Запутывание: убейте пародокс в зародыше

Сообщение №44063 от nublininik 15 марта 2006 г. 20:39
Тема: Запутывание: убейте пародокс в зародыше

Приветствую!

В попытках осилить квантовые вычисления возник вопрос.
Допустим, имеется пара кубитов в запутанном состоянии:
F = a|01> + b|10>

Насколько я понял, можно воздействовать на эту пару так,
чтобы коэффициенты "а" и "b" определённым образом изменялись.
Это, собственно, и используется в квантовых вычислениях.

Вопрос: можно ли изменить состояние пары,
воздействуя _только_ на один кубит?

Например: запутаем два кубита, потом один кубит отдадим Алисе,
а другой кубит - Бобу. Сможет ли Алиса изменять общее состояние
пары, воздействуя (не измеряя!) на свой кубит?

Я полагаю, правильный ответ "нет", так как иначе
неизбежно возникнет противоречие с ТО. Я прав?



Отклики на это сообщение:

> Приветствую!

> В попытках осилить квантовые вычисления возник вопрос.
> Допустим, имеется пара кубитов в запутанном состоянии:
> F = a|01> + b|10>

> Насколько я понял, можно воздействовать на эту пару так,
> чтобы коэффициенты "а" и "b" определённым образом изменялись.
> Это, собственно, и используется в квантовых вычислениях.

> Вопрос: можно ли изменить состояние пары,
> воздействуя _только_ на один кубит?

Сосстояние пары определяется состоянием каждого. Если состояние кубита
изменилось естественно и состояние пары тоже.

> Например: запутаем два кубита, потом один кубит отдадим Алисе,
> а другой кубит - Бобу. Сможет ли Алиса изменять общее состояние
> пары, воздействуя (не измеряя!) на свой кубит?

А это все равно.

> Я полагаю, правильный ответ "нет", так как иначе
> неизбежно возникнет противоречие с ТО. Я прав?

Да сможет, только Боб это никак не сможет обнаружить.
Парадокса c ТО там нет.



> Насколько я понял, можно воздействовать на эту пару так,
> чтобы коэффициенты "а" и "b" определённым образом изменялись.
> Это, собственно, и используется в квантовых вычислениях.

По-моему, _определённым_ образом нельзя, они тогда распутаются. А вот неопределённым образом -- можно.

> Вопрос: можно ли изменить состояние пары,
> воздействуя _только_ на один кубит?

Можно: если _измерить_ его состояние. В этом случае оба кубита перейдут в конкретные противоположные состояния.

> Я полагаю, правильный ответ "нет", так как иначе
> неизбежно возникнет противоречие с ТО. Я прав?

Противоречие с ТО возникло бы, если бы таким способом можно было бы передавать информацию. А происходит только такое воздействие, при котором нельзя.

Теория Относительности


> > Вопрос: можно ли изменить состояние пары,
> > воздействуя _только_ на один кубит?

> Сосстояние пары определяется состоянием каждого. Если состояние кубита
> изменилось естественно и состояние пары тоже.

> > Например: запутаем два кубита, потом один кубит отдадим Алисе,
> > а другой кубит - Бобу. Сможет ли Алиса изменять общее состояние
> > пары, воздействуя (не измеряя!) на свой кубит?

> А это все равно.

> > Я полагаю, правильный ответ "нет", так как иначе
> > неизбежно возникнет противоречие с ТО. Я прав?

> Да сможет, только Боб это никак не сможет обнаружить.
> Парадокса c ТО там нет.

Я имел в виду вот какой опыт.
Пусть имеется ансамбль (для определенности - 100)
запутанных пар кубитов в одинаковом состоянии:
F1 = a|01> + b|10>
Пусть все кубиты "А" отданы Алисе, а все "В" - Бобу.

