кто умеет дифференцировать вектор j ?

Сообщение №61613 от NN 26 марта 2010 г. 13:21
Тема: кто умеет дифференцировать вектор j ?

Уважаемые знатоки! (в шапках и без них :-)
За 10 дней я не получил убедительно аргументированного ответа на
Сообщение №61436 от NN , 16 марта 2010 г.Кто умеет дифференцировать А ?

Поскольку, как верно пишет PapaKarlo,

> Компоненты векторного потенциала получаются путем интегрирования плотности тока:

>

> где - компонента плотности тока в точке, определяемой вектором .
вопрос про A тесно связан с вопросом про j .

Давайте рассмотрим этот, более простой вопрос про j.
Пусть по кольцу течет постоянный ток j.
Элемент jdv имеет скорость V и ускорение dV/dt, направленное по радиусу кольца.
Поэтому вектор dj/dt тоже направлен по радиусу и не равен 0.
Ведь j=neV.
e-элементарный заряд, n-число этих зарядов в dv, dv-физически малый объем.
dj/dt = d(neV)/dt = ne dV/dt ≠0.
Поэтому ответ PapaKarlo (=0) кажется мне неправильным.
Какие будут мнения?
Рассудите нас люди!:)

P.S.И ответ PapaKarlo на второй вопрос, по моему, тоже неправильный по той же причине.
> > > > 2.А если ток I линейно возрастает, будет у dA/dt радиальная проекция?

> Для идеального соленоида в некоторой точке перпендикулярен радиус-вектору точки, а модуль его пропорционален силе тока через соленоид. Пусть за время сила тока увеличилась на . Как это повлияет на изменение направления ? Никак. Поэтому радиальная проекция не появится.
Никак - неправильно. Вектор повернется.


Отклики на это сообщение:

> Уважаемые знатоки! (в шапках и без них :-)
> За 10 дней я не получил убедительно аргументированного ответа на
> Сообщение №61436 от NN , 16 марта 2010 г.Кто умеет дифференцировать А ?

Что может быть убедительным для Вас в предполагаемых ответах, если Вы не знаете, что такое производная?

> Поскольку, как верно пишет PapaKarlo,

> > Компоненты векторного потенциала получаются путем интегрирования плотности тока:

> >

> > где - компонента плотности тока в точке, определяемой вектором .
> вопрос про A тесно связан с вопросом про j .

> Давайте рассмотрим этот, более простой вопрос про j.
> Пусть по кольцу течет постоянный ток j.
> Элемент jdv имеет скорость V и ускорение dV/dt, направленное по радиусу кольца.
> Поэтому вектор dj/dt тоже направлен по радиусу и не равен 0.
> Ведь j=neV.
> e-элементарный заряд, n-число этих зарядов в dv, dv-физически малый объем.
> dj/dt = d(neV)/dt = ne dV/dt ≠0.
> Поэтому ответ PapaKarlo (=0) кажется мне неправильным.
> Какие будут мнения?
> Рассудите нас люди!:)

> P.S.И ответ PapaKarlo на второй вопрос, по моему, тоже неправильный по той же причине.
> > > > > 2.А если ток I линейно возрастает, будет у dA/dt радиальная проекция?

> > Для идеального соленоида в некоторой точке перпендикулярен радиус-вектору точки, а модуль его пропорционален силе тока через соленоид. Пусть за время сила тока увеличилась на . Как это повлияет на изменение направления ? Никак. Поэтому радиальная проекция не появится.
> Никак - неправильно. Вектор повернется.

Вектор скорости отдельного элемента есть вектор-функция исключительно времени: . Под её производной по времени подразумевается .
Плотность тока в кольце в общем случае есть вектор-функция и времени, и координат: . Что Вы хотите подразумевать под производной от неё по времени?
В Вашем частном случае это вектор-функция исключительно от пространственных координат: . Что Вы хотите подразумевать под производеной от времени от неё?
Без прояснения этих вопросов ответа на Вашу просьбу дать нельзя.


Спасибо за ответ.
> > Уважаемые знатоки! (в шапках и без них :-)
> > За 10 дней я не получил убедительно аргументированного ответа на
> > Сообщение №61436 от NN , 16 марта 2010 г.Кто умеет дифференцировать А ?

> Что может быть убедительным для Вас в предполагаемых ответах, если Вы не знаете, что такое производная?
:-)))
> > Поскольку, как верно пишет PapaKarlo,

> > > Компоненты векторного потенциала получаются путем интегрирования плотности тока:

> > >

> > > где - компонента плотности тока в точке, определяемой вектором .
> > вопрос про A тесно связан с вопросом про j .

> > Давайте рассмотрим этот, более простой вопрос про j.
> > Пусть по кольцу течет постоянный ток j.
> > Элемент jdv имеет скорость V и ускорение dV/dt, направленное по радиусу кольца.
> > Поэтому вектор dj/dt тоже направлен по радиусу и не равен 0.
> > Ведь j=neV.
> > e-элементарный заряд, n-число этих зарядов в dv, dv-физически малый объем.
> > dj/dt = d(neV)/dt = ne dV/dt ≠0.
> > Поэтому ответ PapaKarlo (=0) кажется мне неправильным.
> > Какие будут мнения?
> > Рассудите нас люди!:)

> > P.S.И ответ PapaKarlo на второй вопрос, по моему, тоже неправильный по той же причине.
> > > > > > 2.А если ток I линейно возрастает, будет у dA/dt радиальная проекция?

