Симметризованная теория эффекта Допплера

Сообщение №73498 от Некрот А.А. 15 июня 2013 г. 13:09
Тема: Симметризованная теория эффекта Допплера

В современной физике используются два подхода к получению теории оптического эффекта Допплера. Первый из них основан на принципе лоренц-инвариантности, когда при помощи формул преобразований Лоренца осуществляется преобразование выражения фазы плоской волны для перехода от условно неподвижной системы отсчета к движущейся системе отсчета. Второй подход состоит в том, что на первом этапе формально используется классический способ построения теории с применением классических формул и положений, часто потерявших силу или точность в современной физике. Затем на заключительном этапе этого второго подхода в полученные классическим способом формулы вносятся (необходимые с точки зрения современной физики) исправления. Мы здесь воспользуемся вторым подходом. При этом построенную на первом этапе классическую теорию будем исправлять как при помощи преобразований Лоренца, так и методом симметризации преобразований, который основан на принципе симметрии преобразований, родственном с принципом лоренц-инвариантности.
1. Рассмотрим классическую теорию эффекта Допплера в общем случае волн любой природы. Различаются случаи 1) и 2). В случае 1) источник волн, например, отдаляется со скоростью v от неподвижного прибора (наблюдателя), регистрирующего допплеровскую частоту волн ν1'. В случае же 2) от неподвижного источника отдаляется с такой же скоростью v прибор, регистрирующий частоту ν2'. Представим данные случаи подробно.
1) Пусть прибор и источник расположены в началах систем отсчета соответственно K и K'. Воспользуемся тремя классическими положениями. Во-первых, скорость волн, идущих от источника (против оси х) к прибору, берется равной
V1'=c+v, (1)
где с – скорость волн в системе К. Во-вторых, считается очевидным, что период колебаний источника (вибратора) Т одинаков в обеих системах отсчета, то есть λ1'/V1'=λ/c, где λ – длина волны. Получаем
λ1'=λ(1+β) (β=v/c) (2)
В-третьих, принимается принцип независимости скорости волн от скорости движения источника, так что скорость пришедших к прибору волн постоянна и равна с, то есть имеет место зависимость
λ11'=c. (3)
В результате получается, что прибор измеряет частоту
ν1'=ν/(1+β)=νγ2(1–β), (4)
где γ=(1–β2)–1/2 – известный фактор Лоренца.
Формулы (2) и (4) определяют допплеровские длину волны и частоту в частном случае, когда направление скорости источника составляет с направлением распространения волны угол φ, равный нулю. В случае произвольного значения φ в формулах, согласно Допплеру, достаточно учесть только радиальную проекцию vr=vcosφ. Для общего случая имеется
ν1'=ν/(1+βcosφ). (5)
При φ=0 отсюда получаем выражение (4) для продольного эффекта.
2) Для получения случая отдаляющегося прибора поменяем его местами с источником. Соответствующую формулу Допплера можно получить путем преобразования формулы (5) способом двойного обращения для переходов K'–>K–>K'. Первое обращение осуществим путем решения уравнения (5) относительно ν. Имеем ν=ν2'(1+βcosφ), где мы заменили ν1'–>ν2', учтя, что осуществлена перестановка местами прибора и источника. Подвергнем полученное выражение повторному обращению способом замен в нем ν<–>ν2', φ–>φ'=θ, β–>–β. Получаем
ν2'=ν(1–βcosθ). (6)
Здесь θ – угол, составленный направлениями скорости прибора и приходящей к нему волны. Выражение (6) и есть формула Допплера для случая, когда прибор отдаляется от источника. Получаемый при θ=0 продольный эффект при этом равен
ν2'=ν(1–β). (7)
Формулы (5) и (6), найденные для случаев 1) и 2), равны между собой при φ=θ и с точностью до учета членов первого порядка относительно β при разложении выражения (5) в ряд. С такой же точностью эти формулы подтверждены экспериментально как в акустике, так и в оптике. Однако с точки зрения современной теории и точных экспериментов, когда математически и практически учитываются эффекты второго порядка, теория Допплера является приближенной. Она содержит в себе две ошибки второго порядка. Первая ошибка этой теории состоит в том, что последняя предсказывает существование нереального эффекта асимметрии второго порядка при рассмотрении продольного явления Допплера. Как видим, из (4) и (7) следует
Δν'=ν1'–ν2'=β2ν (φ=θ=0). (8)
Вторая ошибка классической теории данного явления – это предсказание отсутствия поперечного эффекта Допплера. Из (5) и (6) получается
ν1'=ν2=ν (φ=θ=π/2). (9)
Данная ошибка обусловлена тем, что Допплер в свое время еще не знал правила сложения векторов. Исходя из наглядных представлений, он считал, что взаимно перпендикулярные движения (скорости) не суммируются.
3. Исправим теорию Допплера, получая вместо приближенных формул (5) и (6) формулы современные, точные. Воспользуемся лоренцевой формулой преобразования времени. В общих преобразованиях Лоренца (для случая, когда скорость системы K' имеет произвольное направление) упомянутая формула имеет вид
t'=γ(t–vrcosφ/c2,
где, применяя данную формулу к случаю движения источника, мы раскрыли скалярное произведение вектора скорости источника и его радиуса-вектора, модуль которого равен r. Положим далее t'=T1', t=T и r= –cT (знаком минус учитывается, что волны распространяются против направления радиуса-вектора). Получаем
T1'=γT(1+βcosφ). (10)
Соответствующая допплеровская частота равна
ν1'=ν/γ(1+βcosφ) (11)
Частоту для случая 2) получим путем двойного обращения формулы (11), как выше мы получили выражение (6), обращая формулу (5). Имеем
ν2'=νγ(1–βcosθ). (12)
Формулы (11) и (12) являются искомыми точными выражениями, полученными в СТО. Они эквивалентны, как легко убедиться, при условии
cosφ=(cosθ–β)/(1–βcosθ). (13)
Эта зависимость описывает явление аберрации, то есть изменение направления распространения волны при переходе между системами источника и прибора.
