Упругий удар шаром по стержню

Сообщение №48113 от Арх 05 февраля 2007 г. 16:36
Тема: Упругий удар шаром по стержню

Возьмем стержень длиной 1м, массой 24 кг. Рассмотрим удар шара по стержню в горизонтальной плоскости, без трения, перпендикулярно оси стержня. Масса шара 12 кг, скорость 30м/с, стержень покоится. Не учитываем упругий изгиб старжня.
При ударе в середину стержня поступательная скорость его станет 20 м/с, скорость шара будет -10м/с. Будем постепенно точку удара перемещать к краю стержня. Поступательная скорость стержня будет меньше, угловая скорость его будет увеличиваться. Вот расчеты через сумму импульсов и сумму кинетических энергий:
1.Скор.ЦМ стерж. 2.Скор.шара. 3.Кин.эн.вращ. 4.Скор.крайней точки стержня
(произвол) ....(360-24*Vцм)/Mш.. ...... .......(Ek/I)^0,5*L/2 + скорЦМ
20... -10... 00.....20
17... - 4 ..1836 ...24,6
15.... 00 . 2700 ...24,2
10,6.. 8,8 .3588 ...21,2
10.....10...3600 ...20,6
6,66..16,66. 3133 .16,66
6 .....18 ..3024 ...15,7
Вопрос: которая строка соответствует удару в край стержня?
Последняя строка показывает, что скорость шара превышает скорость конца стержня, как бы обгоняя этот конец, чего н может быть.


Отклики на это сообщение:


> 1.Скор.ЦМ стерж. 2.Скор.шара. 3.Кин.эн.вращ. 4.Скор.крайней точки стержня
> (произвол) ....(360-24*Vцм)/Mш.. ...... .......(2*Ek/I)^0,5*L/2 + скорЦМ
> 20... -10... 00.....20
> 17... - 4 ..1836 ...32
> 15.... 00 . 2700 ...41
> 10.....10...3600 ...40
> 3 .....24 ..1836 ...24,4
> Вопрос: которая строка соответствует удару в край стержня?
> Последняя строка показывает, что скорость шара, при дальнейшем уменьшении скор.ЦМ стержня, превысит скорость конца стержня, как бы обгоняя этот конец, чего не может быть.


> > Вопрос: которая строка соответствует удару в край стержня?
> > Последняя строка показывает, что скорость шара, при дальнейшем уменьшении скор.ЦМ стержня, превысит скорость конца стержня, как бы обгоняя этот конец, чего не может быть.

В числах не проверял, и если Вы не ошиблись, то вроде бы все логично. Последняя строка и соответствует удару в край стержня, а скорость шара получилась больше чем у конца стержня, что равносильно тому, что шар пролетел сквозь стержень, по тому, что у Вас методика расчета не корректная, т.е. Вы не учитываете время удара, принимая его равным нулю.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


> Возьмем стержень длиной 1м, массой 24 кг. Рассмотрим удар шара по стержню в горизонтальной плоскости, без трения, перпендикулярно оси стержня. Масса шара ..

Конечно эта задачка решается легко аналитически, но поробую её смоделировать на досуге.


> > > Вопрос: которая строка соответствует удару в край стержня?
> > > Последняя строка показывает, что скорость шара, при дальнейшем уменьшении скор.ЦМ стержня, превысит скорость конца стержня, как бы обгоняя этот конец, чего не может быть.

> В числах не проверял, и если Вы не ошиблись, то вроде бы все логично. Последняя строка и соответствует удару в край стержня, а скорость шара получилась больше чем у конца стержня, что равносильно тому, что шар пролетел сквозь стержень, по тому, что у Вас методика расчета не корректная, т.е. Вы не учитываете время удара, принимая его равным нулю.

> С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Благодарен Вам за отклик. Да, упрощения в таком решении присутствуют. В частности, стержень будет колебаться как струна, а энергию колеьаний мы не учитываем. Внутренние колебания в шаре значительно меньше.
С уважением, Арх.


