Решение уравнения простейшей динамической тепловой задачи

Сообщение №49146 от SergeyProtopopov 29 мая 2007 г. 20:12
Тема: Решение уравнения простейшей динамической тепловой задачи

Помогите пожалуйста решить следующую задачу

Имеется брусок, снизу температура постоянна и составляет (20С), сверху действует тепловой поток, на боковых гранях отсутствие потока.
Необходимо определить температуру в каждой точке бруска (фактически одномерная задача) решив уравнение с*ρ*(∂T/∂t)=λ*∂²T/∂x²
В результате нужно получить зависимость T=f(x,t)

Как решать такие дифференциальные уравнения казалось бы стыдно не знать, но вот я не знаю :(( и прошу помоши!!!


Отклики на это сообщение:

Кое-что нашел (из книжки по сварке Рыкалина)

ΔT(t,X)=2q*dt'/(cρ*[4πa(t-t')]^(3/2)) *exp(X²/(4πa(t-t'))

где а- коэффициент температуропроводности
ρ - плотность материала
t'- время начала действия источника
t - текущий момент времени
q - источник мощности
c - теплоемкость
X - расстояние от источника мощности до точки, в которой определяется температура(перпендикулярно поверхности, вглубь материала)

Эта формула давалась для модели с точечным источником, поэтому возможна не применима к моей задаче?
Большая просьба проверьте, моя специальность ближе все же к программированию, и этот аналитический расчет мне необходим только для проверки адекватности модели.


> Кое-что нашел (из книжки по сварке Рыкалина)

> ΔT(t,X)=2q*dt'/(cρ*[4πa(t-t')]^(3/2)) *exp(X²/(4πa(t-t'))

> где а- коэффициент температуропроводности
> ρ - плотность материала
> t'- время начала действия источника
> t - текущий момент времени
> q - источник мощности
> c - теплоемкость
> X - расстояние от источника мощности до точки, в которой определяется температура(перпендикулярно поверхности, вглубь материала)

> Эта формула давалась для модели с точечным источником, поэтому возможна не применима к моей задаче?
> Большая просьба проверьте, моя специальность ближе все же к программированию, и этот аналитический расчет мне необходим только для проверки адекватности модели.

Вообще говоря, подобные задачи лучше решать численно.
Подробно численное решение этой задачи рассматривается у Тихонова и Самарского в "Теории разностных схем".
Там, конечно, много недостатков в решении.
Но простейшее уравнение теплопроводности рассматривается достаточно корректно.
У Кирхгофа есть и аналитическое решение простейшей задачи (в рядах)
Я не знаю, что Вам требуется.
Поэтому, если есть вопросы, то формулируйте их более полно.


Мне надо для диссертации просто :)) привести для примера аналитическое решение - проверка адекватности.

А так я выполняю расчеты при помощи численных методов в ANSYS :)


итак, мне надо решение уравнения теплопроводности ∂U/∂t=aΔ²U

постановка задачи

Имеется цилиндр с боковыми теплонепроницаемыми стенками, на всей поверхности сверху в некоторый момент времени начинает действовать источник с мощностью q. Снизу цилиндра температура постоянна. Заданы все необходимые входные данные - теплопроводность, теплоемкость, плотность, высота цилиндра, время от начала действия источника, начальная температура, температура на нижней поверхности цилиндра.

В результате решения уравнения теплопроводности мне необходимо получить функцию, по которой можно определить температуру на различном расстоянии от нагреваемой поверхности в любой момент времени. Получив такую функцию я проверю свою тепловую модель.


Излагать медоды мат. физики мне не хочется.
Решение одномерной задачи F''=a2dF/dt такое:
F(x,t)=Exp[-a2x2/(4t)]/√t

То, что вы привели - решение трехмерной задачи с точетным источником.


> Мне надо для диссертации просто :)) привести для примера аналитическое решение - проверка адекватности.