4. Теперь усовершенствуем классическую совместную теорию акустического и оптического эффектов Допплера путем исправления формул (5) и (6) при помощи метода симметризации преобразований. Здесь мы будем использовать этот метод как систему установленных правил, которые необходимо соблюдать, чтобы получать безошибочные (во втором порядке β) результаты. Можно не вникать в смысл этих правил подобно тому, как практически достаточно знать правило, что нельзя производить сокращения обеих частей равенства на нулевое выражение, чтобы не допустить ошибки.
Осуществим формально симметризацию допплеровского выражения (6). Введем в него коэффициент k, записав
ν2'=kν(1–βcosθ) (6')
Требуется найти такое значение k, при котором выражение (6') будет симметричным. Предположим, что k не зависит от θ. Тогда можно воспользоваться случаем θ=0, когда ν2'=kν(1–β) (a), и определить k на основе требования симметричности выражения (а), рассматривая его в качестве преобразования для осуществления перехода от некоторой нештрихованной системы отсчета К к штрихованной K'. Согласно определению, преобразование в виде функции одной переменной является симметричным, если оно инвариантно относительно двойного обращения (то есть обращения, состоящего из двух последовательных обращений разными способами). Первое обращение реализуем способом решения уравнения (а) относительно ν. Получаем ν=ν2'/k(1–β). Обращаем далее это преобразование путем замен ν<–>ν2', β–>–β. Находим ν2'=ν/k(1+β) (b). При k=1 выражения (а) и (b) равны только в первом порядке по β. Значит, они не симметричны. Требуя их равенства, получаем искомое значение коэффициента симметризации в виде равенства k=γ, которое обеспечивает симметричность выражения (а), а тем самым и выражения (6'). Используя найденное значение k в (6'), получаем формулу (12), известную в СТО.
Аналогично, введя коэффициент симметричности k в дебаевскую формулу (5), показываем, что k1–1, и получаем релятивистскую формулу (11). Метод симметризации преобразований удобен для исправления формул теории Допплера тем, что он не требует раздельного рассмотрения случаем акустических и световых волн.
5. Применим симметризованные формулы (11), (12) для получения (в виде частного случая) продольного эффекта. Из формулы аберрации (13) при условии φ=0 имеем θ=0. При этих условиях из (11), (12) получаем
ν1'=ν2'=νγ(1–β) (φ=θ=0) (14)
Таким образом, вместо несимметричных результатов (4) и (7) теперь получаются симметричные (14), а вместо эффекта (8) классической теории имеем его отсутствие, то есть в симметризированной теории случаи 1) и 2) в продольном явлении Допплера кинематически равноправны.
В дорелятивистской физике из формального наличия эффекта (8) были сделаны физические выводы, что неподвижная среда (в случае звука) или эфир (в случае света) оказывают влияние на формирование явления Допплера. Это влияние является одинаковым как в среде, так и в эфире, но различным в случаях 1) и 2). Из результатов же симметризированной теории (14) следует, что ни среда, ни гипотетический неподвижный эфир одинаково явно не принимают участия в формировании явления Допплера. Причина существования разности (8) кроется в неточности используемых преобразований (в смысле как формул, так и операций). Точными выражениями в случаях 1) и 2) теории продольного эффекта являются формулы (14), ведущие к результату Δν'=0.
6. Рассмотрим далее применение формул (11), (12) к случаю поперечного эффекта. Из формулы, полученной обращением выражения (13), при начальном условии φ=π/2 имеем следствием cosθ=β. Используем эти значения соответственно в (11) и (12). Имеем
ν1'=ν2'=ν(1–β2)1/2 (φ=π/2). (15)
При начальном же условии θ=π/2 из формулы (13) следует cosφ= –β, а используя эти значения в (11) и (12), находим
ν1'=ν2'=ν(1–β2)–1/2 (θ=π/2). (16)
Вместо допплеровских результатов (9) в симметризованной теории, как видим, получаются формулы (15) и (16) релятивистской теории, описывающие поперечный эффект Допплера. В каждом из случаев 1) и 2) в теории поперечного эффекта кинематический принцип относительности действует, но различие между этими случаями сохраняется. Например, возьмем случай, когда источник движется перпендикулярно к линии наблюдения, и из зависимостей (15) найдем соответствующие периоды колебаний и длины волн. Имеем
T1'=T2'=T(1–β2)–1/2; λ1'=λ2'=λ(1–β2)–1/2. (17)
Мы здесь получили, во-первых, увеличение промежутка времени T1' или T2' (по сравнению с промежутком Т), в течение которого совершается одно колебание, то есть получили эффект замедления времени в приходящей к прибору волне. Во-вторых, мы пришли к известной формуле сокращения Лоренца применительно к длине волны. Согласно этой формуле расстояние между соседними гребнями волны λ1' или λ2' в системе K' больше, чем расстояние λ в системе K, то есть при переходе K'–>K получается сокращение длины волны. Если же источник и прибор поменять местами, то есть вместо зависимостей (15) воспользоваться равенствами (16), то вместо (17) получим, разумеется, обратные зависимости. В этом проявляется кинематическое различие между случаями 1) и 2) в теории поперечного эффекта.
7. Поперечный эффект Допплера является, по-видимому, единственным из эффектов второго порядка, проверенных экспериментально, который реально существует, но не был предсказан классической теорией. Здесь мы имеем пример, когда усовершенствование функционирования математического аппарата физики, связанное с применением симметричных преобразований Лоренца и других, привело к углублению наших знаний об одном из природных явлений. Что касается других эффектов второго порядка, то дорелятивистская теория предсказала их существование, но экспериментально они обнаружены не были. При этом теория не могла объяснить своё несоответствие опытным данным. Классическая физика зашла в тупик. Как известно, выход из тупика указала СТО. На примере теории продольного эффекта Допплера в данном сообщении показано, что выход из тупика, состоящий в объяснении эффектов второго порядка, возможен также на пути применения открытого ныне математического принципа симметричности преобразований. Этим путем мы с Некротом Б.А. и продвигаемся, показывая на конкретных примерах эффектов второго порядка, не обнаруженных экспериментально, что эти эффекты теория предсказала ошибочно с математической точки зрения (как, в частности, разность (8)).


