Пути решения задач динамики

Сообщение №46317 от Mister_X 16 октября 2006 г. 20:53
Тема: Пути решения задач динамики

Возможно ли решение задач динамики (очень сложных) не используя уравнение Лагранжа 2-го рода . Основа решения строиться на 2-ом законе Ньютона и
Теореме об изменении кинетической энергии материальной системы (см. Термех).
P.S. Если кто интересовался ,прошу, приведите примеры (с решениями если возможно)


Отклики на это сообщение:

> Возможно ли решение задач динамики (очень сложных) не используя уравнение Лагранжа 2-го рода . Основа решения строиться на 2-ом законе Ньютона и
> Теореме об изменении кинетической энергии материальной системы (см. Термех).
> P.S. Если кто интересовался ,прошу, приведите примеры (с решениями если возможно)

***Алгоритмы решения задач на основе уравнений:
dv=a(t)*dt
v*dv=a(x)*dx

* Если известна зависимость ускорения от координат a(x), то уравнение примет вид v^2(x)=2*Integr(a(x)*dx). Например:
a(x)= K*x ---> v^2(x)= 2*K*Integr(x*dx)
a(x)= G/x^2 ---> v^2(x)= 2*G*Integr(dx/x^2)
1. Находим скорость v(x)=(2*Integr(a(x)*dx))^0,5
2. Находим время t(x)=Integr(dx/v(x))
3. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Если известна зависимость ускорения от скорости a(v), то она переносится в левую часть уравнения. Например:
a(v)=g-k*v ---> dv/(g-kv)= dx
a(v)=g-k*v^2 ---> dv/(g-kv^2)= dx
1. Интегрируем уравнение с разделенными переменными
2. Находим зависимость x(v), обратную функцию v(x)=1/x(v)
3. Находим зависимости t(x)=Integr(dx/v(x))
4. Находим формулу пути, как обратную функцию x(t)=1/t(x).
* Усли известна зависимость v(x), то, интегрируя, находим t(x)=Integr(dx/v(x)).
* Если известна зависимость v(t), находим из нее первообразную - X(t) и производную - a(t).
* Заметим - мы не прибегаем здесь к теории дифференциальных уравнений, где даются, в виде решений, готовые функции для каждого вида уравнения, а сами, прямым интегрированием, находим эти функции.
* Заметим - это замечательное уравнение является шаблоном для подстановки в него известных функций при решении конкретных задач. При этом нужно решать полученные уравнения в определенных интегралах, чтобы учесть заданные начальные условия. Иначе можно получить не верную формулу или формулу, где значение физической величины не имеет предела. В теоретической механике существуют похожие шаблоны в виде уравнений Лагранжа, уравнений Гамильтона и т.д.

****Примеры решения задач.****

* Найти время падения тела от состояния покоя, на расстоянии 6371 км от поверхности Земли, до ее поверхности. Дана зависимость а(х)=g/x^2, где x=(h+R)/R, g=10м/с^2, R=6371км. сопротивление атмосферы не учитывать.
Решение:
находим v^2(x)= 2*Integr(g*dx/x^2)=(2*g*R*(1/x-1/Xo))^0,5,
находим t(x)=Int(dx/v(x))=
(R/2g)^0,5*Xo^3/2*(pi/2-arcsin((x/Xo)^0,5)+(x/Xo)*(Xo/x-1)*0,5)
Ответ: время падения t=2072c.
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод времени через эллиптическую формулу, исходя из законов Кеплера.

* Найти период колебаний пружинного маятника, если известна зависимость a(x)=k*x/m.
Решение:
находим v^2(x)=2*Integr(k/m)*x*dx=(k/m)*(Xo^2-x^2)
находим T=4* t(x)=4*Integr(dx/v(x))=2*Pi*(m/k)
Заметим: в учебниках чаще приводится вывод периода, исходя из готовой функции x= A*sin(w*t), определяющей гармонические колебания.
**Вывод закона сохранения механической энергии из формулы силы** / 2 закона Ньютона/:
m*a=F :исходная формула
m*dv=F*dt :в дифф.форме
m*v*dv=m*a*v*dt :умножили на v
m*v*dv=m*a*dx :освободились от dt
m*v^2/2=m*a*x : вывели неопределенный интеграл - формулу ЗСЭ.
**Взяв определенные интегралы, докажем теорему о изменении Ек.
***А теперь докажем, что формула m*v^2/2 справедлива для любой конкретной зависимости ускорения от координаты /а(х)/:
v(x)=(2*I(a(x)*dx))^0,5 :скорость из формулы ЗСЭ
dv(x)=a(x)*dx/(2*I(a(x)*dx))^0,5 : дифф-л скорости
v(x)*dv(x)=a(x)*dx :их произведение - ЗСЭ в дифф.форме.


Спасибо ! Не ожидал такого объемного ответа. Но... все это конечно известно,
еще из школьного курса Физики из раздела "Механика" .
А вот как ,например, быть с выводом уравнений элептического маятника (для справки: ось качания маятника находится на подвижном основании ,которое перемещается по прямой или двойного маятника ,не используя при этом уравнения Лагранжа 2-го рода. Сколько не просматривал учебников по Теормеху ,простых выводов этих уравнений не встречал.


> Спасибо ! Не ожидал такого объемного ответа. Но... все это конечно известно,
> еще из школьного курса Физики из раздела "Механика" .

Вы верно заметили, что эта пара простейших дифференциальных уравнений легко получаются из школьного курса Физики. Заметьте, что они одновременно являются и уравнениями Лагранжа 1 и 2 рода - вот в чем фокус!

> А вот как ,например, быть с выводом уравнений элептического маятника (для справки: ось качания маятника находится на подвижном основании ,которое перемещается по прямой или двойного маятника ,не используя при этом уравнения Лагранжа 2-го рода. Сколько не просматривал учебников по Теормеху ,простых выводов этих уравнений не встречал.


Несогласен с Вами ,Арх,что dv=a(t)*dt и V*dv=a(x)*dx (если имеются ввиду эти
уравнения) являются одновременно и уравнениями Лагранжа 1 и 2 рода.
Уравнение 1-го рода строится на основе принципа Д`Аламбера m*a=F+R
F - активная сила (или сумма сил для системы тел или материальных точек)
R - реакция на силу (или сумма рекций)
Т.е. уравнение 1-го рода подразумевает ограничение свободы (точки тела -
как хотите). Те уравнения ,на которые Вы ссылаетесь ,для абсолютно свободной
точки (или тела); и притом в них нет намёка на динамику (но правда a=F/m).
Уравнение 2-го рода строится также на основе принципа Д`Аламбера .Но
здесь используется принципа возможных перемещений или работ (одно вытекает из
другого) ,и ,кстати, из них вытекает общее уравнение динамики(записывать не
буду, тот же ,"искарёженный" правда, Д`Аламбер). И, также, тело или
материальная точка подразумеваются не в свободном состоянии.
Ну а моя цель: не копаться в теории и в выводе одного из другого ,а понять
ход рассуждений при решении задач без использования аналитической механики
(в частности аналитической динамики) ,основанной на уравнениях Лагранжа.
Да, решение получается громоздкое. Ну не нравится мне Лагранж !
Как пример задачи про маятники (уже повторяюсь ,задачи не простые) двойной
и элептический. Оба решения ,что я встречал ,строятся на уравнении Лагранжа
2-го рода ,но этоже чистого рода подстановка. Пробовал через закон сохранения
механической энергии (кинетическая равна потенциальной в замкнутой системе)
,теорему об изменении кинетической энергии материальной системы,
Либо получаю ничего не значащие тождества ,либо не сходятся ответы (по
Лагранжу и моё).