Вообще говоря. аналитическое решение для уравнения теплопроводности НЕ ЯВЛЯЕТСЯ проверкой адекватности числовой модели.
Это известно любому специалисту по теплопроводности.
Объясняется это очень просто.
Все дело в том, что все аналитические решения уравнения теплопроводности записываются в виде медленно сходящихся рядов. И сама процедура вычисления этого ряда (и анализа погрешности) представляет сама по себе достаточно сложную задачу. Это Вам, надеюсь, понятно и без комментариев.
То есть, гораздо проще выполнить оценку погрешности вычислительного алгоритма, чем оценку погрешности сходимости аналитического ряда.

> А так я выполняю расчеты при помощи численных методов в ANSYS :)

Вообще говоря, это не важно.
Алгоритм либо работает, либо нет.

>
> итак, мне надо решение уравнения теплопроводности ∂U/∂t=aΔ²U

Такие решения есть у Кирхгофа, но я не думаю, что они Вам помогут.

> постановка задачи

> Имеется цилиндр с боковыми теплонепроницаемыми стенками, на всей поверхности сверху в некоторый момент времени начинает действовать источник с мощностью q. Снизу цилиндра температура постоянна. Заданы все необходимые входные данные - теплопроводность, теплоемкость, плотность, высота цилиндра, время от начала действия источника, начальная температура, температура на нижней поверхности цилиндра.

Вы, вероятно, в теории теплопроводности плохо разбираетесь.
Поэтому кратко поясню некоторые "тонкие" моменты.
Одной из проблем (как теоретической так и экспериментальной) теории теплопроводности является задание граничных условий.
Обычно граничные условия задают либо в виде теплового потока, либо в виде температуры на поверхности (или их комбинации).
Иногда, но очень редко, применяют другие виды граничных условий.
Я не буду рассматривать "экзотику".
Скажу лишь то, что решение задачи теплопроводности очень чутко реагирует на разные формы граничных условий.

То есть, это достаточно важный фактор.

> В результате решения уравнения теплопроводности мне необходимо получить функцию, по которой можно определить температуру на различном расстоянии от нагреваемой поверхности в любой момент времени. Получив такую функцию я проверю свою тепловую модель.

Так Вы модель не проверите.
Вообще говоря, обычно тепловую модель проверяют уменьшением в два раза шага по времени.
Тогда погрешность модели примерно равна разности результатов.
Это - самый простой способ.
Но, разумеется, всему этому должен предшествовать серьезный анализ (и аналитический, и числовой).

Короче говоря, пока Вы не смогли даже правильно сформулировать задачу, не говоря уж о том, чтобы правильно ее решить.
Вы написали мне какой-то бред.


>То есть, гораздо проще выполнить оценку погрешности вычислительного алгоритма, чем оценку погрешности сходимости аналитического ряда
Понял, спасибо

>Вообще говоря, обычно тепловую модель проверяют уменьшением в два раза шага по времени.
Это я проверял :)

>Вы, вероятно, в теории теплопроводности плохо разбираетесь.
в точку :(((

>Скажу лишь то, что решение задачи теплопроводности очень чутко реагирует на разные формы граничных условий.
В моем случае четко заданы граничные условия - поток тепла на одной стороне, а температура на другой. Другие ГУ мне не понядобятся.

>Но, разумеется, всему этому должен предшествовать серьезный анализ (и аналитический, и числовой).

В общем-то мне и надо оценить результаты, получаемые при помощи математической модели.


Ну например - мне нужна любая решенная задача по теплопроводности, в которой будет известно, что установившийся режим наступил (например) через 15 секунд, а температура на верхней грани стала (например) 50С (или графики распределения температуры по оси Z в различные моменты времени), при заданном тепловом потоке на верхней грани, и заданной температуре на нижней грани (одномерная или двумерная задача). Единственный момент - я не могу взять любые оценочные данные, т.к. мне нужно будет в тексте ссылаться на известное решение с выводом(как теперь понимаю, это было бы лучшим вариантом), или самому написать это решение.

