Среднее число частиц в квантовой системе

Сообщение №57382 от Et 12 декабря 2008 г. 15:14
Тема: Среднее число частиц в квантовой системе

Вопрос такой.

Имеется квантовая система с дискретным спектром. Спектр начинается с нулевого значения энергии (за начало отсчета выбран уровень основного состояния). Уровни системы нумеруются квантовым числом n=0,1,2,... и возрастают с ростом n. При n>0 уровни четырёхкратно вырождены, а уровень с n=0 двухкратно.

Рассмотрим теперь случай ферми-системы при нулевой температуре. Согласно статистике Ферми-Дирака при отрицательном химическом потенциале среднее число частиц в системе равно 0. При химическом потенциале, совпадающем с уровнем n=0 (т.е. нулевом химическом потенцмале), в системе имеется 1 частица (подразумевается здесь и далее среднее статистическое число частиц). При химическом потенциале, лежащем между n=0 и n=1 имеется 2 частицы. При химическом потенциале, совпадающем с уровнем с n=1, имеется 4 частицы. При химическом потенциале между n=1 и n=2 имеется 6 частиц. При химическом потенциале равном энергии уровня с n=2 имеется 8 частиц и т.д.

Получается что при нулевой температуре и при положительном химическом потенциале система допускает только четное среднее число частиц. В чем физическая причина этого? Ведь при конечных температурах среднее число частиц может быть любым (в частности четным и нечетным), так как при конечных температурах оно является непрерывной функцией химического потенциала. Что же такое происходит при нулевой температуре с четностью среднего числа частиц в данной системе?

Заранее благодарю за ответы.


Отклики на это сообщение:

> Вопрос такой.

> Имеется квантовая система с дискретным спектром. Спектр начинается с нулевого значения энергии (за начало отсчета выбран уровень основного состояния). Уровни системы нумеруются квантовым числом n=0,1,2,... и возрастают с ростом n. При n>0 уровни четырёхкратно вырождены, а уровень с n=0 двухкратно.

> Рассмотрим теперь случай ферми-системы при нулевой температуре. Согласно статистике Ферми-Дирака при отрицательном химическом потенциале среднее число частиц в системе равно 0. При химическом потенциале, совпадающем с уровнем n=0 (т.е. нулевом химическом потенцмале), в системе имеется 1 частица (подразумевается здесь и далее среднее статистическое число частиц). При химическом потенциале, лежащем между n=0 и n=1 имеется 2 частицы. При химическом потенциале, совпадающем с уровнем с n=1, имеется 4 частицы. При химическом потенциале между n=1 и n=2 имеется 6 частиц. При химическом потенциале равном энергии уровня с n=2 имеется 8 частиц и т.д.

> Получается что при нулевой температуре и при положительном химическом потенциале система допускает только четное среднее число частиц. В чем физическая причина этого? Ведь при конечных температурах среднее число частиц может быть любым (в частности четным и нечетным), так как при конечных температурах оно является непрерывной функцией химического потенциала. Что же такое происходит при нулевой температуре с четностью среднего числа частиц в данной системе?

> Заранее благодарю за ответы.

Ну, наверно, статистика определяет среднее число частиц в данном состоянии при условии наличия этих частиц. При 0 градусов, частицы заполяют самые низшие доступные энергетические состояния, т.е. при наличии частицы, она с вероятностью 100 процентов займет состояние, а если ее нет, то, естественно, не займет.


> > Вопрос такой.

> > Имеется квантовая система с дискретным спектром. Спектр начинается с нулевого значения энергии (за начало отсчета выбран уровень основного состояния). Уровни системы нумеруются квантовым числом n=0,1,2,... и возрастают с ростом n. При n>0 уровни четырёхкратно вырождены, а уровень с n=0 двухкратно.

> > Рассмотрим теперь случай ферми-системы при нулевой температуре. Согласно статистике Ферми-Дирака при отрицательном химическом потенциале среднее число частиц в системе равно 0. При химическом потенциале, совпадающем с уровнем n=0 (т.е. нулевом химическом потенцмале), в системе имеется 1 частица (подразумевается здесь и далее среднее статистическое число частиц). При химическом потенциале, лежащем между n=0 и n=1 имеется 2 частицы. При химическом потенциале, совпадающем с уровнем с n=1, имеется 4 частицы. При химическом потенциале между n=1 и n=2 имеется 6 частиц. При химическом потенциале равном энергии уровня с n=2 имеется 8 частиц и т.д.

> > Получается что при нулевой температуре и при положительном химическом потенциале система допускает только четное среднее число частиц. В чем физическая причина этого? Ведь при конечных температурах среднее число частиц может быть любым (в частности четным и нечетным), так как при конечных температурах оно является непрерывной функцией химического потенциала. Что же такое происходит при нулевой температуре с четностью среднего числа частиц в данной системе?

> > Заранее благодарю за ответы.