> > > Для идеального соленоида в некоторой точке перпендикулярен радиус-вектору точки, а модуль его пропорционален силе тока через соленоид. Пусть за время сила тока увеличилась на . Как это повлияет на изменение направления ? Никак. Поэтому радиальная проекция не появится.
> > Никак - неправильно. Вектор повернется.

> Вектор скорости отдельного элемента есть вектор-функция исключительно времени: .
Не понял, почему исключительно времени. Элемент движется и меняются его координаты.
Скажем, если это элемент жидкости, то функция зависит от координат.
> Под её производной по времени подразумевается .
Да.
> Плотность тока в кольце в общем случае есть вектор-функция и времени, и координат: .
Да.
> Что Вы хотите подразумевать под производной от неё по времени?
Я хочу подразумевать то, что все подразумевают.

> В Вашем частном случае это вектор-функция исключительно от пространственных координат: .
Не понял, почему "исключительно от пространственных координат".
Я бы сказал, что она зависит от t f(x,y,z,t). При этом |f(t)|=const, а вектор поворачивается т.е. не const. Т.е. полная аналогия с полем скоростей тела при вращении.

> Что Вы хотите подразумевать под производеной от времени от неё?
То же, что и все. Например, в формуле для силы Лоренца пишут:
Е=-grad φ - dA/dt.
Я хочу понимать производную в том же смысле.

Выше я привел доказательство, что dj/dt≠0.
Вы с ним согласны?, или укажите, пожалуйста, где ошибка.
> Без прояснения этих вопросов ответа на Вашу просьбу дать нельзя.


> Спасибо за ответ.
> > > Уважаемые знатоки! (в шапках и без них :-)
> > > За 10 дней я не получил убедительно аргументированного ответа на
> > > Сообщение №61436 от NN , 16 марта 2010 г.Кто умеет дифференцировать А ?

> > Что может быть убедительным для Вас в предполагаемых ответах, если Вы не знаете, что такое производная?
> :-)))

Я не шутил. Это важный вопрос.

> > > Поскольку, как верно пишет PapaKarlo,

> > > > Компоненты векторного потенциала получаются путем интегрирования плотности тока:

> > > >

> > > > где - компонента плотности тока в точке, определяемой вектором .
> > > вопрос про A тесно связан с вопросом про j .

> > > Давайте рассмотрим этот, более простой вопрос про j.
> > > Пусть по кольцу течет постоянный ток j.
> > > Элемент jdv имеет скорость V и ускорение dV/dt, направленное по радиусу кольца.
> > > Поэтому вектор dj/dt тоже направлен по радиусу и не равен 0.
> > > Ведь j=neV.
> > > e-элементарный заряд, n-число этих зарядов в dv, dv-физически малый объем.
> > > dj/dt = d(neV)/dt = ne dV/dt ≠0.
> > > Поэтому ответ PapaKarlo (=0) кажется мне неправильным.
> > > Какие будут мнения?
> > > Рассудите нас люди!:)

> > > P.S.И ответ PapaKarlo на второй вопрос, по моему, тоже неправильный по той же причине.
> > > > > > > 2.А если ток I линейно возрастает, будет у dA/dt радиальная проекция?

> > > > Для идеального соленоида в некоторой точке перпендикулярен радиус-вектору точки, а модуль его пропорционален силе тока через соленоид. Пусть за время сила тока увеличилась на . Как это повлияет на изменение направления ? Никак. Поэтому радиальная проекция не появится.
> > > Никак - неправильно. Вектор повернется.

> > Вектор скорости отдельного элемента есть вектор-функция исключительно времени: .
> Не понял, почему исключительно времени. Элемент движется и меняются его координаты.
> Скажем, если это элемент жидкости, то функция зависит от координат.

Нет. Скорость _данного_ элемента жидкости не зависит от координат, а зависит только от времени. Вот в чисто механической задаче вращения тела по окружности разве скорость тела зависит от координаты? Подумайте.

> > Под её производной по времени подразумевается .
> Да.
> > Плотность тока в кольце в общем случае есть вектор-функция и времени, и координат: .
> Да.
> > Что Вы хотите подразумевать под производной от неё по времени?
> Я хочу подразумевать то, что все подразумевают.

Вот здесь мы упираемся в мой вопрос, на которой Вы не ответили, а написали смайлик.
В разных обстоятельствах разные люди подразумевают разное. Например, можно подразумевать
. Это называют _частной_ производной по времени и обозначают . А можно записать плотность тока в системе отсчёта, двигающейся вместе электронной жидкостью (т.е. со скоростью ): , и тогда используют понятие _субстанциональной_ (или лагранжевой) производной . Не путайте с обыкновенной, хотя буковки те же!

> > В Вашем частном случае это вектор-функция исключительно от пространственных координат: .
> Не понял, почему "исключительно от пространственных координат".

По определению. Значение плотности тока в данной точке от времени _не зависит_. Для того, чтобы вычислить значение плотности тока в любой точке в любой момент времени нужно задать только координаты. Если плотность тока внутри кольца постоянна, то это следующая вектор-функция (внутри кольца же): .

> Я бы сказал, что она зависит от t f(x,y,z,t). При этом |f(t)|=const, а вектор поворачивается т.е. не const. Т.е. полная аналогия с полем скоростей тела при вращении.

Нет. Вы не понимаете, что такое функция нескольких переменных, что уж говорить про её производные?
И Вы не понимаете, что такое поле.

