошо у нас получилось.


> > > Понял, какой интеграл, не зависящий явно от времени, сохраняется в задаче.
> > > Это .

> > Или можно и так: , где , . Похоже на задачу о заряде в поле монополя.
> Здесь я попрошу у Вас пояснений. Что за величина построена выше?

>
> > В общем, в сферической СК с осью вдоль с использованием интегралов движения
> >
> >

>
> Вижу полную энергию, угловой момент. Но что такое K ?

Это тот самый интеграл. Не в виде , а в виде (ведь ). А нашёл я его (в первом варианте) с Вашей помощью. Мне было не очевидно, что после подстановки в энергетическое уравнение временная зависимость сконцентрируется исключительно во множитель перед и "точки поворота" оказываются не зависящими от времени. Посмотрел Ваш рисунок, прочитал Ваш комментарий, посчитал сам - так. Попробовал случай, когда в начальный момент - опять так. Посмотрел, когда движение ещё и неплоское () - снова так. Стал думать почему и что сокращается...

> > сначала интегрируем радиальное движение из (или как раньше), потом тэтовое из

здесь ошибка, конечно,

> > и в завершение фитовое из .
> > Хорошо у нас получилось.


> > > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > >
> > > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.
> > > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > > Добавлю пару картинок. Начальные скорости даны в относительных единицах. Ось Y горизонтальна.

> > >

> > > Из рисунка следует, что ось Х "отражает" заряженную частицу, как и в случае V=0. Необходимым условием отражения является перемена знака Y-компоненты скорости, т.е. Y-компонента скорости в точке отражения должна зануляться. Т.к. ось Х - это линия нулевого потенциала, а полная энергия сохраняется, то при V=/=0 модуль скорости тоже должен быть ненулевым на оси Х, значит, при отражении от оси Х должна быть ненулевая Х-компонента скорости. На рисунке изображена траектория, которая "расширяется" вдоль оси Х, что согласуется с наличием Х-компоненты скорости в области оси Х. Однако движение частицы в этой области должно осуществляться приблизительно вдоль оси Х, т.е. там не должно быть острых зубцов, как мы видим на рисунке. Как это можно объяснить?

> > Траектория - гладкая кривая. Мелкий масштаб и конечный шаг интегрирования не должны вводить в заблуждение на этот счет.
> > Уравнение, которое записал выше КС, легко интегрируется. Удобно разложить вектор скорости на радиальную и "угловую" составляющие. Далее легко находится зависимость радиус-вектора и радиальной скорости от времени. Закон сохранения энергии дает уравнение для "угловой" составляющей скорости. Приравнивая ее нулю, находим точки разворота. Анализ увлекательный, но сейчас полно дел.
> > Почти на все старые вопросы http://physics-animations.com/rusboard/themes/56181.html
> > ответы угадываются. Но вот интересно, есть ли для дипольного поля интеграл движения в общем случае, когда энергия заряженной частицы отлична от нуля? Может быть, КС поможет?

> КС на этот вопрос уже ответил. У меня есть несколько замечаний.

> 1. Вы можете сделать численный зум, чтобы более подробно разглядеть траекторию вблизи оси Х? Достаточно сделать зум для одной точки поворота, чтобы понять характер движения вблизи этой точки.

> 2. Потенциал диполя обратно пропорционален квадрату радиус-вектора. Значит, по теореме вириала средние по времени кинетическая и потенциальные энергии должны быть равны (для нестационарной системы). Вы можете проверить это равенство численно?

Еще несколько траекторий. Замечу, что я несколько изменил начальное положение заряженной частицы.



>
>

Спасибо, это то, что нужно! Сейчас хорошо видно, что движение частицы вблизи оси Х (у Вас - это ось ординат) действительно осуществлятся приблизительно вдоль оси Х, и там нет острых зубцов. Кроме того, отражение происходит не от оси Х, а от параллельной линии, что тоже есть хорошо.

Я нашел небольшую заметку с численным расчетом. Там рассматривается диполь, ориентированный вдоль оси Х (обычной оси абсцисс), начальное положение электрона - в точке (1А,2А) ("А" - ангстрем), а начальная скорость - тоже вдоль оси Х
Classical motion of an electron in an electric-dipole field
Таектория электрона указана на последнем рисунке:

Если захотите, можете сделать симуляцию для таких начальных условий, и сравнить полученные траектории.


> Я нашел небольшую заметку с численным расчетом. Там рассматривается диполь, ориентированный вдоль оси Х (обычной оси абсцисс), начальное положение электрона - в точке (1А,2А) ("А" - ангстрем), а начальная скорость - тоже вдоль оси Х
> Classical motion of an electron in an electric-dipole field
> Таектория электрона указана на последнем рисунке:
>

> Если захотите, можете сделать симуляцию для таких начальных условий, и сравнить полученные траектории.

Если диполь находится в начале координат, то траектория кажется подозрительной. Из формулы
,
следует, что зависимость от не может иметь более одного экстремума.


> > > > Понял, какой интеграл, не зависящий явно от времени, сохраняется в задаче.
> > > > Это .

> > > Или можно и так: , где , . Похоже на задачу о заряде в поле монополя.
> > Здесь я попрошу у Вас пояснений. Что за величина построена выше?

> >
> > > В общем, в сферической СК с осью вдоль с использованием интегралов движения
> > >
> > >

> >
> > Вижу полную энергию, угловой момент. Но что такое K ?

> Это тот самый интеграл. Не в виде , а в виде (ведь ). А нашёл я его (в первом варианте) с Вашей помощью. Мне было не очевидно, что после подстановки в энергетическое уравнение временная зависимость сконцентрируется исключительно во множитель перед и "точки поворота" оказываются не зависящими от времени. Посмотрел Ваш рисунок, прочитал Ваш комментарий, посчитал сам - так. Попробовал случай, когда в начальный момент - опять так. Посмотрел, когда движение ещё и неплоское () - снова так. Стал думать почему и что сокращается...

> > > сначала интегрируем радиальное движение из (или как раньше), потом тэтовое из

> здесь ошибка, конечно,

> > > и в завершение фитовое из .
> > > Хорошо у нас получилось.
Еще бы. Дважды каким-то чудесным способом "угадана" сохраняющаяся величина.
Но особенно привлекательна, на мой взгляд, простая зависимость расстояния r от времени. Легко получить условие, при выполнении которого заряд упадет на диполь. Можно найти время падения. В остальных случаях траектория инфинитная за исключением случая нулевой энергии, когда движение происходит по окружности.


> > Я нашел небольшую заметку с численным расчетом. Там рассматривается диполь, ориентированный вдоль оси Х (обычной оси абсцисс), начальное положение электрона - в точке (1А,2А) ("А" - ангстрем), а начальная скорость - тоже вдоль оси Х
> > Classical motion of an electron in an electric-dipole field
> > Таектория электрона указана на последнем рисунке:
> >

> > Если захотите, можете сделать симуляцию для таких начальных условий, и сравнить полученные траектории.

> Если диполь находится в начале координат, то траектория кажется подозрительной. Из формулы
> ,
> следует, что зависимость от не может иметь более одного экстремума.
Представленные на рисунке расчеты относятся к протяженному диполю: координаты зарядов диполя (-1,0) и (1,0). А задача КС относится к точечному диполю.


> > > Я нашел небольшую заметку с численным расчетом. Там рассматривается диполь, ориентированный вдоль оси Х (обычной оси абсцисс), начальное положение электрона - в точке (1А,2А) ("А" - ангстрем), а начальная скорость - тоже вдоль оси Х
> > > Classical motion of an electron in an electric-dipole field
> > > Таектория электрона указана на последнем рисунке:

> > > Если захотите, можете сделать симуляцию для таких начальных условий, и сравнить полученные траектории.

> > Если диполь находится в начале координат, то траектория кажется подозрительной. Из формулы
> > ,
> > следует, что зависимость от не может иметь более одного экстремума.

> Представленные на рисунке расчеты относятся к протяженному диполю: координаты зарядов диполя (-1,0) и (1,0). А задача КС относится к точечному диполю.

Да, там рассматривается "ближняя зона".
Кстати, откуда следует Ваша формула ?


> > > > Я нашел небольшую заметку с численным расчетом. Там рассматривается диполь, ориентированный вдоль оси Х (обычной оси абсцисс), начальное положение электрона - в точке (1А,2А) ("А" - ангстрем), а начальная скорость - тоже вдоль оси Х
> > > > Classical motion of an electron in an electric-dipole field
> > > > Таектория электрона указана на последнем рисунке:

> > > > Если захотите, можете сделать симуляцию для таких начальных условий, и сравнить полученные траектории.

> > > Если диполь находится в начале координат, то траектория кажется подозрительной. Из формулы
> > > ,
> > > следует, что зависимость от не может иметь более одного экстремума.

> > Представленные на рисунке расчеты относятся к протяженному диполю: координаты зарядов диполя (-1,0) и (1,0). А задача КС относится к точечному диполю.

> Да, там рассматривается "ближняя зона".
> Кстати, откуда следует Ваша формула ?

Пардон, что встреваю, но отсюда: .


> > Кстати, откуда следует Ваша формула ?

> Пардон, что встреваю, но отсюда: .

Что-то не соображу, как это оттуда получается.

А Ваш интеграл движения, куда явно не входит скорость, мне понравился


> > > Кстати, откуда следует Ваша формула ?

> > Пардон, что встреваю, но отсюда: .

> Что-то не соображу, как это оттуда получается.

. Дальше продолжать?

> А Ваш интеграл движения, куда явно не входит скорость, мне понравился

Это который, отсюда? Дык она там замаскирована, см. расписанное выражение для .


> > > > Кстати, откуда следует Ваша формула ?

> > > Пардон, что встреваю, но отсюда: .

> > Что-то не соображу, как это оттуда получается.

> . Дальше продолжать?

Спасибо, дальше понятно!..

> > А Ваш интеграл движения, куда явно не входит скорость, мне понравился

> Это который, отсюда? Дык она там замаскирована, см. расписанное выражение для .

Я потому и написал, что "явно не входит скорость". Но все же, момент импульса - это "самостоятельная величина", и даже по отношению к скорости.

Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?


> > > > > Кстати, откуда следует Ваша формула ?

> > > > Пардон, что встреваю, но отсюда: .

> > > Что-то не соображу, как это оттуда получается.

> > . Дальше продолжать?

> Спасибо, дальше понятно!..

> > > А Ваш интеграл движения, куда явно не входит скорость, мне понравился

> > Это который, отсюда? Дык она там замаскирована, см. расписанное выражение для .

> Я потому и написал, что "явно не входит скорость". Но все же, момент импульса - это "самостоятельная величина", и даже по отношению к скорости.

> Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.


> > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.


> > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
В общем, жизнь богаче...


> > > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> > Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

> С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
> В общем, жизнь богаче...

Ну, раз богаче, тогда пофантазирую
В этой задаче рассматривается ограниченное движение в том смысле, что это плоское движение, и отлична от 0 только одна компонента момента импульса (вдоль оси Z). Это не связано с осевой симметрией (в том смысле, что осевая симметрия замораживает момент вдоль оси диполя, т.е. Y-компоненту, которая равна 0), а определяется только выбором направления начальной скорости. Итак, для такого плоского движения траектория имеет, согласно формуле Kli-Gin, максимум один экстремум (в вырожденных случаях экстремума нет), и я рискну предположить, что вектор, проведенный из начала координат в экстремум, может быть интегралом движения, в том смысле, что он сохраняет свон направление для произвольных r и v заряда на траектории. Не знаю, правильно ли это (не проверял), но если да, то это было бы наглядно... . Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция


> > > > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > > > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > > > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> > > Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

> > С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
> > В общем, жизнь богаче...

> Ну, раз богаче, тогда пофантазирую
> В этой задаче рассматривается ограниченное движение в том смысле, что это плоское движение, и отлична от 0 только одна компонента момента импульса (вдоль оси Z). Это не связано с осевой симметрией (в том смысле, что осевая симметрия замораживает момент вдоль оси диполя, т.е. Y-компоненту, которая равна 0), а определяется только выбором направления начальной скорости. Итак, для такого плоского движения траектория имеет, согласно формуле Kli-Gin, максимум один экстремум (в вырожденных случаях экстремума нет), и я рискну предположить, что вектор, проведенный из начала координат в экстремум, может быть интегралом движения, в том смысле, что он сохраняет свон направление для произвольных r и v заряда на траектории. Не знаю, правильно ли это (не проверял), но если да, то это было бы наглядно... .

Не знаю. В принципе, не похоже (может, Kli-Gin проверит). Только вот почему Вы ограничиваетесь именно плоским движением? Поведение никак не связано с плоскостностью, да и вроде как я показал, что задача интегрируется в квадратурах и в самом общем случае.


> > > > > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > > > > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > > > > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> > > > Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

> > > С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
> > > В общем, жизнь богаче...

> > Ну, раз богаче, тогда пофантазирую
> > В этой задаче рассматривается ограниченное движение в том смысле, что это плоское движение, и отлична от 0 только одна компонента момента импульса (вдоль оси Z). Это не связано с осевой симметрией (в том смысле, что осевая симметрия замораживает момент вдоль оси диполя, т.е. Y-компоненту, которая равна 0), а определяется только выбором направления начальной скорости. Итак, для такого плоского движения траектория имеет, согласно формуле Kli-Gin, максимум один экстремум (в вырожденных случаях экстремума нет), и я рискну предположить, что вектор, проведенный из начала координат в экстремум, может быть интегралом движения, в том смысле, что он сохраняет свон направление для произвольных r и v заряда на траектории. Не знаю, правильно ли это (не проверял), но если да, то это было бы наглядно... .

> Не знаю. В принципе, не похоже (может, Kli-Gin проверит). Только вот почему Вы ограничиваетесь именно плоским движением? Поведение никак не связано с плоскостностью, да и вроде как я показал, что задача интегрируется в квадратурах и в самом общем случае.

Я почему-то думал, что формула для экстремума - только для плоского движения. Но Вы правы - это более общая формула. Тогда еще интереснее - какой смысл (если он есть) у "радиус-вектора экстремума"?


> > > > > > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > > > > > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > > > > > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> > > > > Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

> > > > С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
> > > > В общем, жизнь богаче...

> > > Ну, раз богаче, тогда пофантазирую
> > > В этой задаче рассматривается ограниченное движение в том смысле, что это плоское движение, и отлична от 0 только одна компонента момента импульса (вдоль оси Z). Это не связано с осевой симметрией (в том смысле, что осевая симметрия замораживает момент вдоль оси диполя, т.е. Y-компоненту, которая равна 0), а определяется только выбором направления начальной скорости. Итак, для такого плоского движения траектория имеет, согласно формуле Kli-Gin, максимум один экстремум (в вырожденных случаях экстремума нет), и я рискну предположить, что вектор, проведенный из начала координат в экстремум, может быть интегралом движения, в том смысле, что он сохраняет свон направление для произвольных r и v заряда на траектории. Не знаю, правильно ли это (не проверял), но если да, то это было бы наглядно... .

> > Не знаю. В принципе, не похоже (может, Kli-Gin проверит). Только вот почему Вы ограничиваетесь именно плоским движением? Поведение никак не связано с плоскостностью, да и вроде как я показал, что задача интегрируется в квадратурах и в самом общем случае.

> Я почему-то думал, что формула для экстремума - только для плоского движения. Но Вы правы - это более общая формула. Тогда еще интереснее - какой смысл (если он есть) у "радиус-вектора экстремума"?

Увы, ничего светлого ко мне в голову не приходит...
Но я не уверен, что дело в векторе, а не его длине, ибо формула имеет дело с длиной, а не направлением. И вообще, в этой задаче 3 сферических координаты вполне автономны в том смысле, что находятся последовательно.
В задаче о движении в поле монополя (тоже ведь, вообще говоря, неплоское движение) к экстремальной точке относят начало отсчёта времени (смотрите) . Это сокращает некоторые формулы, но не более того.


Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...


> > > > > > > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > > > > > > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > > > > > > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> > > > > > Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

> > > > > С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
> > > > > В общем, жизнь богаче...

> > > > Ну, раз богаче, тогда пофантазирую
> > > > В этой задаче рассматривается ограниченное движение в том смысле, что это плоское движение, и отлична от 0 только одна компонента момента импульса (вдоль оси Z). Это не связано с осевой симметрией (в том смысле, что осевая симметрия замораживает момент вдоль оси диполя, т.е. Y-компоненту, которая равна 0), а определяется только выбором направления начальной скорости. Итак, для такого плоского движения траектория имеет, согласно формуле Kli-Gin, максимум один экстремум (в вырожденных случаях экстремума нет), и я рискну предположить, что вектор, проведенный из начала координат в экстремум, может быть интегралом движения, в том смысле, что он сохраняет свон направление для произвольных r и v заряда на траектории. Не знаю, правильно ли это (не проверял), но если да, то это было бы наглядно... .

> > > Не знаю. В принципе, не похоже (может, Kli-Gin проверит). Только вот почему Вы ограничиваетесь именно плоским движением? Поведение никак не связано с плоскостностью, да и вроде как я показал, что задача интегрируется в квадратурах и в самом общем случае.

> > Я почему-то думал, что формула для экстремума - только для плоского движения. Но Вы правы - это более общая формула. Тогда еще интереснее - какой смысл (если он есть) у "радиус-вектора экстремума"?

> Увы, ничего светлого ко мне в голову не приходит...
> Но я не уверен, что дело в векторе, а не его длине, ибо формула имеет дело с длиной, а не направлением. И вообще, в этой задаче 3 сферических координаты вполне автономны в том смысле, что находятся последовательно.
> В задаче о движении в поле монополя (тоже ведь, вообще говоря, неплоское движение) к экстремальной точке относят начало отсчёта времени (смотрите) . Это сокращает некоторые формулы, но не более того.

Спасибо за ссылку, посмотрю завтра.
Насчет "радиус-вектора экстремума" - это не более чем гадание на кофейной гуще, ибо конкретных оснований у меня нет. Просто навеяло вектором Лапласа, который направлен вдоль большой полуоси эллипса, т.е. тоже, в каком-то смысле, в экстремум.


> Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.


> > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.
>
>

Пересечение вроде делает наличие дополнительного интеграла весьма проблематичным. Спасибо!


> > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...


> > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...


> > > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> > Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

> Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...

Я просил плоское - для простоты. Самопересечение отнюдь не удивительно само по себе. Просто (мне кажется) оно говорит против существования дополнительного (к 3 существующим) интеграла. Смотрите, мы смотрим двумерное (благо ) движение. В нём есть два необходимых для интегрирования гамильтоновых систем интеграла. Наличие третьего доводило бы их количество до возможного максимума (размерность фазового пространства четвёрка), траектория лежала бы на их пересечении и её нахождение не требовало бы интегрирования (как и имеет место быть для кеплеровой задачи). Но тогда получалось бы, что одна из (гипер)поверхностей интегралов самопересекается, что вроде нехорошо. Вроде.


> > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...


> > > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> > Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

> Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...

Модератору: это сбой (повтор сообщения), удалите его, плз.


> > > > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> > > Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

> > Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...

> Я просил плоское - для простоты. Самопересечение отнюдь не удивительно само по себе. Просто (мне кажется) оно говорит против существования дополнительного (к 3 существующим) интеграла.

Я хочу уточнить. Речь идет о

1. интеграле энергии;
2. интеграле проекции момента импульса;
3. одном из выписанных Вами интегралов?

И еще: Вы не подскажете, где в начальный момент находится частица на графиках Kli-Gin, и куда направлена скорость?

> Смотрите, мы смотрим двумерное (благо ) движение. В нём есть два необходимых для интегрирования гамильтоновых систем интеграла. Наличие третьего доводило бы их количество до возможного максимума (размерность фазового пространства четвёрка), траектория лежала бы на их пересечении и её нахождение не требовало бы интегрирования (как и имеет место быть для кеплеровой задачи). Но тогда получалось бы, что одна из (гипер)поверхностей интегралов самопересекается, что вроде нехорошо. Вроде.

Для плоского движения это вроде так, хотя надо еще подумать.


> > > > > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> > > > Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

> > > Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...

> > Я просил плоское - для простоты. Самопересечение отнюдь не удивительно само по себе. Просто (мне кажется) оно говорит против существования дополнительного (к 3 существующим) интеграла.

> Я хочу уточнить. Речь идет о

> 1. интеграле энергии;
> 2. интеграле проекции момента импульса;
> 3. одном из выписанных Вами интегралов?

Отнюдь. О дополнительном интеграле типа Лапласа, о котором мы говорили.
Без него интегралов ровно 3 (в затребованном плоском движении - 2) и задача уже полностью интегрируется. Но нет ли четвёртого (третьего для плоского движения) - вроде как обсуждаем?

> И еще: Вы не подскажете, где в начальный момент находится частица на графиках Kli-Gin, и куда направлена скорость?

В некотором смысле там нет начального момента. Я просил траекторию по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности. Конечно, настоящие бесконечности ему изобразить трудно...
А куда направлена - не всё ли равно? Допустим, приходит из левого хвоста и уходит в правый. Поменяем направление скорости - и будет наоборот. Конечно, Kli-Gin-то знает, но с точки зрения моего вопроса это совершенно не важно.

> > Смотрите, мы смотрим двумерное (благо ) движение. В нём есть два необходимых для интегрирования гамильтоновых систем интеграла. Наличие третьего доводило бы их количество до возможного максимума (размерность фазового пространства четвёрка), траектория лежала бы на их пересечении и её нахождение не требовало бы интегрирования (как и имеет место быть для кеплеровой задачи). Но тогда получалось бы, что одна из (гипер)поверхностей интегралов самопересекается, что вроде нехорошо. Вроде.

> Для плоского движения это вроде так, хотя надо еще подумать.

Это никогда не вредно. Сам вот стараюсь тоже, но всё крутится вокруг одного и того же - нет четвёртого. Хотя траектории всё-таки простые...


> > > > > > Скажите, а Вы можете для прояснения ситуации с дополнительным интегралом нарисовать траектории "в обе стороны" (пусть в плоском случае)? Т.е. действительно взять ситуацию, когда есть именно минимум в расстоянии и посмотреть движение по времени от - до +. Если траектория будет без самопересечений, то это, наверное, признак...

> > > > > Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой. На первом рисунке эта скорость равна 3 относительным единицам, на втором рисунке V(A)=2. В точке самопересечения радиальные составляющие скорости отличаются только знаком.

> > > > Вектор скорости по-прежнему направлен вдоль оси Y, т.е. рассматривается лишь плоское движение? Если так, то самопересечениям можно не удивляться...

> > > Я просил плоское - для простоты. Самопересечение отнюдь не удивительно само по себе. Просто (мне кажется) оно говорит против существования дополнительного (к 3 существующим) интеграла.

> > Я хочу уточнить. Речь идет о

> > 1. интеграле энергии;
> > 2. интеграле проекции момента импульса;
> > 3. одном из выписанных Вами интегралов?

> Отнюдь. О дополнительном интеграле типа Лапласа, о котором мы говорили.
> Без него интегралов ровно 3 (в затребованном плоском движении - 2) и задача уже полностью интегрируется. Но нет ли четвёртого (третьего для плоского движения) - вроде как обсуждаем?

Ага, теперь понятно.

> > И еще: Вы не подскажете, где в начальный момент находится частица на графиках Kli-Gin, и куда направлена скорость?

> В некотором смысле там нет начального момента. Я просил траекторию по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности. Конечно, настоящие бесконечности ему изобразить трудно...
> А куда направлена - не всё ли равно? Допустим, приходит из левого хвоста и уходит в правый. Поменяем направление скорости - и будет наоборот. Конечно, Kli-Gin-то знает, но с точки зрения моего вопроса это совершенно не важно.

Спасибо, теперь стало ясно. Меня сбили слова "Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой", а на рисунке, видимо, оси Х и У поменяны местами, потому точка А(1,0) находится сверху, а не справа.

> > > Смотрите, мы смотрим двумерное (благо ) движение. В нём есть два необходимых для интегрирования гамильтоновых систем интеграла. Наличие третьего доводило бы их количество до возможного максимума (размерность фазового пространства четвёрка), траектория лежала бы на их пересечении и её нахождение не требовало бы интегрирования (как и имеет место быть для кеплеровой задачи). Но тогда получалось бы, что одна из (гипер)поверхностей интегралов самопересекается, что вроде нехорошо. Вроде.

> > Для плоского движения это вроде так, хотя надо еще подумать.

> Это никогда не вредно. Сам вот стараюсь тоже, но всё крутится вокруг одного и того же - нет четвёртого. Хотя траектории всё-таки простые...


> > > И еще: Вы не подскажете, где в начальный момент находится частица на графиках Kli-Gin, и куда направлена скорость?

> > В некотором смысле там нет начального момента. Я просил траекторию по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности. Конечно, настоящие бесконечности ему изобразить трудно...
> > А куда направлена - не всё ли равно? Допустим, приходит из левого хвоста и уходит в правый. Поменяем направление скорости - и будет наоборот. Конечно, Kli-Gin-то знает, но с точки зрения моего вопроса это совершенно не важно.

> Спасибо, теперь стало ясно. Меня сбили слова "Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой", а на рисунке, видимо, оси Х и У поменяны местами, потому точка А(1,0) находится сверху, а не справа.

Ну, у него вроде как самого начала ось Y спотрела направо, а X - вверх.


> > > > И еще: Вы не подскажете, где в начальный момент находится частица на графиках Kli-Gin, и куда направлена скорость?

> > > В некотором смысле там нет начального момента. Я просил траекторию по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности. Конечно, настоящие бесконечности ему изобразить трудно...
> > > А куда направлена - не всё ли равно? Допустим, приходит из левого хвоста и уходит в правый. Поменяем направление скорости - и будет наоборот. Конечно, Kli-Gin-то знает, но с точки зрения моего вопроса это совершенно не важно.

> > Спасибо, теперь стало ясно. Меня сбили слова "Указана скорость в точке А(1,0), которая в прежних примерах являлась стартовой", а на рисунке, видимо, оси Х и У поменяны местами, потому точка А(1,0) находится сверху, а не справа.

> Ну, у него вроде как самого начала ось Y спотрела направо, а X - вверх.

Пересмотрел - действительно с самого начала ось Y смотрела направо, а X - вверх. Я же сам это уточнял...


> > > > > > > > > > > > > > > > > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > > > > > > > > > > > > > > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > > > > > > > > > > > > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > >
> > > > > > > > Если мы рассматриваем движение заряженной частицы в невесомости, то всегда "амплитудное" значение радиального ускорения заряженной частицы будет в два раза больше тангенциального, и поэтому движения по окружности мы не получим.

> > > > > > > Леонид, что Вы говорите? Траектория в виде куска окружности возможна при любом соотношении между радиальным и тангенциальным ускорениями. Первое - это , второе .

> > > > > > Да, это правда.

> > > > > > > > Хорошо, приведите Ваше решение, и, желательно, с зависимомстью компонент ускорения от угла.

> > > > > > > У системы в условиях задачи есть интеграл движения , где - радиус-вектор заряда (проверяется простым дифференцированием). Поскольку в начальный момент он 0, то в течение всего движения скорость перпендикулярна радиусу-вектору, т.е. , т.е. движение на самом деле одномерно (в полярной СК меняется только угол). Потенциальная энергия заряда при таком движении (постоянном ) есть функция . Вот и всё, составляющие ускорения считайте сами.

> > > > Проверил, является ли интегралом движения. Взял производную по времени. Одно слагаемое дает удвоенную кин.энергию (для единичной массы). Для второго слагаемого (скалярное произведение ускорения на радиус-вектор) вначале было неочевидно, что оно выражается через потенциальную энергию, но когда расписал поле в векторном виде, то получил, что имеем удвоенную потенциальную энергию. Поэтому формула, приведенная Вами ниже, работает, а для этой задачи значение интеграла движения =0 задано в начальной точке, значит, это равенство сохраняется во всех точках. Отсюда автоматом следует, что скорость всегда перпендикулярна радиус-вектору, значит, движение - по окружности (в данной задаче - по полуокружности). Красиво!

> > > > > > > В общем случае имеем , где - полная энергия заряда. Отсюда сразу следует закон изменения радиальной (в сферической СК) координаты заряда, и можно до конца исследовать, например, проблему "падения на центр".

> > > > > > Спасибо, завтра с утра обсудим.

> > > > > Прошу прощения, добавлю. Автор задачи предлагал другое решение, мне моё показалось короче и "прямее", но, поскольку Вы всё время интересовались тангенциальным и нормальным ускорением, то решение "Федора", возможно, будет Вам ближе. Он сопоставлял нормальное ускорение , где - скорость, находимая из закона сохранения энергии (), а - радиус кривизны траектории с -составляющей ускорения , и указывал, что при они совпадают.

> > > > То, что пишет "Федор", тоже правильно, но не так изящно. Меня тангенциальные и нормальные ускорения интересовали в том смысле, что я хотел получить полный аналог движения заряда в поле диполя и движения маятника в грав.поле. Этого по условию задачи не требовалось, ибо требовалось получить движение по окружности, подобное движению маятника, а не полное совпадение движений. И, конечно, мое замечание о том, что между тангенциальным и нормальным ускорением должна быть связь как у маятника, не верно. Маятник - это одна из возможных реализаций движения с постоянным радиусом, и эта возможность никак не должна выделяться.

> > > Прошу прощения, но с моей точки зрения аналогия полная. Да, она имеет место только для движения по полуокружности (у маятника, понятно, есть как более, так и менее "размашистые" колебания), но в этом случае совпадают не только траектории, но и скорости (и ускорения) в каждой точке траектории. Иными словами, наблюдая колебания, мы не сможем увидеть разницы. И периоды идентичны.