> Ну, наверно, статистика определяет среднее число частиц в данном состоянии при условии наличия этих частиц. При 0 градусов, частицы заполяют самые низшие доступные энергетические состояния, т.е. при наличии частицы, она с вероятностью 100 процентов займет состояние, а если ее нет, то, естественно, не займет.

Я это понимаю. Мне не понятно другое. Допустим в данной системе число частиц известно и фиксировано. Пусть оно равно 5. Дальше я пользуюсь формулой из пятого тома ЛЛ. В издании 1976-го года это формула (53,3). Если считать, что при нулевой температуре в левой стороне этой формулы стоит ступенька (нуль при энергиях больших хим. пот. и единица при энергиях меньших хим. пот.), то при N=5 эта формула удовлетворена быть не может для данной системы. Отсюда следует, что в данной системе при нулевой температуре расределение Ферми-Дирака не может быть скачкообразной функцией между значениями 0 и 1. Тут видимо что-то интересное происходит. Я предполагаю, что при уменьшении температуры хим. пот. приближается к одному из энергетических уровней системы (определяемому числом частиц в системе; в нашем случае 5). При нулевой температуре он совпадает с этим уровнем причем это происходит таким образом, что функция Ферми-Дирака на этом энергетическом уровне приобретает какое-то (для нашей системы по видимому дробное) значение между 0 и 1. Правильно ли моё предположение?


> Я это понимаю. Мне не понятно другое. Допустим в данной системе число частиц известно и фиксировано. Пусть оно равно 5. Дальше я пользуюсь формулой из пятого тома ЛЛ. В издании 1976-го года это формула (53,3). Если считать, что при нулевой температуре в левой стороне этой формулы стоит ступенька (нуль при энергиях больших хим. пот. и единица при энергиях меньших хим. пот.), то при N=5 эта формула удовлетворена быть не может для данной системы.

Мне кажется, что вы не понимаете, что такое химический потенциал...
Химический потенциал определен для системы с переменным числом частиц, а вы зафиксировали N=5.


> > Я это понимаю. Мне не понятно другое. Допустим в данной системе число частиц известно и фиксировано. Пусть оно равно 5. Дальше я пользуюсь формулой из пятого тома ЛЛ. В издании 1976-го года это формула (53,3). Если считать, что при нулевой температуре в левой стороне этой формулы стоит ступенька (нуль при энергиях больших хим. пот. и единица при энергиях меньших хим. пот.), то при N=5 эта формула удовлетворена быть не может для данной системы.

> Мне кажется, что вы не понимаете, что такое химический потенциал...
> Химический потенциал определен для системы с переменным числом частиц, а вы зафиксировали N=5.

Я думаю, что стоит записать функцию распределения для пяти частиц. По идее, оно должно отличаться от стандартной экспоненты. Следует действовать в духе параграфа 55, но без формулы Стирлинга.


> > > Я это понимаю. Мне не понятно другое. Допустим в данной системе число частиц известно и фиксировано. Пусть оно равно 5. Дальше я пользуюсь формулой из пятого тома ЛЛ. В издании 1976-го года это формула (53,3). Если считать, что при нулевой температуре в левой стороне этой формулы стоит ступенька (нуль при энергиях больших хим. пот. и единица при энергиях меньших хим. пот.), то при N=5 эта формула удовлетворена быть не может для данной системы.

> > Мне кажется, что вы не понимаете, что такое химический потенциал...
> > Химический потенциал определен для системы с переменным числом частиц, а вы зафиксировали N=5.

Я не совсем правильно выразился.
Химический потенциал можно выбирать произвольным, если вы позволяете системе обмениваться частицами.

Если число частиц фиксировано, то фиксирован и химпотенциал. (По аналогии -- если зафиксирован объем, то фиксировано и давление.)

> Я думаю, что стоит записать функцию распределения для пяти частиц. По идее, оно должно отличаться от стандартной экспоненты. Следует действовать в духе параграфа 55, но без формулы Стирлинга.

Можно использовать и распределение Ферми-Дирака.
Просто μ фиксирован нормировкой


> > > > Я это понимаю. Мне не понятно другое. Допустим в данной системе число частиц известно и фиксировано. Пусть оно равно 5. Дальше я пользуюсь формулой из пятого тома ЛЛ. В издании 1976-го года это формула (53,3). Если считать, что при нулевой температуре в левой стороне этой формулы стоит ступенька (нуль при энергиях больших хим. пот. и единица при энергиях меньших хим. пот.), то при N=5 эта формула удовлетворена быть не может для данной системы.

> > > Мне кажется, что вы не понимаете, что такое химический потенциал...
> > > Химический потенциал определен для системы с переменным числом частиц, а вы зафиксировали N=5.

> Я не совсем правильно выразился.
> Химический потенциал можно выбирать произвольным, если вы позволяете системе обмениваться частицами.
> Если число частиц фиксировано, то фиксирован и химпотенциал. (По аналогии -- если зафиксирован объем, то фиксировано и давление.)