Отклики на это сообщение:

> В современной физике используются два подхода к получению теории оптического эффекта Допплера. Первый из них основан на принципе лоренц-инвариантности, когда при помощи формул преобразований Лоренца осуществляется преобразование выражения фазы плоской волны для перехода от условно неподвижной системы отсчета к движущейся системе отсчета. Второй подход состоит в том, что на первом этапе формально используется классический способ построения теории с применением классических формул и положений, часто потерявших силу или точность в современной физике. Затем на заключительном этапе этого второго подхода в полученные классическим способом формулы вносятся (необходимые с точки зрения современной физики) исправления. Мы здесь воспользуемся вторым подходом. При этом построенную на первом этапе классическую теорию будем исправлять как при помощи преобразований Лоренца, так и методом симметризации преобразований, который основан на принципе симметрии преобразований, родственном с принципом лоренц-инвариантности.
> 1. Рассмотрим классическую теорию эффекта Допплера в общем случае волн любой природы. Различаются случаи 1) и 2). В случае 1) источник волн, например, отдаляется со скоростью v от неподвижного прибора (наблюдателя), регистрирующего допплеровскую частоту волн ν1'. В случае же 2) от неподвижного источника отдаляется с такой же скоростью v прибор, регистрирующий частоту ν2'. Представим данные случаи подробно.

