Ещё раз о принципе наименьшего действия.

Сообщение №48051 от Kostya 27 января 2007 г. 15:54
Тема: Ещё раз о принципе наименьшего действия.

Принцип наименьшего действия (далее ПНД) - замечательный пример того, как маленькая неаккуратность в самом начале ваших рассуждений может привести к катастрофическим последствиям.

1.Обсудим, для начала, формулировку ПНД.

Проблема, на мой взгляд заключается вот в том, что в настоящее время в литературе встречается множество различных формулировок этого принципа, многие из этих формулировок не являются достаточно строгими, что вызывает непонимание.
В любом случае, в формулировке есть такие (или похожие) слова: "...система движется так, что интеграл от действия принимает ????? значение." (Под словами "интеграл от действия" может подразумеваться либо "интеграл вдоль траектории от Лагранжиана" либо "интеграл по времени от кинетической энергии" )
Вместо знаков вопроса ставится одно из перечисленных слов: "наименьшее","минимальное","экстремальное" и, наконец, "стационарное".

Во многих работах перечисленые понятия, часто математически нечетко определены. Что приводит к разночтениям в формулировках ПНД.

Я попытаюсь четко определить набор понятий, которыми буду пользоваться:
Глобальный минимум (максимум) - траектория, интеграл от действия вдоль которой меньше (больше), чем на любой другой траектории.
Глобальный экстремум - глобальный минимум или глобальный максимум.
Локальный минимум (максимум) - траектория, интеграл от действия вдоль которой меньше (больше), чем на любой траектории, выбранной из достаточно малой окрестности исходной.
Локальный экстремум - локальный минимум или локальный максимум.
Стационарная траектория - траектория, первая вариация интеграла от действия вдоль которой равна нулю.

Глобальный экстремум, несомненно, является локальным экстремумом. Обратное, вообще говоря, неверно.
Локально экстремальная траектория является стационарной траекторией. Обратное, вообще говоря, неверно.


Я предлагаю не обсуждать то, какая формулировка подразумевается у того или иного автора, моя цель - разобраться в вопросе своими силами без ссылок на какие-либо книги и авторитеты.
Давайте сформулируем основной вопрос так: "Какая из формулировок верна в самом общем случае?"

Глобальный экстремум - является ли реальная траектория глобальным максимумом или глобальным минимумом можно проверить непосредственно, что здесь и сделано. Сергей Юдин демонстрирует, что даже в простейших случаях интеграл действия не является глобальным экстремумом.
Локальный минимум - Я обнаружил, что с помошью метода случайных блужданий, можно находить локальные минимумы итеграла действия (в смысле Мопертюи), которые являются реальными траекториями. Однако, существуют реальные траектории, которые не являются локальными минимумами и к ним метод случайных блужданий не сходится. Таким образом, я демонстрирую, что интеграл действия не является и локальным минимумом.
Локальный экстремум - Рассмотрим систему, которая устроена так, что существуют бесконечно близкие действительные траектории. Очевидно, что ПНД в смыле локальной экстремальности интеграла действия не может быть верен для такой системы: траектория бесконечно близкая к экстремальной не может быть экстремальной,а значит, действительной. Этим рассуждением, не используя никаких численных рассчетов, я продемонстрировал, что ПНД неверен для любой из формулировок, с требованием эсктремльности в любом смысле.
Стационарная траектория - По-видимому никто не спорит, что стационарность действия эквивалентна уравнениям Эйлера, которые, в свою очередь, тождественны уравнениям Ньютона. Поэтому я считаю, что ПНД в смысле стационарности верен.

Таким образом, ответ на поставленый вопрос звучит так: "В самом общем случае верна та формулировка ПНД, в которой ставится требование стационарости действительной траектории."

В принципе, на этом можно и закончить, но остается ещё одна проблема, которую замечательно сформулировал Сергей Юдин: "я плохо понимаю, что это (стационарность) означает, т.к. то что при этом первая вариация действия будет равна нулю мне ни о чем не говорит".
Одним словом: "какой физический смысл стационарности действия?"

2.Физический смысл стационарности.

Рассмотрим интеграл
b
Exp[i λ S(x)] dx   (*)
a

Здесь S(x) - произвольная гладкая функция, λ - некоторое очень большое, по сравнению со значениями функции S(x), число.

