Пространство и время /без философии/

Сообщение №43804 от Арх 02 марта 2006 г. 14:46
Тема: Пространство и время /без философии/


Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

Задача:
Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

С уважением, Арх.


Отклики на это сообщение:

>
> Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> Задача:
> Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> С уважением, Арх.

А начальное x дано?

>


> >
> > Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> > Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> > На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> > Задача:
> > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > С уважением, Арх.

> А начальное x дано?

Воля Ваша - можете взять Хо и Vo. Наверное, можно и с разными знаками решать.


>
> Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> Задача:
> Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> С уважением, Арх.

>

Хоть я и не лев, однако ж задача, действительно, из области математической физики.
В условии задачи сразу дается обычное дифференциальное уравнение второго порядка:

а(х)= d²x/dt² = С/х²

Такое уравнение решается путем разделения переменных, x – в одну сторону, время в другую. Находим функцию х(t) , и подставляем её в основное условие задачи.

Шимпанзе





> > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> Хоть я и не лев, однако ж задача, действительно, из области математической физики.
> В условии задачи сразу дается обычное дифференциальное уравнение второго порядка: а(х)= d²x/dt² = С/х²
> Такое уравнение решается путем разделения переменных, x – в одну сторону, время в другую. Находим функцию х(t) , и подставляем её в основное условие задачи.
> Шимпанзе

Разделил переменные: x^2*ddx=C*dt^2 . А что разрешается делать с ddx? И как найти x(t)? Перебором функций?


> > >
> > > Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> > > Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> > > На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> > > Задача:
> > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > > С уважением, Арх.

> > А начальное x дано?

> Воля Ваша - можете взять Хо и Vo. Наверное, можно и с разными знаками решать.

E=mV^2/2+ U(x)=const=E_0

dU/dx = F = m*a => U= -mC/x
E_0=m*Vo^2/2 - mC/Xo

v=dx/dt=2/m sqrt(E_0-U(x))

дальше находим x(t) и подставляем в a(x). Правда интеграл берется с трудом.



>
> > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > Хоть я и не лев, однако ж задача, действительно, из области математической физики.
> > В условии задачи сразу дается обычное дифференциальное уравнение второго порядка: а(х)= d²x/dt² = С/х²
> > Такое уравнение решается путем разделения переменных, x – в одну сторону, время в другую. Находим функцию х(t) , и подставляем её в основное условие задачи.
> > Шимпанзе

> Разделил переменные: x^2*ddx=C*dt^2 . А что разрешается делать с ddx? И как найти x(t)? Перебором функций?
>

Какой ещё перебор?! Здесь чистая математика, посмотрите правила интегрирования - причем надо брать интеграл дважды.


Шимпанзе



> > > > Задача:
> > > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> E=mV^2/2+ U(x)=const=E_0
> dU/dx = F = m*a => U= -mC/x
> E_0=m*Vo^2/2 - mC/Xo
> v=dx/dt=2/m sqrt(E_0-U(x))
> дальше находим x(t) и подставляем в a(x). Правда интеграл берется с трудом.

То есть приходим к ответу еще через 3 шага?
t(x)=I(dx/v(x)), x(t)=1/t(x), подставляем в a(х). А у меня лишний шаг: v(t)=x'.
Вообще-то надо бы решать без использования формул энергии, так как массы в условиях нет. И закона сохранения энергии не дано в условии. Требуется математическим путем зависимость a(x) преобразовать в другую: a(t).



> >
> > > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > Разделил переменные: x^2*ddx=C*dt^2 . А что разрешается делать с ddx? И как найти x(t)? Перебором функций?
> >
> Какой ещё перебор?! Здесь чистая математика, посмотрите правила интегрирования - причем надо брать интеграл дважды.

Основное правило интегрирования - перебор табличных интегралов. Только пока подинтегрального выражения даже нет. C*dt^2 легко интегрируется, а можно ли интегрировать x^2*ddx ? /читается: дэ два икс/.


>
> > > > > Задача:
> > > > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > E=mV^2/2+ U(x)=const=E_0
> > dU/dx = F = m*a => U= -mC/x
> > E_0=m*Vo^2/2 - mC/Xo
> > v=dx/dt=2/m sqrt(E_0-U(x))
> > дальше находим x(t) и подставляем в a(x). Правда интеграл берется с трудом.