Лично я бы рассмотрел 3 случая, считая последовательно константой каждую из величин, входящую в формулу . Почему так - станет понятно ниже из моих комментариев.

> 1) Пусть прибор и источник расположены в началах систем отсчета соответственно K и K'. Воспользуемся тремя классическими положениями. Во-первых, скорость волн, идущих от источника (против оси х) к прибору, берется равной
> V1'=c+v, (1)

Имеет место методическая ошибка. Скорость волн остается постоянной: . А вот длина волны: . Преобразуя это выражение, получим Вашу псевдоскорость: . Без которой вполне можно было бы и обойтись.

> где с – скорость волн в системе К. Во-вторых, считается очевидным, что период колебаний источника (вибратора) Т одинаков в обеих системах отсчета, то есть λ1'/V1'=λ/c, где λ – длина волны. Получаем
> λ1'=λ(1+β) (β=v/c) (2)
> В-третьих, принимается принцип независимости скорости волн от скорости движения источника,

Который мы уже учли выше.

> так что скорость пришедших к прибору волн постоянна и равна с, то есть имеет место зависимость
> λ11'=c. (3)

Для частоты лучше выбрать другую букву, например f, т.к. визуально псевдоскорость, скорость источника и частота воспринимаются практически одинаково и их легко спутать.

> В результате получается, что прибор измеряет частоту
> ν1'=ν/(1+β)=νγ2(1–β), (4)
> где γ=(1–β2)–1/2 – известный фактор Лоренца.
> Формулы (2) и (4) определяют допплеровские длину волны и частоту в частном случае, когда направление скорости источника составляет с направлением распространения волны угол φ, равный нулю. В случае произвольного значения φ в формулах, согласно Допплеру, достаточно учесть только радиальную проекцию vr=vcosφ. Для общего случая имеется
> ν1'=ν/(1+βcosφ). (5)
> При φ=0 отсюда получаем выражение (4) для продольного эффекта.


> 2) Для получения случая отдаляющегося прибора поменяем его местами с источником. Соответствующую формулу Допплера можно получить путем преобразования формулы (5) способом двойного обращения для переходов K'–>K–>K'. Первое обращение осуществим путем решения уравнения (5) относительно ν. Имеем ν=ν2'(1+βcosφ), где мы заменили ν1'–>ν2', учтя, что осуществлена перестановка местами прибора и источника. Подвергнем полученное выражение повторному обращению способом замен в нем ν<–>ν2', φ–>φ'=θ, β–>–β. Получаем
> ν2'=ν(1–βcosθ). (6)

Для понимания физической сути происходящих процессов было бы полезнее чтобы Вы не занимались математической эквилибристикой, а вывели эту формулу последовательно сначала. Например, так:

Поскольку источник стационарен и стабилен, имеем:

Однако наблюдаемая скорость распространения волн будет меньшей:
Длина наблюдаемой волны, как уже было сказано, не изменится:
Таким образом, эффект Доплера в случае удаляющегося приемника будет обусловлен изменением частоты колебаний, но не длиной волны. Найдем период и частоту этих колебаний:

Как видите, все просто:)

3. Ну и возьму на себя смелость (раз уж Вы упустили) рассмотреть мало кому известный (несмотря на тривиальность) третий случай: T=const. В классике все просто: единственное условие равенства c+v=c-v выполняется при v=0, т.е. при неподвижных источнике и приемнике. Но мало кто знает, что для релятивистского эффекта Доплера это совсем не так. Для равенства нулю этого наблюдаемого эффекта нужно чтобы эффект замедления времени (поперечный) был скомпенсирован продольным сближением источника и приемника (ульрафиолетовый сдвиг). Очевидно, это будет выполнено при условии:
Т.к. числитель дроби под знаком радикала уж точно меньше или равен знаменателю, то и cosθ < 1. А значит это условие выполнимо и уравнение имеет действительное решение. Таким образом, равенство нулю наблюдаемого эффекта Доплера (сдвиг спектра в излучении некоторой звезды) отнюдь не означает что интересующий нас объект (звезда) неподвижен.

