Вода вытекает из цистерны

Сообщение №41875 от Suvorov 30 ноября 2005 г. 01:59
Тема: Вода вытекает из цистерны

Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
Будет ли двигаться цистерна и куда?

Извините, если подобная задача обсуждалась. Задача взята из инета. Ответ не известен. У меня решение есть, но ему никто не верит. Хочу узнать мнение общественности.


Отклики на это сообщение:

> Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
> Будет ли двигаться цистерна и куда?

Я думаю, взлетит! Вода-то вниз вытекает!


> > Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
> > Будет ли двигаться цистерна и куда?

Предположим, длина цистерны 10м, масса пустой цистерны с колесами 20т, а воды в ней -60т.

Цистерна сдвинется приблизительно на 15м вперед и остановится, когда вода кончится. Для создания реактивной силы вода должна двигаться к отверстию с ускорением в горизонтальном направлении. Она так и движется: сначала ускоряется назад,затем движется равномерно, перед отверстием тормозится и опускается вниз. Легче подобный процесс представить на примере автобуса с выходящими из него через заднюю дверь пассажирами.
Масса автобуса 10т, Масса 60 пассажиров - 6т. Длина автобуса 10м. Пассажир отталкивается от пола, чтобы начать движение к двери, затем идет равномерно, у двери отталкивается от пола в противоположную сторону, чтобы остановиться, затем уходит вбок. Пока пассажир идет по полу автобуса назад со скоростью Vn, автобус движется вперед со скоростью Va=Vn*m/M. На какое расстояние сдвинется автобус за время выхода всех пассажиров?
Попробуйте решить эту задачу и мы узнаем конкретный ответ на Ваш вопрос.


> Предположим, длина цистерны 10м, масса пустой цистерны с колесами 20т, а воды в ней -60т.

> Цистерна сдвинется приблизительно на 15м вперед и остановится, когда вода кончится. Для создания реактивной силы вода должна двигаться к отверстию с ускорением в горизонтальном направлении. Она так и движется: сначала ускоряется назад,затем движется равномерно, перед отверстием тормозится и опускается вниз. Легче подобный процесс представить на примере автобуса с выходящими из него через заднюю дверь пассажирами.
> Масса автобуса 10т, Масса 60 пассажиров - 6т. Длина автобуса 10м. Пассажир отталкивается от пола, чтобы начать движение к двери, затем идет равномерно, у двери отталкивается от пола в противоположную сторону, чтобы остановиться, затем уходит вбок. Пока пассажир идет по полу автобуса назад со скоростью Vn, автобус движется вперед со скоростью Va=Vn*m/M. На какое расстояние сдвинется автобус за время выхода всех пассажиров?
> Попробуйте решить эту задачу и мы узнаем конкретный ответ на Ваш вопрос.

Вы упускаете из вида одну тонкость. Вода, вытекающая из движущейся цистерны обладает скоростью, равной скорости этой цистерны, и, следовательно, ненулевым импульсом. Если цистерна после вытекания воды стоит, то откуда в исходно неподвижной же системы взялся импульс воды?


Спасибо Арх за участие. Я рад, что цистерна всё-таки сдвинется. Но мне кажется, что она должна ещё начать двигаться в обратную сторону первоначального движения. Но давайте по порядку:

> Цистерна сдвинется приблизительно на 15м вперед и остановится, когда вода кончится
Какими факторами вы решили пренебречь, написав “приблизительно”?
Если задача решалась через закон сохранения центра масс, то в решении предполагалось, что вся вода вылилась в месте начала движения. Я думаю, это предположение недопустимо.

> Пока пассажир идет по полу автобуса назад со скоростью Vn, автобус движется вперед со скоростью Va=Vn*m/M.
Как я понял Va – скорость автобуса относительно земли, Vn – скорость пассажира относительно автобуса, M – масса автобуса, m – масса пассажира(ов?).
Во-первых: Скорость пассажира относительно земли в этом случае Vnz = (Vn – Va) и зависимость скоростей должно быть:
Va M = (Vn – Va) m
Во-вторых: как я понял, пассажир начинает движение после того, как предыдущий вышел? Тогда m-масса пассажира. Мне такая модель исходной задачи кажется не правильной. Т.к. распределение вышедших людей по пройденному пути будет другой, а значит и их центра масс. Если все пассажиры двинулись вместе (m-масса пассажиров), то задача абсолютно эквивалентна начальной. В чём смысл модели?


> Вы упускаете из вида одну тонкость. Вода, вытекающая из движущейся цистерны обладает скоростью, равной скорости этой цистерны, и, следовательно, ненулевым импульсом. Если цистерна после вытекания воды стоит, то откуда в исходно неподвижной же системы взялся импульс воды?

Именно поэтому я считаю, что в какой-то момент вагон вместе с остатками воды должен начать двигаться в обратном направлении. В каком состоянии останется вагон, когда вода вытекет для меня пока загадка.


Возьмем автобус большой длинны массой 10т. Пассажиры встали, оттолкнулись от пола с ускорением 1м/с/с за отрезок времени 1с и пошли к задней двери. Все они приобретут скорость относительно автобуса 1м/с. Автобус от их толчка приобретет скорость относительно дороги 1*6т/10т=0,6м/с, так будет продолжаться до тех пор, пока пассажиры не начнут тормозиться у двери, чтобы потом свернуть вбок. Тормозиться будут с ускорением минус 1м/с/с в течение 1с, то есть погасят свою скорость до 0 относительно автобуса. За этот же отрезок времени автобус тоже остановится, так как приобретет отрицательную скорость 0,6м/с. 0,6-0,6=0.
Теперь оценим время движения для длины автобуса 12м. На разгон и торможение уходит 2с и 1м длины. Последний пассажир сойдет с автобуса через
11/1 + 2 =13секунд. За 13 секунд автобус пройдет приблизительно 0,6*12/2=3,6м.
Почему делим на 2? Потому, что пассажиры разогнали автобус до 0,6м/с за секунду, а тормозить его до скорости 0 будут 12 секунд постепенно, по мере выхода очереди, тогда средняя скорость будет 0,3м/с. Чем длиннее автобус, тем дальше он уедет.
Подобная картина должна быти и с водой. Чтобы подкатьться к дырке вода должна оттолкнуться от цистерны, потом затормозиться и вылиться вертикально вниз. Конечно, не разом, а малыми порциями. Попробуйте сами посчитать, если воды вытекает по 1т в секунду. Воды 60т, Цистерна -20т, длиной 10м. За первую секунду вся вода двинулась к дырке, а потом по-очереди порции воды тормозятся около дырки. Время разгона и торможения, будем считать, 1с.


> > Вы упускаете из вида одну тонкость. Вода, вытекающая из движущейся цистерны обладает скоростью, равной скорости этой цистерны, и, следовательно, ненулевым импульсом. Если цистерна после вытекания воды стоит, то откуда в исходно неподвижной же системы взялся импульс воды?

> Именно поэтому я считаю, что в какой-то момент вагон вместе с остатками воды должен начать двигаться в обратном направлении. В каком состоянии останется вагон, когда вода вытекет для меня пока загадка.

Сначала в цистерне возникает несимметьричное течение воды к трубке. В результате цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (это видно либо из закона сохрпнения импульса, либо из неподвижности центра масс). В последние моменты времени, когда подтекание прекращается (вода исчерпывается), цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (видно из того же). Асимптотически при стремлениеи времени к бесконечности цистерна едет в одну сторону, а вода в другую (пусть пол бесконечно гладкий).



> Сначала в цистерне возникает несимметьричное течение воды к трубке. В результате цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (это видно либо из закона сохрпнения импульса, либо из неподвижности центра масс). В последние моменты времени, когда подтекание прекращается (вода исчерпывается), цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (видно из того же). Асимптотически при стремлениеи времени к бесконечности цистерна едет в одну сторону, а вода в другую (пусть пол бесконечно гладкий).

Предлагаю решить задачу с конкретными условиями. Так лучше виден ход рассуждений и можно надеяться на конечный результат.
Даны условия: Масса воды 60т, масса пустой цистерны 20т, длина цистерны 10м. расход воды 1тонна/сек. Через 60 секунд нужно знать: где окажется цистерна, куда движется или стоит? Вода будет между рельс.


> Автобус от их толчка приобретет скорость относительно дороги 1*6т/10т=0,6м/с
Опять призываю Вас оперировать скоростями относительно одной системы коорлинат. Давайте проверим закон сохранения импульса относительно земли:
В начальный момент времени вода и вогон покоятся. Импульс нулевой. После начала движения атобус имеет импульс 10т*0.6м/с. Пассажиры относительно земли имеют скорость 1м/с - 0.6м/с = 0.4м/с. Импульс 0.4м/с*6т никак не равен импульсу атобуса.

> Почему делим на 2? Потому, что пассажиры разогнали автобус до 0,6м/с за секунду, а тормозить его до скорости 0 будут 12 секунд постепенно

Я не уверен, что можно просто делить. Постепенно не значит равномерно.

Вы извените, что я не высказываю своих идей. Просто они ещё толком недоформировались и с математикой у меня слабовато.


> Автобус от их толчка приобретет скорость относительно дороги 1*6т/10т=0,6м/с
Опять призываю Вас оперировать скоростями относительно одной системы коорлинат. Давайте проверим закон сохранения импульса относительно земли:
В начальный момент времени вода и вогон покоятся. Импульс нулевой. После начала движения атобус имеет импульс 10т*0.6м/с. Пассажиры относительно земли имеют скорость 1м/с - 0.6м/с = 0.4м/с. Импульс 0.4м/с*6т никак не равен импульсу атобуса.

> Почему делим на 2? Потому, что пассажиры разогнали автобус до 0,6м/с за секунду, а тормозить его до скорости 0 будут 12 секунд постепенно

Я не уверен, что можно просто делить. Постепенно не значит равномерно.

Вы извените, что я не высказываю своих идей. Просто они ещё толком недоформировались и с математикой у меня слабовато.


> > Автобус от их толчка приобретет скорость относительно дороги 1*6т/10т=0,6м/с
> Опять призываю Вас оперировать скоростями относительно одной системы коорлинат. Давайте проверим закон сохранения импульса относительно земли:
> В начальный момент времени вода и вогон покоятся. Импульс нулевой. После начала движения атобус имеет импульс 10т*0.6м/с. Пассажиры относительно земли имеют скорость 1м/с - 0.6м/с = 0.4м/с. Импульс 0.4м/с*6т никак не равен импульсу атобуса.

Давайте все относительно земли. За 1 с пассажиры разом оттолкнулись и приобрели скорость 1м/с относительно земли, ускорение их было 1м/с/с, сила 1*6000=6000Н. Сила действия равна силе реакции. Автобус из-за реактивной силы 6000Н приобретет ускорение 6000/10000=0,6м/с/с и скорость 6м/с/с*1=0,6м/с.
Импульсы относительно земли автобуса и пассажиров равны: 1*6000=0,6*10000
Скорость пассажиров относительно автобуса 1,6м/с. Разобъем пассажиров на 10 групп по 6 чел. Равномерно, через каждую секунду, 10 групп будут тормозить автобус импульсами. Тормозятся первые 6 пассажиров с ускорением 1,6м/с/с относительно земли в течении 1с, чтобы относительно автобуса иметь скорость 0. Заметьте, ускорения одинаковы относительно любых систем, движущихся с постоянной скоростью. Скорость автобуса уменьшится на 1,6*600/10000=0,096м/с, втрая группа с ускорением 1,5, скор.авт ум. на 0,09 , третья - 1,4 и т.д. Если хотите, считайте дальше. Через 7 секунд последняя группа с ускорением 0,16 уменьшит скорость автобуса на 0,0096 и сойдет с остановившегося автобуса.
Я, честно говоря, точно не хочу считать, поэтому оговариваюсь: приблизительно. Просто муторно считать и писать так долго.


>
> > Сначала в цистерне возникает несимметьричное течение воды к трубке. В результате цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (это видно либо из закона сохрпнения импульса, либо из неподвижности центра масс). В последние моменты времени, когда подтекание прекращается (вода исчерпывается), цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (видно из того же). Асимптотически при стремлениеи времени к бесконечности цистерна едет в одну сторону, а вода в другую (пусть пол бесконечно гладкий).

> Предлагаю решить задачу с конкретными условиями. Так лучше виден ход рассуждений и можно надеяться на конечный результат.
> Даны условия: Масса воды 60т, масса пустой цистерны 20т, длина цистерны 10м. расход воды 1тонна/сек. Через 60 секунд нужно знать: где окажется цистерна, куда движется или стоит? Вода будет между рельс.

Вот Вы считаете, и у Вас получается, что цистерна в конце стоит. Почему? Как с законом сохранения импульса или неподвижности центра масс?


> Скорость автобуса уменьшится на 1,6*600/10000=0,096м/с

Сейчас основная притензаия к решению состоит в том, что первая группа пассажиров тормозит не только автобус, но и оставшихся пассажиров



> > Предлагаю решить задачу с конкретными условиями. Так лучше виден ход рассуждений и можно надеяться на конечный результат.
> > Даны условия: Масса воды 60т, масса пустой цистерны 20т, длина цистерны 10м. расход воды 1тонна/сек. Через 60 секунд нужно знать: где окажется цистерна, куда движется или стоит? Вода будет между рельс.

> Вот Вы считаете, и у Вас получается, что цистерна в конце стоит. Почему? Как с законом сохранения импульса или неподвижности центра масс?

Я приблизительно оценил характер движения. Рашая конкретную задачу, нужно уточнить это предположение. Попробуйте, чтобы не я один "упирался".


Вот такой вот у меня вырос ИМХО.

