Брахистохрона под Землей

Сообщение №52884 от Pulsar 03 февраля 2008 г. 01:23
Тема: Брахистохрона под Землей

Я занимался такой задачей: какой формы должен быть туннель под Землей между двумя точками на поверхности, чтобы тело без трения передвигалось из одной точки в другую за наименьшее время. Земля, разумеется, считается однородной и шарообразной.

Кто-нибудь знает, рассматривалась ли эта задача в литературе?


Отклики на это сообщение:

> Я занимался такой задачей: какой формы должен быть туннель под Землей между двумя точками на поверхности, чтобы тело без трения передвигалось из одной точки в другую за наименьшее время. Земля, разумеется, считается однородной и шарообразной.

> Кто-нибудь знает, рассматривалась ли эта задача в литературе?

Вообще говоря, решение задачи о брахистохроне в однородном поле тяжести записывается в виде:

x(φ) = R*( φ - sin φ)
y(φ) = R*( 1 - cos φ)

Несложно заметить, что самой величины действующей силы тяжести в этом решении нет.
Нет и направления этой силы, но направление неявно присутствует в самом решении.
Поэтому траектория движения (циклоида) является инвариантом, и не зависит от величины действующей силы.
Разным будет лишь время движения по циклоиде из точки А в точку В.

Если Вас однородное поле тяжести не устраивает, то можно взять решение в центральном поле.
Это будут гипоциклоиды смотрите http://forum.nad.ru/rusboard/messages/52682.html .


> Несложно заметить, что самой величины действующей силы тяжести в этом решении нет.
> Нет и направления этой силы, но направление неявно присутствует в самом решении.
> Поэтому траектория движения (циклоида) является инвариантом, и не зависит от величины действующей силы.

Не факт, что под землёй будет тоже брахистохрона. Может это конечно и так, но это ещё нужно доказать.


> Не факт, что под землёй будет тоже брахистохрона. Может это конечно и так, но это ещё нужно доказать.

Вообще нужно найти минимум функционала

При постоянном g можно переписать:

В общем случае скорость нужно выразить через изменение потенциальной энергии, которая под землёй не будет равна mgy.


> > Несложно заметить, что самой величины действующей силы тяжести в этом решении нет.
> > Нет и направления этой силы, но направление неявно присутствует в самом решении.
> > Поэтому траектория движения (циклоида) является инвариантом, и не зависит от величины действующей силы.

> Не факт, что под землёй будет тоже брахистохрона. Может это конечно и так, но это ещё нужно доказать.

Брахистохрона - она и над Землей, и под Землей, и в Африке она брахистохрона.
Разумеется, в радиальном поле вид брахистохроны будет иной(гипоциклоиды и эпициклоиды - в зависимости от варианта задачи), но смысл прежний.
В этом случае ничего доказывать не надо.
Все и так очевидно.


> > Не факт, что под землёй будет тоже брахистохрона. Может это конечно и так, но это ещё нужно доказать.

> Вообще нужно найти минимум функционала
>
> При постоянном g можно переписать:
>
> В общем случае скорость нужно выразить через изменение потенциальной энергии, которая под землёй не будет равна mgy.

Для начала нужно задачу сформулировать корректно, определить метрику, понять физический смысл решаемой задачи.
А уж затем писать формулы.
А Вы сначала формулы пишите - потом думаете.


> Если Вас однородное поле тяжести не устраивает, то можно взять решение в центральном поле.
> Это будут гипоциклоиды

Меня как раз интересует, где проделаны эти вычисления.


> > Если Вас однородное поле тяжести не устраивает, то можно взять решение в центральном поле.
> > Это будут гипоциклоиды

> Меня как раз интересует, где проделаны эти вычисления.

   Вас интересует центральное поле тяжести, насколько я понял.
   Подробного исследования этой темы я нигде не встречал.
   Могу Вам предложить ознакомиться лишь со следующей публикацией, которая, на мой взгляд, является очень неудачной.
   Тем не менее - посмотреть полезно.
http://tom.imm.uran.ru/iagsoft/trasbo2_1_.html#sn2

   Обычно в литературе для центрального поля имеются лишь предположения того, что в центральном поле мы будем наблюдать тот же вариант, что и в однородном поле, только "вид с боку".
   Это и понятно, поскольку ничего другого мы предложить не можем.
   И даже если центральный вариант будет другим, то ничего не изменится, поскольку и в этом случае мы вынуждены будем изменить метрику пространства таким образом, чтобы результаты коррелировали друг с другом.


