Это прямо фокус какой-то!

Сообщение №7105 от salavata 03 декабря 2001 г. 11:10
Тема: Это прямо фокус какой-то!

В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
как всем известные, совершенно неизвестные факты.
Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
которой нет ни в одном учебнике!
Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
(или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
или в какой книге упоминается?
Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
поверхности, получим:

При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал

Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?


Отклики на это сообщение:

Не знай, что было до и после приведенного фрагмента (ландавшиц-8 - это, кстати, что? и почему это B=-grad(y)?), но в самой выкладке все вроде верно. Какой конкретно переход вызывает сомнение?


> В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> которой нет ни в одном учебнике!
> Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> или в какой книге упоминается?
> Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> поверхности, получим:
>
> При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
>
> Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

Имя этому фокусу: общая теорема Стокса для диф. форм




Где дифференциальная форма, V-
область интегрирования, граница
области V. Если =f(x,y,z) --скалярная ф-ция
то получим



Про это в принципе много умный книг написано.
Думаю будет в Дубровине, Новикове, Фоменко.


Встречаются Ландау с Лившицем после выходных.
Ландау(грустно): Я на выходных решил одну задачу , достойную включения в наш ноготомник. Но сегодня в трамвае я потерял три листа выкладок.
Лившиц: Эх, придется написать как обычно : "Как легко видеть..."


> > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > которой нет ни в одном учебнике!
> > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > или в какой книге упоминается?
> > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > поверхности, получим:
> >
> > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> >
> > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> Имя этому фокусу: общая теорема Стокса для диф. форм

>
>

>
> Где дифференциальная форма, V-
> область интегрирования, граница
> области V. Если =f(x,y,z) --скалярная ф-ция
> то получим

>
>


> Про это в принципе много умный книг написано.
> Думаю будет в Дубровине, Новикове, Фоменко.

Зорич, 2 том. Именно в таком виде оно и должно преподаваться не позднее 2го курса


Салавата!

Суть в следующем.
Формула Стокса

тa·dr = тrotnadS

Нужно найти аналогичное представление для

тa×dr =

Если формула Стокса выводится естественным образом из безкоординатного определения ротора, рассматривая цилиндрик с бесконечно малой высотой, то в данном случае так легко не получится.
Либо нужно повозиться с тем же цилиндриком, либо вывести нужную формулу искусственным путём - по типу формул Грина.
Вряд ли кто-нибудь из местных пидженов на это способен.
Посмотрите как это делается по-старинке в учебнике гидродинамики (но не Ландау) в разделе: поле, генерируемое вихревым кольцом, а также потенциал слоя диполей.
Ещё вернёмся к этому вопросу.


> Салавата!

> Суть в следующем.
> Формула Стокса

> тa·dr = тrotnadS

> Нужно найти аналогичное представление для

> тa?dr =

> Если формула Стокса выводится естественным образом из безкоординатного определения ротора, рассматривая цилиндрик с бесконечно малой высотой, то в данном случае так легко не получится.
> Либо нужно повозиться с тем же цилиндриком, либо вывести нужную формулу искусственным путём - по типу формул Грина.
> Вряд ли кто-нибудь из местных пидженов на это способен.
> Посмотрите как это делается по-старинке в учебнике гидродинамики (но не Ландау) в разделе: поле, генерируемое вихревым кольцом, а также потенциал слоя диполей.
> Ещё вернёмся к этому вопросу.

Если Вы так хотите ротор определять бескоординатным методом,
то тогда и градиент определяете так же и наша формула будет не
менее очевидна.

А общая теорема Стокса для чтения Ландавшица абсолютно
необходима--тут то еще легко рассмотреть маленький цилиндрик,
а вот как Вы будете интегрировать хитрые наборы градиентов
4-тензора?


> > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > которой нет ни в одном учебнике!
> > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > или в какой книге упоминается?
> > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > поверхности, получим:
> >
> > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> >
> > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> Имя этому фокусу: общая теорема Стокса для диф. форм

>
>

>
> Где дифференциальная форма, V-
> область интегрирования, граница
> области V. Если =f(x,y,z) --скалярная ф-ция
> то получим

>
>


> Про это в принципе много умный книг написано.
> Думаю будет в Дубровине, Новикове, Фоменко.

..интеграл-то по контуру.. а не по замкнутой поверхности..



> Если формула Стокса выводится естественным образом из безкоординатного определения ротора, рассматривая цилиндрик с бесконечно малой высотой, то в данном случае так легко не получится.
> Либо нужно повозиться с тем же цилиндриком, либо вывести нужную формулу искусственным путём - по типу формул Грина.

Даааааа, Бородач. Как всегда, выперся.

В простейшем случае формула Стокса - это формулы Ньютона-Лейбница, проходящаяся в средней школе. Формулы Грина - где-то в начале пути к виду, приведенному коллегой. А все одна и та же концепция - "те же яйца, вид с боку!" (с).

В общем, видна тенденция к познанию первородности Теоремы Гельмгольца, как главного закона бунтующей самостности материи (с). Надо только немного состариться и подзахереть.

Салавате. Зорич, 2 издание, 2 том, стр 407 (сканер накрылся, а то б я кинул). Вообще изложение данного предмета у Зорича весьма удачно для прикладника. Сжато, но строго.


> > > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > > которой нет ни в одном учебнике!
> > > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > > или в какой книге упоминается?
> > > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > > поверхности, получим:
> > >
> > > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> > >
> > > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> > Имя этому фокусу: общая теорема Стокса для диф. форм

> >
> >

> >
> > Где дифференциальная форма, V-
> > область интегрирования, граница
> > области V. Если =f(x,y,z) --скалярная ф-ция
> > то получим

> >
> >

>
> > Про это в принципе много умный книг написано.
> > Думаю будет в Дубровине, Новикове, Фоменко.

> ..интеграл-то по контуру.. а не по замкнутой поверхности..

Признаю, лажанулся...

Правильная теоремка должна называться что-то вроде "теорема
Стокса для звезданутых форм" и записываться как-то так

Оператор * дополняет форму до формы объема
В 3D
*dx=dy^dz
*(dy^dz)=dx
*(dx^dz)=-dy ...
Все это пока только соображение по поводу и добре бы чтоб
умный человек меня поправил. Ну нет сейчас под рукой учебника.


> > > > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > > > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > > > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > > > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > > > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > > > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > > > которой нет ни в одном учебнике!
> > > > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > > > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > > > или в какой книге упоминается?
> > > > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > > > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > > > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > > > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > > > поверхности, получим:
> > > >
> > > > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > > > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> > > >
> > > > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> > > Имя этому фокусу: общая теорема Стокса для диф. форм

> > >
> > >

> > >
> > > Где дифференциальная форма, V-
> > > область интегрирования, граница
> > > области V. Если =f(x,y,z) --скалярная ф-ция
> > > то получим

> > >
> > >

> >
> > > Про это в принципе много умный книг написано.
> > > Думаю будет в Дубровине, Новикове, Фоменко.

> > ..интеграл-то по контуру.. а не по замкнутой поверхности..

Доказательство формулы

a)Лемма: если для любого вектора n имеем
nA=0 (скалярное произведение), то
A=0. Оставим читателю в качестве
самостоятельного упражнения.
б)
Пусть n--постоянный вектор; f-скалярная ф-ция
тогда rot(nf)=[gradf,n]
где [,] обозначают векторное произведение.
в)
Формула Стокса без прибамбасов

Полагаем A=nf.
Остальное очевидно.

Кстати, предыдущая формула про градиент

доказывается на самом деле так же.
То что я писал до этого--продукт моего больного
воображения.



> В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> которой нет ни в одном учебнике!
> Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> или в какой книге упоминается?
> Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> поверхности, получим:
>
> При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
>
> Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

Ищем интеграл Био-Савара по замкнутому контуру.