> Благодарен Вам за отклик. Да, упрощения в таком решении присутствуют. В частности, стержень будет колебаться как струна, а энергию колеьаний мы не учитываем. Внутренние колебания в шаре значительно меньше.

Я писал совершенно не об этом, хотя если стержень и шар будут не абсолютно жесткими, то естественно будут и колебания. Смоделировать это конечно же можно, но я считаю, что погрешность от учета энергии колебаний будет незначительной, а вот время удара повлияет очень сильно на результат (даже в тех случаях, когда у вас скорость шара не превышает скорость конца стержня).

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.



> > Возьмем стержень длиной 1м, массой 24 кг. Рассмотрим удар шара по стержню в горизонтальной плоскости, без трения, перпендикулярно оси стержня. Масса шара ..

> Конечно эта задачка решается легко аналитически, но поробую её смоделировать на досуге.

А я затруднился с аналитическим решением. Если не трудно, можете показать? Очень интересно.


Решил все таки проверить Ваше решение в цифрах и, как я и ожидал, получил совершенно другие данные, а кроме того, как я совершенно не ожидал, выяснилось, что у этой задачи есть продолжение, т.к. после первого удара, после того как стержень повернется на 180 градусов (при первом ударе в край стержня), произойдет второй удар стержнем по шару, так как это показано на рисунках. Для решения численными методами Вашей задачи я модернизировал свою программу Udar23, которая позволяла смоделировать удар двух шаров с любыми параметрами, и теперь в программе Udar3 можно смоделировать и удар шара с упруго-диссипативными параметрами по абсолютно жесткому стержню. Можно конечно же было и в вашей задаче сделать так, чтобы моделировать удар шара и стержня с любыми параметрами, но по условию задачи этого не требовалось и я не стал слишком усложнять программу. А как упруго-диссипативные параметры шара влияют на результат можете посмотреть по приведенным ниже данным, где m1=12 кг, m2=24 кг, L2=1 м и VX1=30 м/с, что соответствует Вашим данным, которые я дополнил еще диаметром шара D1=0,5 м и диаметром стержня D2=0,2 м. В таблице C1 (кН /м) – жесткость шара, Kj1 (кН*сек/м) – коэффициент жидкостного трения в материале шара и w2 (рад/сек) – угловая скорость вращения стержня.

Параметры шара______________VX1____VX2_____VY1____VY2____V1_____V2______w2
C1=400,Kj1=0____1-ый удар____9,43____10,29____-1,62____0,81____9,57____10,32____59,78
________________2-ой удар____23,22____3,39____-14,75___7,38____27,51____8,12____-8,20
C1=400000,Kj1=0_1-ый удар____9,97____10,02____-0,05____0,02____9,97____10,02____60,0
________________2-ой удар____17,05____6,47____-18,71___9,36____25,32___11,38____-0,21
C1=0, Kj1=1_________________19,98____5,01_____-0,54____0,27___19,99____5,02_____29,51


Начало первого удара


Конец первого удара и раздельное движение тел


Начало второго удара



Конец второго удара и раздельное движение тел

Как видно из рисунков, где вектор скорости изображен в масштабе 10 (м/с)/см, а линейные размеры даны в масштабе 0,2 м/см, второй удар происходит не по всей плоскости стержня, а в его угол и по этому Вы видите, что момент конца второго удара не соответствует реальному времени завершения удара, но я не стал усложнять расчеты еще и этими тонкостями, т.к. это не принципиально, и при необходимости всегда можно учесть и эти ньюансы, а для нашей задачи принципиальным является то, что ударов будет два, если первоначально шар бьет в конец стержня. Я не привел данные по удару в центр стержня, т.к. при этом ответ будет совпадать с тем, что Вы дали для этого случая, а по всем остальным вариантам удара Вы не привели данные по прицельному параметру и по этому я их и не просчитывал, но при необходимости могу сделать. А вот мне очень интересно какие Вы сделали допущения при своем аналитическом решение и по этому я Вас прошу дайте подробное решение для удара в край стержня, которое позволило получить приведенные Вами данные, т.к., как видно из полученных мною данных, у Вас не просто погрешность вызванная допущением о мгновенности удара, как я подумал первоначально, а ошибка вызванная каким-то грубым допущением при аналитическом решение.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


> Возьмем стержень длиной 1м, массой 24 кг...