> > Что Вы хотите подразумевать под производеной от времени от неё?
> То же, что и все. Например, в формуле для силы Лоренца пишут:
> Е=-grad φ - dA/dt.

Грубая ошибка. Здесь пишут . Почувствуйте разницу.

> Я хочу понимать производную в том же смысле.

Тогда тождественный 0.

> Выше я привел доказательство, что dj/dt≠0.

Поскольку Вы не понимаете разницы между частной производной по времени и лагранжевой по нему же...

> Вы с ним согласны?, или укажите, пожалуйста, где ошибка.

Вы не понимаете, что хотите доказать.

> > Без прояснения этих вопросов ответа на Вашу просьбу дать нельзя.

Ну и как будем?


> Нет. Скорость _данного_ элемента жидкости не зависит от координат, а зависит только от времени.
Не совсем ведь правда...
И Agus (да-да-да) к этому привяжется обязательно...

> Не путайте с обыкновенной, хотя буковки те же!
Так ведь разные буковки?

> > Не понял, почему "исключительно от пространственных координат".
> По определению. Значение плотности тока в данной точке от времени _не зависит_.
Под словами "не зависит" можно понимать "не является функцией", а можно "является константой по отношению к параметру". У меня ощущение, что происходит небольшая терминологическая путаница. Можно написать j(t,x,y,z). Просто при изменении параметра t поле не изменяется. Под частной производной подразумевается именно производная, связанная с изменением этого параметра.

> Ну и как будем?

Добавлю ещё, что смысл частной производной зависит от того, какие параметры мы считаем изменяющимися, а какие -- нет. Иногда взаимозависимость между параметрами может быть очень сложной, например в термодинамике. В этом случае приходится четко оговаривать какие переменные могут меняться, а какие могут оставаться постоянными. В электродинамике таких сложностей, разумеется, нет.


> > Нет. Скорость _данного_ элемента жидкости не зависит от координат, а зависит только от времени.
> Не совсем ведь правда...
> И Agus (да-да-да) к этому привяжется обязательно...

Т.е. Вы (или прогнозируемый Agus) считаете, что в механике скорость тела есть функция координат, а не времени? Не скажу, что неправильно, однако...

> > Не путайте с обыкновенной, хотя буковки те же!
> Так ведь разные буковки?

С какой стати? Именно одинаковые: .

> > > Не понял, почему "исключительно от пространственных координат".
> > По определению. Значение плотности тока в данной точке от времени _не зависит_.
> Под словами "не зависит" можно понимать "не является функцией", а можно "является константой по отношению к параметру". У меня ощущение, что происходит небольшая терминологическая путаница. Можно написать j(t,x,y,z). Просто при изменении параметра t поле не изменяется. Под частной производной подразумевается именно производная, связанная с изменением этого параметра.

В контексте данного разговора (вычисление производной) это _одно и тоже_. Так что не вижу смысла разводить философию Можно ещё в аргументы котировку акций на Гонконгской бирже приписать. Или температуру Красного пятна на Юпитере. Вы же понимаете, что NN (Agus) пока не понимает гораздо больший примитив.

> > Ну и как будем?

> Добавлю ещё, что смысл частной производной зависит от того, какие параметры мы считаем изменяющимися, а какие -- нет. Иногда взаимозависимость между параметрами может быть очень сложной, например в термодинамике. В этом случае приходится четко оговаривать какие переменные могут меняться, а какие могут оставаться постоянными. В электродинамике таких сложностей, разумеется, нет.

Да. Вот Арнольд называет это понятие "удручающе неинвариантным".


> > Спасибо за ответ.
> > > > Уважаемые знатоки! (в шапках и без них :-)
> > > > За 10 дней я не получил убедительно аргументированного ответа на
> > > > Сообщение №61436 от NN , 16 марта 2010 г.Кто умеет дифференцировать А ?

> > > Что может быть убедительным для Вас в предполагаемых ответах, если Вы не знаете, что такое производная?
> > :-)))

> Я не шутил. Это важный вопрос.

> > > > Поскольку, как верно пишет PapaKarlo,

> > > > > Компоненты векторного потенциала получаются путем интегрирования плотности тока:

> > > > >

> > > > > где - компонента плотности тока в точке, определяемой вектором .
> > > > вопрос про A тесно связан с вопросом про j .

> > > > Давайте рассмотрим этот, более простой вопрос про j.
> > > > Пусть по кольцу течет постоянный ток j.
> > > > Элемент jdv имеет скорость V и ускорение dV/dt, направленное по радиусу кольца.
> > > > Поэтому вектор dj/dt тоже направлен по радиусу и не равен 0.
> > > > Ведь j=neV.
> > > > e-элементарный заряд, n-число этих зарядов в dv, dv-физически малый объем.
> > > > dj/dt = d(neV)/dt = ne dV/dt ≠0.
> > > > Поэтому ответ PapaKarlo (=0) кажется мне неправильным.
> > > > Какие будут мнения?
> > > > Рассудите нас люди!:)

> > > > P.S.И ответ PapaKarlo на второй вопрос, по моему, тоже неправильный по той же причине.
> > > > > > > > 2.А если ток I линейно возрастает, будет у dA/dt радиальная проекция?

> > > > > Для идеального соленоида в некоторой точке перпендикулярен радиус-вектору точки, а модуль его пропорционален силе тока через соленоид. Пусть за время сила тока увеличилась на . Как это повлияет на изменение направления ? Никак. Поэтому радиальная проекция не появится.
> > > > Никак - неправильно. Вектор повернется.

