Вывод уравнения физ-го маятника и у-е Лагранжа

Сообщение №42406 от mantis 21 декабря 2005 г. 01:31
Тема: Вывод уравнения физ-го маятника и у-е Лагранжа

Здравствуйте. Возникла следующая проблема: в конспекте по физике не обнаружил
вывода физ. маятника и уравнения Лагранжа. Кто-нибудь знает какие-нибудь толковые сайты с данной информацией? Если есть выводы, скиньте, пожалуйста на мейл.
Заранее благодарен.


Отклики на это сообщение:

> Здравствуйте. Возникла следующая проблема: в конспекте по физике не обнаружил
> вывода физ. маятника и уравнения Лагранжа. Кто-нибудь знает какие-нибудь толковые сайты с данной информацией? Если есть выводы, скиньте, пожалуйста на мейл.
> Заранее благодарен.
Вы не поверите, но проблема Ваша разрешается довольно просто. Прочтите этот короткий текст. Он заменит целую лекцию, если Вы поймете значения приведенных здесь формул.

Для физического маятника зависимость ускорения от координаты a(x)-задана, например: a(x)=k*x/m -пружинный маятник, a(x)=g*x - гравитационный маятник.
1)Дифференциируем формулу закона сохранения энергии m*v^2/2=F*X:
v*dv=a(x)*dx
2)Подставляем в формулу заданную зависимость а(х) и интегрируем это уравнение:
V(x)^2-Vo^2=2*(A(x)-A0)=Ep /определенный интеграл!/
3)Из полученного уравнения выводим зависимость скорости от координат:
v(x)=(Vo^2+Ep)^0,5
4)Интегрируем дифференциальную формулу времени dt=dx/v(x):
t(x)=Интеграл(dx/v(x))
5)Получаем зависимость координаты тела от времени, как обратную функцию от t(x):
x(t)=1/t(x).

Вот пример для пружинного маятника: Vo =0, A-амплитуда:
1) m*v*dv=k*x*dx
2) m*v^2/2=k*(A^2-x^2)/2
3) v(x)=(k*(A^2-x^2)/m)^0,5
4) t(x)=Integral(dx/v(x))=(k/m)*arcsin(x/A)
5) x(t)=A*sin(k/m)^0,5*t)
Вот и вся премудрость.
Для тренировки повторите эти 5 шагов для примера с маятником на ниточке. Ускорение зависит от угла отклонения нити a(x)= g*x = 9,81*x. A-амплитуда угла.
С уважением, Арх.


Спасибо. Все понятно. А как насчет уравнения Лагранжа? Поможете?


> Спасибо. Все понятно. А как насчет уравнения Лагранжа? Поможете?

Честно говоря, я пытался уяснить для себя этот вопрос, но статьи очень мудреные попадались. Попробуйте вот по этой ссылке понять, что это такое: уравнение Лагранжа.
science-nighny.narod.ru/varp1.htm
В общем виде оно выглядит так:
L=l(U,t,x)=(d2U/dx^2)-(d2U/dt^2)=0
Читается это выражение приблизительно так: лагранжиан - функция трех переменных, энергии, координат, времени. Выражена она вторыми производными энергии по координате и по времени. Эти вторые производные должны быть равными. Уравнение это - с разделяемыми переменными. Откуда брать производные? Из условий задачи или они известны по определению. Энергия подразумевается потенциальная, кажется. Что теперь с ним делать? Интегрировать, то есть понижать порядок, потом опять интегрировать, до определенных интегралов. То есть нужно знать начальные условия: или Uo,или Xo, или To. Искать подходящие замены переменных через обратные функции или обратные производные.
Что получаем в итоге? формулы скорости, расстояния, времени. То есть то, что я показал в предыдущем посте, без ссылки на это уравнение. Основная трудность для многих - представить зависимость ускорения, скорости от координаты. Ведь в теоретической механике в разделе кинематика даны определения скорости v=dx/dt, ускорения a=d2x/dt^2, и V(x), t(x) очень редко употребляются.
А вообще, подобные лагранжианы хорошо получаются из формул законов сохранения. Дифференциируем формулу закона, подставляем известные зависимости дифференциалов от координат, времени и потом обратно интегрируем.


> Спасибо. Все понятно. А как насчет уравнения Лагранжа? Поможете?

Пожалуйста. У меня в тексте были опечатки, касается (k/m), но замечания не последовало, пример на применение понятого не выполнен, потому и вопросов нет.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама: Самое быстрое похудение в мире.
Rambler's Top100