> А Вы сначала формулы пишите - потом думаете.

Всё-всё.. ухожу.. извините..


>    Могу Вам предложить ознакомиться лишь со следующей публикацией, которая, на мой взгляд, является очень неудачной.
>    Тем не менее - посмотреть полезно.
> http://tom.imm.uran.ru/iagsoft/trasbo2_1_.html#sn2

Да, действительно, странная работа. Кажется, ее цель - применить как-нибудь вычислительную технику. На самом деле, тот функционал (время от траектории) минимизируется обычным способом, через уравнение Эйлера. В результате получается уравнение вида

Численно посчитать такой интеграл гораздо проще, чем минимизировать исходный функционал.

Для осцилляторного потенциала (а именно таким будет потенциал в туннеле) можно получить аналитическую связь между r и φ. Я проделал эти вычисления и хотел бы их сравнить с тем, что есть в литературе.


> >    Могу Вам предложить ознакомиться лишь со следующей публикацией, которая, на мой взгляд, является очень неудачной.
> >    Тем не менее - посмотреть полезно.
> > http://tom.imm.uran.ru/iagsoft/trasbo2_1_.html#sn2

> Да, действительно, странная работа. Кажется, ее цель - применить как-нибудь вычислительную технику. На самом деле, тот функционал (время от траектории) минимизируется обычным способом, через уравнение Эйлера. В результате получается уравнение вида

Я не знаю формулировки Вашей задачи, но думаю Вы где-то ошиблись.

>

> Численно посчитать такой интеграл гораздо проще, чем минимизировать исходный функционал.

> Для осцилляторного потенциала (а именно таким будет потенциал в туннеле) можно получить аналитическую связь между r и φ. Я проделал эти вычисления и хотел бы их сравнить с тем, что есть в литературе.

Ну и что Вам даст эта связь?
В любом случае метрики у Вас нет.
А без метрики - что Вы вычисляете?


> > > http://tom.imm.uran.ru/iagsoft/trasbo2_1_.html#sn2
> > На самом деле, тот функционал (время от траектории) минимизируется обычным способом, через уравнение Эйлера.
> Я не знаю формулировки Вашей задачи, но думаю Вы где-то ошиблись.

Моя задача сформулирована в моем первом сообщении.
Однако чуть выше было написано мое мнение о публикации, на которую Вы привели ссылку.

> > Для осцилляторного потенциала (а именно таким будет потенциал в туннеле) можно получить аналитическую связь между r и φ. Я проделал эти вычисления и хотел бы их сравнить с тем, что есть в литературе.
> Ну и что Вам даст эта связь?

Ответ на задачу :)

> В любом случае метрики у Вас нет.
> А без метрики - что Вы вычисляете?

А я не понимаю, причем здесь метрика. Сформулированная задача - классическая. Ясно, что метрика евклидова. Потенциал выбран определенный - он пропорционален длине радиус-вектора. Вот и всё.


> Я занимался такой задачей: какой формы должен быть туннель под Землей между двумя точками на поверхности, чтобы тело без трения передвигалось из одной точки в другую за наименьшее время. Земля, разумеется, считается однородной и шарообразной.

Думаю, что туннель должен быть в виде прямой линии, соединяющей точки А и В. При этом от расстояния между точками А и В время не зависит (оно будет одним и тем же).



> > > Для осцилляторного потенциала (а именно таким будет потенциал в туннеле) можно получить аналитическую связь между r и φ. Я проделал эти вычисления и хотел бы их сравнить с тем, что есть в литературе.
> > Ну и что Вам даст эта связь?

> Ответ на задачу :)
Ну-ну!
Как бы не так!
Мечтать не вредно!!!

> > В любом случае метрики у Вас нет.
> > А без метрики - что Вы вычисляете?

> А я не понимаю, причем здесь метрика. Сформулированная задача - классическая. Ясно, что метрика евклидова. Потенциал выбран определенный - он пропорционален длине радиус-вектора. Вот и всё.