Интересно рассчитать на каком расстоянии должен быть удар, чтобы шар остановился.


> Интересно рассчитать на каком расстоянии должен быть удар, чтобы шар остановился.

Получается, что при ударе шара на расстоянии 0,58L от центра стержня (полная длина стержня - 2L) шар остановится.


Я не привел данные по удару в центр стержня, т.к. при этом ответ будет совпадать с тем, что Вы дали для этого случая, а по всем остальным вариантам удара Вы не привели данные по прицельному параметру и по этому я их и не просчитывал, но при необходимости могу сделать. А вот мне очень интересно какие Вы сделали допущения при своем аналитическом решение и по этому я Вас прошу дайте подробное решение для удара в край стержня, которое позволило получить приведенные Вами данные, т.к., как видно из полученных мною данных, у Вас не просто погрешность вызванная допущением о мгновенности удара, как я подумал первоначально, а ошибка вызванная каким-то грубым допущением при аналитическом решение.
> С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Благодарен Вам за отклик. Я аналитического решения по этой задаче не получил.
1. Просто из уравнения импульсов для абсолютно упругого центрального удара находил максимально возможную скорость U2 стержня, а потом уменьшал последовательно эту скорость U2: 20 19 18 и т.д, так как она обязательно уменьшается при переносе точки удара к краю стержня.
2. Из уравнения импульсов находил cоответствующую скорость шара U1.
3. Из уравнения энергий находил энергию вращения и угловую скорость стержня w
4. Гадал - каким скоростям или энергии вращения соответствует удар по краю стержня. Количество расчитываемых строк ограничивал условием: скорость шара не превышает скорости конца стержня. Но правильного вывода не нашел.
5. Вы дали ответ для абсолютно упругого удара. Если ответ верный, то что же получается? Выходит - удару в край стержня соответствует максимальная энергия вращения?
Например: Vш=30м/с
Мш=6кг, Мст=24кг, Uш=-18, Uст=12, Евр=2160, W=46,5
Мш=12кг, Мст=12кг, Uш=15, Uст=15, Евр=2700, W=51,8
Мш=12кг, Мст=24кг, Uш=10, Uст=10, Евр=3600, W=60
Мш=24кг, Мст=12кг, Uш=10, Uст=20, Евр=7200, W=84,8
Повторный удар я не предусмотрел, а он, оказывается, возможен.
С уважением, Арх.


Пусть шарик массой m летит со скоростью u0 навстречу покоящемуся стержню массой M и длиной 2L. Направление движения шарика перпендикулярно стержню и удалено на расстояние l от его центра. После удара скорость шарика становится равной u1, а стержня - V. При этом стержень начинает вращаться с угловой скоростью ω. Требуется определить при каком l шарик после удара остановится.

Закон сохранения импульса:                 mu0 = mu1 + MV  (1)
Закон сохранения момента импульса: mlu0 = mlu1 + Iω  (2)
Закон сохранения энергии:                   mu02 = mu12 + MV2 + Iω2 (3)

Здесь I = ML2/3 - момент инерции стержня.

После удара шарик остановится. Поэтому u1 = 0. Выразим MV из уравнения (1) и Iω из уравнения (2) и подставим их соответственно в уравнение (3). В результате получим: l = L/√3 = 0,577L


> А я затруднился с аналитическим решением. Если не трудно, можете показать? Очень интересно.