Тогда на следующем шаге я создаю численную модель по заданным условиям (как в задаче) и проверяю сходится ли решение полученное в задаче с решением численной модели. (грубо - мне надо правильно найти порядок, критерий верности - чтобы результаты не отличались в 10-10000 раз; но, как вы верно заметили, я не являюсь специалистом по теплопроводности и оценить даже с погрешностью 50% не могу :(( )



> >Скажу лишь то, что решение задачи теплопроводности очень чутко реагирует на разные формы граничных условий.
> В моем случае четко заданы граничные условия - поток тепла на одной стороне, а температура на другой. Другие ГУ мне не понядобятся.

У Вас - что ни предложение, то множество ошибок.
Во-первых.
Независимо от того, нужны Вам "другие ГУ", или не нужны, Вам все-равно придется их формулировать и ставить, поскольку без них Вы требуемое решение просто не сможете получить!!!
Во-вторых.
Поток тепла "на одной стороне" может иметь совершенно разную природу - световое или радиационное излучение, конвективный теплообмен, контактный теплообмен, диффузионный и другие.
Все они дают разные решения!!!
В-третьих.
Решение сильно зависит от "формы потока" - формы тела!!!
Причем, простота "геометрической формы" (В форме таблетки, бруска, стержня и т.д.) вовсе не обеспечивает простоту решения.
В-четвертых.
Уравнение теплопроводности имеет разный вид в разных системах координат (полярной и декартовой - например)!!!
И "стандартный" вид уравнения (которым Вы обычно пользуетесь) справедлив только в "декартовой" системе.
Если система другая (а это обычно так и есть), то приходится решать тепловую задачу через потоки.

> >Но, разумеется, всему этому должен предшествовать серьезный анализ (и аналитический, и числовой).

> В общем-то мне и надо оценить результаты, получаемые при помощи математической модели.

Пока Вы математическую модель сформулировать так и не смогли.

>
> Ну например - мне нужна любая решенная задача по теплопроводности, в которой будет известно, что установившийся режим наступил (например) через 15 секунд, а температура на верхней грани стала (например) 50С (или графики распределения температуры по оси Z в различные моменты времени), при заданном тепловом потоке на верхней грани, и заданной температуре на нижней грани (одномерная или двумерная задача). Единственный момент - я не могу взять любые оценочные данные, т.к. мне нужно будет в тексте ссылаться на известное решение с выводом(как теперь понимаю, это было бы лучшим вариантом), или самому написать это решение.

Установившийся режим наблюдается только в моделях со "стоком тепла".
У Вас есть "сток" - или его нет?

Если Вам нужна ссылка, то проще всего ссылаться на "Теорию разностных схем" Тихонова и Самарского. Там обычно можно найти что-либо отдаленно-похожее.
По-крайней мере, такие ссылки не вызывают лишние вопросы.

> Тогда на следующем шаге я создаю численную модель по заданным условиям (как в задаче) и проверяю сходится ли решение полученное в задаче с решением численной модели. (грубо - мне надо правильно найти порядок, критерий верности - чтобы результаты не отличались в 10-10000 раз; но, как вы верно заметили, я не являюсь специалистом по теплопроводности и оценить даже с погрешностью 50% не могу :(( )

Вообще говоря, получить критерий верности "в 100 раз и меньше" (без соответствующих навыков) довольно сложно.
Точность традиционных численных решений очень низкая.
Чтобы получить хорошие результаты необходимо очень скурпулезно и правильно формулировать все условия задачи, учитывать форму тела, и работать на "неравномерной сетке разбиения".


Сергей!
Вы общаетесь с т.н. троллем. Всё, что ему нужно -- это внимание к своей персоне, которое он будет вытягивать из вас руганью, наездами и провокациями. Ничего по существу он вам не скажет -- ему это не выгодно (да и не может он). Не знаю, как у него обстоят дела с моделированием теплопроводности, но с элементарными задачками по механике для второго курса он не справляется.