> Ну а моя цель: не копаться в теории и в выводе одного из другого ,а понять
> ход рассуждений при решении задач без использования аналитической механики
> (в частности аналитической динамики) ,основанной на уравнениях Лагранжа.
> Да, решение получается громоздкое. Ну не нравится мне Лагранж !
Это хорошо, что Вам не нравиться Лагранж, т.к. мне он не нравиться еще больше. Ведь это именно из за его Аналитической механики физика стала настолько абстрактной наукой, что даже родила Квантовую механику, где вообще нет никакой механики. А о бестолковости уравнений Лагранжа я пишу на форуме Мехмата МГУ в теме Моделирование физики на компьютере http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=3044&postdays=0&postorder=asc&start=0 и если интересно, то можете посмотреть. Можете посмотреть и в соседнем разделе Моделирование и анимация в теме Спуск тела по желобу http://physics.nad.ru/aniboard/messages/291.html очень интересный (в теоретическом плане для центробежной силы) алгоритм нахождения реакций от уравнений связи, для численного решения дифференциальных уравнений, т.к. сам принцип Даламбера в этой задаче конечно же не представляет интереса и вся динамика на этом принципе и построена, т.е. все пути ведут к этому принципу. Вот только пожалуй уравнения Лагранжа 2-го рода выбиваются из этого общего пути, но они созданы для гимнастики ума и с их помощью все равно никакой практической задачи решить не получиться. По этому пусть себе выбиваются, но только не лезут в динамику. Так что читайте пока. Может что то и заинтересует в этих темах.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


> > Ну а моя цель: не копаться в теории и в выводе одного из другого ,а понять
> > ход рассуждений при решении задач без использования аналитической механики
> > (в частности аналитической динамики) ,основанной на уравнениях Лагранжа.
> > Да, решение получается громоздкое. Ну не нравится мне Лагранж !
> Это хорошо, что Вам не нравиться Лагранж, т.к. мне он не нравиться еще больше. Ведь это именно из за его Аналитической механики физика стала настолько абстрактной наукой, что даже родила Квантовую механику, где вообще нет никакой механики. А о бестолковости уравнений Лагранжа я пишу на форуме Мехмата МГУ в теме Моделирование физики на компьютере http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=3044&postdays=0&postorder=asc&start=0 и если интересно, то можете посмотреть. Можете посмотреть и в соседнем разделе Моделирование и анимация в теме Спуск тела по желобу http://physics.nad.ru/aniboard/messages/291.html очень интересный (в теоретическом плане для центробежной силы) алгоритм нахождения реакций от уравнений связи, для численного решения дифференциальных уравнений, т.к. сам принцип Даламбера в этой задаче конечно же не представляет интереса и вся динамика на этом принципе и построена, т.е. все пути ведут к этому принципу. Вот только пожалуй уравнения Лагранжа 2-го рода выбиваются из этого общего пути, но они созданы для гимнастики ума и с их помощью все равно никакой практической задачи решить не получиться. По этому пусть себе выбиваются, но только не лезут в динамику. Так что читайте пока. Может что то и заинтересует в этих темах.

> С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Принцип Даламбера излишний в механике. Достаточно уравнений движения.
Как раз этому и посвящена методическая заметка "Метод неопределенных множителей Лагранжа" pdf.

А зачем нужны уравнения Лагранжа, я объясняю в одноименной заметке pdf.


> Принцип Даламбера излишний в механике. Достаточно уравнений движения.
> Как раз этому и посвящена методическая заметка "Метод неопределенных множителей Лагранжа" pdf.

> А зачем нужны уравнения Лагранжа, я объясняю в одноименной заметке pdf.

В своих заметках Вы только решаете несколько школьных задачек, используя уравнения Лагранжа и приводите общие формулировки. А вот на сайте Мехмата МГУ я доказываю конкретно, что даже смоделировать движение реального кривошипно-шатунного механизма, используя уравнения Лагранжа 2-го рода, не возможно, не говоря уже о более сложных конструкциях. По этому повторяю, что уравнения Лагранжа 2-го рода нужны только для гимнастики ума и для оболванивания тех, кто эту гимнастику делает. Если Вы считаете, что уравнения Лагранжа 2-го рода способны на что-то более полезное, то решите хотя бы мои простейшие 2-е задачи, с уравнением связи http://ser.t-k.ru/Stat/Zadachi/Zadachi.html , используя своего любимого Лагранжа.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


> > Принцип Даламбера излишний в механике. Достаточно уравнений движения.
> > Как раз этому и посвящена методическая заметка "Метод неопределенных множителей Лагранжа" pdf.

> > А зачем нужны уравнения Лагранжа, я объясняю в одноименной заметке pdf.

> В своих заметках Вы только решаете несколько школьных задачек, используя уравнения Лагранжа и приводите общие формулировки. А вот на сайте Мехмата МГУ я доказываю конкретно, что даже смоделировать движение реального кривошипно-шатунного механизма, используя уравнения Лагранжа 2-го рода, не возможно, не говоря уже о более сложных конструкциях. По этому повторяю, что уравнения Лагранжа 2-го рода нужны только для гимнастики ума и для оболванивания тех, кто эту гимнастику делает. Если Вы считаете, что уравнения Лагранжа 2-го рода способны на что-то более полезное, то решите хотя бы мои простейшие 2-е задачи, с уравнением связи http://ser.t-k.ru/Stat/Zadachi/Zadachi.html , используя своего любимого Лагранжа.

> С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Сергей, Вы даже постеснялись представить формулы в должном формате.
Я ведь не графолог.
Почему Вы считаете, что кто-то обязан разбираться в каракулях?


> http://ser.t-k.ru/Stat/Zadachi/Zadachi.html

"...у меня получились результаты, которые опровергают этот принцип... Коротко напомню этот принцип, согласно которому утверждается, что при свободном движение любого тела в каком то поле ... то величина, называемая действием, будет иметь минимальное значение по сравнению с действием полученным при движение по любому другому пути..."

Сергей, сколько времени можно обманывать читателей? Ведь еще Якоби показал, что из стационарности действия не обязательно следует экстремальность. Об этом также ПРЯМЫМ текстом написано в книге "Вариационные принципы механики". Обе эти книги Вы читали!
Напомню Вам также, что достаточными условиями экстремума функционала на траектории, на которой первая вариация равна нулю, являются условие Якоби и вхождение траектории в поле траекторий. Если оба эти условия одновременно не выполняются, то стационарное значение интеграла не обеспечивает экстремального значения. Это азбука вариационного исчисления.
Вот Вам пример. Вы утверждали, что не нашли "противоречия" ПНД для однородного поля. Однако действие в смысле Якоби принимает РАЗНЫЕ значения на двух ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ траекториях при одной и той же энергии бросаемого тела и углах бросания alfa и pi/2-alfa (несложно убедиться, что при этом точка падения будет одна и та же). Попробуйте вместо того, чтобы провозглашать об изобретении велосипеда, объяснить это, исходя из достаточных условий экстремума.

"могу сообщить, что ... при вынужденном жесткость направляющей C1=10 н/м, а коэффициент жидкостного трения в материале направляющей был Kj1=0,1 н*с/м."

Если Вы вводите дополнительные силы, то это уже не ПНД. В ПНД дейсвительная и окольные траектории должны рассматриваться при одних и тех же условиях.
До встречи, AID.



> > Если Вы считаете, что уравнения Лагранжа 2-го рода способны на что-то более полезное, то решите хотя бы мои простейшие 2-е задачи, с уравнением связи http://ser.t-k.ru/Stat/Zadachi/Zadachi.html , используя своего любимого Лагранжа.

> Сергей, Вы даже постеснялись представить формулы в должном формате.
> Я ведь не графолог.
> Почему Вы считаете, что кто-то обязан разбираться в каракулях?