Пусть длина цистерны = L, ее полная масса с водой в момент времени t равна M(t), а горизонтальная скорость движения = V(t). С точки зрения инерциальной системы ИСО(Т), привязанной к цистерне в какой-то момент времени t=T, внутри цистерны имеется поток воды, направленный против скорости V(t). Для расчета импульса можно считать, что поток не затрагивает глубинные слои воды, а только перемещает за небольшое время dt верхний слой воды массой -dM(t) назад (к краю цистерны), сдвигая центр масс этой порции на расстояние L/2. Соответствующий импульс воды в ИСО(Т) равен
P_внутр = (-dM)*(-L/2)/dt = L/2 * dM/dt.
При этом и импульс цистерны с остающейся водой, и (горизонтальный) импульс выбрасываемой воды равны нулю.

В неподвижной ИСО = ИСО(0) импульс "цистерны + воды внутри" равен
M(t)*V(t) + P_внутр(t) = M(t)*V(t) + (L/2)*dM(t)/dt,
а импульс воды снаружи определяется интегралом от -dM(t)*V(t) на интервале времени от 0 до t.

Так как внешних горизонтальных сил, приложенных к системе, нет, то полный импульс остается нулевым. Дифференциал полного импульса равен
d(M(t)*V(t) + L/2*dM(t)/dt) - dM(t)*V(t) =0.
Или
dV(t) = -L/2 / M(t) * d(dM(t)/dt).

Получающаяся итоговая скорость цистерны V(t) и ее перемещение X(t) = интеграл от V(t)*dt зависят от графика расхода воды. Самый простой вариант для обсчета - это вариант с постоянной величиной расхода воды
-dM/dt = M' = (M1-M2)/T > 0
(представьте себе наличие на цистерне небольшого насоса на аккумуляторе).
Здесь M1 и M2 - начальная и конечная масса цистерны с водой, а Т - время расхода воды.
Тогда (глядим на уравнение для dV и выписываем его решение):

сразу после включения насоса скорость цистерны подпрыгивает до
V1 = L/2 / M1 * M' = L/2 * (M1-M2)/(M1*T)> 0.
Эта скорость остается постоянной вплоть до выключения насоса, когда она опять рывком скачет в
V2 = V1 - L/2 / M2 * M' = -L/2 * (M1-M2)^2 / (M1*M2*T) < 0.
Скорость V2 отрицательна, потому что вода массы M1-M2, вылитая по дороге, имела положительную скорость V1. Работает баланс импульса:
(M1-M2)*V1 + M2*V2 = 0.

Перемещение цистерны за время T равно
X(T) = V1*Т = L/2 * (M1-M2)/M1.
Перемещение же за бесконечное время равно минус бесконечности.

Естественно, при другом графике расхода воды ответы будут слегка другие.


> > Скорость автобуса уменьшится на 1,6*600/10000=0,096м/с

> Сейчас основная притензаия к решению состоит в том, что первая группа пассажиров тормозит не только автобус, но и оставшихся пассажиров

Мне считать надоело, попробуйте сами. Не мне же одному упираться!


> Вот такой вот у меня вырос ИМХО.

> Перемещение цистерны за время T равно
> X(T) = V1*Т = L/2 * (M1-M2)/M1.
> Перемещение же за бесконечное время равно минус бесконечности.
> Естественно, при другом графике расхода воды ответы будут слегка другие.

Спасибо, Доктор, за расчеты! Я предположил, что цистерна сдвинется приблизительно на половину своей длины и остановится, когда кончится вода. По вашей формуле видно, что так и есть: когда М1-М2=М, Х=L/2. при соотношении масс воды и самой цистерны 3/1.
Более простой аналог рассматривался с автобусом и выходящими из него через заднюю дверь пассажирами. Стоит автобус, пассажиры встали и все сгрудились за время Т в точке около задней двери. За это время они одним импульсом разогнали автобус и последовательными импульсами его затормозили. Так как каждый пассажир затратил одинаковые положительный и отрицательный импульс, то в итоге автобус и все пассажиры в точке у двери окажутся неподвижными. Далее пассажиры выходят на улицу в перпендикулярном направлении к оси допустимого перемещения автобуса. В исходном положении общий центр масс был в центре симметрии, то есть в середине автобуса. В конечном положении он должен переместиться приблизительно на четверть длины автобуса при равенстве масс пассажиров и самого автобуса.
Таким вот образом я пытался решить задачу, не пользуясь громоздкими вычислениями.


> >
> > > Сначала в цистерне возникает несимметьричное течение воды к трубке. В результате цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (это видно либо из закона сохрпнения импульса, либо из неподвижности центра масс). В последние моменты времени, когда подтекание прекращается (вода исчерпывается), цистерна начинает двигаться в противоположную сторону (видно из того же). Асимптотически при стремлениеи времени к бесконечности цистерна едет в одну сторону, а вода в другую (пусть пол бесконечно гладкий).

> > Предлагаю решить задачу с конкретными условиями. Так лучше виден ход рассуждений и можно надеяться на конечный результат.
> > Даны условия: Масса воды 60т, масса пустой цистерны 20т, длина цистерны 10м. расход воды 1тонна/сек. Через 60 секунд нужно знать: где окажется цистерна, куда движется или стоит? Вода будет между рельс.

> Вот Вы считаете, и у Вас получается, что цистерна в конце стоит. Почему? Как с законом сохранения импульса или неподвижности центра масс?

Чтобы не мучиться с вычислениями, я провел аналогию с автобусом. Пассажиры выходят из него через заднюю дверь. В исходном положении автобус неподвижен. Пассажиры выходят по-очереди. Каждый пассажир тратит одинаковый импульс на разгон и торможение, тогда автобус будет сдвигаться на конечное расстояние в такт движения пассажира, каждый пассажир выходит из неподвижного автобуса. При таком сценарии пассажиры выстроются, пусть не равномерной, ширенгой сзади автобуса на тротуаре, так как автобус каждый раз смещался на некоторое расстояние. Хотя можно представить, что пассажиры дружно делают перемещения на 1шаг и останавливаются. Так очередь будет равномерно расходоваться по времени. И общий имульс сохраняться будет.


> > Вот Вы считаете, и у Вас получается, что цистерна в конце стоит. Почему? Как с законом сохранения импульса или неподвижности центра масс?

> Я приблизительно оценил характер движения. Рашая конкретную задачу, нужно уточнить это предположение. Попробуйте, чтобы не я один "упирался".

Видите ли, когда-то (давно) я считал. Сейчас формулы писать неохота. Ответ я сказал. Что касается Вашей приблизительной оценки, то она дает грубую ошибку - нарушает законы сохранения...
Давайте еще раз по физике (формулы примитивны). Для определенности возьмем следующую конструкцию трубки (с ее помощью я визуализирую то подтекание, о котром говорил выше). Она идет из центра дна цистерны вниз, потом поворачивает, скажем, влево, идет горизонтально на какую-то длину, а потом снова поворачивает вниз (чтобы обеспечить вытекание воды со скоростью, совпадающей со скоростью цистерны). Нетрудно видеть, что такая конструкция соответствует всем особенностям исходной. Когда начинается вытекание, вода в горизонтальном участке трубке приобретает импульс, направленный влево, а цистерна - вправо. Относительно неподвижного наблюдателя цистерна едет вправо, вытекающая вниз вода - тоже вправо, а вода в трубке - влево. Имеют место баланс импульса и неподвижность центра масс. Равномерное движение сохраняется в течение всего процесса до тех пор пока горизонтальная трубка заполнена. В ней иммет мето баланс - вновь попадающие порции воды приобретают импульс, а вытекающие - отдают. Когда приокончательном выливании количество воды в трубке начнет уменьшаться, баланс нарушится (импульс влево начнет уменьшаться, или разворот воды вниз перестанет компенсироваться новыми порциями). В результате цистерна остановится и повернет назад. После вытекания всей воды имеем ситуацию, когда вода движется вправо, а цистерна влево. Только в этом случае имеем неподвижный цт и нулевой импульс.


> Таким вот образом я пытался решить задачу, не пользуясь громоздкими вычислениями.

Жаль, что мое вычисление кажется громоздким. Может быть, не стоило писать формулы, годящиеся для произвольного графика расхода воды M'... Но на самом деле суть очень простая:

а) При открытии крана вода начинает двигаться отсносительно цистерны, приобретая отрицательный импульс P = -(L/2)*M';
б) Соответственно цистерна приобретает положительный импульс -P = M1*V1.
Этим определяется скорость цистерны V1

в) При закрытии крана импульс воды Р пропадет;
г) Соответственно этот импульс переходит к цистерне: P = M2*(V2-V1).
Этим определяется конечная скорость цистерны V2.


> > > Вот Вы считаете, и у Вас получается, что цистерна в конце стоит. Почему? Как с законом сохранения импульса или неподвижности центра масс?

> > Я приблизительно оценил характер движения. Рашая конкретную задачу, нужно уточнить это предположение. Попробуйте, чтобы не я один "упирался".

> Видите ли, когда-то (давно) я считал. Сейчас формулы писать неохота. Ответ я сказал. Что касается Вашей приблизительной оценки, то она дает грубую ошибку - нарушает законы сохранения...
> Давайте еще раз по физике (формулы примитивны). Для определенности возьмем следующую конструкцию трубки (с ее помощью я визуализирую то подтекание, о котром говорил выше). Она идет из центра дна цистерны вниз, потом поворачивает, скажем, влево, идет горизонтально на какую-то длину, а потом снова поворачивает вниз (чтобы обеспечить вытекание воды со скоростью, совпадающей со скоростью цистерны). Нетрудно видеть, что такая конструкция соответствует всем особенностям исходной. Когда начинается вытекание, вода в горизонтальном участке трубке приобретает импульс, направленный влево, а цистерна - вправо. Относительно неподвижного наблюдателя цистерна едет вправо, вытекающая вниз вода - тоже вправо, а вода в трубке - влево. Имеют место баланс импульса и неподвижность центра масс. Равномерное движение сохраняется в течение всего процесса до тех пор пока горизонтальная трубка заполнена. В ней иммет мето баланс - вновь попадающие порции воды приобретают импульс, а вытекающие - отдают. Когда приокончательном выливании количество воды в трубке начнет уменьшаться, баланс нарушится (импульс влево начнет уменьшаться, или разворот воды вниз перестанет компенсироваться новыми порциями). В результате цистерна остановится и повернет назад. После вытекания всей воды имеем ситуацию, когда вода движется вправо, а цистерна влево. Только в этом случае имеем неподвижный цт и нулевой импульс.

Я одним сообщением выше описал схему с автобусом, в 22-45, очень похожая с Вашей. Тоже без формул. У Вас тоже все просто и понятно. С трубкой логично получается. Без формул. В самом начале тоже не компенсированный импульс получается, пока вода не достигнет второго поворота, из-за этого цистерна начнет двигаться, а в конце, как Вы описали, некомпенсированный импульс будет направлен в противоположную сторону. Он остановит цистерну, так как по модулю равен самому первому. Может Вас смущает, что вода льется из движущейся цистерны и потому ее надо как-то остановить, чтобы сохранить нулевой импульс? Так она на земле набегает на упавшую перед не воду и вынуждена взбираться вверх, тем самым гасит свой горизонтальный импульс.


> > Таким вот образом я пытался решить задачу, не пользуясь громоздкими вычислениями.

> Жаль, что мое вычисление кажется громоздким. Может быть, не стоило писать формулы, годящиеся для произвольного графика расхода воды M'... Но на самом деле суть очень простая:

> а) При открытии крана вода начинает двигаться отсносительно цистерны, приобретая отрицательный импульс P = -(L/2)*M';
> б) Соответственно цистерна приобретает положительный импульс -P = M1*V1.
> Этим определяется скорость цистерны V1

> в) При закрытии крана импульс воды Р пропадет;
> г) Соответственно этот импульс переходит к цистерне: P = M2*(V2-V1).
> Этим определяется конечная скорость цистерны V2.

В самом начале темы стоял главный вопрос: будет ли цистерна двигаться? Решили, что будет. Центр масс останется на месте, так как вода окажется справа от него, а цистерна -слева. Остался последний вопрос: остановится ли цистерна? У меня получается, что остановится, КС посчитал, что двинется в сторону прежней позиции. У Вас конечная скорость указана, но направление не указано. Дальше поедет или обратно?



> В самом начале темы стоял главный вопрос: будет ли цистерна двигаться? Решили, что будет. Центр масс останется на месте, так как вода окажется справа от него, а цистерна -слева. Остался последний вопрос: остановится ли цистерна? У меня получается, что остановится, КС посчитал, что двинется в сторону прежней позиции. У Вас конечная скорость указана, но направление не указано. Дальше поедет или обратно?

Поедет обратно, ибо V2<0. Это если по формулам.
А если по простому... Поедет обратно потому, что вода из вперед движущейся цистерны льется тоже вперед. И центр масс вылившейся воды тоже движется вперед. А общий центр масс стоит на месте. Значит пустая цистерна едет назад.


> Не мне же одному упираться!
Согласен

1) Упростим задачу:
В автобусе массой M находятся пассажиры массой m(t). t – время. Они вместе с одной скоростью относительно вагона V`п(t) движутся к концу автобуса (“`” означает относительно вагона). Дойдя до конца автобуса, они выпрыгивают из автобуса так, что остаются неподвижными относительно земли. Найти насколько передвинется автобус.

Замечу, что m(t) и V`п(t) определяют начальное распределение пассажиров в автобусе.

Дополнительные обозначения:
Va(t) – скорость автобуса.
Vп(t) – скорость пассажиров относительно земли.

Скорости везде векторные величины.

Запишем закон сохранения импульса:
Импульс автобуса + импульс пассажиров в автобусе + импульс пассажиров на земле = 0.

Импульс пассажиров на земле равен 0.