> > Если взять угол 45 градусов, то для маятника радиальное и тангенциальное ускорения по величине совпадут. А для заряда тоже совпадут?

> Я же привёл уравнение для угла. Оно одинаковое. Не хотите для угла - посмотрите для энергии. Скорость как функция угла одинаковая.

> А теперь по поводу Вашего утверждения. С чего Вы взяли, что для угла в 45 градусов ускорения совпадают? Давайте считать. Скорость маятника в этот момент (если движение начиналось из 90 градусов) по закону сохранения энергии ,

Пардоньте, но:

> поэтому радиальное ускорение .

Поэтому:

> В тангенциальное даёт вклад только тяжесть, поэтому оно , т.е. в два раза меньше.

Нельзя ли с этого места поподробнее?

> А теперь считайте для диполя.
> Вы, по-видимому, не учитываете натяжение верёвки (хотя на его наличие я указывал не один раз). А посмотрите на нижнюю точку траектории - со стороны диполя действует притягивающая сила, а у маятника здесь тяжесть отталкивает грузик от точки подвеса. И что?

З.Ы. Надеюсь, личная антипатия не помешает Вам трезво ответить за свои элементарные ошибки.


> > > Я нашел небольшую заметку с численным расчетом. Там рассматривается диполь, ориентированный вдоль оси Х (обычной оси абсцисс), начальное положение электрона - в точке (1А,2А) ("А" - ангстрем), а начальная скорость - тоже вдоль оси Х
> > > Classical motion of an electron in an electric-dipole field
> > > Таектория электрона указана на последнем рисунке:
> > >

> > > Если захотите, можете сделать симуляцию для таких начальных условий, и сравнить полученные траектории.

> > Если диполь находится в начале координат, то траектория кажется подозрительной. Из формулы
> > ,
> > следует, что зависимость от не может иметь более одного экстремума.
> Представленные на рисунке расчеты относятся к протяженному диполю: координаты зарядов диполя (-1,0) и (1,0). А задача КС относится к точечному диполю.


Здесь дело в низкой точности из-за слишком большого шага по времени. Даже для достаточно "протяженных диполей" (скажем когда расстояние от центра диполя до пробного заряда всего в два раза превышает базу диполя), при нулевой начальной скорости пробного заряда достаточно четко получается полукруг. Посмотрим, что получится, если повышать дискретную точность вычислений.

Уменьшим dt в 10 раз:

Еще в 10 раз:

З.Ы. На том сайте достаточно допотопная программа на фортране. На Си намного быстрее и элегантнее))


> > > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> > Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

> С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
> В общем, жизнь богаче...

По-моему, еще не было ссылки на Задача 9.6. Там вкратце находятся полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и уравнение траектории в квадратурах.

Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.


> > > > > Кстати, для движения в поле центральных сил (в частности, в грав.поле) есть векторный интеграл движения в виде вектора Лапласа. Нет ли для этой задачи подобного сохраняющегося вектора?

> > > > Не знаю, но, кажется, нет. Хотя, с другой стороны... Ведь что даёт дополнительный интеграл? Простую траекторию - поскольку она лежит на многообразии пониженной размерности (на пересечении большего количества гиперповерхностей в фазовом пространстве). А здесь она "простая" - как правило, уходит на бесконечность или падает на центр, а не крутится где-то всюду плотно. Хотя, опять-таки возможно, что падение на центр (явная неаналитичность) как раз и препятствует.
> > > > А так - то, что задача интегрируема и имеет интеграл помимо энергии и зэтового момента слышал (хотя и нашёл его самостоятельно), а про дополнительное вырождение - нет.

> > > Да, здесь вряд ли существует векторный интеграл движения, подобный вектору Лапласа. В этой задаче симметрия более слабая, чем в центрально-симметричном поле, и, соответственно, число интегралов движения меньше. Так что простая аналогия здесь не пройдет.

> > С готов согласиться с такой логикой, но только как с наводящим соображением без оттенка "железности". Скрытые симметрии на то и скрыты, чтобы сентенция "видим меньше - зщначит, меньше" воспринималась как закон. Все центральные поля на глаз "одинаково" симметричны, но "вектор Лапласа" есть только у двух. Вот в теории магнитных ловушек есть специальный термин "псевдосимметрия" конфигурации магнитного поля - в том смысле, что на глаз нихрена не видно, а если записать в специальных координатах, то проявляется (а самое главное - проявляется эффект куда лучшего удержания).
> > В общем, жизнь богаче...

> По-моему, еще не было ссылки на Задача 9.6. Там вкратце находятся полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и уравнение траектории в квадратурах.

Спасибо, полезно.

> Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?


> > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.


> > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).
Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...


> > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?


> Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...


> > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

>
>


Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> > Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...


> > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

>
> Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

> > > Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...

²


> > > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

> >
> > Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

Да пожалуйста. Но (ИМХО) ниоткуда не следует, что такой вектор есть. В смысле не принрисованный на графике Kli-Gin'а, а в качестве интеграла движения. Я всего лишь эту логику (и то слегка - в качестве адвоката дьявола) оспариваю.
Что касается отсутствия эллипса, я именно про это и говорю. Если вообще сравнивать с гравполем, надо сравнивать с гиперболой.

>
> > > > Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...

> ²


> > > > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > > > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

> > >
> > > Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> > Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

> Да пожалуйста. Но (ИМХО) ниоткуда не следует, что такой вектор есть. В смысле не принрисованный на графике Kli-Gin'а, а в качестве интеграла движения. Я всего лишь эту логику (и то слегка - в качестве адвоката дьявола) оспариваю.

Я уже писал, что вектор Лапласа - интеграл движения только в частном случае потенциала 1/r. При небольшом отклонении от этого закона вектор Лапласа - уже не интеграл движения, но траектория будет напоминать "движущийся эллипс", и вектор Лапласа вроде будет направлен вдоль "мгновенной полуоси" такого динамического эллипса. Так и в задаче с диполем - при разных начальных условиях экстремум будет в разных точках, и искомый вектор должен это учитывать. Если, конечно, такой вектор существует...

> Что касается отсутствия эллипса, я именно про это и говорю. Если вообще сравнивать с гравполем, надо сравнивать с гиперболой.

> >
> > > > > Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...


> > > > > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > > > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > > > > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

> > > >
> > > > Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> > > Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

> > Да пожалуйста. Но (ИМХО) ниоткуда не следует, что такой вектор есть. В смысле не принрисованный на графике Kli-Gin'а, а в качестве интеграла движения. Я всего лишь эту логику (и то слегка - в качестве адвоката дьявола) оспариваю.

> Я уже писал, что вектор Лапласа - интеграл движения только в частном случае потенциала 1/r. При небольшом отклонении от этого закона вектор Лапласа - уже не интеграл движения, но траектория будет напоминать "движущийся эллипс", и вектор Лапласа вроде будет направлен вдоль "мгновенной полуоси" такого динамического эллипса. Так и в задаче с диполем - при разных начальных условиях экстремум будет в разных точках, и искомый вектор должен это учитывать. Если, конечно, такой вектор существует...

А я писал, что ситуация совсем другая, ибо в случае с диполем аналогом является гипребола, а не эллипс. Экстремум проходится однократно, а не многократно, как у "движущегося эллипса". Что происходит с вектором Лапласа при небольшом отклонении от 1/r для гиперболической траектории?

> > Что касается отсутствия эллипса, я именно про это и говорю. Если вообще сравнивать с гравполем, надо сравнивать с гиперболой.

> > >
> > > > > > Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...


> > > > > > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > > > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > > > > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > > > > > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

> > > > >
> > > > > Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> > > > Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

> > > Да пожалуйста. Но (ИМХО) ниоткуда не следует, что такой вектор есть. В смысле не принрисованный на графике Kli-Gin'а, а в качестве интеграла движения. Я всего лишь эту логику (и то слегка - в качестве адвоката дьявола) оспариваю.

> > Я уже писал, что вектор Лапласа - интеграл движения только в частном случае потенциала 1/r. При небольшом отклонении от этого закона вектор Лапласа - уже не интеграл движения, но траектория будет напоминать "движущийся эллипс", и вектор Лапласа вроде будет направлен вдоль "мгновенной полуоси" такого динамического эллипса. Так и в задаче с диполем - при разных начальных условиях экстремум будет в разных точках, и искомый вектор должен это учитывать. Если, конечно, такой вектор существует...

> А я писал, что ситуация совсем другая, ибо в случае с диполем аналогом является гипребола, а не эллипс. Экстремум проходится однократно, а не многократно, как у "движущегося эллипса". Что происходит с вектором Лапласа при небольшом отклонении от 1/r для гиперболической траектории?

Вы все время смотрите на динамику поведения эллипса при фиксированных начальных условиях. Такой элиипс может прецессировать или двигаться по более сложным траекториям. Я тоже не против таких движений эллипса (посмотрите, чтО я писал), но я хочу найти "просто вычисляемый" вектор, который будет отслеживать движение экстремумов траектории (для "движущегося" эллипса это будет что-то вроде мгновенной полуоси). При этом в нашей задаче (не эллипс, а траектория в поле диполя) при фиксированных начальных условиях мы получим фиксированное положение экстремума, но если изменить начальные условия, то положение экстремума будет в общем случае другим, и "вектор экстремума", соответственно, должен отследить такое перемещение экстремума.

> > > Что касается отсутствия эллипса, я именно про это и говорю. Если вообще сравнивать с гравполем, надо сравнивать с гиперболой.

> > > >
> > > > > > > Правда, что-то с Лапласом происходит и при близких к гиперболическим траекториям...


> > > > > > > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > > > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > > > > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > > > > > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > > > > > > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

> > > > > >
> > > > > > Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> > > > > Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

> > > > Да пожалуйста. Но (ИМХО) ниоткуда не следует, что такой вектор есть. В смысле не принрисованный на графике Kli-Gin'а, а в качестве интеграла движения. Я всего лишь эту логику (и то слегка - в качестве адвоката дьявола) оспариваю.

> > > Я уже писал, что вектор Лапласа - интеграл движения только в частном случае потенциала 1/r. При небольшом отклонении от этого закона вектор Лапласа - уже не интеграл движения, но траектория будет напоминать "движущийся эллипс", и вектор Лапласа вроде будет направлен вдоль "мгновенной полуоси" такого динамического эллипса. Так и в задаче с диполем - при разных начальных условиях экстремум будет в разных точках, и искомый вектор должен это учитывать. Если, конечно, такой вектор существует...

> > А я писал, что ситуация совсем другая, ибо в случае с диполем аналогом является гипребола, а не эллипс. Экстремум проходится однократно, а не многократно, как у "движущегося эллипса". Что происходит с вектором Лапласа при небольшом отклонении от 1/r для гиперболической траектории?

> Вы все время смотрите на динамику поведения эллипса при фиксированных начальных условиях. Такой элиипс может прецессировать или двигаться по более сложным траекториям. Я тоже не против таких движений эллипса (посмотрите, чтО я писал), но я хочу найти "просто вычисляемый" вектор, который будет отслеживать движение экстремумов траектории (для "движущегося" эллипса это будет что-то вроде мгновенной полуоси). При этом в нашей задаче (не эллипс, а траектория в поле диполя) при фиксированных начальных условиях мы получим фиксированное положение экстремума, но если изменить начальные условия, то положение экстремума будет в общем случае другим, и "вектор экстремума", соответственно, должен отследить такое перемещение экстремума.

Ну хорошо, но это Ваши слова заставили меня так смотреть... Или я их так неправильно интерпретировал... Ладно, всё-таки у меня сомнения в существовании такого. Смутные, надо признать.


> > > > > > > > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > > > > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > > > > > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > > > > > > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > > > > > > > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

> > > > > > >
> > > > > > > Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> > > > > > Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

> > > > > Да пожалуйста. Но (ИМХО) ниоткуда не следует, что такой вектор есть. В смысле не принрисованный на графике Kli-Gin'а, а в качестве интеграла движения. Я всего лишь эту логику (и то слегка - в качестве адвоката дьявола) оспариваю.

> > > > Я уже писал, что вектор Лапласа - интеграл движения только в частном случае потенциала 1/r. При небольшом отклонении от этого закона вектор Лапласа - уже не интеграл движения, но траектория будет напоминать "движущийся эллипс", и вектор Лапласа вроде будет направлен вдоль "мгновенной полуоси" такого динамического эллипса. Так и в задаче с диполем - при разных начальных условиях экстремум будет в разных точках, и искомый вектор должен это учитывать. Если, конечно, такой вектор существует...

> > > А я писал, что ситуация совсем другая, ибо в случае с диполем аналогом является гипребола, а не эллипс. Экстремум проходится однократно, а не многократно, как у "движущегося эллипса". Что происходит с вектором Лапласа при небольшом отклонении от 1/r для гиперболической траектории?

> > Вы все время смотрите на динамику поведения эллипса при фиксированных начальных условиях. Такой элиипс может прецессировать или двигаться по более сложным траекториям. Я тоже не против таких движений эллипса (посмотрите, чтО я писал), но я хочу найти "просто вычисляемый" вектор, который будет отслеживать движение экстремумов траектории (для "движущегося" эллипса это будет что-то вроде мгновенной полуоси). При этом в нашей задаче (не эллипс, а траектория в поле диполя) при фиксированных начальных условиях мы получим фиксированное положение экстремума, но если изменить начальные условия, то положение экстремума будет в общем случае другим, и "вектор экстремума", соответственно, должен отследить такое перемещение экстремума.

> Ну хорошо, но это Ваши слова заставили меня так смотреть... Или я их так неправильно интерпретировал... Ладно, всё-таки у меня сомнения в существовании такого. Смутные, надо признать.

Я уже писал, что у меня тоже уверенности нет. Надо время, чтобы проверить разные варианты, а с временем, тем более летом, не просто...

И еще я, если правильно помню, писал, что существование лишь одного экстремума траектории заряда в поле диполя - это, на мой взгляд, далеко не очевидный и "интуитивно странный" факт (по крайней мере, для меня). Когда я увидел доказательство этого (причем поразительно простое!), то это "сделало мне день" Неужели свойства этого экстремума нигде не исследовались? Слабо в это верю, хотя, если там нет изюминок, то это понятно. Но в отсутствии изюминок я не уверен...


> > > > > > > > > > > > > Теперь несколько слов о векторе Лапласа. Он является интегралом движения для поля с потенциалом 1/r (напр., гравитационного); при отклонении от закона 1/r вектор Лапласа уже не будет замороженным, а будет меняться тем сильнее, чем больше потенциал отличается от гравитационного. В связи с этим можно сузить задачу поиска "векторного" интеграла движения до нахождения непостоянного вектора, который "указывает" на положение единственного экстремума, всегда имеющегося в "невырожденных" траекториях. Я не удивлюсь, если вектор, построенный для поля диполя точно по рецепту построения вектора Лапласа для грав.поля, и будет искомым переменным вектором.

> > > > > > > > > > > > Я не вполне понял. Вы хотите сказать, что вектор, построенный "по рецепту гравполя" (возможно) будет здесь тоже указывать на экстремум, но будет слегка меняться? Не уверен, но как вообще можно совместить указание с переменностью?

> > > > > > > > > > > Я в этом тоже не уверен, но, если вернуться к "слегка подпорченному" грав.полю, то эллипс уже не будет замороженным, он будет прецессировать, и, соответственно, вектор Лапласа будет переменным (т.е. будет менять свое направление в пространстве). В задаче с диполем экстремум, если он существует, тоже ведь не заморожен, он "плавает", или это не так? Если "плавает", то, соответственно, "указующий" вектор должен быть переменным, чтобы отслеживать динамику перемещения этого экстремума.

> > > > > > > > > > Нет, подождите. В слегка подпорченном гравполе траектория есть как бы вращающийся и "дышащий" (меняются оси) эллипс, некий экстремум (даже два - максимум и минимум) есть на каждом обороте. И он-то и смещается. А здесь он один - если максимум, то падает на центр, если минимум - улетает нахрен (на бесконечность).

> > > > > > > > > Немного не понял. Вернемся к графикам Kli-Gin. Я вижу здесь минимумы выше начала координат (для разных начальных скоростей); в каком смысле они улетают на бесконечность?

> > > > > > > >
> > > > > > > > Не минимум, а частица улетает на бесконечность. Для возмущённой "некеплеровостью" эллиптической орбиты вектор Лапласа медленно эволюционирует, откликаясь на смещение перицентрия и изменение эксцентриситета. И в таком качестве его эволюция информативна. Но у нас вариант гиперболы (есть ещё падение на центр), а не эллипса. Минимум проходится однократно. Мне кажется, здесь лаплас-эволюция малоинтересна.

> > > > > > > Давайте договоримся, о чем мы говорим. Когда я привел графики от Kli-Gin, то там мы видим только траекторию, и никакого вектора Лапласа там нет и в помине. Тем более, никакого эллипса там нет, ибо, когда речь идет о диполе, а не о притягивающем грав.заряде, то траектория никакого отношения к эллипсу не имеет. Еще раз: у меня и в мысли не было сопоставлять эти траектории эллипсу. Эллипс - для потенциала 1/r, а эти кривые - для потенциала 1/r². Разве не законен такой вопрос: нет ли простого выражения для вектора, который определяет положение единственного экстремума на траектории?

> > > > > > Да пожалуйста. Но (ИМХО) ниоткуда не следует, что такой вектор есть. В смысле не принрисованный на графике Kli-Gin'а, а в качестве интеграла движения. Я всего лишь эту логику (и то слегка - в качестве адвоката дьявола) оспариваю.

> > > > > Я уже писал, что вектор Лапласа - интеграл движения только в частном случае потенциала 1/r. При небольшом отклонении от этого закона вектор Лапласа - уже не интеграл движения, но траектория будет напоминать "движущийся эллипс", и вектор Лапласа вроде будет направлен вдоль "мгновенной полуоси" такого динамического эллипса. Так и в задаче с диполем - при разных начальных условиях экстремум будет в разных точках, и искомый вектор должен это учитывать. Если, конечно, такой вектор существует...

> > > > А я писал, что ситуация совсем другая, ибо в случае с диполем аналогом является гипребола, а не эллипс. Экстремум проходится однократно, а не многократно, как у "движущегося эллипса". Что происходит с вектором Лапласа при небольшом отклонении от 1/r для гиперболической траектории?

> > > Вы все время смотрите на динамику поведения эллипса при фиксированных начальных условиях. Такой элиипс может прецессировать или двигаться по более сложным траекториям. Я тоже не против таких движений эллипса (посмотрите, чтО я писал), но я хочу найти "просто вычисляемый" вектор, который будет отслеживать движение экстремумов траектории (для "движущегося" эллипса это будет что-то вроде мгновенной полуоси). При этом в нашей задаче (не эллипс, а траектория в поле диполя) при фиксированных начальных условиях мы получим фиксированное положение экстремума, но если изменить начальные условия, то положение экстремума будет в общем случае другим, и "вектор экстремума", соответственно, должен отследить такое перемещение экстремума.

> > Ну хорошо, но это Ваши слова заставили меня так смотреть... Или я их так неправильно интерпретировал... Ладно, всё-таки у меня сомнения в существовании такого. Смутные, надо признать.

> Я уже писал, что у меня тоже уверенности нет. Надо время, чтобы проверить разные варианты, а с временем, тем более летом, не просто...

> И еще я, если правильно помню, писал, что существование лишь одного экстремума траектории заряда в поле диполя - это, на мой взгляд, далеко не очевидный и "интуитивно странный" факт (по крайней мере, для меня). Когда я увидел доказательство этого (причем поразительно простое!), то это "сделало мне день" Неужели свойства этого экстремума нигде не исследовались? Слабо в это верю, хотя, если там нет изюминок, то это понятно. Но в отсутствии изюминок я не уверен...

Я и здесь пессимистичен .
Для траекторий, которые либо уходят на бесконечность, либо падают на центр существование 1 экстремума (минимума и максимума соответственно) мне не кажется неожиданным. То, что практически отсутствуют траектории, "болтающиеся" в одной области, на самом деле связано с законом спадания силы взаимодействия и тоже (по-моему) не сюрпризно. Хотя, наверное, расчётов в подкрепление всё это требует. Конечно, это всё вкусовщина.


> И еще я, если правильно помню, писал, что существование лишь одного экстремума траектории заряда в поле диполя - это, на мой взгляд, далеко не очевидный и "интуитивно странный" факт (по крайней мере, для меня). Когда я увидел доказательство этого (причем поразительно простое!), то это "сделало мне день" Неужели свойства этого экстремума нигде не исследовались? Слабо в это верю, хотя, если там нет изюминок, то это понятно. Но в отсутствии изюминок я не уверен...

Три красивые задачки.

Задача-1
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

Задача-2
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

Задача-3
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.


> > И еще я, если правильно помню, писал, что существование лишь одного экстремума траектории заряда в поле диполя - это, на мой взгляд, далеко не очевидный и "интуитивно странный" факт (по крайней мере, для меня). Когда я увидел доказательство этого (причем поразительно простое!), то это "сделало мне день" Неужели свойства этого экстремума нигде не исследовались? Слабо в это верю, хотя, если там нет изюминок, то это понятно. Но в отсутствии изюминок я не уверен...

> Три красивые задачки.

> Задача-1
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> Задача-2
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Задача-3
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

Задача-4
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.


> Три красивые задачки.

> Задача-1
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> Задача-2
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Задача-3
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

.

Но для этого нужно знать:

а) дипольный момент,
б) заряд частицы,
в) массу частицы (в задаче 1),
г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

Ничего не упустил?


> > Три красивые задачки.

> > Задача-1
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > Задача-2
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-3
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> .

> Но для этого нужно знать:

> а) дипольный момент,
> б) заряд частицы,
> в) массу частицы (в задаче 1),
> г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> Ничего не упустил?

Уточняю:
В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.


> > > Три красивые задачки.

> > > Задача-1
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > Задача-2
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Задача-3
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > .

> > Но для этого нужно знать:

> > а) дипольный момент,
> > б) заряд частицы,
> > в) массу частицы (в задаче 1),
> > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > Ничего не упустил?

> Уточняю:
> В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.


> > > Три красивые задачки.

> > > Задача-1
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > Задача-2
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Задача-3
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > .

> > Но для этого нужно знать:

> > а) дипольный момент,
> > б) заряд частицы,
> > в) массу частицы (в задаче 1),
> > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > Ничего не упустил?

> Уточняю:
> В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

ЗЫ Модератору - предыдущий пост-пустышка отправлен по ошибке.


> > > > Три красивые задачки.

> > > > Задача-1
> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > Задача-2
> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > Задача-3
> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > .

> > > Но для этого нужно знать:

> > > а) дипольный момент,
> > > б) заряд частицы,
> > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > Ничего не упустил?

> > Уточняю:
> > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

Потому и назвал задачки красивыми.


> > > > > Три красивые задачки.

> > > > > Задача-1
> > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > Задача-2
> > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > Задача-3
> > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > .

> > > > Но для этого нужно знать:

> > > > а) дипольный момент,
> > > > б) заряд частицы,
> > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > Ничего не упустил?

> > > Уточняю:
> > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> Потому и назвал задачки красивыми.

Неожиданно!

Это значит, что в задаче 1 время выражается только через L и V, а в остальных задачах к этим двум параметрам добавляется потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта. Верно?


> > > > > > Три красивые задачки.

> > > > > > Задача-1
> > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > > Задача-2
> > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > Задача-3
> > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > > .

> > > > > Но для этого нужно знать:

> > > > > а) дипольный момент,
> > > > > б) заряд частицы,
> > > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > > Ничего не упустил?

> > > > Уточняю:
> > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> > Потому и назвал задачки красивыми.

> Неожиданно!

> Это значит, что в задаче 1 время выражается только через L и V, а в остальных задачах к этим двум параметрам добавляется потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта. Верно?

Да. Но ответ не обязательно угадывать...


> > > > > Три красивые задачки.

> > > > > Задача-1
> > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > Задача-2
> > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > Задача-3
> > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > .

> > > > Но для этого нужно знать:

> > > > а) дипольный момент,
> > > > б) заряд частицы,
> > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > Ничего не упустил?

> > > Уточняю:
> > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> Потому и назвал задачки красивыми.

Задача-1

Ответ: T = L/V


> > > > > > > Три красивые задачки.

> > > > > > > Задача-1
> > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > > > Задача-2
> > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > Задача-3
> > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > > > .

> > > > > > Но для этого нужно знать:

> > > > > > а) дипольный момент,
> > > > > > б) заряд частицы,
> > > > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > > > Ничего не упустил?

> > > > > Уточняю:
> > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> > > Потому и назвал задачки красивыми.

> > Неожиданно!

> > Это значит, что в задаче 1 время выражается только через L и V, а в остальных задачах к этим двум параметрам добавляется потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта. Верно?

> Да. Но ответ не обязательно угадывать...

Нет, угадывать я не собираюсь. По первой задаче: начальная потенциальная энергия =0, так что полная энергия равна кинетической, и она сохраняется. Дальше все очевидно.


> > > > > > > > Три красивые задачки.

> > > > > > > > Задача-1
> > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > > > > Задача-2
> > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > > Задача-3
> > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > > > > .

> > > > > > > Но для этого нужно знать:

> > > > > > > а) дипольный момент,
> > > > > > > б) заряд частицы,
> > > > > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > > > > Ничего не упустил?

> > > > > > Уточняю:
> > > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > > > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> > > > Потому и назвал задачки красивыми.

> > > Неожиданно!

> > > Это значит, что в задаче 1 время выражается только через L и V, а в остальных задачах к этим двум параметрам добавляется потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта. Верно?

> > Да. Но ответ не обязательно угадывать...

> Нет, угадывать я не собираюсь. По первой задаче: начальная потенциальная энергия =0, так что полная энергия равна кинетической, и она сохраняется. Дальше все очевидно.

В начальный момент времени полная энергия равна кинетической. Как это помогает нам найти время движения?


> > > > > > > > > Три красивые задачки.

> > > > > > > > > Задача-1
> > > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > > > > > Задача-2
> > > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > > > Задача-3
> > > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > > > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > > > > > .

> > > > > > > > Но для этого нужно знать:

> > > > > > > > а) дипольный момент,
> > > > > > > > б) заряд частицы,
> > > > > > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > > > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > > > > > Ничего не упустил?

> > > > > > > Уточняю:
> > > > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > > > > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> > > > > Потому и назвал задачки красивыми.

> > > > Неожиданно!

> > > > Это значит, что в задаче 1 время выражается только через L и V, а в остальных задачах к этим двум параметрам добавляется потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта. Верно?

> > > Да. Но ответ не обязательно угадывать...

> > Нет, угадывать я не собираюсь. По первой задаче: начальная потенциальная энергия =0, так что полная энергия равна кинетической, и она сохраняется. Дальше все очевидно.

> В начальный момент времени полная энергия равна кинетической. Как это помогает нам найти время движения?

Применим уравнение

для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

Или, переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

Т.к. дискриминант уравнения =0, то и получается один корень T=L/V.


> > > > > > Три красивые задачки.

> > > > > > Задача-1
> > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > > Задача-2
> > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > Задача-3
> > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > > .

> > > > > Но для этого нужно знать:

> > > > > а) дипольный момент,
> > > > > б) заряд частицы,
> > > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > > Ничего не упустил?

> > > > Уточняю:
> > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> > Потому и назвал задачки красивыми.

> Задача-1

> Ответ: T = L/V

Задача-2

Ответ: T = (L/V)(1-K)/(1+K)² ,
где K=Ep/Ek - отношение потенциальной энергии к кинетической, причем потенциальная энергия отрицательна.


> > > > > > > Три красивые задачки.

> > > > > > > Задача-1
> > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > > > Задача-2
> > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > Задача-3
> > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > > > .

> > > > > > Но для этого нужно знать:

> > > > > > а) дипольный момент,
> > > > > > б) заряд частицы,
> > > > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > > > Ничего не упустил?

> > > > > Уточняю:
> > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> > > Потому и назвал задачки красивыми.

> > Задача-1

> > Ответ: T = L/V
Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.
> Задача-2

> Ответ: T = (L/V)(1-K)/(1+K)² ,
> где K=Ep/Ek - отношение потенциальной энергии к кинетической, причем потенциальная энергия отрицательна.
Я получил иной ответ:
T= (L/V)/(1+ √K )
Такой же ответ получается в задаче 4, обобщающей задачу 2:
Задача-4
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.


> > > > > > > > Три красивые задачки.

> > > > > > > > Задача-1
> > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > > > > > Задача-2
> > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > > Задача-3
> > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > > > > Прежде чем решать задачи, нужны некоторые уточнения.

> > > > > > > Решение, насколько я понимаю, следует из Вашей же формулы:

> > > > > > > .

> > > > > > > Но для этого нужно знать:

> > > > > > > а) дипольный момент,
> > > > > > > б) заряд частицы,
> > > > > > > в) массу частицы (в задаче 1),
> > > > > > > г) начальное направление скорости частицы (только в задаче 2 вектор начальной скорости четко задан).

> > > > > > > Ничего не упустил?

> > > > > > Уточняю:
> > > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > > > Со скоростями понятно. А знание дипольного момента, заряда и массы частицы не требуется?

> > > > Потому и назвал задачки красивыми.

