Веревка в трубе

Сообщение №46349 от Flexible 18 октября 2006 г. 18:30
Тема: Веревка в трубе

Помогите решить, плиз.
Гладкую однородную веревку длины L удерживают в колене изогнутой трубы:

Потом отпускают. Через какое время она полностью окажется в горизонтальном положении? Как изменится это время, если вначале половина длины веревки уже находилась в горизонтальном положении?

Что-то не могу допереть как решать. Задачка на тему мех. колебаний.


Отклики на это сообщение:

> Помогите решить, плиз.
> Гладкую однородную веревку длины L удерживают в колене изогнутой трубы:

>

> Потом отпускают. Через какое время она полностью окажется в горизонтальном положении? Как изменится это время, если вначале половина длины веревки уже находилась в горизонтальном положении?

> Что-то не могу допереть как решать. Задачка на тему мех. колебаний.

Задачка любопытная, но, на мой взгляд, для чайников из числа физиков . Алгоритм решения простой. Потенциальная энергия вертикальной веревки переходит в кинетическую энергию всей веревки. И всё тут.

Шимпанзе


> Задачка любопытная, но, на мой взгляд, для чайников из числа физиков . Алгоритм решения простой. Потенциальная энергия вертикальной веревки переходит в кинетическую энергию всей веревки. И всё тут.
Имхо, вы не правы. Ибо слабо из таких размышлений выйти на правильный ответ: t=pi/2*sqrt(L/g)? [он имеет место быть]
Да, формулка прямо кидается в глаза, но как???


> Помогите решить, плиз.
> Гладкую однородную веревку длины L удерживают в колене изогнутой трубы:

>

> Потом отпускают. Через какое время она полностью окажется в горизонтальном положении? Как изменится это время, если вначале половина длины веревки уже находилась в горизонтальном положении?

> Что-то не могу допереть как решать. Задачка на тему мех. колебаний.

Задача эквивалентна задаче о движении вертикального стержня в поле однородной силы, равной силе тяжести, но действующей не на весь стержень, а только на часть его длины, равной длине вертикальной части веревки (обозначим ее z(t), где t - время). Дифференциальное уравнение для z(t) имеет вид
z''(t) = - g z(t)/L,
где g - ускорение силы тяжести. Действительно, это - уравнение для колебательного движения, но в данном случае никаких колебаний не будет, т.к. z всегда больше нуля. Начальные условия для этого уравнения имеют вид
z'(0) = 0, z(0)=L (z(0)=L/2 для второго случая).
Решение задачи Коши имеет вид
z(t) = L cos(g1/2 t/L1/2)
и для второго случая
z(t) = L cos(g1/2 t/L1/2)/2.
Для обоих случаев искомое время равно
π L1/2/(2g1/2).


> > Задачка любопытная, но, на мой взгляд, для чайников из числа физиков . Алгоритм решения простой. Потенциальная энергия вертикальной веревки переходит в кинетическую энергию всей веревки. И всё тут.
> Имхо, вы не правы. Ибо слабо из таких размышлений выйти на правильный ответ: t=pi/2*sqrt(L/g)? [он имеет место быть]
> Да, формулка прямо кидается в глаза, но как???

Воспользуемся стандартным методом - запишем функцию Лагранжа
L=T-U.
В качестве обобщенной координаты выберем х - длину веревки в вертикальной части трубы.
Тогда T=my'^2/2.
U=mg(y)(y)/2L=mg(y)^2/2L,
здесь m(y)/L - масса вертикальной части веревки. (y)/2 - положение центра масс вертикальной части.
L=my'^2/2-mg(y)^2/2L
d/dt(dL/dy')=my''.
dL/dy=-mgy/L.
y''=-gy/L
Т.о. w^2=g/L.
w=Sqrt(g/L).
T=2Pi*Sqrt(g/L)
Опускание в нижнее положение - четверть периода - потенциальная энергия падает до нуля при изменении фазы на Pi/2=w*t->t=Pi/2w=Pi/2*Sqrt(g/L).
Примечание - можно сразу решать через силу тяжести, действиующую на вертикальную часть веревки.
До встречи, AID.


> > Задачка любопытная, но, на мой взгляд, для чайников из числа физиков . Алгоритм решения простой. Потенциальная энергия вертикальной веревки переходит в кинетическую энергию всей веревки. И всё тут.
> Имхо, вы не правы. Ибо слабо из таких размышлений выйти на правильный ответ: t=pi/2*sqrt(L/g)? [он имеет место быть]
> Да, формулка прямо кидается в глаза, но как???