Во-первых это не каракули – а простейшая запись в текстовом режиме элементарных алгебраических формул (если речь идет о формулах внутри текста), т.к. использовать тег [math] на своей домашней странице я не могу и даже редактор формул из Word для меня не позволительная роскошь. Это объясняется тем, что мой провайдер выделил мне на домашнюю страничку всего 10 mb, которые и так скоро закончатся, а все красивые формулы жрут много места и по этому я для больших файлов даже сделал зеркало на narod.ru, где выделяется 100 mb. А если вы говорите о фрагменте программы, то это код, приведенный в подлиннике без графических изысков (по цветовому оформлению и т.д.), и если его представлять как картинку, то это займет много места и мне придется закрывать свою домашнюю страничку под уже известным многим названием и создавать где-то новую, что для меня не желательно.

А во-вторых, мы с Вами не в картинной галерее и, если Вам действительно есть что сказать, то я думаю, для Вас не является проблемой прочитать пару простейших формул записанных в одну строку. Так что давайте ближе к телу Айвазовский (не видевший ни разу моря) и Шишкин (не умеющий рисовать медьведей) в одном флаконе. По самим задачам Вам есть что сказать или будем дальше обсуждать Ваши художественные пристрастия и способности.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.



> Сергей, сколько времени можно обманывать читателей? Ведь еще Якоби показал, что из стационарности действия не обязательно следует экстремальность. Об этом также ПРЯМЫМ текстом написано в книге "Вариационные принципы механики". Обе эти книги Вы читали!

Во-первых, Вы случаем не перепутали темы, т.к. здесь мы обсуждаем методы решения задач динамики с помощью уравнений Лагранжа и с помощью принципа Даламбера, а не с применением принципа наименьшего действия (ПНД). И в своей заметке Zadachi я просто просил людей проверить правильность полученных мною данных, при решение этих задач с использованием моей методики, базирующейся на принципе Даламбера.
А во-вторых, Вы опять пытаетесь увести и меня и всех остальных от сути проблемы по ПНД. Да, указанные Вами книжки я читал, но я в своей статье высказываю сомнение, что эти книжки читали также Планк, заложивший фундамент Квантовой механики, и Фейнман, давший Квантовой механике новую интерпретацию. По этому, я не имею ничего против формулировок Вариационного исчисления (которое в таких формулировках нужно только геометрам), но я категорически против того, что, вышеуказанные авторы, для своих корпоративных целей используют совсем другие формулировки применительно к физическим явлениям. И потом, это именно я говорил, что ПНД абсолютно бесполезен при решение задач механики, т.к. в Природе такого принципа не существует, а Вы наоборот, вместе с отцами основателями ПНД, утверждали, что этот замечательный принцип позволяет найти единственное решение. И это именно я привел этот пример с неоднозначностью решения в нашей дискуссии http://physics.nad.ru/newboard/messages/43221.html , чтобы Вы, используя ПНД, нашли единственное решение. Вот цитата из этой дискуссии.
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
А вот если бы у ПНД применение было таким же всеобщим, как у законов Ньютона или закона сохранения энергии, то мы могли бы наверное иногда применяя его выделить среди множества других возможных путей один, который бы был оптимальным для достижения какой то цели. Я правда не понял каким конкретно образом ПНД может нам в этом помочь даже в простейшей задаче движения тела в поле тяжести Земли (вблизи ее поверхности). Например, Планк в своей работе «Принцип наименьшего действия» пишет
> «Из бесчисленного количества движений, возможных в рамках наложенных условий, принцип наименьшего действия с помощью простого отличительного признака выхватывает совершенно определенное движение и характеризует его как действительно имеющее место в природе. Этот признак заключается в том, что при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного движения, характерная для вариации определенная величина обращается в ноль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты».
Полак в своей редакционной статье к сборнику «Вариационные принципы механики» [4] http://ftp.kinetics.nsc.ru/chichinin/pmlic.htm#P тоже пишет о возможности выделения единственного возможного действительного движения с применением ПНД также как это делается с применением законов Ньютона.
> «В противоположность принципу Даламбера, согласно которому движение определяется начальным положением точки и ее начальной скоростью, принцип наименьшего действия определяет движение по начальному и конечному положениям точки. При всех сравниваемых бесконечно близких движениях только начальные и конечные положения остаются без изменения, тогда как скорости, даже начальные скорости, могут быть произвольно варьируемы в пределах, допустимых заданными связями.
> По существу говоря, вариационные принципы не являются ни первым, ни единственным в отношении выделения осуществляющихся в природе движений из всех возможных движений. Уравнения движения Ньютона также выделяют из всех возможных движений – точнее говоря, из всех мыслимых движений – естественные движения, удовлетворяющие аксиомам механики Ньютона … Различие в характере выделения группы естественных движений с помощью уравнений Ньютона от выделения их с помощью вариационных принципов состоит в том, что в первом случае условием является только соответствие аксиомам механики, а во втором это соответствие выражено через экстремальное условие, для применения которого необходимо сравнение возможных движений между собой».
И авторы статьи [3] тоже указывают на возможность нахождения единственной траектории с применением ПНД
> «Так, путем варьирования координат системы и их производных можно найти такую траекторию движения системы, на которой вариация указанной функции будет равной нулю, что свидетельствует о ее экстремальном характере, который, в свою очередь, расценивается как признак истинности найденной траектории. Таким образом, в вариационных принципах речь идет об экстремальных свойствах истинных движений или состояний в природе».

Вот только я никак не пойму что нам все это может дать конкретно при решении двух задач Слудского рассмотренных мною в статье и если может дать то как, т.е. как надо варьировать координаты системы и их первые производные (каков алгоритм), чтобы найти действительную траекторию. Напомню, что движение по двум координатам при g=const будет осуществляться по уравнениям X=V0*cos(alfa)*t, Y=V0*sin(alfa)*t-g*t^2/2 . При этом подынтегральное выражение для ПНД по критерию Мопертюи-Лагранжа, т.е. по T будет T=m(V0^2-2*V0*g*t*sin(alfa)+g^2*t^2)/2 а по Гамильтону-Остроградскому, т.е. по T-U будет T-U=m(V0^2-4*V0*g*t*sin(alfa)+2*g^2*t^2). Допустим у нас заданы начальная точка А(0;0) и конечная точка В(60;15) и надо найти истинную траекторию по критерию T когда задана начальная скорость V0=28,28 м/с и по критерию T-U когда задано время движения до точки В равное 3 секунды. При этом примем, что ускорение свободного падения g=10 м/с.

Таким образом, чтобы однозначно определить траекторию движения нам в первой задаче надо найти угол alfa чтобы определить скорости по осям X и Y, а во второй задаче надо найти не только угол alfa чтобы определить скорости по осям X и Y, но и саму скорость V0. И двух уравнений движения X=V0*cos(alfa)*t, Y=V0*sin(alfa)*t-g*t^2/2 нам для этого вполне достаточно. Программа Maple справляется с этой системой уравнений без проблем для первой задачи
> g:=10.0: V0:=28.28:
> eqns := { V0*cos(a)*t=60.0, V0*t*sin(a)-g*t^2/2=15. };
> solve( eqns, {a, t} );
t=3 a=0.78; t=4 a=4.12

и для второй
> g:=10.0: t:=3:
> eqns := {V0*t*sin(a)-g*t^2/2=15., V0*cos(a)*t=60.0};
> solve( eqns, {V0, a} );
V0=28.28 a=0.78

Для второй задачи начальные условия определены однозначно, т.к. скорость -28,28 м/с и угол -2,35 рад явно не являются решением задачи, а вот в первой задаче у нас получились два реальных решения t=3; alfa=0.78 и t=4,12; alfa=1.03. Таким образом у меня к знатокам ПНД два вопроса как можно используя ПНД найти единственное решение в первой задаче и зачем он нужен ПНД во второй задаче, если она решена и без него (или как можно ее решить с ним).
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>


> "могу сообщить, что ... при вынужденном жесткость направляющей C1=10 н/м, а коэффициент жидкостного трения в материале направляющей был Kj1=0,1 н*с/м."