> > > Задача-1

> > > Ответ: T = L/V
> Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

Метода решения у меня совпадает с Вашей?
То, что траектория имеет весьма сложную форму, понятно. Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> > Задача-2

> > Ответ: T = (L/V)(1-K)/(1+K)² ,
> > где K=Ep/Ek - отношение потенциальной энергии к кинетической, причем потенциальная энергия отрицательна.
> Я получил иной ответ:
> T= (L/V)/(1+ √K )

У меня K<0, т.к. потенциальная энергия вроде отрицательна.
Завтра с утра постараюсь проверить свой вывод.

> Такой же ответ получается в задаче 4, обобщающей задачу 2:
> Задача-4
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

Задачи 3 и 4 я еще не решал. Но собираюсь


Задача-2
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

Уточнение: в задачах 2 и 3 частица положительная.


Применим уравнение

для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

,

где , а полная энергия . Отметим, что начальная потенциальная энергия , поэтому и .

Переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

Из двух корней квадратного уравнения

оставляем один (с плюсом в числителе), т.к. время не может быть отрицательным ни при каких начальных условиях.
Окончательно:


> Задача-2
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Уточнение: в задачах 2 и 3 частица положительная.

>
> Применим уравнение

>

> для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

> ,

> где , а полная энергия . Отметим, что начальная потенциальная энергия , поэтому и .

> Переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

>

> Из двух корней квадратного уравнения

> оставляем один (с плюсом в числителе), т.к. время не может быть отрицательным ни при каких начальных условиях.
> Окончательно:

Поправил: убрал квадрат скобки в знаменателе.
Последнюю формулу можно упростить:

,

что совпадает с решением Kli-Gin.


> > Задача-2
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Уточнение: в задачах 2 и 3 частица положительная.

> >
> > Применим уравнение

> >

> > для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

> > ,

> > где , а полная энергия . Отметим, что начальная потенциальная энергия , поэтому и .

> > Переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

> >

> > Из двух корней квадратного уравнения

>

> > оставляем один (с плюсом в числителе), т.к. время не может быть отрицательным ни при каких начальных условиях.
> > Окончательно:

>

> Поправил: убрал квадрат скобки в знаменателе.
> Последнюю формулу можно упростить:

> ,

> что совпадает с решением Kli-Gin.

Еще поправка: в знаменателе получается минус

,

и это отличается от решения Kli-Gin.


> > > Задача-2
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Уточнение: в задачах 2 и 3 частица положительная.

> > >
> > > Применим уравнение

> > >

> > > для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

> > > ,

> > > где , а полная энергия . Отметим, что начальная потенциальная энергия , поэтому и .

> > > Переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

> > >

> > > Из двух корней квадратного уравнения

> >

> > > оставляем один (с плюсом в числителе), т.к. время не может быть отрицательным ни при каких начальных условиях.
> > > Окончательно:

> >

> > Поправил: убрал квадрат скобки в знаменателе.
> > Последнюю формулу можно упростить:

> > ,

> > что совпадает с решением Kli-Gin.

> Еще поправка: в знаменателе получается минус

> ,

> и это отличается от решения Kli-Gin.

К сожалению, на форумном движке невозможно редактировать опубликованные сообщения, поэтому сделаю еще одно изменение, а предыдущие сообщения прошу считать недействительными

Из двух корней квадратного уравнения

оставляем один (с минусом в числителе), т.к. время не может быть отрицательным ни при каких начальных условиях (см. конечную формулу ниже).
Окончательно:

Последнюю формулу можно упростить:

,

что совпадает с решением Kli-Gin.


> > > Задача-1

> > > Ответ: T = L/V
> Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

Повторю еще раз свой вопрос:

Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?


> > > > Задача-1

> > > > Ответ: T = L/V
> > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> Повторю еще раз свой вопрос:

> Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

Простите, Вы не верите в формулу ?
Что именно использованное при выводе вызывает сомнение?

> Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

В задачах о движении в центральном поле под "падением на центр" подразумевают обращение в 0 радиальной координаты. Вроде как "общеупотребительно". Почему здесь Вы ощущаете потребность в другой терминологии?

> Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?


> > > > > Задача-1

> > > > > Ответ: T = L/V
> > > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> > Повторю еще раз свой вопрос:

> > Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> Простите, Вы не верите в формулу ?

Верю. Сам проверял - все сходится.

> Что именно использованное при выводе вызывает сомнение?

При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> В задачах о движении в центральном поле под "падением на центр" подразумевают обращение в 0 радиальной координаты. Вроде как "общеупотребительно". Почему здесь Вы ощущаете потребность в другой терминологии?

Во-первых, у нас не центральное поле. А во-вторых, меня устраивает критерий падения "радиус-вектор = 0". Только для численных расчетов такой критерий может быть проблематичным.

> > Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?


> > > > > > Задача-1

> > > > > > Ответ: T = L/V
> > > > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> > > Повторю еще раз свой вопрос:

> > > Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> > Простите, Вы не верите в формулу ?

> Верю. Сам проверял - все сходится.

> > Что именно использованное при выводе вызывает сомнение?

> При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> > В задачах о движении в центральном поле под "падением на центр" подразумевают обращение в 0 радиальной координаты. Вроде как "общеупотребительно". Почему здесь Вы ощущаете потребность в другой терминологии?

> Во-первых, у нас не центральное поле. А во-вторых, меня устраивает критерий падения "радиус-вектор = 0". Только для численных расчетов такой критерий может быть проблематичным.

Особенно если учесть, что сила взаимодействия стремится к бесконечности...

> > > Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?


> > > > > > > Задача-1

> > > > > > > Ответ: T = L/V
> > > > > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> > > > Повторю еще раз свой вопрос:

> > > > Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> > > Простите, Вы не верите в формулу ?

> > Верю. Сам проверял - все сходится.

> > > Что именно использованное при выводе вызывает сомнение?

> > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> > > В задачах о движении в центральном поле под "падением на центр" подразумевают обращение в 0 радиальной координаты. Вроде как "общеупотребительно". Почему здесь Вы ощущаете потребность в другой терминологии?

> > Во-первых, у нас не центральное поле. А во-вторых, меня устраивает критерий падения "радиус-вектор = 0". Только для численных расчетов такой критерий может быть проблематичным.

> Особенно если учесть, что сила взаимодействия стремится к бесконечности...

И это тоже. В любом случае, такие вещи нужно аккуратно доопределить.

> > > > Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?

>


> > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

Вот сохраняющиеся интегралы:


Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.


> > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> Вот сохраняющиеся интегралы:
>
>
> Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?


> > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > Вот сохраняющиеся интегралы:
> >
> >
> > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?
Почему "малая" поперечная сила не позволяет траектории пройти через центр? Сила ведь притягивающая? Она "сбивает" заряд с прямой? Да, сбивает, траектория не прямая. Если мы возьмём сжимающуюся спираль и как бы отразим в зеркале верхние полудуги вниз, то это и будет аналог нашей траектории (в топологическом смысле). Ну и при приближении сила как раз становится большой, и - это ровно то, что способствует падению.


> > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > >
> > >
> > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> Почему "малая" поперечная сила не позволяет траектории пройти через центр? Сила ведь притягивающая? Она "сбивает" заряд с прямой? Да, сбивает, траектория не прямая. Если мы возьмём сжимающуюся спираль и как бы отразим в зеркале верхние полудуги вниз, то это и будет аналог нашей траектории (в топологическом смысле). Ну и при приближении сила как раз становится большой, и - это ровно то, что способствует падению.

Посмотрим на рисунок. Для поперечной оси (сверху вниз, или наоборот) сила действует поперек движения (ибо в этой задаче движение происходит вблизи этой оси). Частица не пройдет через центр, и уйдет на бесконечность (у нас диполь имеет пренебреимо малые размеры, так что движение происходит в "дальней зоне").


> > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > >
> > > >
> > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.
Здесь для непопадания нужно достаточно сильно пошевелить начальные параметры (в указанном кеплеровом случае сколь угодно слабо) - потому, что кубическое притяжение в отличие от квадратичного провоцирует падение.

> > Почему "малая" поперечная сила не позволяет траектории пройти через центр? Сила ведь притягивающая? Она "сбивает" заряд с прямой? Да, сбивает, траектория не прямая. Если мы возьмём сжимающуюся спираль и как бы отразим в зеркале верхние полудуги вниз, то это и будет аналог нашей траектории (в топологическом смысле). Ну и при приближении сила как раз становится большой, и - это ровно то, что способствует падению.

>

> Посмотрим на рисунок. Для поперечной оси (сверху вниз, или наоборот) сила действует поперек движения (ибо в этой задаче движение происходит вблизи этой оси). Частица не пройдет через центр, и уйдет на бесконечность (у нас диполь имеет пренебреимо малые размеры, так что движение происходит в "дальней зоне").

Вы не слушаете. Она под воздействием поперечной силы именно так и приближается к 0 - не по прямой, а по стягивающейся к 0 "полуспирали". И что? Падение на центр с кубической силой тоже происходит не по прямой, а по (уже настоящей) спирали. Из этого совсем не следует, что уйдёт на бесконечность. Можно ли сказать, что такие траектории "проходят через центр"? Согласно общеупотребительной терминологии - можно.
А вот вопрос о том, что происходит в ближней зоне конечного диполя - да, очень интересен, уже писал.


> > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > >
> > > > >
> > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

> Здесь для непопадания нужно достаточно сильно пошевелить начальные параметры (в указанном кеплеровом случае сколь угодно слабо) - потому, что кубическое притяжение в отличие от квадратичного провоцирует падение.

Зачем шевелить начальные параметры? Здесь - не центральное поле, сила действует поперечно, и вызывает предсказуемое легкое движение "от оси" совместно с "генеральным" начальным движением вдоль оси. Что касается движения вблизи центра (0,0), то частица будет "проскакивать" его на малом, но конечном расстоянии, и никакой расходимости не будет.

> > > Почему "малая" поперечная сила не позволяет траектории пройти через центр? Сила ведь притягивающая? Она "сбивает" заряд с прямой? Да, сбивает, траектория не прямая. Если мы возьмём сжимающуюся спираль и как бы отразим в зеркале верхние полудуги вниз, то это и будет аналог нашей траектории (в топологическом смысле). Ну и при приближении сила как раз становится большой, и - это ровно то, что способствует падению.

> >

> > Посмотрим на рисунок. Для поперечной оси (сверху вниз, или наоборот) сила действует поперек движения (ибо в этой задаче движение происходит вблизи этой оси). Частица не пройдет через центр, и уйдет на бесконечность (у нас диполь имеет пренебреимо малые размеры, так что движение происходит в "дальней зоне").

> Вы не слушаете. Она под воздействием поперечной силы именно так и приближается к 0 - не по прямой, а по стягивающейся к 0 "полуспирали". И что? Падение на центр с кубической силой тоже происходит не по прямой, а по (уже настоящей) спирали. Из этого совсем не следует, что уйдёт на бесконечность. Можно ли сказать, что такие траектории "проходят через центр"? Согласно общеупотребительной терминологии - можно.
> А вот вопрос о том, что происходит в ближней зоне конечного диполя - да, очень интересен, уже писал.


> > > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> > Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> > Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

> Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

Ну, во-первых, из того решения, что я написал. Во-вторых, Вы напрасно ориентируетесь на конечный диполь. Возьмите поле точечного и диполя и увидите, что при выходе заряда из исходной плоскости в область появляется сила, притягивающая его к диполю. Вы что, это отрицаете? Есть и поперечная, которая и болтает его туда-сюда. Мы же очень подробно это разбирали в случае с нулевой начальной скоростью (сила-то от скорости НЕ зависит). Никакого "проскакивания"!
Давайте попробую другой образ. Возьмите маятник, колеблющийся с постоянной амплитудой в 90 градусов и наложите на его движение убывание длины с постоянной скоростью, причём амплитуда колебаний остаётся неизменной, а период колебаний убывает, так что за время падения на центр успевает произойти их бесконечное количество.
"Массивность" проявляется в том, что выход из начальной плоскости и сами колебания происходят гораздо ближе к диполю. Но происходят.

Кстати, про конечный диполь. Случай двух неподвижных притягивающих центров, как известно, интегрируется. Вы не знаете, ежели один из них отталкивающий, метода перехода к эллииптическим координатам всё равно работает?


> > > > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > > > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> > > Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> > > Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

> > Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

> Ну, во-первых, из того решения, что я написал. Во-вторых, Вы напрасно ориентируетесь на конечный диполь. Возьмите поле точечного и диполя и увидите, что при выходе заряда из исходной плоскости в область появляется сила, притягивающая его к диполю. Вы что, это отрицаете?

Для точечного диполя - не отрицаю. Ваши выкладки я посмотрел, и они выглядят убедительно. Получается, что при начальных условиях задачи_1 вообще невозможна "гиперболоподобная" траектория? Если это так, то все падающие на диполь траектории действительно подобны. Это неожиданно и интересно.

Кстати, а когда в ветке обсуждались (если вообще обсуждались?) условия, при которых траектория становится "гиперболоподобной"? Есть какие-то четкие критерии, налагаемые на начальные условия?

> Есть и поперечная, которая и болтает его туда-сюда. Мы же очень подробно это разбирали в случае с нулевой начальной скоростью (сила-то от скорости НЕ зависит). Никакого "проскакивания"!
> Давайте попробую другой образ. Возьмите маятник, колеблющийся с постоянной амплитудой в 90 градусов и наложите на его движение убывание длины с постоянной скоростью, причём амплитуда колебаний остаётся неизменной, а период колебаний убывает, так что за время падения на центр успевает произойти их бесконечное количество.
> "Массивность" проявляется в том, что выход из начальной плоскости и сами колебания происходят гораздо ближе к диполю. Но происходят.

> Кстати, про конечный диполь. Случай двух неподвижных притягивающих центров, как известно, интегрируется. Вы не знаете, ежели один из них отталкивающий, метода перехода к эллииптическим координатам всё равно работает?

Встречался только с задачей двух неподвижных притягивающих центров (эллиптические координаты, мнимые массы и т.п.). Для конфигурации в виде электрического диполя - нет, но вроде, когда просматривал недавно разные ссылки, что-то подобное было. Но без уверенности.


> > > > > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > > > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > > > > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> > > > Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> > > > Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

> > > Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

> > Ну, во-первых, из того решения, что я написал. Во-вторых, Вы напрасно ориентируетесь на конечный диполь. Возьмите поле точечного и диполя и увидите, что при выходе заряда из исходной плоскости в область появляется сила, притягивающая его к диполю. Вы что, это отрицаете?

> Для точечного диполя - не отрицаю. Ваши выкладки я посмотрел, и они выглядят убедительно. Получается, что при начальных условиях задачи_1 вообще невозможна "гиперболоподобная" траектория? Если это так, то все падающие на диполь траектории действительно подобны. Это неожиданно и интересно.

> Кстати, а когда в ветке обсуждались (если вообще обсуждались?) условия, при которых траектория становится "гиперболоподобной"? Есть какие-то четкие критерии, налагаемые на начальные условия?

Очевидно, требуется 2 условия: положительность коэффициента при и отсутствие корней у этого трёхчлена (отрицательность дискриминанта) . Впрочем, можно оставить только второе.

> > Есть и поперечная, которая и болтает его туда-сюда. Мы же очень подробно это разбирали в случае с нулевой начальной скоростью (сила-то от скорости НЕ зависит). Никакого "проскакивания"!
> > Давайте попробую другой образ. Возьмите маятник, колеблющийся с постоянной амплитудой в 90 градусов и наложите на его движение убывание длины с постоянной скоростью, причём амплитуда колебаний остаётся неизменной, а период колебаний убывает, так что за время падения на центр успевает произойти их бесконечное количество.
> > "Массивность" проявляется в том, что выход из начальной плоскости и сами колебания происходят гораздо ближе к диполю. Но происходят.

> > Кстати, про конечный диполь. Случай двух неподвижных притягивающих центров, как известно, интегрируется. Вы не знаете, ежели один из них отталкивающий, метода перехода к эллииптическим координатам всё равно работает?

> Встречался только с задачей двух неподвижных притягивающих центров (эллиптические координаты, мнимые массы и т.п.). Для конфигурации в виде электрического диполя - нет, но вроде, когда просматривал недавно разные ссылки, что-то подобное было. Но без уверенности.

Жалко, коли не интегрируется. В принципе для конечного диполя падение на любую из его составляющих (для положительного заряда, понятно, на отрицательную) уже возможно только в исключительных случаях. Например, в варианте задачи 2. В разбираемом варианте, поскольку функция лишь касается нуля, можно высказать гипотезу, что точное решение задачи с конечным диполем даёт именно гиперболическую траекторию - приходит в 0 и уходит на бесконечность, т.е. (наверное) "продолженное" через падение решение точечной задачи близко к точной. А вот что будет, когда в точечной задаче отрицательные значения занимают конечный временной интервал? "Захвата" вроде быть не может, т.е. "поболтавшись" вблизи пары заряд должен бы выйти на точечную траекторию. На какую?
Впрочем, может здесь-то Кli-Gin может расчитать? Правда, машина малых параметров не любит, а выход на точечность его содержит...


> > > > Задача-1

> > > > Ответ: T = L/V
> > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> Повторю еще раз свой вопрос:

> Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?

Прошу прощение, что иногда надолго выпадаю из обсуждения. Пока не успел внимательно прочитать последние сообщения этой ветки. Несколько соображений (наверное, не новых):
1) В задаче 1 время падения от массы частицы не зависит, но это не есть общее свойство задачи (например, это не так, в задачах 2, 4).
2) Траектория частицы не зависит от массы при нулевой начальной скорости. В остальных случаях траектория от массы зависит.
3) Привожу пару картинок. На левом рисунке заряженная частица приближается к диполю. В точке с координатой (0,2) скорость частицы равна 0,1 и направлена к диполю вдоль его поперечной оси. Масса частицы равна 1. На правом рисунке то же, что на левом, но масса частицы равна 10.


> > > > > > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > > > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > > > > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > > > > > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> > > > > Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> > > > > Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

> > > > Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

> > > Ну, во-первых, из того решения, что я написал. Во-вторых, Вы напрасно ориентируетесь на конечный диполь. Возьмите поле точечного и диполя и увидите, что при выходе заряда из исходной плоскости в область появляется сила, притягивающая его к диполю. Вы что, это отрицаете?

> > Для точечного диполя - не отрицаю. Ваши выкладки я посмотрел, и они выглядят убедительно. Получается, что при начальных условиях задачи_1 вообще невозможна "гиперболоподобная" траектория? Если это так, то все падающие на диполь траектории действительно подобны. Это неожиданно и интересно.

> > Кстати, а когда в ветке обсуждались (если вообще обсуждались?) условия, при которых траектория становится "гиперболоподобной"? Есть какие-то четкие критерии, налагаемые на начальные условия?

> Очевидно, требуется 2 условия: положительность коэффициента при и отсутствие корней у этого трёхчлена (отрицательность дискриминанта) . Впрочем, можно оставить только второе.

Спасибо, это то, что нужно! Однако хочу уточнить такой момент. Пусть начальная конфигурация такая, как в задаче_1, но скорость направлена не к диполю, а противоположно. Из второго условия следует, что когда потенциальная энергия =0, а начальный вектор скорости коллинеарен радиус-вектору, то неравенство не выполняется (имеем чистое равенство). Но разве при начальной очень большой скорости, направленной от диполя, частица не сможет "оторваться" от диполя?

> > > Есть и поперечная, которая и болтает его туда-сюда. Мы же очень подробно это разбирали в случае с нулевой начальной скоростью (сила-то от скорости НЕ зависит). Никакого "проскакивания"!
> > > Давайте попробую другой образ. Возьмите маятник, колеблющийся с постоянной амплитудой в 90 градусов и наложите на его движение убывание длины с постоянной скоростью, причём амплитуда колебаний остаётся неизменной, а период колебаний убывает, так что за время падения на центр успевает произойти их бесконечное количество.
> > > "Массивность" проявляется в том, что выход из начальной плоскости и сами колебания происходят гораздо ближе к диполю. Но происходят.

> > > Кстати, про конечный диполь. Случай двух неподвижных притягивающих центров, как известно, интегрируется. Вы не знаете, ежели один из них отталкивающий, метода перехода к эллииптическим координатам всё равно работает?

> > Встречался только с задачей двух неподвижных притягивающих центров (эллиптические координаты, мнимые массы и т.п.). Для конфигурации в виде электрического диполя - нет, но вроде, когда просматривал недавно разные ссылки, что-то подобное было. Но без уверенности.

> Жалко, коли не интегрируется. В принципе для конечного диполя падение на любую из его составляющих (для положительного заряда, понятно, на отрицательную) уже возможно только в исключительных случаях. Например, в варианте задачи 2. В разбираемом варианте, поскольку функция лишь касается нуля, можно высказать гипотезу, что точное решение задачи с конечным диполем даёт именно гиперболическую траекторию - приходит в 0 и уходит на бесконечность, т.е. (наверное) "продолженное" через падение решение точечной задачи близко к точной. А вот что будет, когда в точечной задаче отрицательные значения занимают конечный временной интервал? "Захвата" вроде быть не может, т.е. "поболтавшись" вблизи пары заряд должен бы выйти на точечную траекторию. На какую?

Когда Вы пишете "отрицательные значения ".то имеете в виду значения , соответствующие отрицательному дискриминанту?

> Впрочем, может здесь-то Кli-Gin может расчитать? Правда, машина малых параметров не любит, а выход на точечность его содержит...

Если установить некоторую запретную эпсилон-область, то может и пройдет...


> > > > > Задача-1

> > > > > Ответ: T = L/V
> > > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> > Повторю еще раз свой вопрос:

> > Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> > Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> > Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?

> Прошу прощение, что иногда надолго выпадаю из обсуждения. Пока не успел внимательно прочитать последние сообщения этой ветки. Несколько соображений (наверное, не новых):
> 1) В задаче 1 время падения от массы частицы не зависит, но это не есть общее свойство задачи (например, это не так, в задачах 2, 4).
> 2) Траектория частицы не зависит от массы при нулевой начальной скорости. В остальных случаях траектория от массы зависит.
> 3) Привожу пару картинок. На левом рисунке заряженная частица приближается к диполю. В точке с координатой (0,2) скорость частицы равна 0,1 и направлена к диполю вдоль его поперечной оси. Масса частицы равна 1. На правом рисунке то же, что на левом, но масса частицы равна 10.

Спасибо за картинки! Правда, меня интересовал случай, когда масса частицы настолько велика, что "болтанки" частицы относительно диполя не будет, и частица притянется к диполю на первом проходе. Я думал, что тяжелая частица сможет "проскочить" точечный диполь, не попав в его центр (0,0), но КС изящно показал, что при начальной конфигурации, соответствующей задаче_1, это невозможно при любых массах, зарядах и дипольныъх моментах. Так что ситуация прояснилась и без симуляции


> > > > > > > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > > > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > > > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > > > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > > > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > > > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > > > > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > > > > > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > > > > > > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> > > > > > Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> > > > > > Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

> > > > > Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

> > > > Ну, во-первых, из того решения, что я написал. Во-вторых, Вы напрасно ориентируетесь на конечный диполь. Возьмите поле точечного и диполя и увидите, что при выходе заряда из исходной плоскости в область появляется сила, притягивающая его к диполю. Вы что, это отрицаете?

> > > Для точечного диполя - не отрицаю. Ваши выкладки я посмотрел, и они выглядят убедительно. Получается, что при начальных условиях задачи_1 вообще невозможна "гиперболоподобная" траектория? Если это так, то все падающие на диполь траектории действительно подобны. Это неожиданно и интересно.

> > > Кстати, а когда в ветке обсуждались (если вообще обсуждались?) условия, при которых траектория становится "гиперболоподобной"? Есть какие-то четкие критерии, налагаемые на начальные условия?

> > Очевидно, требуется 2 условия: положительность коэффициента при и отсутствие корней у этого трёхчлена (отрицательность дискриминанта) . Впрочем, можно оставить только второе.

> Спасибо, это то, что нужно! Однако хочу уточнить такой момент. Пусть начальная конфигурация такая, как в задаче_1, но скорость направлена не к диполю, а противоположно. Из второго условия следует, что когда потенциальная энергия =0, а начальный вектор скорости коллинеарен радиус-вектору, то неравенство не выполняется (имеем чистое равенство). Но разве при начальной очень большой скорости, направленной от диполя, частица не сможет "оторваться" от диполя?

Прошу прощения. Под отсутствием падения я имел в виду необращение в 0 на всей оси времени - от минус до плюс бесконечности. В Вашем примере заряд в некий отрицательный момент вышел из нуля, т.е. при таких начальных условиях у него было тёмное прошлое. Если интересоваться только светлым будущим, к указанному критерию следует добавить с логическим союзом "или" условие .
Первоначальный вариант, я сообразил, можно описать словами "полная энергия больше начльной кинэнергии радиального движения".

> > > > Есть и поперечная, которая и болтает его туда-сюда. Мы же очень подробно это разбирали в случае с нулевой начальной скоростью (сила-то от скорости НЕ зависит). Никакого "проскакивания"!
> > > > Давайте попробую другой образ. Возьмите маятник, колеблющийся с постоянной амплитудой в 90 градусов и наложите на его движение убывание длины с постоянной скоростью, причём амплитуда колебаний остаётся неизменной, а период колебаний убывает, так что за время падения на центр успевает произойти их бесконечное количество.
> > > > "Массивность" проявляется в том, что выход из начальной плоскости и сами колебания происходят гораздо ближе к диполю. Но происходят.

> > > > Кстати, про конечный диполь. Случай двух неподвижных притягивающих центров, как известно, интегрируется. Вы не знаете, ежели один из них отталкивающий, метода перехода к эллииптическим координатам всё равно работает?

> > > Встречался только с задачей двух неподвижных притягивающих центров (эллиптические координаты, мнимые массы и т.п.). Для конфигурации в виде электрического диполя - нет, но вроде, когда просматривал недавно разные ссылки, что-то подобное было. Но без уверенности.

> > Жалко, коли не интегрируется. В принципе для конечного диполя падение на любую из его составляющих (для положительного заряда, понятно, на отрицательную) уже возможно только в исключительных случаях. Например, в варианте задачи 2. В разбираемом варианте, поскольку функция лишь касается нуля, можно высказать гипотезу, что точное решение задачи с конечным диполем даёт именно гиперболическую траекторию - приходит в 0 и уходит на бесконечность, т.е. (наверное) "продолженное" через падение решение точечной задачи близко к точной. А вот что будет, когда в точечной задаче отрицательные значения занимают конечный временной интервал? "Захвата" вроде быть не может, т.е. "поболтавшись" вблизи пары заряд должен бы выйти на точечную траекторию. На какую?

> Когда Вы пишете "отрицательные значения ".то имеете в виду значения , соответствующие отрицательному дискриминанту?

Нет. Дискриминант как раз положительный. Но в соотношении правая часть принимает отрицательные значения.

> > Впрочем, может здесь-то Кli-Gin может расчитать? Правда, машина малых параметров не любит, а выход на точечность его содержит...

> Если установить некоторую запретную эпсилон-область, то может и пройдет...

Возможно. Я-то сам считать на компьютере не умею...


> > > > > > > > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > > > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > > > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > > > > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > > > > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > > > > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > > > > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > > > > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > > > > > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > > > > > > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > > > > > > > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> > > > > > > Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> > > > > > > Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

> > > > > > Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

> > > > > Ну, во-первых, из того решения, что я написал. Во-вторых, Вы напрасно ориентируетесь на конечный диполь. Возьмите поле точечного и диполя и увидите, что при выходе заряда из исходной плоскости в область появляется сила, притягивающая его к диполю. Вы что, это отрицаете?

> > > > Для точечного диполя - не отрицаю. Ваши выкладки я посмотрел, и они выглядят убедительно. Получается, что при начальных условиях задачи_1 вообще невозможна "гиперболоподобная" траектория? Если это так, то все падающие на диполь траектории действительно подобны. Это неожиданно и интересно.

> > > > Кстати, а когда в ветке обсуждались (если вообще обсуждались?) условия, при которых траектория становится "гиперболоподобной"? Есть какие-то четкие критерии, налагаемые на начальные условия?

> > > Очевидно, требуется 2 условия: положительность коэффициента при и отсутствие корней у этого трёхчлена (отрицательность дискриминанта) . Впрочем, можно оставить только второе.

> > Спасибо, это то, что нужно! Однако хочу уточнить такой момент. Пусть начальная конфигурация такая, как в задаче_1, но скорость направлена не к диполю, а противоположно. Из второго условия следует, что когда потенциальная энергия =0, а начальный вектор скорости коллинеарен радиус-вектору, то неравенство не выполняется (имеем чистое равенство). Но разве при начальной очень большой скорости, направленной от диполя, частица не сможет "оторваться" от диполя?

> Прошу прощения. Под отсутствием падения я имел в виду необращение в 0 на всей оси времени - от минус до плюс бесконечности. В Вашем примере заряд в некий отрицательный момент вышел из нуля, т.е. при таких начальных условиях у него было тёмное прошлое. Если интересоваться только светлым будущим, к указанному критерию следует добавить с логическим союзом "или" условие .
> Первоначальный вариант, я сообразил, можно описать словами "полная энергия больше начльной кинэнергии радиального движения".

С Вашего позволения, подытожу:

1. Условие отсутствия падения (необращение в 0 на всей оси времени - от минус до плюс бесконечности):

, т.е.полная энергия больше начальной кинэнергии радиального движения.

2. Условие отсутствия падения (необращение в 0 в будущем, т.е. от начального момента времени до плюс бесконечности):

, или .

Я нигде не напутал? Под начальной кинэнергией радиального движения понимается выражение с квадратом радиальной скорости?