> То есть приходим к ответу еще через 3 шага?
> t(x)=I(dx/v(x)), x(t)=1/t(x), подставляем в a(х). А у меня лишний шаг: v(t)=x'.
> Вообще-то надо бы решать без использования формул энергии, так как массы в условиях нет. И закона сохранения энергии не дано в условии. Требуется математическим путем зависимость a(x) преобразовать в другую: a(t).

Масса там все равно пропадает. А сила потенциальна поэтому закон сохранения есть.

Тогда в самом деле можно действовать в лоб как советовали выше разделяя переменные

x^2 ddx = Cdt^2 = const



>
> Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> Задача:
> Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> С уважением, Арх.

>

Вам чего надо - общее и частное решение?
Общее стандартно ищется так:
составляем уравнение x''=C/x^2. Пользуясь симметрией (отсутствие явной зависимости от t) переходим к функции x'=y от аргумента x. Для нее имеем
yy'=C/x^2. Один раз интегрируем, получаем пресловутый закон сохранения энергии. Затем решаем полученное x'=y(x) и находим x(t). Далее понятно. Константы интегрирования мешают.
Частное:
очевидно, что есть степенное решение x=At^n. Подставляем, и получаем n=2/3, и соответствующее выражение для A.


> > Задача:
> > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> Вам чего надо - общее и частное решение?
> Общее стандартно ищется так:
> составляем уравнение x''=C/x^2. Пользуясь симметрией (отсутствие явной зависимости от t) переходим к функции x'=y от аргумента x. Для нее имеем
> yy'=C/x^2. Один раз интегрируем, получаем пресловутый закон сохранения энергии. Затем решаем полученное x'=y(x) и находим x(t). Далее понятно. Константы интегрирования мешают.
> Частное:
> очевидно, что есть степенное решение x=At^n. Подставляем, и получаем n=2/3, и соответствующее выражение для A.

Можно обойтись без дифура 2-го порядка.

а(х)= С/х^2

Домножим левую и правую часть на скорость:

v*dv/dt = (С/х^2)*v = (С/х^2)*dx/dt

d(v^2) = 2*C*dx/х^2

v^2 = -2*C/x + const

Константу занулим (на бесконечности скорость = 0):

v^2 = -2*C/x

Введем новую константу С1:

v = dx/dt = C1/sqrt(x)

Отсюда легко находим зависимомть координаты от времени.



> Вам чего надо - общее и частное решение?

Благодарен КС за участие.
Любое, только бы иметь полный логический вывод формулы.

> Общее стандартно ищется так:
> составляем уравнение x''=C/x^2. Пользуясь симметрией (отсутствие явной зависимости от t) переходим к функции x'=y от аргумента x. Для нее имеем yy'=C/x^2.

Вопросы:
1. это уравнение не составлено, а дано в условии, так?
2. а как доказать симметрию и отсутствие зависимости от (t)? Ведь x''=dv/dt.
3. как доказать, что x''=y*y'? Ведь если x'=y(x), то x''= dy/dx= y'.

> Один раз интегрируем, получаем пресловутый закон сохранения энергии. Затем решаем полученное x'=y(x) и находим x(t). Далее понятно. Константы интегрирования мешают.

Вопросы:
1. Получили v^2/2 = C/x, v(x)=(2*C*integral(1/x))^0,5. Можно получить определенный интеграл (2*c*(1/Xo-1/x))^0,5. Каков логический переход V(x) ---> x(t)?
2. Чему константы интегрирования мешают?

> Частное:
> очевидно, что есть степенное решение x=At^n. Подставляем, и получаем n=2/3, и соответствующее выражение для A.
Вопросы:
1. Откуда очевидно это решение? Из предыдущего опыта?
2. Что делать дальше, чтобы найти искомое a(t)?
То есть нужна логическая цепь шагов от a(x) до a(t).
С уважением Арх.


>
> > Вам чего надо - общее и частное решение?

> Благодарен КС за участие.
> Любое, только бы иметь полный логический вывод формулы.

> > Общее стандартно ищется так:
> > составляем уравнение x''=C/x^2. Пользуясь симметрией (отсутствие явной зависимости от t) переходим к функции x'=y от аргумента x. Для нее имеем yy'=C/x^2.