(1) Va(t) * M + Vп(t) * m(t) = 0
(2) Vп(t) = Va(t) + V`п(t)

Откуда находим:

(3) Va(t) = - V`п(t) * m(t) / (m(t) + M)

Знак “-” говорит, скорости обратные.
Замечание 8: Из формулы видно, что при M = 0, скорость вагона точно равна скорости пассажиров. Т.е. как бы разгонялись-тормозили пассажиры, вагон просто уйдёт у них из-под ног, а пассажиры останутся на своём месте. Что разумно.

Рассмотрим случай, когда пассажиры идут по автобусу идут равномерно,
(4) V`п(t) = L/T
равно интервально выходя.
(5) m(t) = m0 – m0*t/T
Это возможно только в случае, когда пассажиры равномерно распределились. Длинна автобуса (точнее очереди) L, весь процесс выхода занимает время T.
подставляем в (3):

(6) Va(t) = - L/T * (m0*T – m0*t) / ((m0 + M)*T – m0*t)

видно, что при t = T, автобус остановится. Что есть хорошо.

(7) S = интеграл(от 0 до T) Va(t)*dt

Вот интеграл я взять не могу, извиняйте. Даже не скажу берётся ли он. Если кто имеет какие мысли на его счёт – ответьте. Я думаю, что T не должно участвовать в ответе.

2) Теперь рассмотрим модель, когда пассажиры стоят по центру вагона по одному отправляются к концу автобуса, когда предыдущий выпрыгивает. Выпрыгивают из автобуса так, что остаются неподвижными относительно земли.

В этом случае двигающий импульс всегда состоит из одного пассажира. Понятно, что автобус будет разгоняться, т.к. масса автобуса и неподвижных пассажиров в автобусе уменьшается. Максимальную скорость автобус будет иметь при последнем пассажире.
Замечание 9:Это я к тому, что не надо пугаться, что формула покажет, что автобус разгоняется, а в конце не остановится. Я долго комплексовал по этому поводу.
Конечный ответ не будет равен ответу 1-ой модели в общем случае. Пример - при M = 0 пассажиры переместятся в случае 2 и не переместятся в случае 1 (Замечание 8).

3) Перейдём к воде. Вода вытекает из вагона так, что остаётся неподвижной относительно земли.
За время dt ветекло dm килограмм воды. dt мало. Допустим зависимость m(t)(скорость вытекания воды dm/dt) будем считать известной.

Можно считать, что верхний слой воды dm за время dt из середины автобуса переместился к концу на расстояние L/2, вся остальная вода стояла относительно автобуса. Центр массы всей воды переместился на

(10) dSводы(пассажиров)(t) = L/2 * dm / (dm + m(t)) ~~ L/2 * dm/m(t)

это произошло за время dt:

(11) V`п(t) = L/2/m(t) * dm/dt

здесь надо подумать над знаком скорости. При вытекании воды dm/dt < 0, V`п(t) должно быть отрицательным. Знак “-” не ставим.
Из (11) следует для того, чтобы обеспечить вытекание воды из вагона со скоростью dm/dt вода должна перемещаться к концу вагона с импульсом

(12) P`п(t) = V`п(t)* m(t) = L/2 * dm/dt.

Не зависит от оставшейся массы воды, времени, только от скорости истекания воды. 12 есть импульс верхней части воды dm относительно вагона.
Если заменить слои воды пассажирами в центре автобуса, придём к модели 2. Так что не надо удивляться, если автобус разгонится.

Закон сохранения импульса:

(12.1) M*Va + m(t)*( Va + L/2/m(t)*dm/dt ) = 0.

Откуда получился ответ:

(13) Va = - L/2/(M + m(t)) * dm/dt

При вытекании воды dm/dt < 0, Va > 0. Что есть правильно.
При равномерном вытекании воды m(t) = m0 – m0*t/T:

14) Va(t) = L/2 * m0/((M + m0)*T – m0*t)

т.е. автобус разгоняется. Как проверить формулу я не знаю. Единственное, что радует - при нулевой начальной массе воды автобус не сдвинется.

(15) Sa = интеграл(от 0 до T) Va(t)dt

интеграл взять не могу.

Жду замечаний. Интересно посчитать, что произойдёт, если вода будет покидать автобус со скоростью автобуса.


> Может Вас смущает, что вода льется из движущейся цистерны и потому ее надо как-то остановить, чтобы сохранить нулевой импульс? Так она на земле набегает на упавшую перед не воду и вынуждена взбираться вверх, тем самым гасит свой горизонтальный импульс.
Очень смущает. Для того, чтобы погасить свой горизонтальный импульс вода должна оттолкнуться(толкнуть) что-то в горизонтальном направлении. Пока я не понял как две части воды провзаимодействовав без посторонних сил погасили свои однонаправленные импульсы.


> Значит пустая цистерна едет назад.
Скорее всего так и будет, но теоретически возможен вариант, что цистерна с остатками воды ехав(или едя?)назад может выплеснуть назад воды столько, что ей придётся ехать вперёд :) Посчитать надо.


> > Значит пустая цистерна едет назад.
> Скорее всего так и будет, но теоретически возможен вариант, что цистерна с остатками воды ехав(или едя?)назад может выплеснуть назад воды столько, что ей придётся ехать вперёд :) Посчитать надо.
Цистерна остановится, спустит воду. И только потом поедет назад. Не поедет цистерна снова вперёд.


> Вот такой вот у меня вырос ИМХО.
Хорошее имхо. Я полностью поддерживаю. Мне сначала показалось, что цистерна должна тормозится при равномерном истечении воды, т.к. отдаёт импульс истекающей воде. На самом деле, вытекшая вода продолжает движение с той же скоротью что и цистерна. Цистерна компенсирует потерю импульса потерей маассы.


> Я одним сообщением выше описал схему с автобусом, в 22-45, очень похожая с Вашей. Тоже без формул. У Вас тоже все просто и понятно. С трубкой логично получается. Без формул. В самом начале тоже не компенсированный импульс получается, пока вода не достигнет второго поворота, из-за этого цистерна начнет двигаться, а в конце, как Вы описали, некомпенсированный импульс будет направлен в противоположную сторону. Он остановит цистерну, так как по модулю равен самому первому. Может Вас смущает, что вода льется из движущейся цистерны и потому ее надо как-то остановить, чтобы сохранить нулевой импульс? Так она на земле набегает на упавшую перед не воду и вынуждена взбираться вверх, тем самым гасит свой горизонтальный импульс.

Вы это, извините, всерьез? Тогда Ваша проблема в том, что Вы не понимаете закона сохранения импульса...


> Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
> Будет ли двигаться цистерна и куда?

Мне кажется, что вагон вообще никуда не поедет. В конечном итоге останется на на месте. Хотя какие-то колебания туда-сюда во время вытекания воды могут случиться.


> Скорее всего так и будет, но... Посчитать надо.

У нас все ходы записаны. Все посчитано.


> > Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
> > Будет ли двигаться цистерна и куда?

> Мне кажется, что
вагон вообще никуда не поедет.
> В конечном итоге останется на на месте. Хотя какие-то колебания туда-сюда во время вытекания воды могут случиться.


До.



> Вы это, извините, всерьез? Тогда Ваша проблема в том, что Вы не понимаете закона сохранения импульса...

Принцип соблюдения этого закона простой: сколько дал - ровно столько же забери обратно. Стоит автобус, в нем стоят пассажиры во всю длину автобуса. Масса людей равна массе пустого автобуса. Первый пассажир выходит из автобуса через заднюю боковую дверь. Так как он движется перпендикулярно оси допустимого смещения автобуса, то автобус останется стоять на месте. Согласны? Остальные пассажиры дружно передвинулись на шаг и остановились. Автобус тоже сдвинется на шаг и остановится. Второй пассажир выходит перпендикулярно оси движения автобуса. И так повторится столько раз, сколько было пассажиров. Последний пассажир сдвинется на шаг и остановится. Потом выйдет, как и предыдущие, препендикулярно оси движения. Автобус приобретет скорость? Нет. Как и в предыдущих шагах. Где Вы нашли противоречие закону сохранения импульса?
На какое расстояние сместится автобус - другой вопрос.


>
> > Вы это, извините, всерьез? Тогда Ваша проблема в том, что Вы не понимаете закона сохранения импульса...

> Принцип соблюдения этого закона простой: сколько дал - ровно столько же забери обратно. Стоит автобус, в нем стоят пассажиры во всю длину автобуса. Масса людей равна массе пустого автобуса. Первый пассажир выходит из автобуса через заднюю боковую дверь. Так как он движется перпендикулярно оси допустимого смещения автобуса, то автобус останется стоять на месте. Согласны? Остальные пассажиры дружно передвинулись на шаг и остановились. Автобус тоже сдвинется на шаг и остановится. Второй пассажир выходит перпендикулярно оси движения автобуса. И так повторится столько раз, сколько было пассажиров. Последний пассажир сдвинется на шаг и остановится. Потом выйдет, как и предыдущие, препендикулярно оси движения. Автобус приобретет скорость? Нет. Как и в предыдущих шагах. Где Вы нашли противоречие закону сохранения импульса?
> На какое расстояние сместится автобус - другой вопрос.

Давайте все-таки про цистерну (про автобус мне неинтересно, ибо в зависимости от детелей задача может отличаться от исходной). Противоречие с законом сохранения заключается в том, что уже вытекшая вода по-Вашему "тратит" импульс на подъем. Мне, кстати, вообще неинтересно. что происходит с водой за пределами цистерны. Баланс импульса от этого не зависит.
Вы согласны, что в моем изложении цистерна сначала движется направо, а потом налево (и это движение длится бесконечно)?


> > Не мне же одному упираться!
> Согласен

> Жду замечаний. Интересно посчитать, что произойдёт, если вода будет покидать автобус со скоростью автобуса.

Свою лепту Вы внесли. Но очень сложная теория получилась. Большая вероятность допустить ошибку. Я выпускал пассажиров из автобуса по-одному, автобус смещался импульсивно, то есть так, чтобы во время выхода пассажира он стоял на месте. Максимальная скорость получилась в начале, когда почти вся масса пассажиров перемещалась к выходу, а затем скорость уменьшалась до О. Но скорость не непрерывная, а как отношение очередного перемещения автобуса к постоянному интервалу времени. Не применил ни одной формулы, кроме mv-mv=0. И то, кажется, ни кого не убедил. А уж с водой тем более. Приходится доказывать даже такое: при уменьшении скорости цистерны струя воды искривляется так, что падает на землю вертикально.



> Давайте все-таки про цистерну (про автобус мне неинтересно, ибо в зависимости от детелей задача может отличаться от исходной). Противоречие с законом сохранения заключается в том, что уже вытекшая вода по-Вашему "тратит" импульс на подъем. Мне, кстати, вообще неинтересно. что происходит с водой за пределами цистерны. Баланс импульса от этого не зависит.
> Вы согласны, что в моем изложении цистерна сначала движется направо, а потом налево (и это движение длится бесконечно)?

В примере с автобусом подсчет дискретный и перемещение имеет конечное значение. Видно, что скорость автобуса максимальна вначале, затем уменьшается, приближаясь к 0. С автобусом хоть можно четко представить куда смещается масса, можно представить многоэтажный автобус. А с водой вообще трудно кого-либо убедить. Большинство скажут: ни куда цистерна не поедет. Центр масс воды только опускается вниз и все. С Вашими формулами я лично согласен, а что на самом деле будет, на опыте, не совсем ясно. Если прикидывать грубо, вода пусть в течении 3 секунд выльется.


> В примере с автобусом подсчет дискретный и перемещение имеет конечное значение. Видно, что скорость автобуса максимальна вначале, затем уменьшается, приближаясь к 0. С автобусом хоть можно четко представить куда смещается масса, можно представить многоэтажный автобус. А с водой вообще трудно кого-либо убедить. Большинство скажут: ни куда цистерна не поедет. Центр масс воды только опускается вниз и все. С Вашими формулами я лично согласен, а что на самом деле будет, на опыте, не совсем ясно. Если прикидывать грубо, вода пусть в течении 3 секунд выльется.

Извините, я не понял. С одной стороны согласны, с другой нет? Мы вроде с Вами разговариваем, причем здесь большинство? Вы все-таки определитесь.
Ладно, одно замечание по поводу Вашего автобуса. Достаточно, чтобы к выходу одновременно двигалось по крайней мере 2 человека (в случае воды их как бы много), чтобы первый выходящий прыгал из ДВИЖУЩЕГОСЯ автобуса, то есть уносил ненулевой импульс. В эжтом вся соль задачи - вода вытекает из движущейся цистерны.



> Извините, я не понял. С одной стороны согласны, с другой нет? Мы вроде с Вами разговариваем, причем здесь большинство? Вы все-таки определитесь.
> Ладно, одно замечание по поводу Вашего автобуса. Достаточно, чтобы к выходу одновременно двигалось по крайней мере 2 человека (в случае воды их как бы много), чтобы первый выходящий прыгал из ДВИЖУЩЕГОСЯ автобуса, то есть уносил ненулевой импульс. В эжтом вся соль задачи - вода вытекает из движущейся цистерны.

Не знаю. В формулах достаточно одной ошибочки - и вся теория испорчена. Вода вытекает не с постоянным расходом, так как силу тяготения не отменить, иначе и вода не потечет. Если, как у Вас, ускорение действует только в самом начале, то нужно точно знать его значение для расхода по формуле S(pgh)^0,5, сохранится ли постоянной скорость цистерны, если расход падает. А то получается, что цистерна с водой движется вперед и вода, вытекающая из нее, продолжает двигаться вперед. Какая-то антиреактивная система. Откуда полновесный импульс, компенсирующий первоначальный, взять, когда вода еле течь будет. Это я не в критику Вашей схемы, а задаю вопросы, на которые сам не знаю ответа. С автобусом все просто. Каждый шаг просчитывается. Не важно, что с остановками, но условие - выходить из автобуса через заднюю дверь и строго перпендикулярно - соблюдено.