Боб измеряет кубиты.
Если Алиса "не трогала" свои кубиты,
Боб получит:
b*b*100 кубитов в состоянии |0>
а*а*100 кубитов в состоянии |1>

Если же Алиса воздействовала на свои кубиты
неким (унитарным?) преобразованием так,
что каждая пара перешла в состояние:
F2 = c|01> + d|10>
Боб получит:
d*d*100 кубитов в состоянии |0>
c*c*100 кубитов в состоянии |1>

Таким образом, Боб по результатам измерений над кубитами "В"
может определить, воздействовала ли Алиса на свои кубиты "А", или нет,
а значит имеет место передача информации.

Где ошибка?


> > Насколько я понял, можно воздействовать на эту пару так,
> > чтобы коэффициенты "а" и "b" определённым образом изменялись.
> > Это, собственно, и используется в квантовых вычислениях.

> По-моему, _определённым_ образом нельзя, они тогда распутаются. А вот неопределённым образом -- можно.

Если так, то тогда нельзя управлять квантовыми вычислениями.

> > Вопрос: можно ли изменить состояние пары,
> > воздействуя _только_ на один кубит?

> Можно: если _измерить_ его состояние. В этом случае оба кубита перейдут в конкретные противоположные состояния.

Я имел ввиду именно воздействие без измерения.

> > Я полагаю, правильный ответ "нет", так как иначе
> > неизбежно возникнет противоречие с ТО. Я прав?

> Противоречие с ТО возникло бы, если бы таким способом можно было бы передавать информацию. А происходит только такое воздействие, при котором нельзя.

Как можно передать информацию:
смотрите мой ответ на сообщение Volodi


> Если же Алиса воздействовала на свои кубиты
> неким (унитарным?) преобразованием так,

А как? Кубиты Алисы по отдельности не находятся ни в каком чистом состоянии, они находятся в "смешанном" состоянии. Чтобы подействовать на всю систему, надо изготовить ещё какой-нибудь запутанный лазерный луч и заранее передать его и Алисе и Бобу.


> > > Вопрос: можно ли изменить состояние пары,
> > > воздействуя _только_ на один кубит?

> > Сосстояние пары определяется состоянием каждого. Если состояние кубита
> > изменилось естественно и состояние пары тоже.

> > > Например: запутаем два кубита, потом один кубит отдадим Алисе,
> > > а другой кубит - Бобу. Сможет ли Алиса изменять общее состояние
> > > пары, воздействуя (не измеряя!) на свой кубит?

> > А это все равно.

> > > Я полагаю, правильный ответ "нет", так как иначе
> > > неизбежно возникнет противоречие с ТО. Я прав?

> > Да сможет, только Боб это никак не сможет обнаружить.
> > Парадокса c ТО там нет.

> Я имел в виду вот какой опыт.
> Пусть имеется ансамбль (для определенности - 100)
> запутанных пар кубитов в одинаковом состоянии:
> F1 = a|01> + b|10>
> Пусть все кубиты "А" отданы Алисе, а все "В" - Бобу.

> Боб измеряет кубиты.
> Если Алиса "не трогала" свои кубиты,
> Боб получит:
> b*b*100 кубитов в состоянии |0>
> а*а*100 кубитов в состоянии |1>

> Если же Алиса воздействовала на свои кубиты
> неким (унитарным?) преобразованием так,
> что каждая пара перешла в состояние:
> F2 = c|01> + d|10>
> Боб получит:
> d*d*100 кубитов в состоянии |0>
> c*c*100 кубитов в состоянии |1>
>
> Таким образом, Боб по результатам измерений над кубитами "В"
> может определить, воздействовала ли Алиса на свои кубиты "А", или нет,
> а значит имеет место передача информации.

> Где ошибка?