> Здесь θ – угол, составленный направлениями скорости прибора и приходящей к нему волны. Выражение (6) и есть формула Допплера для случая, когда прибор отдаляется от источника. Получаемый при θ=0 продольный эффект при этом равен
> ν2'=ν(1–β). (7)
> Формулы (5) и (6), найденные для случаев 1) и 2), равны между собой при φ=θ и с точностью до учета членов первого порядка относительно β при разложении выражения (5) в ряд. С такой же точностью эти формулы подтверждены экспериментально как в акустике, так и в оптике. Однако с точки зрения современной теории и точных экспериментов, когда математически и практически учитываются эффекты второго порядка, теория Допплера является приближенной. Она содержит в себе две ошибки второго порядка. Первая ошибка этой теории состоит в том, что последняя предсказывает существование нереального эффекта асимметрии второго порядка при рассмотрении продольного явления Допплера. Как видим, из (4) и (7) следует
> Δν'=ν1'–ν2'=β2ν (φ=θ=0). (8)

Простите, но у меня никак не следует. Получается

> Вторая ошибка классической теории данного явления – это предсказание отсутствия поперечного эффекта Допплера. Из (5) и (6) получается
> ν1'=ν2=ν (φ=θ=π/2). (9)
> Данная ошибка обусловлена тем, что Допплер в свое время еще не знал правила сложения векторов. Исходя из наглядных представлений, он считал, что взаимно перпендикулярные движения (скорости) не суммируются.
> 3. Исправим теорию Допплера, получая вместо приближенных формул (5) и (6) формулы современные, точные. Воспользуемся лоренцевой формулой преобразования времени.

На самом деле "Лоренцева" формула преобразования времени уже представляет собой не более чем частный случай "релятивистского" эффекта Доплера. Еще одно (кроме Вашего) доказательство этого тривиального тезиса можете посмотреть здесь.

> В общих преобразованиях Лоренца (для случая, когда скорость системы K' имеет произвольное направление) упомянутая формула имеет вид
> t'=γ(t–vrcosφ/c2,

Забыли закрыть скобку.

> где, применяя данную формулу к случаю движения источника, мы раскрыли скалярное произведение вектора скорости источника и его радиуса-вектора, модуль которого равен r. Положим далее t'=T1', t=T и r= –cT (знаком минус учитывается, что волны распространяются против направления радиуса-вектора). Получаем
> T1'=γT(1+βcosφ). (10)
> Соответствующая допплеровская частота равна
> ν1'=ν/γ(1+βcosφ) (11)
> Частоту для случая 2) получим путем двойного обращения формулы (11), как выше мы получили выражение (6), обращая формулу (5). Имеем
> ν2'=νγ(1–βcosθ). (12)

Забыли операцию деления. Правильная формула имеет вид:

Весьма и весьма похвально! Ведь если существуют симметричные преобразования Лоренца, отличающиеся знаком операции между слагаемыми в числителе, то почему бы тогда и не существовать симметричным эффектам Доплера? Ведь преобразования Лоренца являются всего-лишь частным случаем (для r=λ=cT) последних!

И такая симметрия действительно существует. Так, случай удаления источника эквивалентен случаю удаления приемника. Для сближения - приемника и источника точно такая же симметрия, но с противоположным знаком у слагаемого β.

Хотя, строго говоря, Вам бы следовало из симметричности Доплера выводить симметричность Лоренца, а не наоборот )))

> Формулы (11) и (12) являются искомыми точными выражениями, полученными в СТО. Они эквивалентны, как легко убедиться, при условии
> cosφ=(cosθ–β)/(1–βcosθ). (13)

Скорее всего в Ваши расчеты вкралась ошибка вследствие упущенного знака операции деления в (12).
Правильное условие эквивалентности несколько иное:

Что и так очевидно с самого начала.

> Эта зависимость описывает явление аберрации, то есть изменение направления распространения волны при переходе между системами источника и прибора.