> Не знаю. В формулах достаточно одной ошибочки - и вся теория испорчена. Вода вытекает не с постоянным расходом, так как силу тяготения не отменить, иначе и вода не потечет. Если, как у Вас, ускорение действует только в самом начале, то нужно точно знать его значение для расхода по формуле S(pgh)^0,5, сохранится ли постоянной скорость цистерны, если расход падает. А то получается, что цистерна с водой движется вперед и вода, вытекающая из нее, продолжает двигаться вперед. Какая-то антиреактивная система. Откуда полновесный импульс, компенсирующий первоначальный, взять, когда вода еле течь будет. Это я не в критику Вашей схемы, а задаю вопросы, на которые сам не знаю ответа. С автобусом все просто. Каждый шаг просчитывается. Не важно, что с остановками, но условие - выходить из автобуса через заднюю дверь и строго перпендикулярно - соблюдено.

Я именно намеренно не писал формул, которые тривиальны. Про "антиреактивную" силу все сказал, читайте внимательно. Извините, Вы за деревьями не видите леса. Нужна постоянная скорость вытекания? Пожалуйста, считайте, что работает "наддув", обеспечивающий постоянное большое давление внутри цистерны. Но, вообще, извините, я не вижу смысла в дальнейшем обсуждении, поскольку (с моей точки зрения) позиции у Вас нет. Подумайте еще раз, пусть все происходит с переменной скоростью, пусть формулы очень сложные, НО внутри цистерны осуществляется "подток" к несимметричной трубке, т.е. у какой-то части воды есть "левый" импульс. Стало быть, у цистерны должен быть "правый", т.е. она движется и выливающаяся вода его уносит. Все, извините еще раз.


> > Не знаю. В формулах достаточно одной ошибочки - и вся теория испорчена. Вода вытекает не с постоянным расходом, так как силу тяготения не отменить, иначе и вода не потечет. Если, как у Вас, ускорение действует только в самом начале, то нужно точно знать его значение для расхода по формуле S(pgh)^0,5, сохранится ли постоянной скорость цистерны, если расход падает. А то получается, что цистерна с водой движется вперед и вода, вытекающая из нее, продолжает двигаться вперед. Какая-то антиреактивная система. Откуда полновесный импульс, компенсирующий первоначальный, взять, когда вода еле течь будет. Это я не в критику Вашей схемы, а задаю вопросы, на которые сам не знаю ответа. С автобусом все просто. Каждый шаг просчитывается. Не важно, что с остановками, но условие - выходить из автобуса через заднюю дверь и строго перпендикулярно - соблюдено.

> Я именно намеренно не писал формул, которые тривиальны. Про "антиреактивную" силу все сказал, читайте внимательно. Извините, Вы за деревьями не видите леса. Нужна постоянная скорость вытекания? Пожалуйста, считайте, что работает "наддув", обеспечивающий постоянное большое давление внутри цистерны. Но, вообще, извините, я не вижу смысла в дальнейшем обсуждении, поскольку (с моей точки зрения) позиции у Вас нет. Подумайте еще раз, пусть все происходит с переменной скоростью, пусть формулы очень сложные, НО внутри цистерны осуществляется "подток" к несимметричной трубке, т.е. у какой-то части воды есть "левый" импульс. Стало быть, у цистерны должен быть "правый", т.е. она движется и выливающаяся вода его уносит. Все, извините еще раз.

Если бы схема с автобусом, то в непрерывным процессе я ни за что зацепиться бы не смог. За уносимый с выливающейся водой из движущейся цистерны было заплачено самым первым ипульсом. Представьте: толкнули цистерну, она покатилась вместе с оставшейся водой. Потому и скорость будет маленькой: порция воды объемом с Вашу трубку должна толкнуть всю оставшуюся массу. Дальше вода в цистерне движется по инерции и имульса не тратит. То есть выливающаяся вода уносит свой " законный" импульс, приобретенный в первом толчке. Заключительный импульс Вы посчитали с учетом массы пустой цистерны и он окажется больше первого. Тут я не знаю. В первом F*t больше, так как давление давление воды больше, в последнем давление меньше, но зато и толкаемая масса меньше. Может быть один фактор другого компенсирует? Давление пропорционально массе воды в цистерне, насос не желательно подключать. Иначе как задачу 300 лет назад решали бы?


Eta zadacha byla v kakom-to zadachnike (po-moemu Kozel). Cisterna poedet snachala v odnu storonu, a potom v druguju.

My etu zadachu kak-to na olimpiade MFTI shkol'nikam v Kieve davali.


> Если бы схема с автобусом, то в непрерывным процессе я ни за что зацепиться бы не смог. За уносимый с выливающейся водой из движущейся цистерны было заплачено самым первым ипульсом. Представьте: толкнули цистерну, она покатилась вместе с оставшейся водой. Потому и скорость будет маленькой: порция воды объемом с Вашу трубку должна толкнуть всю оставшуюся массу. Дальше вода в цистерне движется по инерции и имульса не тратит. То есть выливающаяся вода уносит свой " законный" импульс, приобретенный в первом толчке. Заключительный импульс Вы посчитали с учетом массы пустой цистерны и он окажется больше первого. Тут я не знаю. В первом F*t больше, так как давление давление воды больше, в последнем давление меньше, но зато и толкаемая масса меньше. Может быть один фактор другого компенсирует? Давление пропорционально массе воды в цистерне, насос не желательно подключать. Иначе как задачу 300 лет назад решали бы?

Причем тут реактивная сила:). Обычная задача на вычисление положения центра масс и не более. Вода вытекла, центр массы воды известен по положению трубки
изначальный центр массы системы вода + цистерна тоже. Все очевидно.
Если хочется найти динамику этого процесса через силы от времени. То надо учитывать все что не поподя начиная от процесса ытекания воды из трубки кончая поверхностным натяжением воды. И зачем оно надо?

В принципе зная расход воды можно найти даже смещение цистерны от времени
( опять таки через цент масс ). Но вот расчтать расход в неидеальном случае
это уже менее тривиальная задача.



> Причем тут реактивная сила:). Обычная задача на вычисление положения центра масс и не более. Вода вытекла, центр массы воды известен по положению трубки
> изначальный центр массы системы вода + цистерна тоже. Все очевидно.
> Если хочется найти динамику этого процесса через силы от времени. То надо учитывать все что не поподя начиная от процесса ытекания воды из трубки кончая поверхностным натяжением воды. И зачем оно надо?

> В принципе зная расход воды можно найти даже смещение цистерны от времени
> ( опять таки через цент масс ). Но вот расчтать расход в неидеальном случае
> это уже менее тривиальная задача.

Я ответил на вопрос задачи так: цистерна сдвинется приблизительно на четверть своей длины, при равенстве масс воды и тары, и остановится. Я рассматривал процесс дискретно, на примере выхода пассажиров из задней двери многоэтажного автобуса. КС приспособил горизонтальную трубку с двумя изгибами и рассматривал первый импульс и последний, остальной процесс не влиял на изменение общего импульса. У него получается: цистерна, получив первый импульс, движется влево, пока почти вся вода не вытечет, остатки воды дадут противоположный импульс, вдвое больший, чем первый. Так как цистерна без воды вдвое легче стала. И цистерна поедет в обратном направлении. Итог: вода вечно течет влево, цистерна вечно едет вправо. Но трубка, как модель, по-моему, не годится для решения этой задачи. Если к отверстию в середине цистерны приладить такую трубку, то получим тот же результат: вода - влево, тара - вправо. Хотя должно быть так: цистерна стоит на месте, вода вытекает во все стороны.


>
> > Причем тут реактивная сила:). Обычная задача на вычисление положения центра масс и не более. Вода вытекла, центр массы воды известен по положению трубки
> > изначальный центр массы системы вода + цистерна тоже. Все очевидно.
> > Если хочется найти динамику этого процесса через силы от времени. То надо учитывать все что не поподя начиная от процесса ытекания воды из трубки кончая поверхностным натяжением воды. И зачем оно надо?

> > В принципе зная расход воды можно найти даже смещение цистерны от времени
> > ( опять таки через цент масс ). Но вот расчтать расход в неидеальном случае
> > это уже менее тривиальная задача.

> Я ответил на вопрос задачи так: цистерна сдвинется приблизительно на четверть своей длины, при равенстве масс воды и тары, и остановится. Я рассматривал процесс дискретно, на примере выхода пассажиров из задней двери многоэтажного автобуса. КС приспособил горизонтальную трубку с двумя изгибами и рассматривал первый импульс и последний, остальной процесс не влиял на изменение общего импульса. У него получается: цистерна, получив первый импульс, движется влево, пока почти вся вода не вытечет, остатки воды дадут противоположный импульс, вдвое больший, чем первый. Так как цистерна без воды вдвое легче стала. И цистерна поедет в обратном направлении. Итог: вода вечно течет влево, цистерна вечно едет вправо. Но трубка, как модель, по-моему, не годится для решения этой задачи. Если к отверстию в середине цистерны приладить такую трубку, то получим тот же результат: вода - влево, тара - вправо. Хотя должно быть так: цистерна стоит на месте, вода вытекает во все стороны.


Бpp..
Если трубка направлено вертикально вниз то задача решается просто через центры масс. Неважно где она прикреплена. Поскольку трубка прикреплена вертикально то у воды вне цистерны в любой момент времени нет импульса вдоль рельс. И вся предача импульса происходит внутри цистерны (вода течет к дырке цистерна едет в противоположную сторону).
Если трубка прикреплена под углом и трения нет. То цистерна вообще никогда не остановится, поскольку вытекающая вода ей передаст импульс ( который в данном случае гасить не чем). Грубо говоря вода летит в одну сторону цистерна едет в другую.



> Если трубка направлено вертикально вниз то задача решается просто через центры масс. Неважно где она прикреплена. Поскольку трубка прикреплена вертикально то у воды вне цистерны в любой момент времени нет импульса вдоль рельс. И вся предача импульса происходит внутри цистерны (вода течет к дырке цистерна едет в противоположную сторону).

У меня такое же представление. Однако некоторые участники форума утверждают: если цистерна перемещается, значит выливающаяся вода имеет некоторую горизонтальную скорость. Тогда цистерна должна катиться в противоположную сторону, когда вся вода вытечет.


> Если трубка направлена вертикально вниз то задача решается просто через центры масс. Неважно где она прикреплена. Поскольку трубка прикреплена вертикально то у воды вне цистерны в любой момент времени нет импульса вдоль рельс.

Я ценю вашу шутку юмора. Особенно нравится вот это вот глубокомысленное "Поскольку".

> У меня такое же представление. Однако некоторые участники форума утверждают: если цистерна перемещается, значит выливающаяся вода имеет некоторую горизонтальную скорость.

Гы... Вы что, думаете, что вода в вертикальной трубке в ЛЮБОЙ системе отсчета движется строго вертикально и что поступальное движение трубки можно игнорировать?? Шутка, повторенная дважды, уже не смешит.
Вода движется вдоль трубки и вместе с ней участвует в поступательном движении. Если стенки вертикальной трубки покоятся, вода действительно движется вертикально. А вот если стенки движутся горизонтально - то фигвам.


> > Если трубка направлена вертикально вниз то задача решается просто через центры масс. Неважно где она прикреплена. Поскольку трубка прикреплена вертикально то у воды вне цистерны в любой момент времени нет импульса вдоль рельс.

> Я ценю вашу шутку юмора. Особенно нравится вот это вот глубокомысленное "Поскольку".

> > У меня такое же представление. Однако некоторые участники форума утверждают: если цистерна перемещается, значит выливающаяся вода имеет некоторую горизонтальную скорость.

> Гы... Вы что, думаете, что вода в вертикальной трубке в ЛЮБОЙ системе отсчета движется строго вертикально и что поступальное движение трубки можно игнорировать?? Шутка, повторенная дважды, уже не смешит.
> Вода движется вдоль трубки и вместе с ней участвует в поступательном движении. Если стенки вертикальной трубки покоятся, вода действительно движется вертикально. А вот если стенки движутся горизонтально - то фигвам.

Всё. Убираем трубку, а то она нам все путает. В нижней стенке цистерны -дырка, а не трубка. Вода из дырки имеет право вытекать не вертикально вниз. Если дырка - у правого края цистерны, то можно рассмотреть два потока воды. Правый движется вертикально, а левый горизонтально вправо по дну цистерны. Встречаясь на срезе дырки, они векторно складываются и струя отклонится вправо от вертикали. С трубкой парадокс получается. Цистерна движется влево и вода - влево.



> В нижней стенке цистерны -дырка, а не трубка. Вода из дырки имеет право вытекать не вертикально вниз. Если дырка - у правого края цистерны, то можно рассмотреть два потока воды. Правый движется вертикально, а левый горизонтально вправо по дну цистерны. Встречаясь на срезе дырки, они векторно складываются и струя отклонится вправо от вертикали. С трубкой парадокс получается. Цистерна движется влево и вода - влево, если представлять непрерывный процесс, а не колебания потока.



> > Если трубка направлена вертикально вниз то задача решается просто через центры масс. Неважно где она прикреплена. Поскольку трубка прикреплена вертикально то у воды вне цистерны в любой момент времени нет импульса вдоль рельс.

> Я ценю вашу шутку юмора. Особенно нравится вот это вот глубокомысленное "Поскольку".

> > У меня такое же представление. Однако некоторые участники форума утверждают: если цистерна перемещается, значит выливающаяся вода имеет некоторую горизонтальную скорость.

> Гы... Вы что, думаете, что вода в вертикальной трубке в ЛЮБОЙ системе отсчета движется строго вертикально и что поступальное движение трубки можно игнорировать?? Шутка, повторенная дважды, уже не смешит.
> Вода движется вдоль трубки и вместе с ней участвует в поступательном движении. Если стенки вертикальной трубки покоятся, вода действительно движется вертикально. А вот если стенки движутся горизонтально - то фигвам.

