Шарик на спице-2

Сообщение №56627 от Kli-Gin 13 ноября 2008 г. 22:42
Тема: Шарик на спице-2

Гладкая спица может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной спице и проходящей через ее конец. На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения. С какой угловой скоростью ω(t) нужно вращать спицу, чтобы бусинка двигалась прямолинейно в лабораторной системе отсчета? Трения нет.


Отклики на это сообщение:

> Гладкая спица может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной спице и проходящей через ее конец. На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения. С какой угловой скоростью ω(t) нужно вращать спицу, чтобы бусинка двигалась прямолинейно в лабораторной системе отсчета? Трения нет.

Главное, чтобы длина спицы была равна r0


> > Гладкая спица может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной спице и проходящей через ее конец. На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения. С какой угловой скоростью ω(t) нужно вращать спицу, чтобы бусинка двигалась прямолинейно в лабораторной системе отсчета? Трения нет.

> Главное, чтобы длина спицы была равна r0

Ответ верный, а вопрошающий глухой - пытается услышать обедню-2.


Подставляем

в

Получаем

Решаем

Ответ


> > Главное, чтобы длина спицы была равна r0

> Ответ верный, а вопрошающий глухой - пытается услышать обедню-2.

Ответ мой был шуточный, а причина, по которой был задан вопрос, лежит на поверхности: довольно бесплодная дискуссия о прямолинейной траектории шарика в предыдущей ветке. Это, конечно, я так представляю - возможно, я ошибаюсь.

К уравнению движения шарика

надо добавить уравнение прямой

где φ - параметр прямой в полярных координатах, и найти


> Гладкая спица может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной спице и проходящей через ее конец. На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения. С какой угловой скоростью ω(t) нужно вращать спицу, чтобы бусинка двигалась прямолинейно в лабораторной системе отсчета? Трения нет.

Можно наводящее определение: из методов известен Лиссажу, где прямую можно получить только для сигналов по X и Y сдвинутых на 90', т.е. cos и sin, при этом, амплитуды сигналов могут быть разными. Если на вертикальную ось надеть началом координат прямоугольную систему координат, записать проекцию движения на ось X, как x=Acosωt и на ось Y - y=Bsinωt, развивая далее - можно выделить и искомую ω. Подобное можно записать и в полярной системе координат.


> > > Главное, чтобы длина спицы была равна r0

> > Ответ верный, а вопрошающий глухой - пытается услышать обедню-2.

> Ответ мой был шуточный, а причина, по которой был задан вопрос, лежит на поверхности: довольно бесплодная дискуссия о прямолинейной траектории шарика в предыдущей ветке. Это, конечно, я так представляю - возможно, я ошибаюсь.

Шуточный, щуточный.
Но он единственный из верных решений поставленной задачи. Т.е. шарик будет двигаться по прямой только в этом случае - так поставлена задача - при любой угловой скорости спицы.

Приведенное вами решение может верно отображать траекторию шарика при R больше r0.


> Шуточный, щуточный.
> Но он единственный из верных решений поставленной задачи. Т.е. шарик будет двигаться по прямой только в этом случае - так поставлена задача - при любой угловой скорости спицы.

> Приведенное вами решение может верно отображать траекторию шарика при R больше r0.

Если уж шутить, то строго говоря - не единственное. Поскольку о движении оси вращения спицы в ЛабСО в условии задачи ничего не было сказано, то к еще одному шуточному решению можно прийти, если вспомнить задачу о кошке и звуке привязанной к ее хвосту консервной банки.

А как доказать, что нетривиальных решений нет?


> Подставляем
>
> в
>
> Получаем
>
> Решаем
>
> Ответ
>

Ув. Костя! Полностью согласен с Вашим решением. К сожалению, оно, видимо, не понято некоторыми участниками форума. Приведу другое решение.
1) Пусть спица НЕВЕСОМАЯ и может СВОБОДНО вращаться вокруг вертикальной оси. На ней бусинка, трения нет. В момент t=0 «ударом» сообщим спице и бусинке угловую скорость ω0. Бусинка приобретет начальную скорость V00t.В силу законов сохранения энергии и момента импульса эта скорость будет оставаться постоянной. То есть бусинка по невесомой свободно закрепленной спице будет двигаться в лабораторной системе отсчета ПРЯМОЛИНЕЙНО и РАВНОМЕРНО!

2)Cоставляющая скорости бусинки, перпендикулярная в момент t спице равна

.
Учитывая, что
,
получим
.
После интегрирования найдем зависимость угловой скорости от времени
.

3)Ясно, что именно с такой скоростью нужно «принудительно» вращать спицу произвольной массы, чтобы бусинка двигалась по ней прямолинейно и равномерно.
Всего наилучшего участникам форума.


> А как доказать, что нетривиальных решений нет?

Почему же нет? Есть.
Только при этом угловая скорость спицы будет переменной, а линейная скорость шарика постоянная.
И только во всех других случаях траектория шарика будет криволинейной.


> > А как доказать, что нетривиальных решений нет?

> Почему же нет? Есть.
> Только при этом угловая скорость спицы будет переменной, а линейная скорость шарика постоянная.
> И только во всех других случаях траектория шарика будет криволинейной.

Так это

> Но он единственный из верных решений поставленной задачи.

тоже была шутка?



> 1) Пусть спица НЕВЕСОМАЯ и может СВОБОДНО вращаться вокруг вертикальной оси. На ней бусинка, трения нет. В момент t=0 «ударом» сообщим спице и бусинке угловую скорость ω0. Бусинка приобретет начальную скорость V00t.

"Опечатка". Правильно так:
Бусинка приобретет начальную скорость V00r0.


> > Подставляем
> >
> > в
> >
> > Получаем
> >
> > Решаем
> >
> > Ответ
> >

> Ув. Костя! Полностью согласен с Вашим решением. К сожалению, оно, видимо, не понято некоторыми участниками форума. Приведу другое решение.
> 1) Пусть спица НЕВЕСОМАЯ и может СВОБОДНО вращаться вокруг вертикальной оси. На ней бусинка, трения нет. В момент t=0 «ударом» сообщим спице и бусинке угловую скорость ω0. Бусинка приобретет начальную скорость V00t.В силу законов сохранения энергии и момента импульса эта скорость будет оставаться постоянной. То есть бусинка по невесомой свободно закрепленной спице будет двигаться в лабораторной системе отсчета ПРЯМОЛИНЕЙНО и РАВНОМЕРНО!

> 2)Cоставляющая скорости бусинки, перпендикулярная в момент t спице равна

> .
> Учитывая, что
> ,
> получим
> .
> После интегрирования найдем зависимость угловой скорости от времени
> .

> 3)Ясно, что именно с такой скоростью нужно «принудительно» вращать спицу произвольной массы, чтобы бусинка двигалась по ней прямолинейно и равномерно.
> Всего наилучшего участникам форума.

Точку ставить рано!
Я не знаю, какая формулировка этой задачи лучше всего:
- формулировка ARK'a
- или формулировка Kli-Gin'a.
Но факт остается фактом.
На данный момент мы имеем два равнозначных решения этой задачи о "бусинке":
- спиралевидное, которое нам виртуозно продемонстрировал Костя.
- прямолинейное, которое нам столь же виртуозно продемонстрировали Костя и некоторые другие участники форума.

Я внимательно проверил оба решения, и убедился в том, что оба решения замечательно-правильные.

Тем не менее, я вынужден огорчить Костю и других участников форума.
Найденные решения являются частными случаями, и не являются общим решением этой задачи.