Явление аберрации описывает несколько иная формула, отличающаяся от Вашей как минимум синусом в числителе. В случае же сравнения с формулой для релятивистского эффекта Доплера различия, касающиеся правой части, этим самым синусом и ограничиваются. Иными словами, соотношение между синусами углов аберрации точно такое же, как и между частотами в эффекте Доплера. А это уже само по себе довольно странно, учитывая огромный разброс относительных скоростей звезд и Земли с одной стороны, и наблюдаемый угол аберрации, зависящий только от скорости последней - с другой.

___________________
На этом пока рассмотрение Вашего опуса прекращаю и иду спать. Появится свободное время - постараюсь продолжить. А Вы пока можете прокомментировать мои замечания, если хотите. С уважением.


Итак, продолжим разбирать. Я немного поторопился вчера с выводами к пункту 3. Поэтому с него и начну.

> 3. Исправим теорию Допплера, получая вместо приближенных формул (5) и (6) формулы современные, точные. Воспользуемся лоренцевой формулой преобразования времени. В общих преобразованиях Лоренца (для случая, когда скорость системы K' имеет произвольное направление) упомянутая формула имеет вид
> t'=γ(t–vrcosφ/c2,

По прежнему пропущена скобка :) И, кстати, t' - это период собственных колебаний, а t - наблюдаемый.
Вообще говоря, дальнейшие рассуждения могли бы быть проще, и главное логически последовательнее, если бы Вы взяли за основу несколько иную формулу:, где t - наблюдаемый период колебаний, t' - собственный. Данная формула получена решением системы уравнений:

относительно t. Но можно поступить и проще, согласно следующим двум правилам:
а) заменить v на -v (принцип относительности движения)
б) все штрихованные переменные на нештрихованные.

> где, применяя данную формулу к случаю движения источника, мы раскрыли скалярное произведение вектора скорости источника и его радиуса-вектора, модуль которого равен r. Положим далее t'=T1', t=T и r= –cT (знаком минус учитывается, что волны распространяются против направления радиуса-вектора).
>Получаем
> T1'=γT(1+βcosφ). (10)

Вот видите - у Вас опять методологическая ошибка. Но результат правильный. Мухлюете, батенька ))

> Соответствующая допплеровская частота равна
> ν1'=ν/γ(1+βcosφ) (11)

Это верная формула. Зафиксируем ее.

> Частоту для случая 2) получим путем двойного обращения формулы (11), как выше мы получили выражение (6), обращая формулу (5). Имеем
> ν2'=νγ(1–βcosθ). (12)

А вот здесь у Вас еще одна методологическая ошибка. Только лишь на основании аналогии двойного обращения, взятого из классического эффекта Допплера для среды Вы и здесь вводите ν2'. Тогда как на самом деле это то же самое ν1'. Покажу это наглядно, опустив для краткости косинусы.

I) Из ф-лы пр. Лоренца для очевидно следует
II) Точно также из симметричной ей следует
Покажем что эти формулы эквивалентны. Из (II) выражаем и приравниваем ее (I):
.
Никакого противоречия. Доказано.
Следовательно, релятивистская формула для продольного эффекта Доплера является и так симметричной.
Под симметричностью здесь понимается следующее: если в двух удаляющихся или сближающихся ИСО имеются аналогичные эталонные источники электромагнитный колебаний, то каждый из наблюдателей, находящихся в этих системах заметит точно такое же отклонение частоты в удаляющейся или сближающейся относительно его ИСО по сравнению со своим эталоном. При этом нет совершенно никакой разницы, удаляется||приближается ли источник излучения, или приемник - формула одна и та же. Разумеется только если Вы не полагаете в СТО наличие эфира, которое она сама отрицает.

> Формулы (11) и (12) являются искомыми точными выражениями, полученными в СТО. Они эквивалентны, как легко убедиться, при условии
> cosφ=(cosθ–β)/(1–βcosθ). (13)
> Эта зависимость описывает явление аберрации, то есть изменение направления распространения волны при переходе между системами источника и прибора.

По прежнему не вижу никакой связи этой формулы с аберрацией. А вот с формулой эффекта Доплера - связь самая что ни на есть прямая.