Я вижу что Вы не понимаете смысла задачи.
Позвольте спросить:
- Что такое евклидова метрика в центральном поле???


> Ну-ну!
> Как бы не так!
> Мечтать не вредно!!!
> Я вижу что Вы не понимаете смысла задачи.


> Я вижу что Вы не понимаете смысла задачи.

Знаете, если я придумал задачу, то, наверно, понимаю ее смысл.

> Позвольте спросить:
> - Что такое евклидова метрика в центральном поле???

Да, я заметил, когда перечитывал свой пост, что не совсем корректно написал. Строго говоря, нужно было написать, что метрика плоская. dr2 + r22, чтобы не было вопросов. А поле на метрику (еще раз повторяю, что задача классическая) никак не влияет.


> > Я вижу что Вы не понимаете смысла задачи.

> Знаете, если я придумал задачу, то, наверно, понимаю ее смысл.

Странно.
Вы придумали, а решал ее еще Птолемей в Древней Греции.

> > Позвольте спросить:
> > - Что такое евклидова метрика в центральном поле???

> Да, я заметил, когда перечитывал свой пост, что не совсем корректно написал. Строго говоря, нужно было написать, что метрика плоская. dr2 + r22, чтобы не было вопросов. А поле на метрику (еще раз повторяю, что задача классическая) никак не влияет.

Я тоже это заметил - как ни странно.
И тогда чему равно расстояние между двумя точками в ВАШЕЙ МЕТРИКЕ???


> Думаю, что туннель должен быть в виде прямой линии, соединяющей точки А и В. При этом от расстояния между точками А и В время не зависит (оно будет одним и тем же).

Да, и при этом тело будет совершать гармонические колебания с периодом T, равным, насколько я помню, 84 минуты :)

На самом деле есть простое рассуждение, показывающее, что прямая - не оптимальная траектория. Давайте посмотрим на чертеж.

Чертеж

Время движения тела от A до B есть T/2, а от D (середина отрезка AB) до B – T/4. То же самое будет для отрезка CB, время движения тела от точки E (середина CB) до B есть T/4. Это значит, что движение по отрезку FB займет меньше времени, чем T/4. Из соображений симметрии время движения по отрезку AF будет таким же, как и по FB. Таким образом, время движения тела по траектории AFB оказывается меньше времени движения по ADB (которое равно T/2).

Излом в точке F не может помешать рассмотрению этой траектории, так как его можно сгладить таким образом, что эффект от сглаживания будет сколь угодно малым.

Да, вот еще что: прямая линия является "кривой наибыстрейшего ската" в случае свободного движения, если потенциал - константа :)


> > > Я вижу что Вы не понимаете смысла задачи.
> > Знаете, если я придумал задачу, то, наверно, понимаю ее смысл.
> Странно.
> Вы придумали, а решал ее еще Птолемей в Древней Греции.

Не слышал, чтобы он задавался вопросом построения оптимального туннеля под Землей. Или, говоря другими словами, искал форму кривой наибыстрейшего ската в осцилляторном потенциале.

> > > Позвольте спросить:
> > > - Что такое евклидова метрика в центральном поле???
> > Да, я заметил, когда перечитывал свой пост, что не совсем корректно написал. Строго говоря, нужно было написать, что метрика плоская. dr2 + r22, чтобы не было вопросов. А поле на метрику (еще раз повторяю, что задача классическая) никак не влияет.
> Я тоже это заметил - как ни странно.
> И тогда чему равно расстояние между двумя точками в ВАШЕЙ МЕТРИКЕ???

Вы хотите, чтобы я перешел от полярных координат к декартовым и подставил в (Δx2+Δy2)1/2?


> > > > Я вижу что Вы не понимаете смысла задачи.
> > > Знаете, если я придумал задачу, то, наверно, понимаю ее смысл.
> > Странно.
> > Вы придумали, а решал ее еще Птолемей в Древней Греции.

> Не слышал, чтобы он задавался вопросом построения оптимального туннеля под Землей. Или, говоря другими словами, искал форму кривой наибыстрейшего ската в осцилляторном потенциале.