Как же, все-таки, движется бусинка?
По прямой?
Или по спирали?
Или это одно и то же?


Уважаемый Kli-Gin, есть несколько вопросов по Вашему решению:

1) Равно ли нулю изменение момента импульса системы "невесомая спица-бусинка" вследствие удара?
2) Будет ли бусинка двигаться равномерно и прямолинейно после того, как она слетит со спицы (полагая отсутствие силы тяжести)?
3) Можно ли сделать предположение об угловой скорости спицы после того, как бусинка слетит со спицы?
4) В каком смысле нужно «принудительно» вращать спицу произвольной массы, ведь момент инерции спицы ненулевой массы с течением времени уменьшается, а бусинки - не меняется?


> Уважаемый Kli-Gin, есть несколько вопросов по Вашему решению:
Пока он спит, я отвечу на вопросы.

> 1) Равно ли нулю изменение момента импульса системы "невесомая спица-бусинка" вследствие удара?
Kli-Gin вывел только кинематическое решение, без сил, моментов... Поэтому ни о каких ударах речи не может быть. Просто Kli-Gin предположил, что бусина движется с постоянной скоростью Vo=W0*r по прямой, а у спицы уменьшается угловая скорость по законам геометрии.
> 2) Будет ли бусинка двигаться равномерно и прямолинейно после того, как она слетит со спицы (полагая отсутствие силы тяжести)?
Конечно, по первому закону Ньютона.
> 3) Можно ли сделать предположение об угловой скорости спицы после того, как бусинка слетит со спицы?
Можно. Так как кинематическая схема такова, что мы бусинку принудительно двигали по прямолинейной траектории, а спица просто следовала за бусиной. Угловая скорость спицы останется такой, какой была в момент разлуки с бусиной.
> 4) В каком смысле нужно «принудительно» вращать спицу произвольной массы, ведь момент инерции спицы ненулевой массы с течением времени уменьшается, а бусинки - не меняется?
Момент инерции спицы не зависит от времени J=mL^2/3.

П.С. Извиняюсь за вмешательство.


> Так это

> > Но он единственный из верных решений поставленной задачи.

> тоже была шутка?

Подвел сходный у нас с Вами прием пошагового приближения к истине.
Пока шагали, Арх разложил задачу.

Добавить можно следующее.
Предыстория до начала отсчета не задана. Тогда массивный шарик спокойно мог быть раскручен на невесомых оси-спице, а в начальный момент времени ось-спица отключены от привода. Остальное будет происходить в соответствии с кинематическим решением.
Кинематических решений бесконечно много, а физических, т.е. с ненулевыми массами и предоставленным самому себе шариком, один - Ваш.

Замечание: при невесомом шарике, шарик будет вращаться по окружности, если кукловод не задал ему радиальной скорости.

Шутка у меня отмечается смайликом.


> Гладкая спица может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной спице и проходящей через ее конец. На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения. С какой угловой скоростью ω(t) нужно вращать спицу, чтобы бусинка двигалась прямолинейно в лабораторной системе отсчета? Трения нет.

Не читал предыдущих решений, но первое, что приходит в голову:

(1) m(d²r/dt²) = mω²r - движение под действием центробежной силы
(2) r = r0/cos(ωt) - движение по прямой

Подставляем (2) в (1) и решаем получившееся диф. уравнение. Аналитически - я пас.


> > 1) Равно ли нулю изменение момента импульса системы "невесомая спица-бусинка" вследствие удара?
> Kli-Gin вывел только кинематическое решение, без сил, моментов... Поэтому ни о каких ударах речи не может быть. Просто Kli-Gin предположил, что бусина движется с постоянной скоростью Vo=W0*r по прямой, а у спицы уменьшается угловая скорость по законам геометрии.
> > 2) Будет ли бусинка двигаться равномерно и прямолинейно после того, как она слетит со спицы (полагая отсутствие силы тяжести)?
> Конечно, по первому закону Ньютона.
> > 3) Можно ли сделать предположение об угловой скорости спицы после того, как бусинка слетит со спицы?
> Можно. Так как кинематическая схема такова, что мы бусинку принудительно двигали по прямолинейной траектории, а спица просто следовала за бусиной. Угловая скорость спицы останется такой, какой была в момент разлуки с бусиной.
> > 4) В каком смысле нужно «принудительно» вращать спицу произвольной массы, ведь момент инерции спицы ненулевой массы с течением времени уменьшается, а бусинки - не меняется?
> Момент инерции спицы не зависит от времени J=mL^2/3.

> П.С. Извиняюсь за вмешательство.

Уважаемый Арх, спасибо за вмешательство.
Несколько замечаний.
1) Предположений о постоянстве скорости и прямолинейности движения в моем решении не принималось. В начальный момент невесомая спица и бусинка покоились. В некоторый момент по спице в некоторой точке "щелкнули", сообщив системе некоторую начальную угловую скорость. По закону сохранения энергии (трения нет) и при условии, что момент инерции спицы пренебрежимо мал по сравнению с моментом инерции бусинки относительно оси вращения, получаем, что величина скорости бусинки при последующем движении остается неизменной. Кроме того, сохраняется момент импульса системы относительно оси вращения, следовательно, бусинка движется по прямой. Далее, Вы правы, связь скорости бусинки и угловой скорости спицы находится кинематически (геометрически).
2) Что будет, если при аналогичной постановке задачи учесть массу спицы? По существу в двух темах "Спица на шарике" и "Спица на шарике-2" рассмотрено два предельных случая. Движение по логарифмической спирали с постоянной угловой скоростью соответствует случаю, когда момент инерции спицы значительно больше момента инерции бусинки, а прямолинейное движение бусинки - противоположному неравенству. Можно предположить, что при произвольном соотношении между моментами инерции будет реализован "промежуточный случай".
3) При любых массах спицы и бусинки соответствующим выбором начальных условий (скорости бусинки относительно спицы и угловой скорости спицы) и зависимости ω(t) можно, видимо, реализовать любую гладкую траекторию бусинки в лабораторной системе отсчета. Алгоритм следующий. Берем бусинку "руками" и, перемещая ее вдоль спицы и поворачивая спицу, рисуем заданную траекторию. При этом измеряем зависимость ω(t). Если теперь "руки убрать", а воспроизвести те же начальные условия и ту же зависимость ω(t), то можно реализовать заданную траекторию (если задача устойчива во всех точках и траектории не ветвятся).
С уважением и всего наилучшего.


> 3) При любых массах спицы и бусинки соответствующим выбором начальных условий (скорости бусинки относительно спицы и угловой скорости спицы) и зависимости ω(t) можно, видимо, реализовать любую гладкую траекторию бусинки в лабораторной системе отсчета. Алгоритм следующий. Берем бусинку "руками" и, перемещая ее вдоль спицы и поворачивая спицу, рисуем заданную траекторию. При этом измеряем зависимость ω(t). Если теперь "руки убрать", а воспроизвести те же начальные условия и ту же зависимость ω(t), то можно реализовать заданную траекторию (если задача устойчива во всех точках и траектории не ветвятся).

В пункте 3 предыдущего сообщения я погорячился или, скажем, пошутил! . Конечно, утверждение п.3 ошибочное.


Поскольку я получил сразу два ответа - от Арх и Kli-Gin'а, то объединяю свой пост в адрес обоих.

PapaKarlo:
> > > 1) Равно ли нулю изменение момента импульса системы "невесомая спица-бусинка" вследствие удара?

Арх:
> > Kli-Gin вывел только кинематическое решение, без сил, моментов... Поэтому ни о каких ударах речи не может быть. Просто Kli-Gin предположил, что бусина движется с постоянной скоростью Vo=W0*r по прямой, а у спицы уменьшается угловая скорость по законам геометрии.