В системе связанной с цистерной вода всегда движется вертикально
то есть импульса не передает. Похорошему конечно нужно учесть что, вода выливается вдоль рельса из-за смещения цистерны и следовательно центр масс
воды окажется смещенным ближе к центру.


> Всё. Убираем трубку, а то она нам все путает. В нижней стенке цистерны -дырка, а не трубка. Вода из дырки имеет право вытекать не вертикально вниз.

Ничего трубка не путает. Она специально введена, чтобы задачку сделать простенькой, школьной, на применение закона сохранения имульса. А вы все хотите превратить ее в нерешаемую, про какие-то дырки придумали, щас будем два дня разбираться с профилем дна цистерны, который определяет течение воды, да турбулентности течения обсасывать...делать мне нечего...
Зачем с вами дырки обсуждать, если вы в простенькой ситуации, в трех соснах запутались?

http://forum.nad.ru/rusboard/messages/41933.html


> > Всё. Убираем трубку, а то она нам все путает. В нижней стенке цистерны -дырка, а не трубка. Вода из дырки имеет право вытекать не вертикально вниз.

> Ничего трубка не путает. Она специально введена, чтобы задачку сделать простенькой, школьной, на применение закона сохранения имульса. А вы все хотите превратить ее в нерешаемую, про какие-то дырки придумали, щас будем два дня разбираться с профилем дна цистерны, который определяет течение воды, да турбулентности течения обсасывать...делать мне нечего...
> Зачем с вами дырки обсуждать, если вы в простенькой ситуации, в трех соснах запутались?

Давайте не будем нервничать. Сосны пусть стоят себе на здоровье.
Про дырку не я придумал, а в исходной задаче поставлено такое условие: вода вытекает из отверстия, то есть из дырки. Это потом уже кое-кто реактивные трубки во всю длину цистерны приладил, вертикальные трубки, насосы и прочее.
C вертикальной струей, как справедливо отмечали многие, получается, что цистерна движется влево и вода движется влево, а что вправо-то движется? По-Вашему получается так, а последняя порция воды удвоенным импульсом затормозит цистерну и толкнет ее вправо. При том, что расход воды в самом конце будет меньше, чем в начале. Ведь насосов мы с Вами не будем ставить, а воспользуемся земным тяготением?


> Про дырку не я придумал, а в исходной задаче поставлено такое условие: вода вытекает из отверстия, то есть из дырки. Это потом уже кое-кто реактивные трубки во всю длину цистерны приладил, вертикальные трубки, насосы и прочее.

Не надо ля-ля. Про вертикальную трубку в самом первом посте автора сказано:

> Сообщение №41875 от Suvorov , 30 ноября 2005 г. 01:59:
> Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с cамого края вертикальная трубка снизу...


> C вертикальной струей, как справедливо отмечали многие, получается, что цистерна движется влево и вода движется влево, а что вправо-то движется?

Вправо движется вода ВНУТРИ цистерны.

> По-Вашему получается так, а последняя порция воды удвоенным импульсом затормозит цистерну и толкнет ее вправо.

Угу. Толкнет, только не удвоенным, а какой у воды есть.

> При том, что расход воды в самом конце будет меньше, чем в начале. Ведь насосов мы с Вами не будем ставить, а воспользуемся земным тяготением?

Пофигу. Есть уравнение - закон сохранения импульса при выливании воды через ВЕРТИКАЛЬНУЮ трубку:
M*dV = (L/2)*dM', где M' = -dM/dt = расход воды.

Т.к. и до открытия дырки, и после ее закрытия M'=0, то интеграл от M*dV равен нулю, причем M - положительная. Значит наряду с положительными V обязаны быть и отрицательные. Все рассусоливания насчет "расход маловат, чтобы так толкнуть" идут лесом как неподтвержденные расчетом.

Shut up and calculate (с) R.Feynman


> > > Всё. Убираем трубку, а то она нам все путает. В нижней стенке цистерны -дырка, а не трубка. Вода из дырки имеет право вытекать не вертикально вниз.

> > Ничего трубка не путает. Она специально введена, чтобы задачку сделать простенькой, школьной, на применение закона сохранения имульса. А вы все хотите превратить ее в нерешаемую, про какие-то дырки придумали, щас будем два дня разбираться с профилем дна цистерны, который определяет течение воды, да турбулентности течения обсасывать...делать мне нечего...
> > Зачем с вами дырки обсуждать, если вы в простенькой ситуации, в трех соснах запутались?

> Давайте не будем нервничать. Сосны пусть стоят себе на здоровье.
> Про дырку не я придумал, а в исходной задаче поставлено такое условие: вода вытекает из отверстия, то есть из дырки. Это потом уже кое-кто реактивные трубки во всю длину цистерны приладил, вертикальные трубки, насосы и прочее.
> C вертикальной струей, как справедливо отмечали многие, получается, что цистерна движется влево и вода движется влево, а что вправо-то движется? По-Вашему получается так, а последняя порция воды удвоенным импульсом затормозит цистерну и толкнет ее вправо. При том, что расход воды в самом конце будет меньше, чем в начале. Ведь насосов мы с Вами не будем ставить, а воспользуемся земным тяготением?

Не вмешиваясь в дискуссию, которая, слава богу, уже идет без меня, хочу заметить, что ответ был дан с самого начала именно для вертикальной сдвинутой относительно центра масс трубки, причем с разъяснениями. Все последующее было написано исключительно для того, чтобы сделать произнесенные при сем слова наглядными именно для Вас. Не получилось, признаю.



> C вертикальной струей, как справедливо отмечали многие, получается, что цистерна движется влево и вода движется влево, а что вправо-то движется?
Если струя вертикальна, то что движется вправо или влево?
Замените струю на цилиндрические куски льда которые скидываются вертикально через отверстие в днище цистерны. Неужели Вы полагаете, что положение отверстие по отношению к одной из оси цистерны стоящей на колёсах каким то образом повлияет на её горизонтальны импульс? Или полагаете что неравномерная разгрузка рессор даст Вам желательный горизонтальны импульс?
> По-Вашему получается так, а последняя порция воды удвоенным импульсом затормозит цистерну и толкнет ее вправо. При том, что расход воды в самом конце будет меньше, чем в начале. Ведь насосов мы с Вами не будем ставить, а воспользуемся земным тяготением?
Не знаю о чём Вы. Пусть у нас есть трубка расположенная ассиметрично по отношению к ЦМ цистерны и которую можно наклонять по любым углом. Как Вы думаете, можно ли исходя из предположения, что цистерна прийдёт в безостановочное движение при вертикальной трубке изменить её наклон так чтобы цистерна осталась на месте?


Обратите внимание что шары скатываясь по наклонной плоскости ускоряют цистерну в сторону плоскости на которую они давят, но ударяясь о стенку(двойная линия) перед тем как вылететь из цистерны ускоряют цистерну в противоположную сторону и тем самым покидают цистерну с горизонтальным импульсом равным нулю, что соответствует и импульсу цистерны - она остаётся на месте(рисунок снизу).

Теперь к Вашему предположению о том что удаление трубки изменит каким то образом решение задачи. Пусть отверстие идеально круглое расположенно ассиметрично и заткнуто пробкой. Наполним цистерну сжатым воздухом и выбъем пробку. С какой стати воздуху покидать цистерну не самым коротким путём?
И с чёго бы вдруг цистерне начать двигаться? Ведёт несимметричное расположение отверстие к нессиметричному прераспределению давления в цистерне?
С уважением До.



> Теперь к Вашему предположению о том что удаление трубки изменит каким то образом решение задачи. Пусть отверстие идеально круглое расположенно ассиметрично и заткнуто пробкой. Наполним цистерну сжатым воздухом и выбъем пробку. С какой стати воздуху покидать цистерну не самым коротким путём?
> И с чёго бы вдруг цистерне начать двигаться? Ведёт несимметричное расположение отверстие к нессиметричному прераспределению давления в цистерне?
> С уважением До.


Ведет. По Вашему же принципу: воздух покидает цистерну самым коротким путем. Самое высокое давление - в самом дальнем от отверстия углу. Точно угол отклонения от вертикали не берусь указать, но асимметрия на рисунке показана. Газ и жидкость движутся туда, где меньше давление, перпендикулярно изобарам. При равном давлении газ и воздух движутся туда, где плотность меньше.



> > Наполним цистерну сжатым воздухом и выбъем пробку. С какой стати воздуху покидать цистерну не самым коротким путём?
> > И с чёго бы вдруг цистерне начать двигаться? Ведёт несимметричное расположение отверстие к нессиметричному прераспределению давления в цистерне?
>
> Ведет. По Вашему же принципу: воздух покидает цистерну самым коротким путем. Самое высокое давление - в самом дальнем от отверстия углу. Точно угол отклонения от вертикали не берусь указать, но асимметрия на рисунке показана. Газ и жидкость движутся туда, где меньше давление, перпендикулярно изобарам. При равном давлении газ и воздух движутся туда, где плотность меньше.

Помните задачу с гофрированным цилиндром?
> Сообщение №41758 от Арх , 23 ноября 2005 г. 18:13:
> В ответ на №41749: Re: Помогите решить задачу от Bojl ,
Давление во всей цистерне равномерно распределено и от формы отверстия и его положения на поверхности цистерны не зависит.В противоположном случае, расположение поверхности пробки под прямым углом к показанной Вами на рисунке линии истекания сжатого воздуха увеличивает вероятность вышибания этой пробки.
Но с какой стати? Откуда воздуху перед вышибанием знать, что этот наклон пробки оптимален?
С уважением До.


>
> > > Наполним цистерну сжатым воздухом и выбъем пробку. С какой стати воздуху покидать цистерну не самым коротким путём?
> > > И с чёго бы вдруг цистерне начать двигаться? Ведёт несимметричное расположение отверстие к нессиметричному прераспределению давления в цистерне?
> >
> > Ведет. По Вашему же принципу: воздух покидает цистерну самым коротким путем. Самое высокое давление - в самом дальнем от отверстия углу. Точно угол отклонения от вертикали не берусь указать, но асимметрия на рисунке показана. Газ и жидкость движутся туда, где меньше давление, перпендикулярно изобарам. При равном давлении газ и воздух движутся туда, где плотность меньше.

> Помните задачу с гофрированным цилиндром?
> > Сообщение №41758 от Арх , 23 ноября 2005 г. 18:13:
> > В ответ на №41749: Re: Помогите решить задачу от Bojl ,
> Давление во всей цистерне равномерно распределено и от формы отверстия и его положения на поверхности цистерны не зависит.В противоположном случае, расположение поверхности пробки под прямым углом к показанной Вами на рисунке линии истекания сжатого воздуха увеличивает вероятность вышибания этой пробки.
> Но с какой стати? Откуда воздуху перед вышибанием знать, что этот наклон пробки оптимален?
> С уважением До.

Я показал распределение давлений в процессе выхода газа, когда пробки уже нет. Это распределение возникает при распространении сферических волн разрежения от центра пониженного давления, то есть от открытого отверстия. Чтобы исключить возможность такого движения, наверное, вертикальную трубку и ввели в условие задачи. Можно задаться вопросом: какую силу нужно приложить к цистерне, чтобы она при вытекании воды через трубку не сдвинулась с места?


> Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
> Будет ли двигаться цистерна и куда?

> Извините, если подобная задача обсуждалась. Задача взята из инета. Ответ не известен. У меня решение есть, но ему никто не верит. Хочу узнать мнение общественности.

Пусть M(t) - масса вытекшей воды как функция времени, m - масса цисцерны, x(t) - закон движения центра масс цисцерны (ось x направлена вдоль рельс, x=0 соответствует начальному положению центра масс цисцерны), s - смещение отверстия, из которого выливается вода, от положения центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль оси x, T - время, за которе из цисцерны выльется вся вода. Сделаем существенное предположение, что x-координата центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль не зависит от уровня воды в цисцерне и следовательно совпадает с x-координатой центра масс цисцерны.

Условие сохранения проекции радиус-вектора центра масс системы цисцерна плюс вода (как вытекшая, так и невытекшая) на направление вдоль оси x дает следующее интегральное уравнение
[m+M(T)-M(t)]x(t)+∫0t[x(t')+s]M'(t')dt'=0.
Решение этого уравнения имеет вид
x(t)=s ln{[m+M(T)-M(t)]/[m+M(T)]}.
Таким образом, ответ к этой задаче будет
x(T)=s ln{m/[m+M(T)]},
т.е. положение пустой цисцерны не зависит от закона истечения воды (а уж тем более не будет зависеть от поля скоростей вытекающей воды). Еще можно заметить, что, поскольку M(t) - монотонно возрастающая функция, цисцерна будет двигаться всегда в одну сторону, а именно противоположно смещению отверстия, из которого вытекает вода, относительно центра тяжести цисцерны.

Я внимательно читаю форум и, в частности, эту ветку, и по-моему этот ответ пока никто не приводил. Если кто не согласен с вышеизложенным решением, то мне было бы интересно услышать комментарии (критику).

Прежде, чем вывесеть этот результат на форуме, я долго тормозил по поводу следующего рассуждения. Подберем функцию M(t) таким образом, чтобы а) вода вылилась в одной точке, а именно в точке x=s (M(t) - дельта-функция); б) вода вытекала так, что ее масса на единицу длины вдоль оси x - постоянна. Тогда условие неизменности центра масс системы дает
а) x(T)=-s M(T)/m;
б) x(T)=-s M(T)/[m+M(T)/2].
В обоих этих случаях ответ отличается от полученного выше.
Однако через некоторое время (и дня (24 часов) не прошло) я во всем этом разобрался. Интересно было бы услышать, что скажут об этом участники этого форума.


> > Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
> > Будет ли двигаться цистерна и куда?