> Вопросы:
> 1. это уравнение не составлено, а дано в условии, так?

Если угодно. Однако, сторого говоря, в условии уравнение как таковое не дано.

> 2. а как доказать симметрию и отсутствие зависимости от (t)? Ведь x''=dv/dt.

Я написал о "явной" зависимости. Она была бы, если бы, скажем, С зависела от времени. А так в уравнении есть только зависимое переменное и его производные. Симметрия заключается в том, что замена t на t+t_0 не меняет вида уравнения.

> 3. как доказать, что x''=y*y'? Ведь если x'=y(x), то x''= dy/dx= y'.

Это разные штрихи! ;-))) Я имел в виду, что штрих - это производная по тому аргументу, что есть в функции. Поробнее это так. Давайте сохраним штрих для производной по времени, а производная по x будет d/dx. Тогда имеем
x''=(x')'=[y(x)]'=dy/dx*x'=dy/dx*y.

> > Один раз интегрируем, получаем пресловутый закон сохранения энергии. Затем решаем полученное x'=y(x) и находим x(t). Далее понятно. Константы интегрирования мешают.

> Вопросы:
> 1. Получили v^2/2 = C/x, v(x)=(2*C*integral(1/x))^0,5. Можно получить определенный интеграл (2*c*(1/Xo-1/x))^0,5. Каков логический переход V(x) ---> x(t)?

Неправда! Получили v^2/2=-C/x+const.
По поводу логического перехода не понял. Мы же сами предварительно воспользовались соотношением x'=y(x). Теперь это y(x) нашли.

> 2. Чему константы интегрирования мешают?

Тому, что обращать полученную двукратным интегрированиям связь t=f(x), где в
f(x) эти константы входят, тяжелее.

> > Частное:
> > очевидно, что есть степенное решение x=At^n. Подставляем, и получаем n=2/3, и соответствующее выражение для A.
> Вопросы:
> 1. Откуда очевидно это решение? Из предыдущего опыта?

Очевидно - оно и в Африке... Наверное, из того соображения, что производные от степенной функции являются степенными функциями.

> 2. Что делать дальше, чтобы найти искомое a(t)?
> То есть нужна логическая цепь шагов от a(x) до a(t).

Опять не понял. У Вас есть решение x(t) (я предъявил). Вы что, не можете его дважды продифференцировать?



> а(х)= С/х^2

Вообще-то это и есть диффур второго порядка.

> Домножим левую и правую часть на скорость:

> v*dv/dt = (С/х^2)*v = (С/х^2)*dx/dt

> d(v^2) = 2*C*dx/х^2

> v^2 = -2*C/x + const

Ответ совпадает с тем. что писал я. Однако, лично мне такой способ всегда не нравился. Дело в том, что домножение на функцию корректно только в том случае, если эта функция не обращается в 0. В результате при подобных манипуляциях возникает некоторая недоговоренность, которая иногда приводит (лично видел у очень хороших людей в известнейших книжках) к не вполне правильным утверждениям. Тем не менее, в большинстве случаев такой подход работает (сам иногда так учу, правда, оговариваясь), Вы абсолютно правы.

> Константу занулим (на бесконечности скорость = 0):

> v^2 = -2*C/x

Только если желаете именно частное решение.

> Введем новую константу С1:

> v = dx/dt = C1/sqrt(x)

> Отсюда легко находим зависимомть координаты от времени.
>

Для такого частного решения (имхо) гораздо проще сразу искать степенную функцию.


> > Константу занулим (на бесконечности скорость = 0):

> > v^2 = -2*C/x

> Только если желаете именно частное решение.

В любом случае без граничных условий не обойтись.
Насколько я понимаю, "физ.смысл" условия задачи - движение точечного тела в поле (с потенциалом типа 1/r) другого точечного тела. Тогда зануление скорости на бесконечности естественно.


> Насколько я понимаю, "физ.смысл" условия задачи - движение точечного тела в поле (с потенциалом типа 1/r) другого точечного тела. Тогда зануление скорости на бесконечности естественно.

То, что кажется естественным, может оказаться неверным. Как в данном примере.
Все таки стоит интуицию подчинять строгой логике.