Kli-Gin:
> 1) Предположений о постоянстве скорости и прямолинейности движения в моем решении не принималось. В начальный момент невесомая спица и бусинка покоились. В некоторый момент по спице в некоторой точке "щелкнули", сообщив системе некоторую начальную угловую скорость. По закону сохранения энергии (трения нет) и при условии, что момент инерции спицы пренебрежимо мал по сравнению с моментом инерции бусинки относительно оси вращения, получаем, что величина скорости бусинки при последующем движении остается неизменной. Кроме того, сохраняется момент импульса системы относительно оси вращения, следовательно, бусинка движется по прямой. Далее, Вы правы, связь скорости бусинки и угловой скорости спицы находится кинематически (геометрически).

То, что вывод, предложенный Kli-Gin'ом, почти чисто кинематический, это мне вполне понятно. Однако в его выводе все же фигурируют "удар", закон сохранения энергии и момента импульса, а их к чистой кинематике отнести не удается. Поэтому - "почти" чисто кинематический.

Так все-таки, что с изменением момента импульса системы при переходе от ω=0 к ω=ω0? Можно ли вообще говорить об изменении момента импульса при предположении невесомости (пренебрежимости) массы (момента инерции) спицы?

PapaKarlo:
> > 2) Будет ли бусинка двигаться равномерно и прямолинейно после того, как она слетит со спицы (полагая отсутствие силы тяжести)?

Арх:
> Конечно, по первому закону Ньютона.

Честно говоря, не сомневаюсь в этом. Вопрос был задан все же не как самостоятельный, но в связи с остальными. До того, как бусинка слетела со спицы, она ведь двигалась равномерно и прямолинейно, причем - по тому же самому первому закону Ньютона, не так ли? Иными словами, во взаимодействии спицы и бусинки ничего не изменилось - они как не взаимодействуют после "слета" бусинки, так и не взаимодействовали до того.

PapaKarlo:
> > 3) Можно ли сделать предположение об угловой скорости спицы после того, как бусинка слетит со спицы?

Арх:
> Можно. Так как кинематическая схема такова, что мы бусинку принудительно двигали по прямолинейной траектории, а спица просто следовала за бусиной. Угловая скорость спицы останется такой, какой была в момент разлуки с бусиной.

Вот теперь свяжем второй вопрос и третий: если бусинка до "слета" все время двигалась равномерно и прямолинейно, а угловая скорость спицы уменьшалась, почему после "слета" бусинки поведение спицы должно как-то измениться?

Кроме того, если мы пренебрегли моментом инерции спицы, то какое предположение можно делать об изменении угловой скорости спицы, исходя из закона сохранения момента импульса?

PapaKarlo:
> > 4) В каком смысле нужно «принудительно» вращать спицу произвольной массы, ведь момент инерции спицы ненулевой массы с течением времени уменьшается, а бусинки - не меняется?

Арх:
> Момент инерции спицы не зависит от времени J=mL^2/3.

Насчет момента инерции спицы - у меня вкралась очепятка из-за спешки и позднего времени. Конечно, момент инерции спицы не меняется. Я имел в виду момент импульса.

В общем, исходя из приведенных выше рассуждений, я почему-то не считаю, что следующее утверждение Kli-Gin'а столь уж ошибочно:

> 3) При любых массах спицы и бусинки соответствующим выбором начальных условий (скорости бусинки относительно спицы и угловой скорости спицы) и зависимости ω(t) можно, видимо, реализовать любую гладкую траекторию бусинки в лабораторной системе отсчета. Алгоритм следующий. Берем бусинку "руками" и, перемещая ее вдоль спицы и поворачивая спицу, рисуем заданную траекторию. При этом измеряем зависимость ω(t). Если теперь "руки убрать", а воспроизвести те же начальные условия и ту же зависимость ω(t), то можно реализовать заданную траекторию (если задача устойчива во всех точках и траектории не ветвятся).

А именно, не все любые движения бусиники (в том числе и прямолинейное и равномерное) реализуемы без "длинной руки" Kli-Gin - т.е. без дополнительного внешнего воздействия на систему "спица-бусинка". А вот в выводе движения бусинки по прямой исходя из закона сохранения импульса что-то меня смущает. Но возможно, я в очередной раз чего-то не понимаю, потому и пристаю с вопросами.

Попутный вопрос: возможно ли движение бусинки в ЛабСО по прямой, но не обязательно без тангенциального ускорения?


> Предыстория до начала отсчета не задана. Тогда массивный шарик спокойно мог быть раскручен на невесомых оси-спице, а в начальный момент времени ось-спица отключены от привода. Остальное будет происходить в соответствии с кинематическим решением.

Действительно, по поводу спицы в начальный момент времени в условии задачи ничего не сказано. Да и решение, предложенное Kostya и Kli-Gin'ом, предполагает ω0≠0 (а иначе получится то второе решение, про кошку ).

> Кинематических решений бесконечно много, а физических, т.е. с ненулевыми массами и предоставленным самому себе шариком, один - Ваш.

Если некоторому кинематическому решению не соответствует корректное динамическое, что это означает: что в реальности для реализации такого кинематического решения должны возникать, например, какие-нибудь бесконечности? Собственно, исходная задача действительно имеет чисто кинематическую постановку, поэтому может быть я зря пытаюсь увязать ее решение с динамикой? Просто меня смутило привлечение динамических соображений к решению задачи. Да и способ решения Kostya не является "чисто кинематическим", если я правильно понимаю.

> Замечание: при невесомом шарике, шарик будет вращаться по окружности, если кукловод не задал ему радиальной скорости.

А если задал - то будет двигаться по прямой только, если ω0=0. Выходит, для НЕ невесомого шарика его свободное движение при вращающейся спице невозможно?


> > Гладкая спица может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной спице и проходящей через ее конец. На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения. С какой угловой скоростью ω(t) нужно вращать спицу, чтобы бусинка двигалась прямолинейно в лабораторной системе отсчета? Трения нет.

> Не читал предыдущих решений, но первое, что приходит в голову:

> (1) m(d²r/dt²) = mω²r - движение под действием центробежной силы
> (2) r = r0/cos(ωt) - движение по прямой

> Подставляем (2) в (1) и решаем получившееся диф. уравнение. Аналитически - я пас.

Да, кстати, мне пришлось повозиться, чтобы дифучик-то решить.
Я только "методом грубой силы" смог его раскусить -- составить реккуркентное соотношение на коэффициенты разложения в ряд.
Может кто-нибуть знает простой способ решения получающегося дифура?


> > (1) m(d²r/dt²) = mω²r - движение под действием центробежной силы
> > (2) r = r0/cos(ωt) - движение по прямой

Тоже коротко не получилось.

1)Уравнение (2) дифференцируем по времени и после преобразований получаем
,
где

, .
2) Подставляя ω в (1), получаем:

.
Дальше не сразу, но просто.
С ув. и всего наилучшего.


> PapaKarlo:
> > > > 1) Равно ли нулю изменение момента импульса системы "невесомая спица-бусинка" вследствие удара?

> Так все-таки, что с изменением момента импульса системы при переходе от ω=0 к ω=ω0? Можно ли вообще говорить об изменении момента импульса при предположении невесомости (пренебрежимости) массы (момента инерции) спицы?