> 4. Теперь усовершенствуем классическую совместную теорию акустического и оптического эффектов Допплера путем исправления формул (5) и (6) при помощи метода симметризации преобразований. Здесь мы будем использовать этот метод как систему установленных правил, которые необходимо соблюдать, чтобы получать безошибочные (во втором порядке β) результаты. Можно не вникать в смысл этих правил подобно тому, как практически достаточно знать правило, что нельзя производить сокращения обеих частей равенства на нулевое выражение, чтобы не допустить ошибки.
> Осуществим формально симметризацию допплеровского выражения (6). Введем в него коэффициент k, записав
> ν2'=kν(1–βcosθ) (6')
> Требуется найти такое значение k, при котором выражение (6') будет симметричным. Предположим, что k не зависит от θ. Тогда можно воспользоваться случаем θ=0, когда ν2'=kν(1–β) (a), и определить k на основе требования симметричности выражения (а), рассматривая его в качестве преобразования для осуществления перехода от некоторой нештрихованной системы отсчета К к штрихованной K'. Согласно определению, преобразование в виде функции одной переменной является симметричным, если оно инвариантно относительно двойного обращения (то есть обращения, состоящего из двух последовательных обращений разными способами). Первое обращение реализуем способом решения уравнения (а) относительно ν. Получаем ν=ν2'/k(1–β). Обращаем далее это преобразование путем замен ν<–>ν2', β–>–β.

Вы сбились с алгоритма, предложенного Вами же в разделе 2.
Нужно заменить ν2'–>ν1', "учтя, что осуществлена перестановка местами прибора и источника". А далее (опять цитирую) "подвергнуть полученное выражение повторному обращению способом замен в нем" ν<–>ν1', φ<–φ'=θ, β–>–β.

> Находим ν2'=ν/k(1+β) (b). При k=1 выражения (а) и (b) равны только в первом порядке по β. Значит, они не симметричны. Требуя их равенства, получаем искомое значение коэффициента симметризации в виде равенства k=γ, которое обеспечивает симметричность выражения (а), а тем самым и выражения (6'). Используя найденное значение k в (6'), получаем формулу (12), известную в СТО.

Где то я это уже видел))

> Аналогично, введя коэффициент симметричности k в дебаевскую формулу (5),

Какую, какую формулу?

Прошу меня простить, но дальше я разбирал Ваш текст довольно поверхностно, т.к. последующие Ваши выводы основываются на указанных выше методологических ошибках, требующих исправления.

> показываем, что k1–1, и получаем релятивистскую формулу (11). Метод симметризации преобразований удобен для исправления формул теории Допплера тем, что он не требует раздельного рассмотрения случаем акустических и световых волн.
> 5. Применим симметризованные формулы (11), (12) для получения (в виде частного случая) продольного эффекта. Из формулы аберрации (13) при условии φ=0 имеем θ=0. При этих условиях из (11), (12) получаем
> ν1'=ν2'=νγ(1–β) (φ=θ=0) (14)

Ну вот. А я Вам что говорил? ))

> Таким образом, вместо несимметричных результатов (4) и (7) теперь получаются симметричные (14),

Если убрать показатель степени 2 у γ - тогда вполне может быть. А это означает, что релятивисткий эффект Доплера отличается от классического замедлением времени. Т.е. В ф-лах для продольного эффекта всегда присутствует поперечная компонента (множитель), означающий это самое замедление. Если в этом и состоит Ваше открытие, то в этом нет ничего нового.

> а вместо эффекта (8) классической теории имеем его отсутствие,

В оценке которого у Вас к тому же имеется ошибка. Напоминаю:
Отсутствие эффекта может быть в двух случаях:
а) ν=0
б) v=0

> то есть в симметризированной теории случаи 1) и 2) в продольном явлении Допплера кинематически равноправны.

Классическому эффекту мешает быть "равноправным" именно гамма, возведенное в квадрат. Ежели понизить степень этого множителя на единицу - тогда оно конечно, - получим равноправную релятивисткую формулу.

> В дорелятивистской физике из формального наличия эффекта (8) были сделаны физические выводы, что неподвижная среда (в случае звука) или эфир (в случае света) оказывают влияние на формирование явления Допплера. Это влияние является одинаковым как в среде, так и в эфире, но различным в случаях 1) и 2). Из результатов же симметризированной теории (14) следует, что ни среда, ни гипотетический неподвижный эфир одинаково явно не принимают участия в формировании явления Допплера.

Не убедили. К сожалению.