Это каким образом она так смогла воздействовать? у нее есть только один кубит из пары она сможет получить только состояния a*U|01) и b*U|10) где U унитарный оператор на второе число она не может подействовать никак. То бишь будет некое состояние смешанное состяние a1|11)+a2|01)+a3|10)+a4|00)Если аккуратно взять след по переменным Алисы Боб получит свои а нулей и b единиц


> Это каким образом она так смогла воздействовать? у нее есть только один кубит из пары она сможет получить только состояния a*U|01) и b*U|10) где U унитарный оператор на второе число она не может подействовать никак. То бишь будет некое состояние смешанное состяние a1|11)+a2|01)+a3|10)+a4|00)Если аккуратно взять след по переменным Алисы Боб получит свои а нулей и b единиц

Спасибо, конечно, за ответ, но для меня он пока слишком сложен.
Предлагаю спецам поупражнятся в редуцировании своих знаний
для научно-популярного уровня.
Я попытаюсь разбить мысленный опыт на несколько простых действий,
и попрошу желающих подтвердить или опровергнуть
предполагаемые мной результаты действий.
Особенно это касается тех действий, результаты которых для меня не ясны :-)
Так же прошу критически оценить условия опыта:
я, например, не уверен, что условие "в" выполнимо.

Заранее прошу прощения за длинный постинг,
а также за некоторую дотошность, думаю, она здесь уместна.
Мне, и надеюсь, прочим интересующимся КМ,
ваши коментарии помогут разобраться в некоторых неясных вопросах.

______________________________________
Условия опыта.

Имеется необходимое (для набора статистики) количество кубитов.

Имеется три участника опыта: Физик, Алиса, Боб,
(В опыте 1 Боб не участвует, опыт 2 последует после комментариев,
если таковые будут).

Имеется устройство для управления кубитами, такое, что:

а) Можно привести единичный кубит в желаемое состояние:

F = a*|0> + b*|1>

б) Можно привести пару кубитов в желаемое запутанное состояние:

F = a*|01> + b*|10>

в) Можно однозначно разделить эти запутанные пары между участниками опыта.
Имеется, в виду, можно до проведения всяких воздействий и измерений
быть уверенным, что Алисе достался "первый" кубит
(тот, который после измерения с вероятностью |a*a| принимает значение |0>), а Бобу "второй" .
________________________________________
Договоренности.

Измерение - действие, приводящее единичный кубит из смешанного состояния F1 = a1*|0> + b1*|1>
в одно из чистых состояний |0> или |1>.

Воздействие - действие, приводящее кубит из смешанного состояния F1 = a1*|0> + b1*|1>
в другое смешанное состояние F2 = a2*|0> + b2*|1>.

Партия - некоторое статистически значимое количество кубитов
или пар кубитов. Для определённости дальше будем считать что партия -
это 100 (сто) кубитов

"первый", "второй" кубиты - см. выше, условие опыта "в".

________________________________________
Опыт 1. Отличимы ли единичные кубиты от запутанных?

1.1. Физик создаёт две партии кубитов "ЕК" и "ЕО"
(партия "ЕК" - единичные контрольные, партия "О" - единичные опытные)
единичных кубитов, каждый из которых находится в состоянии:

F1е = a1*|0> + b1*|1> (1.1)

1.2. Физик создаёт две партии пар кубитов
(партия "ЗК" - запутанные контрольные, и партия "ЗО" - запутанные опытные).
Каждая из двухсот полученных пар находится в состоянии:

F1з = a1*|01> + b1*|10> (1.2)

Обратите внимание: параметры "а1" и "b1" в формулах (1.1) и (1.2) равны!

1.3. Физик делит каждую запутанную пару на два кубита. В итоге образуются четыре партии кубитов:
"ЗК1" - запутанные контрольные первые";
"ЗК2" - запутанные контрольные вторые";
"ЗО1" - запутанные опытные первые";
"ЗО2" - запутанные опытные вторые";

Физик отдаёт Алисе два набора по две партии кубитов:
набор 1 - "ЕК", "ЕО" (см. 2.1);
набор 2 - "ЗК1" и "ЗО1".
Партии "ЗК1" и "ЗО1" прячет у себя.
При этом Физик сообщает Алисе, что
один из наборов включает только единичные кубиты,
другой - только запутанные, и ставит задачу "распознать" наборы.