> > Извините, если подобная задача обсуждалась. Задача взята из инета. Ответ не известен. У меня решение есть, но ему никто не верит. Хочу узнать мнение общественности.

> Пусть M(t) - масса вытекшей воды как функция времени, m - масса цисцерны, x(t) - закон движения центра масс цисцерны (ось x направлена вдоль рельс, x=0 соответствует начальному положению центра масс цисцерны), s - смещение отверстия, из которого выливается вода, от положения центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль оси x, T - время, за которе из цисцерны выльется вся вода. Сделаем существенное предположение, что x-координата центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль не зависит от уровня воды в цисцерне и следовательно совпадает с x-координатой центра масс цисцерны.

> Условие сохранения проекции радиус-вектора центра масс системы цисцерна плюс вода (как вытекшая, так и невытекшая) на направление вдоль оси x дает следующее интегральное уравнение
> [m+M(T)-M(t)]x(t)+∫0t[x(t')+s]M'(t')dt'=0.
> Решение этого уравнения имеет вид
> x(t)=s ln{[m+M(T)-M(t)]/[m+M(T)]}.
> Таким образом, ответ к этой задаче будет
> x(T)=s ln{m/[m+M(T)]},
> т.е. положение пустой цисцерны не зависит от закона истечения воды (а уж тем более не будет зависеть от поля скоростей вытекающей воды). Еще можно заметить, что, поскольку M(t) - монотонно возрастающая функция, цисцерна будет двигаться всегда в одну сторону, а именно противоположно смещению отверстия, из которого вытекает вода, относительно центра тяжести цисцерны.

> Я внимательно читаю форум и, в частности, эту ветку, и по-моему этот ответ пока никто не приводил. Если кто не согласен с вышеизложенным решением, то мне было бы интересно услышать комментарии (критику).

> Прежде, чем вывесеть этот результат на форуме, я долго тормозил по поводу следующего рассуждения. Подберем функцию M(t) таким образом, чтобы а) вода вылилась в одной точке, а именно в точке x=s (M(t) - дельта-функция); б) вода вытекала так, что ее масса на единицу длины вдоль оси x - постоянна. Тогда условие неизменности центра масс системы дает
> а) x(T)=-s M(T)/m;
> б) x(T)=-s M(T)/[m+M(T)/2].
> В обоих этих случаях ответ отличается от полученного выше.
> Однако через некоторое время (и дня (24 часов) не прошло) я во всем этом разобрался. Интересно было бы услышать, что скажут об этом участники этого форума.

Интерес к спору постепенно угас, вместе с вытекшей водой. Большинство решило, что цистерна сдвинется с места и поедет туда же, куда указали Вы. Дальнейшая судьба цистерны зависела от того, куда будет двигаться вода, вытекающая из цистерны: 1.будет двигаться в ту же сторону, 2.будет двигаться в противоположную сторону, 3.центр масс вытекшей воды окажется на расстоянии S, формулу которого Вы указали, а центр масс цистерны -на таком же расстоянии S, в другую сторону, от первоначального общего центра масс.
Вы не указали, остановится ли цистерна. Я предположил, что остановится. Но для такого утверждения нужно условие: вода должна вытекать импульсивно. Можно было сослаться на то, что первый же импульс породит колебания в идеальной системе или на то, что о отверстии в верхней части цистерны в задаче не сказано, значит вода будет импульсивно вытекать из-за пузырей воздуха, проникающего через нижнюю трубку.
Если отказаться от колебаний, то я согласился с большинством: по теореме о центре масс и закону сохранения импульса изолированной системы, со строго вертикальной трубкой, вода потечет в одну сторону, цистерна сместится на расстояние S и покатится в обратную сторону.
Вы показали третий вариант: цистерна сразу поедет в одну сторону, вода - в другую. Я бы согласился с таким вариантом, если бы не было трубки. Тогда бы можно было сослаться на векторное сложение вертикальной и горизонтальной струй воды на срезе отверстия и возникающую при этом реактивную силу. Но трубку убрать мне не дали.


> Условие сохранения проекции радиус-вектора центра масс системы цисцерна плюс вода (как вытекшая, так и невытекшая) на направление вдоль оси x дает следующее интегральное уравнение
> [m+M(T)-M(t)]x(t)+∫0t[x(t')+s]M'(t')dt'=0.

Записывая такое уравнение, вы почему-то полагаете, что вода, выливающаяся из ДВИЖУЩЕЙСЯ цистерны через вертикальную трубку, имеет НУЛЕВУЮ горизонтальную скорость, навечно сохраняя свое положение x(t')+s.
Вы когда-нибудь в поезде туалет посещали? воду не спускали?

> Интересно было бы услышать, что скажут об этом участники этого форума.

К сожалению, правила форума не позволяют мне сказать, все, что я думаю.


> > Пусть M(t) - масса вытекшей воды как функция времени, m - масса цисцерны, x(t) - закон движения центра масс цисцерны (ось x направлена вдоль рельс, x=0 соответствует начальному положению центра масс цисцерны), s - смещение отверстия, из которого выливается вода, от положения центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль оси x, T - время, за которе из цисцерны выльется вся вода. Сделаем существенное предположение, что x-координата центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль не зависит от уровня воды в цисцерне и следовательно совпадает с x-координатой центра масс цисцерны.

> > Условие сохранения проекции радиус-вектора центра масс системы цисцерна плюс вода (как вытекшая, так и невытекшая) на направление вдоль оси x дает следующее интегральное уравнение
> > [m+M(T)-M(t)]x(t)+∫0t[x(t')+s]M'(t')dt'=0.
> > Решение этого уравнения имеет вид
> > x(t)=s ln{[m+M(T)-M(t)]/[m+M(T)]}.
> > Таким образом, ответ к этой задаче будет
> > x(T)=s ln{m/[m+M(T)]},
> > т.е. положение пустой цисцерны не зависит от закона истечения воды (а уж тем более не будет зависеть от поля скоростей вытекающей воды). Еще можно заметить, что, поскольку M(t) - монотонно возрастающая функция, цисцерна будет двигаться всегда в одну сторону, а именно противоположно смещению отверстия, из которого вытекает вода, относительно центра тяжести цисцерны.

> > Я внимательно читаю форум и, в частности, эту ветку, и по-моему этот ответ пока никто не приводил. Если кто не согласен с вышеизложенным решением, то мне было бы интересно услышать комментарии (критику).

> > Прежде, чем вывесеть этот результат на форуме, я долго тормозил по поводу следующего рассуждения. Подберем функцию M(t) таким образом, чтобы а) вода вылилась в одной точке, а именно в точке x=s (M(t) - дельта-функция); б) вода вытекала так, что ее масса на единицу длины вдоль оси x - постоянна. Тогда условие неизменности центра масс системы дает
> > а) x(T)=-s M(T)/m;
> > б) x(T)=-s M(T)/[m+M(T)/2].
> > В обоих этих случаях ответ отличается от полученного выше.
> > Однако через некоторое время (и дня (24 часов) не прошло) я во всем этом разобрался. Интересно было бы услышать, что скажут об этом участники этого форума.

> Интерес к спору постепенно угас, вместе с вытекшей водой. Большинство решило, что цистерна сдвинется с места и поедет туда же, куда указали Вы. Дальнейшая судьба цистерны зависела от того, куда будет двигаться вода, вытекающая из цистерны: 1.будет двигаться в ту же сторону, 2.будет двигаться в противоположную сторону, 3.центр масс вытекшей воды окажется на расстоянии S, формулу которого Вы указали, а центр масс цистерны -на таком же расстоянии S, в другую сторону, от первоначального общего центра масс.

Не могли бы Вы дать ссылку на сообщение, в котором выписана такая же формула, что и в моем сообщении (т.е. с логарифмом) (эта просьба возникла в связи со следующей частью Вашего сообщения "3.центр масс вытекшей воды окажется на расстоянии S, формулу которого Вы указали, а центр масс цистерны -на таком же расстоянии S, в другую сторону, от первоначального общего центра масс").

> Вы не указали, остановится ли цистерна. Я предположил, что остановится. Но для такого утверждения нужно условие: вода должна вытекать импульсивно. Можно было сослаться на то, что первый же импульс породит колебания в идеальной системе или на то, что о отверстии в верхней части цистерны в задаче не сказано, значит вода будет импульсивно вытекать из-за пузырей воздуха, проникающего через нижнюю трубку.

То, что цисцерна остановится, следует (неявно) из того, что я применял только условие постоянства x-координаты центра масс. Если бы цисцерна продолжала двигаться после того как вытекла вся вода, то это условие нарушалось бы. Хотя наверное Вы правы: мне нужно было явно указать, что цисцерна остановится, т.е. что при t>T ее движение прекратится.

Из чего следует, что для того, чтобы цисцерна остановилась "нужно условие: вода должна вытекать импульсивно"? И вообще мне непонятно, что означает "вытекать импульсивно". Означает ли это, что функция M(t) представляет собой некоторую сумму дельта-функций?

> Если отказаться от колебаний, то я согласился с большинством: по теореме о центре масс и закону сохранения импульса изолированной системы, со строго вертикальной трубкой, вода потечет в одну сторону, цистерна сместится на расстояние S и покатится в обратную сторону.

Теорема о центре масс системы по-моему есть следствие закона сохранения импульса. Именно поэтому я применял при решении задачи только теорему о центре масс.

Мне не очень понятно высказывание "Если отказаться от колебаний". По-моему отсутствиие колебаний или их наличие должно следовать из решения задачи, а не приниматься в качестве предположения.

> Вы показали третий вариант: цистерна сразу поедет в одну сторону, вода - в другую. Я бы согласился с таким вариантом, если бы не было трубки. Тогда бы можно было сослаться на векторное сложение вертикальной и горизонтальной струй воды на срезе отверстия и возникающую при этом реактивную силу. Но трубку убрать мне не дали.

Я считаю, что трубку поставили как раз для того, чтобы считать, что вылившаяся вода окажется как раз в том месте, где в этот момент находится отверстие в цисцерне, из которого она выливается (т.е. полагаю, что трубка почти касается земли), ну и еще (что очень важно) для того, чтобы проекция ее импульса на ось x была равна нулю.


> Пусть M(t) - масса вытекшей воды как функция времени, m - масса цисцерны, x(t) - закон движения центра масс цисцерны (ось x направлена вдоль рельс, x=0 соответствует начальному положению центра масс цисцерны), s - смещение отверстия, из которого выливается вода, от положения центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль оси x, T - время, за которе из цисцерны выльется вся вода. Сделаем существенное предположение, что x-координата центра масс цисцерны с невытекшей водой вдоль не зависит от уровня воды в цисцерне и следовательно совпадает с x-координатой центра масс цисцерны.

> Условие сохранения проекции радиус-вектора центра масс системы цисцерна плюс вода (как вытекшая, так и невытекшая) на направление вдоль оси x дает следующее интегральное уравнение
> [m+M(T)-M(t)]x(t)+∫0t[x(t')+s]M'(t')dt'=0.
> Решение этого уравнения имеет вид
> x(t)=s ln{[m+M(T)-M(t)]/[m+M(T)]}.
> Таким образом, ответ к этой задаче будет
> x(T)=s ln{m/[m+M(T)]},
> т.е. положение пустой цисцерны не зависит от закона истечения воды (а уж тем более не будет зависеть от поля скоростей вытекающей воды). Еще можно заметить, что, поскольку M(t) - монотонно возрастающая функция, цисцерна будет двигаться всегда в одну сторону, а именно противоположно смещению отверстия, из которого вытекает вода, относительно центра тяжести цисцерны.

Точнее целых две. Первая (и главная) - это то, что вода вытекает не из цисцерны, а из цистерны, ну а на вторую мою ошибку мне было сурово указано в сообщении 42094: я не учел, что вытекшая вода имеет ненулевую x-компоненту импульса в неподвижной относительно Земли системе отсчета. Можно конечно считать, что трубка почти касается земли и вода сразу останавливается, но тогда к системе цистерна плюс вся вода нельзя применять теорему о положении центра масс, так как в этом случае вытекшая вода взаимодействует с Землей.

Таким образом, нужно учесть то, что вытекши из цистерны вода каким-то образом движется. Для большей наглядности можно модифицировать задачу: цистерна движется по рельсам над пропастью, и вода стекает в эту пропасть. В этом случае к системе цистерна плюс вода уже можно применять теорему о положении центра масс. Причем, поскольку масса Земли много больше массы воды, и переданным Земле импульсом можно пренебречь, закон движения цистерны не будет зависеть от того, стекает ли вода в пропасть или на землю.

Используя те же обозначения, что и в вышеприведенном моем сообщении, из теоремы о положении центра масс получаем следующее уравнение (интегро-дифференциальное на сей раз) для функции x(t)
[m+M(T)-M(t)]x(t) + ∫0t[x(t')+s+x'(t')(t-t')]M'(t')dt'=0, t≤T;
m x(t) + ∫0T[x(t')+s+x'(t')(t-t')]M'(t')dt'=0, t>T;
Решение этого уравнения имеет вид (надеюсь не ошибся, подстановкой в исходное уравнение лень проверять)
x(t)=-s∫0t0t' {M"(t")/[m+M(T)-M(t")]}dt"dt' - sM'(0)t/[m+M(T)], t≤T;
x(t)=-s∫0T0t' {M"(t")/[m+M(T)-M(t")]}dt"dt' - sM'(0)T/[m+M(T)] + s(∫0T0t' {M"(t")M'(t')/[m+M(T)-M(t')]}dt"dt'+M'(0)M(T)/[m+M(T)])(t-T)/m, t>T.
(Ну и формулы получились для какой-то несчастной дырявой цистерны.)