Формула Стокса

тa·dr = тrotnadS

Нужно найти аналогичное представление для

тa×dr =

Разлагаем покомпонентно:

a×dr = ek(ek·a×dr) = - ek(a×ekdr -> - ekrotn(a×ek)dS

= ek[- (ekgrad)a + ekdiva)]ndS

Но

a = grad(1/r)

diva = 0

Поэтому остаётся только

- ek(ekgrad)an = - gradan = - gradn(1/r)

Окончательно, потенциал

- т¶n(1/r)dS


> > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > которой нет ни в одном учебнике!
> > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > или в какой книге упоминается?
> > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > поверхности, получим:
> >
> > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> >
> > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> Вас заинтересовал ход математических преобразований. Но мне кажется, что не менее интересны понятия формулирующие задачу.
> Хотелось бы понять что такое: - "скалярный потенциал замкнутого линейного тока"?
> Сам термин "скалярный потенциал замкнутого линейного тока" предполагает, что данный ток является градиентом скалярного потенциала. Т.е.:
> 1. Ток векторная величина - градиент(?);
> 2. Циркуляция такого тока по любому замкнутому контуру равна нулю.
> Циркуляция вектора по замкнутому контуру, как известно, не является скалярным потенциалом, а характеризует поток ротора вектора.
> Что такое циркуляция скаляра и "как это", вообще не определено в классической теории поля.
> Не поняв это, а речь идет о конкретной физической задаче, нет смысла рассматривать какие-либо математические преобразования, как решение физической задачи.

Ладндау и Лифшиц любят выражаться кратко.
Они хотели написать "скалярный потенциал магнитного поля,
создаваемого замкнутым линейным током".
Так как в пустоте, когда ничего не меняется со временем,
rot(H)=0,
то можно ввести (не для всего пространства)
магнитостатический потенциал пси, такой, что H=-grad(пси).
Разумеется, такой потенциал неоднозначен.
Кстати, в пустоте H=B.


Буду потихоньку разбираться...


> > > > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > > > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > > > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > > > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > > > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > > > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > > > которой нет ни в одном учебнике!
> > > > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > > > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > > > или в какой книге упоминается?
> > > > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > > > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > > > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > > > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > > > поверхности, получим:
> > > >
> > > > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > > > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> > > >
> > > > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> > > Вас заинтересовал ход математических преобразований. Но мне кажется, что не менее интересны понятия формулирующие задачу.
> > > Хотелось бы понять что такое: - "скалярный потенциал замкнутого линейного тока"?
> > > Сам термин "скалярный потенциал замкнутого линейного тока" предполагает, что данный ток является градиентом скалярного потенциала. Т.е.:
> > > 1. Ток векторная величина - градиент(?);
> > > 2. Циркуляция такого тока по любому замкнутому контуру равна нулю.
> > > Циркуляция вектора по замкнутому контуру, как известно, не является скалярным потенциалом, а характеризует поток ротора вектора.
> > > Что такое циркуляция скаляра и "как это", вообще не определено в классической теории поля.
> > > Не поняв это, а речь идет о конкретной физической задаче, нет смысла рассматривать какие-либо математические преобразования, как решение физической задачи.

> > Ладндау и Лифшиц любят выражаться кратко.
> > Они хотели написать "скалярный потенциал магнитного поля,
> > создаваемого замкнутым линейным током".
> > Так как в пустоте, когда ничего не меняется со временем,
> > rot(H)=0,
> > то можно ввести (не для всего пространства)
> > магнитостатический потенциал пси, такой, что H=-grad(пси).
> > Разумеется, такой потенциал неоднозначен.
> > Кстати, в пустоте H=B.