Не вижу проблемы. Пример: в спицу попадает комок пластелина и прилипает к ней - спица начинает вращаться вокруг неподвижной оси. Момент импульса системы при таком ударе не изменяется. Это справедливо, в частности, и для очень легкой спицы.
> PapaKarlo:
> > > 3) Можно ли сделать предположение об угловой скорости спицы после того, как бусинка слетит со спицы?

> Арх:
> > Можно. Так как кинематическая схема такова, что мы бусинку принудительно двигали по прямолинейной траектории, а спица просто следовала за бусиной. Угловая скорость спицы останется такой, какой была в момент разлуки с бусиной.

Согласен. А именно ω=ω0(r0/l)2, где l -длина спицы.

> Вот теперь свяжем второй вопрос и третий: если бусинка до "слета" все время двигалась равномерно и прямолинейно, а угловая скорость спицы уменьшалась, почему после "слета" бусинки поведение спицы должно как-то измениться?

Я не совсем понимаю, что Вас смущает. Может быть это: Со стороны невесомой спицы на бусинку сила не действовала. По третьему закону Ньютона на спицу со стороны бусинки также не было силового воздействия. Почему же изменилась угловая скорость спицы? НО: для изменения угловой скорости безмассовой спицы и не нужно силовое воздействие.

> PapaKarlo:
> > > 4) В каком смысле нужно «принудительно» вращать спицу произвольной массы, ведь момент импульса спицы ненулевой массы с течением времени уменьшается, а бусинки - не меняется?

Именно так. Уменьшение суммарного момента импульса системы обеспечивает момент внешних сил, "принудительно" действующих на спицу.

> Попутный вопрос: возможно ли движение бусинки в ЛабСО по прямой, но не обязательно без тангенциального ускорения?

Решение Кости показывает, что, если движение бусинки прямолинейное, то закон изменения угловой скорости должен быть таким

Нетрудно показать, что в решении Кости скорость бусинки относительно лабораторной СО постоянна. Следовательно, прямолинейное движение обязательно равномерное.
С ув. и всего наилучшего.


Уважаемый Kli-Gin, я отвечу подробнее на Ваше сообщение позже, чтобы не повторять ошибку типа "момент инерции" , но вкратце следующие соображения:

1) Я ведь не возражаю, что для приведенного Костей решения бусинка действительно будет двигаться равномерно и прямолинено (хотя и не проверял этого, но доверяю Вам).

2) Это решение будет справедливо для бусинки любой массы. Если бы это было не так, в решении присутствовала бы масса бусинки. А раз так, то это решение справедливо и для бусинки нулевой массы - в конце концов, чем безмассовая бусинка хуже безмассовой спицы?. Но можно ли говорить о получении решения данной задачи с привлечением законов сохранения энергии и момента импульса - для безмассовой системы? Собственно, в Вашем решении именно это (привлечение законов сохранения) меня и смущает. Как и обещано, позже я выскажу дополнительные сомнения по этому поводу (если они к тому времени не развеются - например, с Вашей помощью).

3) Насчет возможности ускоренного движения бусинки по прямой линии. Я не спрашивал, возможно ли оно для решения, приведенного Костей - возможно ли оно при другой ω(t)? Сразу приведу тривиальное решение: ω0=0, бусинка движется под действием внешней силы (решение "кошки с банкой на хвосте" ) - ничем не хуже движения спицы с ненулевой ω под действием момента внешних сил. Вопрос в том, возможно ли нетривиальное решение? А отстутствие/наличие внешних воздействий - дело десятое: в условии об этом ничего не говорится, да и для решения Кости Вы сами говорите о наличии внешнего воздействия после "удара".


> 1) Предположений о постоянстве скорости и прямолинейности движения в моем решении не принималось. В начальный момент невесомая спица и бусинка покоились. В некоторый момент по спице в некоторой точке "щелкнули", сообщив системе некоторую начальную угловую скорость. По закону сохранения энергии (трения нет) и при условии, что момент инерции спицы пренебрежимо мал по сравнению с моментом инерции бусинки относительно оси вращения, получаем, что величина скорости бусинки при последующем движении остается неизменной. Кроме того, сохраняется момент импульса системы относительно оси вращения, следовательно, бусинка движется по прямой. Далее, Вы правы, связь скорости бусинки и угловой скорости спицы находится кинематически (геометрически).

Посмотрим еще раз.

После "щелчка" Вы хотите прямолинейного и равномерного движения бусинки. Для этого необходимо и достаточно, чтобы на бусинку во время движения не действовали никакие силы.
Следовательно, спица никак не может взаимодействовать с бусинкой, а это либо отсутствие спицы, либо отсутствие массы у свободной оси вращения спицы и самой спицы.
В первом случае верно решение Папы Карло (хоть он его и объявил шуточным ), а второй случай идеальный (отсутствие масс у оси спицы и спицы, отсутствие всякого привода), который можно рассматривать только умозрительно.

Так что, если рассматривать некую материальную конструкцию, а не абстракцию, необходимо расположить бусинку на самой дальней точке спицы от оси вращения. Тогда можно иметь прямолинейное и равномерное движение бусинки в заданных условиях. Других физических решений для прямолинейного и равномерного движения бусинки нет.


> > Замечание: при невесомом шарике, шарик будет вращаться по окружности, если кукловод не задал ему радиальной скорости.
> А если задал - то будет двигаться по прямой только, если ω0=0.

Да, если кукловод перестает вести.

> Выходит, для НЕ невесомого шарика его свободное движение при вращающейся спице невозможно?

Опять. Да, если закон движения привода спицы отличается от кинематического закона движения привода спицы самим массивным шариком. Такое уточнение исходит из того, что по рассмотренному кинематическому закону движения спица тоже вращается, правда, только на четверть оборота в пределе.


> Уважаемый Kli-Gin, я отвечу подробнее на Ваше сообщение позже, чтобы не повторять ошибку типа "момент инерции" , но вкратце следующие соображения:

> 1) Я ведь не возражаю, что для приведенного Костей решения бусинка действительно будет двигаться равномерно и прямолинено (хотя и не проверял этого, но доверяю Вам).

> 2) Это решение будет справедливо для бусинки любой массы. Если бы это было не так, в решении присутствовала бы масса бусинки. А раз так, то это решение справедливо и для бусинки нулевой массы - в конце концов, чем безмассовая бусинка хуже безмассовой спицы?. Но можно ли говорить о получении решения данной задачи с привлечением законов сохранения энергии и момента импульса - для безмассовой системы? Собственно, в Вашем решении именно это (привлечение законов сохранения) меня и смущает. Как и обещано, позже я выскажу дополнительные сомнения по этому поводу (если они к тому времени не развеются - например, с Вашей помощью).

Безмассовых стержней, спиц не бывает. Говоря о легкой спице, в данной задаче предполагается, что момент инерции спицы относительно оси вращения Ml2/3 значительно меньше момента инерции бусинки m(r0)2 относительно этой оси. Именно это неравенство позволяет пренебречь кинетической энергией спицы ПО СРАВНЕНИЮ с кинетической энергией бусинки, и пренебречь моментом импульса стержня ПО СРАВНЕНИЮ с моментом импульса бусинки.

> 3) Насчет возможности ускоренного движения бусинки по прямой линии. Я не спрашивал, возможно ли оно для решения, приведенного Костей - возможно ли оно при другой ω(t)? Сразу приведу тривиальное решение: ω0=0, бусинка движется под действием внешней силы (решение "кошки с банкой на хвосте" ) - ничем не хуже движения спицы с ненулевой ω под действием момента внешних сил. Вопрос в том, возможно ли нетривиальное решение? А отстутствие/наличие внешних воздействий - дело десятое: в условии об этом ничего не говорится, да и для решения Кости Вы сами говорите о наличии внешнего воздействия после "удара".

