Вращение тела и сбережение энергии

Сообщение №51059 от foyevtsov 28 сентября 2007 г. 12:33
Тема: Вращение тела и сбережение энергии

Добрый дeнь. Помогитe пожалуйста.
Прeдположим eсть у нас тeло массой m (пусть это будeт палка длинной l), на нeго дeйствуeт сила F, приложeнная к цeнтру масс тeла, на протяжeнии врeмeни t. Систeма eстeствeнно замкнутая, трeния нeт. Эта сила совeршит работу:
A = F*s;
Эта работа пойдeт на ускорeниe тeла и чeрeз врeмя t будeт равна eго кинeтичeской энeргии:
Ek = m*v^2/2 = (m/2)*(F*t/m)^2 = (1/2*m)*(F*t)^2
которую мы можeм посчитать.
А тeпeрь эта жe сила дeйствуйeт на это же тeло, но дeйствуeт нe на цeнтр масс, а пeрпeндикулярно к краю этой палки, то eсть стараeтся eго раскрутить.
Какая-то часть работы силы пойдeт на кинeтичeскую энeргию вращeния:
Uk = (I*w^2)/2;
I = (m*l^2)/12 (цeнтр вращeния проходит чeрeз сeрeдину палки l/2, пeрпeндикулярно к нeй)
Естeствeнно, Uk =< Ek;
момeнт силы M = F*(l/2) = I*(w/t), отсюда: w = F*l*t/(2*I);
w^2 = (F*l*t)^2 /(4*I^2);
Uk = (1/2) * I*(F*l*t)^2/(4*I^2) = (1/8) * (F*l*t)^2 /I;
и подставим I в послeднee выражeниe:
Uk = (1/8) * (F*l*t)^2 / (m*l^2 /12) = (12/8) * (F*t)^2 / m =
= 3* (F*t)^2 / (2*m) = 3 * Ek;

Выходит одна и та жe сила выполнила в 3 раза болшe работы, дeйствуя просто в другую точку тeла? Что-то тут не так.

Пояснитe гдe я чeго нeдоглядываю. Спасибо большое.


Отклики на это сообщение:

> Выходит одна и та жe сила выполнила в 3 раза болшe работы, дeйствуя просто в другую точку тeла? Что-то тут не так.

Не просто в другую точку, меняется характер движения.


Вопрос был в следующем: откуда берется еще 2*Ek? Ведь максимальная энергия Ek (Ek = m*v^2/2), не так ли? А то что меняется характер движения - это немудрено, но энергия должна ведь сохраняться. Иначе - вечный двигатель, вот и вопрос: где я ошибся?


> Вопрос был в следующем: откуда берется еще 2*Ek? Ведь максимальная энергия Ek (Ek = m*v^2/2), не так ли? А то что меняется характер движения - это немудрено, но энергия должна ведь сохраняться. Иначе - вечный двигатель, вот и вопрос: где я ошибся?

Причем здесь сохранение энергии?
Почему Ek максимальна?
На тело действует внешняя сила. Сколько она передаст энергии зависит от пути пройденном точкои приложения силы.


Хорошо. А если система замкнута, в ней есть 2 тела одинаковых масс, только одно шар, а другое палка. Вначале палка покоится, а шар двигается со скоростью V. После соударения энергия шара передастся палке (пусть он ударит ее перпендикулярно в сам краешек). Легко показать, что
(m*v^2)/2 = F*s = (F*a*t^2)/2 = F* {(F/m)*t^2}/2 = (F*t)^2 / (2*m)

Т.е. энергия системы стала такой благрдаря действию силы F на протяжении времени t, которая после взаимодействия передалась палке.


> Хорошо. А если система замкнута, в ней есть 2 тела одинаковых масс, только одно шар, а другое палка. Вначале палка покоится, а шар двигается со скоростью V. После соударения энергия шара передастся палке (пусть он ударит ее перпендикулярно в сам краешек). Легко показать, что
>
(m*v^2)/2 = F*s = (F*a*t^2)/2 = F* {(F/m)*t^2}/2 = (F*t)^2 / (2*m)

Не вполне понял что Вы имеете ввиду. Как процесс сей происходит?