> Нельзя ввести такой потенциал, т.к. если положить, что:
> Н = -grad(пси), то циркуляция градиента по любому замкнутому контуру равна нулю. Тогда как циркуляция вектора Н равна охватываемому им току. Иначе вечный двигатель - движение по замкнутому контуру в потенциальном поле.
> Ландау и Лившиц очень любили выражаться безграмотно, но "научно".

Я заглянул в Ландау и увидел, что это я выразился
безграмотно, пропустив в спешке слова "магнитного поля".
Они-то написали правильно.
Ваше замечание они тоже учли словами "неоднозначен",
"является многозначной функцией".
То есть они знали о том, что
магнитостатического потенциал реально применим только
для какой-то области пространства, причем требуется,
чтобы область была не только пустой,
но и не охватывала какой-либо ток.


> > > > > > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > > > > > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > > > > > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > > > > > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > > > > > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > > > > > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > > > > > которой нет ни в одном учебнике!
> > > > > > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > > > > > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > > > > > или в какой книге упоминается?
> > > > > > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > > > > > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > > > > > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > > > > > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > > > > > поверхности, получим:
> > > > > >
> > > > > > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > > > > > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> > > > > >
> > > > > > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> > > > > Вас заинтересовал ход математических преобразований. Но мне кажется, что не менее интересны понятия формулирующие задачу.
> > > > > Хотелось бы понять что такое: - "скалярный потенциал замкнутого линейного тока"?
> > > > > Сам термин "скалярный потенциал замкнутого линейного тока" предполагает, что данный ток является градиентом скалярного потенциала. Т.е.:
> > > > > 1. Ток векторная величина - градиент(?);
> > > > > 2. Циркуляция такого тока по любому замкнутому контуру равна нулю.
> > > > > Циркуляция вектора по замкнутому контуру, как известно, не является скалярным потенциалом, а характеризует поток ротора вектора.
> > > > > Что такое циркуляция скаляра и "как это", вообще не определено в классической теории поля.
> > > > > Не поняв это, а речь идет о конкретной физической задаче, нет смысла рассматривать какие-либо математические преобразования, как решение физической задачи.

> > > > Ладндау и Лифшиц любят выражаться кратко.
> > > > Они хотели написать "скалярный потенциал магнитного поля,
> > > > создаваемого замкнутым линейным током".
> > > > Так как в пустоте, когда ничего не меняется со временем,
> > > > rot(H)=0,
> > > > то можно ввести (не для всего пространства)
> > > > магнитостатический потенциал пси, такой, что H=-grad(пси).
> > > > Разумеется, такой потенциал неоднозначен.
> > > > Кстати, в пустоте H=B.

> > > Нельзя ввести такой потенциал, т.к. если положить, что:
> > > Н = -grad(пси), то циркуляция градиента по любому замкнутому контуру равна нулю. Тогда как циркуляция вектора Н равна охватываемому им току. Иначе вечный двигатель - движение по замкнутому контуру в потенциальном поле.
> > > Ландау и Лившиц очень любили выражаться безграмотно, но "научно".

> > Я заглянул в Ландау и увидел, что это я выразился
> > безграмотно, пропустив в спешке слова "магнитного поля".
> > Они-то написали правильно.
> > Ваше замечание они тоже учли словами "неоднозначен",
> > "является многозначной функцией".
> > То есть они знали о том, что
> > магнитостатического потенциал реально применим только
> > для какой-то области пространства, причем требуется,
> > чтобы область была не только пустой,
> > но и не охватывала какой-либо ток.

> Если та часть пространства в котором рассматривается поле не включает в себя область содержащую токи или заряды, то говорить о каком либо градиенте скалярного потенциала или роторе векторного потенциала бессмысленно, в силу неопределенности самих потенциалов.

> "1. Основная задача теории поля
> Основной задачей классической теории поля является определение пространственного распределения векторных и (или) скалярных полей по заданному распределению источников поля в этом пространстве ("прямая" задача ).
> Так же возможна постановка и "обратной" задачи, т.е. задачи определения распределения источников поля в пространстве по заданному распределению векторного поля и (или) поля скалярного потенциала в этом пространстве.
> Таким образом, постановка задачи об определении распределения поля в пространстве без учета распределения источников поля бессмысленна с позиции классической теории поля в рамках основной задачи теории поля".