> > > Вектор скорости отдельного элемента есть вектор-функция исключительно времени: .
> > Не понял, почему исключительно времени. Элемент движется и меняются его координаты.
> > Скажем, если это элемент жидкости, то функция зависит от координат.

> Нет. Скорость _данного_ элемента жидкости не зависит от координат, а зависит только от времени. Вот в чисто механической задаче вращения тела по окружности разве скорость тела зависит от координаты? Подумайте.

Думаю: элемент dv переместился за dt и его вектор скорости повернулся на dφ.
Производная равна ускорению ≠0.
Согласен, что можно сказать, что скорость этого конкретного элемента не зависит от координат ибо мы их зафиксировали,когда выбрали этот элемент. Но если мы говорим не о конкретном элементе, а о поле скоростей всех элементов (векторном поле), то оно зависит от координат и от t.
Так?
> в чисто механической задаче вращения тела по окружности разве скорость тела зависит от координаты?
Конечно, зависит. Если тело переместилось в новое место, его вектор скорости повернулся.
Другая координата - другой угол. Зависимость очевидна.
Не пойму, почему Вы ее не видите.

> > > Под её производной по времени подразумевается .
> > Да.
> > > Плотность тока в кольце в общем случае есть вектор-функция и времени, и координат: .
> > Да.
> > > Что Вы хотите подразумевать под производной от неё по времени?
> > Я хочу подразумевать то, что все подразумевают.

> Вот здесь мы упираемся в мой вопрос, на которой Вы не ответили, а написали смайлик.
> В разных обстоятельствах разные люди подразумевают разное. Например, можно подразумевать
> . Это называют _частной_ производной по времени и обозначают .
Да. Я присоединяюсь к этим людям.
> А можно записать плотность тока в системе отсчёта, двигающейся вместе электронной жидкостью (т.е. со скоростью ): , и тогда используют понятие _субстанциональной_ (или лагранжевой) производной . Не путайте с обыкновенной, хотя буковки те же!
Чтобы не путаться пока о ней забудем. А раз буковки те же, то люди, которые их пишут, должны предупреждать про лагр.
> > > В Вашем частном случае это вектор-функция исключительно от пространственных координат: .
> > Не понял, почему "исключительно от пространственных координат".

> По определению. Значение плотности тока в данной точке от времени _не зависит_.
Ну хоть убей, не понимаю! По какому определению?
Мы же рассмотрели выше пример со скоростью элемента и выяснили, что вектор скорости
зависит от t (поворачивается).
Я еще раз прошу указать ошибку в моем доказательстве, что вектора j и V - близнецы-братья.

> Для того, чтобы вычислить значение плотности тока в любой точке в любой момент времени нужно задать только координаты. Если плотность тока внутри кольца постоянна, то это следующая вектор-функция (внутри кольца же): .

> > Я бы сказал, что она зависит от t f(x,y,z,t). При этом |f(t)|=const, а вектор поворачивается т.е. не const. Т.е. полная аналогия с полем скоростей тела при вращении.

> Нет. Вы не понимаете, что такое функция нескольких переменных, что уж говорить про её производные?
> И Вы не понимаете, что такое поле.
Возможно так. Ну так поясните, в чем я заблуждаюсь.
> > > Что Вы хотите подразумевать под производеной от времени от неё?
> > То же, что и все. Например, в формуле для силы Лоренца пишут:
> > Е=-grad φ - dA/dt.

> Грубая ошибка. Здесь пишут . Почувствуйте разницу.
Хорошо. Я ошибся в обозначениях. Но имел ввиду частную производную.
> > Я хочу понимать производную в том же смысле.

> Тогда тождественный 0.
Почему?
> > Выше я привел доказательство, что dj/dt≠0.

> Поскольку Вы не понимаете разницы между частной производной по времени и лагранжевой по нему же...

> > Вы с ним согласны?, или укажите, пожалуйста, где ошибка.

> Вы не понимаете, что хотите доказать.

> > > Без прояснения этих вопросов ответа на Вашу просьбу дать нельзя.

> Ну и как будем?

Конечно, будем.
Я,кажется, начинаю догадываться, что Вы хотите сказать:
ускорение - это не частная производная по времени, а лагранжева?
Хорошо бы сравнить вращение обруча и движение тока по окружности.
Почему у обруча есть ускорение, а у тока (как я вас понял) нет.


> > к этому привяжется обязательно...
Ч.т.д. смотрите сами...

> Т.е. Вы (или прогнозируемый Agus) считаете, что в механике скорость тела есть функция координат, а не времени?
> Можно ещё в аргументы котировку акций на Гонконгской бирже приписать. Или температуру Красного пятна на Юпитере.
Я о том-же. Я хочу сказать, не

> > > Не путайте с обыкновенной, хотя буковки те же!
> > Так ведь разные буковки?
> С какой стати? Именно одинаковые: .
Неправильно вас понял. Извиняюсь.


> Так что не вижу смысла разводить философию. Вы же понимаете, что NN (Agus) пока не понимает гораздо больший примитив.

Так о том и речь, что Agus сейчас, как обычно, начнет "разводить философию". Делать это, как вы сами понимаете, можно до бесконечности. А если пытаться заставить его рассуждать формально. то он называет вас "математиком", полагая, что это жуткое оскорбление.

Попросите его (со мной он не разговаривает), например, расписать производные через пределы в своем "доказательстве".