> > > > > Есть и поперечная, которая и болтает его туда-сюда. Мы же очень подробно это разбирали в случае с нулевой начальной скоростью (сила-то от скорости НЕ зависит). Никакого "проскакивания"!
> > > > > Давайте попробую другой образ. Возьмите маятник, колеблющийся с постоянной амплитудой в 90 градусов и наложите на его движение убывание длины с постоянной скоростью, причём амплитуда колебаний остаётся неизменной, а период колебаний убывает, так что за время падения на центр успевает произойти их бесконечное количество.
> > > > > "Массивность" проявляется в том, что выход из начальной плоскости и сами колебания происходят гораздо ближе к диполю. Но происходят.

> > > > > Кстати, про конечный диполь. Случай двух неподвижных притягивающих центров, как известно, интегрируется. Вы не знаете, ежели один из них отталкивающий, метода перехода к эллииптическим координатам всё равно работает?

> > > > Встречался только с задачей двух неподвижных притягивающих центров (эллиптические координаты, мнимые массы и т.п.). Для конфигурации в виде электрического диполя - нет, но вроде, когда просматривал недавно разные ссылки, что-то подобное было. Но без уверенности.

> > > Жалко, коли не интегрируется. В принципе для конечного диполя падение на любую из его составляющих (для положительного заряда, понятно, на отрицательную) уже возможно только в исключительных случаях. Например, в варианте задачи 2. В разбираемом варианте, поскольку функция лишь касается нуля, можно высказать гипотезу, что точное решение задачи с конечным диполем даёт именно гиперболическую траекторию - приходит в 0 и уходит на бесконечность, т.е. (наверное) "продолженное" через падение решение точечной задачи близко к точной. А вот что будет, когда в точечной задаче отрицательные значения занимают конечный временной интервал? "Захвата" вроде быть не может, т.е. "поболтавшись" вблизи пары заряд должен бы выйти на точечную траекторию. На какую?

> > Когда Вы пишете "отрицательные значения ".то имеете в виду значения , соответствующие отрицательному дискриминанту?

> Нет. Дискриминант как раз положительный. Но в соотношении правая часть принимает отрицательные значения.

Ага, понятно.

> > > Впрочем, может здесь-то Кli-Gin может расчитать? Правда, машина малых параметров не любит, а выход на точечность его содержит...

> > Если установить некоторую запретную эпсилон-область, то может и пройдет...

> Возможно. Я-то сам считать на компьютере не умею...

Я сейчас тоже не умею, а по молодости что-то делал... Сейчас плотно использую мощный "космический" симулятор, где очень важно - поставить правилно задачу, а затем правильно проанализировать полученные результаты. Машине безоговорочно доверять никак нельзя!..


> > > > > > > > > > > > > > > При выводе формулы - ничего. Но "интуитивно" решение немного напрягает. По первой задаче: разве не странно, что частица в 1 тонну упадет на диполь за то же время, что и частица в 1 грамм? Начальные скорости ведь у них равны, а траектории - разные. Однотонная частица будет лететь практически по прямой, и я вообще сомневаюсь, что она когда-либо "упадет" на диполь. Кстати, поэтому я и спрашивал, нужно ли под падением понимать точный 0 для радиус-вектора.

> > > > > > > > > > > > > > Почему траектории-то разные? Вроде инвариантны при масштабном преобразовании. Посмотрите здесь.
> > > > > > > > > > > > > > Размер "извивов" при , конечно, стремится к 0. Но "управляется" именно этим параметром. У однотонной частицы вблизи 0 всё равно возникает непрямолинейность, но координата в 0 обращается. Даже без диполя...
> > > > > > > > > > > > > > Что ответ универсален - ясен пень, не вполне ожидаемо, но потому автор и назвал задачу красивой.

> > > > > > > > > > > > > В задаче_1 частица в начальный момент находится на поперечной к диполю оси. Если частица массивная (очень массивная), то частица с приличной по величине начальной скоростью при движении к диполю практически не отдалится от этой оси, если поперечная сила, обусловленная дипольным моментом, очень мала. Может сложиться ситуация, что частица и вовсе "покинет" диполь, так на него никогда и не упав. Я несколько раз спрашивал о возможности такой ситуации, но ответа не получил. Но если даже если частица упадет на диполь, то тяжелая частица вполне может падать очень долго. Поэтому я и просил сделать симуляцию.
> > > > > > > > > > > > > Замечу, что кроме массы, в задаче есть другой независимый параметр - заряд частицы (дипольный момент по воздействию на движение частицы может быть "пересчитан" в изменение заряда), причем влияние заряда на движение отличается от влияния изменения массы. Но это уже другая история: пока можно ограничиться лишь изменением массы.

> > > > > > > > > > > > Всё определяется единственным паремтром . В уравнения движения входит он и только он.
> > > > > > > > > > > > Мне казалось, я сформулировал подход, приводящий к "неудивлению" вполне прямо. Хорошо, присовокуплю более подробный аналитический обзор, хотя у меня создаётся впечатление, что в случае "неожиданного" аналрезультата Вы почему-то начинаете в нём сомневаться, не сомневаясь ни в одно строке вывода...

> > > > > > > > > > > > Вот сохраняющиеся интегралы:
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Я позволил себе потносительно указанной ссылки поделить их все на , введя указанный выше управляющий параметр. Разбираемый вариант (при , соответствует .
> > > > > > > > > > > > Давайте искать траекторию. Очевидно, она лежит в плоскости . Радиальное движение находим из интеграла "энергии" (кавычки - потому, что поделена на массу, но для нуля сие не страшно, а не для нуля это именно преобразование подобия) с исключённым за счёт угловым движением: . С учётом начального условия получаем . Можно было и как у Kli-Gin'а. Поисходит "падение на центр" (в смысле, о котором мы вроде как договорились) за время . Что происходит потом (в некоторых задачах траектории удаётся аналитически продожить за время падения, здесь был бы интересен разбор происходящего при конечном размере диполя) не обьсуждаем. Не зависит от массы (от управляющего параметра).
> > > > > > > > > > > > Угловое движение находим из : . Оказывается, нам удобно ввести новое время . Когда физическое время меняется от 0 до , наше - от 0 до , Итак, . Это - колебания постоянного размаха по углу от до (частица "бегает" туда-сюда над отрицательной половинкой косинусоиды). Причём за бесконечное время происходит бесконечное количество таких колебаний (это к вопросу как заряд будет отдаляться от оси). Всё определяется управляющим параметром. Если мало, то уже первое колебание происходит при близком к , когда уже мал (для удобства можно сделать ещё одну замену ). Да, массивная частица начинает носиться туда-сюда уже очень близко к диполю, но до своего нравственного падения всё равно успевает совершить бесконечное число таких актов. Подвергнутые масштабному преобразованию траектории абсолютно идентичны.

> > > > > > > > > > > Так, прежде чем я начну подробно разбираться с приведенными здесь выкладками, позволю себе задать один вопрос. Для центрального поля (типа гравитационного) возможны не только ограниченные траектории, но и траектории типа гиперболы. Поле диполя "слабее", чем гравитационное; ясно, что неограниченные траектории тоже возможны. В задаче_1 поперечная сила может быть "малой", но она не позволяет пройти заряду через центр, и заряд может "оторваться" от диполя, никогда к нему не вернувшись. Т.е. движения "туда-сюда" не будет. Где здесь ошибка?

> > > > > > > > > > Я не понял логики. Конечно, не проходящих через центр траекторий полно. Все они уходят на бесконечность, так что именно "гиперболоподобны" (я уже Вам как-то на это указывал). Но причём тут разбираемая траектория?

> > > > > > > > > Как причем? В задаче_1 задана лишь начальные скорость и положение частицы. Все другие параметры я могу выбирать произвольно. Вот я и выбиру их так, чтобы траектория была "гиперболоподобной". А ответ от этого не изменится...

> > > > > > > > Откуда следует, что их можно так выбрать-то?
> > > > > > > > Траектория действительно "гиперболоподобна" в том смысле, что радиальная координата при уходит на бесконечность. Но ДО ТОГО приходит в центр. Это как в кеплеровой задаче точно направленная на центр частица "падает", хотя движется по вырожденной полуветви гиперболы.

> > > > > > > Откуда известно, что траектория ДО ТОГО приходит в центр? Из рисунка совершенно ясно видно, что вблизи поперечной оси есть силы, которые только отдаляют частицу от этой оси. там вообще нет "приближающих" к оси сил. Еще раз: частица очень массивна, поэтому малые силы могут только чуть-чуть отклонить частицу от оси. Но приблизить никак не могут, разве это не очевидно?

> > > > > > Ну, во-первых, из того решения, что я написал. Во-вторых, Вы напрасно ориентируетесь на конечный диполь. Возьмите поле точечного и диполя и увидите, что при выходе заряда из исходной плоскости в область появляется сила, притягивающая его к диполю. Вы что, это отрицаете?

> > > > > Для точечного диполя - не отрицаю. Ваши выкладки я посмотрел, и они выглядят убедительно. Получается, что при начальных условиях задачи_1 вообще невозможна "гиперболоподобная" траектория? Если это так, то все падающие на диполь траектории действительно подобны. Это неожиданно и интересно.

> > > > > Кстати, а когда в ветке обсуждались (если вообще обсуждались?) условия, при которых траектория становится "гиперболоподобной"? Есть какие-то четкие критерии, налагаемые на начальные условия?

> > > > Очевидно, требуется 2 условия: положительность коэффициента при и отсутствие корней у этого трёхчлена (отрицательность дискриминанта) . Впрочем, можно оставить только второе.

> > > Спасибо, это то, что нужно! Однако хочу уточнить такой момент. Пусть начальная конфигурация такая, как в задаче_1, но скорость направлена не к диполю, а противоположно. Из второго условия следует, что когда потенциальная энергия =0, а начальный вектор скорости коллинеарен радиус-вектору, то неравенство не выполняется (имеем чистое равенство). Но разве при начальной очень большой скорости, направленной от диполя, частица не сможет "оторваться" от диполя?

> > Прошу прощения. Под отсутствием падения я имел в виду необращение в 0 на всей оси времени - от минус до плюс бесконечности. В Вашем примере заряд в некий отрицательный момент вышел из нуля, т.е. при таких начальных условиях у него было тёмное прошлое. Если интересоваться только светлым будущим, к указанному критерию следует добавить с логическим союзом "или" условие .
> > Первоначальный вариант, я сообразил, можно описать словами "полная энергия больше начльной кинэнергии радиального движения".

> С Вашего позволения, подытожу:

> 1. Условие отсутствия падения (необращение в 0 на всей оси времени - от минус до плюс бесконечности):

> , т.е.полная энергия больше начальной кинэнергии радиального движения.

> 2. Условие отсутствия падения (необращение в 0 в будущем, т.е. от начального момента времени до плюс бесконечности):

> , или .

> Я нигде не напутал? Под начальной кинэнергией радиального движения понимается выражение с квадратом радиальной скорости?

Вроде так. Если я нигде не напутал. Начальная радиальная кинэнергия - да, . Она же .

> > > > > > Есть и поперечная, которая и болтает его туда-сюда. Мы же очень подробно это разбирали в случае с нулевой начальной скоростью (сила-то от скорости НЕ зависит). Никакого "проскакивания"!
> > > > > > Давайте попробую другой образ. Возьмите маятник, колеблющийся с постоянной амплитудой в 90 градусов и наложите на его движение убывание длины с постоянной скоростью, причём амплитуда колебаний остаётся неизменной, а период колебаний убывает, так что за время падения на центр успевает произойти их бесконечное количество.
> > > > > > "Массивность" проявляется в том, что выход из начальной плоскости и сами колебания происходят гораздо ближе к диполю. Но происходят.

> > > > > > Кстати, про конечный диполь. Случай двух неподвижных притягивающих центров, как известно, интегрируется. Вы не знаете, ежели один из них отталкивающий, метода перехода к эллииптическим координатам всё равно работает?

> > > > > Встречался только с задачей двух неподвижных притягивающих центров (эллиптические координаты, мнимые массы и т.п.). Для конфигурации в виде электрического диполя - нет, но вроде, когда просматривал недавно разные ссылки, что-то подобное было. Но без уверенности.

> > > > Жалко, коли не интегрируется. В принципе для конечного диполя падение на любую из его составляющих (для положительного заряда, понятно, на отрицательную) уже возможно только в исключительных случаях. Например, в варианте задачи 2. В разбираемом варианте, поскольку функция лишь касается нуля, можно высказать гипотезу, что точное решение задачи с конечным диполем даёт именно гиперболическую траекторию - приходит в 0 и уходит на бесконечность, т.е. (наверное) "продолженное" через падение решение точечной задачи близко к точной. А вот что будет, когда в точечной задаче отрицательные значения занимают конечный временной интервал? "Захвата" вроде быть не может, т.е. "поболтавшись" вблизи пары заряд должен бы выйти на точечную траекторию. На какую?

> > > Когда Вы пишете "отрицательные значения ".то имеете в виду значения , соответствующие отрицательному дискриминанту?

> > Нет. Дискриминант как раз положительный. Но в соотношении правая часть принимает отрицательные значения.

> Ага, понятно.

> > > > Впрочем, может здесь-то Кli-Gin может расчитать? Правда, машина малых параметров не любит, а выход на точечность его содержит...

> > > Если установить некоторую запретную эпсилон-область, то может и пройдет...

> > Возможно. Я-то сам считать на компьютере не умею...

> Я сейчас тоже не умею, а по молодости что-то делал... Сейчас плотно использую мощный "космический" симулятор, где очень важно - поставить правилно задачу, а затем правильно проанализировать полученные результаты. Машине безоговорочно доверять никак нельзя!..

Это я вроде представляю, с вычматематиками работаю...


> > > > > Задача-1

> > > > > Ответ: T = L/V
> > > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> > Повторю еще раз свой вопрос:

> > Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> > Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> > Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?

> Прошу прощение, что иногда надолго выпадаю из обсуждения. Пока не успел внимательно прочитать последние сообщения этой ветки. Несколько соображений (наверное, не новых):
> 1) В задаче 1 время падения от массы частицы не зависит, но это не есть общее свойство задачи (например, это не так, в задачах 2, 4).
> 2) Траектория частицы не зависит от массы при нулевой начальной скорости. В остальных случаях траектория от массы зависит.
> 3) Привожу пару картинок. На левом рисунке заряженная частица приближается к диполю. В точке с координатой (0,2) скорость частицы равна 0,1 и направлена к диполю вдоль его поперечной оси. Масса частицы равна 1. На правом рисунке то же, что на левом, но масса частицы равна 10.

Спасибо! Тут у нас в ходе плодотворной дискуссии родилось несколько вопросов. Для точечного диполя "падение на центр" весьма характерно. С другой стороны, для разнесённых на конечное расстояние положительного и отрицательного зарядов оно, наоборот, очень нехарактерно - вблизи любого из них доминирует куплерово поле. Что происходит с траекторией точечной задачи при движении в поле конечного диполя? Вот берём Вашу формулу . Вдали закон движения в конечной задаче к ней близок. Но что происходит, если в этом законе есть интервал времён в которм ? Частица прилетает и "захватывается" - т.е. вечно болтается в малой окрестности? Захватывается на конечное время (и тогда насколько это время соспоставимо с указанным интервалом)? Просто "отражается" (как бы мгновенно перескакивает с одной положительной ветви параболы на другую, т.е. отрицательный интервал "вырезается" из точечной эволюции)? А если этот интервал времён бесконечен ()?
А если это захват на конечное время или почти мгновенное отражение, то для двух ветвей "точеченой" траектории меняется ли интеграл ( и сохраняются и в конечном варианте)?
Не смею просить всего - это целое исследование - но, может быть, расчёты чего-то скажут?


> > > > > > > > > > Задача-1
> > > > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?
> > > > > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).

> Применим уравнение

>

> для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

>

> Или, переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

>

> Т.к. дискриминант уравнения =0, то и получается один корень T=L/V.

Задачу_1 от Kli-Gin можно немного модернизировать.

Задача_1.1

На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?

Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя


> > > > > > Задача-1

> > > > > > Ответ: T = L/V
> > > > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> > > Повторю еще раз свой вопрос:

> > > Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> > > Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> > > Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?

> > Прошу прощение, что иногда надолго выпадаю из обсуждения. Пока не успел внимательно прочитать последние сообщения этой ветки. Несколько соображений (наверное, не новых):
> > 1) В задаче 1 время падения от массы частицы не зависит, но это не есть общее свойство задачи (например, это не так, в задачах 2, 4).
> > 2) Траектория частицы не зависит от массы при нулевой начальной скорости. В остальных случаях траектория от массы зависит.
> > 3) Привожу пару картинок. На левом рисунке заряженная частица приближается к диполю. В точке с координатой (0,2) скорость частицы равна 0,1 и направлена к диполю вдоль его поперечной оси. Масса частицы равна 1. На правом рисунке то же, что на левом, но масса частицы равна 10.

> Спасибо! Тут у нас в ходе плодотворной дискуссии родилось несколько вопросов. Для точечного диполя "падение на центр" весьма характерно. С другой стороны, для разнесённых на конечное расстояние положительного и отрицательного зарядов оно, наоборот, очень нехарактерно - вблизи любого из них доминирует куплерово поле. Что происходит с траекторией точечной задачи при движении в поле конечного диполя? Вот берём Вашу формулу . Вдали закон движения в конечной задаче к ней близок. Но что происходит, если в этом законе есть интервал времён в которм ? Частица прилетает и "захватывается" - т.е. вечно болтается в малой окрестности? Захватывается на конечное время (и тогда насколько это время соспоставимо с указанным интервалом)? Просто "отражается" (как бы мгновенно перескакивает с одной положительной ветви параболы на другую, т.е. отрицательный интервал "вырезается" из точечной эволюции)? А если этот интервал времён бесконечен ()?
> А если это захват на конечное время или почти мгновенное отражение, то для двух ветвей "точеченой" траектории меняется ли интеграл ( и сохраняются и в конечном варианте)?
> Не смею просить всего - это целое исследование - но, может быть, расчёты чего-то скажут?

Мне эти вопросы тоже интересны. Интересен также случай, когда наша парабола r²(t) имеет максимум. Траектория в этом случае имеет вид замкнутой петли, которая вырождается в отрезок кривой, если начальная скорость равна нулю. Днем не имею возможности отвлекаться от основной работы, но обязательно буду вопрос изучать, мне интересно.


> > > > > > > > > > > Задача-1
> > > > > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?
> > > > > > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).

> > Применим уравнение

> >

> > для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

> >

> > Или, переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

> >

> > Т.к. дискриминант уравнения =0, то и получается один корень T=L/V.

> Задачу_1 от Kli-Gin можно немного модернизировать.

> Задача_1.1

> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?

> Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

Э-э-э... ?


> > > > > > > Задача-1

> > > > > > > Ответ: T = L/V
> > > > > Это так. Обращаю внимание, что траектория при этом имеет весьма сложную форму.

> > > > Повторю еще раз свой вопрос:

> > > > Мне не очень понятно другое: в задаче задано, что частица падает на диполь, но вряд ли это происходит при любых значениях скорости (направление - неизменно).

> > > > Кроме того, неплохо бы уточнить, чтО означает падение частицы на диполь. Частица должна пересечь начало координат, к которому "прикреплен" диполь? Или частица пересекает некоторую микроскопическую область с центром в (0,0)?

> > > > Вы не могли бы сделать несколько симуляций, т.е. численно получить значение T = L/V, существенно изменив только массу частицы (к примеру, на 2-3 порядка, или даже больше), не меняя L и V? Неужели получится одно и то же значение Т, если частица будет массой 1 кг вместо 1 грамма?

> > > Прошу прощение, что иногда надолго выпадаю из обсуждения. Пока не успел внимательно прочитать последние сообщения этой ветки. Несколько соображений (наверное, не новых):
> > > 1) В задаче 1 время падения от массы частицы не зависит, но это не есть общее свойство задачи (например, это не так, в задачах 2, 4).
> > > 2) Траектория частицы не зависит от массы при нулевой начальной скорости. В остальных случаях траектория от массы зависит.
> > > 3) Привожу пару картинок. На левом рисунке заряженная частица приближается к диполю. В точке с координатой (0,2) скорость частицы равна 0,1 и направлена к диполю вдоль его поперечной оси. Масса частицы равна 1. На правом рисунке то же, что на левом, но масса частицы равна 10.

> > Спасибо! Тут у нас в ходе плодотворной дискуссии родилось несколько вопросов. Для точечного диполя "падение на центр" весьма характерно. С другой стороны, для разнесённых на конечное расстояние положительного и отрицательного зарядов оно, наоборот, очень нехарактерно - вблизи любого из них доминирует куплерово поле. Что происходит с траекторией точечной задачи при движении в поле конечного диполя? Вот берём Вашу формулу . Вдали закон движения в конечной задаче к ней близок. Но что происходит, если в этом законе есть интервал времён в которм ? Частица прилетает и "захватывается" - т.е. вечно болтается в малой окрестности? Захватывается на конечное время (и тогда насколько это время соспоставимо с указанным интервалом)? Просто "отражается" (как бы мгновенно перескакивает с одной положительной ветви параболы на другую, т.е. отрицательный интервал "вырезается" из точечной эволюции)? А если этот интервал времён бесконечен ()?
> > А если это захват на конечное время или почти мгновенное отражение, то для двух ветвей "точеченой" траектории меняется ли интеграл ( и сохраняются и в конечном варианте)?
> > Не смею просить всего - это целое исследование - но, может быть, расчёты чего-то скажут?

> Мне эти вопросы тоже интересны. Интересен также случай, когда наша парабола r²(t) имеет максимум. Траектория в этом случае имеет вид замкнутой петли, которая вырождается в отрезок кривой, если начальная скорость равна нулю. Днем не имею возможности отвлекаться от основной работы, но обязательно буду вопрос изучать, мне интересно.

Отмечу любопытную интерпретацию интеграла движения КС:
- экстремальное значение функции


> > > > > > > > > > > > Задача-1
> > > > > > > > > > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?
> > > > > > > > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).

> > > Применим уравнение

> > >

> > > для момента времени t=T (т.е. момента падения на диполь). Т.к. тогда r=0, то имеем:

> > >

> > > Или, переобозначив начальные расстояние и скорость, как в условии задачи, имеем квадратное уравнение относительно неизвестного времени T:

> > >

> > > Т.к. дискриминант уравнения =0, то и получается один корень T=L/V.

> > Задачу_1 от Kli-Gin можно немного модернизировать.

> > Задача_1.1

> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?

> > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> Э-э-э... ?

Именно так! Чего-чего, а линейной зависимости я не ожидал. Чтобы при криволинейном движении модуль радиус-вектора зависел от времени линейно - для меня это было сюрпризом. Конечно, это не общий, а частный случай начальных условий, но диполь преподнес очередной сюрприз. В задаче можно было задать и такой вопрос: через сколько времени частица окажется на расстоянии L/2 от диполя? При этом вопрос о падении на диполь (где можно думать о расходимостях и т.п) даже не возникает.


> Отмечу любопытную интерпретацию интеграла движения КС:
> - экстремальное значение функции
>

А в векторном виде "красиво" записать положение экстремума нельзя?


Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.


> Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

Сейчас у меня нет доступа к своим загашникам, но где-то в воскресенье смогу посмотреть. Книга Белецкого "Очерки о движении космических тел" немного простовата; я пользовался, если не изменяет память, книгами Алексеева, Гребенникова, Демина; есть и более современные авторы. Но если пробьете эту интересную задачу до воскресенья, то я не против


> Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

На всякий случай несколько ссылок (работы легко скачиваются):

Аксенов Главная проблема теории движения искусственных спутников Земли
http://vadimchazov.narod.ru/lect_epa/lect_epa.htm

Герасимов Задача двух неподвижных центров Леонарда Эйлера
http://vadimchazov.narod.ru/lect_iag/lect_iag.htm

В последней работе приведен неплохой список литературы.


> Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

Энергия частицы и ее начальная скорость равны нулю. Диполь конечных размеров (заряды обозначены на рисунке кружками). Напомню, для точечного диполя получали в этом случае движение по полуокружности, интеграл КС = 0.
В поле конечного диполя частица падает на отрицательный заряд. Говорить об инварианте К как-то не удобно: не ясно где начинается радиус-вектор.


> Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта

Задачник Коткина и Сербо.
Задача 12.14

(Хосстпади... 160 сообщений...)


> > Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта

> Задачник Коткина и Сербо.
> Задача 12.14

>

(Хосстпади... 160 сообщений...)

Спасибо, ещё одно изложение не помешает.


> > Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

> Энергия частицы и ее начальная скорость равны нулю. Диполь конечных размеров (заряды обозначены на рисунке кружками). Напомню, для точечного диполя получали в этом случае движение по полуокружности, интеграл КС = 0.
> В поле конечного диполя частица падает на отрицательный заряд. Говорить об инварианте К как-то не удобно: не ясно где начинается радиус-вектор.

Спасибо, но у меня сомнения...
По-настоящему падать частица не может, ибо вблизи отрицательного заряда воздействие положительного напарника пренебрежимо мало, а в кеплеровой задаче с ненулевым моментом (а момент относительно отрицательного заряда, очевидно, ненулевой) падения быть не может.
Да и у меня пока что получается, что в этом случае движение будет по полуэллипсу...


> > > Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

> > Энергия частицы и ее начальная скорость равны нулю. Диполь конечных размеров (заряды обозначены на рисунке кружками). Напомню, для точечного диполя получали в этом случае движение по полуокружности, интеграл КС = 0.
> > В поле конечного диполя частица падает на отрицательный заряд. Говорить об инварианте К как-то не удобно: не ясно где начинается радиус-вектор.

> Спасибо, но у меня сомнения...
> По-настоящему падать частица не может, ибо вблизи отрицательного заряда воздействие положительного напарника пренебрежимо мало, а в кеплеровой задаче с ненулевым моментом (а момент относительно отрицательного заряда, очевидно, ненулевой) падения быть не может.
> Да и у меня пока что получается, что в этом случае движение будет по полуэллипсу...

Эволюция траектории такова, что в конечном счете частица попадет на отрицательно заряженный "шарик" любого наперед заданного радиуса. Мне так кажется...


Излагаю начальные выкладки.
Движение частицы с массой и зарядом происходит в поле, создаваемом зарядом , расположенном в точке , и его напраником - в точке . Я сразу делю всё на массу, так что в декартовой СК кинетическая и потенциальные энергии есть

Переходим к эллиптическим координатам по формулам



нумерует вытянутые эллипсоиды вращения (вокруг оси аппликат) с фокусами в точках пары, составляющей диполь, - нумерует софокусные двуполостные гиперболоиды вращения, ну а совпадает с таковым для сферической (цилиндричческой) СК. Наш исходный вариант с точечным диполем в сферической СК соответствует и тогда
Воспользовавшись коэффициентами Ламэ для такой СК из справочника, увидим, что в ней

По стандартной процедуре (производная кинэнаргии по скорости изменения обобщённой координаты) находим обобщённые импульсы:

Сохраняющийся гамильтониан будет

Уф.
Умножим сие на , учитывая, что и что вследствие цикличности ейный импульс Переменные разделяюся (вот они, классики)! Имеем

где - константа разделения, а
Исходная задача, с которой я начал тему, соответствует , потому (вспомним выражения для импульсов) в ней теперь

Т.е. движение происходит по полуэллипсу. Kli-Gin, проверьте!


> > > > Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

> > > Энергия частицы и ее начальная скорость равны нулю. Диполь конечных размеров (заряды обозначены на рисунке кружками). Напомню, для точечного диполя получали в этом случае движение по полуокружности, интеграл КС = 0.
> > > В поле конечного диполя частица падает на отрицательный заряд. Говорить об инварианте К как-то не удобно: не ясно где начинается радиус-вектор.

> > Спасибо, но у меня сомнения...
> > По-настоящему падать частица не может, ибо вблизи отрицательного заряда воздействие положительного напарника пренебрежимо мало, а в кеплеровой задаче с ненулевым моментом (а момент относительно отрицательного заряда, очевидно, ненулевой) падения быть не может.
> > Да и у меня пока что получается, что в этом случае движение будет по полуэллипсу...

> Эволюция траектории такова, что в конечном счете частица попадет на отрицательно заряженный "шарик" любого наперед заданного радиуса. Мне так кажется...

Я вроде как привёл аргументы, что этого быть не может. И посмотрите здесь.


> Излагаю начальные выкладки.
> Движение частицы с массой и зарядом происходит в поле, создаваемом зарядом , расположенном в точке , и его напраником - в точке . Я сразу делю всё на массу, так что в декартовой СК кинетическая и потенциальные энергии есть
>
> Переходим к эллиптическим координатам по формулам
>
>
>
> нумерует вытянутые эллипсоиды вращения (вокруг оси аппликат) с фокусами в точках пары, составляющей диполь, - нумерует софокусные двуполостные гиперболоиды вращения, ну а совпадает с таковым для сферической (цилиндричческой) СК. Наш исходный вариант с точечным диполем в сферической СК соответствует и тогда
> Воспользовавшись коэффициентами Ламэ для такой СК из справочника, увидим, что в ней
>
> По стандартной процедуре (производная кинэнаргии по скорости изменения обобщённой координаты) находим обобщённые импульсы:
>
> Сохраняющийся гамильтониан будет
>
> Уф.
> Умножим сие на , учитывая, что и что вследствие цикличности ейный импульс Переменные разделяюся (вот они, классики)! Имеем
>
> где - константа разделения, а
> Исходная задача, с которой я начал тему, соответствует , потому (вспомним выражения для импульсов) в ней теперь
>
> Т.е. движение происходит по полуэллипсу. Kli-Gin, проверьте!