1.4. Алиса по очереди воздействует на каждый кубит из партии "ЕО".
Кубиты переходят в состояние:

F2е = a2е*|0> + b2е*|1> (1.3)

Математически данное действие выражается как действие на состояние F1е
некоего оператора Z:

F2е = Z*F1е (1.4)

или, если расписать матрицы:

| a2е|=| Z11 Z12 |*| a1 | (1.5)
| b2е|..| Z21 Z22 |..| b1|

1.5. Алиса по очереди воздействует тем же оператором Z (см. пункт 1.4)
на каждый кубит из партии "ЗО1". Пара кубитов
(тот, на который воздействует Алиса и запутанный с ним кубит из партии "ЗО2")
переходит в некое состояние

F2з = a2з*|01> + b2з*|10> (1.6)

Здесь, к сожалению, мне не хватает знаний, чтобы правильно расписать формулы связи,
аналогичные (1.4), (1.5) между состояниями F1з, F2з и оператором "Z".
Как говориться, поможите, чем могите.

Тем не менее, допускаю три варианта.

1) Параметры "a2з" и "b2з" в (1.6) равны параметрам "a2е" и "b2е" из (1.3).

2) Параметры "a2" и "b2" в (1.6) НЕ равны параметрам "a2е" и "b2е" из (1.3).

3) Формула (1.6) не верна. Правильно как-то так:

F2з = a21з*|00> + a22з*|01> + а23з*|10> + а24з*|11> (1.7)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Кстати, Volody, я так понял, Вы имели в виду именно этот случай, когда говорили:
> будет некое состояние смешанное состяние a1|11)+a2|01)+a3|10)+a4|00)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

1.6. Алиса измеряет состояние всех кубитов из партии "ЕК" и получает:

A1ек = 100*|a1*a1| кубитов в состоянии |0>
B1ек = 100*|b1*b1| кубитов в состоянии |1>

1.7. Алиса измеряет состояние всех кубитов из партии "ЕО" и получает:

A2ео = 100*|a2е*a2е| кубитов в состоянии |0>
B2ео = 100*|b2е*b2е| кубитов в состоянии |1>

1.8. Алиса измеряет состояние всех кубитов из партии "ЗК1" и получает:

A1зк = 100*|a1*a1| кубитов в состоянии |0>
B1зк = 100*|b1*b1| кубитов в состоянии |1>

То-есть. результат, аналогичный п.1.6.
Это естественно, на этом этапе Алиса не может отличить
единичные кубиты от запутанных.

1.9. Алиса измеряет состояние всех кубитов из партии "ЗО1" и получает:

A2зо кубитов в состоянии |0>
B2зо кубитов в состоянии |1>

1) Если в пункте 1.5 верен вариант 1, то:
A2зо = А2ео
В2зо = В2ео
Результат аналогчен измерению 1.7,
Алиса не может узнать, где единичные кубиты, а где запутанные.

2) Если в пункте 1.5 верен вариант 2:
A2зо не равно А2ео;
В2зо не равно В2ео.
Алиса может различить наборы.

3) Если в пункте 1.5 верен вариант 3, то, согласно формуле (1.7):
A2зо = 100*|a21з*a21з| + 100*|a22з*a22з|
В2зо = 100*|a23з*a23з| + 100*|a24з*a24з|

Вот тут непонятно, есль этот вариант правильный,
выполняется ли равенство:
A2зо = А2ео
В2зо = В2ео
Сможет ли Алиса различить наборы?
__________________________________________
Продолжение следует (надеюсь).


> > Это каким образом она так смогла воздействовать? у нее есть только один кубит из пары она сможет получить только состояния a*U|01) и b*U|10) где U унитарный оператор на второе число она не может подействовать никак. То бишь будет некое состояние смешанное состяние a1|11)+a2|01)+a3|10)+a4|00)Если аккуратно взять след по переменным Алисы Боб получит свои а нулей и b единиц

> Спасибо, конечно, за ответ, но для меня он пока слишком сложен.
> Предлагаю спецам поупражнятся в редуцировании своих знаний
> для научно-популярного уровня.
> Я попытаюсь разбить мысленный опыт на несколько простых действий,
> и попрошу желающих подтвердить или опровергнуть
> предполагаемые мной результаты действий.
> Особенно это касается тех действий, результаты которых для меня не ясны :-)
> Так же прошу критически оценить условия опыта:
> я, например, не уверен, что условие "в" выполнимо.