> Если Вы вводите дополнительные силы, то это уже не ПНД. В ПНД дейсвительная и окольные траектории должны рассматриваться при одних и тех же условиях.
> До встречи, AID.

А что касается Вашего замечания относительно того, что в своем методе моделирования, я использую такую фиктивную величину, как Kj1, то это не имеет никакого отношения к рассматриваемому вопросу, т.к. эта величина является чисто технической. И, хотя она вносит некоторую погрешность (менее 1 %) в численное значение результата вычислительного эксперимента, этой погрешностью можно полностью пренебречь, т.к. ошибка (если можно так сказать) самого ПНД составляет в этих экспериментах сотни процентов.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


> Во-первых, Вы случаем не перепутали темы, т.к. здесь мы обсуждаем методы решения задач динамики с помощью уравнений Лагранжа и с помощью принципа Даламбера, а не с применением принципа наименьшего действия (ПНД).

Однако, Вы даете ссылку на статью, где написаны ложные утверждения, которые Вы до сих пор не исправили.

> А во-вторых, Вы опять пытаетесь увести и меня и всех остальных от сути проблемы по ПНД. Да, указанные Вами книжки я читал, но я в своей статье высказываю сомнение, что эти книжки читали также Планк, заложивший фундамент Квантовой механики, и Фейнман, давший Квантовой механике новую интерпретацию.

Извините, но это Вы пытаетесь демагогическими рассуждениями увести от очевидной дезинформации, написанной в Ваших статьях. Напоминаю: "...Коротко напомню этот принцип, согласно которому утверждается, что при свободном движение любого тела в каком то поле ... величина, называемая действием, будет иметь минимальное значение по сравнению с действием полученным при движение по любому другому пути..."

Это неверное утверждение. Этот принцип утверждает, что величина, называемая действием, будет иметь СТАЦИОНАРНОЕ значение.

"у меня получились результаты, которые опровергают этот принцип..."

У Вас получились результаты, которые опровергают, что действие имеет на действительных траекториях экстремальное значение, но естественно, не получилось результатов, опровергающих то, что действие имеет стационарное значение на действительных траекториях.
Т.о. Вы занимаетесь прямым обманом. На фоне этого спор о том, имеет ли какой-то способ решения задач ценность или нет, не имеет смысла. Способы решения задач - это вообще дело вкуса. А ваше заявление об опровержении ПНД - это обман (точно такой же, как нарушение обратимости при упругом столкновении, но там Вы исправились, когда Вам указали на ошибку, а здесь намеренно продолжаете писать неправду).

> Для второй задачи начальные условия определены однозначно, т.к. скорость -28,28 м/с и угол -2,35 рад явно не являются решением задачи, а вот в первой задаче у нас получились два реальных решения t=3; alfa=0.78 и t=4,12; alfa=1.03. Таким образом у меня к знатокам ПНД два вопроса как можно используя ПНД найти единственное решение в первой задаче

Вы же сам говорите, что используя законы Ньютона, можно найти 2 действительных решения этой задачи. Так почему ПНД должен давать только одно решение? Вот если бы он давал одно решение, то он был бы неверен.

> и зачем он нужен ПНД во второй задаче, если она решена и без него (или как можно ее решить с ним).

А как, позвольте узнать, Вы получили X=V0*cos(alfa)*t, Y=V0*sin(alfa)*t-g*t^2/2?
А вот из ПНД Вы бы получили уравнения движения. Из которых нашли бы экстремаль x(t) y(t).

> ошибка (если можно так сказать) самого ПНД составляет в этих экспериментах сотни процентов.

Извольте сначала показать, что ПНД ошибочен. Причем именно в своей правильной формулировке.
Также, пожалуйста, дайте ссылку на задачу Фейнмана о движении в гравитационном поле.
До встречи, AID.


> > Во-первых, Вы случаем не перепутали темы, т.к. здесь мы обсуждаем методы решения задач динамики с помощью уравнений Лагранжа и с помощью принципа Даламбера, а не с применением принципа наименьшего действия (ПНД).

> Однако, Вы даете ссылку на статью, где написаны ложные утверждения, которые Вы до сих пор не исправили.

> > и зачем он нужен ПНД во второй задаче, если она решена и без него (или как можно ее решить с ним).

> А как, позвольте узнать, Вы получили X=V0*cos(alfa)*t, Y=V0*sin(alfa)*t-g*t^2/2?
> А вот из ПНД Вы бы получили уравнения движения. Из которых нашли бы экстремаль x(t) y(t).


Напоминаю еще раз, в этой теме, посвященной путям (методам) решения задач динамики, никто кроме Вас, не обсуждал и не собирается обсуждать справедливость ПНД. Если Вы считаете, что с помощью ПНД тоже можно решать задачи динамики, т.е. предлагаете третий путь к двум обсуждаемым, то коротко изложите эту методику и мы будем обсуждать все три методики. А, если Вас интересует вопрос соблюдается ли ПНД в механике или нет, то открывайте новую тему и там и обсуждайте этот вопрос. Кстати, по секрету, могу сказать, что сейчас ПНД заинтересовался Kostya, и, если Вы откроете такую тему, то он наверное примет в ней обсуждение, а если сам ход обсуждения будет конструктивен, то и я тоже подключусь. Можете даже использовать мое старое название темы, сменив только номер, т.е. “Механика для квантовой механики 3”.


> Также, пожалуйста, дайте ссылку на задачу Фейнмана о движении в гравитационном поле.

К сожалению, ссылку дать не могу, т.к. сам пол дня искал в Интернете отрывок из книги Ричарда Фейнмана "Вы, конечно же, шутите, мистер Фейнман!" и где я его нашел уже не помню. Могу только сказать, что, когда я привел на форуме Физфака МГУ цитату из книги с этой задачей, то мой оппонент сказал, что это именно та задача, о которой он говорил.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.



> Напоминаю еще раз, в этой теме, посвященной путям (методам) решения задач динамики, никто кроме Вас, не обсуждал и не собирается обсуждать справедливость ПНД. Если Вы считаете, что с помощью ПНД тоже можно решать задачи динамики, т.е. предлагаете третий путь к двум обсуждаемым, то коротко изложите эту методику и мы будем обсуждать все три методики. А, если Вас интересует вопрос соблюдается ли ПНД в механике или нет, то открывайте новую тему и там и обсуждайте этот вопрос. Кстати, по секрету, могу сказать, что сейчас ПНД заинтересовался Kostya, и, если Вы откроете такую тему, то он наверное примет в ней обсуждение, а если сам ход обсуждения будет конструктивен, то и я тоже подключусь. Можете даже использовать мое старое название темы, сменив только номер, т.е. “Механика для квантовой механики 3”.


> если Вы откроете такую тему, то он наверное примет в ней обсуждение, а если сам ход обсуждения будет конструктивен, то и я тоже подключусь. Можете даже использовать мое старое название темы, сменив только номер, т.е. “Механика для квантовой механики 3”.

>

Вопрос модератору - Вы не будете против такой темы на этом форуме? На новых теориях у меня не сложились отношения с тамошним модером.
До встречи, AID.


> А, если Вас интересует вопрос соблюдается ли ПНД в механике или нет, то открывайте новую тему и там и обсуждайте этот вопрос.

Хорошая постановка - у меня вопрос к Вам. Вы пишете - "там и обсуждайте", следовательно на вопрос отвечать все равно не хотите. Ну на нет и суда нет.
Имеет смысл создать тему, если Вы в ней будете участвовать.
До встречи, AID.




> > Также, пожалуйста, дайте ссылку на задачу Фейнмана о движении в гравитационном поле.

> К сожалению, ссылку дать не могу, т.к. сам пол дня искал в Интернете отрывок из книги Ричарда Фейнмана "Вы, конечно же, шутите, мистер Фейнман!" и где я его нашел уже не помню. Могу только сказать, что, когда я привел на форуме Физфака МГУ цитату из книги с этой задачей, то мой оппонент сказал, что это именно та задача, о которой он говорил.