> > Хорошо. А если система замкнута, в ней есть 2 тела одинаковых масс, только одно шар, а другое палка. Вначале палка покоится, а шар двигается со скоростью V. После соударения энергия шара передастся палке (пусть он ударит ее перпендикулярно в сам краешек). Легко показать, что
> >
(m*v^2)/2 = F*s = (F*a*t^2)/2 = F* {(F/m)*t^2}/2 = (F*t)^2 / (2*m)

Неподвижная точка в этой системе - противоположный конец палки.
Ур-ние моментов импульса M*V*L=M*V1*L+m*V2*L/2
Уравнение импульсов M*V=M*V1+m*V2
Ур-ние энергий M*V^2=M*V1^2+m*V^2+m*L^2*w^2/12
w=2*V2/L
Коль массы одинаковы, то сократим их.
Можно по-другому:
e=F*L/J
F=a*M
Короче- условная масса палки m/12 ( так как J=m*L^2/12) сталкивается с массой M шара, откуда сразу найдем отношение e*L/a=12*M/m , так как из сохр.имп. ускорения a И eL обратно пропорциональны массам тел.
Время соударения одинаково и скорости точек соприкосновения пропорциональны их ускорениям. Скорость центра масс палки в 2 раза меньше будет, чем точка удара. Отсюда ур-ние импульсов M*V=M*V1 + m*V1*6 Ответ виден: V1=V/6 V2=5V/6 , но не уверен. И все остальное не обязательно верно.
Интересная задача, редко разбирают свободные движения тел.


Ответ виден: V1=V/7 V2=6V/7 , но не уверен. И все остальное не обязательно верно.
>


> > Вопрос был в следующем: откуда берется еще 2*Ek? Ведь максимальная энергия Ek (Ek = m*v^2/2), не так ли? А то что меняется характер движения - это немудрено, но энергия должна ведь сохраняться. Иначе - вечный двигатель, вот и вопрос: где я ошибся?

> Причем здесь сохранение энергии?
> Почему Ek максимальна?
> На тело действует внешняя сила. Сколько она передаст энергии зависит от пути пройденном точкои приложения силы.

Интересная задача. Пока ни кто не решил. Я уже задавал такую. По-моему так:
Постоянная сила F всегда перпендикулярна палке, потому вектор силы вращается с угловой скоростью палки. . Главная проблема - где неподвижная точка? Если в центре палки, то все просто F*R=J*e и тогда угол через время действия силы будет f=e*t^2/2
S=f*R
A=F*S
R=L/2 -половинка палки.
То есть относительно центра масс J=mR^2/12 и лин.уск а=12*F/m
A=12*(F*R*t)^2/2, может и ошибся.
В любом случае центр масс палки или неподвижен или будет вращаться вокруг неподвижной точки.


> Интересная задача. Пока ни кто не решил. Я уже задавал такую.

Задача действительно интересная. Взялся я моделировать взаимодействие тел в замкнутой системе, но ес-но столкнулся вот с этой задачкой. Выглядело не очень трудно, но, с точным решением никак.
Подумываю поставить эксперимент.
Спасибо за мысли по задачке, завтра обдумаю, может чего нового придет в голову.

А где эту задачку задавали говорите? Сдесь на форуме, или где еще?


Попробовал решить так:
Сила действует на кончик палки. Перейдем в новую систему координат, с началом в точке приложения силы. Система будет не инерциальная, т.к. двигается с ускорением (сила ведь разгоняет палку). Значит, в новой системе координат на тело будет действовать такая же сила, но в противоположном направлении, приложенная к центру масс.
Палка вращается вокруг конца, значит момент инерции:
I=mL^2/2
момент силы:
M=FL/2=Iw/t, отсюда
w=FLt/(4I^2)
Подставим теперь єти формулі в формулу єнергии вращения (E=Iw^2/2):
E=...=(3/8)(F^2*t^2)/(2m),
т.е. теперь 75% от энергии mv^2/2, а вероятно 25% энергии пойдет на энергию поступательного движения.