> Заранее прошу прощения за длинный постинг,
> а также за некоторую дотошность, думаю, она здесь уместна.
> Мне, и надеюсь, прочим интересующимся КМ,
> ваши коментарии помогут разобраться в некоторых неясных вопросах.

> ______________________________________
> Условия опыта.

> Имеется необходимое (для набора статистики) количество кубитов.

> Имеется три участника опыта: Физик, Алиса, Боб,
> (В опыте 1 Боб не участвует, опыт 2 последует после комментариев,
> если таковые будут).

> Имеется устройство для управления кубитами, такое, что:

> а) Можно привести единичный кубит в желаемое состояние:

> F = a*|0> + b*|1>

> б) Можно привести пару кубитов в желаемое запутанное состояние:

> F = a*|01> + b*|10>

> в) Можно однозначно разделить эти запутанные пары между участниками опыта.
> Имеется, в виду, можно до проведения всяких воздействий и измерений
> быть уверенным, что Алисе достался "первый" кубит
> (тот, который после измерения с вероятностью |a*a| принимает значение |0>), а Бобу "второй" .
> ________________________________________
> Договоренности.

Это то пожалуйста. Условие (б) выполнимо только в том случае если |a|=|b|=1/sqrt( 2). иначе нормировка не сохранится


> Измерение - действие, приводящее единичный кубит из смешанного состояния F1 = a1*|0> + b1*|1>
> в одно из чистых состояний |0> или |1>.

> Воздействие - действие, приводящее кубит из смешанного состояния F1 = a1*|0> + b1*|1>
> в другое смешанное состояние F2 = a2*|0> + b2*|1>.

это есть унитарное пробразование инче говоря матрица 2*2
( cos ph, sin ph )
(-sin ph, cos ph )
>
> Партия - некоторое статистически значимое количество кубитов
> или пар кубитов. Для определённости дальше будем считать что партия -
> это 100 (сто) кубитов

> "первый", "второй" кубиты - см. выше, условие опыта "в".

> ________________________________________
> Опыт 1. Отличимы ли единичные кубиты от запутанных?

> 1.1. Физик создаёт две партии кубитов "ЕК" и "ЕО"
> (партия "ЕК" - единичные контрольные, партия "О" - единичные опытные)
> единичных кубитов, каждый из которых находится в состоянии:

> F1е = a1*|0> + b1*|1> (1.1)

> 1.2. Физик создаёт две партии пар кубитов
> (партия "ЗК" - запутанные контрольные, и партия "ЗО" - запутанные опытные).
> Каждая из двухсот полученных пар находится в состоянии:

> F1з = a1*|01> + b1*|10> (1.2)
>
> Обратите внимание: параметры "а1" и "b1" в формулах (1.1) и (1.2) равны!

это не выйдет по причинам описанным выше.
>
> 1.3. Физик делит каждую запутанную пару на два кубита. В итоге образуются четыре партии кубитов:
> "ЗК1" - запутанные контрольные первые";
> "ЗК2" - запутанные контрольные вторые";
> "ЗО1" - запутанные опытные первые";
> "ЗО2" - запутанные опытные вторые";

> Физик отдаёт Алисе два набора по две партии кубитов:
> набор 1 - "ЕК", "ЕО" (см. 2.1);
> набор 2 - "ЗК1" и "ЗО1".
> Партии "ЗК1" и "ЗО1" прячет у себя.
> При этом Физик сообщает Алисе, что
> один из наборов включает только единичные кубиты,
> другой - только запутанные, и ставит задачу "распознать" наборы.

