КШМ1, уравнения движения?

Сообщение №56875 от Diman 23 ноября 2008 г. 14:11
Тема: КШМ1, уравнения движения?

День добрый!

Помогите составить дифференциальное уравнение движения для КШМ, только вместо кривошипа здесь диск на неподвижной оси.

Где,
Md - масса диска.
Mp - масса поршня.
L - длина шатуна.
R - радиус диска.

Массой шатуна пренебрегаем.


Отклики на это сообщение:

> День добрый!

> Помогите составить дифференциальное уравнение движения для КШМ, только вместо кривошипа здесь диск на неподвижной оси.
> Где,
> Md - масса диска.
> Mp - масса поршня.
> L - длина шатуна.
> R - радиус диска.
> Массой шатуна пренебрегаем.

Даны только размеры, масса, кинематическая схема. Остальные условия самим придумывать?
На схеме еще две силы нарисованы, два угла обозначены. Учитывать ли земное тяготение? F2 - cила сопротивления? Тогда нужно указать её формулу. F1 - постоянная сила или это просто сила тяжести поршня? Судя по рисунку, cила F1 то ускоряет движение, то тормозит, а F2 только тормозит и система совершит несколько затухающих колебаний. Начального положение и скорость тоже не указаны. Наверное, нужно составить уравнение энергии, а потом продифференциировать его по координате поршня, по скорости поршня и диска, потом еще раз дифференциировать по времени, чтобы получить формулу ускорения ( что и будет дифференциальным уравнением 2 порядка по механике Лагранжа). Физические характеристики даны символическими значениями, но не дано их соотношение (больше, меньше).


> День добрый!

> Помогите составить дифференциальное уравнение движения для КШМ, только вместо кривошипа здесь диск на неподвижной оси.

>

> Где,
> Md - масса диска.
> Mp - масса поршня.
> L - длина шатуна.
> R - радиус диска.

> Массой шатуна пренебрегаем.


1. Запишите выражение для кинетической энергии – через производные по времени x и β.
2. Выразите x через L, R и β по теореме косинусов. Продифференцируйте по времени, подставьте в кинетическую энергию.
3. Полученное выражение подставьте в уравнения Лагранжа.


По поводу дополнительных условий, решаем в самом общем виде с максимальными упрощениями.
Силой тяжести пренебрегаем, трением о воздух и т. д. тоже.
Начальные условия произвольные u(t=0)=u0, x(t=0)=x0, β(t=0)=β0.
F2=const. По поводу F1, вобще говоря произвольная функция, ну пусть будет

F1=const, при 0≤β≤π
F1=0, при π<β<2π

Выражение для кинетической энергии получается вот такое
Mp*u²+J*β²=2(F1*x-F2*R)
и уравнение связи
x=L+R-R*cosβ- √L²-R²*sin²β

Однако что-то мне подсказывает, нехватает чего-то здесь :)
Из одного только уравнения связи уже видно, что у нас поршень будет
в верхней мертвой точке и нижней мертвой точке иметь нулевую скорость.
А где же, если так можно выразиться, скользящий удар поршня об ось диска?
Не может в общем случае кинетическая энергия поршня в н.м.т. и в.м.т. всегда переходить
в энергию вращения диска. И исчезать она соответсвенно в никуда не может.
Должен быть удар, кинетическия энергия поршня в этих точках должна переходить
в нагрев оси диска (кстати и в нагрев оси соединения шатуна с диском и в соединении с поршнем
ну допустим этими потерями пренебрегем и будем считать, что все потери проиходят на оси диска).
И вобще что-то не верится, что КШМ может вращаться бесконечно в отсутсвие внешних сил
имея некоторую начальную полную энергию. Наверно только если удар в н.м.т. и в.м.т. происходит абсолютно упруго :)

Чем же дополнить уравнение для полной энергии?
Или может надо использовать несколько модифицированый подход?


неправильные выражения написал :)
вот так должно быть:
Заодно и с условиями стало более определнно.

ω-первая производная β по времени, т. е. угловая скорость диска.
В начальный момент времени:
скорость поршня u и угловая скорость диска ω равны нулю,
координата x поршня равна L+R-dx, где dx стремящаяся к нулю величина
Если бы x(t=0)=L+R, то поршень бы никуда не двинулся, уперся бы шатуном в диск, надо его
немного сместить на бесконечно малую велечину.

Mp*u²+J*ω²=2(F1*(L+R-x)-F2*R)
уравнение связи
x=Rcosβ+ √L²-R²sin²β


> Чем же дополнить уравнение для полной энергии?
> Или может надо использовать несколько модифицированый подход?

Ответы на оба вопроса Вы найдете в теме http://physics.nad.ru/rusboard/messages/46609.html , где Вы найдете, кроме этого еще и ссылку на мою программу Krivoship1, с помощью которой сможете проверить свои теоретические решения.
С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100