Что скажите? как вам такой вариант?


> Попробовал решить так:
> Сила действует на кончик палки. Перейдем в новую систему координат, с началом в точке приложения силы. Система будет не инерциальная, т.к. двигается с ускорением (сила ведь разгоняет палку).

А куда в ней оси направленны?
Они вращаются вместе с палкой или движутся поступательно?


> > Попробовал решить так:
> > Сила действует на кончик палки. Перейдем в новую систему координат, с началом в точке приложения силы. Система будет не инерциальная, т.к. двигается с ускорением (сила ведь разгоняет палку).

> А куда в ней оси направленны?
> Они вращаются вместе с палкой или движутся поступательно?

Предполагалось, что новая система координат движется прямолинейно. Ее оси нарпавлены одна вдоль палки, а вторая перпендикулярно ей (т.е. в направлении движения этой системы)


> Предполагалось, что новая система координат движется прямолинейно. Ее оси нарпавлены одна вдоль палки, а вторая перпендикулярно ей (т.е. в направлении движения этой системы)

Еще непонятнее. Неинерциальность её в чём?


> Еще непонятнее. Неинерциальность её в чём?

как это в чем? На тело действует сила, тело (и точка начала координат) движется с ускорением - неинерциальная система отсчета.

У вас будут соображеня по решению этой задачи: если мы шалбаном ударим карашдаш, лежещий на столе, то какая у него будет скорость поступательная, а какая вращательная?


> > Еще непонятнее. Неинерциальность её в чём?

> как это в чем? На тело действует сила, тело (и точка начала координат) движется с ускорением - неинерциальная система отсчета.

Если привязывать начало координат к концу палки прямолинейного движения не будет.

> У вас будут соображеня по решению этой задачи: если мы шалбаном ударим карашдаш, лежещий на столе, то какая у него будет скорость поступательная, а какая вращательная?

Если скорость движения ЦМ V, то
Угловая скорость обращения воркруг центра ω=2*V/l


> Если привязывать начало координат к концу палки прямолинейного движения не будет.

согласен, здесь и проблема перехода от неинерциальной к инерциальной системам отсчета, потому в точности варианта решения сомневаюсь.

> Если скорость движения ЦМ V, то
> Угловая скорость обращения воркруг центра ω=2*V/l

Позвольте, но я не верю.
Выходит если изменить длину палки, то и изменится сумарная кинетическая энергия тела, невероятно это.
Если не устраивает шалбан, так пусть вместо будет шарик, который стукает эту вот покоящуюся палку, система замкнута и ее энергия от длины покоящейся палки не зависит.
Если вам известно откуда взялся такой ответ, пожалуйста напишите его развернуто, как он получается.
Мне важно решение этой задачи.


> > Если привязывать начало координат к концу палки прямолинейного движения не будет.

> Если не устраивает шалбан, так пусть вместо будет шарик, который стукает эту вот покоящуюся палку, система замкнута и ее энергия от длины покоящейся палки не зависит.
> Если вам известно откуда взялся такой ответ, пожалуйста напишите его развернуто, как он получается.
> Мне важно решение этой задачи.