> > > Спасибо за ответ.
> > > > > Уважаемые знатоки! (в шапках и без них :-)
> > > > > За 10 дней я не получил убедительно аргументированного ответа на
> > > > > Сообщение №61436 от NN , 16 марта 2010 г.Кто умеет дифференцировать А ?

> > > > Что может быть убедительным для Вас в предполагаемых ответах, если Вы не знаете, что такое производная?
> > > :-)))

> > Я не шутил. Это важный вопрос.

Вы не отвечаете. Так не пойдёт. Если и в следующем послании не ответите, переписку прекращу.

> > > > > Поскольку, как верно пишет PapaKarlo,

> > > > > > Компоненты векторного потенциала получаются путем интегрирования плотности тока:

> > > > > >

> > > > > > где - компонента плотности тока в точке, определяемой вектором .
> > > > > вопрос про A тесно связан с вопросом про j .

> > > > > Давайте рассмотрим этот, более простой вопрос про j.
> > > > > Пусть по кольцу течет постоянный ток j.
> > > > > Элемент jdv имеет скорость V и ускорение dV/dt, направленное по радиусу кольца.
> > > > > Поэтому вектор dj/dt тоже направлен по радиусу и не равен 0.
> > > > > Ведь j=neV.
> > > > > e-элементарный заряд, n-число этих зарядов в dv, dv-физически малый объем.
> > > > > dj/dt = d(neV)/dt = ne dV/dt ≠0.
> > > > > Поэтому ответ PapaKarlo (=0) кажется мне неправильным.
> > > > > Какие будут мнения?
> > > > > Рассудите нас люди!:)

> > > > > P.S.И ответ PapaKarlo на второй вопрос, по моему, тоже неправильный по той же причине.
> > > > > > > > > 2.А если ток I линейно возрастает, будет у dA/dt радиальная проекция?

> > > > > > Для идеального соленоида в некоторой точке перпендикулярен радиус-вектору точки, а модуль его пропорционален силе тока через соленоид. Пусть за время сила тока увеличилась на . Как это повлияет на изменение направления ? Никак. Поэтому радиальная проекция не появится.
> > > > > Никак - неправильно. Вектор повернется.

> > > > Вектор скорости отдельного элемента есть вектор-функция исключительно времени: .
> > > Не понял, почему исключительно времени. Элемент движется и меняются его координаты.
> > > Скажем, если это элемент жидкости, то функция зависит от координат.

> > Нет. Скорость _данного_ элемента жидкости не зависит от координат, а зависит только от времени. Вот в чисто механической задаче вращения тела по окружности разве скорость тела зависит от координаты? Подумайте.

> Думаю: элемент dv переместился за dt и его вектор скорости повернулся на dφ.
> Производная равна ускорению ≠0.
> Согласен, что можно сказать, что скорость этого конкретного элемента не зависит от координат ибо мы их зафиксировали,когда выбрали этот элемент. Но если мы говорим не о конкретном элементе, а о поле скоростей всех элементов (векторном поле), то оно зависит от координат и от t.
> Так?

Нет. "Поле скоротей" всех элементов так же стационарно и не зависит от времени, как и ток в кольце.

> > в чисто механической задаче вращения тела по окружности разве скорость тела зависит от координаты?
> Конечно, зависит. Если тело переместилось в новое место, его вектор скорости повернулся.

_Его_ вектор скорости. Но не вектор скорости _в данной точке_. Т.е. вектор скорости как функция пространственных координат от времени не зависит.

> Другая координата - другой угол. Зависимость очевидна.
> Не пойму, почему Вы ее не видите.

Это Вы не видите, по-видимому, будучи введённым в заблуждение "физическим" пониманием, что это именно скорость. Понимаете, производная - математичекая операция и применяется к математическим объектам, что требует подчёркнутой строгости в жонглировании терминами.
Что такое "поле" (в данном контексте)? Это, грубо говоря, скалярная, векторная или тензорная (да хоть спинорная и т.д.) функция пространственных координат. Т.е. имеется некоторая скалярная, векторная или... величина, принимающая какие-то значения в каждой точке данной области пространства. Если эта величина не меняется со временем ни в одной точке, то поле называют стационарным и говорят, что оно от времени не зависит. От него берут всяческие частные производные. При этом в другой системе координат (например, движущейся относительно первой) поле уже может быть нестационарным и зависящим от времени, так что производные здесь будут другими.


> > > > Под её производной по времени подразумевается .
> > > Да.
> > > > Плотность тока в кольце в общем случае есть вектор-функция и времени, и координат: .
> > > Да.
> > > > Что Вы хотите подразумевать под производной от неё по времени?
> > > Я хочу подразумевать то, что все подразумевают.

> > Вот здесь мы упираемся в мой вопрос, на которой Вы не ответили, а написали смайлик.
> > В разных обстоятельствах разные люди подразумевают разное. Например, можно подразумевать
> > . Это называют _частной_ производной по времени и обозначают .
> Да. Я присоединяюсь к этим людям.

Ну так и посчитайте по этой формуле.

> > А можно записать плотность тока в системе отсчёта, двигающейся вместе электронной жидкостью (т.е. со скоростью ): , и тогда используют понятие _субстанциональной_ (или лагранжевой) производной . Не путайте с обыкновенной, хотя буковки те же!
> Чтобы не путаться пока о ней забудем. А раз буковки те же, то люди, которые их пишут, должны предупреждать про лагр.

Пишут для понимающих. Или Вы хотите, чтобы научные статьи писались для неграмотных? В учебниках предупреждают.