На практике часто встречается и такая задача:
Известны все заряды и токи (по крайней мере, все,
кроме очень далеких, которыми можно пренебречь).
Но требуется найти поля не везде, а только
в какой-то пустой области неподалеку от этих зарядов и токов.
Бывает, что как раз в этой области поле описывается
простой зависимостью.


> > > > > > > > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > > > > > > > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > > > > > > > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > > > > > > > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > > > > > > > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > > > > > > > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > > > > > > > которой нет ни в одном учебнике!
> > > > > > > > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > > > > > > > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > > > > > > > или в какой книге упоминается?
> > > > > > > > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > > > > > > > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > > > > > > > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > > > > > > > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > > > > > > > поверхности, получим:
> > > > > > > >
> > > > > > > > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > > > > > > > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> > > > > > > >
> > > > > > > > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> > > > > > > Вас заинтересовал ход математических преобразований. Но мне кажется, что не менее интересны понятия формулирующие задачу.
> > > > > > > Хотелось бы понять что такое: - "скалярный потенциал замкнутого линейного тока"?
> > > > > > > Сам термин "скалярный потенциал замкнутого линейного тока" предполагает, что данный ток является градиентом скалярного потенциала. Т.е.:
> > > > > > > 1. Ток векторная величина - градиент(?);
> > > > > > > 2. Циркуляция такого тока по любому замкнутому контуру равна нулю.
> > > > > > > Циркуляция вектора по замкнутому контуру, как известно, не является скалярным потенциалом, а характеризует поток ротора вектора.
> > > > > > > Что такое циркуляция скаляра и "как это", вообще не определено в классической теории поля.
> > > > > > > Не поняв это, а речь идет о конкретной физической задаче, нет смысла рассматривать какие-либо математические преобразования, как решение физической задачи.

> > > > > > Ладндау и Лифшиц любят выражаться кратко.
> > > > > > Они хотели написать "скалярный потенциал магнитного поля,
> > > > > > создаваемого замкнутым линейным током".
> > > > > > Так как в пустоте, когда ничего не меняется со временем,
> > > > > > rot(H)=0,
> > > > > > то можно ввести (не для всего пространства)
> > > > > > магнитостатический потенциал пси, такой, что H=-grad(пси).
> > > > > > Разумеется, такой потенциал неоднозначен.
> > > > > > Кстати, в пустоте H=B.

> > > > > Нельзя ввести такой потенциал, т.к. если положить, что:
> > > > > Н = -grad(пси), то циркуляция градиента по любому замкнутому контуру равна нулю. Тогда как циркуляция вектора Н равна охватываемому им току. Иначе вечный двигатель - движение по замкнутому контуру в потенциальном поле.
> > > > > Ландау и Лившиц очень любили выражаться безграмотно, но "научно".

> > > > Я заглянул в Ландау и увидел, что это я выразился
> > > > безграмотно, пропустив в спешке слова "магнитного поля".
> > > > Они-то написали правильно.
> > > > Ваше замечание они тоже учли словами "неоднозначен",
> > > > "является многозначной функцией".
> > > > То есть они знали о том, что
> > > > магнитостатического потенциал реально применим только
> > > > для какой-то области пространства, причем требуется,
> > > > чтобы область была не только пустой,
> > > > но и не охватывала какой-либо ток.

> > > Если та часть пространства в котором рассматривается поле не включает в себя область содержащую токи или заряды, то говорить о каком либо градиенте скалярного потенциала или роторе векторного потенциала бессмысленно, в силу неопределенности самих потенциалов.