Если полка и шарик абсолютно упругие, удар мгновенный, то шарик передаст часть своего импульса палке и центр масс палки будет двигаться прямолинейно после удара. А вот какая часть импульса пойдет на вращение палки - не извесно. Палка упругая, потому изогнется и будет колебаться потом, как струна. Да еще вращаться будет. А для суммы энергий колебания, вращения и поступательного движения нужно знать коэфф. упругости. Энергия колебания зависит от периода колебаний стержня (можно найти формулу в механике). Но энергию вращения тогда нельзя определить из кинематических уравнений. Если забыть про колебания и предположить, что за время удара противоположный конец палки не сдвинулся с места, то центр масс палки приобретет скорость в 2 раза меньшую, чем конец, по которому ударил шарик. То есть относительная скорость конца палки равна скорости центра масс палки. Тогда можно спокойно составлять уравнение энергий:
MV^2= M*V1^2 + m*V2^2 + (m/3)*V2^2
Уравнение импульсов:
M*V=M*V1+m*V2
Решив систему относительно искомой величины, найдем ответ.


> Если полка и шарик абсолютно упругие, удар мгновенный, то шарик передаст часть своего импульса палке и центр масс палки будет двигаться прямолинейно после удара. А вот какая часть импульса пойдет на вращение палки - не извесно. Палка упругая, потому изогнется и будет колебаться потом, как струна. Да еще вращаться будет. А для суммы энергий колебания, вращения и поступательного движения нужно знать коэфф. упругости. Энергия колебания зависит от периода колебаний стержня (можно найти формулу в механике). Но энергию вращения тогда нельзя определить из кинематических уравнений. Если забыть про колебания и предположить, что за время удара противоположный конец палки не сдвинулся с места, то центр масс палки приобретет скорость в 2 раза меньшую, чем конец, по которому ударил шарик. То есть относительная скорость конца палки равна скорости центра масс палки. Тогда можно спокойно составлять уравнение энергий:
> MV^2= M*V1^2 + m*V2^2 + (m/3)*V2^2
> Уравнение импульсов:
> M*V=M*V1+m*V2
> Решив систему относительно искомой величины, найдем ответ.

Насчет колебаний палки, это согласен, но ввиду небольших ускорений и нашей и без того запутанной задачки, мы будем считать что энергия этих колебания близятся к нулю. (во сказанул :).
А насчет вашей идеи, да интересно, но, на практике так не будет. Проделывал некоторый опыт: в первый миг неподвижной остается точка то ли в центре масс, то ли чуть ближе к противоположному концу палки.
В уравнениях нет зависимости от точки приложения силы, момента силы тоесть. Но опять таки от этого будет зависеть поступательная и вращательная скорости, согласны?
И последнее, пробовал решить эту системку уравнений, вышло что решения только комплексный, обидно. Если вы ее решали, поделитесь результатом.


> Выходит если изменить длину палки, то и изменится сумарная кинетическая энергия тела, невероятно это.

Перераспределение энергии будет другим.

> Если вам известно откуда взялся такой ответ, пожалуйста напишите его развернуто, как он получается.
> Мне важно решение этой задачи.

Как написал Apx, я предполагал что противоположный конец в мемент щелбана покоится.


> Перераспределение энергии будет другим.

> Если скорость движения ЦМ V, то
> Угловая скорость обращения воркруг центра ω=2*V/l

Вот скажте, где в Вашей формуле "другое распределение" ?

А насчет неподвижного конца, это поверте так не будет. Эксперимент так говорит.

ранее я спрашивал про вариант с неинерционной системой отсчета, что вы скажете про него?


> > Перераспределение энергии будет другим.

> > Если скорость движения ЦМ V, то
> > Угловая скорость обращения воркруг центра ω=2*V/l

> Вот скажте, где в Вашей формуле "другое распределение" ?

Значение V будет разным.

> А насчет неподвижного конца, это поверте так не будет. Эксперимент так говорит.

Да, наверное, будет побольше времени пересчитаю.

> ранее я спрашивал про вариант с неинерционной системой отсчета, что вы скажете про него?

Так я и не понял какая же у Вас система отсчета.


Абсолютно упругий горизонтальный удар шара по краю стержня (без опоры).

Точка, от которой отсчитываются моменты импульсов, выбрана произвольно, но так, чтобы расстояния были кратны целому числу R. Для удобства затем их сокращения. Лев.рис - до удара, прав. - после, нижний - замена массы тела отношением момента инерции Jo к R^2.