Пусть шарик массой m летит со скоростью u0 навстречу покоящемуся стержню массой M = 2m и длиной 2L. Направление движения шарика перпендикулярно стержню и удалено на расстояние l от его центра. После удара скорость шарика становится равной u1, а стержня - V. При этом стержень начинает вращаться с угловой скоростью ω. Требуется определить скорость шарика, стержня и угловую скорость вращения стержня, если шарик ударяет в конец стержня.

(1) Закон сохранения импульса:                 mu0 = mu1 + MV 
(2) Закон сохранения момента импульса: mlu0 = mlu1 + Iω 
(3) Закон сохранения энергии:                   mu02 = mu12 + MV2 + Iω2

Здесь I = ML2/3 - момент инерции стержня. Моменты импульса шарика и стержня рассчитываем относительно любой точки, лежащей на прямой, перпендикулярной стержню и проходящей через центр стержня.

Если шарик ударяет в конец стержня, то l = L. Решая систему уравнений (1)-(3), получаем, что u1 = V = u0/3, а ω = u0/L.


Благодарен Александру за основательный ответ.


> Например: Vш=30м/с
> Мш=6кг, Мст=24кг, Uш=-18, Uст=12, Евр=2160, W=46,5
> Мш=12кг, Мст=12кг, Uш=15, Uст=15, Евр=2700, W=51,8
> Мш=12кг, Мст=24кг, Uш=10, Uст=10, Евр=3600, W=60
> Мш=24кг, Мст=12кг, Uш=10, Uст=20, Евр=7200, W=84,8

Не понял откуда Вы получили такие данные, т.к. даже при допущение, что удар происходит мгновенно из трех уравнений, которые привел Alexander получаются совсем другие данные. Можете сами проверить найдя корни уравнения a*V1^2 + b*V1 + c = 0, где a=Km+1 , b= - 2*Km*V10 , c= (Km-1)*V10^2 , Km=m1/m2+m1*L2^2/4/J2 , J2=m2*L2^2/12 , L2- длина всего стержня, V10-начальная скорость первого шара. Однако повторяю еще раз, что это аналитическое решение получено из допущения, что и шар и стержень абсолютно жесткие, а если они будут обладать какой-то упругостью, как следует из названия Вашей темы, то время удара не будет равно нулю и погрешность в решение от такого допущения может быть очень большой как по величине самих скоростей, так и по направлению движения. Например, для довольно жесткого футбольного мяча, что примерно соответствует жесткости шара принятой мною в эксперименте представленном на рисунках, видно, что направления разлета шара и стержня очень отличаются от строго горизонтального, заложенного в аналитическом решение, хотя по абсолютной величине реальные скорости не сильно отличаются от скоростей полученных аналитически 9,57 (10) и 10,32 (10). А если учесть, что тот же мяч будет ударять в стержень, который расположен не строго вертикально, то при аналитическом решение появляются еще две неизвестные величины (вертикальные составляющие скоростей) при одном новом уравнение (сумма количества движения по оси Y) даже при абсолютно жестких телах. По этому если Вас интересует этот вопрос более подробно, то можете ознакомиться с моей статьей “Две меры механической формы движения материи”, которая является первой частью цикла статей “Механика для квантовой механики”. Как саму статью, так и программу Udar23, которая использовалась при написание статьи, можете скачать с моей домашней страницы http://ser.t-k.ru/ (зеркало http://modsys.narod.ru ). А после того, как я закончу описание программы Udar3, в которую я добавил удар шара по стержню, я выложу и ее для скачивания.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.



> Не понял откуда Вы получили такие данные, т.к. даже при допущение, что удар происходит мгновенно из трех уравнений, которые привел Alexander получаются совсем другие данные. Можете сами проверить найдя корни уравнения a*V1^2 + b*V1 + c = 0, где a=Km+1 , b= - 2*Km*V10 , c= (Km-1)*V10^2 , Km=m1/m2+m1*L2^2/4/J2 , J2=m2*L2^2/12 , L2- длина всего стержня, V10-начальная скорость первого шара. Например, для довольно жесткого футбольного мяча, что примерно соответствует жесткости шара принятой мною в эксперименте представленном на рисунках, видно, что направления разлета шара и стержня очень отличаются от строго горизонтального, заложенного в аналитическом решение, хотя по абсолютной величине реальные скорости не сильно отличаются от скоростей полученных аналитически 9,57 (10) и 10,32 (10).