> > > "1. Основная задача теории поля
> > > Основной задачей классической теории поля является определение пространственного распределения векторных и (или) скалярных полей по заданному распределению источников поля в этом пространстве ("прямая" задача ).
> > > Так же возможна постановка и "обратной" задачи, т.е. задачи определения распределения источников поля в пространстве по заданному распределению векторного поля и (или) поля скалярного потенциала в этом пространстве.
> > > Таким образом, постановка задачи об определении распределения поля в пространстве без учета распределения источников поля бессмысленна с позиции классической теории поля в рамках основной задачи теории поля".

> > На практике часто встречается и такая задача:
> > Известны все заряды и токи (по крайней мере, все,
> > кроме очень далеких, которыми можно пренебречь).
> > Но требуется найти поля не везде, а только
> > в какой-то пустой области неподалеку от этих зарядов и токов.
> > Бывает, что как раз в этой области поле описывается
> > простой зависимостью.

> Что бы найти численное значение поля в представлении "rot + gfad" в каждой точке заданной, пусть и ограниченной области пространства, Вам все равно придется получить решение поля как функции источника т.е. решить основную задачу теории поля. В противном случае ошибки неизбежны, что мы и наблюдаем в учебной и пр. литературе сплошь и рядом (когда циркуляция градиента по заданному контуру неопределена - возрастает с числом оборотов).

Не обязательно. Есть формулы для прямого (по источникам)
вычисления полей только там, где нам нужно.
В простейшем случае это законы Кулона и Био-Савара.
Разве не так?


> > > > > > > > > В учебнике Ландау и Лифшица есть задачка с решением
> > > > > > > > > в несколько строк, в которой, похоже, молча используются,
> > > > > > > > > как всем известные, совершенно неизвестные факты.
> > > > > > > > > Ландау, как фокусник, превращает одну формулу в другую
> > > > > > > > > без объяснений. Например, он, думается, использовал теорему:
> > > > > > > > > oint(фи dl) = int[dфи x grad фи]
> > > > > > > > > которой нет ни в одном учебнике!
> > > > > > > > > Кто-нибудь знает, как называется эта теорема
> > > > > > > > > (или другие необщеизвестные факты из решения этой задачи)
> > > > > > > > > или в какой книге упоминается?
> > > > > > > > > Или, может быть, кто-то сам может объяснить это решение?
> > > > > > > > > Вот оно (Ландау, том VIII, гл.IV, пар.30, зад.1):
> > > > > > > > > Задача. Определить скалярный потенциал замкнутого линейного тока.
> > > > > > > > > Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им
> > > > > > > > > поверхности, получим:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > При преобразованиях надо учесть, что лапласиан от 1/R равен нулю).
> > > > > > > > > Сравнивая с B=-grad(пси), найдем, что скалярный потенциал
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Кто-нибудь из-вас понял ход преобразований?

> > > > > > > > Вас заинтересовал ход математических преобразований. Но мне кажется, что не менее интересны понятия формулирующие задачу.
> > > > > > > > Хотелось бы понять что такое: - "скалярный потенциал замкнутого линейного тока"?
> > > > > > > > Сам термин "скалярный потенциал замкнутого линейного тока" предполагает, что данный ток является градиентом скалярного потенциала. Т.е.:
> > > > > > > > 1. Ток векторная величина - градиент(?);
> > > > > > > > 2. Циркуляция такого тока по любому замкнутому контуру равна нулю.
> > > > > > > > Циркуляция вектора по замкнутому контуру, как известно, не является скалярным потенциалом, а характеризует поток ротора вектора.
> > > > > > > > Что такое циркуляция скаляра и "как это", вообще не определено в классической теории поля.
> > > > > > > > Не поняв это, а речь идет о конкретной физической задаче, нет смысла рассматривать какие-либо математические преобразования, как решение физической задачи.