Продолжу для варианта первой задачи Kli-Gin'а. Если, конечно, в предыдущем наврал, то зря...
Здесь и при имеем Воспользовавшись выражением для уравнения с разделяющимися переменными перепишем в виде

В начальный момент

подставляя сие в первое уравнение, находим, что Воспользовавшись советом Белецкого, перейдём к новому времени и введём обозначение Теперь

пардон, эллиптический интеграл!
Можно и с ним, но не видно оснований, по которым координата должна бы проходиться, когда (за исключением какого-то специально подобранного по начальным координате и скорости случая), так что вроде как правило "проскакивает", и действительно реализуются обе ветви точечной задачи.
Что будет, ежели в точечной задаче на конечном временном интервале, может быть, посмотрю позжее того, достали выкладки...


> > > > > Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

> > > > Энергия частицы и ее начальная скорость равны нулю. Диполь конечных размеров (заряды обозначены на рисунке кружками). Напомню, для точечного диполя получали в этом случае движение по полуокружности, интеграл КС = 0
> > > > В поле конечного диполя частица падает на отрицательный заряд. Говорить об инварианте К как-то не удобно: не ясно где начинается радиус-вектор.

> > > Спасибо, но у меня сомнения...
> > > По-настоящему падать частица не может, ибо вблизи отрицательного заряда воздействие положительного напарника пренебрежимо мало, а в кеплеровой задаче с ненулевым моментом (а момент относительно отрицательного заряда, очевидно, ненулевой) падения быть не может.
> > > Да и у меня пока что получается, что в этом случае движение будет по полуэллипсу...

> > Эволюция траектории такова, что в конечном счете частица попадет на отрицательно заряженный "шарик" любого наперед заданного радиуса. Мне так кажется...

> Я вроде как привёл аргументы, что этого быть не может. И посмотрите здесь.

Я ошибся: частица была слегка смещена относительно оси, а рассматриваемая траектория неустойчива - отсюда и ошибка. Вы ее сразу распознали ("круто"). Привожу правильную картинку.


> > > > > > Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики". Похоже всё-таки, что метод, позволяющий интегрировать задачу о движении в поле двух неподвижных гравцентров (ещё Эйлер решил), полностью переносим на диполь конечных размеров. То, что один из центров теперь отталкивающий, всего лишь переносит силовую функцию в другое уравнение движения в эллиптических координатах. И аналог (переходящий в него на больших расстояниях от диполя) вроде как существует. Это значит, что вариант с его изменением при близком пролёте не реализуется. Выкладки громоздки и весьма не наглядны, но ещё повожусь. Авось удастся разобраться, как именно происходит переход с одной "точечной" траектории на другую. Да и как регуляризуется движение во временном и интервале, где квадрат радиуса-вектора в точечной задаче отрицателен, тоже, как мы согласились, интересно. Но расчёт траектории может очень способствовать! А то в ненаглядных эллиптических координатах считать тоскливо.

> > > > > Энергия частицы и ее начальная скорость равны нулю. Диполь конечных размеров (заряды обозначены на рисунке кружками). Напомню, для точечного диполя получали в этом случае движение по полуокружности, интеграл КС = 0
> > > > > В поле конечного диполя частица падает на отрицательный заряд. Говорить об инварианте К как-то не удобно: не ясно где начинается радиус-вектор.

> > > > Спасибо, но у меня сомнения...
> > > > По-настоящему падать частица не может, ибо вблизи отрицательного заряда воздействие положительного напарника пренебрежимо мало, а в кеплеровой задаче с ненулевым моментом (а момент относительно отрицательного заряда, очевидно, ненулевой) падения быть не может.
> > > > Да и у меня пока что получается, что в этом случае движение будет по полуэллипсу...

> > > Эволюция траектории такова, что в конечном счете частица попадет на отрицательно заряженный "шарик" любого наперед заданного радиуса. Мне так кажется...

> > Я вроде как привёл аргументы, что этого быть не может. И посмотрите здесь.

> Я ошибся: частица была слегка смещена относительно оси, а рассматриваемая траектория неустойчива - отсюда и ошибка. Вы ее сразу распознали ("круто"). Привожу правильную картинку.
>

По физике всё-таки "падение на центр" в кеплеровой задаче не характерно (случается в отдельных случаях). Вблизи отрицательного заряда задача к этому близка. Даже если учесть влияние положительного напарника, то в первом приближении это как постоянное поле (мало варьируется на размере близкой орбиты) - классический Штарк-эффект. И здесь падение не характерно (что подтверждает и первое рассуждение).
Что касается движения по полуэллипсу, Вы, кажется, его подтверждаете. Это здорово, запросто можно ошибиться в этой куче формул (описки-то точно есть). Правда, предельный переход к разобранной точечной задаче в моих формулах есть, это первое, что я проверил, прежде, чем выкладывать. Есть переход и к Вашей первой задаче. Но это, конечно, не гарантия, и с предельным переходом можно ошибиться..
Но может быть, кто-нибудь проверит всё-таки?


Базисная задача (KC)

Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.


Задача-1 (Kli-Gin)
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

Задача-2 (Kli-Gin)
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

Задача-3 (Kli-Gin)
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

Задача-4 (Kli-Gin)
На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

Задача_1.1 (sleo)

На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

Задача_5 (sleo)

Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?


> Базисная задача (KC)

> Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> Задача-1 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> Задача-2 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Задача-3 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Задача-4 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> Задача_1.1 (sleo)

> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> Задача_5 (sleo)

> Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.

Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).


> Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.

Пардон:


> > Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.
> Пардон:

Если сливаются в один - то будет "чистое" движение по окружности, без всяких нутаций?

Теперь по поводу неточечного диполя. У Ландау, т.1, Механика, в параграфе 48 "Разделение переменных" рассматриваются несколько случаев нахождения полного интеграла, в том числе вводятся эллиптические координаты и т.п. Там же приведена задача 2 (с решением), где требуется найти полный интеграл для движения частицы в кулоновском поле двух зарядов. Меня там заинтересовал "интеграл движения" в виде β, который можно, например, рассмотреть в пределе точечного диполя. Я пока не смог его привести к обычному "векторному виду" (там запись, насколько я понял, в цилиндрических координатах). Или это уже в ветке было?


> > > Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.
> > Пардон:

> Если сливаются в один - то будет "чистое" движение по окружности, без всяких нутаций?

Ну да. Потенциальная яма, в которой происходит колебания, стягивается и мельчает до нуля. Если хотите, для этого нужно, чтобы выполнялось соотношение . Вращение идёт при координате . Ежели не наврал.

> Теперь по поводу неточечного диполя. У Ландау, т.1, Механика, в параграфе 48 "Разделение переменных" рассматриваются несколько случаев нахождения полного интеграла, в том числе вводятся эллиптические координаты и т.п. Там же приведена задача 2 (с решением), где требуется найти полный интеграл для движения частицы в кулоновском поле двух зарядов. Меня там заинтересовал "интеграл движения" в виде β, который можно, например, рассмотреть в пределе точечного диполя. Я пока не смог его привести к обычному "векторному виду" (там запись, насколько я понял, в цилиндрических координатах). Или это уже в ветке было?

Ландафшица не было. А выкладки были здесь (есть опечатки, специально не исправлял, надеялся - прочтут...).Я там для специфического интеграла конечного диполя ввожу такую же букву , как и для точечного. На самом деле они различаются неким множителем (-) в том смысле, что так определённый переходит в точечный при как и должно быть. Тоже надеялся - прочитают, заметят
В векторном виде тоже не знаю.


> > > > Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.
> > > Пардон:

> > Если сливаются в один - то будет "чистое" движение по окружности, без всяких нутаций?

> Ну да. Потенциальная яма, в которой происходит колебания, стягивается и мельчает до нуля. Если хотите, для этого нужно, чтобы выполнялось соотношение . Вращение идёт при координате . Ежели не наврал.

Не наврали, конечно. Только вроде возможны два знака , в зависимости от знака заряда. И физика понятна - окружность поперечна оси диполя, и поле Е направлено во всех точках окружности к центру окружности, что обеспечивает необходимую ц.с. силу.

> > Теперь по поводу неточечного диполя. У Ландау, т.1, Механика, в параграфе 48 "Разделение переменных" рассматриваются несколько случаев нахождения полного интеграла, в том числе вводятся эллиптические координаты и т.п. Там же приведена задача 2 (с решением), где требуется найти полный интеграл для движения частицы в кулоновском поле двух зарядов. Меня там заинтересовал "интеграл движения" в виде β, который можно, например, рассмотреть в пределе точечного диполя. Я пока не смог его привести к обычному "векторному виду" (там запись, насколько я понял, в цилиндрических координатах). Или это уже в ветке было?

> Ландафшица не было. А выкладки были здесь (есть опечатки, специально не исправлял, надеялся - прочтут...).Я там для специфического интеграла конечного диполя ввожу такую же букву , как и для точечного. На самом деле они различаются неким множителем (-) в том смысле, что так определённый переходит в точечный при как и должно быть. Тоже надеялся - прочитают, заметят
> В векторном виде тоже не знаю.

На анализ неточечного диполя просто нет времен, так что извиняюсь, что не смотрел. Но кое-что завтра хочу у Вас спросить.


> > > > > Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.
> > > > Пардон:

> > > Если сливаются в один - то будет "чистое" движение по окружности, без всяких нутаций?

> > Ну да. Потенциальная яма, в которой происходит колебания, стягивается и мельчает до нуля. Если хотите, для этого нужно, чтобы выполнялось соотношение . Вращение идёт при координате . Ежели не наврал.

> Не наврали, конечно. Только вроде возможны два знака , в зависимости от знака заряда. И физика понятна - окружность поперечна оси диполя, и поле Е направлено во всех точках окружности к центру окружности, что обеспечивает необходимую ц.с. силу.

Конечно. Можно и диполь перевернуть. Знак .

> > > Теперь по поводу неточечного диполя. У Ландау, т.1, Механика, в параграфе 48 "Разделение переменных" рассматриваются несколько случаев нахождения полного интеграла, в том числе вводятся эллиптические координаты и т.п. Там же приведена задача 2 (с решением), где требуется найти полный интеграл для движения частицы в кулоновском поле двух зарядов. Меня там заинтересовал "интеграл движения" в виде β, который можно, например, рассмотреть в пределе точечного диполя. Я пока не смог его привести к обычному "векторному виду" (там запись, насколько я понял, в цилиндрических координатах). Или это уже в ветке было?

> > Ландафшица не было. А выкладки были здесь (есть опечатки, специально не исправлял, надеялся - прочтут...).Я там для специфического интеграла конечного диполя ввожу такую же букву , как и для точечного. На самом деле они различаются неким множителем (-) в том смысле, что так определённый переходит в точечный при как и должно быть. Тоже надеялся - прочитают, заметят
> > В векторном виде тоже не знаю.

> На анализ неточечного диполя просто нет времен, так что извиняюсь, что не смотрел. Но кое-что завтра хочу у Вас спросить.

Извольте, если сумею ответить...


> > Базисная задача (KC)

> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> >
> > Задача-1 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > Задача-2 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-3 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-4 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > Задача_1.1 (sleo)

> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> > Задача_5 (sleo)

> > Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

> Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.

Добавлю, что в обоих случаях (полуокружность в плоскости диполя и окружность в плоскости, перпендикулярной дипольному моменту) движение неустойчивое.

> Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

Мне непросто разобраться с Вашими выкладками. Требуется время. Надеюсь, оно появится и Вы не откажете в помощи.


> > > Базисная задача (KC)

> > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > >
> > > Задача-1 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > Задача-2 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Задача-3 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Задача-4 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > Задача_1.1 (sleo)

> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> > > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> > > Задача_5 (sleo)

> > > Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

> > Я такую задачу рассматривал. Чтобы заряд совершал финитное движение (т.е. ) на всей временной оси необходимо, чтобы . Если ещё и , то это мы уже разобрали - полуокружность, а не окружность. А вот если момент не ноль, то происходит движение по сфере с вращением по и нутационными колебаниями по между двумя корнями кубического уравнения , расположенными в области . При этом возможна ситуация, когда они сливаются в один - это Ваш случай.

> Добавлю, что в обоих случаях (полуокружность в плоскости диполя и окружность в плоскости, перпендикулярной дипольному моменту) движение неустойчивое.

Наверное - если возмущаются интегралы. Достаточно отклонения энергии от 0, и финитность гибнет сразу - либо падает, либо улетает к чёртовой матери.

> > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> Мне непросто разобраться с Вашими выкладками. Требуется время. Надеюсь, оно появится и Вы не откажете в помощи.

Обижаете


> Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?


> > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> 1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

У меня не получилось. Правда, не скажу, что смотрел подробно, меня интересовало, что происходит в нефизическом диапазоне. Да, и полагал в неточечной задаче исключительно .
Громоздко, да и помощи нет...

> 2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?

Я у Ландау всего лишь глянул после Вашего указания - похоже ли у меня. Похоже. Что касается меня, любимого - совпадение неточеного интеграла с точечным (после введения коэффициента, о котором недавно упоминал - все интегралы определены с точностью до множителя) есть. Совпадение в смысле в необходимом пределе переходит. Т.е., как я уже тоже писал, один из моих первичных вопросов - не происходит ли в неточечной задаче переход с одной ветви точеченой траектории на другую со сменой снялся - не происходит. Давайте я приведу своё несколько препарированное выражение.
Было
,
где - проекции скорости на соответствующие оси сферической СК.
Теперь
.
, понятно, опять проекция скорости на соответствующую ось. Связ эллиптической и сферической СК такова: , так что при вроде и получается.


> > > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> > 1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

> У меня не получилось. Правда, не скажу, что смотрел подробно, меня интересовало, что происходит в нефизическом диапазоне. Да, и полагал в неточечной задаче исключительно .
> Громоздко, да и помощи нет...

Значит вопрос с числом экстремумов в поле неточечного диполя остается открытым. Для меня это не столь важно; мне больше интересна "простая" модельная задача движения частицы в поле точечного диполя, которая вначале показалась мне сложной, но потом почти "чудесным образом" превратилась во вполне "съедобную" задачу.
Если бы у меня было больше времени, то я бы с удовольствием присоединился к Вам в теме неточечного диполя, но увы... И так я о диполе думаю больше, чем о некоторых второстепенных рабочих вопросах

> > 2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?

> Я у Ландау всего лишь глянул после Вашего указания - похоже ли у меня. Похоже.

Да я тоже вижу, что похоже, поэтому и спросил. Если все же у Ландау не тождественно Ваш интеграл движения - то это имеет какое-то значение?

> Что касается меня, любимого - совпадение неточеного интеграла с точечным (после введения коэффициента, о котором недавно упоминал - все интегралы определены с точностью до множителя) есть. Совпадение в смысле в необходимом пределе переходит. Т.е., как я уже тоже писал, один из моих первичных вопросов - не происходит ли в неточечной задаче переход с одной ветви точеченой траектории на другую со сменой снялся - не происходит. Давайте я приведу своё несколько препарированное выражение.
> Было
> ,
> где - проекции скорости на соответствующие оси сферической СК.
> Теперь
> .
> , понятно, опять проекция скорости на соответствующую ось. Связ эллиптической и сферической СК такова: , так что при вроде и получается.

Кстати, ЛЛ в этом параграфе говорят о том, что для разделения переменных большое значение имеет выбор координат, и эллиптические координаты для задачи с диполем наиболее подходящи. Но интересно, что переход к этим координатам ЛЛ производят, преобразуя функцию Лагранжа, записанную в цилиндрических координатах, а не в сферических. То же - для параболических координат. Это вкусовщина, или за этим что-то кроется?


> > > > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> > > 1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

> > У меня не получилось. Правда, не скажу, что смотрел подробно, меня интересовало, что происходит в нефизическом диапазоне. Да, и полагал в неточечной задаче исключительно .
> > Громоздко, да и помощи нет...

> Значит вопрос с числом экстремумов в поле неточечного диполя остается открытым. Для меня это не столь важно; мне больше интересна "простая" модельная задача движения частицы в поле точечного диполя, которая вначале показалась мне сложной, но потом почти "чудесным образом" превратилась во вполне "съедобную" задачу.
> Если бы у меня было больше времени, то я бы с удовольствием присоединился к Вам в теме неточечного диполя, но увы... И так я о диполе думаю больше, чем о некоторых второстепенных рабочих вопросах

А у меня отпуск... Но дела всё равно есть. На самом деле там простые уравнения, но нужен внимательный анализ возможных значений интегралов.

> > > 2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?

> > Я у Ландау всего лишь глянул после Вашего указания - похоже ли у меня. Похоже.

> Да я тоже вижу, что похоже, поэтому и спросил. Если все же у Ландау не тождественно Ваш интеграл движения - то это имеет какое-то значение?

Ну как сказать... Если не сопадает, значит, кто-то наврал, и очевидно - я.

> > Что касается меня, любимого - совпадение неточеного интеграла с точечным (после введения коэффициента, о котором недавно упоминал - все интегралы определены с точностью до множителя) есть. Совпадение в смысле в необходимом пределе переходит. Т.е., как я уже тоже писал, один из моих первичных вопросов - не происходит ли в неточечной задаче переход с одной ветви точеченой траектории на другую со сменой снялся - не происходит. Давайте я приведу своё несколько препарированное выражение.
> > Было
> > ,
> > где - проекции скорости на соответствующие оси сферической СК.
> > Теперь
> > .
> > , понятно, опять проекция скорости на соответствующую ось. Связ эллиптической и сферической СК такова: , так что при вроде и получается.

> Кстати, ЛЛ в этом параграфе говорят о том, что для разделения переменных большое значение имеет выбор координат, и эллиптические координаты для задачи с диполем наиболее подходящи. Но интересно, что переход к этим координатам ЛЛ производят, преобразуя функцию Лагранжа, записанную в цилиндрических координатах, а не в сферических. То же - для параболических координат. Это вкусовщина, или за этим что-то кроется?

Ну, конечно то, что эллиптические - это принципиально. Об этом хорошо и у Белецкого написано. И у Арнольда с соавторами. А вот с чего стартовать - совершенно не важно. Я шёл стандартно от декартовых. Но это относится исключительно к потенциальной энергии, с кинетической вообще всё тупо: сумма квадратов компонент скорости, коэффициенты Ламе из справочника. Если их выводить, то тоже можно исходить из чего угодно.

Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).


> > > > > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> > > > 1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

> > > У меня не получилось. Правда, не скажу, что смотрел подробно, меня интересовало, что происходит в нефизическом диапазоне. Да, и полагал в неточечной задаче исключительно .
> > > Громоздко, да и помощи нет...

> > Значит вопрос с числом экстремумов в поле неточечного диполя остается открытым. Для меня это не столь важно; мне больше интересна "простая" модельная задача движения частицы в поле точечного диполя, которая вначале показалась мне сложной, но потом почти "чудесным образом" превратилась во вполне "съедобную" задачу.
> > Если бы у меня было больше времени, то я бы с удовольствием присоединился к Вам в теме неточечного диполя, но увы... И так я о диполе думаю больше, чем о некоторых второстепенных рабочих вопросах

> А у меня отпуск... Но дела всё равно есть. На самом деле там простые уравнения, но нужен внимательный анализ возможных значений интегралов.

У меня в августе, так что перед отпуском нужно поднапрячься

> > > > 2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?

> > > Я у Ландау всего лишь глянул после Вашего указания - похоже ли у меня. Похоже.

> > Да я тоже вижу, что похоже, поэтому и спросил. Если все же у Ландау не тождественно Ваш интеграл движения - то это имеет какое-то значение?

> Ну как сказать... Если не сопадает, значит, кто-то наврал, и очевидно - я.

Я все же написал "если"; я не уверен, что не совпадают.

> > > Что касается меня, любимого - совпадение неточеного интеграла с точечным (после введения коэффициента, о котором недавно упоминал - все интегралы определены с точностью до множителя) есть. Совпадение в смысле в необходимом пределе переходит. Т.е., как я уже тоже писал, один из моих первичных вопросов - не происходит ли в неточечной задаче переход с одной ветви точеченой траектории на другую со сменой снялся - не происходит. Давайте я приведу своё несколько препарированное выражение.
> > > Было
> > > ,
> > > где - проекции скорости на соответствующие оси сферической СК.
> > > Теперь
> > > .
> > > , понятно, опять проекция скорости на соответствующую ось. Связ эллиптической и сферической СК такова: , так что при вроде и получается.

> > Кстати, ЛЛ в этом параграфе говорят о том, что для разделения переменных большое значение имеет выбор координат, и эллиптические координаты для задачи с диполем наиболее подходящи. Но интересно, что переход к этим координатам ЛЛ производят, преобразуя функцию Лагранжа, записанную в цилиндрических координатах, а не в сферических. То же - для параболических координат. Это вкусовщина, или за этим что-то кроется?

> Ну, конечно то, что эллиптические - это принципиально. Об этом хорошо и у Белецкого написано. И у Арнольда с соавторами. А вот с чего стартовать - совершенно не важно. Я шёл стандартно от декартовых. Но это относится исключительно к потенциальной энергии, с кинетической вообще всё тупо: сумма квадратов компонент скорости, коэффициенты Ламе из справочника. Если их выводить, то тоже можно исходить из чего угодно.

> Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.


> Базисная задача (KC)

> Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

>
> Задача-1 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> Задача-2 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Задача-3 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> Задача-4 (Kli-Gin)
> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> Задача_1.1 (sleo)

> На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> Задача_5 (sleo)

> Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

Задачка 6.
Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?


> > Базисная задача (KC)

> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> >
> > Задача-1 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > Задача-2 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-3 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-4 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > Задача_1.1 (sleo)

> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> > Задача_5 (sleo)

> > Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

> Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> Задачка 6.
> Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.


> > > Базисная задача (KC)

> > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > >
> > > Задача-1 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > Задача-2 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Задача-3 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > Задача-4 (Kli-Gin)
> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > Задача_1.1 (sleo)

> > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> > > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> > > Задача_5 (sleo)

> > > Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

> > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > Задачка 6.
> > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.


> > > > > > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> > > > > 1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

> > > > У меня не получилось. Правда, не скажу, что смотрел подробно, меня интересовало, что происходит в нефизическом диапазоне. Да, и полагал в неточечной задаче исключительно .
> > > > Громоздко, да и помощи нет...

> > > Значит вопрос с числом экстремумов в поле неточечного диполя остается открытым. Для меня это не столь важно; мне больше интересна "простая" модельная задача движения частицы в поле точечного диполя, которая вначале показалась мне сложной, но потом почти "чудесным образом" превратилась во вполне "съедобную" задачу.
> > > Если бы у меня было больше времени, то я бы с удовольствием присоединился к Вам в теме неточечного диполя, но увы... И так я о диполе думаю больше, чем о некоторых второстепенных рабочих вопросах

> > А у меня отпуск... Но дела всё равно есть. На самом деле там простые уравнения, но нужен внимательный анализ возможных значений интегралов.

> У меня в августе, так что перед отпуском нужно поднапрячься

> > > > > 2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?

> > > > Я у Ландау всего лишь глянул после Вашего указания - похоже ли у меня. Похоже.

> > > Да я тоже вижу, что похоже, поэтому и спросил. Если все же у Ландау не тождественно Ваш интеграл движения - то это имеет какое-то значение?

> > Ну как сказать... Если не сопадает, значит, кто-то наврал, и очевидно - я.

> Я все же написал "если"; я не уверен, что не совпадают.

> > > > Что касается меня, любимого - совпадение неточеного интеграла с точечным (после введения коэффициента, о котором недавно упоминал - все интегралы определены с точностью до множителя) есть. Совпадение в смысле в необходимом пределе переходит. Т.е., как я уже тоже писал, один из моих первичных вопросов - не происходит ли в неточечной задаче переход с одной ветви точеченой траектории на другую со сменой снялся - не происходит. Давайте я приведу своё несколько препарированное выражение.
> > > > Было
> > > > ,
> > > > где - проекции скорости на соответствующие оси сферической СК.
> > > > Теперь
> > > > .
> > > > , понятно, опять проекция скорости на соответствующую ось. Связ эллиптической и сферической СК такова: , так что при вроде и получается.

> > > Кстати, ЛЛ в этом параграфе говорят о том, что для разделения переменных большое значение имеет выбор координат, и эллиптические координаты для задачи с диполем наиболее подходящи. Но интересно, что переход к этим координатам ЛЛ производят, преобразуя функцию Лагранжа, записанную в цилиндрических координатах, а не в сферических. То же - для параболических координат. Это вкусовщина, или за этим что-то кроется?

> > Ну, конечно то, что эллиптические - это принципиально. Об этом хорошо и у Белецкого написано. И у Арнольда с соавторами. А вот с чего стартовать - совершенно не важно. Я шёл стандартно от декартовых. Но это относится исключительно к потенциальной энергии, с кинетической вообще всё тупо: сумма квадратов компонент скорости, коэффициенты Ламе из справочника. Если их выводить, то тоже можно исходить из чего угодно.

> > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.


> > > > > > > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> > > > > > 1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

> > > > > У меня не получилось. Правда, не скажу, что смотрел подробно, меня интересовало, что происходит в нефизическом диапазоне. Да, и полагал в неточечной задаче исключительно .
> > > > > Громоздко, да и помощи нет...

> > > > Значит вопрос с числом экстремумов в поле неточечного диполя остается открытым. Для меня это не столь важно; мне больше интересна "простая" модельная задача движения частицы в поле точечного диполя, которая вначале показалась мне сложной, но потом почти "чудесным образом" превратилась во вполне "съедобную" задачу.
> > > > Если бы у меня было больше времени, то я бы с удовольствием присоединился к Вам в теме неточечного диполя, но увы... И так я о диполе думаю больше, чем о некоторых второстепенных рабочих вопросах

> > > А у меня отпуск... Но дела всё равно есть. На самом деле там простые уравнения, но нужен внимательный анализ возможных значений интегралов.

> > У меня в августе, так что перед отпуском нужно поднапрячься

> > > > > > 2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?

> > > > > Я у Ландау всего лишь глянул после Вашего указания - похоже ли у меня. Похоже.

> > > > Да я тоже вижу, что похоже, поэтому и спросил. Если все же у Ландау не тождественно Ваш интеграл движения - то это имеет какое-то значение?

> > > Ну как сказать... Если не сопадает, значит, кто-то наврал, и очевидно - я.

> > Я все же написал "если"; я не уверен, что не совпадают.

> > > > > Что касается меня, любимого - совпадение неточеного интеграла с точечным (после введения коэффициента, о котором недавно упоминал - все интегралы определены с точностью до множителя) есть. Совпадение в смысле в необходимом пределе переходит. Т.е., как я уже тоже писал, один из моих первичных вопросов - не происходит ли в неточечной задаче переход с одной ветви точеченой траектории на другую со сменой снялся - не происходит. Давайте я приведу своё несколько препарированное выражение.
> > > > > Было
> > > > > ,
> > > > > где - проекции скорости на соответствующие оси сферической СК.
> > > > > Теперь
> > > > > .
> > > > > , понятно, опять проекция скорости на соответствующую ось. Связ эллиптической и сферической СК такова: , так что при вроде и получается.

> > > > Кстати, ЛЛ в этом параграфе говорят о том, что для разделения переменных большое значение имеет выбор координат, и эллиптические координаты для задачи с диполем наиболее подходящи. Но интересно, что переход к этим координатам ЛЛ производят, преобразуя функцию Лагранжа, записанную в цилиндрических координатах, а не в сферических. То же - для параболических координат. Это вкусовщина, или за этим что-то кроется?

> > > Ну, конечно то, что эллиптические - это принципиально. Об этом хорошо и у Белецкого написано. И у Арнольда с соавторами. А вот с чего стартовать - совершенно не важно. Я шёл стандартно от декартовых. Но это относится исключительно к потенциальной энергии, с кинетической вообще всё тупо: сумма квадратов компонент скорости, коэффициенты Ламе из справочника. Если их выводить, то тоже можно исходить из чего угодно.

> > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

Попробуйте сохранить как *.gif.


> > Базисная задача (KC)

> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> >
> > Задача-1 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > Задача-2 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-3 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-4 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > Задача_1.1 (sleo)

> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> > Задача_5 (sleo)

> > Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

> Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> Задачка 6.
> Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

Я не очень понял. Траектория определяется точкой в фазовом, а не конфигурационном пространстве. Если у меня есть возможность варьировать скорость в данной точке А, то вроде как я всегда смогу прописать ту же траекторию. По-научному:
имеем уравнение . Его решение, существующее и единственное при достаточно гладкой правой части, определяется заданием . Я могу избавиться от массы перенормировкой времени , но это изменит . Если мне позволено его подправлять, то задача решена.


> > > > > > > > Поскольку никакой реакции на неточечный диполь не появилось, коротко скажу свой итог. Как я писал, получается, что критическое значение достигается за конечное собственное время по Белецкому. При этом успевает совершиться конечное число колебаний по . Лишь в специально подобранных начальных условиях эти два движения можно так синхронизовать, что одновременно , т.е. падения на отрицательную половинку диполя в общем случае не происходит. Похоже, конечная ситуация просто "вырезает" из эволюции конечный временной интервал нефизическихз значений квадрата радиуса-вектора в точечной задаче (когда ).

> > > > > > > 1. При движении частицы в поле неточечного диполя возможны траектории с числом экстремумов, большим, чем один?

> > > > > > У меня не получилось. Правда, не скажу, что смотрел подробно, меня интересовало, что происходит в нефизическом диапазоне. Да, и полагал в неточечной задаче исключительно .
> > > > > > Громоздко, да и помощи нет...