> Для такого частного решения (имхо) гораздо проще сразу искать степенную функцию.

Я вчера его в уме нашёл, пока ехал домой :)



> > 1. Получили v^2/2 = C/x, v(x)=(2*C*integral(1/x))^0,5. Можно получить определенный интеграл (2*c*(1/Xo-1/x))^0,5. Каков логический переход V(x) ---> x(t)?

> Неправда! Получили v^2/2=-C/x+const.

Разве запрещено брать определенный интеграл в пределах (Хо-х)?

> По поводу логического перехода не понял. Мы же сами предварительно воспользовались соотношением x'=y(x). Теперь это y(x) нашли.


> > > очевидно, что есть степенное решение x=At^n. Подставляем, и получаем n=2/3, и соответствующее выражение для A.
> > Вопросы:
> > 1. Откуда очевидно это решение? Из предыдущего опыта?

> Очевидно - оно и в Африке... Наверное, из того соображения, что производные от степенной функции являются степенными функциями.

> > 2. Что делать дальше, чтобы найти искомое a(t)?
> > То есть нужна логическая цепь шагов от a(x) до a(t).

> Опять не понял. У Вас есть решение x(t) (я предъявил). Вы что, не можете его дважды продифференцировать?

Поясняю: Вы дошли до v^2/2=C/x + C1, дальше сразу перешли к x=A*t^n, взятую не логическим путем. А разве нельзя корень квадратный вычислить из определннного интеграла: v(x)= (2*C*(1/Xo-1/x))^0,5? Тогда логическое продолжение -
t(x)= Integral(dx/V(x)). /Конечно, придется подставлять в интеграл подходящую функцию, но, если не найдем ее, то просто численным интегрированием можно вычислить хотя бы время./
Затем найти обратную функцию x(t)=1/t(x). Дальше дважды дифференциировать x(t).


> > Неправда! Получили v^2/2=-C/x+const.

> Разве запрещено брать определенный интеграл в пределах (Хо-х)?

А на минус уже наплевать?

> Поясняю: Вы дошли до v^2/2=C/x + C1, дальше сразу перешли к x=A*t^n, взятую не логическим путем. А разве нельзя корень квадратный вычислить из определннного интеграла: v(x)= (2*C*(1/Xo-1/x))^0,5? Тогда логическое продолжение -

Послушайте, про частное решение было написано ОТДЕЛЬНО. Для него я ничего не интегрировал, а СРАЗУ подставил степенную функцию в исходное уравнение и нашел коэффициент и показатель. Естесвенно, это частное решение содержится в общем (все константы равны 0), но для его получения мне этого знать не надо. Повторяю, я просто ЗНАЮ, у исходного уравнения такое решение ЕСТЬ. Вообще, поиск частных решений - это отдельная песня, мало связанная со строгим и полным исследованием.


> Поясняю: Вы дошли до v^2/2=C/x + C1, дальше сразу перешли к x=A*t^n, взятую не логическим путем. А разве нельзя корень квадратный вычислить из определннного интеграла: v(x)= (2*C*(1/Xo-1/x))^0,5? Тогда логическое продолжение -
> t(x)= Integral(dx/V(x)). /Конечно, придется подставлять в интеграл подходящую функцию, но, если не найдем ее, то просто численным интегрированием можно вычислить хотя бы время./
> Затем найти обратную функцию x(t)=1/t(x). Дальше дважды дифференциировать x(t).

Подумал, что Вы, кажется, не поняли, что я написал в своем первом посте. Я сказал, что есть два способа действия. Первый - строгий и полный. Он заключается в последовательном двукратном интегрировании исходного уравнения. Ваши действия в данном послании (начиная со слов "логическое продолжение") были мною УКАЗАНЫ, хотя и кратко, посмотрите внимательнее снова. Второй - угадывание и проверка чем-то выделенного частного решения. В жизни бывает полезныи и то, и другое...