Скорее всего, речь идет о книге Джон и Мэри Гриббин, "Ричард Фейнман: жизнь в науке."
Глава 1. Очарованный физикой.

"...Однажды он объяснил Ричарду то, что называется принципом наименьшего действия . Они обсуждали этот предмет лишь однажды, но это событие запечатлелось в памяти Фейнмана на всю оставшуюся жизнь. Эта идея так взволновала Ричарда, что он запомнил все связанное с этим случаем, - вплоть до того, где находилась доска, где стоял он, а где мистер Бадер и в каком кабинете они были. "Он просто объяснил, он ничего не доказывал. В этом не было ничего сложного; он просто объяснил, что такой принцип существует.
Я среагировал на это мгновенно; мне казалась чудесной и поразительной его способность выражать законы таким необычным образом". Этот "чудесный и поразительный" принцип можно объяснить на примере полета мяча, брошенного с земли в окно верхнего этажа. В данном контексте термин "действие" имеет точное значение.
В любой точке на траектории полета мяча можно вычислить разность кинетической энергии мяча (энергии движения мяча, связанной с его скоростью) и его потенциальной энергии (гравитационной энергии, которой обладает мяч, находясь на некоторой высоте над поверхностью земли).
Действие есть сумма всех разностей, взятых во всех точках траектории движения мяча в воздухе (точно так же действие можно вычислить для заряженных частиц, движущихся в электрическом или магнитном поле, включая электроны, движущиеся в атомах). Существует множество различных кривых, двигаясь по которым, мяч может попасть в окно: от низких почти плоских траекторий до очень выгнутых траекторий, по которым, прежде чем попасть в окно, мяч поднимается выше него.
Каждая кривая является параболой - одной из семейства траекторий, по которым мяч может двигаться под влиянием тяготения Земли. Все это Фейнман уже знал. Но Бадер напомнил ему, что если известно время полета мяча от мгновения, когда он покидает руку бросающего, до мгновения, когда он достигает окна, оно определяет единственную траекторию, по которой летит мяч. И потом Бадер рассказал Ричарду о принципе наименьшего действия .
Одним из самых важных физических принципов является принцип сохранения энергии: общее количество энергии мяча (в данном примере) остается неизменным. Некоторая доля этой энергии находится в форме гравитационной потенциальной энергии, зависящей от высоты этого тела над поверхностью Земли (строго говоря, от расстояния, разделяющего это тело с центром Земли). Когда мяч поднимается, он приобретает гравитационную потенциальную энергию; когда он падает, он теряет некоторую ее часть.
Мяч также обладает еще одной разновидностью энергии: энергией движения или кинетической энергией. Большие ` скорости соответствуют большей кинетической энергии. В тот момент, когда мяч отрывается от руки бросающего, он обладает огромной кинетической энергией, так как движется очень быстро. По мере подъема мяч теряет некоторую долю кинетической энергии, приобретая гравитационную потенциальную энергию, и замедляется.
На пике своей траектории мяч обладает минимальной кинетической и максимальной потенциальной энергиями, потом, падая по другой стороне кривой, он приобретает кинетическую и теряет потенциальную энергию. Но полная энергия (кинетическая + потенциальной) остается постоянной. Все это Фейнман знал. Он не знал одного: если известно время полета мяча, то его траектория всегда единственна; для нее сумма разностей кинетической и потенциальной энергий по всей траектории имеет наименьшее значение.
Это и есть принцип наименьшего действия , связанный со всем путем мяча. Глядя на кривую линию на доске, представляющую полет мяча, можно подумать, например, что вполне возможно заставить мяч потратить на полет то же самое время, бросив его немного медленнее по более плоской дуге, близкой к прямой линии; или, наоборот, быстрее по более длинной траектории, изгибающейся еще выше над землей. Но природа работает иначе. За данное время, необходимое для полета, мяч может пролететь между двумя точками только по одной возможной траектории.
Природа "выбирает" путь наименьшего действия , который применим не только к полету мяча, но и к любой траектории, в любом масштабе. Мистер Бадер не рассчитывал задачу в числах и не просил Фейнмана сделать это. Он просто рассказал ему об этом принципе - глубокой истине, которая оказала огромное впечатление на ученика выпускного класса перед самым поступлением в колледж."


> Вопрос модератору - Вы не будете против такой темы на этом форуме? На новых теориях у меня не сложились отношения с тамошним модером.
> До встречи, AID.

Ну попробуйте, если хотите.. Хотя видно, чем это всё заканчивается, когда в обсуждении принимают участие некоторые участники.. Ещё раз напоминаю, что здесь обсуждаются общепринятые вопросы физики, а их опровержение и новые подходы, не получившие признание вне интернета, обсуждаются на форуме новых теорий.


> Скорее всего, речь идет о книге Джон и Мэри Гриббин, "Ричард Фейнман: жизнь в науке."
> Глава 1. Очарованный физикой.

Здесь излагается ПНД в классической форме, а мы говорим о ПНД в релятивистской форме и цитата должна быть такая
<< <<Ту же самую шутку я проделал четыре года спустя в Принстоне, разговаривая с опытным физиком, ассистентом Эйнштейна, который все время работал с гравитацией. Я дал ему такую задачу: вы взлетаете в ракете с часами на борту, а другие часы остаются на земле. Задача состоит в том, что вы должны вернуться, когда по земным часам пройдет ровно один час. Кроме того, вы хотите, чтобы ваши часы за время полета ушли вперед как можно больше. Согласно Эйнштейну, если взлететь очень высоко, часы пойдут быстрее, потому что, чем выше находишься в гравитационном поле, тем быстрее идут часы. Однако если вы попытаетесь лететь слишком быстро, а у вас только час в запасе и вы должны двигаться быстро, чтобы успеть вернуться, то ваши часы из-за большой скорости замедлятся. Поэтому вы не можете лететь слишком высоко. Вопрос сводится к следующему: по какой программе должны меняться скорость и высота, чтобы обеспечить максимальный уход вперед ваших часов? Ассистент Эйнштейна довольно долго работал над этой задачей, прежде чем понял, что ответ - это просто свободное движение материи. Если вы выстрелите вверх так, что время, необходимое снаряду, чтобы пролететь и упасть, составляет ровно час, это и будет правильное движение. Это – фундаментальный принцип эйнштейновский гравитации, гласящий, что для свободного движения собственное время максимально. Но когда я поставил задачу в такой форме - ракета с часами - физик не узнал этого закона. >>>>

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


> > Скорее всего, речь идет о книге Джон и Мэри Гриббин, "Ричард Фейнман: жизнь в науке."

> Здесь излагается ПНД в классической форме, а мы говорим о ПНД в релятивистской форме и цитата должна быть такая
> << <<Ту же самую шутку я проделал четыре года спустя в Принстоне, разговаривая с опытным физиком, ассистентом Эйнштейна, который все время работал с гравитацией... >>>>

Эту цитату Вы найдете здесь: "Ричард Фейнман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!".


"Ричард Фейнман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!"

Интересно, все считают эту работу научной публикацией?
Можно я тогда буду на "Войну и Мир" ссылаться?


> "Ричард Фейнман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!"

> Интересно, все считают эту работу научной публикацией?
> Можно я тогда буду на "Войну и Мир" ссылаться?