> > > > > Значит вопрос с числом экстремумов в поле неточечного диполя остается открытым. Для меня это не столь важно; мне больше интересна "простая" модельная задача движения частицы в поле точечного диполя, которая вначале показалась мне сложной, но потом почти "чудесным образом" превратилась во вполне "съедобную" задачу.
> > > > > Если бы у меня было больше времени, то я бы с удовольствием присоединился к Вам в теме неточечного диполя, но увы... И так я о диполе думаю больше, чем о некоторых второстепенных рабочих вопросах

> > > > А у меня отпуск... Но дела всё равно есть. На самом деле там простые уравнения, но нужен внимательный анализ возможных значений интегралов.

> > > У меня в августе, так что перед отпуском нужно поднапрячься

> > > > > > > 2. У Ландау, т.1, стр. 191 в задаче 2 сохраняется величина β, в которую входит квадрат момента импульса M2. Вы ранее приводили сохраняющуюся величину , где , , т.е. туда тоже входит квадрат момента импульса. Если в формуле Ландау сделать предельный переход к точечному диполю, то эти два выражения (Ландау и Ваш), случаем, не совпадут?

> > > > > > Я у Ландау всего лишь глянул после Вашего указания - похоже ли у меня. Похоже.

> > > > > Да я тоже вижу, что похоже, поэтому и спросил. Если все же у Ландау не тождественно Ваш интеграл движения - то это имеет какое-то значение?

> > > > Ну как сказать... Если не сопадает, значит, кто-то наврал, и очевидно - я.

> > > Я все же написал "если"; я не уверен, что не совпадают.

> > > > > > Что касается меня, любимого - совпадение неточеного интеграла с точечным (после введения коэффициента, о котором недавно упоминал - все интегралы определены с точностью до множителя) есть. Совпадение в смысле в необходимом пределе переходит. Т.е., как я уже тоже писал, один из моих первичных вопросов - не происходит ли в неточечной задаче переход с одной ветви точеченой траектории на другую со сменой снялся - не происходит. Давайте я приведу своё несколько препарированное выражение.
> > > > > > Было
> > > > > > ,
> > > > > > где - проекции скорости на соответствующие оси сферической СК.
> > > > > > Теперь
> > > > > > .
> > > > > > , понятно, опять проекция скорости на соответствующую ось. Связ эллиптической и сферической СК такова: , так что при вроде и получается.

> > > > > Кстати, ЛЛ в этом параграфе говорят о том, что для разделения переменных большое значение имеет выбор координат, и эллиптические координаты для задачи с диполем наиболее подходящи. Но интересно, что переход к этим координатам ЛЛ производят, преобразуя функцию Лагранжа, записанную в цилиндрических координатах, а не в сферических. То же - для параболических координат. Это вкусовщина, или за этим что-то кроется?

> > > > Ну, конечно то, что эллиптические - это принципиально. Об этом хорошо и у Белецкого написано. И у Арнольда с соавторами. А вот с чего стартовать - совершенно не важно. Я шёл стандартно от декартовых. Но это относится исключительно к потенциальной энергии, с кинетической вообще всё тупо: сумма квадратов компонент скорости, коэффициенты Ламе из справочника. Если их выводить, то тоже можно исходить из чего угодно.

> > > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> > Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

> Попробуйте сохранить как *.gif.

Тот же вопрос, что и sleo. Как быть с объёмом?


> > > > Базисная задача (KC)

> > > > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > > > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> > > >
> > > > Задача-1 (Kli-Gin)
> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > > > Задача-2 (Kli-Gin)
> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > Задача-3 (Kli-Gin)
> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > > > Задача-4 (Kli-Gin)
> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> > > > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > > > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > > > Задача_1.1 (sleo)

> > > > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> > > > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> > > > Задача_5 (sleo)

> > > > Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

> > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > Задачка 6.
> > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.


> > > > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > > > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> > > Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

> > Попробуйте сохранить как *.gif.

> Тот же вопрос, что и sleo. Как быть с объёмом?

Можно, например, "фотографировать" не полные листы, а половинки.
А про ограничения на рисунки 50 kb я не слышал. Раньше, если не путаю, было больше. Вы уверены, что только 50 kb?


> > Базисная задача (KC)

> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> >
> > Задача-1 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь?

> > Задача-2 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица упадет на диполь? Вектор начальной скорости сонаправлен с вектором дипольного момента. Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-3 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на продольной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V. Через сколько времени частица будет на минимальном расстоянии от диполя? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта.

> > Задача-4 (Kli-Gin)
> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент времени частица находится на расстоянии L от диполя, а скорость V частицы направлена на него. Через сколько времени частица упадет на диполь? Заданы потенциальная и кинетическая энергии частицы в точке старта, причем потенциальная энергия отрицательна.

> > В задаче 1 начальная скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя (к диполю).
> > В задачах 2 и 3 частица положительная. В задаче 3 вектор начальной скорости противоположен вектору дипольного момента.

> > Задача_1.1 (sleo)

> > На жестко закрепленный точечный диполь налетает заряженная частица. В начальный момент частица находится на поперечной оси диполя на расстоянии L от него и приближается к диполю со скоростью V (скорость частицы направлена вдоль поперечной оси диполя). Через сколько времени частица окажется на расстоянии L' от диполя, где L' < L?
> > Получается довольно интересная зависимость времени от расстояния частицы до диполя

> > Задача_5 (sleo)

> > Дан жестко закрепленный точечный диполь. Может ли заряженная частица совершать круговые движения с постоянной скоростью в поле диполя?

> Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> Задачка 6.
> Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

Вот еще задача, где для меня результат оказался тоже неожиданным.

Задачка_7

Диполь помещен в однородное электрическое поле напряженностью E0, причем направление E0 совпадает с направлением дипольного момента p. Опишите вид эквипотенциальной поверхности, охватывающей диполь.


> > > > > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > > > > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> > > > Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

> > > Попробуйте сохранить как *.gif.

> > Тот же вопрос, что и sleo. Как быть с объёмом?

> Можно, например, "фотографировать" не полные листы, а половинки.
> А про ограничения на рисунки 50 kb я не слышал. Раньше, если не путаю, было больше. Вы уверены, что только 50 kb?

Ну, точнее, см. пункт 2 здесь.


> > > > > > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > > > > > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> > > > > Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

> > > > Попробуйте сохранить как *.gif.

> > > Тот же вопрос, что и sleo. Как быть с объёмом?

> > Можно, например, "фотографировать" не полные листы, а половинки.
> > А про ограничения на рисунки 50 kb я не слышал. Раньше, если не путаю, было больше. Вы уверены, что только 50 kb?

> Ну, точнее, см. пункт 2 здесь.

Я не знаю, как технически согласовывать с модератором размер рисунка. Но, вполне возможно, что ограничений нет, если "использовать ссылку на рисунок, который лежит на любом другом сервере". Например, Вы можете загрузить рисунок на http://radikal.cc/ , а потом вставить в строчку

<img border="0" src="http://...image.gif">
полученный адрес рисунка, а эту строчку вставить в Ваш текст.


> > > > > > > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > > > > > > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> > > > > > Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

> > > > > Попробуйте сохранить как *.gif.

> > > > Тот же вопрос, что и sleo. Как быть с объёмом?

> > > Можно, например, "фотографировать" не полные листы, а половинки.
> > > А про ограничения на рисунки 50 kb я не слышал. Раньше, если не путаю, было больше. Вы уверены, что только 50 kb?

> > Ну, точнее, см. пункт 2 здесь.

> Я не знаю, как технически согласовывать с модератором размер рисунка. Но, вполне возможно, что ограничений нет, если "использовать ссылку на рисунок, который лежит на любом другом сервере". Например, Вы можете загрузить рисунок на http://radikal.cc/ , а потом вставить в строчку

<img border="0" src="http://...image.gif">
полученный адрес рисунка, а эту строчку вставить в Ваш текст.

Простите за дурацкий вопрос, а что, с *.pdf так нельзя? И также, вот у Вас была ссылка на задачу, где рассматривался допинтеграл у точечного диполя - она у меня больше не открывается, а упомянуть в тексте надо.

Заодно уж, чтобы не множить послания, по поводу Вашей новой задачи с эквипотенциалями в поле диполя плюс постоянное. Вроде вблизи диполя как в его индивидуальном случае такие восьмёрочки из половинок, вдали как в постоянном поле прямые, а переход между этим, что действительно здорово и неожиданно - чистая окружность (на самом деле "рассечённая" прямой как центральный круг на футбольном поле с центром в диполе. Правильно?


> > > > > > > > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > > > > > > > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> > > > > > > Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

> > > > > > Попробуйте сохранить как *.gif.

> > > > > Тот же вопрос, что и sleo. Как быть с объёмом?

> > > > Можно, например, "фотографировать" не полные листы, а половинки.
> > > > А про ограничения на рисунки 50 kb я не слышал. Раньше, если не путаю, было больше. Вы уверены, что только 50 kb?

> > > Ну, точнее, см. пункт 2 здесь.

> > Я не знаю, как технически согласовывать с модератором размер рисунка. Но, вполне возможно, что ограничений нет, если "использовать ссылку на рисунок, который лежит на любом другом сервере". Например, Вы можете загрузить рисунок на http://radikal.cc/ , а потом вставить в строчку

<img border="0" src="http://...image.gif">
полученный адрес рисунка, а эту строчку вставить в Ваш текст.

> Простите за дурацкий вопрос, а что, с *.pdf так нельзя?

Увы, нельзя

> И также, вот у Вас была ссылка на задачу, где рассматривался допинтеграл у точечного диполя - она у меня больше не открывается, а упомянуть в тексте надо.

Вы имеете в виду Задача 9.6? У меня ссылка открывается, внизу жмем на кнопку, и скачиваем файл

> Заодно уж, чтобы не множить послания, по поводу Вашей новой задачи с эквипотенциалями в поле диполя плюс постоянное. Вроде вблизи диполя как в его индивидуальном случае такие восьмёрочки из половинок, вдали как в постоянном поле прямые, а переход между этим, что действительно здорово и неожиданно - чистая окружность (на самом деле "рассечённая" прямой как центральный круг на футбольном поле с центром в диполе. Правильно?

Я эту задачку подсмотрел в задачнике Фейнмана по его курсу физики. Это задача 6.9; я ее укоротил, а заодно и "затуманил" На самом деле Фейнман пишет так:

"а)Если направление дипольного момента совпадает с направлением эл.поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента, для которой сфера имеет радиус а.
б)...
в)...
г)...
д)...
е)..."

Как видите, Фейнман пишет, что это сфера. Обалдеть!..


> > > > > > > > > > Скажите, а тут нельзя выложить какой-нибудь текстик в акробате? Я мог бы написать свой анализ, было бы полезно для аудитории (да и мне тоже - когда излагаешь, понимаешь что куда относиться).

> > > > > > > > > Проще всего через Print Screen, т.е. "сфотографировать" то, что на экране, а затем содержимое запомнить в виде фото, которое можно сохранить на каком-нибудь ресурсе.

> > > > > > > > Да, я могу сделать, например, jpg. Но вроде на этом сайте ограничения на рисунки 50 kb. А тут несколько страниц. У меня и в акробате будет раза в 2 больше.

> > > > > > > Попробуйте сохранить как *.gif.

> > > > > > Тот же вопрос, что и sleo. Как быть с объёмом?

> > > > > Можно, например, "фотографировать" не полные листы, а половинки.
> > > > > А про ограничения на рисунки 50 kb я не слышал. Раньше, если не путаю, было больше. Вы уверены, что только 50 kb?

> > > > Ну, точнее, см. пункт 2 здесь.

> > > Я не знаю, как технически согласовывать с модератором размер рисунка. Но, вполне возможно, что ограничений нет, если "использовать ссылку на рисунок, который лежит на любом другом сервере". Например, Вы можете загрузить рисунок на http://radikal.cc/ , а потом вставить в строчку

<img border="0" src="http://...image.gif">
полученный адрес рисунка, а эту строчку вставить в Ваш текст.

> > Простите за дурацкий вопрос, а что, с *.pdf так нельзя?

> Увы, нельзя

Ну, попробую...

> > И также, вот у Вас была ссылка на задачу, где рассматривался допинтеграл у точечного диполя - она у меня больше не открывается, а упомянуть в тексте надо.

> Вы имеете в виду Задача 9.6? У меня ссылка открывается, внизу жмем на кнопку, и скачиваем файл

Спасибо!

> > Заодно уж, чтобы не множить послания, по поводу Вашей новой задачи с эквипотенциалями в поле диполя плюс постоянное. Вроде вблизи диполя как в его индивидуальном случае такие восьмёрочки из половинок, вдали как в постоянном поле прямые, а переход между этим, что действительно здорово и неожиданно - чистая окружность (на самом деле "рассечённая" прямой как центральный круг на футбольном поле с центром в диполе. Правильно?

> Я эту задачку подсмотрел в задачнике Фейнмана по его курсу физики. Это задача 6.9; я ее укоротил, а заодно и "затуманил" На самом деле Фейнман пишет так:

> "а)Если направление дипольного момента совпадает с направлением эл.поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента, для которой сфера имеет радиус а.
> б)...
> в)...
> г)...
> д)...
> е)..."

> Как видите, Фейнман пишет, что это сфера. Обалдеть!..

Ну да, сфера, я-то имел в виду картину эквипотенциалей в плоскости, проходящей через прямую, в которой лежит дипольный момент. Действительно обалдеть, хотя если знать, то тривиально (как многие обалденные вещи): , и если константа нуль...



> Я не знаю, как технически согласовывать с модератором размер рисунка. Но, вполне возможно, что ограничений нет, если "использовать ссылку на рисунок, который лежит на любом другом сервере". Например, Вы можете загрузить рисунок на http://radikal.cc/ , а потом вставить в строчку
<img border="0" src="http://...image.gif">
полученный адрес рисунка, а эту строчку вставить в Ваш текст.

Совершенно верно,
например 786КБ
грузить

смотреть


> > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > Задачка 6.
> > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> Я не очень понял. Траектория определяется точкой в фазовом, а не конфигурационном пространстве. Если у меня есть возможность варьировать скорость в данной точке А, то вроде как я всегда смогу прописать ту же траекторию. По-научному:
> имеем уравнение . Его решение, существующее и единственное при достаточно гладкой правой части, определяется заданием . Я могу избавиться от массы перенормировкой времени , но это изменит . Если мне позволено его подправлять, то задача решена.

Если начальная скорость равна нулю, то ничего подправлять не нужно.
Итак, выше доказано, что если траектория частицы начинается в точке, в которой скорость равна нулю, то такая траектория не зависит от массы частицы. Траектория движения из состояния покоя определяется лишь конфигурацией поля и координатой "стартовой" точки. Ясно, что отмеченное свойство (независимость траектории, содержащей точку покоя, от массы частицы) справедливо не только для электростатического, но и для любого стационарного консервативного поля.


> > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > Задачка 6.
> > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.


>

> > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > Задачка 6.
> > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.


> > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > Задачка 6.
> > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > Я не очень понял. Траектория определяется точкой в фазовом, а не конфигурационном пространстве. Если у меня есть возможность варьировать скорость в данной точке А, то вроде как я всегда смогу прописать ту же траекторию. По-научному:
> > имеем уравнение . Его решение, существующее и единственное при достаточно гладкой правой части, определяется заданием . Я могу избавиться от массы перенормировкой времени , но это изменит . Если мне позволено его подправлять, то задача решена.

> Если начальная скорость равна нулю, то ничего подправлять не нужно.
> Итак, выше доказано, что если траектория частицы начинается в точке, в которой скорость равна нулю, то такая траектория не зависит от массы частицы. Траектория движения из состояния покоя определяется лишь конфигурацией поля и координатой "стартовой" точки. Ясно, что отмеченное свойство (независимость траектории, содержащей точку покоя, от массы частицы) справедливо не только для электростатического, но и для любого стационарного консервативного поля.

Пусть в точке А скорость частицы с массой m1 равна нулю, и в этой же точке А скорость частицы m2 равна нулю. Если траектории таких разномассовых частиц совпадают, то обе частицы пройдут через точку В на этой траектории, где скорости уже не 0. Тогда что мешает нам принять точку В за начальную?


> > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > Задачка 6.
> > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > Я не очень понял. Траектория определяется точкой в фазовом, а не конфигурационном пространстве. Если у меня есть возможность варьировать скорость в данной точке А, то вроде как я всегда смогу прописать ту же траекторию. По-научному:
> > > имеем уравнение . Его решение, существующее и единственное при достаточно гладкой правой части, определяется заданием . Я могу избавиться от массы перенормировкой времени , но это изменит . Если мне позволено его подправлять, то задача решена.

> > Если начальная скорость равна нулю, то ничего подправлять не нужно.
> > Итак, выше доказано, что если траектория частицы начинается в точке, в которой скорость равна нулю, то такая траектория не зависит от массы частицы. Траектория движения из состояния покоя определяется лишь конфигурацией поля и координатой "стартовой" точки. Ясно, что отмеченное свойство (независимость траектории, содержащей точку покоя, от массы частицы) справедливо не только для электростатического, но и для любого стационарного консервативного поля.

> Пусть в точке А скорость частицы с массой m1 равна нулю, и в этой же точке А скорость частицы m2 равна нулю. Если траектории таких разномассовых частиц совпадают, то обе частицы пройдут через точку В на этой траектории, где скорости уже не 0. Тогда что мешает нам принять точку В за начальную?

Я как раз про это. Ничего, если нам будет позволено устанавливать скорости (в зависимости от массы) в некоторой пропорции.
Кстати, проблема имеет непостредственное отношение к одной из млих любымых форумных тем - о силовых линиях векторных полей. Они совпадают при очень широких вариациях самих полей. Траектория (в фазовом пространстве, мы живём в ньютоновском мире) и есть силовая линия.


> > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > Задачка 6.
> > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > Я не очень понял. Траектория определяется точкой в фазовом, а не конфигурационном пространстве. Если у меня есть возможность варьировать скорость в данной точке А, то вроде как я всегда смогу прописать ту же траекторию. По-научному:
> > > > имеем уравнение . Его решение, существующее и единственное при достаточно гладкой правой части, определяется заданием . Я могу избавиться от массы перенормировкой времени , но это изменит . Если мне позволено его подправлять, то задача решена.

> > > Если начальная скорость равна нулю, то ничего подправлять не нужно.
> > > Итак, выше доказано, что если траектория частицы начинается в точке, в которой скорость равна нулю, то такая траектория не зависит от массы частицы. Траектория движения из состояния покоя определяется лишь конфигурацией поля и координатой "стартовой" точки. Ясно, что отмеченное свойство (независимость траектории, содержащей точку покоя, от массы частицы) справедливо не только для электростатического, но и для любого стационарного консервативного поля.

> > Пусть в точке А скорость частицы с массой m1 равна нулю, и в этой же точке А скорость частицы m2 равна нулю. Если траектории таких разномассовых частиц совпадают, то обе частицы пройдут через точку В на этой траектории, где скорости уже не 0. Тогда что мешает нам принять точку В за начальную?

> Я как раз про это. Ничего, если нам будет позволено устанавливать скорости (в зависимости от массы) в некоторой пропорции.
> Кстати, проблема имеет непостредственное отношение к одной из млих любымых форумных тем - о силовых линиях векторных полей. Они совпадают при очень широких вариациях самих полей. Траектория (в фазовом пространстве, мы живём в ньютоновском мире) и есть силовая линия.

Это действительно интересная тема. До воскресенья я буду "в загуле", но потом Вы меня, если не против, подучите


> >

> > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > Задачка 6.
> > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.


> > >

> > > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > > Задачка 6.
> > > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> > Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

> Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

Нет, не и-и, а только что-то одно. Массу менять нехорошо (тогда все частицы одинаковы), можно менять только скорость.

> Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.

Я разве спорю? Я просто указываю, что это - частный вариант более общего закона. Да, это неожиданно, для успокоения общественности можно добавлять, что в этих обстоятельствах движение зависит от массы, а траектория нет. Вообще траектория зависит только от направления скорости в каждой точке, а не от её величины и закона изменения во времени. Вот если траектория - окружность, то я могу скорость умножать на произвольную (но знакоопределённую) функцию времени. И так всегда и во всём.


> > > >

> > > > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > > > Задачка 6.
> > > > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > > > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> > > Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

> > Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

> Нет, не и-и, а только что-то одно. Массу менять нехорошо (тогда все частицы одинаковы), можно менять только скорость.
Это не понял. Я имел в виду следующее: если из точки А запустить частицу массы m со скоростью V, а затем частицу массы 4m со скоростью V/2 (одного направления), то траектории их движения будут одинаковыми.
> > Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.

> Я разве спорю? Я просто указываю, что это - частный вариант более общего закона. Да, это неожиданно, для успокоения общественности можно добавлять, что в этих обстоятельствах движение зависит от массы, а траектория нет. Вообще траектория зависит только от направления скорости в каждой точке, а не от её величины и закона изменения во времени. Вот если траектория - окружность, то я могу скорость умножать на произвольную (но знакоопределённую) функцию времени. И так всегда и во всём.


> > > > >

> > > > > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > > > > Задачка 6.
> > > > > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > > > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > > > > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> > > > Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

> > > Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

> > Нет, не и-и, а только что-то одно. Массу менять нехорошо (тогда все частицы одинаковы), можно менять только скорость.
> Это не понял. Я имел в виду следующее: если из точки А запустить частицу массы m со скоростью V, а затем частицу массы 4m со скоростью V/2 (одного направления), то траектории их движения будут одинаковыми.

Я имел ввиду следующее. Для частицы с любой массой я могу подобрать скорость. Т.е. масса задаётся "извне", в моём распоряжении только один управляющий параметр. Точно также, как и поле задаётся "извне". Или по-другому. Есть произвольное стационарное поле, произвольная точка в нём и множество частиц с произвольным (но одного знака!). Тогда я могу заставить их "прописать" одинаковые траектории, начинающиеся в данной точке, меняя только начальные скорости (причём по величине, НЕ по направлению).

Ваши слова я же понял так: меня заставляют организовать одинаковые троаектории, разрешив менять и массы передаваемых мне частиц. Тогда если мне передали частицу массы , я превращу её в частицу и всё в ажуре. Это слишком просто. Вы, как следует из послания, имели ввиду другое.

> > > Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.

> > Я разве спорю? Я просто указываю, что это - частный вариант более общего закона. Да, это неожиданно, для успокоения общественности можно добавлять, что в этих обстоятельствах движение зависит от массы, а траектория нет. Вообще траектория зависит только от направления скорости в каждой точке, а не от её величины и закона изменения во времени. Вот если траектория - окружность, то я могу скорость умножать на произвольную (но знакоопределённую) функцию времени. И так всегда и во всём.


Вот попробовал...









> > > > > >

> > > > > > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > > > > > Задачка 6.
> > > > > > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > > > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > > > > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > > > > > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> > > > > Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

> > > > Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

> > > Нет, не и-и, а только что-то одно. Массу менять нехорошо (тогда все частицы одинаковы), можно менять только скорость.
> > Это не понял. Я имел в виду следующее: если из точки А запустить частицу массы m со скоростью V, а затем частицу массы 4m со скоростью V/2 (одного направления), то траектории их движения будут одинаковыми.

> Я имел ввиду следующее. Для частицы с любой массой я могу подобрать скорость. Т.е. масса задаётся "извне", в моём распоряжении только один управляющий параметр. Точно также, как и поле задаётся "извне". Или по-другому. Есть произвольное стационарное поле, произвольная точка в нём и множество частиц с произвольным (но одного знака!). Тогда я могу заставить их "прописать" одинаковые траектории, начинающиеся в данной точке, меняя только начальные скорости (причём по величине, НЕ по направлению).

> Ваши слова я же понял так: меня заставляют организовать одинаковые троаектории, разрешив менять и массы передаваемых мне частиц. Тогда если мне передали частицу массы , я превращу её в частицу и всё в ажуре. Это слишком просто. Вы, как следует из послания, имели ввиду другое.
Здесь все понятно. Расхождения были в "декорациях".
> > > > Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.

> > > Я разве спорю? Я просто указываю, что это - частный вариант более общего закона. Да, это неожиданно, для успокоения общественности можно добавлять, что в этих обстоятельствах движение зависит от массы, а траектория нет. Вообще траектория зависит только от направления скорости в каждой точке, а не от её величины и закона изменения во времени. Вот если траектория - окружность, то я могу скорость умножать на произвольную (но знакоопределённую) функцию времени. И так всегда и во всём.

Про окружность не понял.


> > > > > > >

> > > > > > > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > > > > > > Задачка 6.
> > > > > > > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > > > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > > > > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > > > > > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > > > > > > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> > > > > > Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

> > > > > Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

> > > > Нет, не и-и, а только что-то одно. Массу менять нехорошо (тогда все частицы одинаковы), можно менять только скорость.
> > > Это не понял. Я имел в виду следующее: если из точки А запустить частицу массы m со скоростью V, а затем частицу массы 4m со скоростью V/2 (одного направления), то траектории их движения будут одинаковыми.

> > Я имел ввиду следующее. Для частицы с любой массой я могу подобрать скорость. Т.е. масса задаётся "извне", в моём распоряжении только один управляющий параметр. Точно также, как и поле задаётся "извне". Или по-другому. Есть произвольное стационарное поле, произвольная точка в нём и множество частиц с произвольным (но одного знака!). Тогда я могу заставить их "прописать" одинаковые траектории, начинающиеся в данной точке, меняя только начальные скорости (причём по величине, НЕ по направлению).

> > Ваши слова я же понял так: меня заставляют организовать одинаковые троаектории, разрешив менять и массы передаваемых мне частиц. Тогда если мне передали частицу массы , я превращу её в частицу и всё в ажуре. Это слишком просто. Вы, как следует из послания, имели ввиду другое.
> Здесь все понятно. Расхождения были в "декорациях".
> > > > > Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.

> > > > Я разве спорю? Я просто указываю, что это - частный вариант более общего закона. Да, это неожиданно, для успокоения общественности можно добавлять, что в этих обстоятельствах движение зависит от массы, а траектория нет. Вообще траектория зависит только от направления скорости в каждой точке, а не от её величины и закона изменения во времени. Вот если траектория - окружность, то я могу скорость умножать на произвольную (но знакоопределённую) функцию времени. И так всегда и во всём.

> Про окружность не понял.

Ну, давайте возьмём прямую на плоскости . Её "прописывает", например, частица, обладающая на бесконечном интервале времени постоянную скорость , направленную по . Но также и с произвольной константой (положительной, если нас интересует направление прохода) . И . И . И... С окружностью то же самое. И с любой траекторией тоже. Но низзззя!

Простите, Вы это видели?


> > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > > > > > > > Задачка 6.
> > > > > > > > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > > > > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > > > > > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > > > > > > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > > > > > > > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> > > > > > > Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

> > > > > > Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

> > > > > Нет, не и-и, а только что-то одно. Массу менять нехорошо (тогда все частицы одинаковы), можно менять только скорость.
> > > > Это не понял. Я имел в виду следующее: если из точки А запустить частицу массы m со скоростью V, а затем частицу массы 4m со скоростью V/2 (одного направления), то траектории их движения будут одинаковыми.

> > > Я имел ввиду следующее. Для частицы с любой массой я могу подобрать скорость. Т.е. масса задаётся "извне", в моём распоряжении только один управляющий параметр. Точно также, как и поле задаётся "извне". Или по-другому. Есть произвольное стационарное поле, произвольная точка в нём и множество частиц с произвольным (но одного знака!). Тогда я могу заставить их "прописать" одинаковые траектории, начинающиеся в данной точке, меняя только начальные скорости (причём по величине, НЕ по направлению).

> > > Ваши слова я же понял так: меня заставляют организовать одинаковые троаектории, разрешив менять и массы передаваемых мне частиц. Тогда если мне передали частицу массы , я превращу её в частицу и всё в ажуре. Это слишком просто. Вы, как следует из послания, имели ввиду другое.
> > Здесь все понятно. Расхождения были в "декорациях".
> > > > > > Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.

> > > > > Я разве спорю? Я просто указываю, что это - частный вариант более общего закона. Да, это неожиданно, для успокоения общественности можно добавлять, что в этих обстоятельствах движение зависит от массы, а траектория нет. Вообще траектория зависит только от направления скорости в каждой точке, а не от её величины и закона изменения во времени. Вот если траектория - окружность, то я могу скорость умножать на произвольную (но знакоопределённую) функцию времени. И так всегда и во всём.

> > Про окружность не понял.

> Ну, давайте возьмём прямую на плоскости . Её "прописывает", например, частица, обладающая на бесконечном интервале времени постоянную скорость , направленную по . Но также и с произвольной константой (положительной, если нас интересует направление прохода) . И . И . И... С окружностью то же самое. И с любой траекторией тоже. Но низзззя!
Ну это совсем просто: по заданной траектории точка может двигаться с любым законом движения V(t),если поле сил подобрать соответствующим образом.
Но "низззя!" - опять какая-то загадка!
> Простите, Вы это видели?

Увидел, восхитился. Успел распечатать. Буду изучать. Мне все это интересно, но времени, как назло, сейчас в обрез.
С уважением и благодарностью.


> > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > > Следующая задачка, простая и не про диполь, но все же... Задачка возникла, когда я размышлял о диполе и, признаюсь, что для меня результат оказался неожиданным. Что скажете?

> > > > > > > > > > > > > Задачка 6.
> > > > > > > > > > > > > Заряженая частица движется в электростатическом поле. При выполнении каких условий траектория движения частицы, проходящая через некоторую точку А, не зависит от массы частицы?