Безусловно. Но я не только про это.


> > Я думаю, что стоит записать функцию распределения для пяти частиц. По идее, оно должно отличаться от стандартной экспоненты. Следует действовать в духе параграфа 55, но без формулы Стирлинга.

> Можно использовать и распределение Ферми-Дирака.
> Просто μ фиксирован нормировкой
>

Если Вы посмотрите указанный параграф ("Неравновесные ферми- и бозе- газы"), то увидите, что стандартное распределение (с экспонентой) возникает только при числе частиц (и состояний) за счет формулы Стирлинга для факториала. Для конечного числа частиц (и состояний, причем здесь с обязательным учетом статвеса из-за энергетического вырождения) оно вроде бы должно быть другим (хотя 5 - достаточно много для адекватности сей формулы).
Вот например, для двух классических частиц с суммарной энергией (одночастичная) функция распределения ведь не максвелл , а .


> > > > Я это понимаю. Мне не понятно другое. Допустим в данной системе число частиц известно и фиксировано. Пусть оно равно 5. Дальше я пользуюсь формулой из пятого тома ЛЛ. В издании 1976-го года это формула (53,3). Если считать, что при нулевой температуре в левой стороне этой формулы стоит ступенька (нуль при энергиях больших хим. пот. и единица при энергиях меньших хим. пот.), то при N=5 эта формула удовлетворена быть не может для данной системы.

> > > Мне кажется, что вы не понимаете, что такое химический потенциал...
> > > Химический потенциал определен для системы с переменным числом частиц, а вы зафиксировали N=5.

> Я не совсем правильно выразился.
> Химический потенциал можно выбирать произвольным, если вы позволяете системе обмениваться частицами.

> Если число частиц фиксировано, то фиксирован и химпотенциал. (По аналогии -- если зафиксирован объем, то фиксировано и давление.)

> > Я думаю, что стоит записать функцию распределения для пяти частиц. По идее, оно должно отличаться от стандартной экспоненты. Следует действовать в духе параграфа 55, но без формулы Стирлинга.

> Можно использовать и распределение Ферми-Дирака.
> Просто μ фиксирован нормировкой
>

Я все-таки думаю, что я прав. В ЛЛ 5 в п. 35 сказано, что если в распределении Гиббса с переменным числом частиц зафиксировать N, то оно автоматически переходит в распределение Гиббса с постоянным числом частиц. Так и должно быть потому что из более общей формулы должен вытекать и частный случай. Выражается это в том, что при фиксации N хим. пот. перестает быть независимой переменной, а становится функцией температуры. Эта функция в неявной форме определяется формулой (53,3). Исходя из этого я и сделал мое предположение о поведении этой функции при стремлении температуры к нулю при нечетном N для данной системы. Если нет дробного скачка, то в данной системе невозможно иметь N=5 (например) при нулевой температуре.


> > > > > Я это понимаю. Мне не понятно другое. Допустим в данной системе число частиц известно и фиксировано. Пусть оно равно 5. Дальше я пользуюсь формулой из пятого тома ЛЛ. В издании 1976-го года это формула (53,3). Если считать, что при нулевой температуре в левой стороне этой формулы стоит ступенька (нуль при энергиях больших хим. пот. и единица при энергиях меньших хим. пот.), то при N=5 эта формула удовлетворена быть не может для данной системы.

> > > > Мне кажется, что вы не понимаете, что такое химический потенциал...
> > > > Химический потенциал определен для системы с переменным числом частиц, а вы зафиксировали N=5.

> > Я не совсем правильно выразился.
> > Химический потенциал можно выбирать произвольным, если вы позволяете системе обмениваться частицами.

> > Если число частиц фиксировано, то фиксирован и химпотенциал. (По аналогии -- если зафиксирован объем, то фиксировано и давление.)

> > > Я думаю, что стоит записать функцию распределения для пяти частиц. По идее, оно должно отличаться от стандартной экспоненты. Следует действовать в духе параграфа 55, но без формулы Стирлинга.

> > Можно использовать и распределение Ферми-Дирака.
> > Просто μ фиксирован нормировкой
> >

> Я все-таки думаю, что я прав. В ЛЛ 5 в п. 35 сказано, что если в распределении Гиббса с переменным числом частиц зафиксировать N, то оно автоматически переходит в распределение Гиббса с постоянным числом частиц. Так и должно быть потому что из более общей формулы должен вытекать и частный случай. Выражается это в том, что при фиксации N хим. пот. перестает быть независимой переменной, а становится функцией температуры. Эта функция в неявной форме определяется формулой (53,3). Исходя из этого я и сделал мое предположение о поведении этой функции при стремлении температуры к нулю при нечетном N для данной системы. Если нет дробного скачка, то в данной системе невозможно иметь N=5 (например) при нулевой температуре.

Это правильно, в вашей системе при T -> 0 μ стремится к некоторому уровню системы линейно при нечетном N.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100