Таким образом, движение цистерны зависит от закона истечения M(t). Если
скорость истечения постоянна M'(t)=M'(0), то
x(t)=-sM'(0)t/[m+M(T)], t≤T;
x(t)=-sM'(0)T/[m+M(T)] + sM'(0)M(T)(t-T)/{[m+M(T)]m}, t>T.
Это совпадает с результатом, данном в сообщении 41918. В этом случае цистерна будет двигаться с постоянной скоростью в сторону противоположную смещению отверстия, из которого выливается вода, до тех пор, пока вся вода не выльется, а затем с другой (вообще говоря) постоянной скоростью - в противоположную сторону (уже больше не останавливаясь и не меняя скорости). Меняя закон истечения M(t) можно как уменьшить (M"(t)<0), так и увеличить (M"(t)>0) расстояние от начальной точки до точки "поворота". Не исключаю также, что если M"(t) меняет знак, цистерна будет в определенных случаях "поворачиваться" неоднократно (но не уверен в этом).

P.S. Если считать, что цисцерна - это цистерна, оборудованная неким устройством, которое обеспечивает такую зависимость угла наклона трубки, из которой выливается вода, от скорости цистерны и скорости истечения воды, что вылитая вода имеет нулевую x-компоненту скорости в неподвижной относительно Земли системе отсчета, то в моем вышеприведенном сообщении все правильно.


> Это совпадает с результатом, данном в сообщении 41918. В этом случае цистерна будет двигаться с постоянной скоростью в сторону противоположную смещению отверстия, из которого выливается вода, до тех пор, пока вся вода не выльется, а затем с другой (вообще говоря) постоянной скоростью - в противоположную сторону (уже больше не останавливаясь и не меняя скорости).

А за счет чего цистерна изменит скорость на противоположную?
Ведь вся вода уже вытекла.


> > Это совпадает с результатом, данном в сообщении 41918. В этом случае цистерна будет двигаться с постоянной скоростью в сторону противоположную смещению отверстия, из которого выливается вода, до тех пор, пока вся вода не выльется, а затем с другой (вообще говоря) постоянной скоростью - в противоположную сторону (уже больше не останавливаясь и не меняя скорости).

> А за счет чего цистерна изменит скорость на противоположную?
> Ведь вся вода уже вытекла.

То, что вода скачком изменит свою скорость на противоположную в тот момент, когда вся вода вытекла, следует из теоремы о положении центра масс.

Но, насколько я понял, Вас интересует объяснение "на пальцах" этого явления. По моему наиИМХОевейшему ИМХО после того, как задача решена исходя из какой-либо физической модели, можно дать бесчисленное количество объяснений "на пальцах". Вопрос лишь в том, сочтет ли собеседник какое либо из этих объяснений удовлетворительным. Но это последнее определяется (по моему еще более ИМХОевому ИМХО) философскими (или даже эстетическими) взглядами. Поэтому подбор объяснения, которое удовлетворило бы собеседника, я не отношу к разряду физических задач.

Для себя я дал следующее объяснение скачкообразному изменению скорости в моменты начала и конца вытекания воды (при M'(t)=const при 0 < t < T). Для цистерны с невылившейся водой как тела с переменной массой
{[m+M(T)-M(t)]v(t)}'=[m+M(T)-M(t)]v'(t)+M'(t)v(t)=f(t),
где f(t) и v(t) - x-проекции силы и скорости (остальные обозначения такие же, как и в моих предыдущих сообщениях в этой ветке). Пусть M'(t)=Q при 0 < t < T, тогда M'(t)=Qδ(t)-Qδ(t-T) при любом t. Если считать, что f(t) - регулярная функция (т.е. не типа дельта-функции), то из этого следует, что функция v'(t) должна иметь сингулярности при t=0 и t=T, т.е. что функция v(t) испытывает скачок при этих значениях t.

Вышеприведенную формулу я считаю целесообразным использовать только для объяснения скачкообразного изменения скорости. Если не знать ответ, то для решения задачи ее использовать весьма некомфортно, т.к. и f(t) из физических соображений трудно определить, и с обобщенными функциями нужно обращаться предельно осторожно. Лучше использовать условие постоянства x-координаты центра масс системы цистерна плюс вся вода, что я и сделал.

Возможно, что мое объяснение Вас не устроило. В любом случае мне было бы интересно узнать Ваше мнение о нем.


> > > Это совпадает с результатом, данном в сообщении 41918. В этом случае цистерна будет двигаться с постоянной скоростью в сторону противоположную смещению отверстия, из которого выливается вода, до тех пор, пока вся вода не выльется, а затем с другой (вообще говоря) постоянной скоростью - в противоположную сторону (уже больше не останавливаясь и не меняя скорости).

> > А за счет чего цистерна изменит скорость на противоположную?
> > Ведь вся вода уже вытекла.

> То, что вода скачком изменит свою скорость на противоположную в тот момент, когда вся вода вытекла, следует из теоремы о положении центра масс.

Вернее, в тот момент, когда остатки воды, объёмом в половину длины цистерны умноженную на площадь сечения трубки, ударили по боковой стенке цистерны и тут же провалились в трубку.
Самое спорное место в решении этой задачи.
Если сначала пытаться выровнять импульсы масс, тогда положения ценров масс цистерны и вылитой воды труднее искать, если сначала пытаться сохранить центр масс, потом труднее выровнять импульсы.


Эту задачу решали на принципах сохранения координат центра масс и сохранения импульса движущихся масс. Глядя на рисунок, можно без сложных формул интегралов вычислить смещения цистерны и вытекшей воды вне зависимости от скорости потока воды, их скорости в зависимости от времени опустошения цистерны. При соотношении масс, показанном на рисунке, вода сместится вправо на треть от половины длины цистерны, цистерна - влево на две трети от половины своей длины. Таким образом общий центр масс останется на месте, если учитывать только горизонтальные проекции плеч, хотя вылившаяся вода сместит его вниз на неопределенное расстояние. Если считать скорость потока воды через трубку постоянной, хотя она зависит от высоты уровня воды в цистерне, можно вычислить горизонтальные скорости цистерны и вытекшей воды, которые будут одинаковы. Из принципа сохранения импульса, пустую цистерну приходится гнать назад со скоростью, в два раза большей, чем горизонтальная скорость воды, которую мы уже не сможем изменить. Применили две пропорции: x1/x2=m2/m1=v1/v2 и формулу v=L/2t.
Наверное, есть возможность проверить на опыте решение этой задачи: подвесить лимонадную бутылку в горизонтальном положении на двух параллельных длинных нитях, проткнуть бутылку около дна насквозь по линии диаметра, вставить трубку. Налить воды, пустить воду и наблюдать через теодолит за процессом.



> > А за счет чего цистерна изменит скорость на противоположную?
> > Ведь вся вода уже вытекла.

> То, что вода скачком изменит свою скорость на противоположную в тот момент, когда вся вода вытекла, следует из теоремы о положении центра масс.

За счет чего? Что стукает по цистерне, скачком меняя ее скорость?
Теорема?


> Что стукает по цистерне, скачком меняя ее скорость? Теорема?

Вот тут все уже объяснялось почти без лирики. Но если вам нужны поэмы, их есть у меня.

1. Сначала всё покоилось. Вода одинаково давила на стенки цистерны влево и вправо. Соответственно, цистерна не ускорялась.
2. Затем справа открыли трубу, и произошел первый гидравлический удар:
вода справа начала проваливаться, давление справа упало (а слева еще нет); разность давлений разогнала воду в цистерне, заставив ее (воду) двигаться горизонтально и придав ей импульс Р; эта же разность давлений передала противоположный импульс -Р цистерне, заставив ее начать двигаться влево.
3. Затем давления слева и справа уравновесились, все начало двигаться равномерно - и вода, и цистерна. В частности, движущаяся (стекающая) вода в цистерне продолжала сохранять импульс Р.
4. Затем вода подошла к концу, и произошел второй гидравлический удар: сначала вода, а с ней и давление, пропали на левом конце цистерны (а справа еще нет); разность давлений толкнула цистерну вправо, придав ей импульс Р (наш старый Р). Т.к. цистерна к тому времени полегчала за счет вытекшей воды, этот импульс Р придал ей бОльшую скорость вправо, чем она имела до того (влево); в итоге после двух гидравлических ударов цистерна поехала направо.
5. Затем вода кончилась вообще. Давление исчезло и справа, и слева. Цистерна продолжала катиться равномерно...


> > Что стукает по цистерне, скачком меняя ее скорость? Теорема?

> Вот тут все уже объяснялось почти без лирики. Но если вам нужны поэмы, их есть у меня.

> 4. Затем вода подошла к концу, и произошел второй гидравлический удар:

Вот здесь пожалуйста поподробнее. "подошла к концу" - то есть еще не кончилась?
Сколько именно осталось? Раньше ( что и вызвало вопрос ) вода к этому событию
( изменению скорости цистерны ) вся вытекала.
"произошел второй гидравлический удар" - за счет чего? Просто так, на ровном
месте?


> > 4. Затем вода подошла к концу, и произошел второй гидравлический удар:
> Вот здесь пожалуйста поподробнее. "подошла к концу" - то есть еще не кончилась?

Это значит, что слева вода уже кончилась (давление слева исчезло), а справа она пока еще есть. Давление там тоже есть, и это давление начинает отнимать у воды ее импульс Р, передавая этот импульс стенкам цистерны. Вот этот сброс импульса воды за короткое время и есть второй гидравлический удар.



Самое спорное место в решении этой задачи.
> Если сначала пытаться выровнять импульсы масс, тогда положения ценров масс цистерны и вылитой воды труднее искать, если сначала пытаться сохранить центр масс, потом труднее выровнять импульсы.

>
> Эту задачу решали на принципах сохранения координат центра масс и сохранения импульса движущихся масс. Глядя на рисунок, можно без сложных формул интегралов вычислить смещения цистерны и вытекшей воды вне зависимости от скорости потока воды, их скорости в зависимости от времени опустошения цистерны. При соотношении масс, показанном на рисунке, вода сместится вправо на треть от половины длины цистерны, цистерна - влево на две трети от половины своей длины. Таким образом общий центр масс останется на месте, если учитывать только горизонтальные проекции плеч, хотя вылившаяся вода сместит его вниз на неопределенное расстояние.

До.


> > > 4. Затем вода подошла к концу, и произошел второй гидравлический удар:
> > Вот здесь пожалуйста поподробнее. "подошла к концу" - то есть еще не кончилась?

> Это значит, что слева вода уже кончилась (давление слева исчезло), а справа она пока еще есть. Давление там тоже есть, и это давление начинает отнимать у воды ее импульс Р, передавая этот импульс стенкам цистерны. Вот этот сброс импульса воды за короткое время и есть второй гидравлический удар.

Этот вопрос самый спорный в решении задачи. Как только рассуждения касаются гидродинамики, весь процесс усложняется. Симметрии не получается. Импульс передается со скоростью звука 1,5 км/с, а масса воды перемещается со скоростью порядка 10м/с - 1 мм/с. В самом начале давление воды значительно, в конце оно очень мало и сравнимо с давлением от силы Кориолиса. Придется и такое тогда учесть, коль трубка достаточно длинная и направлена в центр земного шара. При длине трубки 4м вся падающая через нее вода приобретет скорость около 1мм/с в восточном направлении. Тогда рельсы нужно ориентировать с севера на юг, чтобы исключить влияние этой скорости. Кстати, пустая цистерна не может двигаться с постоянной скоростью по идеально горизонтальным рельсам. Её горизонтальное ускорение всегда будет направлено к точке первоначального положения, где вектор силы тяжести строго перпендикулярен горизонтальной плоскости, где она и покоилась по условию задачи.
В конце концов, если учесть мизерные силы трения, вязкости, вода образует озеро, в центре которого будет стоять цистерна, а центр будет там, где он находился по условию задачи.
Ведь в задаче подразумевается, что цистерна покоится на идеально плоской и твердой поверхности бесконечной площади. По-моему, такой ответ к этой задаче устроит многих. В таком ответе выполнены все законы сохранения.


> Как только рассуждения касаются гидродинамики, весь процесс усложняется.

Проследить за всеми деталями (какая порция воды куда и с какой скоростью перемещается, как в деталях развивается гидродинамический удар) конечно сложно. Но в школьной задачке про то не спрашивается. Скорость цистерны и ее перемещение однозначно находится из закона сохранения импульса (или его интеграла - положения центра масс).



img border="0" src="../../img/Pendel.gif"

> До.

Я знаю До только с хорошей стороны. Видимо у него клавиатура отказала, коль к рисунку нет объяснений. Если в задаче с цистерной нет конкретных числовых условий, то мы в праве дать ответ без указания конкретного времени. Учтя все законы сохранения, даём ответ: цистерна окажется на том же месте, где она стояла по условию задачи. Вода разольется и образует озеро круглой формы. Центр озера - под центром цистерны. Соблюдены все законы сохранения и окончательная картина будет соответствовать действительности. Посылаю картинку к ответу.



До.

> Я знаю До. Видимо у него клавиатура отказала, коль к рисунку нет объяснений.
>
Не отказала.
Итак пытаемся раасмотреть проблему на сохранение первоначального импульса цистерны с помощью аналогии.
Пусть у нас дан маятник с жёстким стержнем(масса стержня мала, трением пренебрегаем).
На маятнике расположены 3 груза причём 2 вместе взятых груза(на первом рисунке справа) уравновешивают левый груз. Левый груз падает, равновесие маятника нарушается он отклоняется влево(рис 3). Методом перераспределения оставшихся грузов(пусть груз - лёд) маятник возвращается в устойчивое равновесие(рис 3,4).
Вопрос откуда браться ненулевому горизонтальному импульсу у левого падающего груза?
Если у падающего груза этого импульса нет, то все остальные проблемы с остаточным, якобы нескомпенсированным импульсом пустой/полупустой цистерны решаются сами собой. Кстати вертикальная трубка гарантирует то что двигающаяся от дального края цистерны до трубки вода отдаёт свой приобретённый горизонтальный импульс стенкам этой трубки так, что эта вода покидает цистерну с нулевым горизонтальным импульсом.А следовательно цистерны вообще не приходит в движение. Для помощи прибегаем к прерывистому вытеканию воды из цистерны.
С уважением До.