Если Вы - литературовед, то вполне можно.:)


Не знал ,что тема возимеет такой интерес. Всего-то неделю назад Я
просматривал форум и наблюдал ,как затронутая тема уходит в DOWN...,и тут
вдруг прорвало. Польщен.
Не помню где читал ,но вроде бы принципы наименьшего действия и
принцип наименьшего принуждения ("к действию" ,осмелюсь сказать ) близки.
Теперь ,у Маркеева А.П. есть статья "О принципе наименьшего
принуждения ",где он всю дорогу ,так сказать ,ссылается на принцип
Д`Аламбера . Для тех, кто хочет её найти ,она существует и в HTML-виде
и в формате PDF (через поисковик).
Про уравнение Лагранжа. Более или менее внятный его вывод нашёл у
Бутенина (соавторы Лунц ,Меркин) в книге "Курс теоретической механики"
изд. Санкт-Питербург ,2002 год (не знаю предидущих изданий, поэтому так
подробно). Но и у Бутенина всё в общем-то начинается с уравнения
Д`аламбера ,где к нему "пристыковывается" принцип виртуальной работы ,и
на этом фундаменте идёт дальнейший вывод.
За заметки про Лагранжа ... очень содержательно ,господин Механист,
есть над чем поразмыслить (я серьёзно !) ,но про излишество Д`Аламбера
в механике ?...Хм... Это Вы ,мне кажется, хватили. Как Вы докажете
первое уравнение Лагранжа ?
На правах открывателя темы (да простит меня Модератор) давайте всё же
,при обсуждениях ,не выходить за рамки классической механики .
Напоследок. Недавно переоткрыл для себя сайт господина Эрика Ньюмана
(Eric Neumann) http://www.myphysicslab.com/index.htm
зеркало http://www.emomi.com/download/neumann/index.htm .
Есть там ответ на вопрос моего поста от 17 октября http://physics.nad.ru/rusboard/messages/46317.htm .
Есть ли мнения по поводу упрощения преобразований для получения
конечных уравнений (вплоть до автоматического -ВО КАК !) для решения
поставленной задачи (динамики) с использованием ЭВМ ?
Есть рукопись кандидатской диссертации Дмитроченко О.Н. "Эффективные
методы численного моделирования динамики нелинейных систем абсолютно тв.
и деформируемых тел ".Диссертация в свободном доступе (желающие почитать
спокойно найдут через поисковик) .
В работе уранения движения строятся на основе уравнения Лагранжа 2-го
рода . Хотя сам автор пишет ,"что для реальных технических систем ,
состоящих из десятков и сотен тем, вывод уравнений вручную просто
невозможен по причине их необычайной громозкости " .И далее : "для сложных
систем ,состоящих из длинных кинематических цепей ... применение форма-
лизма Лагранжа приводит к почти экспоненциальному росту объёма вычислений,
необходимых для формирования уравнений ..."


> За заметки про Лагранжа ... очень содержательно ,господин Механист,
> есть над чем поразмыслить (я серьёзно !) ,но про излишество Д`Аламбера
> в механике ?...Хм... Это Вы ,мне кажется, хватили. Как Вы докажете
> первое уравнение Лагранжа ?

Что есть первое уравнение Лагранжа?
Пожалуйста, конкретно, с формулами.


> "Ричард Фейнман: жизнь в науке."
> Глава 1. Очарованный физикой.
спасибо за ссылку
> "...Однажды он объяснил Ричарду то, что называется принципом наименьшего действия .
т.е. единственно возможным в каждой конкретной ситуации, при условии что тела/чатицы предоставленны сами себе?
> На пике своей траектории мяч обладает минимальной кинетической и максимальной потенциальной энергиями, потом, падая по другой стороне кривой, он приобретает кинетическую и теряет потенциальную энергию. Но полная энергия (кинетическая + потенциальной) остается постоянной. Все это Фейнман знал. Он не знал одного: если известно время полета мяча, то его траектория всегда единственна; для нее сумма разностей кинетической и потенциальной энергий по всей траектории имеет наименьшее значение.
складывается такое впечатление, что вопрос о выборе траектории вообще не ставится,т.к. она задаётся начальными условиями
(начальная скорость, угол наклона, высота)
> Это и есть принцип наименьшего действия , связанный со всем путем мяча. Но природа работает иначе. За данное время, необходимое для полета, мяч может пролететь между двумя точками только по одной возможной траектории.

> Природа "выбирает" путь наименьшего действия , который применим не только к полету мяча, но и к любой траектории, в любом масштабе. Мистер Бадер не рассчитывал задачу в числах и не просил Фейнмана сделать это. Он просто рассказал ему об этом принципе - глубокой истине, которая оказала огромное впечатление на ученика выпускного класса перед самым поступлением в колледж."
Если параллели которые Фейнман проводил между ПНД и КМ?
Если в КМ вообще равновероятные состояния? Ведь как не крути но поля искривляют пространство не только в макромире а следовательно гарантии ненарушения симметрии в микромире нет.
Каким экспериментом можно исключить влияние начальных условий на поведение частиц на микроуровне?


> Что есть первое уравнение Лагранжа?
> Пожалуйста, конкретно, с формулами

Это Я об уравнении Лагранжа 1-го рода. Я дал неверное определение ,
но сути это ,видимо , не меняет .
Формул не дам ,а скажу ,что это уравнение движения точки по
гладкой неподвижной поверхности.


> > "Ричард Фейнман: жизнь в науке."
> > Глава 1. Очарованный физикой.
> спасибо за ссылку

Пожалуйста! Кроме Юдина, меня уже многие поблагодарили...:)

> > "...Однажды он объяснил Ричарду то, что называется принципом наименьшего действия .
> т.е. единственно возможным в каждой конкретной ситуации, при условии что тела/чатицы предоставленны сами себе?
> > На пике своей траектории мяч обладает минимальной кинетической и максимальной потенциальной энергиями, потом, падая по другой стороне кривой, он приобретает кинетическую и теряет потенциальную энергию. Но полная энергия (кинетическая + потенциальной) остается постоянной. Все это Фейнман знал. Он не знал одного: если известно время полета мяча, то его траектория всегда единственна; для нее сумма разностей кинетической и потенциальной энергий по всей траектории имеет наименьшее значение.
> складывается такое впечатление, что вопрос о выборе траектории вообще не ставится,т.к. она задаётся начальными условиями
> (начальная скорость, угол наклона, высота)

У меня другое впечатление :)

> > Это и есть принцип наименьшего действия , связанный со всем путем мяча. Но природа работает иначе. За данное время, необходимое для полета, мяч может пролететь между двумя точками только по одной возможной траектории.

> > Природа "выбирает" путь наименьшего действия , который применим не только к полету мяча, но и к любой траектории, в любом масштабе. Мистер Бадер не рассчитывал задачу в числах и не просил Фейнмана сделать это. Он просто рассказал ему об этом принципе - глубокой истине, которая оказала огромное впечатление на ученика выпускного класса перед самым поступлением в колледж."
> Если параллели которые Фейнман проводил между ПНД и КМ?

Вы хотели спросить "Есть ли параллели..."? Такие параллели есть! На вариационном языке формулируется и КМ, и релятив. КМ, и теория ЭМ поля, и т.д. Кстати, постоянная Планка имеет размерность Дж*сек и является ни чем иным, как элементарным действием.

> Если в КМ вообще равновероятные состояния? Ведь как не крути но поля искривляют пространство не только в макромире а следовательно гарантии ненарушения симметрии в микромире нет.
> Каким экспериментом можно исключить влияние начальных условий на поведение частиц на микроуровне?

"Квантово-статистическое" влияние начальных условий на поведение частиц на микроуровне проявляется практически всегда. Но это длинный разговор с примесью философии:)


> Возможно ли решение задач динамики (очень сложных) не используя уравнение Лагранжа 2-го рода . Основа решения строиться на 2-ом законе Ньютона и
> Теореме об изменении кинетической энергии материальной системы (см. Термех).
> P.S. Если кто интересовался ,прошу, приведите примеры (с решениями если возможно)

Вчера, как и обещал, выложил на своей домашней странице http://ser.t-k.ru (зеркало http://modsys.narod.ru ) программу Krivoship1, но без уравнений полученных с помощью принципа возможных перемещений, т.к. Highwind с мехмата МГУ на этом форуме http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=3044&postdays=0&postorder=asc&start=0 не сдержал своего слова и не довел свое решение до конца, но, видя какой интерес вызвала эта тема на мехмате, я решил не только поместить это сообщение здесь, где обсуждается похожая тема, но и постараюсь в будущем довести до ума не только его уравнения, но и получить описание работы КШМ с помощью уравнений Лагранжа 1-го рода и добавить эти уравнения в свою программу, которая позволяет продемонстрировать на конкретном примере возможности различных методов (методик) получения дифференциальных уравнений описывающих с математической точки зрения поведение различных физических систем, т.е. получения различных математических моделей (ММ) этих систем, которые затем решаются на компьютере численными методами, а конкретно в этой программе методом Рунге-Кутта по 4-м коэффициентам. И сравнивать возможности различных ММ я буду с ММ полученной с помощью предлагаемого мною метода, который в своей основе содержит идею, высказанную Даламбером в его споре о двух мерах механической формы движения материи, но этот метод значительно отличается от всем известного принципа Даламбера.