> > > > В Вашем частном случае это вектор-функция исключительно от пространственных координат: .
> > > Не понял, почему "исключительно от пространственных координат".

> > По определению. Значение плотности тока в данной точке от времени _не зависит_.
> Ну хоть убей, не понимаю! По какому определению?

Ещё раз. Выберем точку внутри кольца. Как зависит в этой точке (обозначаемой ) от времени?

> Мы же рассмотрели выше пример со скоростью элемента и выяснили, что вектор скорости
> зависит от t (поворачивается).
> Я еще раз прошу указать ошибку в моем доказательстве, что вектора j и V - близнецы-братья.

- это поле. В любой фиксированной точке со временем не меняется. - это вектор скорости _данного тела_. При движении того по окружности со временем меняется, тело при этом также меняет своё местоположение. Говорить про "поле скоростей" данного тела нельзя, ибо в каждый данный момент времени оно находится во всего одной точке. В других точках никакой скорости нет. "Поле тока" можно вводить потому, что его составляют разные электроны, находящиеся во всех точках кольца. Значение этого поля в данный момент времени представляют собой скорости _разных_ электронов.

> > Для того, чтобы вычислить значение плотности тока в любой точке в любой момент времени нужно задать только координаты. Если плотность тока внутри кольца постоянна, то это следующая вектор-функция (внутри кольца же): .

> > > Я бы сказал, что она зависит от t f(x,y,z,t). При этом |f(t)|=const, а вектор поворачивается т.е. не const. Т.е. полная аналогия с полем скоростей тела при вращении.

> > Нет. Вы не понимаете, что такое функция нескольких переменных, что уж говорить про её производные?
> > И Вы не понимаете, что такое поле.
> Возможно так. Ну так поясните, в чем я заблуждаюсь.

Уже пояснил много раз. Вы не понимаете. Это ошибка - пытаться понять следствия, не понимая определений.

> > > > Что Вы хотите подразумевать под производеной от времени от неё?
> > > То же, что и все. Например, в формуле для силы Лоренца пишут:
> > > Е=-grad φ - dA/dt.

> > Грубая ошибка. Здесь пишут . Почувствуйте разницу.
> Хорошо. Я ошибся в обозначениях. Но имел ввиду частную производную.
> > > Я хочу понимать производную в том же смысле.

> > Тогда тождественный 0.
> Почему?

По определению. В числителе предела стоит тождественный 0. Его предел тоже 0.

> > > Выше я привел доказательство, что dj/dt≠0.

> > Поскольку Вы не понимаете разницы между частной производной по времени и лагранжевой по нему же...

> > > Вы с ним согласны?, или укажите, пожалуйста, где ошибка.

> > Вы не понимаете, что хотите доказать.

> > > > Без прояснения этих вопросов ответа на Вашу просьбу дать нельзя.

> > Ну и как будем?

> Конечно, будем.

Для того, чтобы было, ответьте на вопрос вверху. Что может быть для Вас убедительным? Фактически Вы желаете, чтобы Вам объяснили что-то на японском языке, которого Вы не знаете. Как Вы собираетесь решать, поняли ли и что?

> Я,кажется, начинаю догадываться, что Вы хотите сказать:
> ускорение - это не частная производная по времени, а лагранжева?

Для данного электрона (элемента электронной жидкости) - да.

> Хорошо бы сравнить вращение обруча и движение тока по окружности.
> Почему у обруча есть ускорение, а у тока (как я вас понял) нет.

У обруча нет. Да и, кстати, я вообще не знаю такого термина (в данном контексте) - ускорение обруча. У каждого его элемента - есть.


Большое спасибо за ответ.
Теперь понял.
Радиальная проекция не появится.
Можно ли задать Вам вопрос по e-mail?


Фиксирую.


> Фиксирую.
Напрасно. Вопрос:
> Что может быть убедительным для Вас в предполагаемых ответах, если Вы не знаете, что такое производная?
сначала я воспринял как риторический, как вступление ко второй его части.
(Кстати, Вы не находите, что эта 2-ая часть несколько утрирует ситуацию:
точнее было бы "что такое лагранжева производная").
Я признаю, что не знал, что скорость это лагранжева производная и Вы меня просветили.
А что касается собственно вопроса, то ответ очевиден.
Для человека, который не знает, что такое лагранжева производная, убедительным будет ее разъяснение. Вы его дали и за это большое спасибо. Но ответ очевиден для того, кто видит этот пробел, а сам человек, который пробела не видит, точно ответить на этот вопрос не может.
Поэтому непонятно, какого ответа Вы добиваетесь.
Я в ответном тесте писал так: убедительным было бы показать ошибку в моем доказательстве.
Но дойдя в ответах до конца и прочитав все еще раз, я понял свою ошибку.
Я стер ответ и послал благодарность, что Ваши труды увенчались успехом.
Вы это хотели услышать, или я упустил что-то еще?


> > Фиксирую.
> Напрасно. Вопрос:
> > Что может быть убедительным для Вас в предполагаемых ответах, если Вы не знаете, что такое производная?
> сначала я воспринял как риторический, как вступление ко второй его части.
> (Кстати, Вы не находите, что эта 2-ая часть несколько утрирует ситуацию:
> точнее было бы "что такое лагранжева производная").
> Я признаю, что не знал, что скорость это лагранжева производная и Вы меня просветили.
> А что касается собственно вопроса, то ответ очевиден.
> Для человека, который не знает, что такое лагранжева производная, убедительным будет ее разъяснение. Вы его дали и за это большое спасибо. Но ответ очевиден для того, кто видит этот пробел, а сам человек, который пробела не видит, точно ответить на этот вопрос не может.