> > Поясняю: Вы дошли до v^2/2=C/x + C1, дальше сразу перешли к x=A*t^n, взятую не логическим путем. А разве нельзя корень квадратный вычислить из определннного интеграла: v(x)= (2*C*(1/Xo-1/x))^0,5? Тогда логическое продолжение -
> > t(x)= Integral(dx/V(x)). /Конечно, придется подставлять в интеграл подходящую функцию, но, если не найдем ее, то просто численным интегрированием можно вычислить хотя бы время./
> > Затем найти обратную функцию x(t)=1/t(x). Дальше дважды дифференциировать x(t).

> Подумал, что Вы, кажется, не поняли, что я написал в своем первом посте. Я сказал, что есть два способа действия. Первый - строгий и полный. Он заключается в последовательном двукратном интегрировании исходного уравнения. Ваши действия в данном послании (начиная со слов "логическое продолжение") были мною УКАЗАНЫ, хотя и кратко, посмотрите внимательнее снова. Второй - угадывание и проверка чем-то выделенного частного решения. В жизни бывает полезныи и то, и другое...

Благодарю КС за разъяснение. Да, Вы показали исчерпывающий способ решения. Вопросов больше нет. В задачнике Сивухина все примеры решений начинаются с подстановки рекомендованных теорией диф.уравнений функций от времени x(t)или v(t), но я не встретил там примеров решения через функции координат: dt(x)= dx/v(x) или dt(x)= dv(x)/a(x). А почему? Наверное потому, что скорость и ускорение рассматриваются исключительно как производные координат по времени. Хотя уже в механике Лагранжа присутствуют и обратные производные.


> Благодарю КС за разъяснение. Да, Вы показали исчерпывающий способ решения. Вопросов больше нет. В задачнике Сивухина все примеры решений начинаются с подстановки рекомендованных теорией диф.уравнений функций от времени x(t)или v(t), но я не встретил там примеров решения через функции координат: dt(x)= dx/v(x) или dt(x)= dv(x)/a(x). А почему? Наверное потому, что скорость и ускорение рассматриваются исключительно как производные координат по времени. Хотя уже в механике Лагранжа присутствуют и обратные производные.

Думаю, Вы недооцениваете временной фактор :-))). "Механика" Сивухина приходится на 1 курс, когда подопытные еще не знают диффуров. Хотя, в принципе, вполне можно было бы (да и следовало бы) изложить трюк в стиле, указанном sleo.
То, что написал я, "работает" в более широком диапазоне и входит практически в любой курс именно диффуров. Лично я посоветовал бы Вам (не в первый раз) посмотреть задачник Филиппова - там в преамбуле к каждой главе есть сводка методов.


>
> Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> Задача:
> Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> С уважением, Арх.

>
Я думаю, что правильным решением этой задачи будет следующая последовательность действий.
1) Дважды интегрируем функцию a(x), в результате чего получаем некоторую функцию
L(x).
2) Тогда равномерное движение по кривой L(x) обеспечит нам требуемое ускорение по оси х. Длину кривой L(x) обозначим |L(X)|. Тогда, в силу равномерности движения по этой кривой, для нее должно быть выполнено

d|L(x)|/dt = const
3)Теперь, из этого условия, мы можем выразить x(t)
4) Дважды дифференцируя x(t) мы можем найти зависимость ускорения от времени
a(t).

Но мой алгоритм, как и Ваш, тоже содержит 7 шагов.

Ozes


> >
> > Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> > Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> > На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> > Задача:
> > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > С уважением, Арх.

> >
> Я думаю, что правильным решением этой задачи будет следующая последовательность действий.
> 1) Дважды интегрируем функцию a(x), в результате чего получаем некоторую функцию
> L(x).
> 2) Тогда равномерное движение по кривой L(x) обеспечит нам требуемое ускорение по оси х. Длину кривой L(x) обозначим |L(X)|. Тогда, в силу равномерности движения по этой кривой, для нее должно быть выполнено

Попробуйте применить этот способ для случая a(x)=-x.
До встречи, AID.


> > >
> > > Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> > > Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> > > На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> > > Задача:
> > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > > С уважением, Арх.

> > >
> > Я думаю, что правильным решением этой задачи будет следующая последовательность действий.
> > 1) Дважды интегрируем функцию a(x), в результате чего получаем некоторую функцию
> > L(x).
> > 2) Тогда равномерное движение по кривой L(x) обеспечит нам требуемое ускорение по оси х. Длину кривой L(x) обозначим |L(X)|. Тогда, в силу равномерности движения по этой кривой, для нее должно быть выполнено

> Попробуйте применить этот способ для случая a(x)=-x.
> До встречи, AID.