В современных учебниках принцип Даламбера искажен и низводится до уравнения сил, но в моем прочтение он мне видится как уравнение мощностей (хотя в то время, когда он был сформулирован Даламбером, еще не существовало таких понятий как мощность или энергия). И, хотя 99% систем можно описать используя уравнения сил, всегда надо помнить, что такое преобразование уравнения мощностей в уравнение сил происходит только в том случае, когда у нас в системе строго задано кинематическое согласование скоростей отдельных элементов системы. А, например, при работе клиноременной передачи или при качение колеса автомобиля такое строгое кинематическое согласование скоростей не может быть задано, т.к. наблюдается упругая пробуксовка (не говоря уже о неупругой) и по этому необходимо обязательно использовать только уравнение мощностей.

Другим отличием предлагаемой мною методики от существующих, т.к. она сразу создавалась под компьютерную реализацию созданных ММ, является то, что для определения усилий не все элементы системы при ее описание принимаются абсолютно жесткими, а часть из них, как и реальные элементы, принимаются обладающими упруго-диссипативными свойствами. При этом как упругие так диссипативные свойства этих элементов могут быть самыми разнообразными и определяются исходя из конкретной конструкции механизма и отдельных его элементов. В результате у меня получаются дифференциальные уравнения в виде уравнений Лагранжа 1-го рода, но при этом отсутствуют неопределенные множители Лагранжа и, скажем так, возможные перемещения элементов системы определяются исходя из упруго-диссипативных свойств элементов конструкций. А решение полученных уравнений численными методами позволяет не производить отдельный расчет для определения реакций связей, а просто вычислять эти реакции исходя из координат и скоростей элементов системы на предыдущем шаге решения. Учитывая то, что все решение обычно выполняется за несколько тысяч или миллионов шагов решения, запаздывание на один шаг при определение этих реакций практически не дает никакой ошибки. А, учитывая то, что при решение дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта по 4-м коэффициентам, когда эти коэффициенты несколько раз корректируются на каждом шаге решения, можно сказать, что такой сдвиг на один шаг при расчете реакций повлияет на точность решения только гипотетически.

В данном абстрактном КШМ я наделил податливостью, величина которой задается в программе как жесткость kF (величина обратная податливости, т.е. коэффициенту пропорциональности деформации приложенной силе), соединения элементов КШМ (шарниры). А для того, чтобы повысить устойчивость решения и сгладить колебания в системе в начале эксперимента, когда не все начальные параметры заданы точно, я наделил соединения еще и свойством демпфировать колебания, т.е. принял, что при деформации элементов соединения будет возникать не только сила упругости, но и сила жидкостного трения пропорциональная скорости деформации элементов соединения и коэффициенту жидкостного трения kj, хотя на самом деле трение будет более сложным. При этом, если упруго-демпфирующие свойства конкретного элемента конструкции заданы в ММ как фиктивные, то надо стремиться подобрать эти параметры так, чтобы энергия рассеянная при трение была минимальна и не превышала за время проведения вычислительного эксперимента нескольких процентов от общей энергии системы (хотя в реальных элементах систем рассеивание энергии может быть гораздо больше).

Я уже писал выше о том, что метод уравнений Лагранжа 2-го рода для создания математичиских моделей хоть и является формальным, т.е. не надо думать при выводе уравнений о физической сущности описываемых процессов, но очень сложен с математической точки зрения, хотя и позволяет получить минимальное количество дифференциальных уравнений. Но я также писал, что это не самое главное и пусть он сложнее других методов с математической точки зрения, но если он позволяет получить то, чего не дают другие методы, то ему можно простить сложную математику. Но ведь это не так. Этот метод вообще нам ничего не дает о внутренней сущности происходящих в объекте явлений, кроме его инерционных свойств, и более того не позволяет логически усовершенствовать модель, добавив в нее новые элементы или изменив конструкцию существующих (надо все делать заново, т.е. явный признак имитаторов, а не моделей). Впрочем, и другие существующие методы для описания механических систем (принцип возможных перемещений и уравнения Лагранжа 1-го рода) не менее сложны. А к полученным с помощью этих методов дифференциальным уравнениям просто не знаешь с какой стороны подступится, чтобы их использовать. Вот, например, дифференциальное уравнение полученное мною при точном выводе с использованием математического пакета Maple 9.5 (смотрите файл Krivo1.mws)
> du:=diff(pv,t)-px-Q=0;


Полученное мною дифференциальное уравнение в файле Krivo2.mws, где я воспроизвел методику вывода использованную в учебнике Бать М.И., Джанилидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. т.2. М. Наука, 1972 г. немного поменьше приведенного выше, т.к. при выводе сделаны некоторые математические допущения, но и оно слишком громоздко, чтобы им пользоваться практически. Правда, после некоторых математических преобразований его удается привести в более-менее читабельный вид и в таком виде я его и использовал в программе Krivoship1


где : Jp - приведенный момент инерции системы; Kl, Kj - коэффициенты ( Kl = R / L ); R - радиус кривошипа; L - длина шатуна; Ms - момент сопротивления приложенный к кривошипу (маховику); P1 , P2 , P3 - соответственно вес кривошипа, шатуна и поршня; g - ускорение свободного падения.

Предлагаемая же мною методика получения ММ систем позволяет не только получить все показатели работы исследуемой системы, а не только кинематические, как в ММ полученной с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода, но и автоматически воспроизводит все эффекты, которые могут происходить в реальном объекте, например, явления резонанса. Так как для математического описания систем я использую Декартову систему координат, то у меня для описания КШМ получается 5 дифференциальных уравнений второго порядка, решая которые, мы можем получить кроме угла поворота кривошипа и угла поворота шатуна относительно его центра масс также перемещения центра масс шатуна по осям X и Y и перемещение центра масс поршня по оси X, а также скорости их перемещений по этим координатам. Кроме этого ММ созданная по моей методике позволяет получить все усилия возникающие в элементах конструкции и все энергетические показатели работы моделируемой системы. А само создание ММ с использованием предлагаемой мною методики не представляет никакой сложности, например, при описание движения поршня по координате X пишем обычное уравнение с использованием принципа Даламбера (в данном случае можно использовать не уравнение мощностей), а силу реакции со стороны кривошипа F23X при решение системы дифференциальных уравнений вычисляем зарание F23X=kF*(X23-X3) + kj *(VX23-VX3) из известных координат и скоростей полученных на предыдущем шаге решения


Записывая подобные 5-ть уравнений для движения кривошипа, шатуна и поршня по 5-ти координатам мы и получаем именно математическую модель КШМ, а не квазимодель, как при использование известных в теоретической механике методов, которая создается не для решения какой-то конкретной задачи с использованием тех или иных формул теоретической механики, а для воспроизведения на языке математики явлений Природы, а в процессе воспроизведения этих явлений мы можем решить свои конкретные задачи исходя из того, что нас интересует в этом процессе, т.к. мы всегда можем в любой момент времени посмотреть любые показатели функционирования этой системы. Например, мы не можем с большой достоверностью сказать разрушится ли турбина во время ее разгона от резонанса или нет, используя только обычные расчеты и для ответа на этот вопрос надо смоделировать процесс разгона турбины. Только ММ полученные с помощью известных методов создания ММ не могут ответить на этот вопрос, т.к. никакого резонанса при моделирование наблюдаться не будет, а ММ полученная с использованием моей методики может ответить на этот вопрос и никаких дополнительных уравнений для этого в ММ вносить не надо.