> Причина существования разности (8) кроется в неточности используемых преобразований (в смысле как формул, так и операций). Точными выражениями в случаях 1) и 2) теории продольного эффекта являются формулы (14), ведущие к результату Δν'=0.

Весьма сомнительно. Покажите еще раз, поподробнее, с учетом исправлений и замечаний, каким именно образом они ведут к этому нулевому результату.

> 6. Рассмотрим далее применение формул (11), (12) к случаю поперечного эффекта. Из формулы, полученной обращением выражения (13), при начальном условии φ=π/2 имеем следствием cosθ=β. Используем эти значения соответственно в (11) и (12). Имеем
> ν1'=ν2'=ν(1–β2)1/2 (φ=π/2). (15)
> При начальном же условии θ=π/2 из формулы (13) следует cosφ= –β, а используя эти значения в (11) и (12), находим
> ν1'=ν2'=ν(1–β2)–1/2 (θ=π/2). (16)
> Вместо допплеровских результатов (9) в симметризованной теории, как видим, получаются формулы (15) и (16) релятивистской теории, описывающие поперечный эффект Допплера. В каждом из случаев 1) и 2) в теории поперечного эффекта кинематический принцип относительности действует, но различие между этими случаями сохраняется.

А это различие происходит потому, что, как мне кажется, Вы перепутали случаи удаления и сближения с движением источника и приемника. Без косинусов симметрия получается полная, что я Вам и продемонстрировал. "Фишка" (особенность) релятивистской формулы Доплера состоит в том, что переходя другую ИСО мы должны развернуть свою систему координат на 180 градусов с тем, чтобы положительное направление оси Х указывало в полуплоскость удаляющейся||приближающейся ИСО. А именно от положительного направления этой оси и отсчитывается аргумент косинуса в знаменателе данной формулы.

> Например, возьмем случай, когда источник движется перпендикулярно к линии наблюдения, и из зависимостей (15) найдем соответствующие периоды колебаний и длины волн. Имеем
> T1'=T2'=T(1–β2)–1/2; λ1'=λ2'=λ(1–β2)–1/2. (17)
> Мы здесь получили, во-первых, увеличение промежутка времени T1' или T2' (по сравнению с промежутком Т), в течение которого совершается одно колебание, то есть получили эффект замедления времени в приходящей к прибору волне. Во-вторых, мы пришли к известной формуле сокращения Лоренца применительно к длине волны. Согласно этой формуле расстояние между соседними гребнями волны λ1' или λ2' в системе K' больше, чем расстояние λ в системе K, то есть при переходе K'–>K получается сокращение длины волны. Если же источник и прибор поменять местами, то есть вместо зависимостей (15) воспользоваться равенствами (16), то вместо (17) получим, разумеется, обратные зависимости. В этом проявляется кинематическое различие между случаями 1) и 2) в теории поперечного эффекта.

Ну это врядли. Никакого различия нет - см. мои комментарии выше.

> 7. Поперечный эффект Допплера является, по-видимому, единственным из эффектов второго порядка, проверенных экспериментально, который реально существует, но не был предсказан классической теорией. Здесь мы имеем пример, когда усовершенствование функционирования математического аппарата физики, связанное с применением симметричных преобразований Лоренца и других, привело к углублению наших знаний об одном из природных явлений. Что касается других эффектов второго порядка, то дорелятивистская теория предсказала их существование, но экспериментально они обнаружены не были. При этом теория не могла объяснить своё несоответствие опытным данным. Классическая физика зашла в тупик. Как известно, выход из тупика указала СТО. На примере теории продольного эффекта Допплера в данном сообщении показано, что выход из тупика, состоящий в объяснении эффектов второго порядка, возможен также на пути применения открытого ныне математического принципа симметричности преобразований.

Уж не Вами ли? ;)

> Этим путем мы с Некротом Б.А. и продвигаемся, показывая на конкретных примерах эффектов второго порядка, не обнаруженных экспериментально, что эти эффекты теория предсказала ошибочно с математической точки зрения (как, в частности, разность (8)).

Неверно Вами определенную.

С уважением к тому огромному бесполезному труду, который Вы проделали,
Аквей.

З.Ы. А не пробовали немного покопать в ином направлении: что если т.н. поперечный эффект Доплера является усредненным продольным? Ведь ввиду некоторой протяженности в пространстве измеряемой длины волны источник успеет проскочить перпендикуляр к вектору своей скорости...


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100