Разобьем интервал интегрирования [a,b] на N отрезков [αnn+1]. Каждый отрезок должен быть достаточно маленьким, чтобы на нем можно было с хорошей точностью приблизить S(x) линейной функцией an + bnx. Здесь an и bn значения функции S(x) и её первой производной в некоторой (произвольной) точке отрезка [αnn+1].
На каждом из отрезков интеграл просто берется:

αn+1
Exp[i λ (an + bnx)] dx = iExp[ianλ] * (Exp[ibnαnλ]-Exp[ibnαn+1λ]) / (bnλ)
αn

Числитель этого выражения по абсолютному значению не может превысить 2. Тогда как в знаменателе стоит очень большое число λ умноженное на bn. Таким образом, значение интеграла на отрезке [αnn+1] очень мало, если bn не близко к нулю. Производная bn, в свою очередь, близка к (или равна) нулю только если отрезок [αnn+1] содержит стационарную точку функции S(x).
Окончательно, получается утверждение, являющееся частным случаем широко известного "метода стационарной фазы".

Интеграл (*), при условии, что λ достаточно большое, а S(x)-гладкая функция, набирает свое значение в стационарных точках функции S(x).
Просто это утверждение можно объяснить так - вблизи нестационарной точки фаза экспоненты меняется очень быстро, поэтому значения подынтегральной функции взаимно уничтожаются. Только вблизи стационарных точек фаза меняется слабо, чем и обуславливает набор интеграла.

Теперь сделаем несколько физичесих предположений:
1.Система переходит из одного состояния в другое с определенной вероятностью P.
2.Каждой траектории сопоставляется амплитуда вероятности a[x(t)]= A Exp[S[x(t)]/h], где S[x(t)]-функционал действия, h-постоянная планка, A - несущественный для нашего рассмотрения нормировочный коэффициент.
3.Если начальное и конечное состояния (замкнутой) системы одинаковы для нескольких траекторий, то вероятность P соответствующего перехода равна квадрату модуля от суммы амплитуд перехода для всех этих траекторий:

P = |A|2  |Σ Exp[S[x(t)]/h]|2

(Так как множество всех возможных траекторий непрерывно, принято говорить не о сумме по всем траекториям а об интеграле по траекториям.)

Если константа h - очень мала по сравнению с велечинами действия (классический предел), то можно, по аналогии с одномерным интегралом, утверждать, что континуальный интеграл по траекториям набирается в окрестностях стационарных траекторий.

Итак, физический смысл стационарности действия я формулирую следующим образом:

"При переходе от более общего квантовомеханического описания к менее общему классическому описанию возникают классические траектории - те, которые дают основной вклад в интеграл по траекториям. Такими траекториями могут быть только те траектории, на которых действие принимает стационарное значение."

Разумеется, это рассуждение не доказывает квантовой механики. Сделанных предположений не достаточно для построения всеобъемлющей теории.
Справедливость квантовой механики нужно проверять либо экспериментально, либо можно опровергнуть её, найдя внутреннее логическое противоречие.

3.Справедливость квантовой механики.
Насколько я понимаю, основная цель работы Сергея Юдина - опровержение квантовой механики. При этом, опровержение - не экспериментальное.
Его рассуждения я воспроизвожу следующим образом:
1. На заре становления аналитической механики, ПНД формулировался в смысле голбального минимума.
2. В то же время ПНД использовался для создания квантовой механики.
3. ПНД в смысле голбального минимума неверен - это доказываетя непосредственным численным моделированием.
4. Отсюда делается вывод, что квантовая механика неверна.

Сергей Юдин призывает больше верить самому себе, чем тому, что написано в учебниках. В таком ключе довольно странно видеть аппеляцию к создателям квантовой и аналитической механики. Гораздо корректнее было бы показать логическую противоречивость квантовой или аналитической механики без ссылок на классиков.

В любом случае в этом рассуждении имеется маленькая недоговоренность. Именно - не ясно в какой формулировке использовался ПНД для создания квантовой механики (пункт 2).

С другой стороны, я утверждаю, что ПНД верен в смысле стационарности, а смысл этой стационарности заключается именно в существовании квантовой механики.


Отклики на это сообщение:

Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100