По условию бусинка покоилась относительно спицы в начальный момент. Если угловая скорость спицы равна нулю, бусинка будет все время оставаться в покое. Этот специальный случай вытекает и из формул Кости.
Случай, когда скорость бусинки относительно спицы в начальный момент отлична от нуля (бусинку толкнули вдоль бусинки в момент приведения спицы во вращение), нами не рассматривался. Полагаю, что и в этом случае при выведенном нами законе ω(t) движение бусинки будет прямолинейным и равномерным. Рассмотрение свободно вращающейся спицы убеждает меня в этом. Можно ли обеспечить при каком-то другом законе ω(t) неравномерное прямолинейное движение - не знаю.
Впрочем, может быть Вы спрашивали о другом? Я не вполне понял Ваш вопрос.
С ув. и всего наилучшего.


> > > (1) m(d²r/dt²) = mω²r - движение под действием центробежной силы
> > > (2) r = r0/cos(ωt) - движение по прямой


> Тоже коротко не получилось.

> 1)Уравнение (2) дифференцируем по времени и после преобразований получаем
> ,
> где

> , .
> 2) Подставляя ω в (1), получаем:

> .
> Дальше не сразу, но просто.
> С ув. и всего наилучшего.
Извините, господа, но у меня получился вот такой ответ
R=r/sin(wt)
vt=Rcos(wt)
tg(wt)=vt/r
w=(1/t)*arctg((vt)/r)
Разумеется, я требую для себя права на ошибку.


> Безмассовых стержней, спиц не бывает. Говоря о легкой спице, в данной задаче предполагается, что момент инерции спицы относительно оси вращения Ml2/3 значительно меньше момента инерции бусинки m(r0)2 относительно этой оси. Именно это неравенство позволяет пренебречь кинетической энергией спицы ПО СРАВНЕНИЮ с кинетической энергией бусинки, и пренебречь моментом импульса стержня ПО СРАВНЕНИЮ с моментом импульса бусинки.

Да-да, я понимаю. Именно поэтому
> ... для изменения угловой скорости безмассовой спицы и не нужно силовое воздействие.

Но смущало меня совсем другое. В Вашем решении предполагается, что бусинка после удара не взаимодействует со спицей. Фактически это действительно означает чисто кинематическое рассмотрение, и в духе этого рассмотрения задачу можно было бы сформулировать приблизительно так:

"Точка движется в ИСО равномерно и прямолинейно. Начальные координтаы материальной точки в некоторой полярной системе координат равны r0, φ0=0, скорость равна v0 и направлена под некоторым углом к полярной оси. Найти зависимость от времени первой производной полярного угла φ движущейся точки по времени".

Привлечение невесомой абсолютно жесткой и не взаимодействующей с бусинкой (мат.точкой) спицы в рассмотрение этой задачи лишь придает видимость "физичности" задачи - на самом деле это чистая геометрия. И поэтому ссылки на законы сохранения меня смутили. Просто я никак не мог это четко сформулировать.

Хотя Вы и писали, что
> 1) Предположений о постоянстве скорости и прямолинейности движения в моем решении не принималось...
но предположение о невзаимодействии бусинки со спицей (и с чем-либо еще, разумеется) является полным эквивалентом такого предположения.

------------------------------------
> По условию бусинка покоилась относительно спицы в начальный момент. Если угловая скорость спицы равна нулю, бусинка будет все время оставаться в покое. Этот специальный случай вытекает и из формул Кости.
> Случай, когда скорость бусинки относительно спицы в начальный момент отлична от нуля (бусинку толкнули вдоль бусинки в момент приведения спицы во вращение), нами не рассматривался. Полагаю, что и в этом случае при выведенном нами законе ω(t) движение бусинки будет прямолинейным и равномерным. Рассмотрение свободно вращающейся спицы убеждает меня в этом. Можно ли обеспечить при каком-то другом законе ω(t) неравномерное прямолинейное движение - не знаю.
> Впрочем, может быть Вы спрашивали о другом? Я не вполне понял Ваш вопрос.

Я спрашивал именно об этом. Для случая отсутствия взаимодействия бусинки с любыми телами за исключением быть может спицы неравномерное прямолинейное движение невозможно. Если допустить обратное - неравномерное прямолинейное движение возможно - что то при отсутствии трения единственно возможная сила будет действовать на бусинку со стороны спицы перпендикулярно спице. Чтобы эта сила всегда действовала вдоль одной и той же прямой (траектории движения бусиники), спица должна быть неподвижна. Правда, при этом становится неясной природа этой силы. Куда ни ткни - всюду противоречия.

------------------------------------
И еще одно замечание - по поводу движения спицы после "слета" с нее бусинки. Если принимать спицу невесомой, то на мой вопрос
> 3) Можно ли сделать предположение об угловой скорости спицы после того, как бусинка слетит со спицы?
следует ответить отрицательно.

Исходя из геометрической интерпретации задачи "слет" бусинки со спицы как бы невозможен (радиус-вектор точки определен всегда).

А с физической точки зрения - если мы уж пренебрегаем массой (моментом инерции) спицы, то свободное ее движение может быть абсолютно произвольным - никакие законы сохранения не нарушаются, нулевого воздействия достаточно для произвольного изменения кинетической энергии, импульса, момента импульса нулевой массы - в общем, попытка вывести закон свободного движения безмассовой спицы исходя из законов сохранения - это странное действие, типа деления нуля на ноль. Утверждение же о том, что после "слета" бусинки со спицы характер движения последней изменится - а именно это означает утверждение, что ω перестанет изменяться во времени - в сочетании с пренебрежением взаимодействия спицы с бусинкой тоже противоречиво. Коль пренебрегать, так уж пренебрегать, поэтому после "слета" бусиники ничего в судьбе спицы меняться не должно - нет на то причин.

По-моему, так.


> "Точка движется в ИСО равномерно и прямолинейно. Начальные координтаы материальной точки в некоторой полярной системе координат равны r0, φ0=0, скорость равна v0 и направлена под некоторым углом к полярной оси. Найти зависимость от времени первой производной полярного угла φ движущейся точки по времени".

В данной формулировке по моему недосмотру еще осталось кое-что от физики - ИСО, материальная точка и ее равномерное и прямолинейное движение. Чисто геометрическая формулировка задачи была бы такой:

В полярной системе уравнение прямой задано параметрической функцией


причем радиус-вектор произвольной точки (для которого справедливо ) этой прямой задается как

где - направляющий вектор указанной прямой.

Найти


> > > Гладкая спица может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной спице и проходящей через ее конец. На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения. С какой угловой скоростью ω(t) нужно вращать спицу, чтобы бусинка двигалась прямолинейно в лабораторной системе отсчета? Трения нет.

> > Не читал предыдущих решений, но первое, что приходит в голову:

> > (1) m(d²r/dt²) = mω²r - движение под действием центробежной силы
> > (2) r = r0/cos(ωt) - движение по прямой

> > Подставляем (2) в (1) и решаем получившееся диф. уравнение. Аналитически - я пас.

> Да, кстати, мне пришлось повозиться, чтобы дифучик-то решить.
> Я только "методом грубой силы" смог его раскусить -- составить реккуркентное соотношение на коэффициенты разложения в ряд.
> Может кто-нибуть знает простой способ решения получающегося дифура?

Cмотри вот тут .

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/ode.htm


> Извините, господа, но у меня получился вот такой ответ
> R=r/sin(wt)

А вот это откуда?
> vt=Rcos(wt)
Скорость осциллирует?