> > > > > > > Ладндау и Лифшиц любят выражаться кратко.
> > > > > > > Они хотели написать "скалярный потенциал магнитного поля,
> > > > > > > создаваемого замкнутым линейным током".
> > > > > > > Так как в пустоте, когда ничего не меняется со временем,
> > > > > > > rot(H)=0,
> > > > > > > то можно ввести (не для всего пространства)
> > > > > > > магнитостатический потенциал пси, такой, что H=-grad(пси).
> > > > > > > Разумеется, такой потенциал неоднозначен.
> > > > > > > Кстати, в пустоте H=B.

> > > > > > Нельзя ввести такой потенциал, т.к. если положить, что:
> > > > > > Н = -grad(пси), то циркуляция градиента по любому замкнутому контуру равна нулю. Тогда как циркуляция вектора Н равна охватываемому им току. Иначе вечный двигатель - движение по замкнутому контуру в потенциальном поле.
> > > > > > Ландау и Лившиц очень любили выражаться безграмотно, но "научно".

> > > > > Я заглянул в Ландау и увидел, что это я выразился
> > > > > безграмотно, пропустив в спешке слова "магнитного поля".
> > > > > Они-то написали правильно.
> > > > > Ваше замечание они тоже учли словами "неоднозначен",
> > > > > "является многозначной функцией".
> > > > > То есть они знали о том, что
> > > > > магнитостатического потенциал реально применим только
> > > > > для какой-то области пространства, причем требуется,
> > > > > чтобы область была не только пустой,
> > > > > но и не охватывала какой-либо ток.

> > > > Если та часть пространства в котором рассматривается поле не включает в себя область содержащую токи или заряды, то говорить о каком либо градиенте скалярного потенциала или роторе векторного потенциала бессмысленно, в силу неопределенности самих потенциалов.

> > > > "1. Основная задача теории поля
> > > > Основной задачей классической теории поля является определение пространственного распределения векторных и (или) скалярных полей по заданному распределению источников поля в этом пространстве ("прямая" задача ).
> > > > Так же возможна постановка и "обратной" задачи, т.е. задачи определения распределения источников поля в пространстве по заданному распределению векторного поля и (или) поля скалярного потенциала в этом пространстве.
> > > > Таким образом, постановка задачи об определении распределения поля в пространстве без учета распределения источников поля бессмысленна с позиции классической теории поля в рамках основной задачи теории поля".

> > > На практике часто встречается и такая задача:
> > > Известны все заряды и токи (по крайней мере, все,
> > > кроме очень далеких, которыми можно пренебречь).
> > > Но требуется найти поля не везде, а только
> > > в какой-то пустой области неподалеку от этих зарядов и токов.
> > > Бывает, что как раз в этой области поле описывается
> > > простой зависимостью.

> > Что бы найти численное значение поля в представлении "rot + gfad" в каждой точке заданной, пусть и ограниченной области пространства, Вам все равно придется получить решение поля как функции источника т.е. решить основную задачу теории поля. В противном случае ошибки неизбежны, что мы и наблюдаем в учебной и пр. литературе сплошь и рядом (когда циркуляция градиента по заданному контуру неопределена - возрастает с числом оборотов).

> Не обязательно. Есть формулы для прямого (по источникам)
> вычисления полей только там, где нам нужно.
> В простейшем случае это законы Кулона и Био-Савара.
> Разве не так?

Так, но не совсем:
1. И закон Кулона, и закон Био-Савара - Лапласа определяют векторное поле по всему односвязному для поля пространству.
2. Закон Кулона однозначно определяет Е как: Е = -grad (phi), т.к. дивергенция Е не равна нулю тождественно и ротор Е тождественно равен нулю;
3. Закон Био-Савара - Лапласа однозначно определяет В как: В = rotA, т.к. дивергенция В тождественно равна нулю, а ротор В не равен нулю тождественно.
Т.е. пространственный характер векторного поля (ротор или (и) градиент) однозначно определен по источникам поля (основная задача классической теории поля).
Других решений в рамках классической теории поля нет.

Группа Естественной Физики


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100