> С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Вычислил из квадратного уравнения, которое приведено здесь, скорости шара и стержня, получилось V1=10, V2=10.
Может быть я и ошибся, но что интересно - скорости шара и стержня в этой задаче можно найти всего по одному уравнению импульсов.
Масса шара 12 кг, масса стержня 24 кг. Момент инерции стержня относительно его конца равен J1=m*L^2/3=8, Относительно середины - J0=m*L^2/12=2.
Есть гипотеза: J1/J0=4 , делим массу стержня на 4 - получаем М=6кг. Вычисляем скорость шара, как будто бы при центральном ударе со стержнем массой 6 кг.
Скорость шара 30*(12-6)/(12+6)=10 м/с, скорость стержня получаем из нормального уравнения импульсов (12*30-12*10)/24=10 м/с. Все.
Сравнил для любых масс шара и стержня по этой гипотезе и по квадратному уравнению из системы трех уравнений. Результаты совпали. Может быть и ошибся.
Например: скорость шара 30м/с, стержня -0.
масса шара 12кг, масса стержня 12 кг, после удара ск.шара 18 м/с, стержня 12 м/с.
масса шара 12кг, масса стержня 48 кг, после удара ск.шара 0 м/с, стержня 7,5 м/с.
масса шара 48кг, масса стержня 12 кг, после удара ск.шара 26,5 м/с, стержня 14 м/с.
То есть для жесткого стержня достаточно всего одного закона сохранения импульса, чтобы вычислить его скорость и закона сохранения энергии, чтобы вычислить угловую скорость вращения стержня (при ударе шара по краю стержня)?


> То есть для жесткого стержня достаточно всего одного закона сохранения импульса, чтобы вычислить его скорость и закона сохранения энергии, чтобы вычислить угловую скорость вращения стержня (при ударе шара по краю стержня)?

Навряд ли полученное Вами частное решение будет общим для любых стержней, т.е. с произвольным распределением массы по длине стержня, когда соотношение моментов инерции не будет равно 4. При этом напоминаю еще раз, что приблизительное решение, которое Вы получили при аналитическом решение системы алгебраических уравнений, нельзя использовать при решение реальных задач даже при строго перпендикулярном ударе шара в край стержня и при отсутствие трения как в материале шара так и в пятне контакта шара со стержнем, т.к., например, если мы рассмотрим Ваш случай для m1=12кг и m2=48кг при упругом ударе, когда C1=400 кН /м, то мы получим, что скорость шара не будет равна нулю, как у Вас, а она будет 2,2 м/с, а это, как говорят в Одессе, две большие разницы. И хотя, как при уменьшение m2 так и при увеличение от 48кг ошибка аналитического решения уменьшается (вот Вам еще одна закономерность), я бы Вам не советовал заниматься гаданием на кофейной гуще, а посоветовал почитайть теорию удара в моей статье, которую (теорию) теперь Вы сможете проверить на практике и с ударом шара в стержень, т.к. сегодня я выложил на моей домашней странице http://ser.t-k.ru/ (зеркало http://modsys.narod.ru/ ) обещанный вариант программы Udar3.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


> > То есть для жесткого стержня достаточно всего одного закона сохранения импульса, чтобы вычислить его скорость и закона сохранения энергии, чтобы вычислить угловую скорость вращения стержня (при ударе шара по краю стержня)?

> Навряд ли полученное Вами частное решение будет общим для любых стержней, т.е. с произвольным распределением массы по длине стержня, когда соотношение моментов инерции не будет равно 4. При этом напоминаю еще раз, что приблизительное решение, которое Вы получили при аналитическом решение системы алгебраических уравнений, нельзя использовать при решение реальных задач.
> С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Согласен, реальные задачи решаются через эксперименты и измерения.
С уважением, Арх.