Этот человек должен взять на себя труд и изучить те вещи, на которые ему указывают. А не сидеть, сложа ручки, прося: "Объясните мне, объясните". Не философствовать надо, а производные считать. Хотите посоветую задачники и проверю решения?
А Вы поняли, что лагранжева производная - это тоже частная производная по времени? В некоторых книжках её так и пишут: . И как тогда по-Вашему отличают от "стандартной"?

> Поэтому непонятно, какого ответа Вы добиваетесь.

Дело в том, что Вы не знаете, что такое производная вообще. И, соответственно, не можете разобраться в разных её типах. Поэтому лично мне не понятно, что Вы вкладываете в слова "Вы меня просветили". Откуда Вы знаете, что поняли? Вам так показалось? Но можно ли доверять ощущениям не владеющего материалом субъекта?

> Я в ответном тесте писал так: убедительным было бы показать ошибку в моем доказательстве.

Но если Вы не умеете считать производные, что может являться для Вас убедительным? Та ошибка, которую Вы признали? Но откуда Вы знаете, что признали её правильно?
Если человек не различает красное и синее - например, просто слепой, убедительно ли для него, что его ошибка в том, что он нажал на красную кнопку вместо синей? А если он не знает, что такое кнопка и путает её с тумблером? Допустим, он скажет: "Ага, надо было нажать на синюю конопку!". Где гарантия, что он понял? Что такое цвет для слепого?

> Но дойдя в ответах до конца и прочитав все еще раз, я понял свою ошибку.

Совсем в этом не уверен.

> Я стер ответ и послал благодарность, что Ваши труды увенчались успехом.

Меня не интересуют благодарности. А вот эффективность разъяснения интересует.

> Вы это хотели услышать, или я упустил что-то еще?

Ну например, Вы могли сказать: "Я понял, что такое лагранжева производная, вот могу продемонстрировать - посчитал её для того-то и того-то".


> Хотите посоветую задачники и проверю решения?
Это очень глобально - несколько задачников умножить на число задач =
Давайте начнем с одной и не очень сложной.
> А Вы поняли, что лагранжева производная - это тоже частная производная по времени? В некоторых книжках её так и пишут: . И как тогда по-Вашему отличают от "стандартной"?
Конечно, я не готов обсуждать ее тонкости и должен про нее почитать.
Но я понял главное, что меня интересовало: почему у ∂А/∂t нет радиальной проекции.
> Дело в том, что Вы не знаете, что такое производная вообще.
Повторюсь, на мой взгляд, это сильное преувеличение.
Но у Вас есть повод и право так думать.
> Но если Вы не умеете считать производные, что может являться для Вас убедительным?
И это сильное преувеличение.
Вы не могли бы предположить, что с функцией одной переменной я справлюсь? :)
> Та ошибка, которую Вы признали? Но откуда Вы знаете, что признали её правильно?
У меня есть физические соображения, что не должно быть радиальной проекции
в моем примере, а по моим рассуждениям она напрашивалась.
> А вот эффективность разъяснения интересует.
Я готов попробовать решить, предложенную Вами задачу, но не обещаю, что это будет завтра.
> > Вы это хотели услышать, или я упустил что-то еще?
> Ну например, Вы могли сказать: "Я понял, что такое лагранжева производная, вот могу продемонстрировать - посчитал её для того-то и того-то".
В данный момент я этого сказать не могу. Но я собираюсь почитать на эту тему, что найду.
Р.S. А e-mail дадите?


Что ж, изучайте, это правильно.

> Р.S. А e-mail дадите?

Нет. Я не даю его на форумах.


> Что ж, изучайте, это правильно.
А где же задача для начала?
> > Р.S. А e-mail дадите?
> Нет. Я не даю его на форумах.
Можно послать на nnbox@mail.ru
Я думаю моя информация будет Вам интересна.


> > Что ж, изучайте, это правильно.
> А где же задача для начала?

Я, вроде бы, говорил про задачники. Ну хорошо.
Представим себе одномерное движение газа в области между двумя стенками, описываемоё стандартными уравнениями

Осуществите в них переход от обычных перменных к т.н. массовым переменным , где . Меня интересует не только ответ, но все выкладки.

> > > Р.S. А e-mail дадите?
> > Нет. Я не даю его на форумах.
> Можно послать на nnbox@mail.ru
> Я думаю моя информация будет Вам интересна.

"На форумах" - значит, и в их кулуарах тоже.


> Представим себе одномерное движение газа в области между двумя стенками, описываемоё стандартными уравнениями

> Осуществите в них переход от обычных перменных к т.н. массовым переменным , где . Меня интересует не только ответ, но все выкладки.

Я собирался дифференцировать. Газ двигать мне не приходилось :-). Но попробую:
Из (3)

и сокращаем ρ :


> > Представим себе одномерное движение газа в области между двумя стенками, описываемоё стандартными уравнениями
>
> > Осуществите в них переход от обычных перменных к т.н. массовым переменным , где . Меня интересует не только ответ, но все выкладки.