> 1.4. Алиса по очереди воздействует на каждый кубит из партии "ЕО".
> Кубиты переходят в состояние:

> F2е = a2е*|0> + b2е*|1> (1.3)
>
> Математически данное действие выражается как действие на состояние F1е
> некоего оператора Z:

> F2е = Z*F1е (1.4)
>
> или, если расписать матрицы:

> | a2е|=| Z11 Z12 |*| a1 | (1.5)
> | b2е|..| Z21 Z22 |..| b1|

> 1.5. Алиса по очереди воздействует тем же оператором Z (см. пункт 1.4)
> на каждый кубит из партии "ЗО1". Пара кубитов
> (тот, на который воздействует Алиса и запутанный с ним кубит из партии "ЗО2")
> переходит в некое состояние
>
> F2з = a2з*|01> + b2з*|10> (1.6)
>
> Здесь, к сожалению, мне не хватает знаний, чтобы правильно расписать формулы связи,
> аналогичные (1.4), (1.5) между состояниями F1з, F2з и оператором "Z".
> Как говориться, поможите, чем могите.

Ситуация простая общая волновая функция системы есть тензорное произведение ее частей то бишь для двух кубитной системы это будет вектор из 4 компонент для трехкубитной из 8 и так далее. аналогично опертор действующий на этот вектор есть тензорное произведение одночастичных операторов или более общий оператор (4*4) если он запутывает пару. соответсвенно оператор действующий на один кубит для четырех компонентного вектора будет
( cos ph, sin ph )
(-sin ph, cos ph ) * I

Где I единичный оператор. Из этой записи сразу видно что если мы будем действовать только на один кубит то второй это никак не заметит ( хотя 4 компонетный вектор изменится довольно причудливым образом).
Попробуйте расписать это преобразование явным образом с любым вектором состояния для двух кубитов и сможете убедится результат измерения второго кубита ни как не зависит от угла ph. ( Это довольно громодко но один раз полезно)

То бишь чтобы изменить результаты измерения для второго кубта надо действовать
оператором который не раскладывается в тензорное произведение иначе говоря запутывает состояние. Но для этого надо действовать на обе частицы сразу.


> > Условия опыта.

> > б) Можно привести пару кубитов в желаемое запутанное состояние:
> > F = a*|01> + b*|10>


> Это то пожалуйста. Условие (б) выполнимо только в том случае если |a|=|b|=1/sqrt( 2). иначе нормировка не сохранится

Да? А как здесь выглядит условие нормировки? Разве не так:

|a|*|a| + |b|*|b| = 1

Почему не годиться, например:
|a|= 1/sqrt(3), |b|= sqrt(2)/sqrt(3) ?


> > Воздействие - действие, приводящее кубит из смешанного состояния F1 = a1*|0> + b1*|1>
> > в другое смешанное состояние F2 = a2*|0> + b2*|1>.

> это есть унитарное пробразование инче говоря матрица 2*2
> ( cos ph, sin ph )
> (-sin ph, cos ph )

Не понял, хотите сказать, что унитарное преобразование
полностью определяется одним числом: "ph" ?


> Да? А как здесь выглядит условие нормировки? Разве не так:

> |a|*|a| + |b|*|b| = 1
>
> Почему не годиться, например:
> |a|= 1/sqrt(3), |b|= sqrt(2)/sqrt(3) ?

>
> > > Воздействие - действие, приводящее кубит из смешанного состояния F1 = a1*|0> + b1*|1>
> > > в другое смешанное состояние F2 = a2*|0> + b2*|1>.

> > это есть унитарное пробразование инче говоря матрица 2*2
> > ( cos ph, sin ph )
> > (-sin ph, cos ph )

> Не понял, хотите сказать, что унитарное преобразование
> полностью определяется одним числом: "ph" ?

Тишина...
То-ли сообщения не заметили, то-ли обидел чем...


Уважаемые коллеги, приглашаем Вас на специализированные семинары по квантовой информатике:
http://physmag.hut1.ru/forum/topic.php?forum=1&topic=6
http://physmag.hut1.ru/forum/topic.php?forum=1&topic=11


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100