Уравнения Лагранжа

Сообщение №51700 от Polina 05 ноября 2007 г. 14:00
Тема: Уравнения Лагранжа

Добрый день! Мне срочно нужен реферат по теме: функция Лагранжа, принцип наименьшего действия в аналитической динамике, симметрия функции Лагранжа и законы сохранения. Подскажите где бы скачать информацию.


Отклики на это сообщение:

> Добрый день! Мне срочно нужен реферат по теме: функция Лагранжа, принцип наименьшего действия в аналитической динамике, симметрия функции Лагранжа и законы сохранения. Подскажите где бы скачать информацию.

Ландау и Лифшиц - первый том.


> Добрый день! Мне срочно нужен реферат по теме: функция Лагранжа, принцип наименьшего действия в аналитической динамике, симметрия функции Лагранжа и законы сохранения. Подскажите где бы скачать информацию.


Вот короткий реферат на эту тему. Оригинальный.

*** Замечательное уравнение кинематики. ***

Резюме.

В предлагаемой статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Показана возможность, на основе дифференциальных определений физических величин, переноса метода составления простейших уравнений движения в другие разделы физики. Рассматриваются зависимости времени t(x), скоростей v(x), ускорений a(x) от координат, то есть обратные задачи кинематики, которые редко встречаются в учебниках механики.

* В большинстве учебников по механике раздел кинематики ограничивается определениями траектории, системы координат, перемещения , скорости v=dx/dt, ускорения a=dv/dt и выводом формул пути для средней, мгновенной скорости, пути для равноускоренного движения X=Xo+v*t+a*t^2/2. Оказывается: из формул, определяющих скорость v=dx/dt и ускорение a=dv/dt, получается замечательная пропорция

-------- v*dv = a*dx ------- , или -- v(x)*dv(x)=a(x)*dx -- ,

то есть дифференциальное уравнение с разделяемыми переменными. Область ее применения оказывается неожиданно обширной. По аналогии с выводом этого уравнения, можно вывести, подобные ему, дифференциальные уравнения вращательного движения, движения по кругу и других физических процессов, для которых даны определения физической величины Y(x), ее первой y'(x) и второй y''(x) производных. Из определений мгновенных скорости и ускорения получаются следствия: dv/dx = a/v, dt = dx/v(x), x(t) = 1/t(x), применение которых редко встречается в решениях задач по механике.

-- Вывод закона сохранения механической энергии. --

Умножим обе части уравнения на постоянную величину m, то есть массу, и проинтегрируем уравнение. Получим m*v^2/2 = m*a*x. Выразив уравнение в определенных интегралах, получим полную формулу закона сохранения энергии. Кстати, получили в левой части формулу кинетической энергии, в правой - потенциальной. Для вращательного движения, аналогично - из определений угловой скорости w=df/dt и углового ускорения e=dw/dt получаем пропорцию, умножим ее на постоянные массу, радиус в квадрате и проинтегрировав, получаем формулу закона сохранения m*(w*R)^2/2 = m*e*R^2*f. Коротко и убедительно, по сравнению с доказательством через множество трехэтажных формул в теореме Нетер. Кстати, через определяющие формулы угловой скорости dv/dr=w=v/r можно вывести очень простое доказательство закона сохранения момента импульса m*( r*dv+v*dr)=0 или m*v*r=Const.

***Алгоритмы решения задач на основе уравнения.***

* Если известна зависимость ускорения от координат a(x), то уравнение примет вид v^2(x)=2*Integr(a(x)*dx). Например: a(x)= K*x ---> v^2(x)= 2*K*Integr(x*dx) a(x)= G/x^2 ---> v^2(x)= 2*G*Integr(dx/x^2) 1. Находим скорость v(x)=(2*Integr(a(x)*dx))^0,5 2. Находим время t(x)=Integr(dx/v(x)) 3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).

* Если известна зависимость ускорения от скорости a(v), то она переносится в левую часть уравнения. Например: a(v)=g-k*v ---> dv/g-kv= dx a(v)=g-k*v^2 ---> dv/g-kv^2= dx 1. Находим зависимость x(v), обратную функцию v(x)=1/x(v) 2. Находим зависимости t(x)=Integr(dx/v(x)) 3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).

* Усли известна зависимость v(x), то, интегрируя, находим t(x)=Integr(dx/v(x)).
* Если известна зависимость v(t), находим из нее первообразную - X(t) и производную - a(t). * Заметим - мы не прибегаем здесь к теории дифференциальных уравнений, где даются, в виде решений, готовые функции для каждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции. * Заметим - это замечательное уравнение является шаблоном для подстановки в него известных функций при решении конкретных задач. При этом нужно решать полученные уравнения в определенных интегралах, чтобы учесть заданные начальные условия. Иначе можно получить не верную формулу или формулу, где значение физической величины не имеет предела. В теоретической механике существуют похожие шаблоны в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и т.д.
* Уравнение закона сохранения механической энергии в интегральном виде часто называют функцией Лагранжа или лагранжианом, в дифференциальном виде - просто уравнением Лагранжа. Решение задачи, обратной интегральным задачам, алгоритм решения которых описан выше, заключается в нахождении частных производных (то есть зависимостей скорости v(x)или ускорения a(x), a(v)) в лагранжиане (то есть в уравнении энергий).

****Примеры решения задач.****

* Найти время падения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. Дана зависимость а(х)=g/x^2, где x=(h+R)/R, g=10м/с^2, R=6371км. сопротивление атмосферы не учитывать. Решение: находим v^2(x)= 2*Integr(g*dx/x^2)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5, находим t(x)=Int(dx/v(x))= (R/2g)^0,5*Xo^3/2*(pi/2-arcsin((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5) Ответ: время падения t=2072c.
* Найти период колебаний пружинного маятника, если известна зависимость a(x)=k*x/m. Решение: находим v^2(x)=2*Integr(k/m)*x*dx=(k/m)*(Xo^2-x^2) находим T=4* t(x)=4*Integr(dx/v(x))=2*Pi*(m/k) Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода, исходя из готовой функции x= A*sin(w*t), определяющей гармонические колебания.


> * Уравнение закона сохранения механической энергии в интегральном виде часто называют функцией Лагранжа или лагранжианом, в дифференциальном виде - просто уравнением Лагранжа. Решение задачи, обратной интегральным задачам, алгоритм решения которых описан выше, заключается в нахождении частных производных (то есть зависимостей скорости v(x)или ускорения a(x), a(v)) в лагранжиане (то есть в уравнении энергий).

Я думаю, что это утверждение ошибочно.
Подробнее распишите - посмотрим, что получится.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100