> > Извините, господа, но у меня получился вот такой ответ
> > R=r/sin(wt)

> А вот это откуда?
> > vt=Rcos(wt)
> Скорость осциллирует?
Отнюдь.
Пусть прямая(траектория бусинки) находится от оси вращения на расстоянии r.
Берём произвольную точку на прямой.
Опускаем из неё перпендикуляр на линию, параллельную траектории.
Через ось вращения и бусинку проводим прямую.
Расстояние от бусинки до оси вращения будет R.
Зв время t бусинка пройдёт на прямой расстояние Rcos(wt).


По-моему вы где-то в геометрии задачи напутали.
Чему равно R при t=0 ?


> > > Извините, господа, но у меня получился вот такой ответ
> > > R=r/sin(wt)

> > А вот это откуда?
> > > vt=Rcos(wt)
> > Скорость осциллирует?
> Отнюдь.
> Пусть прямая(траектория бусинки) находится от оси вращения на расстоянии r.
> Берём произвольную точку на прямой.
> Опускаем из неё перпендикуляр на линию, параллельную траектории.
> Через ось вращения и бусинку проводим прямую.
> Расстояние от бусинки до оси вращения будет R.
> Зв время t бусинка пройдёт на прямой расстояние Rcos(wt).

Вы бы нарисовали чертеж. А то не очень понятно, какую роль играют линия, паралелльная прямой (траектории бусинки) и произвольная точка на прямой. Кроме того, неясно, обозначают ли r и R одно и то же или же разные расстояния.

Если произвольная точка на прямой есть положение бусинки в момент времени t, а r есть расстояние траектории бусинки от оси вращения, т.е. соответствующая полярная координата бусинки в момент времени, например, t=0, то в произвольный момент времени расстояние бусинки до оси вращения будет R=r/cos(φ), где φ - полярный угол, который можно рассматривать и как угол поворота спицы. Однако φ=ωt будет справедливо только если ω(t)=const, что для случая движения бусинки по прямой неверно.


> По-моему вы где-то в геометрии задачи напутали.
> Чему равно R при t=0 ?
r.


> > По-моему вы где-то в геометрии задачи напутали.
> > Чему равно R при t=0 ?
> r.
И как это согласуется с
> > > > > R=r/sin(wt)
???


> > > > Извините, господа, но у меня получился вот такой ответ
> > > > R=r/sin(wt)

> > > А вот это откуда?
> > > > vt=Rcos(wt)
> > > Скорость осциллирует?
> > Отнюдь.
> > Пусть прямая(траектория бусинки) находится от оси вращения на расстоянии r.
> > Берём произвольную точку на прямой.
> > Опускаем из неё перпендикуляр на линию, параллельную траектории.
> > Через ось вращения и бусинку проводим прямую.
> > Расстояние от бусинки до оси вращения будет R.
> > Зв время t бусинка пройдёт на прямой расстояние Rcos(wt).

> Вы бы нарисовали чертеж.
С удовольствием.
Если Вы отошлёте меня по ссылке-как научиться делать чертежи на этом форуме.
В самом деле не знаю.

>А то не очень понятно, какую роль играют линия, паралелльная прямой (траектории бусинки) и произвольная точка на прямой.

Траектория бусинки находится на расстоянии r от рси вращения.
Произвольная точка на прямой-любая точка на этой прямой, в которой мгновенно находится бусинка по прошествии времени t.
Скорость v бусинки постоянна.

>Кроме того, неясно, обозначают ли r и R одно и то же или же разные расстояния.

Разумеется, разные.

> Если произвольная точка на прямой есть положение бусинки в момент времени t, а r есть расстояние траектории бусинки от оси вращения, т.е. соответствующая полярная координата бусинки в момент времени, например, t=0, то в произвольный момент времени расстояние бусинки до оси вращения будет R=r/cos(φ), где φ - полярный угол, который можно рассматривать и как угол поворота спицы. Однако φ=ωt будет справедливо только если ω(t)=const, что для случая движения бусинки по прямой неверно.

R-расстояние бусинки до оси вращения.
Rcos(&phi$)-путь, который прошла бусинка за время t с начала движения.
Угловая скорость(в рассматриваемом случае) безусловно, переменна и в пределе стремится к нулю.
При условии v=const это, вроде бы, очевидно.


> > > По-моему вы где-то в геометрии задачи напутали.
> > > Чему равно R при t=0 ?
> > r.
> И как это согласуется с
> > > > > > R=r/sin(wt)
> ???
А в чём недоумение?
w суть переменная величина(при постоянной линейной скорости бусинки)..
В пределе стремится к нулю.


> > > > По-моему вы где-то в геометрии задачи напутали.
> > > > Чему равно R при t=0 ?
> > > r.
> > И как это согласуется с
> > > > > > > R=r/sin(wt)
> > ???
> А в чём недоумение?
R=r/sin(wt)
w=(1/t)*arctg((vt)/r)

Подставил:
R=r/sin(arctg((vt)/r))
при t = 0
R=r/sin(arctg(0))
по-моему это не r.


> С удовольствием.
> Если Вы отошлёте меня по ссылке-как научиться делать чертежи на этом форуме.
> В самом деле не знаю.

Ну, есть разные способы:

1) нарисовать в любом графическом редакторе, разместить на любом сервере (лучше всего - на сервере этого форума) и либо дать ссылку, либо воспользоваться тегом img;

2) как в старые добрые времена, нарисовать псевдографику - посмотрите, к примеру, какого гангстера удается изобразить

3) есть Физико-математический пакет ГРАФ (см. раздел 13), но я лично им никогда не пользовался, поэтому никаких рекомендаций дать не могу.

А вообще очень полезно почитать описание 'О работе форума'


> > > > > По-моему вы где-то в геометрии задачи напутали.
> > > > > Чему равно R при t=0 ?
> > > > r.
> > > И как это согласуется с
> > > > > > > > R=r/sin(wt)
> > > ???
> > А в чём недоумение?
> R=r/sin(wt)
Или r=Rsin(wt)
Вроде бы всё правильно.
> w=(1/t)*arctg((vt)/r)

> Подставил:
> R=r/sin(arctg((vt)/r))
> при t = 0
> R=r/sin(arctg(0))
> по-моему это не r.
Ну почему? Какой именно момент Вы берёте за нулевой?
Правильно, начало вращения, когда R бесконечен.
Только справа.
Впрочем, при всей простоте вопрос всегда спорен.


> > С удовольствием.
> > Если Вы отошлёте меня по ссылке-как научиться делать чертежи на этом форуме.
> > В самом деле не знаю.

> Ну, есть разные способы:

> 1) нарисовать в любом графическом редакторе, разместить на любом сервере (лучше всего - на сервере этого форума) и либо дать ссылку, либо воспользоваться тегом img;

> 2) как в старые добрые времена, нарисовать псевдографику - посмотрите, к примеру, какого гангстера удается изобразить

> 3) есть Физико-математический пакет ГРАФ (см. раздел 13), но я лично им никогда не пользовался, поэтому никаких рекомендаций дать не могу.

> А вообще очень полезно почитать описание 'О работе форума'
Благодарю Вас.
Обязательно воспользуюсь Вашими рекомендациями.

(не удержусь )Но зачем рисунок в столь простой ситуации?


> (не удержусь )Но зачем рисунок в столь простой ситуации?

Для таких тупых, как я.

> Пусть прямая(траектория бусинки) находится от оси вращения на расстоянии r.
> Берём произвольную точку на прямой.
> Опускаем из неё перпендикуляр на линию, параллельную траектории.
> Через ось вращения и бусинку проводим прямую...