Система ур-ний мом.импульсов, импульсов, энергий:

2*m*V*R = 2* m*v1*R + M*v2*R + Jo*U/R
m*V = m*v1 + M*v2
m*^2 = m*v1^2 + M*v2^2 + Jo*U^2

Все скорости положительны, при m=M
получился ответ, v1=4V/7 , v2=3V/7 , U=12V/7


> 2*m*V*R = 2* m*v1*R + M*v2*R + Jo*U/R > m*V = m*v1 + M*v2 > m*^2 = m*v1^2 + M*v2^2 + Jo*U^2 > Все скорости положительны, при m=M > получился ответ, v1=4V/7 , v2=3V/7 , U=12V/7 Только v2=4V/7 , v1=3V/7


> Система ур-ний мом.импульсов, импульсов, энергий:

> 2*m*V*R = 2* m*v1*R + M*v2*R + Jo*U/R
> m*V = m*v1 + M*v2
> m*^2 = m*v1^2 + M*v2^2 + Jo*U^2

> Все скорости положительны, при m=M
> получился ответ, v1=4V/7 , v2=3V/7 , U=12V/7

у Вас ошибка при написании уравнений: в уравнении моментов импульсов Jo*U/R, U у Вас так полагаю в [м/с], поскольку размерность слагаемого должна быть [кг*м^2/с], но эта же величина U в уравнении энергий в Вашей записи должна быть в [1/c]. Пересчитайте, результат будет другим.

Позавчера составил такую же систему, но момент инерции записал в виде I=k*m*D^2,
D-длина палки, а коэффициент k будет просто разный для разных тел (или осей).
У меня вышло вот что (массы палки и шарика я приравнял для удобства):

2*m*V*R = 2*m*v1*R + M*v2*R + I*w
m*V = m*v1 + M*v2
m*V^2 = m*v1^2 + M*v2^2 + I*w^2

решение этой системы дает:

v1=V/(8*k+1);
v2=8*k*V/(8*k+1);
w=4*V/(8*k*D+D);


> 2*m*V*R = 2*m*v1*R + M*v2*R + I*w

И моменты импульсов лучше считать относительно точки удара, тогда будет проще
M*v2*R - I*w=0


> > 2*m*V*R = 2*m*v1*R + M*v2*R + I*w

> И моменты импульсов лучше считать относительно точки удара, тогда будет проще
> M*v2*R - I*w=0

да, можно считать относительно любой точки. Но тогда момент импульса вращающейся палки, здается мне, не будет Iw, т.к. это момент относительно ее Ц.М.


> > > 2*m*V*R = 2*m*v1*R + M*v2*R + I*w

> > И моменты импульсов лучше считать относительно точки удара, тогда будет проще
> > M*v2*R - I*w=0

> да, можно считать относительно любой точки. Но тогда момент импульса вращающейся палки, здается мне, не будет Iw, т.к. это момент относительно ее Ц.М.

момент имульса палки складывается из Iw и момента импулься ЦМ (как бы все сосредоточено в одной точке), отностительно рассматриваемой точки, что отображено в обеих формулах, относительно точки удара считать удобнее что там момент налетающего шарика равен нулю.


> > > > 2*m*V*R = 2*m*v1*R + M*v2*R + I*w

> > > И моменты импульсов лучше считать относительно точки удара, тогда будет проще
> > > M*v2*R - I*w=0

> > да, можно считать относительно любой точки. Но тогда момент импульса вращающейся палки, здается мне, не будет Iw, т.к. это момент относительно ее Ц.М.

> момент имульса палки складывается из Iw и момента импулься ЦМ (как бы все сосредоточено в одной точке), отностительно рассматриваемой точки, что отображено в обеих формулах, относительно точки удара считать удобнее что там момент налетающего шарика равен нулю.

Выходит то же самое, согласен. Решение не изменяется.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100