> Согласен, реальные задачи решаются через эксперименты и измерения.

Ядерные взрывы уже давно не проводятся. Всё моделируется на компьютере. Также расчёт аэродинамики, турбин, объективов и многое, многое другое. А если можно решить задачу аналитически, то это лучше всего.


> > Согласен, реальные задачи решаются через эксперименты и измерения.

> Ядерные взрывы уже давно не проводятся. Всё моделируется на компьютере. Также расчёт аэродинамики, турбин, объективов и многое, многое другое. А если можно решить задачу аналитически, то это лучше всего.

Говорилось про реальные задачи. Может быть мы расходимся в понятии реальности?
В технике вообще эмпирические формулы используют, а чтобы их получить - нужны эксперименты. Кто бы боялся ядерных взрывов, если бы на опыте не убедились в их разрушительной силе? А после опытов можно и на компьютере моделировать, пользуясь подобием. Но в начале - опыт.
В школьной физике, кстати, должны преобладать опыты, а не философия мироздания, не математические выкладки, а измерения физических величин. Об этом говорили и Ломоносов и Менделеев. Появление компьютеров - заслуга физиков, но не повод заменить ими реальность. Это так, к слову "реальность".


> Согласен, реальные задачи решаются через эксперименты и измерения.
> Говорилось про реальные задачи. Может быть мы расходимся в понятии реальности?
> А после опытов можно и на компьютере моделировать, пользуясь подобием. Но в начале - опыт.

Расходимся и очень сильно. Я под реальными задачами понимаю те, которые перед человеком ставит Природа, а под учебными, те, которые перед студентом ставит преподаватель. Например, сейчас Природа поставила перед человеком задачу научиться пусть не управлять погодой, но хотя бы контролировать ее поведение в заданных интервалах, а то всемирное потепление принесет много бед и не только тем, что затопит многие участки суши, но и будут непредсказуемые изменения во флоре и фауне (например, в наших реках заведутся пираньи и крокодилы). Вот только решить эту задачу через измерения температуры градусником с занесением экспериментальных данных в журнал наблюдений не получится. И потом эксперименты бывают натурные и вычислительные (на математических моделях объектов, т.е. на их заменителях) и 99,9% вычислительных экспериментов сейчас проводят на компьютерах. Вот только теория подобия здесь совершенно не причем, т.к. применяется при моделирование не на компьютерах, а на материальных меделях (уменьшенных копиях объектов, хотя при этом природа самих объектов может и отличаться от природы моделей) или как частный случай на аналоговых компьютерах, но не на нейрокомпьютерах, которые тоже являются аналоговыми.

Более того, существует множество задач, где проведение натурных экспериментов не возможно по техническим, экономическим или этическим соображениям. Например, при изучение строения атома мы не можем залезть в него с весами и линейкой, чтобы там все измерить практически, и по этому вынуждены решать эту задачу через проведение вычислительных экспериментов на математических моделях и дальнейшего сравнения полученных результатов с непосредственными измерениями косвенных показателей в натурных экспериментах. Или, например, при оптимизации стратегии социально-экономического развития страны мы не можем проводить натурные эксперименты над целой страной вместе с людьми и поэтому вынуждены, как изучать законы функционирования социально-экономических систем на математических моделях, так и производить оптимизацию параметров этих систем тоже на моделях. Естественно, нельзя по этическим соображениям провести и натурный эксперимент с маугли, описанный мною в статье “Искусственный интеллект и моделирование систем”. Существует и множество других реальных задач, которые нельзя решить без компьютеров и по этому проведение вычислительных экспериментов на математических моделях систем выходит сейчас на первое место при решение реальных задач стоящих перед человеком, а натурные эксперименты отходят на второй план, обеспечивая только функцию проверки адекватности математических моделей, т.е. все чаще проводятся не до компьютеров, как Вы утверждали, а после них.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100