В этом фрагменте объяснения у Вас фигурируют 3 (три) линии, причем все, надо полагать, прямые. Для чего они все нужны, непонятно. И другие моменты мне не совсем ясны. Рисунок помогает понять, что и как обозначено в Ваших формулах, и избежать разных толкований.

Хотя, честно признаться, я сам ленюсь рисовать для форума.


Я задаю вопрос:
> > > > > > Чему равно R при t=0 ?
Получаю ответ
> > > > > r.
На что задаю закономерный вопрос
> > при t = 0
> > R=r/sin(arctg(0))
> > по-моему это не r.
На что получаю ответ
> Правильно, начало вращения, когда R бесконечен.
> Только справа.
Мало того что вы юлите, так вы ещё и откровенную чушь говорите.
За какое время шарик долетит из минус бесконечности до расстояния r со скоростью v?
По-вашему получается за t = 2π/w
С чем вас и поздравляю.
Я уже понял, что не в ваших правилах признавать ошибки, но хоть смотрите куда вы изворачиваетесь...


> Я задаю вопрос:
> > > > > > > Чему равно R при t=0 ?
> Получаю ответ
> > > > > > r.
> На что задаю закономерный вопрос
> > > при t = 0
> > > R=r/sin(arctg(0))
> > > по-моему это не r.
> На что получаю ответ
> > Правильно, начало вращения, когда R бесконечен.
> > Только справа.
> Мало того что вы юлите, так вы ещё и откровенную чушь говорите.
> За какое время шарик долетит из минус бесконечности до расстояния r со скоростью v?
> По-вашему получается за t = 2π/w
> С чем вас и поздравляю.
> Я уже понял, что не в ваших правилах признавать ошибки, но хоть смотрите куда вы изворачиваетесь...
Вы ошибаетесь.
Я ошибся и честно признаю это.
Ибо ошибаются все.Я-в первую очередь.

Что касается бесконечности.
Поскольку w переменна? то в чём суть недоумения?
Разве в пределе угловая скорость не стремится к нулю?
Главное условие-постоянство линейной скорости, не так-ли?
И предлагаю излишне не нервничать.
Повторяю: да, ошибся в определении начала отсчёта времени.
Но стоит-ли по этому поводу ёрничать?
Дело-то новое.
Не лучше-ль поискать(и признать) ошибки в собственных ответах?


> Вы ошибаетесь.
> Я ошибся и честно признаю это.
Признать ошибку -- это не брякнуть "ну хорошо, я не прав" и не менять своего поведения.

Вы согласлись с тем что "ошиблись в определении начала отсчёта времени".
Но проверить свое решение на то чтобы оно соответсвовало новому определению не удосужились.

Теперь вы говорите, что при t=0, R=бесконечности
Хорошо. Я беру ваше выражение
vt=Rcos(wt)
И ваш ответ.
w=(1/t)*arctg((vt)/r)
И имею следующую цепочку равенств при t=0
0 = vt = Rcos(wt) = R cos(arctg((vt)/r)) = R cos(0) = R = бесконечность
Вот одна "суть недоуменя".

Есть ещё "суть недоумения", попроще.
Дано: При t=0 тело находится на расстоянии R = бесконечность и движется со скоростью v
Найти: При каком t тело будет на расстоянии R = r
Вы не могли бы ответить на этот вопрос?


> Не лучше-ль поискать(и признать) ошибки в собственных ответах?
Покажите мне несоответствие в моих расчетах и я соглашусь. Но пока я вижу несоответсятвия у вас.


> > Вы ошибаетесь.
> > Я ошибся и честно признаю это.
> Признать ошибку -- это не брякнуть "ну хорошо, я не прав" и не менять своего поведения.
А спокойнее нельзя?
Вам не нравятся мои ответы?
Чем именно?
Что так неприятно Вам в моём поведении?
Предложенное решение?

> Вы согласлись с тем что "ошиблись в определении начала отсчёта времени".
> Но проверить свое решение на то чтобы оно соответсвовало новому определению не удосужились.
Я посмотрел на формулы и увидел, что при t=0 длина R становится бесконечной.
Что соответствует начальным условиям задачи.

> Теперь вы говорите, что при t=0, R=бесконечности
> Хорошо. Я беру ваше выражение
> vt=Rcos(wt)
> И ваш ответ.
> w=(1/t)*arctg((vt)/r)
> И имею следующую цепочку равенств при t=0
> 0 = vt = Rcos(wt) = R cos(arctg((vt)/r)) = R cos(0) = R = бесконечность
> Вот одна "суть недоуменя".
А в чём суть недоумения?
По условию тело всегда движется с постоянной скоростью.
То есть длина траектории бесконечна по условию.
В этом случае и R бесконечен.
Чтоб внести определённость, в условие задачи надо внести краевые условия.
Например, длину, которую пройдёт бусинка.
Поскольку такого ограничения нет, то нет и ограничения в решении.
Какие претензии?

> Есть ещё "суть недоумения", попроще.
> Дано: При t=0 тело находится на расстоянии R = бесконечность и движется со скоростью v
> Найти: При каком t тело будет на расстоянии R = r
> Вы не могли бы ответить на этот вопрос?
Я ответил на Ваш вопрос: в условия задачи надо внести краевые условия-длину траектории бусинки.

>
> > Не лучше-ль поискать(и признать) ошибки в собственных ответах?
> Покажите мне несоответствие в моих расчетах и я соглашусь. Но пока я вижу несоответсятвия у вас.
Я-у Вас.
Сколько времени движется бусинка по Вашим решениям?


Я прошу прощения, что вмешиваюсь. По условию задачи

> ...На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения...

golos писал:

> Я посмотрел на формулы и увидел, что при t=0 длина R становится бесконечной.
> Что соответствует начальным условиям задачи.

golos, теперь Вы согласны, что рисунок, сопровождающий Ваше решение, не помешал бы? О длине R чего Вы говорите? О длине спицы? О длине лабораторного стола? О длине волос экспериментатора? В условии задачи нет речи ни о какой длине. Поэтому Ваше утверждение "при t=0 длина R становится бесконечной. Что соответствует начальным условиям задачи" не может быть признано верным, по крайней мере, до тех пор, пока Вы не объясните, что это за длина R.

И постарайтесь использовать общепринятую терминологию, раз Вы не приводите пояснения. Длина - параметр, характеризующий размеры некоего тела. В данной задаче тела не меняют свои размеры, поэтому длина не может меняться со временем. Возможно, Вы имеете в виду путь, пройденный бусинкой, или удаление бусинки от оси вращения спицы; но эту величину не принято называть длиной. Не думайте, что я просто придираюсь - еще раз, отсутствие рисунка и пояснений в сочетании с использованием "оригинальной" терминологии не облегчает понимание того, что Вы хотели сказать. Когда же используется общепринятая, большинству понятная терминология - такие проблемы обычно не возникают.


> > > Вы ошибаетесь.
> > > Я ошибся и честно признаю это.
> > Признать ошибку -- это не брякнуть "ну хорошо, я не прав" и не менять своего поведения.
> А спокойнее нельзя?
Вы зря тешите себя мыслью, что я нервничаю.
> Вам не нравятся мои ответы?
> Чем именно?
> Что так неприятно Вам в моём поведении?

1. Вы не сравниваете то что вы пишете с очевидными фактами:
> Я посмотрел на формулы и увидел, что при t=0 длина R становится бесконечной.
> Что соответствует начальным условиям задачи.
А теперь посмотрите условие задачи. "На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения."
Вам не кажется, что вы просто сочинили условия задачи так, чтобы они соответсвовали вашему решению?