Ниже представлены две осциллограммы полученные с помощью программы Krivoship1 при реализации на ней моей ММ КШМ. На первом рисунке (слева направо) мы видим гармонические колебания, на среднем явление резонанса, а на правом явление биений, т.е. когда частота вынужденных колебаний близка к резонансной или к одной из ее гармоник (синяя линия это усилия в головке кривошипа по оси X, т.е. сила F21X). В данных примерах параметры загружаемые в программе Krivoship1 по умолчанию заменены на следующие m2=10, J4=100, L1=0,02, kF=400, Mw=100, Mfi1=100, Mfi2=10. Другие параметры, отличные от загружаемые по умолчанию были - левый рисунок w10=30, MF=200, Mt=0,1, kj=0,01 и P0=0,000001 - средний рисунок w1=190,7, MF=10000, Mt=0,025, kj=0,5, kj= 0,4 и P0=0,000001 - правый рисунок w1=92, MF=1500, Mt=0,25, kj=0,01 и P0=0,0000001, где P0 - шаг решения. Как нетрудно заметить по колебаниям на левом рисуноке, частота собственных колебаний шатуна составляет 190,3 рад/с, а не 200 рад/с, как это должно быть из формулы w=sqrt(kF/m2) т.к. шатун колеблется вместе с поршнем и, если массу взять m2+m3, то мы получим 190,7 рад/с, что очень близко к частоте определенной по осциллограмме. И если мы зададим начальную скорость вращения коленвала 190,7 рад/с, то мы будем наблюдать явный резонанс, когда амплитуда колебаний будет расти до тех пор пока или не разрушится конструкция или энергия рассеянная в системе будет равна энергии подведенной к системе за тот же период времени. И при kj=0,5 (продолжительная запись) мы видим, что амплитуда колебаний (сила F21X) перестала расти, а при kj=0,4 (запись оборвана) пока продолжает в тот же момент времени расти. А на правом рисунке мы видим режим сложных биений в том случае, когда частота вынужденных колебаний (скорость вращения коленвала) близка к одной из гармоник собственной частоты колебаний шатуна w1=92 близка к 0,5*190,7.


При загрузке программы Krivoship1, Вы в левом верхнем углу в рамке <Метод получения уравнений> выбираете метод с помощью которого получены дифференциальные уравнения, описывающие работу КШМ, и затем, задав параметры этого механизма и внешние воздействия на него, видите на экране монитора, то, что Вам данный метод может дать при решение численными методами уравнений, полученных с использованием этого метода. Но, прежде чем нажать кнопку <Начать> Вы, кроме задания шага решения уравнений P0, должны задать конкретные параметры КШМ, а именно массу кривошипа - m1, массу шатуна - m2, массу поршня - m3, длину кривошипа - L1 и длину шатуна - L2, начальную скорость вращения кривошипа w10 и момент инерции маховика J4 (при его наличие). Кроме этого, Вы в рамке <момент сопротивления> выбираете различные режимы изменения момента сопротивления Ms, который может быть задан в одном из двух вариантов Ms=M0*Sin(w0*T) и Ms=M0, а также уточнить различные масштабы вывода показателей работы на экран в графическом виде. А если Вы собираетесь проводить вычислительный эксперимент на математической модели КШМ, уравнения которой получены с применением предлагаемой мною методики, то Вам надо еще уточнить жесткость соединений для определения упругой силы в соединениях КШМ и коэффициент жидкостного трения для определения силы жидкостного трения в соединениях. И так как у большинства КШМ наверное ассоциируется с двигателем внутреннего сгорания, я предусмотрел и возможность задать силу давления газов на поршень при их горение Fr, т.е. при рабочем ходе поршня. При этом для простоты принято, что сила давления газов на поршень при сжатие газов Fs равна 20% от силы давления при рабочем ходе, а двигатель у нас двухтактный, т.е. весь рабочий цикл совершается за один оборот кривошипа.



При заданных в программе по умолчанию параметрах жесткости шарниров и коэффициента трения в них процент ошибки решения по энергии системы потерянной на трение в шарнирах при обычных скоростях вращения кривошипа не превысит и сотых долей процента. Но в некоторых конструкциях податливости элементов этих конструкций могут оказаться очень значительными и если коэффициент трения будет задан как фиктивный, то это может привести к значительным фиктивным потерям энергии в системе и процент ошибки (по энергии) может быть не допустимо большим, по этому внимательно следите за этим показателем на осциллограмме. Численные методы решения конечно же тоже будут вносить погрешность в решение, но при правильно заданных параметрах эта погрешность также не превысит сотых долей процента. А вот упрощение реальных систем для более удобного их математического описания может дать десятки процентов ошибки и даже незначительное с математической точки зрения допущение, которое сделано в файле Krivo2.mws при нахождение cos(fi2) при упрощенном выводе дифференциального уравнения описывающего КШМ с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода и которое используется в этой программе, приводит к ошибке +/- 1% при свободных колебаниях КШМ. Для сравнения я привожу полученные мною с использованием разных уравнений и программ данные по углу поворота кривошипа при начальной скорости вращения 200 рад/с.

Время__Krivoship1ser__ Krivoship1Lagrange__ Krivo1Lagrange__ Krivo2Lagrange
0,01_____1,403_____________1,407_____________1,403____________1,407
0,02_____2,874_____________2,877_____________2,875____________2,876
0,03_____4,561_____________4,559_____________4,562____________4,559
0,04_____5,812_____________5,815_____________5,813____________5,815
0,05_____7,385_____________7,391_____________7,387____________7,391

Поэтому мнение о том, что аналитическое решение задачи всегда точнее чем ее решение численными методами является большим заблуждением. А если к этому добавить, что практически ни одна реальная задача не может быть решена аналитически без значительных упрощений рассматривамой системы и допущений при математических выкладках, то предлагаемый мною метод математического описания механических систем является реальной альтернативой существующим методам докомпьютерной эры. Моя методика, не требующая ни упрощения систем ни допущений при математических выкладках, позволяет создать именно модель системы, а не квазимодель, пригодную только для решения простейших учебных задач. И хотя моя методика практически пригодна только для математического описания систем с последующим решением уравнений численными методами на цифровых ЭВМ это никоим образом не может быть ее недостатком, т.к. сегодня компьютеры это не экзотика. Тем более, что простейшие системы, например, удар двух шаров, могут быть не только описаны с помощью этой методики, но полученные уравнения могут быть и решены аналитически, как я это сделал в своей статье <Две меры механической формы движения материи>, где приведено аналитическое решение для упругого и неупругого удара двух шаров, которое мною получено впервые (по крайней мере я этого решения нигде не встречал), хотя сама задача давно является классической. Кого интересуют подробности, предлагаемой мною методики, могут ознакомиться с ними в моей книге по моделированию систем, а данная программа просто демонстрирует возможности различных методов математического описания физических систем. А с методикой получения дифференциального уравнения с использованием уравнений Лагранжа 2-го рода можно ознакомиться, скачав файлы Krivo1 и Krivo2 для пакета Maple9.5 там же где и программу Krivoship1 в разделе программы на моей домашней странице, а просто посмотреть эти файлы без проведения вычислений можно браузером в формате html.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


В предыдущем сообщение я не указал, что в формуле

Fg – это сила давления газов на поршень, которая принимает значения Fs – сила при сжатие газов, Fr – сила при рабочем ходе (горение) или ноль - при впуске или выпуске газов из камеры сгорания.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100