> > > > > > > > > > > > Если дозволяется менять заряд частицы q, то его нужно менять так, чтобы отношение q/m = const.

> > > > > > > > > > > Заряд частицы постоянный. Меняем только массу частицы.

> > > > > > > > > > Тогда можно рассмотреть движение частицы в поле двух конденсаторов. Идея следующая: первый конденсатор ускоряет частицу (движение вдоль поля Е1; частица ускоренно вылетает из конденсатора "через дырочку"), и ее кин.энергия на выходе из первого конденсатора будет пропорциональна Е1. Затем частица попадает во второй конденсатор, поле которого направлено поперек начальной скорости частицы. Угол "поперечного" отклонения частицы будет определяться входной кин.энергией частицы во второй конденсатор, т.е. той же выходной кин.энергией частицы из первого конденсатора. Таким образом, вместо кин.энергии в выражение для угла "поперечного" отклонения частицы войдет некоторая функция напряженности эл.поля Е1 первого конденсатора, а масса частицы, соответственно, исчезнет вместе с кинетической энергией частицы. Значит, траектория частицы при движении через конденсаторы с продольным полем Е1 и поперечным полем Е2 будет зависеть только от величин Е1 и Е2, но не от ее массы.

> > > > > > > > > ....все верно, если начальная скорость частицы равна нулю, что подтверждает общий вывод.

> > > > > > > > Всё-таки пардон, не только тогда. В Вашем исходном вопросе задавалось координата и НЕ задавалась скорость. Ответ в том, что требуется в некой пропорции эту скорость изменить, так что нулевая скорость - частный случай. ИМХО.

> > > > > > > Согласен: если дозволено изменять и массу и скорость частицы в некоторой точке, то для неизменности траектории достаточно эти изменения прводить так, чтобы кинетическая энергия частицы в этой точке оставалась постоянной.

> > > > > > Нет, не и-и, а только что-то одно. Массу менять нехорошо (тогда все частицы одинаковы), можно менять только скорость.
> > > > > Это не понял. Я имел в виду следующее: если из точки А запустить частицу массы m со скоростью V, а затем частицу массы 4m со скоростью V/2 (одного направления), то траектории их движения будут одинаковыми.

> > > > Я имел ввиду следующее. Для частицы с любой массой я могу подобрать скорость. Т.е. масса задаётся "извне", в моём распоряжении только один управляющий параметр. Точно также, как и поле задаётся "извне". Или по-другому. Есть произвольное стационарное поле, произвольная точка в нём и множество частиц с произвольным (но одного знака!). Тогда я могу заставить их "прописать" одинаковые траектории, начинающиеся в данной точке, меняя только начальные скорости (причём по величине, НЕ по направлению).

> > > > Ваши слова я же понял так: меня заставляют организовать одинаковые троаектории, разрешив менять и массы передаваемых мне частиц. Тогда если мне передали частицу массы , я превращу её в частицу и всё в ажуре. Это слишком просто. Вы, как следует из послания, имели ввиду другое.
> > > Здесь все понятно. Расхождения были в "декорациях".
> > > > > > > Хотя, формулируя задачу, я хотел обратить внимание на другое: если частица начинает движение из состояния покоя, то ее траектория в стационарном консервативном поле не зависит от массы частицы. В электростатическом поле такая траектория не зависит от удельного заряда частицы. Меня это удивило, хотя докозательство (и Вы его привели) очень простое.

> > > > > > Я разве спорю? Я просто указываю, что это - частный вариант более общего закона. Да, это неожиданно, для успокоения общественности можно добавлять, что в этих обстоятельствах движение зависит от массы, а траектория нет. Вообще траектория зависит только от направления скорости в каждой точке, а не от её величины и закона изменения во времени. Вот если траектория - окружность, то я могу скорость умножать на произвольную (но знакоопределённую) функцию времени. И так всегда и во всём.

> > > Про окружность не понял.

> > Ну, давайте возьмём прямую на плоскости . Её "прописывает", например, частица, обладающая на бесконечном интервале времени постоянную скорость , направленную по . Но также и с произвольной константой (положительной, если нас интересует направление прохода) . И . И . И... С окружностью то же самое. И с любой траекторией тоже. Но низзззя!
> Ну это совсем просто: по заданной траектории точка может двигаться с любым законом движения V(t),если поле сил подобрать соответствующим образом.
> Но "низззя!" - опять какая-то загадка!

Низзя менять знак скорости. Точка нуля "отражает" движение назад.

> > Простите, Вы это видели?

> Увидел, восхитился. Успел распечатать. Буду изучать. Мне все это интересно, но времени, как назло, сейчас в обрез.
> С уважением и благодарностью.


> Вот попробовал...

>

Спасибо, отличная работа!
Начинаю потихоньку читать и спрашивать.
В формуле (2):

а) кин.энергия записывается без массы, только квадрат скорости.
б) В выражении для К первое слагаемое не содержит r2? Размерности вроде не согласованы.

Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?


> > Вот попробовал...

> >

> Спасибо, отличная работа!
> Начинаю потихоньку читать и спрашивать.
> В формуле (2):

> а) кин.энергия записывается без массы, только квадрат скорости.

Да, всё сразу делится на массу. Это говорится сразу ниже.

> б) В выражении для К первое слагаемое не содержит r2? Размерности вроде не согласованы.

Да, это ошибка Но в (4) уже всё правильно.

> Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

Спасибо за внимание и поправки!


> > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

Я попытался найти, но пока есть только
Урсулов и др. Теор.механика. Решение задач. Стр.78-79 Там тоже формулы (2) для К нет, но Ваша формула (4) выписана явно.


> > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> Я попытался найти, но пока есть только
> Урсулов и др. Теор.механика. Решение задач. Стр.78-79 Там тоже формулы (2) для К нет, но Ваша формула (4) выписана явно.

Спасибо, но вроде уже ни к чему. Ссылка есть. Для души, естесссно, важно, но вряд ли ради этого буду что-то новое вывешивать. Высказался (с огромной Вашей помощью) - и ладно.


>
> > > Простите, Вы это видели?

> > Увидел, восхитился. Успел распечатать. Буду изучать. Мне все это интересно, но времени, как назло, сейчас в обрез.
> > С уважением и благодарностью.

1)В задачнике Коткина и Сербо (Kostya давал ссылку) есть несколько задач на эту тему. В частности, приводится формула аналогичная (6) для зависимости расстояния от времени.
2) В этом же задачнике приведено простое условие "захвата" частицы точечным диполем. Предполагается, что частицы приближается к диполю с большого расстояния, задано прицельное расстояние ρ и угол α между вектором скорости и дипольным моментом "p": E < kqpcos(α)/ρ²
3) Неточность на стр. 3: в выражении для скорости должен быть орт оси Х, а не Z.
4) На меня произвел впечатление вывод (предположение) для неточечного диполя на последней странице: "похоже, что регуляризованная эволюция просто элиминирует нефизическую область, сдвигая начало отсчета времени для второй ветви точечной траектории." Привожу в следующем сообщении численные расчеты его подтверждающие.


> >
> > > > Простите, Вы это видели?

> > > Увидел, восхитился. Успел распечатать. Буду изучать. Мне все это интересно, но времени, как назло, сейчас в обрез.
> > > С уважением и благодарностью.

> 1)В задачнике Коткина и Сербо (Kostya давал ссылку) есть несколько задач на эту тему. В частности, приводится формула аналогичная (6) для зависимости расстояния от времени.
> 2) В этом же задачнике приведено простое условие "захвата" частицы точечным диполем. Предполагается, что частицы приближается к диполю с большого расстояния, задано прицельное расстояние ρ и угол α между вектором скорости и дипольным моментом "p": E < kqpcos(α)/ρ²
> 3) Неточность на стр. 3: в выражении для скорости должен быть орт оси Х, а не Z.
> 4) На меня произвел впечатление вывод (предположение) для неточечного диполя на последней странице: "похоже, что регуляризованная эволюция просто элиминирует нефизическую область, сдвигая начало отсчета времени для второй ветви точечной траектории." Привожу в следующем сообщении численные расчеты его подтверждающие.

На первом рисунке приведены траектории частицы (заряд ее положительный), налетающей на диполь справа. Начальная скорость частицы параллельна дипольному моменту. В относительных единицах указаны скорости частицы.

Далее приведены графики зависимости расстояния от частицы до средней точки диполя от времени для тех же начальных условий, что и на первом рисунке.


> >
> > > > Простите, Вы это видели?

> > > Увидел, восхитился. Успел распечатать. Буду изучать. Мне все это интересно, но времени, как назло, сейчас в обрез.
> > > С уважением и благодарностью.

> 1)В задачнике Коткина и Сербо (Kostya давал ссылку) есть несколько задач на эту тему. В частности, приводится формула аналогичная (6) для зависимости расстояния от времени.
> 2) В этом же задачнике приведено простое условие "захвата" частицы точечным диполем. Предполагается, что частицы приближается к диполю с большого расстояния, задано прицельное расстояние ρ и угол α между вектором скорости и дипольным моментом "p": E < kqpcos(α)/ρ²
> 3) Неточность на стр. 3: в выражении для скорости должен быть орт оси Х, а не Z.
> 4) На меня произвел впечатление вывод (предположение) для неточечного диполя на последней странице: "похоже, что регуляризованная эволюция просто элиминирует нефизическую область, сдвигая начало отсчета времени для второй ветви точечной траектории." Привожу в следующем сообщении численные расчеты его подтверждающие.

А здесь частица налетает на диполь, двигаясь изначально вдоль его поперечной оси:

Указаны начальные скорости.
Далее соответствующие временные зависимости расстояния от частицы до центра диполя.


> >
> > > > Простите, Вы это видели?

> > > Увидел, восхитился. Успел распечатать. Буду изучать. Мне все это интересно, но времени, как назло, сейчас в обрез.
> > > С уважением и благодарностью.

> 1)В задачнике Коткина и Сербо (Kostya давал ссылку) есть несколько задач на эту тему. В частности, приводится формула аналогичная (6) для зависимости расстояния от времени.

Вроде да. Но, я повторю, сейчас мне уже не так интересны ссылки.

> 2) В этом же задачнике приведено простое условие "захвата" частицы точечным диполем. Предполагается, что частицы приближается к диполю с большого расстояния, задано прицельное расстояние ρ и угол α между вектором скорости и дипольным моментом "p": E < kqpcos(α)/ρ²

Да, я обратил внимание.

> 3) Неточность на стр. 3: в выражении для скорости должен быть орт оси Х, а не Z.

Пардон, у меня стоит именно иксовый орт.

> 4) На меня произвел впечатление вывод (предположение) для неточечного диполя на последней странице: "похоже, что регуляризованная эволюция просто элиминирует нефизическую область, сдвигая начало отсчета времени для второй ветви точечной траектории." Привожу в следующем сообщении численные расчеты его подтверждающие.

Посмотрел, спасибо, интересно!


> > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > Я попытался найти, но пока есть только
> > Урсулов и др. Теор.механика. Решение задач. Стр.78-79 Там тоже формулы (2) для К нет, но Ваша формула (4) выписана явно.

> Спасибо, но вроде уже ни к чему. Ссылка есть. Для души, естесссно, важно, но вряд ли ради этого буду что-то новое вывешивать. Высказался (с огромной Вашей помощью) - и ладно.

Вот Kli-Gin вспомнил про задачник Коткина и Сербо (на который Kostya давал ссылку); там приведено много задач с решениями по теме диполя (и близких к диполю), и ссылку на этот задачник было бы неплохо добавить в литературу к Вашей статье. Но это, конечно, на Ваше усмотрение.


> > 1)В задачнике Коткина и Сербо (Kostya давал ссылку) есть несколько задач на эту тему. В частности, приводится формула аналогичная (6) для зависимости расстояния от времени.
> > 2) В этом же задачнике приведено простое условие "захвата" частицы точечным диполем. Предполагается, что частицы приближается к диполю с большого расстояния, задано прицельное расстояние ρ и угол α между вектором скорости и дипольным моментом "p": E < kqpcos(α)/ρ²

> А здесь частица налетает на диполь, двигаясь изначально вдоль его поперечной оси:
>
> Указаны начальные скорости.

Здесь постановка задачи весьма похожа на задачу (12.7) в задачнике Коткина и Сербо. Для случая α=0 есть практически полное совпадение; для одного частного случая там получают интересное движение:

У Вас получается похоже?


> > > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > > Я попытался найти, но пока есть только
> > > Урсулов и др. Теор.механика. Решение задач. Стр.78-79 Там тоже формулы (2) для К нет, но Ваша формула (4) выписана явно.

> > Спасибо, но вроде уже ни к чему. Ссылка есть. Для души, естесссно, важно, но вряд ли ради этого буду что-то новое вывешивать. Высказался (с огромной Вашей помощью) - и ладно.

> Вот Kli-Gin вспомнил про задачник Коткина и Сербо (на который Kostya давал ссылку); там приведено много задач с решениями по теме диполя (и близких к диполю), и ссылку на этот задачник было бы неплохо добавить в литературу к Вашей статье. Но это, конечно, на Ваше усмотрение.

Да какая статья? Я просто много возился с формулами и захотел их выставить на общее обозрение, вдруг кому пригодится (в формат обычных посланий они явно не влазили). Мне кажется, базовые принципы соблюдены, а давать ссылки как в настоящей публикации не вижу особого смысла (главное - я ничуть не претендую на оригинальность, а только - максимум! - на некую методику изложения). Может быть, конечно, ошибаюсь...


> > > > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > > > Я попытался найти, но пока есть только
> > > > Урсулов и др. Теор.механика. Решение задач. Стр.78-79 Там тоже формулы (2) для К нет, но Ваша формула (4) выписана явно.

> > > Спасибо, но вроде уже ни к чему. Ссылка есть. Для души, естесссно, важно, но вряд ли ради этого буду что-то новое вывешивать. Высказался (с огромной Вашей помощью) - и ладно.

> > Вот Kli-Gin вспомнил про задачник Коткина и Сербо (на который Kostya давал ссылку); там приведено много задач с решениями по теме диполя (и близких к диполю), и ссылку на этот задачник было бы неплохо добавить в литературу к Вашей статье. Но это, конечно, на Ваше усмотрение.

> Да какая статья? Я просто много возился с формулами и захотел их выставить на общее обозрение, вдруг кому пригодится (в формат обычных посланий они явно не влазили). Мне кажется, базовые принципы соблюдены, а давать ссылки как в настоящей публикации не вижу особого смысла (главное - я ничуть не претендую на оригинальность, а только - максимум! - на некую методику изложения). Может быть, конечно, ошибаюсь...

Имхо, если подработать Ваш текст, то очень бы неплохая методическая работа получилась. Вы ведь не только систематизировали материал, но и сделали нетривиальный анализ движения частицы. Мне кажется, что движение частицы в поле электрического диполя - это очень "лакомый" кусочек с точки зрения преподнесения учебного материала, и это очень неплохая, и в то же время простая модельная структура.
Но даже если ограничиться только тем текстом, который Вы представили, то тем более в него можно добавить "до кучи" литературу как справочный материал. Шоб було...


> > > 1)В задачнике Коткина и Сербо (Kostya давал ссылку) есть несколько задач на эту тему. В частности, приводится формула аналогичная (6) для зависимости расстояния от времени.
> > > 2) В этом же задачнике приведено простое условие "захвата" частицы точечным диполем. Предполагается, что частицы приближается к диполю с большого расстояния, задано прицельное расстояние ρ и угол α между вектором скорости и дипольным моментом "p": E < kqpcos(α)/ρ²

> > А здесь частица налетает на диполь, двигаясь изначально вдоль его поперечной оси:
> >
> > Указаны начальные скорости.

> Здесь постановка задачи весьма похожа на задачу (12.7) в задачнике Коткина и Сербо. Для случая α=0 есть практически полное совпадение; для одного частного случая там получают интересное движение:
>
> У Вас получается похоже?
В задаче 12.7 рассматривается точечный диполь и трехмерные траектории ("фитовая" составляющая скорости отлична от нуля), я рассматриваю "неточечный диполь" и плоские траектории.


> > > > 1)В задачнике Коткина и Сербо (Kostya давал ссылку) есть несколько задач на эту тему. В частности, приводится формула аналогичная (6) для зависимости расстояния от времени.
> > > > 2) В этом же задачнике приведено простое условие "захвата" частицы точечным диполем. Предполагается, что частицы приближается к диполю с большого расстояния, задано прицельное расстояние ρ и угол α между вектором скорости и дипольным моментом "p": E < kqpcos(α)/ρ²

> > > А здесь частица налетает на диполь, двигаясь изначально вдоль его поперечной оси:

> > Здесь постановка задачи весьма похожа на задачу (12.7) в задачнике Коткина и Сербо. Для случая α=0 есть практически полное совпадение; для одного частного случая там получают интересное движение:
> >
> > У Вас получается похоже?

> В задаче 12.7 рассматривается точечный диполь и трехмерные траектории ("фитовая" составляющая скорости отлична от нуля), я рассматриваю "неточечный диполь" и плоские траектории.

Вот условие этой задачи:

Действительно, если α=0, то начальное движение частицы не поперек диполя, а вдоль, что не есть хорошо. Чтобы было поперечное движение, нужно положить α=π/2, но тогда tg(α) будет стремиться к бесконечности. Если бы можно было считать x=-z*tg(π/2)=0 при z=0, то только тогда эта задача сведется к Вашей. Правда, относительно выполнения неравенства, когда получается аналитическое решение, тоже нужно думать.


> > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.


> > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
> Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.

Спасибо, тут же откопировал себе в библиотеку. Очень интересные параллели.


> > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
> > Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.

> Спасибо, тут же откопировал себе в библиотеку. Очень интересные параллели.

Тогда приведу и обзорную статью А.В. Борисов, А.А. Килин, И.С. Мамаев. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи с обширным списком литературы.


> > > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > > Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
> > > Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.

> > Спасибо, тут же откопировал себе в библиотеку. Очень интересные параллели.

> Тогда приведу и обзорную статью А.В. Борисов, А.А. Килин, И.С. Мамаев. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи с обширным списком литературы.

Спасибо, у этих вообще много всяких книг ( и их количество довольно быстро растёт). Странно, что мне не пришло в голову смотреть их целенаправленно.
Вообще-то любопытно, что, сообщая про , люди не говорят, что для движения одной частицы в таком центральном поле никакого дополнительного интеграла нет. Думают, что и так видно?


> > > > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > > > Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
> > > > Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.

> > > Спасибо, тут же откопировал себе в библиотеку. Очень интересные параллели.

> > Тогда приведу и обзорную статью А.В. Борисов, А.А. Килин, И.С. Мамаев. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи с обширным списком литературы.

> Спасибо, у этих вообще много всяких книг ( и их количество довольно быстро растёт). Странно, что мне не пришло в голову смотреть их целенаправленно.
> Вообще-то любопытно, что, сообщая про , люди не говорят, что для движения одной частицы в таком центральном поле никакого дополнительного интеграла нет. Думают, что и так видно?

Вы имеете в виду, что в этом случае сохраняется только энергия и момент импульса? И мы считаем, что это центральное поле "заморожено" в пространстве, т.е. его источник "закреплен"?


> > > > > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > > > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > > > > Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
> > > > > Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.

> > > > Спасибо, тут же откопировал себе в библиотеку. Очень интересные параллели.

> > > Тогда приведу и обзорную статью А.В. Борисов, А.А. Килин, И.С. Мамаев. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи с обширным списком литературы.

> > Спасибо, у этих вообще много всяких книг ( и их количество довольно быстро растёт). Странно, что мне не пришло в голову смотреть их целенаправленно.
> > Вообще-то любопытно, что, сообщая про , люди не говорят, что для движения одной частицы в таком центральном поле никакого дополнительного интеграла нет. Думают, что и так видно?

> Вы имеете в виду, что в этом случае сохраняется только энергия и момент импульса? И мы считаем, что это центральное поле "заморожено" в пространстве, т.е. его источник "закреплен"?

Я про стандартную постановку - движение частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом . То, к чему сводится двухчастичная задача. То, что даёт эллипсы и гиперболы для кеплерова взаимодействия. В этом случае нетривиальными интегралами являются только энергия и момент импульса, и в этом смысле поле "-2" ничем не выделено среди всех других центральных полей за исключением двух вариантов - "-1" и "2" (кеплерова и осцилляторного).


> > > > > > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > > > > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > > > > > Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
> > > > > > Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.

> > > > > Спасибо, тут же откопировал себе в библиотеку. Очень интересные параллели.

> > > > Тогда приведу и обзорную статью А.В. Борисов, А.А. Килин, И.С. Мамаев. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи с обширным списком литературы.

> > > Спасибо, у этих вообще много всяких книг ( и их количество довольно быстро растёт). Странно, что мне не пришло в голову смотреть их целенаправленно.
> > > Вообще-то любопытно, что, сообщая про , люди не говорят, что для движения одной частицы в таком центральном поле никакого дополнительного интеграла нет. Думают, что и так видно?

> > Вы имеете в виду, что в этом случае сохраняется только энергия и момент импульса? И мы считаем, что это центральное поле "заморожено" в пространстве, т.е. его источник "закреплен"?

> Я про стандартную постановку - движение частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом . То, к чему сводится двухчастичная задача. То, что даёт эллипсы и гиперболы для кеплерова взаимодействия. В этом случае нетривиальными интегралами являются только энергия и момент импульса, и в этом смысле поле "-2" ничем не выделено среди всех других центральных полей за исключением двух вариантов - "-1" и "2" (кеплерова и осцилляторного).

Да, в этом случае есть только два и интеграла движения. Наверное, для них это очевидно?..

Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.


> > > > > > > > > Вы ссылаетесь, в частности, на [1], когда вводите К. Я полистал этот задачник, но не нашел этого интеграла движения. Не подскажете страницу?

> > > > > > > > Да, напрямую там его нет. Но если "поработать" с Гамильтоном-Якоби он возникает естественным путём (в промежуточных выкладках). Мне всего лишь нужна ссылка на то, что этот интеграл известен. Он известне, но прямой ссылки я не знаю...

> > > > > > > Вот попалась работа Килин, “Обобщение тождества Лагранжа и новые интегралы движения”
> > > > > > > Там в (1.7) приведено выражение для интеграла движения, содержащее (r,p)2, причем это сделано для потенциала 1/r2 (правда, не содержащего "анизотропность" в числителе, как у потенциала диполя). Не знаю, насколько это представляет интерес; привожу эту ссылку на всякий случай.

> > > > > > Спасибо, тут же откопировал себе в библиотеку. Очень интересные параллели.

> > > > > Тогда приведу и обзорную статью А.В. Борисов, А.А. Килин, И.С. Мамаев. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи с обширным списком литературы.

> > > > Спасибо, у этих вообще много всяких книг ( и их количество довольно быстро растёт). Странно, что мне не пришло в голову смотреть их целенаправленно.
> > > > Вообще-то любопытно, что, сообщая про , люди не говорят, что для движения одной частицы в таком центральном поле никакого дополнительного интеграла нет. Думают, что и так видно?

> > > Вы имеете в виду, что в этом случае сохраняется только энергия и момент импульса? И мы считаем, что это центральное поле "заморожено" в пространстве, т.е. его источник "закреплен"?

> > Я про стандартную постановку - движение частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом . То, к чему сводится двухчастичная задача. То, что даёт эллипсы и гиперболы для кеплерова взаимодействия. В этом случае нетривиальными интегралами являются только энергия и момент импульса, и в этом смысле поле "-2" ничем не выделено среди всех других центральных полей за исключением двух вариантов - "-1" и "2" (кеплерова и осцилляторного).

> Да, в этом случае есть только два и интеграла движения. Наверное, для них это очевидно?..

Я тоже так думаю...

> Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

Где-нибудь есть наверняка


> Где-нибудь есть наверняка

Кстати, а где-то описано такое равномерное распределение случайной величины, у которого плотность вероятности p(x)=1 ?


> Я про стандартную постановку - движение частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом .

Если я где-нибудь не ошибся в выкладках, то при движении частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом , сохраняется скалярное произведение импульса на радиус-вектор:

Проверял, но ошибку пока не обнаружил...


> > Я про стандартную постановку - движение частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом .

> Если я где-нибудь не ошибся в выкладках, то при движении частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом , сохраняется скалярное произведение импульса на радиус-вектор:

>

Разве из этого следует, что сохраняется? Как раз ведь меняется при ненулевой полной энергии.
Да, эта формула верна. Я уже писал, почти всё, что я исходно говорил про диполь, имеет здесь прямые параллели. И эта формула. И следующее из неё выражение для дополнительного интеграла (приводимое и в оригинальной статье и у Мамаева). Я, правда, всё исходно делил на массу. Только для диполя это новый интеграл (тоже известный), а здесь - комбинация старых.

> Проверял, но ошибку пока не обнаружил...

Ну, можно также ввести интеграл, явно зависящий от времени: (я, кстати, предлагал аналогичную операцию на другом форуме, когда обсуждали задачу Федора). В большинстве книг, которые я читал по теме "интегрируемость" такие интегралы включают в номенклатуру, хотя, собственно, интегрировать они помогают меньше (поскольку задают гиперповерхность в расширенном фазовом прострастве, что менее ограничивает свободу).


> > > Я про стандартную постановку - движение частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом .

> > Если я где-нибудь не ошибся в выкладках, то при движении частицы в поле неподвижного центра, создающего силовое поле с потенциалом , сохраняется скалярное произведение импульса на радиус-вектор:

> >

> Разве из этого следует, что сохраняется? Как раз ведь меняется при ненулевой полной энергии.

Это да, в общем случае это не сохраняющаяся величина. Только интересно, что, как и для диполя, при некоторых начальных условиях это скалярное произведение сохраняется. Кстати, скалярное произведение импульса на радиус-вектор называют еще вириалом ( ), и массу удобно сохранять (чтобы получить кин.энергию), как удобно записывать и силу через градиент потенциальной энергии (а не потенциала) со знаком минус.

> Да, эта формула верна. Я уже писал, почти всё, что я исходно говорил про диполь, имеет здесь прямые параллели. И эта формула. И следующее из неё выражение для дополнительного интеграла (приводимое и в оригинальной статье и у Мамаева). Я, правда, всё исходно делил на массу. Только для диполя это новый интеграл (тоже известный), а здесь - комбинация старых.

> > Проверял, но ошибку пока не обнаружил...

> Ну, можно также ввести интеграл, явно зависящий от времени: (я, кстати, предлагал аналогичную операцию на другом форуме, когда обсуждали задачу Федора). В большинстве книг, которые я читал по теме "интегрируемость" такие интегралы включают в номенклатуру, хотя, собственно, интегрировать они помогают меньше (поскольку задают гиперповерхность в расширенном фазовом прострастве, что менее ограничивает свободу).


> > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> Где-нибудь есть наверняка

И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..


> > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > Где-нибудь есть наверняка

> И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

Да. Но траектория в определённом смысле грубая характеристика движения. Она задаётся направлением скорости в каждой своей точке (как силовая линия, каковой она в общем смысле и является) - и только. Величина скорости и закон её изменения во времени абсолютно произвольны (если сохраняется направление).


> > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > Где-нибудь есть наверняка

> > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> Да. Но траектория в определённом смысле грубая характеристика движения. Она задаётся направлением скорости в каждой своей точке (как силовая линия, каковой она в общем смысле и является) - и только. Величина скорости и закон её изменения во времени абсолютно произвольны (если сохраняется направление).

Это понятно; только в грав.поле не только траектория, но и скорости и ускорения будут одинаковами в любой выбранной точке траектории вне зависимости от массы. С чего, собственно, и начинается ОТО Но, если вернуться к электростатическому полю, то тот факт, что для как угодно "запутанной" траектории, обусловленной "хитро-сложным" потенциалом, движения разномассовых заряженных частиц будут накладываться пространственно 1:1, хотя при этом скорости и ускорения будут разными - только усиливает красоту и "антиитуитивность" такой картины. Странно, что такой красивый факт не представлен широко в учебной литературе.


> > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > Да. Но траектория в определённом смысле грубая характеристика движения. Она задаётся направлением скорости в каждой своей точке (как силовая линия, каковой она в общем смысле и является) - и только. Величина скорости и закон её изменения во времени абсолютно произвольны (если сохраняется направление).

> Это понятно; только в грав.поле не только траектория, но и скорости и ускорения будут одинаковами в любой выбранной точке траектории вне зависимости от массы. С чего, собственно, и начинается ОТО Но, если вернуться к электростатическому полю, то тот факт, что для как угодно "запутанной" траектории, обусловленной "хитро-сложным" потенциалом, движения разномассовых заряженных частиц будут накладываться пространственно 1:1, хотя при этом скорости и ускорения будут разными - только усиливает красоту и "антиитуитивность" такой картины. Странно, что такой красивый факт не представлен широко в учебной литературе.

Ну, я-то согласен. Осталось убедить авторов учебников


> > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > Где-нибудь есть наверняка

> И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..


То было чудо, а это фокус :
Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.


> > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > Где-нибудь есть наверняка

> > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

>
> То было чудо, а это фокус :
> Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

Дык не всегда же по параболе. Кроме энергии есть и другие интегралы...


> > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> >
> > То было чудо, а это фокус :
> > Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> > 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> > 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

> Дык не всегда же по параболе. Кроме энергии есть и другие интегралы...
Не всегда, но может и по параболе.
Забавно, что, как будто, при одинаковых начальных условиях траектории частицы могут быть различными.
Я, как и Вы, понимаю в чем фокус, и мне он кажется забавным.


> > > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > >
> > > То было чудо, а это фокус :
> > > Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> > > 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> > > 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

> > Дык не всегда же по параболе. Кроме энергии есть и другие интегралы...
> Не всегда, но может и по параболе.
> Забавно, что, как будто, при одинаковых начальных условиях траектории частицы могут быть различными.

Совсем не одинаковых, если мыслить интегралами движения.

> Я, как и Вы, понимаю в чем фокус, и мне он кажется забавным.

Да, мне понравилось


> > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > Где-нибудь есть наверняка

> > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

>
> То было чудо, а это фокус :
> Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

Подобный фокус можно сделать и с эллипсом, и с гиперболой. Например, если с конечной высоты отпускаем точечную массу без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. При этом, если бы в точке старта в начале была бы как угодно малая поперечная начальная скорость, то вместо прямой падения на центр у нас был бы эллипс. В этом случае полная энергия отрицательна, и она отрицательна как для эллипса, так и для вырожденного эллипса в виде ограниченной прямой падения на центр. К слову, отличительной характеристикой прямой падения на центр является равенство нулю кинетического момента.


> > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> >
> > То было чудо, а это фокус :
> > Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> > 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> > 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

> Подобный фокус можно сделать и с эллипсом, и с гиперболой. Например, если с конечной высоты отпускаем точечную массу без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. При этом, если бы в точке старта в начале была бы как угодно малая поперечная начальная скорость, то вместо прямой падения на центр у нас был бы эллипс. В этом случае полная энергия отрицательна, и она отрицательна как для эллипса, так и для вырожденного эллипса в виде ограниченной прямой падения на центр. К слову, отличительной характеристикой прямой падения на центр является равенство нулю кинетического момента.

Вот!


> > > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > >
> > > То было чудо, а это фокус :
> > > Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> > > 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> > > 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

> > Подобный фокус можно сделать и с эллипсом, и с гиперболой. Например, если с конечной высоты отпускаем точечную массу без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. При этом, если бы в точке старта в начале была бы как угодно малая поперечная начальная скорость, то вместо прямой падения на центр у нас был бы эллипс. В этом случае полная энергия отрицательна, и она отрицательна как для эллипса, так и для вырожденного эллипса в виде ограниченной прямой падения на центр. К слову, отличительной характеристикой прямой падения на центр является равенство нулю кинетического момента.

> Вот!

Если мы здесь рассматриваем движение пробной частицы в поле Кеплера, то можно рассмотреть траекторию движения и в пространстве скоростей. Довольно интересной получается форма такой траектории в пространстве скоростей, если в обычном пространстве частица движется по эллипсу и параболе.


> > > > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > >
> > > > То было чудо, а это фокус :
> > > > Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> > > > 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> > > > 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

> > > Подобный фокус можно сделать и с эллипсом, и с гиперболой. Например, если с конечной высоты отпускаем точечную массу без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. При этом, если бы в точке старта в начале была бы как угодно малая поперечная начальная скорость, то вместо прямой падения на центр у нас был бы эллипс. В этом случае полная энергия отрицательна, и она отрицательна как для эллипса, так и для вырожденного эллипса в виде ограниченной прямой падения на центр. К слову, отличительной характеристикой прямой падения на центр является равенство нулю кинетического момента.

> > Вот!

> Если мы здесь рассматриваем движение пробной частицы в поле Кеплера, то можно рассмотреть траекторию движения и в пространстве скоростей. Довольно интересной получается форма такой траектории в пространстве скоростей, если в обычном пространстве частица движется по эллипсу и параболе.

Да, причём то, что годограф есть окружность (для гиперболы - её кусок) очень просто устанавливается с помощью вектора Лапласа (прекрасно написано в Вики).


> > > > > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > >
> > > > > То было чудо, а это фокус :
> > > > > Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> > > > > 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> > > > > 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

> > > > Подобный фокус можно сделать и с эллипсом, и с гиперболой. Например, если с конечной высоты отпускаем точечную массу без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. При этом, если бы в точке старта в начале была бы как угодно малая поперечная начальная скорость, то вместо прямой падения на центр у нас был бы эллипс. В этом случае полная энергия отрицательна, и она отрицательна как для эллипса, так и для вырожденного эллипса в виде ограниченной прямой падения на центр. К слову, отличительной характеристикой прямой падения на центр является равенство нулю кинетического момента.

> > > Вот!

> > Если мы здесь рассматриваем движение пробной частицы в поле Кеплера, то можно рассмотреть траекторию движения и в пространстве скоростей. Довольно интересной получается форма такой траектории в пространстве скоростей, если в обычном пространстве частица движется по эллипсу и параболе.

> Да, причём то, что годограф есть окружность (для гиперболы - её кусок) очень просто устанавливается с помощью вектора Лапласа (прекрасно написано в Вики).

О, спасибо за ссылку на Вики по вектору Лапласа - даже на первый взгляд там много полезного!
Кстати, из того, что годограф есть окружность со смещенным центром, следует одно интересное разложение вектора скорости частицы для движения по эллипсу:

v = w + u,

где постоянный вектор w ("вектор смещения" центра окружности) выражается через скорости в перигее и апогее

w = (vp + va)/2,

а вектор u всегда перепендикулярен радиус-вектору (направлен в сторону движения точки), и его постоянный модуль дается полусуммой

u = (vp + va)/2.


> > > > > > > > > Вроде разобрался с траекториями, независящими от масс. Действительно, если сделать, как Вы предлагали, перенормировку времени , то избавляемся от массы, но изменяем скорость (фактически, при этом обеспечиваем равенство кин.энергий), и траектории совпадут. Можно изменять время масштабированием, т.е. записать с соответствующей заменой скорости , и тогда кин.энергии будут равны "автоматически". Интересно, где-то в учебной литературе дается подобная задача с возможностью наложения траеторий разномассовых частиц в потенциальных полях при соответствующем выборе начальных скоростей? Это ведь неплохая модель для понимания физики динамики частиц.

> > > > > > > > Где-нибудь есть наверняка

> > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > >
> > > > > > То было чудо, а это фокус :
> > > > > > Рассмотрим движение пробной частицы в поле Кеплера.
> > > > > > 1) Если в в произвольную точку поместить точечную массу и отпустить ее без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. Конечно, точка старта может быть и бесконечно удалена от центра поля.
> > > > > > 2) Частица с нулевой энергией движется, как известно, по параболе, и ее скорость в бесконечности равна нулю. Если "обратить" движение, запустив частицу из бесконечности с нулевой начальной скоростью, то она будет двигаться по параболе, что противоречит утверждению 1.

> > > > > Подобный фокус можно сделать и с эллипсом, и с гиперболой. Например, если с конечной высоты отпускаем точечную массу без начальной скорости, то она будет двигаться прямолинейно и упадет в центр поля. При этом, если бы в точке старта в начале была бы как угодно малая поперечная начальная скорость, то вместо прямой падения на центр у нас был бы эллипс. В этом случае полная энергия отрицательна, и она отрицательна как для эллипса, так и для вырожденного эллипса в виде ограниченной прямой падения на центр. К слову, отличительной характеристикой прямой падения на центр является равенство нулю кинетического момента.

> > > > Вот!

> > > Если мы здесь рассматриваем движение пробной частицы в поле Кеплера, то можно рассмотреть траекторию движения и в пространстве скоростей. Довольно интересной получается форма такой траектории в пространстве скоростей, если в обычном пространстве частица движется по эллипсу и параболе.

> > Да, причём то, что годограф есть окружность (для гиперболы - её кусок) очень просто устанавливается с помощью вектора Лапласа (прекрасно написано в Вики).

> О, спасибо за ссылку на Вики по вектору Лапласа - даже на первый взгляд там много полезного!
> Кстати, из того, что годограф есть окружность со смещенным центром, следует одно интересное разложение вектора скорости частицы для движения по эллипсу:

> v = w + u,

> где постоянный вектор w ("вектор смещения" центра окружности) выражается через скорости в перигее и апогее

> w = (vp + va)/2,

> а вектор u всегда перепендикулярен радиус-вектору (направлен в сторону движения точки), и его постоянный модуль дается полусуммой

> u = (vp + va)/2.

Да, интересно.


> И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.


> > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.


> > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.


> > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и и ее заряда.
> > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

...перенормировка времени не совсем, как у КС: временной масштаб зависит не только от массы частицы, но и от ее заряда (от удельного заряда), а также от дипольного момента источника поля.


> > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.


> > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и и ее заряда.
> > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> ...перенормировка времени не совсем, как у КС: временной масштаб зависит не только от массы частицы, но и от ее заряда (от удельного заряда), а также от дипольного момента источника поля.

Это понятно: вместо массы берется комбинация масса-заряд-дипольный момент. При этом траектория не меняется, ибо перенормируется только время. У ЛЛ в первом томе, параграф 10 "Механическое подобие", рассматривается более общий случай, когда перенормируется не только время, но и координаты. При этом траектории получаются не совпадающие, но подобные. Хотя совпадающие траектории там тоже присутствуют


> > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?


> > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

Ещё раз
Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
"На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.


> > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> Ещё раз
> Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?
И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?


> > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > Ещё раз
> > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

> И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).


> > > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > > Ещё раз
> > > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> > Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

> Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

Конечно, имелось в виду стационарное силовое поле . А Вы не можете привести пример такого стационарного непотенциального поля? Магнитное поле вряд ли подойдет, ибо сила будет включать скорость частицы.

> > И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

> Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).

Получается, что скорость будет меняться дважды: неявно - за счет нормировки времени , и явно - за счет перенормировки скорости?


> > > > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > > > Ещё раз
> > > > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > > > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > > > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> > > Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

> > Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

> Конечно, имелось в виду стационарное силовое поле . А Вы не можете привести пример такого стационарного непотенциального поля? Магнитное поле вряд ли подойдет, ибо сила будет включать скорость частицы.


Как-то не задумывался... Демон Ньютона?
Например, можно линейно во времени наращивать ток в соленоиде, тогда снаружи его будет такое вихревое электрическое поле.

> > > И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

> > Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).

> Получается, что скорость будет меняться дважды: неявно - за счет нормировки времени , и явно - за счет перенормировки скорости?

Не понял. Ситуация абсолютно аналогична разобранному ранее варианту, только там требовалось сохранение кинэнергии, а здесь - импульса. Если Вы там считаете, что скорость меняется дважды, считайте, что и здесь так.
По мне просто для "прописывания" той же траектории следует поместить в ту же точку тело с другой массой, но тем же самым импульсом.


> > > > > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > > > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > > > > Ещё раз
> > > > > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > > > > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > > > > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> > > > Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

> > > Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

> > Конечно, имелось в виду стационарное силовое поле . А Вы не можете привести пример такого стационарного непотенциального поля? Магнитное поле вряд ли подойдет, ибо сила будет включать скорость частицы.

> Как-то не задумывался... Демон Ньютона?
> Например, можно линейно во времени наращивать ток в соленоиде, тогда снаружи его будет такое вихревое электрическое поле.

Да, так можно. Я тоже раньше об этом не думал; наверное, это больше экзотика...

> > > > И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

> > > Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).

> > Получается, что скорость будет меняться дважды: неявно - за счет нормировки времени , и явно - за счет перенормировки скорости?

> Не понял. Ситуация абсолютно аналогична разобранному ранее варианту, только там требовалось сохранение кинэнергии, а здесь - импульса. Если Вы там считаете, что скорость меняется дважды, считайте, что и здесь так.
> По мне просто для "прописывания" той же траектории следует поместить в ту же точку тело с другой массой, но тем же самым импульсом.

Если сила пропорциональна первой степени скорости, то Вы правы, разницы с предыдущим не будет. А вот если, скажем, сила будет пропорциональна третей степени скорости? Тогда простой нормировкой времени, вроде не обойдешься.


> > > > > > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > > > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > > > > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > > > > > Ещё раз
> > > > > > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > > > > > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > > > > > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> > > > > Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

> > > > Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

> > > Конечно, имелось в виду стационарное силовое поле . А Вы не можете привести пример такого стационарного непотенциального поля? Магнитное поле вряд ли подойдет, ибо сила будет включать скорость частицы.

> > Как-то не задумывался... Демон Ньютона?
> > Например, можно линейно во времени наращивать ток в соленоиде, тогда снаружи его будет такое вихревое электрическое поле.

> Да, так можно. Я тоже раньше об этом не думал; наверное, это больше экзотика...

Конечно. И, кроме того, это локально потенциальное поле (правда, с многозначным поитенциалом)...

> > > > > И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

> > > > Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).

> > > Получается, что скорость будет меняться дважды: неявно - за счет нормировки времени , и явно - за счет перенормировки скорости?

> > Не понял. Ситуация абсолютно аналогична разобранному ранее варианту, только там требовалось сохранение кинэнергии, а здесь - импульса. Если Вы там считаете, что скорость меняется дважды, считайте, что и здесь так.
> > По мне просто для "прописывания" той же траектории следует поместить в ту же точку тело с другой массой, но тем же самым импульсом.

> Если сила пропорциональна первой степени скорости, то Вы правы, разницы с предыдущим не будет. А вот если, скажем, сила будет пропорциональна третей степени скорости? Тогда простой нормировкой времени, вроде не обойдешься.

По-мрему, скорее проблемы будут с квадратичной зависимостью. А с третьей степенью вроде можно справиться, только для большей массы надо будет увеличивать скорость.


> > > > > > > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > > > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > > > > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > > > > > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > > > > > > Ещё раз
> > > > > > > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > > > > > > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > > > > > > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> > > > > > Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

> > > > > Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

> > > > Конечно, имелось в виду стационарное силовое поле . А Вы не можете привести пример такого стационарного непотенциального поля? Магнитное поле вряд ли подойдет, ибо сила будет включать скорость частицы.

> > > Как-то не задумывался... Демон Ньютона?
> > > Например, можно линейно во времени наращивать ток в соленоиде, тогда снаружи его будет такое вихревое электрическое поле.

> > Да, так можно. Я тоже раньше об этом не думал; наверное, это больше экзотика...

> Конечно. И, кроме того, это локально потенциальное поле (правда, с многозначным поитенциалом)...

> > > > > > И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

> > > > > Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).

> > > > Получается, что скорость будет меняться дважды: неявно - за счет нормировки времени , и явно - за счет перенормировки скорости?

> > > Не понял. Ситуация абсолютно аналогична разобранному ранее варианту, только там требовалось сохранение кинэнергии, а здесь - импульса. Если Вы там считаете, что скорость меняется дважды, считайте, что и здесь так.
> > > По мне просто для "прописывания" той же траектории следует поместить в ту же точку тело с другой массой, но тем же самым импульсом.

> > Если сила пропорциональна первой степени скорости, то Вы правы, разницы с предыдущим не будет. А вот если, скажем, сила будет пропорциональна третей степени скорости? Тогда простой нормировкой времени, вроде не обойдешься.

> По-мрему, скорее проблемы будут с квадратичной зависимостью. А с третьей степенью вроде можно справиться, только для большей массы надо будет увеличивать скорость.

Точно, проблемы будут с квадратичной зависимостью, или, обобщая, с четностепенной зависимостью. А с нечетностепенной - решается перенормировкой времени.
Сложнее получается, если рассмотреть комбинацию (хотя бы просто сумму) скоростной силы и пространственно потенциальной. К сожалению, прийдется остановиться, т.к. завтра на работе у меня последний день перед отпуском (на полторы недели), так что сделаю "творческий перерыв"


> > > > > > > > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > > > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > > > > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > > > > > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > > > > > > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > > > > > > > Ещё раз
> > > > > > > > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > > > > > > > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > > > > > > > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> > > > > > > Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

> > > > > > Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

> > > > > Конечно, имелось в виду стационарное силовое поле . А Вы не можете привести пример такого стационарного непотенциального поля? Магнитное поле вряд ли подойдет, ибо сила будет включать скорость частицы.

> > > > Как-то не задумывался... Демон Ньютона?
> > > > Например, можно линейно во времени наращивать ток в соленоиде, тогда снаружи его будет такое вихревое электрическое поле.

> > > Да, так можно. Я тоже раньше об этом не думал; наверное, это больше экзотика...

> > Конечно. И, кроме того, это локально потенциальное поле (правда, с многозначным поитенциалом)...

> > > > > > > И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

> > > > > > Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).

> > > > > Получается, что скорость будет меняться дважды: неявно - за счет нормировки времени , и явно - за счет перенормировки скорости?

> > > > Не понял. Ситуация абсолютно аналогична разобранному ранее варианту, только там требовалось сохранение кинэнергии, а здесь - импульса. Если Вы там считаете, что скорость меняется дважды, считайте, что и здесь так.
> > > > По мне просто для "прописывания" той же траектории следует поместить в ту же точку тело с другой массой, но тем же самым импульсом.

> > > Если сила пропорциональна первой степени скорости, то Вы правы, разницы с предыдущим не будет. А вот если, скажем, сила будет пропорциональна третей степени скорости? Тогда простой нормировкой времени, вроде не обойдешься.

> > По-мрему, скорее проблемы будут с квадратичной зависимостью. А с третьей степенью вроде можно справиться, только для большей массы надо будет увеличивать скорость.

> Точно, проблемы будут с квадратичной зависимостью, или, обобщая, с четностепенной зависимостью. А с нечетностепенной - решается перенормировкой времени.
> Сложнее получается, если рассмотреть комбинацию (хотя бы просто сумму) скоростной силы и пространственно потенциальной. К сожалению, прийдется остановиться, т.к. завтра на работе у меня последний день перед отпуском (на полторы недели), так что сделаю "творческий перерыв"

Хорошего отдыха. Приятно было общаться.


> > Сложнее получается, если рассмотреть комбинацию (хотя бы просто сумму) скоростной силы и пространственно потенциальной. К сожалению, прийдется остановиться, т.к. завтра на работе у меня последний день перед отпуском (на полторы недели), так что сделаю "творческий перерыв"

> Хорошего отдыха. Приятно было общаться.

Спасибо, взаимно!


> > > > > > > > > > > > > > И еще к вопоросу о "массонезависимых" траекториях. Kli-Gin предложил частный случай, когда для разномассовых частиц начальная скорость (и с ней кин.энергия) равна 0. Это "красивый" частный случай: оставляем а точке А вначале неподвижную частицу, которая под действием поля начнет двигаться, описывая какую-то траекторию. Затем в эту же точку А помещаем снова вначале неподвижную частицу, но с другой массой. Смотрим - и эта частица движется по той же траектории, хотя скорость движения по этой траектории другая. Одна частица "медленная", другая "быстрая", а траектория - та же самая. Чудеса!..

> > > > > > > > > > > > > Хочу подчеркнуть, что траектории частиц, которые начинают движение из состояния покоя в поле диполя, принадлежат некоторому выделенному классу траекторий - они не зависят от каких-либо параметров диполя. Такие траектории отображают специфику ЛЮБОГО дипольного поля (как и силовые линии этого поля). Удивительно!!
> > > > > > > > > > > > Добавлю: траектории не зависят от дипольного момента, массы частицы и ее заряда.
> > > > > > > > > > > > > Сказанное выше легко доказать, соответствующим образом обезразмерив уравнение движения частицы.

> > > > > > > > > > > Да, если сделать перенормировку времени, как у КС, то при этом траектория не меняется, только движение частицы по траектории будет происходить медленнее или быстрее. Единственно, имхо, что нужно добавить - параметры нельзя занулять, и насчет знака нужно уточнить.

> > > > > > > > > > Это, как я подчёркивал, подчёркиваю и буду - общее свойство "силовых линий". Любой множитель НЕ обращающийся в 0.

> > > > > > > > > А вот если "силовые линии" вихревые, т.е. непотенциальное поле - тогда перенормировка времени тоже сохраняет траектории?

> > > > > > > > Ещё раз
> > > > > > > > Силовые линии вихревого и потенциального (достаточно гладких) полей почти не отличаются.
> > > > > > > > Поля как раз переводятся друг в друга простыми множителями. Или теми же перенормировками.
> > > > > > > > "На глаз" иногда можно сказать, что у поля есть ненулевая дивергенция и/или ненулевой ротор. Но не всегда. А то, что они точно нулевые увидеть невозможно.

> > > > > > > Т.е. и в случае непотенциального поля траектория сохраняется (например, для разномассовых частиц)?

> > > > > > Те соображения, которые я высказывал, работают для любого стационарного силового поля .

> > > > > Конечно, имелось в виду стационарное силовое поле . А Вы не можете привести пример такого стационарного непотенциального поля? Магнитное поле вряд ли подойдет, ибо сила будет включать скорость частицы.

> > > > Как-то не задумывался... Демон Ньютона?
> > > > Например, можно линейно во времени наращивать ток в соленоиде, тогда снаружи его будет такое вихревое электрическое поле.

> > > Да, так можно. Я тоже раньше об этом не думал; наверное, это больше экзотика...

> > Конечно. И, кроме того, это локально потенциальное поле (правда, с многозначным поитенциалом)...

> > > > > > > И еще один вопрос: а если сила будет зависеть только от скорости (к примеру, пропорционально первой степени скорости), как тогда будет с траекториями?

> > > > > > Давайте подумаем. Насколько я понимаю, Вы говорите об уравнении движения типа , где - некоторое тензорное поле (см. т.н. "жидкое" трение или силу Лоренца). Если я "отнормирую" время , то масса выпадет из уравнения, но по физике дела придётся перенормировать скорость (для тела с вдвое большей массой уменьшить её вдвое, т.е. сохранить импульс).

> > > > > Получается, что скорость будет меняться дважды: неявно - за счет нормировки времени , и явно - за счет перенормировки скорости?

> > > > Не понял. Ситуация абсолютно аналогична разобранному ранее варианту, только там требовалось сохранение кинэнергии, а здесь - импульса. Если Вы там считаете, что скорость меняется дважды, считайте, что и здесь так.
> > > > По мне просто для "прописывания" той же траектории следует поместить в ту же точку тело с другой массой, но тем же самым импульсом.

> > > Если сила пропорциональна первой степени скорости, то Вы правы, разницы с предыдущим не будет. А вот если, скажем, сила будет пропорциональна третей степени скорости? Тогда простой нормировкой времени, вроде не обойдешься.

> > По-мрему, скорее проблемы будут с квадратичной зависимостью. А с третьей степенью вроде можно справиться, только для большей массы надо будет увеличивать скорость.

> Точно, проблемы будут с квадратичной зависимостью, или, обобщая, с четностепенной зависимостью. А с нечетностепенной - решается перенормировкой времени.

Опять не понял. Почему не просто квадратичной, а чётностепенной? Вроде как главное в перенормировке времени - разные степени слева и справа в уравнении Ньютона. Слева - из-за , а справа так только при квадрате скорости. Во всех остальных случаях удаётся скомпенсировать массу.

> Сложнее получается, если рассмотреть комбинацию (хотя бы просто сумму) скоростной силы и пространственно потенциальной. К сожалению, прийдется остановиться, т.к. завтра на работе у меня последний день перед отпуском (на полторы недели), так что сделаю "творческий перерыв"

Да, жизнь богаче.


> > > > Если сила пропорциональна первой степени скорости, то Вы правы, разницы с предыдущим не будет. А вот если, скажем, сила будет пропорциональна третей степени скорости? Тогда простой нормировкой времени, вроде не обойдешься.

> > > По-мрему, скорее проблемы будут с квадратичной зависимостью. А с третьей степенью вроде можно справиться, только для большей массы надо будет увеличивать скорость.

> > Точно, проблемы будут с квадратичной зависимостью, или, обобщая, с четностепенной зависимостью. А с нечетностепенной - решается перенормировкой времени.

> Опять не понял. Почему не просто квадратичной, а чётностепенной? Вроде как главное в перенормировке времени - разные степени слева и справа в уравнении Ньютона. Слева - из-за , а справа так только при квадрате скорости. Во всех остальных случаях удаётся скомпенсировать массу.

Если сделать замену , то при правой части, пропорциональной масса компенсируется при условии . Так что действительно расходимость - только при , что явно указывает на необходимость отдохнуть, чтобы освежить мозги!..


> Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики".

Короче говоря, это задача не физики, а прикладной математики. На то и перечисленные авторы - это в основном сотрудники Института Прикладной матемптики им. М.В. Келдыша.


> > Я посмотрел Белецкого "Очерки о движении космических тел" и Арнольда, Козлова, Нейштадта "Математические аспекты классической и небесной механики".

> Короче говоря, это задача не физики, а прикладной математики. На то и перечисленные авторы - это в основном сотрудники Института Прикладной матемптики им. М.В. Келдыша.

Я давно перестал реагировать на послания Cva ввиду его крайней неадекватности в беседе, но должен предупредить вменяемых участников форума, что ни Арнольд, ни Козлов, ни Нейштадт не являются (и, насколько мне известно, никогда не являлись) сотрудниками ИПМ. В очередной раз врёт.


Нейштадт не являются (и, насколько мне известно, никогда не являлись) сотрудниками ИПМ. В очередной раз врёт.

http://library.keldysh.ru/author_page.asp?aid=1107


> Нейштадт не являются (и, насколько мне известно, никогда не являлись) сотрудниками ИПМ. В очередной раз врёт.

> http://library.keldysh.ru/author_page.asp?aid=1107

М.Л. Лидов, А.И. Нейштадт. "Метод канонических преобразований в задачах о вращении небесных тел и законы Кассини."


> > Нейштадт не являются (и, насколько мне известно, никогда не являлись) сотрудниками ИПМ. В очередной раз врёт.

> > http://library.keldysh.ru/author_page.asp?aid=1107

> М.Л. Лидов, А.И. Нейштадт. "Метод канонических преобразований в задачах о вращении небесных тел и законы Кассини."

http://www.keldysh.ru/seminars/seminar.xhtm?src=semmphys.xml&filter=past


> Нейштадт не являются (и, насколько мне известно, никогда не являлись) сотрудниками ИПМ. В очередной раз врёт.

> http://library.keldysh.ru/author_page.asp?aid=1107

Смотрим сюда вниз Нейштадт
У меня, например, тоже есть препринты ИПМ в соавторстве. Но я не его сотрудник и никогда не являлся таковым.
Это я для вменяемых товарисчей. Всё.


> > > Нейштадт не являются (и, насколько мне известно, никогда не являлись) сотрудниками ИПМ. В очередной раз врёт.

> > > http://library.keldysh.ru/author_page.asp?aid=1107

> > М.Л. Лидов, А.И. Нейштадт. "Метод канонических преобразований в задачах о вращении небесных тел и законы Кассини."

> http://www.keldysh.ru/seminars/seminar.xhtm?src=semmphys.xml&filter=past

http://library.keldysh.ru/author_page.asp?aid=1051


Вы вообще товаристч в соавторстве.
Нейштадтов много, а ИМП один


> Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

Нашел инетересные ссылки, но сами статьи мне недоступны. Может быть, кто-то сумеет помочь?

1) American Journal of Physics -- December 2008 -- Volume 76, Issue 12, pp. 1141

A new constant of motion for an electric charge acted on by a point electric dipole
Sergio Gutiérrez-López, Arnulfo Castellanos-Moreno, and Rodrigo Arturo Rosas-Burgos

A new constant of the motion is found for an electric charge acted on by an electric dipole. The relation of the constant of the motion to the energy of the particle is found. Some properties of the motion are studied and known results are reproduced more simply. We discuss conditions for the appearance of bounded and unbounded trajectories, motion on a sphere, and on a plane. Small angular oscillations around a stable circular trajectory are also studied

2) American Journal of Physics -- January 2004 -- Volume 72, Issue 1, pp. 10

Motion of an electric charge in the field of an electric dipole
Marcelo Alonso


3) American Journal of Physics -- August 2003 -- Volume 71, Issue 8, pp. 809

Using computer algebra to investigate the motion of an electric charge in magnetic and electric dipole fields
George C. McGuire
We provide examples of how a computer algebra system can be used to investigate the motion of an electric charge in an electric or magnetic dipole field


> > Хочу на weekend предложить задачу, возникшую некоторое время назад на другом форуме от участника с ником "Федор".
> > Требуется найти траекторию движения заряда в поле диполя в следующем частном случае.
> > Неподвижный диполь с моментом находится в центре системы координат. Заряд известной величины с известной массой в момент находится в плоскости (без ограничения общности можно считать, что его начальные координаты есть ) и обладает нулевой скоростью.

> Нашел инетересные ссылки, но сами статьи мне недоступны. Может быть, кто-то сумеет помочь?

> 1) American Journal of Physics -- December 2008 -- Volume 76, Issue 12, pp. 1141

> A new constant of motion for an electric charge acted on by a point electric dipole
> Sergio Gutiérrez-López, Arnulfo Castellanos-Moreno, and Rodrigo Arturo Rosas-Burgos
>
> A new constant of the motion is found for an electric charge acted on by an electric dipole. The relation of the constant of the motion to the energy of the particle is found. Some properties of the motion are studied and known results are reproduced more simply. We discuss conditions for the appearance of bounded and unbounded trajectories, motion on a sphere, and on a plane. Small angular oscillations around a stable circular trajectory are also studied

> 2) American Journal of Physics -- January 2004 -- Volume 72, Issue 1, pp. 10

> Motion of an electric charge in the field of an electric dipole
> Marcelo Alonso

>
> 3) American Journal of Physics -- August 2003 -- Volume 71, Issue 8, pp. 809

> Using computer algebra to investigate the motion of an electric charge in magnetic and electric dipole fields
> George C. McGuire
> We provide examples of how a computer algebra system can be used to investigate the motion of an electric charge in an electric or magnetic dipole field

Увы, у меня не вышло...


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100