2.Вы не проверяете на логическое соответствие свои последовательные "творения"
> > Теперь вы говорите, что при t=0, R=бесконечности
> > Хорошо. Я беру ваше выражение
> > vt=Rcos(wt)
> > И ваш ответ.
> > w=(1/t)*arctg((vt)/r)
> > И имею следующую цепочку равенств при t=0
> > 0 = vt = Rcos(wt) = R cos(arctg((vt)/r)) = R cos(0) = R = бесконечность
> > Вот одна "суть недоуменя".
> А в чём суть недоумения?
Недоумение в том, что "0 = бесконечность", неужели вы этого не замечаете?
Чтобы вы не смогли ещё поиграть в несознанку напишу еще раз:
Я беру ваше выражение. vt=Rcos(wt). И ваш ответ. w=(1/t)*arctg((vt)/r)
При t=0
0 = vt
vt = Rcos(wt)
R cos(wt) = R cos(arctg((vt)/r))
R cos(arctg((vt)/r)) = R cos(0)
R cos(0) = R
И вы утверждаете, что при t=0 R = бесконечность

Т.е. вы отрыли новое математическое равенство:
0 = бесконечность
С этим я вас тоже поздравляю.

> > > Не лучше-ль поискать(и признать) ошибки в собственных ответах?
> > Покажите мне несоответствие в моих расчетах и я соглашусь. Но пока я вижу несоответсятвия у вас.
> Сколько времени движется бусинка по Вашим решениям?
Столько-же сколько движется прямолинейно и равномерно движущееся тело.
Только у меня в момент времени t=0 расстояние до тела равно r "Что соответствует начальным условиям задачи."


> > > > Вы ошибаетесь.
> > > > Я ошибся и честно признаю это.
> > > Признать ошибку -- это не брякнуть "ну хорошо, я не прав" и не менять своего поведения.
> > А спокойнее нельзя?
> Вы зря тешите себя мыслью, что я нервничаю.
Давно уже такими пустяками не тешусь.
И не "брякаю", а говорю.
Быть может, сделаете попытку избавиться от комплекса превосходства и будете говорить нормально?
> > Вам не нравятся мои ответы?
> > Чем именно?
> > Что так неприятно Вам в моём поведении?

> 1. Вы не сравниваете то что вы пишете с очевидными фактами:
> > Я посмотрел на формулы и увидел, что при t=0 длина R становится бесконечной.
> > Что соответствует начальным условиям задачи.
> А теперь посмотрите условие задачи. "На спицу надета бусинка, которая в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения."
> Вам не кажется, что вы просто сочинили условия задачи так, чтобы они соответсвовали вашему решению?
Нет, не кажется.
Как понимаю, я просто расширил условия задачи.
Причём не намеренно.
Кстати.
Вы признаёте, что в рассмотренном мною случае(бусинка движется из плюс бесконечности в минус бесконечность с постоянной скоростью) решение верно?


> 2.Вы не проверяете на логическое соответствие свои последовательные "творения"
> > > Теперь вы говорите, что при t=0, R=бесконечности
> > > Хорошо. Я беру ваше выражение
> > > vt=Rcos(wt)
> > > И ваш ответ.
> > > w=(1/t)*arctg((vt)/r)
> > > И имею следующую цепочку равенств при t=0
> > > 0 = vt = Rcos(wt) = R cos(arctg((vt)/r)) = R cos(0) = R = бесконечность
> > > Вот одна "суть недоуменя".
> > А в чём суть недоумения?
> Недоумение в том, что "0 = бесконечность", неужели вы этого не замечаете?
Заметил.
На то и дискуссия, чтоб выяснять истину.
> Чтобы вы не смогли ещё поиграть в несознанку напишу еще раз:
> Я беру ваше выражение. vt=Rcos(wt). И ваш ответ. w=(1/t)*arctg((vt)/r)
> При t=0
> 0 = vt
> vt = Rcos(wt)
> R cos(wt) = R cos(arctg((vt)/r))
> R cos(arctg((vt)/r)) = R cos(0)
> R cos(0) = R
> И вы утверждаете, что при t=0 R = бесконечность
Я всё-таки надеюсь, что речь идёт не о "ловле блох", а именно нахождении верного решения.
Если диалог продолжится, я вернусь к обсуждаемому решению. Замечу только, что R есть мгновенный радиус вращения бусинки вокруг оси вращения спицы и является величиной переменной.
Такая постановка обсуждаемого вопроса вызовет Ваши возражения?

> Т.е. вы отрыли новое математическое равенство:
> 0 = бесконечность
> С этим я вас тоже поздравляю.
Не надо торопиться.
В момент времени 0 скорость бусинки не равна нулю.
Да и возможно лишь приближение к нулю.
> > > > Не лучше-ль поискать(и признать) ошибки в собственных ответах?
> > > Покажите мне несоответствие в моих расчетах и я соглашусь. Но пока я вижу несоответсятвия у вас.
> > Сколько времени движется бусинка по Вашим решениям?
> Столько-же сколько движется прямолинейно и равномерно движущееся тело.
> Только у меня в момент времени t=0 расстояние до тела равно r "Что соответствует начальным условиям задачи."
Хорошо.
Я рассмотрю этот вариант.
Правда, при условии, что в рассматриваемый момент времени скорость бусинки равна V.
То есть ускорения не рассматриваю.
Если сумеем придти к согласию, можно будет рассмотреть вариант с ускорениями.
Устраивает?


> > > > Признать ошибку -- это не брякнуть "ну хорошо, я не прав" и не менять своего поведения.
> Быть может, сделаете попытку избавиться от комплекса превосходства и будете говорить нормально?
Вы не согласны с моим утверждением? Или по какой-то причине решили что оно относится к вам?

> Как понимаю, я просто расширил условия задачи.
Условие задачи: бусинка в начальный момент покоится относительно спицы на расстоянии r0 от оси вращения.
"Расширение" условий задачи: в начальный момент бусинка находится на бесконечности

Проще говоря -- надо было посчитать 2+2, вы получили 5, а потом говорите, что "расширили условие" до 2+4. Мало того что так себя вести довольно некрасиво, так ещё и ответ остался неправильным:
> Вы признаёте, что в рассмотренном мною случае(бусинка движется из плюс бесконечности в минус бесконечность с постоянной скоростью) решение верно?
Нет, конечно.
Ваше решение
R=r/sin(wt)
vt=Rcos(wt)
tg(wt)=vt/r
w=(1/t)*arctg((vt)/r)
Даже если принять, что вы просто перепутали синус с косинусом в геометрии задачи. Ведь у вас вообще каша -- вы делите косинус на синус и получаете тангенс.
В любом случае вы считаете, что угол равен wt, что верно только если w -- константа. В конце-же вы с успехом получаете, что w зависит от времени. Это называется "высосать решение из пальца".

> > Недоумение в том, что "0 = бесконечность", неужели вы этого не замечаете?
> Заметил.
> На то и дискуссия, чтоб выяснять истину.
> Я всё-таки надеюсь, что речь идёт не о "ловле блох", а именно нахождении верного решения.
Ну давайте для начала сойдемся, что "ваше" решение должно выглядеть вот так:
R=r/cos(wt)
vt=Rsin(wt)
tg(wt)=vt/r
w=(1/t)*arctg((vt)/r)
Так и тангенс равен синусу делить на косинус.
И при t=0 -- R=r, и не нужны никакие "расширения" условий задачи.
И бесконечность, вроде, нулю не равна.

Это решение всё равно неправильное, но хотя-бы не отдает шизофренией...


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100