А Вы все же попробуйте составить уравнение по аналогии с маятником: слева потенциальная энергия ( или лучше сразу её дифференциал) вертикальной части веревки, которая зависит от времени, справа кинетическая энергия всей веревки ( или лучше сразу её дифференциал), которая тоже зависит от времени. Должно получиться дифуравнение наподобие маятника, но только в одну сторону.


Шимпанзе


> Помогите решить, плиз.
> Гладкую однородную веревку длины L удерживают в колене изогнутой трубы:

>

> Потом отпускают. Через какое время она полностью окажется в горизонтальном положении? Как изменится это время, если вначале половина длины веревки уже находилась в горизонтальном положении?

> Что-то не могу допереть как решать. Задачка на тему мех. колебаний.

Уранение движения

(1)         mds²/dt² = mg(ls)/l

имеет решение

(2)         ls = lcosωt

Подставляя (2) в (1), находим

(3)         ω² = g/l

Время T, при котором s = l, находим из условия для (2)

(4)         ωT = π/2

Из (3) и (4) получаем

(5)         T = (l/g)1/2π/2

Если веревка на половину спущена, то уравнение движения (1) то же самое. А начальное условие другое. Поэтому решение

(6)         ls = (l/2)cosωt

Частота ω та же самая. Условие (4) то же. Так что время T не изменилось.


> > > Задачка любопытная, но, на мой взгляд, для чайников из числа физиков . Алгоритм решения простой. Потенциальная энергия вертикальной веревки переходит в кинетическую энергию всей веревки. И всё тут.
> > Имхо, вы не правы. Ибо слабо из таких размышлений выйти на правильный ответ: t=pi/2*sqrt(L/g)? [он имеет место быть]
> > Да, формулка прямо кидается в глаза, но как???

> Воспользуемся стандартным методом - запишем функцию Лагранжа
> L=T-U.
> В качестве обобщенной координаты выберем х - длину веревки в вертикальной части трубы.
> Тогда T=my'^2/2.
> U=mg(y)(y)/2L=mg(y)^2/2L,
> здесь m(y)/L - масса вертикальной части веревки. (y)/2 - положение центра масс вертикальной части.
> L=my'^2/2-mg(y)^2/2L
> d/dt(dL/dy')=my''.
> dL/dy=-mgy/L.
> y''=-gy/L
> Т.о. w^2=g/L.
> w=Sqrt(g/L).
> T=2Pi*Sqrt(g/L)
> Опускание в нижнее положение - четверть периода - потенциальная энергия падает до нуля при изменении фазы на Pi/2=w*t->t=Pi/2w=Pi/2*Sqrt(g/L).
> Примечание - можно сразу решать через силу тяжести, действиующую на вертикальную часть веревки.
> До встречи, AID.

Пишите человеческим языком.

Лагранжиан

(0)         L = ½m(ds/dt)² – μgh

где s – длина горизонтальной части веревки:

(0')        μ =m(ls)/l

(0")        h = ½(ls)

приводит к правильному уравнению.


> > > > Задачка любопытная, но, на мой взгляд, для чайников из числа физиков . Алгоритм решения простой. Потенциальная энергия вертикальной веревки переходит в кинетическую энергию всей веревки. И всё тут.
> > > Имхо, вы не правы. Ибо слабо из таких размышлений выйти на правильный ответ: t=pi/2*sqrt(L/g)? [он имеет место быть]
> > > Да, формулка прямо кидается в глаза, но как???

> > Воспользуемся стандартным методом - запишем функцию Лагранжа
> > L=T-U.
> > В качестве обобщенной координаты выберем х - длину веревки в вертикальной части трубы.
> > Тогда T=my'^2/2.
> > U=mg(y)(y)/2L=mg(y)^2/2L,
> > здесь m(y)/L - масса вертикальной части веревки. (y)/2 - положение центра масс вертикальной части.
> > L=my'^2/2-mg(y)^2/2L
> > d/dt(dL/dy')=my''.
> > dL/dy=-mgy/L.
> > y''=-gy/L
> > Т.о. w^2=g/L.
> > w=Sqrt(g/L).
> > T=2Pi*Sqrt(g/L)
> > Опускание в нижнее положение - четверть периода - потенциальная энергия падает до нуля при изменении фазы на Pi/2=w*t->t=Pi/2w=Pi/2*Sqrt(g/L).
> > Примечание - можно сразу решать через силу тяжести, действиующую на вертикальную часть веревки.
> > До встречи, AID.

> Пишите человеческим языком.

> Лагранжиан

> (0)         L = ½m(ds/dt)² – μgh

> где s – длина горизонтальной части веревки:

> (0')        μ =m(ls)/l

> (0")        h = ½(ls)

> приводит к правильному уравнению.

Выражайте претензии человеческим языком. Что не нравится в моем решении?
PS - надеюсь, здесь Вы НЕ модератор?


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100