Я не понимаю, почему у вас появляются затруднения в простейшей одномерной задачи. Таки привожу вам решение.

a2 d2F/dx2 = dF/dt

1. Ищем решение в виде F = A(x)T(t) - подставляем
a2 A''(x)T(t) = A(x) T'(t)
2.Делим на A(x)T(t)
a2 A''(x)/A(x) = T'(t)/T(t)
3.Правая часть равенства зависит только от t, а левая -- только от x, значит они равны какой-то постоянной (константе разделения). Обозначаю её γ. Получаю два уравнения:
a2 A''(x)/A(x) = γ
T'(t)/T(t) = γ
4.Решая эти уравнения можно получить аналитический ответ для большого класса гранусловий.
Дальше надо?



> Сергей!
> Вы общаетесь с т.н. троллем. Всё, что ему нужно -- это внимание к своей персоне, которое он будет вытягивать из вас руганью, наездами и провокациями. Ничего по существу он вам не скажет -- ему это не выгодно (да и не может он). Не знаю, как у него обстоят дела с моделированием теплопроводности, но с элементарными задачками по механике для второго курса он не справляется.

> Я не понимаю, почему у вас появляются затруднения в простейшей одномерной задачи. Таки привожу вам решение.

> a2 d2F/dx2 = dF/dt

> 1. Ищем решение в виде F = A(x)T(t) - подставляем
> a2 A''(x)T(t) = A(x) T'(t)
> 2.Делим на A(x)T(t)
> a2 A''(x)/A(x) = T'(t)/T(t)
> 3.Правая часть равенства зависит только от t, а левая -- только от x, значит они равны какой-то постоянной (константе разделения). Обозначаю её γ. Получаю два уравнения:
> a2 A''(x)/A(x) = γ
> T'(t)/T(t) = γ
> 4.Решая эти уравнения можно получить аналитический ответ для большого класса гранусловий.
> Дальше надо?

Теперь тоже самое продемонстрируй для полярной системы координат.
Дебил безграмотный.


> Теперь тоже самое продемонстрируй для полярной системы координат.
> Дебил безграмотный.

Уф! Давно я так не смеялся!
Спасибо, Эдик, за хорошее настроение!


> > Теперь тоже самое продемонстрируй для полярной системы координат.
> > Дебил безграмотный.

> Уф! Давно я так не смеялся!
> Спасибо, Эдик, за хорошее настроение!

Для безграмотных поясняю подробно.
Одномерное уравнение теплопроводности можно применять только для известных, не изменяющих своего направления в процессе всего нагрева, линий тока.
Если эти условия не выполняются (а они не выполняется практически всегда),то применять одномерное уравнение теплопроводности не имеет смысла.
То есть, для применения одномерного уравнения теплопроводности нам необходимо:
1. Найти все интересующие нас линии тока тепла.
2. Показать, что эти линии тока не меняют своего направления, и остаются неизменными в процессе всего нагрева.

Вы это показали???
Нет!!!

Все, что Вы смогли сделать, это переписать пару формул из учебника, абсолютно не понимая физического смысла этих результатов.



> > > Теперь тоже самое продемонстрируй для полярной системы координат.
> > > Дебил безграмотный.

> > Уф! Давно я так не смеялся!
> > Спасибо, Эдик, за хорошее настроение!

> Для безграмотных поясняю подробно.
> Одномерное уравнение теплопроводности можно применять только для известных, не изменяющих своего направления в процессе всего нагрева, линий тока.
> Если эти условия не выполняются (а они не выполняется практически всегда),то применять одномерное уравнение теплопроводности не имеет смысла.
> То есть, для применения одномерного уравнения теплопроводности нам необходимо:
> 1. Найти все интересующие нас линии тока тепла.
> 2. Показать, что эти линии тока не меняют своего направления, и остаются неизменными в процессе всего нагрева.

> Вы это показали???
> Нет!!!

> Все, что Вы смогли сделать, это переписать пару формул из учебника, абсолютно не понимая физического смысла этих результатов.

Пояснения далее, для безрамотного физика.