Под Землей тоннели Птолемей, разумеется, не строил.
Но зато он их замечательно "строил" в космосе.
"Система Мира" Птолемея до сих пор остается одной из лучших.
По формулировке задача Птолемея движения "небесных сфер" от Вашей ничем не отличается.

> > > > Позвольте спросить:
> > > > - Что такое евклидова метрика в центральном поле???
> > > Да, я заметил, когда перечитывал свой пост, что не совсем корректно написал. Строго говоря, нужно было написать, что метрика плоская. dr2 + r22, чтобы не было вопросов. А поле на метрику (еще раз повторяю, что задача классическая) никак не влияет.
> > Я тоже это заметил - как ни странно.
> > И тогда чему равно расстояние между двумя точками в ВАШЕЙ МЕТРИКЕ???

> Вы хотите, чтобы я перешел от полярных координат к декартовым и подставил в (Δx2+Δy2)1/2?

Я хочу увидеть ответ, и посмотреть, насколько уверенно Вы разбираетесь в этом вопросе.
Короче говоря, напишите ответ, и обоснуйте его.


> Вы хотите, чтобы я перешел от полярных координат к декартовым и подставил в (Δx2+Δy2)1/2?

Пульсар, Озес - тролль, он Вас разводит на разговор.
Я получил уравнение Эйлера-Лагранжа, но пока не получается его решить.
До встречи, AID.


> > Вы хотите, чтобы я перешел от полярных координат к декартовым и подставил в (Δx2+Δy2)1/2?

> Пульсар, Озес - тролль, он Вас разводит на разговор.

Я понимаю :)
Поэтому с ним я краток.

> Я получил уравнение Эйлера-Лагранжа, но пока не получается его решить.

Хотите подсказку? У этого уравнения есть первый интеграл, который выражается через подынтегральную функцию.


> > > И тогда чему равно расстояние между двумя точками в ВАШЕЙ МЕТРИКЕ???
> > Вы хотите, чтобы я перешел от полярных координат к декартовым и подставил в (Δx2+Δy2)1/2?
> Я хочу увидеть ответ, и посмотреть, насколько уверенно Вы разбираетесь в этом вопросе.

Вполне уверенно.

> Короче говоря, напишите ответ,

l2 = (r2cosφ2 - r1cosφ1)2 + (r2sinφ2 - r1sinφ1)2.

> и обоснуйте его.

Очевидно.


> > Вы хотите, чтобы я перешел от полярных координат к декартовым и подставил в (Δx2+Δy2)1/2?

> Пульсар, Озес - тролль, он Вас разводит на разговор.
> Я получил уравнение Эйлера-Лагранжа, но пока не получается его решить.
> До встречи, AID.

Уважаемый AID!

Это Вы не можете решить эту задачу, а не я.
Лично для меня решение очевидно и без интегралов.
Ответ этой задачи я написал в самом первом своем сообщении.
Еще раз повторяю Вам ответ - это гипоциклоида.
Ничего другого Вы получить не сможете.

Что же касается разговора с Пульсаром и с Вами, то он для меня не представляет никакого интереса.


> > > > И тогда чему равно расстояние между двумя точками в ВАШЕЙ МЕТРИКЕ???
> > > Вы хотите, чтобы я перешел от полярных координат к декартовым и подставил в (Δx2+Δy2)1/2?
> > Я хочу увидеть ответ, и посмотреть, насколько уверенно Вы разбираетесь в этом вопросе.

> Вполне уверенно.

> > Короче говоря, напишите ответ,

> l2 = (r2cosφ2 - r1cosφ1)2 + (r2sinφ2 - r1sinφ1)2.

> > и обоснуйте его.

> Очевидно.

Все понятно с Вами, уважаемый Пульсар

Где Вы видели расстояние между двумя точками в виде квадрата
Учите физику, уважаемый Пульсар.


> > l2 = (r2cosφ2 - r1cosφ1)2 + (r2sinφ2 - r1sinφ1)2.

> > > и обоснуйте его.

> > Очевидно.

> Все понятно с Вами, уважаемый Пульсар

C Вами тоже.

> Где Вы видели расстояние между двумя точками в виде квадрата

Это Вы не увидели, что я привел формулу не для расстояния, а для квадрата расстояния, l2.


Да, кстати, нужно выяснить один момент.