В этом случае придется добавить действия по исследованию кубической параболы,
поскольку движение по кубической параболе может быть "в разные стороны".

Ozes


> > > >
> > > > Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> > > > Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> > > > На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> > > > Задача:
> > > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > > > С уважением, Арх.

> > > >
> > > Я думаю, что правильным решением этой задачи будет следующая последовательность действий.
> > > 1) Дважды интегрируем функцию a(x), в результате чего получаем некоторую функцию
> > > L(x).
> > > 2) Тогда равномерное движение по кривой L(x) обеспечит нам требуемое ускорение по оси х. Длину кривой L(x) обозначим |L(X)|. Тогда, в силу равномерности движения по этой кривой, для нее должно быть выполнено

> > Попробуйте применить этот способ для случая a(x)=-x.
> > До встречи, AID.

> В этом случае придется добавить действия по исследованию кубической параболы,
> поскольку движение по кубической параболе может быть "в разные стороны".

> Ozes

Были предложены такие алгоритмы:
Предложение от КС.
1. Находим в справочнике решение данного диф.ур-ния x'' = -x : x(t)=A*sin(t).
2. Вычисляем v(t)=A*cos(t)
3. Вычисляем a(t)=-A*sin(t).
Предложение от Слео.
1. Умножить на скорость /v=dx/dt/ данную зависимость a(x)=-x : v*dv/dt=-x*dx/dt.
2. Избавиться от dt: v*dv=-x*dx.
3. Интегрировать полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
5. "Далее легко получаем a(t)". Подробностей он не привел.
Предложение от Арх.
1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
2. Подставляем в него условие задачи /а(х)=-х/: v*dv= -x*dx.
3. Интегрируем полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).


> > > > >
> > > > > Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> > > > > Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> > > > > На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу. К таковым себя не отношу - у меня получился алгоритм в 7 шагов. Кто предложит решение с меньшим количеством шагов?

> > > > > Задача:
> > > > > Дана зависимость ускорения тела от координаты а(х)=С/х^2, С-постоянная, то есть не зависящая от времени и координаты величина, x'=v(t)=dx/dt, a(t)=dv/dt. Требуется найти зависимость a(t) из заданной зависимости a(x).

> > > > > С уважением, Арх.

> > > > >
> > > > Я думаю, что правильным решением этой задачи будет следующая последовательность действий.
> > > > 1) Дважды интегрируем функцию a(x), в результате чего получаем некоторую функцию
> > > > L(x).
> > > > 2) Тогда равномерное движение по кривой L(x) обеспечит нам требуемое ускорение по оси х. Длину кривой L(x) обозначим |L(X)|. Тогда, в силу равномерности движения по этой кривой, для нее должно быть выполнено

> > > Попробуйте применить этот способ для случая a(x)=-x.
> > > До встречи, AID.

> > В этом случае придется добавить действия по исследованию кубической параболы,
> > поскольку движение по кубической параболе может быть "в разные стороны".

> > Ozes

> Были предложены такие алгоритмы:
> Предложение от КС.
> 1. Находим в справочнике решение данного диф.ур-ния x'' = -x : x(t)=A*sin(t).
> 2. Вычисляем v(t)=A*cos(t)
> 3. Вычисляем a(t)=-A*sin(t).
> Предложение от Слео.
> 1. Умножить на скорость /v=dx/dt/ данную зависимость a(x)=-x : v*dv/dt=-x*dx/dt.
> 2. Избавиться от dt: v*dv=-x*dx.
> 3. Интегрировать полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
> 4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
> 5. "Далее легко получаем a(t)". Подробностей он не привел.
> Предложение от Арх.
> 1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
> 2. Подставляем в него условие задачи /а(х)=-х/: v*dv= -x*dx.
> 3. Интегрируем полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
> 4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
> 5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
> 5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
> 6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
> 7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).

Вот интересно еще, что метод Озеса даст.
До встречи, AID.


> В этом случае придется добавить действия по исследованию кубической параболы,
> поскольку движение по кубической параболе может быть "в разные стороны".
> Ozes

Избыточное цитирование.