Как видно из рисунков, одномерное уравнение теплопроводности (на голубой линии на рисунке) имеет разный смысл и разные решения, зависящие от формы тела.
Например, для цилиндра это будет одно решение, а для бруска прямоугольной формы - совсем другое (хотя граничные условия одинаковые).

Учите физику, Костик!


Ozes! ответьте на следующие вопросы, пожалуйста

>Поток тепла "на одной стороне" может иметь совершенно разную природу - световое или радиационное излучение, конвективный теплообмен, контактный теплообмен, диффузионный и другие.

даже если мощность одинакова и постоянна??? (допустим нагрев на верхней плоскости постоянен и действует контактно, а внизу задана постоянная температура)


>Решение сильно зависит от "формы потока" - формы тела!!!

Мне необходимо решение одномерной задачи(брусок с теплоизолированными стенками, гу сверху и снизу это одномерная задача, в этом я уверен:).
могут ли быть какие-то осложнения, связанные с формой тела если задача сформулирована в одномерной системе координат? (но тем не менее отдельно добавлю - поток однороден)

>И "стандартный" вид уравнения (которым Вы обычно пользуетесь) справедлив только в "декартовой" системе.
>Если система другая (а это обычно так и есть), то приходится решать тепловую задачу через потоки.

у меня декартова система координат


>Чтобы получить хорошие результаты необходимо очень скурпулезно и правильно формулировать все условия задачи, учитывать форму тела, и работать на "неравномерной сетке разбиения".

Честно - _сетка меня сейчас не волнует_, мне нужно аналитическое решение уравнения теплопроводности и ответы для проверки.


Хочу отметить, что я не собирался оспаривать правоту Вашей точки зрения, тем более что Вы мне уже 1 раз помогли ;) за что отдельное спасибо!
(про расход потока с поверхности)


Слушайте, я похоже примерно понял что надо - решение тепловой задачи с полученными на выходе графиками зависимости расстояния от поверхности нагрева вглубь для температуры в каждой точке. Интересуют уже построенные графики(связь координата-температура) для разных моментов времени.(хотелось бы с источниками, откуда взято решение задачи; или задача с выводом)

>Установившийся режим наблюдается только в моделях со "стоком тепла".
>У Вас есть "сток" - или его нет?

если с одного конца приложена мощность, а с другого температура (именно такое условие моей задачи), установившийся режим наступит в любом случае, или в чем я не прав? (считаем, что сток тепла есть там, где задана постоянная температура)


про задачу отдельно:

предполагаю, что Вы преподаватель, или профессионал в области теплопроводности, если можно киньте сюда пожалуйста задачу по теплопроводности с ГУ 1 и 2 рода (температура и поток мощности), желательно одномерную, но можно и двумерную. С ответом - рисунки, связывающие координату с температурой в определенный момент времени.
А если Вы преподаватель, то у Вас наверняка завалялась пара тройка решений :) если кинете что-то полезное, очень обяжете


сюда, в форум, или на почту SergeyProtopopov2@rambler.ru


Большое спасибо за пример, да :)

....надо до графиков связи температуры и координаты, надо несколько графиков для разных моментов времени

если есть какая-то похожая задачка, можете выложить ее ?


Большое спасибо за пример, да :)

....надо до графиков связи температуры и координаты, надо несколько графиков для разных моментов времени

если есть какая-то похожая задачка, можете выложить ее ?


> Ozes! ответьте на следующие вопросы, пожалуйста

> >Поток тепла "на одной стороне" может иметь совершенно разную природу - световое или радиационное излучение, конвективный теплообмен, контактный теплообмен, диффузионный и другие.

> даже если мощность одинакова и постоянна??? (допустим нагрев на верхней плоскости постоянен и действует контактно, а внизу задана постоянная температура)

Да.
Даже если мощность одинакова и постоянна.
Все дело в том, что тепловой поток зависит не от температуры, а от градиента температур на поверхности.
А этот градиент температур тело формирует самостоятельно, в соответствии с условиями нагрева (то есть, фактически он неизвестен и непостоянен!).
Поэтому, даже постоянная температура поверхности не обеспечивает постоянных условий теплообмена.

