ВРЕМЯ АТОМ МОЛЕКУЛА. О столкновенни шаров.

Сообщение №5562 от В.В.Федоров 02 октября 2001 г. 10:30
Тема: ВРЕМЯ АТОМ МОЛЕКУЛА. О столкновенни шаров.

Здравствуйте!
Рассмотрим упругое лобовое столкновение невзаимодействующих между собой шаров разной массы в отсутствии внешних силовых воздействий.
Закон сохранения импульса для рассматриваемого примера записывают в виде (считают, что один из шаров, например, второй, покоится до столкновения в начале покоящейся системы координат)
m1*V1 = m1*U1 + m2*U2, (1)
а закон сохранения кинетической энергии (взаимодействие шаров между собой отсутствует) -
m1*V1^2/2 = m1*U1^2/2 + m2*U2^2/2, (2)
где V1 - вектор скорости движения первого шара до столкновения, U1, U2 - векторы скоростей шаров после столкновения, m1, m2 - массы шаров соответственно.
Поскольку движение происходит вдоль прямой (одномерный случай), проходящей через центры шаров (их центры масс), что и означает лобовое столкновение, то, оставляя без внимания возможность записи закона сохранения кинетической энергии в виде комплексно-сопряженных чисел (такой прием
используется, например, в квантовой механике), математические выражения этих законов записываются так:
m1*V1 - m1*U1 = m2*U2, (3)
m1*V1^2/2 - m1*U1^2/2 = m2*U2^2/2. (4)
Классический путь решения этой задачи известен и заключается в том, что два математических выражения законов сохранения импульса и кинетической энергии молчаливо объединяют в единую математическую систему уравнений с
двумя неизвестными U1 и U2 и находят решение при постоянных m1 и m2.
Поскольку в рассматриваемом случае движение одномерно, то векторные обозначения обычно опускают и систему уравнений записывают так:
m1*v1 - m1*u1 = m2*u2, (5)
m1*v1^2/2 - m1*u1^2/2 = m2*u2^2/2. (6)
Из уравнения (5) находят
u2 = m1/m2*(v1 - u1). (7)
Подставляют в (6) и получают
v1^2 - u1^2 = m1/m2*(v1 - u1)^2. (8)
Из последнего (после сокращения на v1 - u1 неравное нулю, так как при v1 = u1 столкновение отрицается) получают
v1 + u1 = m1/m2*(v1 - u1). (9)
Откуда находят
u1 = (m1 - m2)/(m1 + m2)*v1. (10)
Подставляют в (7) и находят скорость второго шара после столкновения:
u2 = [2m1/(m1 + m2)]*v1. (11)
Анализ полученных результатов сводят к следующему:
а). Если массы тел одинаковы, то при ударе тела обмениваются импульсами (u1 = 0, а u2 = v1);
б). Если масса второго тела значительно больше массы первого шара, то u1 = -v1 и u2 -> 0.
Именно такой анализ и помагает скрыть ошибочность классического метода решения этой задачи.
Переход от векторного уравнения (1) к скалярному, записанному в виде
m1*v1 = m1*u1 + m2*u2, (12)
означает однонаправленность всех векторов, то есть определение v1, u1, u2 положительными величинами, а поэтому решение (10) при соотношении масс m1справедливы только для случая m1>m2.
Если значение величины скорости первого шара после столкновения можно считать вполне правдоподобным, то значение величины скорости второго шара после столкновения u2 при m1>m2 к таковому не отнесешь, так как оно всегда
больше величины скорости первого шара до столкновения (! - следует из (11)).
Пример: m1 = 5кг, m2 = 1кг, v1 = 3м/сек, u1 = 2м/сек, u2 = 5м/сек. Результат не нуждается в дополнительных комментариях.
В чем же причина?
Причина весьма проста и заключается в том, что при решении задачи этим классическим методом мы отказались от закона сохранения кинетической энергии, а вместо него при решении задачи использовали другой закон -
v1 + u1 = u2, (13)
абсурдность которого с физической точки зрения (при m1 не равно m2) очевидна. (Это следует из выражений (7) и (9).) Система уравнений, решением которой занимались, записывается в виде:
m1*v1 - m1*u1 = m2*u2, (14)
v1 + u1 = u2, (15)
а не в виде уравнений (5), (6). Именно поэтому результат решеня и оказался неправдоподобным для случая m1>m2.
Если m1= m2, то система физических уравнений (5) и (6) действительно может быть заменена математической и ее единственным решением будет u1 = 0, а u2 = v1. Именно такой эксперимент столкновения шаров обычно и демонстрируется.
Уместно будет заметить, что в этом случае (m1 = m2) сами физические понятия импульса и кинетической энергии при принятии массы шара за единицу измерения массы не раскрываются: под импульсом материальной точки единичной
массы можно понимать величину m^a*v, а под кинетической энергией - m^b*v^2/2, где a и b - действительные числа и могут отличаться друг от друга.
Нельзя считать, что результаты решения уравнений (5) и (6) для случая m1>m2 можно распространить и на случай столкновения шаров с m1В.В.Федоров
Спасибо за внимание.


Отклики на это сообщение:

Вы (может быть, неумышленно) здесь опубликовали
первые два хода старинной трехходовки
"Декарт - Лейбниц - де Меран".
Когда-то Декарт решил эту задачу и открыл закон сохранения
импульса. Его корявое решение вы назвали классическим.
Через полвека Лейбниц "опроверг" и это решение, и сам
закон сохранения импульса. У вас - похожее опровержение.
Еще через 30 лет де Меран разъяснил примерно следующее:
Проекция вектора на ось - это не скаляр. Проекция отрицательна,
если вектор смотрит назад.
Модуль (длина) ветора - скаляр, причем всегда положительный.
Решение Декарта справедливо, если под v1,u1,u2 подразумевать
проекции векторов на ось.
Закон сохранения импульса верен для векторов (и их проекций),
но не для скаляров.
Легкий шарик действительно отлетит быстрее ударившего его в лоб тяжелого шарика.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100