> Предложение от Арх.
> 1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
> 2. Подставляем в него условие задачи /а(х)=-х/: v*dv= -x*dx.

Где Вы взяли это условие?
По условию a(x) = C/x^2, насколько я понял.

> 3. Интегрируем полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
> 4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
> 5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
> 5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
> 6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
> 7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).


> Предложение от Арх.
> 1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
> 2. Подставляем в него условие задачи /а(х)=-х/: v*dv= -x*dx.
> 3. Интегрируем полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
> 4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.

И здесь Вы сделали не вполне верные действия.
В результате Ваших действий Вы нашли решение только в области финитного движения - между точками А и В на рисунке.
Вполне очевидно и без решения, что это будут колебания.
А где Ваше решение в инфинитной области движения???
Ведь решить задачу - это найти все ее решения.

> 5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
> 5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
> 6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
> 7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).

Ваше решение неполное.

Ozes


> > Предложение от Арх.
> > 1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
> > 2. Подставляем в него условие задачи /а(х)=-х/: v*dv= -x*dx.

> Где Вы взяли это условие?
> По условию a(x) = C/x^2, насколько я понял.

АИД предложил решить задачу для зависимости a(x)=-x, я привел способы решения.

> > 3. Интегрируем полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
> > 4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
> > 5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
> > 5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
> > 6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
> > 7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).


> > > Предложение от Арх.
> > > 1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.

> АИД предложил решить задачу для зависимости a(x)=-x, я привел способы решения.

Свои ошибки следует признавать, а не искать виновных.

Ozes



> И здесь Вы сделали не вполне верные действия.
> В результате Ваших действий Вы нашли решение только в области финитного движения - между точками А и В на рисунке.
> Вполне очевидно и без решения, что это будут колебания.
> А где Ваше решение в инфинитной области движения???
> Ведь решить задачу - это найти все ее решения.

Коль задано было a(x)=-x, то сразу виден признак финитного движения: ускорение уменьшается по мере увеличения х. Значит - тело обязательно должно остановиться, раз ускорение отрицательно. Другие решения исключаются. Если бы было задано a(x)=x, то виден был бы признак бесконечного разгона.

> > 5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
> > 5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
> > 6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
> > 7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).

С уважением, Арх.


>
> > И здесь Вы сделали не вполне верные действия.
> > В результате Ваших действий Вы нашли решение только в области финитного движения - между точками А и В на рисунке.
> > Вполне очевидно и без решения, что это будут колебания.
> > А где Ваше решение в инфинитной области движения???
> > Ведь решить задачу - это найти все ее решения.

> Коль задано было a(x)=-x, то сразу виден признак финитного движения: ускорение уменьшается по мере увеличения х. Значит - тело обязательно должно остановиться, раз ускорение отрицательно. Другие решения исключаются. Если бы было задано a(x)=x, то виден был бы признак бесконечного разгона.

А если x-> -oo, тогда что???
Или тоже разгон исключается???

Ozes



> > Коль задано было a(x)=-x, то сразу виден признак финитного движения: ускорение уменьшается по мере увеличения х. Значит - тело обязательно должно остановиться, раз ускорение отрицательно. Другие решения исключаются. Если бы было задано a(x)=x, то виден был бы признак бесконечного разгона.

> А если x-> -oo, тогда что???
> Или тоже разгон исключается???

> Ozes

Это уже рассуждения о смысле слова "разгон". Я подразумевал под этим словом обыденное понятие разгона - вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости. Все-таки первая производная вернее показывает направление движения: куда направлена скорость - туда и движемся. Но это -философия. А как с решением задачи? Будет предложено Ваше особое решение для a(x)=-x? Для коллекции.


> Вот интересно еще, что метод Озеса даст.
> До встречи, AID.

Избыточное цитирование



> Это уже рассуждения о смысле слова "разгон". Я подразумевал под этим словом обыденное понятие разгона - вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости. Все-таки первая производная вернее показывает направление движения: куда направлена скорость - туда и движемся. Но это -философия. А как с решением задачи? Будет предложено Ваше особое решение для a(x)=-x? Для коллекции.