>
> >Решение сильно зависит от "формы потока" - формы тела!!!

> Мне необходимо решение одномерной задачи(брусок с теплоизолированными стенками, гу сверху и снизу это одномерная задача, в этом я уверен:).
> могут ли быть какие-то осложнения, связанные с формой тела если задача сформулирована в одномерной системе координат? (но тем не менее отдельно добавлю - поток однороден)

Конечно могут быть осложнения, и вероятно, будут.
Простая форма тела не обеспечивает простоты решения задачи теплопроводности.

> >И "стандартный" вид уравнения (которым Вы обычно пользуетесь) справедлив только в "декартовой" системе.
> >Если система другая (а это обычно так и есть), то приходится решать тепловую задачу через потоки.

> у меня декартова система координат

Это не означает, что у теплового потока в Вашей задаче система координат тоже декартова.
Тепловой поток сам сформирует свою ортогональную систему изотерм и линий тока.
Тепловой поток, обычно игнорирует тот факт, что у Вас система координат декартова.

>
> >Чтобы получить хорошие результаты необходимо очень скурпулезно и правильно формулировать все условия задачи, учитывать форму тела, и работать на "неравномерной сетке разбиения".

> Честно - _сетка меня сейчас не волнует_, мне нужно аналитическое решение уравнения теплопроводности и ответы для проверки.

Вам же Костя написал аналитическое решение.
В случае бруска - это экспонента.
В случае цилиндра - парабола.
Что Вам еще нужно, я не могу понять?
Мне кажется Вы сами не поняли того, что Вам нужно.

>
> Хочу отметить, что я не собирался оспаривать правоту Вашей точки зрения, тем более что Вы мне уже 1 раз помогли ;) за что отдельное спасибо!
> (про расход потока с поверхности)

>
> Слушайте, я похоже примерно понял что надо - решение тепловой задачи с полученными на выходе графиками зависимости расстояния от поверхности нагрева вглубь для температуры в каждой точке. Интересуют уже построенные графики(связь координата-температура) для разных моментов времени.(хотелось бы с источниками, откуда взято решение задачи; или задача с выводом)

Я же Вам написал источник.
Есть такая толстая большая книга:

Автор - Кирхгоф.
Название - "Теплопроводность".
Раньше она была во всех технических библиотеках.
Там целая куча разных графиков, и много самых разнообразных аналитических решений задач теплопроводноти.

У меня этой книги на руках нет.
Но это не такой уж дефицит (хотя и довольно редкая штука).
Может на форуме у кого-нибудь имеется? Попробуйте спросить.

> >Установившийся режим наблюдается только в моделях со "стоком тепла".
> >У Вас есть "сток" - или его нет?

> если с одного конца приложена мощность, а с другого температура (именно такое условие моей задачи), установившийся режим наступит в любом случае, или в чем я не прав? (считаем, что сток тепла есть там, где задана постоянная температура)

Я не знаю условий Вашей задачи, поэтому мне трудно судить.
Но, наступить, вероятно, должен, если граничные условия стационарны.


значит так, решил упростить условие задачи ;)
брусок имеет начальную температуру 20С
в нулевой момент времени к противоположным сторонам прикладывается температура 500 и 20 градусов

также нашел решение (стр 23-26)
http://www.tstu.ru/education/elib/pdf/2005/gatapova.pdf

Однако почему-то в 0 момент времени согласно уравнению 3.1.51 на 26 стр пособия не получается 20С по всей пластине :(



разобрался в задаче из этого задачника и решил в ANSYS (конечно элементная программа) и в Mathcad дифференциальное уравнение - результаты сошлись с необычайной точностью. Это свидетельствует об адекватности численной модели.


всем кто подсказывал спасибо, ждите, скоро опять появлюсь с очередной "нерешаемой" задачей ;)


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100