> Лично для меня решение очевидно и без интегралов.
> Ответ этой задачи я написал в самом первом своем сообщении.
> Еще раз повторяю Вам ответ - это гипоциклоида.

Вот что Вы тогда написали:

> Если Вас однородное поле тяжести не устраивает, то можно взять решение в центральном поле.
> Это будут гипоциклоиды

Центральных полей много. Уточните, для какого вида потенциала ответ - гипоциклоида. Из Вашего сообщения это непонятно.


> Потенциал выбран определенный - он пропорционален длине радиус-вектора.

Здесь у меня ошибка. Это сила пропорциональна расстоянию до центра, а потенциал, конечно параболический.


> > Думаю, что туннель должен быть в виде прямой линии, соединяющей точки А и В. При этом от расстояния между точками А и В время не зависит (оно будет одним и тем же).

> Да, и при этом тело будет совершать гармонические колебания с периодом T, равным, насколько я помню, 84 минуты :)

Да, 84.5 минуты - "космический период" :)

> На самом деле есть простое рассуждение, показывающее, что прямая - не оптимальная траектория. Давайте посмотрим на чертеж.

> Чертеж

> Время движения тела от A до B есть T/2, а от D (середина отрезка AB) до B – T/4. То же самое будет для отрезка CB, время движения тела от точки E (середина CB) до B есть T/4. Это значит, что движение по отрезку FB займет меньше времени, чем T/4. Из соображений симметрии время движения по отрезку AF будет таким же, как и по FB. Таким образом, время движения тела по траектории AFB оказывается меньше времени движения по ADB (которое равно T/2).

Точно!
Кстати, если сделать расстояние между точками А и В очень малым, скажем 1 м, то искомое время можно легко сделать порядка секунд. Ясно, что наилучший результат даст движение по циклоиде, ибо поле в этом случае практически однородно.
Замечу, что теория для неоднородного поля в пределе малых расстояний АБ должна приводить именно к циклоиде.

> Излом в точке F не может помешать рассмотрению этой траектории, так как его можно сгладить таким образом, что эффект от сглаживания будет сколь угодно малым.

Можно вообще установить в точке F "отражательную" плоскость под нужным углом, и вся недолгая...

ЗЫ Вы задавали вопрос, решалась ли задача о о брахистохроне в центральном поле тяготения? Навскидку нашел такую работу: ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ.


> Замечу, что теория для неоднородного поля в пределе малых расстояний АБ должна приводить именно к циклоиде.

Да, конечно. Она и приводит :)

> ЗЫ Вы задавали вопрос, решалась ли задача о брахистохроне в центральном поле тяготения?

Можно и так сказать. Там получается, что для произвольного центрального поля связь между полярным углом и расстоянием до центра притяжения выражается через определенный интеграл. Для кулоновского потенциала этот интеграл связан с эллиптическими функциями. А для осцилляторного потенциала интеграл можно взять аналитически.

> Навскидку нашел такую работу: ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ.

Да, я тоже находил эту работу.
Правда, там только получен функционал для времени движения. А графики, полученные численными методами, выглядят уж очень странно.


> > Навскидку нашел такую работу: ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ.

> Да, я тоже находил эту работу.
> Правда, там только получен функционал для времени движения. А графики, полученные численными методами, выглядят уж очень странно.

Вы делали анализ литературы по этой проблеме? Я ввел в поисковик Brachistochrone in a central force field, и он сразу выдал множество ссылок. Вы уверены, что это непаханое поле?


> Вы делали анализ литературы по этой проблеме? Я ввел в поисковик Brachistochrone in a central force field, и он сразу выдал множество ссылок. Вы уверены, что это непаханое поле?

Мне пришла идея получше - попробовать Brachistochrone Hypocycloid (для осцилляторного потенциала брахистохрона - действительно гипоциклоида). Нашел только две толковых ссылки: http://mathworld.wolfram.com/SpherewithTunnel.html и http://people.vanderbilt.edu/~kalman.varga/cm/brach_inside.pdf. В первой ссылке практически только констатация факта, а в PDF-документе по второй ссылке есть вычисления. Надо будет в них разобраться, так как по ним имеются вопросы, однако с первого взгляда удивляет использование декартовой системы координат (я проводил вычисления в полярных координатах).


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100