> Я собирался дифференцировать. Газ двигать мне не приходилось :-). Но попробую:
> Из (3)
>
> и сокращаем ρ :
>

Увы, неправильно . Следует так.
Переход (штрих у "нового" времени, чтобы не путаться в последующих формулах), где .
По стандартным правилам

А вот теперь надо подставить и получить. Обратите внимание, что Ваша ошибка в том, что посчитали неизменной частную производную по времени. Да, мы не изменили время, а изменили вторую координату, но частная производная модифицировалась! В этом большое ехидство сего понятия.

Жду новой попытки.


> Обратите внимание, что Ваша ошибка в том, что посчитали неизменной частную производную по времени. Да, мы не изменили время, а изменили вторую координату, но частная производная модифицировалась!

Я не могу понять, почему, если мы t не меняли, то может измениться частная производная.
Мне кажется такое невозможным.
Где про это можно почитать (лучше в интернете).


> > Обратите внимание, что Ваша ошибка в том, что посчитали неизменной частную производную по времени. Да, мы не изменили время, а изменили вторую координату, но частная производная модифицировалась!

> Я не могу понять, почему, если мы t не меняли, то может измениться частная производная.
> Мне кажется такое невозможным.
> Где про это можно почитать (лучше в интернете).

Такова специфика частных производных. Собственно, я уже Вам писал про это. Рассмотрим функцию . Частная производная от неё по времени описывает скорость её изменения при изменении и _неизменном_ . С другой стороны, при замене и представлении этой функции как частная производная по времени есть по-прежнему мера скорости изменения во времени при неизменном , т.е. уже _переменном_ !
Смотреть можно в любом учебнике по матанализу, например, в Фихтенгольце. Есть сайт http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm , там есть библиотека книг по математике...


> > > Представим себе одномерное движение газа в области между двумя стенками, описываемоё стандартными уравнениями
> >
> > > Осуществите в них переход от обычных перменных к т.н. массовым переменным , где . Меня интересует не только ответ, но все выкладки.

> > Я собирался дифференцировать. Газ двигать мне не приходилось :-). Но попробую:
> > Из (3)
> >
> > и сокращаем ρ :
> >

> Увы, неправильно . Следует так.
> Переход (штрих у "нового" времени, чтобы не путаться в последующих формулах), где .
> По стандартным правилам
>
> А вот теперь надо подставить и получить. Обратите внимание, что Ваша ошибка в том, что посчитали неизменной частную производную по времени. Да, мы не изменили время, а изменили вторую координату, но частная производная модифицировалась! В этом большое ехидство сего понятия.

> Жду новой попытки.
Спасибо. Вроде, так получается:

и сокращаем :


> > > > Представим себе одномерное движение газа в области между двумя стенками, описываемоё стандартными уравнениями
> > >
> > > > Осуществите в них переход от обычных перменных к т.н. массовым переменным , где . Меня интересует не только ответ, но все выкладки.

> > > Я собирался дифференцировать. Газ двигать мне не приходилось :-). Но попробую:
> > > Из (3)
> > >
> > > и сокращаем ρ :
> > >

> > Увы, неправильно . Следует так.
> > Переход (штрих у "нового" времени, чтобы не путаться в последующих формулах), где .
> > По стандартным правилам
> >
> > А вот теперь надо подставить и получить. Обратите внимание, что Ваша ошибка в том, что посчитали неизменной частную производную по времени. Да, мы не изменили время, а изменили вторую координату, но частная производная модифицировалась! В этом большое ехидство сего понятия.

> > Жду новой попытки.
> Спасибо. Вроде, так получается:
> \frac{\partial\rho}{\partial t}-v\rho\,\frac{\partial \rho}{\partial m}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial m}\rho=0,\qquad
> \frac{\partial\rho}{\partial t} -v\rho\,\frac{\partial \rho}{\partial m}+v\rho\,\frac{\partial \rho}{\partial m}+\frac{\partial v}{\partial m}\rho^2=0
> ">
> и сокращаем :
> \frac{\partial\rho}{\partial t} +\frac{\partial v}{\partial m}\rho^2=0
> ">

Теперь всё правильно
Последнюю формулу иногда перписывают для "удельного объёма" :
.
Массовые координаты - одни из самых распространённых лагранжевых координат. Нетрудно видеть, что субстанциональная производная - это фактически частная производная по времени в сопутствующей (лагранжевой) системе координат, отличающая от эйлеровой модификацией _фиксируемых_ пространственных координат. Иногда, чтобы подчеркнуть, пишут так: - эйлерова частная производная (при фиксированных координатах в лабораторной СО) и (или , где - начальная координата жидких частиц) - лагранжева (при фиксированных координатах в сопутствующей СО).
В гидродинамике обычно (по форме записи других производных в уравнениях) и без такой предосторожности путаницы не возникает, а вот скажем в термодинамике без индексов фиксируемых переменных обойтись невозможно - слишком много вариантов.


> Массовые координаты - одни из самых распространённых лагранжевых координат. Нетрудно видеть, что субстанциональная производная - это фактически частная производная по времени в сопутствующей (лагранжевой) системе координат, отличающая от эйлеровой модификацией _фиксируемых_ пространственных координат. Иногда, чтобы подчеркнуть, пишут так: - эйлерова частная производная (при фиксированных координатах в лабораторной СО) и (или , где - начальная координата жидких частиц) - лагранжева (при фиксированных координатах в сопутствующей СО).
> В гидродинамике обычно (по форме записи других производных в уравнениях) и без такой предосторожности путаницы не возникает, а вот скажем в термодинамике без индексов фиксируемых переменных обойтись невозможно - слишком много вариантов.

Спасибо за мастер-класс.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100