Инфинитное решение этой задачи достаточно очевидное - колебания с увеличивающейся амплитудой движения.
Физический аналог этого - явление резонанса.
Все просто.

Ozes


>
> Задача математической физики. Ни каких физических законов не использовать.
> Все необходимые физические условия даны, остается вывести формулу.
> На этом форуме знаю четверых "львов", способных решить эту задачу.

Уважаемый господин Arx!
Не следует расстраиваться!
Вы же сами хотели увидеть ЛЬВА!

Ozes


> Инфинитное решение этой задачи достаточно очевидное - колебания с увеличивающейся амплитудой движения.
> Физический аналог этого - явление резонанса.

Т.е. Вы утверждаете, что при резонансе уравнение движения x''=-x? Это точно метафизика:)
До встречи, AID.


> > Инфинитное решение этой задачи достаточно очевидное - колебания с увеличивающейся амплитудой движения.
> > Физический аналог этого - явление резонанса.

> Т.е. Вы утверждаете, что при резонансе уравнение движения x''=-x? Это точно метафизика:)
> До встречи, AID.

Я же сказал достаточно понятно - это АНАЛОГ.
Нужны еще благоприятные граничные условия.
В решении участвуют три константы, которые необходимо определять.

Ozes



Для математического решения задачи /найти зависимость ускорения a(t) по заданной зависимости a(x)=-x./ были предложены такие алгоритмы:
>
Предложение от КС.
1. Находим в справочнике решение данного диф.ур-ния x'' = -x : x(t)=A*sin(t).
2. Вычисляем v(t)=A*cos(t)
3. Вычисляем a(t)=-A*sin(t).
>
Предложение от Слео.
1. Умножить на скорость /v=dx/dt/ данную зависимость a(x)=-x : v*dv/dt=-x*dx/dt.
2. Избавиться от dt: v*dv=-x*dx.
3. Интегрировать полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
5. "Далее легко получаем a(t)". Подробностей он не привел.
>
Предложение от Арх.
1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
2. Подставляем в него условие задачи /а(х)=-х/: v*dv= -x*dx.
3. Интегрируем полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).


> Предложение от Арх.
> 1. Из v=dx/dt , a=dv/dt выводим тождество v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
> 2. Подставляем в него условие задачи /а(х)=-х/: v*dv= -x*dx.
> 3. Интегрируем полученное уравнение: v^2/2= -x^2/2.
> 4. Ввести нач.усл A=Xo, чтобы под корнем было положит.выраж. v(x)=(A^2-x^2)^0,5.
> 5. Интегрируем время t(x)=Int(dx/v(x))= Int(dx/(A^2-x^2)^0,5)=Arcsin(x/A).
> 5. Получаем зависимость x(t)=1/t(x)=A*sin(t).
> 6. Получаем v(t)= dx/dt= A*cos(t).
> 7. Получаем ответ: a(t)=dv/dt= -A*sin(t).
Это лишь одно частное решение. Может быть неверным, если начальное значение х не равно нулю.
Надо с математикой обращаться аккуратнее.


> > ...Ваше особое решение для a(x)=-x? Для коллекции.

> Инфинитное решение этой задачи достаточно очевидное - колебания с увеличивающейся амплитудой движения.
> Физический аналог этого - явление резонанса.

> Все просто.
Эт.точно...



> Это лишь одно частное решение. Может быть неверным, если начальное значение х не равно нулю.
> Надо с математикой обращаться аккуратнее.

Полностью согласен с Вами. Просто меня интересуют алгоритмы индуктивного вывода формул. Для сравнения: в дедуктивном выводе часто употребляется прием "С одной стороны известно одно, с другой - очевидно другое". Для индуктивного вывода важнее умения, для дедуктивного - знания.


> ...Для индуктивного вывода важнее умения, для дедуктивного - знания.

Не менее важно уметь гармонично сочетать одно с другим...


> > > ...Ваше особое решение для a(x)=-x? Для коллекции.

> > Инфинитное решение этой задачи достаточно очевидное - колебания с увеличивающейся амплитудой движения.
> > Физический аналог этого - явление резонанса.

>

Здесь я выразился не вполне правильно.
Резонанса, безусловно не будет.

> > Все просто.
> Эт.точно...



Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100