>

> На маятнике расположены 3 груза причём 2 вместе взятых груза(на первом рисунке справа) уравновешивают левый груз. Левый груз падает, равновесие маятника нарушается он отклоняется влево(рис 3). Методом перераспределения оставшихся грузов(пусть груз - лёд) маятник возвращается в устойчивое равновесие(рис 3,4).
> Вопрос откуда браться ненулевому горизонтальному импульсу у левого падающего груза?
> Если у падающего груза этого импульса нет, то все остальные проблемы с остаточным, якобы нескомпенсированным импульсом пустой/полупустой цистерны решаются сами собой. Кстати вертикальная трубка гарантирует то что двигающаяся от дального края цистерны до трубки вода отдаёт свой приобретённый горизонтальный импульс стенкам этой трубки так, что эта вода покидает цистерну с нулевым горизонтальным импульсом.А следовательно цистерны вообще не приходит в движение. Для помощи прибегаем к прерывистому вытеканию воды из цистерны.
> С уважением До.

Вода всё-таки не лёд. Но ответ к задаче у нас с Вами совпадает. Раз в задаче нет конкретных данных: длины, диаметры, массы, то мы имеем право предположить любые их значения. Если диаметр тубки ничтожен, то время вытекания будет очень большим и к моменту опустошения цистерны вода будет под цистерной, а цистерна - на своем старом месте. Возразить не чем. Поэтому все расчеты с интегралами и дифференциалами не убеждают. В идеальной системе - или незатухающие колебания или полный покой, в соответствии с законами сохранения. Многие, кстати, забывают, что на идеально плоской поверхности без трения все тела стремятся к той точке, где сила тяготения строго вертикальна. Представьте себе площадку радиусом тысячу километров. От ее края можно уже на салазках кататься, так как тангенс наклона к вертикали у края площадки будет около 1/6, хотя мы ее называем горизонтальной плоскостью. Ваш пример с подвеской цистерны напоминает, что далеко от точки равновесия она не убежит - проекция силы тяжести не позволит.


> > Как только рассуждения касаются гидродинамики, весь процесс усложняется.

> Проследить за всеми деталями (какая порция воды куда и с какой скоростью перемещается, как в деталях развивается гидродинамический удар) конечно сложно. Но в школьной задачке про то не спрашивается. Скорость цистерны и ее перемещение однозначно находится из закона сохранения импульса (или его интеграла - положения центра масс).

Согласен. Если в задаче даны конкретные условия. Возьмем площадь сечения трубки 1 кв.мм . Время вытекания воды - несколько суток. И больше считать ничего не надо. Все остальное будет равно О. А в рассматриваемой задаче пределы не установлены, поэтому вариантов ответа может быть несколько. Вот я и предложил примирительный ответ, который всех устроит. А школьников - тем более. Легко запомнить и доказать. Идеально плоская горизонтальная поверхность на самом деле является потенциальной ямой в условиях земного тяготения. Согласны?


Если уж заниматься извращениями, то можно не только миллиметровую трубку и яму придумать. Можно допустить, что рельсы наклонные - ведь в начальном посте это не оговорено. Или что тяготения вообще нет (это ведь тоже не оговорено).

И что только народ не придумает, чтобы контрольную не писать!



> Вода всё-таки не лёд.
Я разницы в данном случае не вижу.
> Но ответ к задаче у нас с Вами совпадает. Раз в задаче нет конкретных данных: длины, диаметры, массы, то мы имеем право предположить любые их значения. Если диаметр тубки ничтожен, то время вытекания будет очень большим и к моменту опустошения цистерны вода будет под цистерной, а цистерна -на своем старом месте. Возразить не чем.
Когда я прочитал написанное Вами снизу то понял что мы говорим про разные вещи.
Дело в том что Вы почему то настаиваете на том что рельсы на которых стояла цистерны плоские. Т.е. имеют в идеальном случае только в одной точке минимальное расстояние до ЦМ Земли причём в этой точке рельсы касательны к окружности проведённой через эту точку вокруг ЦМ Земли.

> Поэтому все расчеты с интегралами и дифференциалами не убеждают. В идеальной системе - или незатухающие колебания или полный покой, в соответствии с законами сохранения. Многие, кстати, забывают, что на идеально плоской поверхности без трения все тела стремятся к той точке, где сила тяготения строго вертикальна. Представьте себе площадку радиусом тысячу километров. От ее края можно уже на салазках кататься, так как тангенс наклона к вертикали у края площадки будет около 1/6, хотя мы ее называем горизонтальной плоскостью. Ваш пример с подвеской цистерны напоминает, что далеко от точки равновесия она не убежит - проекция силы тяжести не позволит.
А где в условиях было сказано что рельсы построены не по уровню?
> Сообщение №41875 от Suvorov , 30 ноября 2005 г. 01:59:
Посмотрите здесь
Вода в тележке
быть может Вы найдёте подтверждение предложенному Вами решению.
С уважением До.



> > > Как только рассуждения касаются гидродинамики, весь процесс усложняется.

> > Проследить за всеми деталями (какая порция воды куда и с какой скоростью перемещается, как в деталях развивается гидродинамический удар) конечно сложно.

> Согласен. Если в задаче даны конкретные условия.Возьмем площадь сечения трубки 1 кв.мм
Смотрите архив.
Сообщение №16619 от guest2002 16 января 2003 г. 08:05
Тема: сказка для взрослых

например такое решение:
"17860: Re: колебания? Zeratul 27 февраля 00:32
В ответ на №16804: Re: колебания? от guest2002 , 19 января 2003 г.:
Думаю никаких колебаний не будет, сначала тележка наберет скорость, а потом остановится, так чтобы центр масс не сместился. Для упрощения задачи можно предположить, что в отверстие вставлена трубка такой длины, что может вместить в себя всю жидкость из тележки, таким образом когда из тележки вытечет вся вода она еще будет в трубке и будет иметь туже поперечную скорость, что и тележка, а значит из закона сохр.импульса v=0."
С уважением До.


> Если уж заниматься извращениями, то можно не только миллиметровую трубку и яму придумать. Можно допустить, что рельсы наклонные - ведь в начальном посте это не оговорено. Или что тяготения вообще нет (это ведь тоже не оговорено).

> И что только народ не придумает, чтобы контрольную не писать!

Доктор, Вы считать умеете, ни кто не сомневается в этом. Какова практика решения физических задач? Если даны обозначения физических величин, то нужно выразить ответ этими же величинами. То есть написать формулу, отвечающую на поставленный вопрос.
"Есть цистерна с водой. Она стоит на рельсах. Трения нет. Сзади цистерны с самого края вертикальная трубка снизу. Трубка заткнута кусочком льда. Никаких импульсов к цистерне не прикладывается. Просто тает лед, и вода начинает вытекать вниз. Соответственно, начинает меняться центр тяжести системы. Вопрос:
Будет ли двигаться цистерна и куда?"
В этой задаче нет обозначений физических величин, нет и их значений. Качественная задача, требующая ответа без применения формул. Земное тяготение имеется. Мы же ввели массы цистерны, воды, длину цистерны, длину трубки, ее диаметр, предположили, что рельсы уложены на идеально плоской поверхности, а не на поверхности геоида. "Раскрутили" задачку. Не я один виноват.


>
> > Вода всё-таки не лёд.
> Я разницы в данном случае не вижу.
Вы задали вопрос: откуда падающий кубик льда с левой половины Вашей системы может взять горизонтальный импульс? Как только мы кубик освободим, мгновенно изменится равновесие: правый кубик вес имеет, левый -нет, то есть он просто падает. Сила от правого кубика начнет восстанавливать равновесие, двигаясь влево. Силу можно грубо посчитать: F=m*g*X/2L, Х- расстояние от общей оси до центра правого кубика,L -длина веревки, m - масса кубика, 2- сила приложена к двум кубикам. Время воздействия -пока кубик не выпадет из контейнера.


> Если уж заниматься извращениями, то можно не только миллиметровую трубку и яму придумать. Можно допустить, что рельсы наклонные - ведь в начальном посте это не оговорено. Или что тяготения вообще нет (это ведь тоже не оговорено).

> И что только народ не придумает, чтобы контрольную не писать!


Для постоянного расхода воды , левый график, поучается, что положительный /разгоняющий/ импульс равен отрицательному /тормозящему/. Разгоняющий импульс приходился на массу воды и цистерны, а тормозящий - только на цистерну, поэтому цистерна приобретет отрицательную скорость, по модулю сравнимой с положительной. При убывающем расходе воды - а так и будет, по экспоненте, скорость цистерны будет уменьшаться, вообще все скорости будут уменьшаться. Ограничим время процесса, так как он теоретически бесконечен из-за экспоненты, и увидим, что отрицательный импульс очень мал. Он, конечно, должен придать цистерне отрицательную скорость, но очень-очень маленькую. Может быть, для убывающего расхода, будет вернее такое утверждение: Цистерна за короткое время разгонится до некоторой скорости, затем экспоненциально будет тормозиться в течении всего процесса вытекания воды до нуля?


> >
> > > Вода всё-таки не лёд.
> > Я разницы в данном случае не вижу.
> Вы задали вопрос: откуда падающий кубик льда с левой половины Вашей системы может взять горизонтальный импульс? Как только мы кубик освободим, мгновенно изменится равновесие: правый кубик вес имеет, левый -нет, то есть он просто падает.
Согласен

> Сила от правого кубика начнет восстанавливать равновесие, двигаясь влево. Силу можно грубо посчитать: F=m*g*X/2L, Х- расстояние от общей оси до центра правого кубика,L -длина веревки, m - масса кубика, 2- сила приложена к двум кубикам. Время воздействия -пока кубик не выпадет из контейнера.
Я делал аналогию для цистерны с вертиккальной трубкой.
Тут я изобразил улучшенный вариант - слева лёд который соскальзывает с замороженной в нём нитки(или она пережигается снизу вверх). Справа - кусок льда уравновешивающий левые куски замороженой воды. После того как лёд справа растает и соберётся в ванну, весы приходят снова в равновесие. Горизонтального импульса для левых кусков льда нет и в помине.

Кстати с Вашим примером когда пасажиры выпрыгивают в люк с предварительным разбегом вдоль автобуса.
Если люк плоский, то пассажиры имеют некоторую горизонтальную скорость, если же люк заканчиваетя вертикальной трубой высотой скажем в 3 метра, то ударяясь о внутреннюю часть этой трубы пасажиры отдают свой импульс автобусу.
Вместо трубы можно использовать спасательный рукав как на самолёте. Но труба сужающуяся так что пассажир только только может через неё протиснуться наилучше имитирует задачу с трубкой(рукав даёт колебания).

С уважением До.



> Тут я изобразил улучшенный вариант - слева лёд который соскальзывает с замороженной в нём нитки(или она пережигается снизу вверх). Справа - кусок льда уравновешивающий левые куски замороженой воды. После того как лёд справа растает и соберётся в ванну, весы приходят снова в равновесие. Горизонтального импульса для левых кусков льда нет и в помине.
Улучшеный, но и сложнее. Придется два маятника иметь в виду: верхний жесткий и нижний на нитке.
Для первого куска - да, а остальные начнут дружно восстанавливать равновесие, то есть смещаться влево. Падает второй кусок, а тут уже зависит от фазы колебания всей платформы. Если кусок оторвется в левой крайней точке, то он унесет запасенную потенциальную энергию с собой, хотя горизонтального импульса не получит. Остальным этой энергии будет не хватать и они уменьшат амплитуду колебания. Если оторвется в правой крайней точке, оторвется как лишний инерциальный балласт и амплитуда колебаний остальных возрастет. Во всех остальных точках импульс будет у него при отрыве плюс-минус v*m, максимальное значение - в точке равновесия, если фазы колебаний совпадут.


> > Справа - кусок льда уравновешивающий левые куски замороженой воды. После того как лёд справа растает и соберётся в ванну, весы приходят снова в равновесие.
> Улучшеный, но и сложнее. Придется два маятника иметь в виду: верхний жесткий и нижний на нитке.
> Для первого куска - да, а остальные начнут дружно восстанавливать равновесие, то есть смещаться влево. Падает второй кусок, а тут уже зависит от фазы колебания всей платформы. Если кусок оторвется в левой крайней точке, то он унесет запасенную потенциальную энергию с собой, хотя горизонтального импульса не получит. Остальным этой энергии будет не хватать и они уменьшат амплитуду колебания. Если оторвется в правой крайней точке, оторвется как лишний инерциальный балласт и амплитуда колебаний остальных возрастет. Во всех остальных точках импульс будет у него при отрыве плюс-минус v*m, максимальное значение - в точке равновесия, если фазы колебаний совпадут.
А если нитки между блоками имеют нулевую длину? Т.е. нитка вытягивается из тонких многочисленных блоков льда(лакированных, чтобы не слипались)?
Неужели наступят колебания весов?

Ведь можно выбрать такую скорость вытяжения нити согласованную со скоростью тяяния куска льда на левой стороне весов, что весы всегда будут оставаться в равновесии.
Т.е. точно также если бы вода выливалась из цистерны подвешанной на таких весах.Тогда все сложности отпадают. Условие -цистерна имеет отверстие с длинной вертикальной трубкой на одном из краёв днища.
Или Вы настаиваете на том что цистерна подвешанная на длинной нити будет отклоняться в сторону при вытекании воды?
С уважением До.


> Вот такой вот у меня вырос ИМХО.

> Пусть длина цистерны = L, ее полная масса с водой в момент времени t равна M(t), а горизонтальная скорость движения = V(t). С точки зрения инерциальной системы ИСО(Т), привязанной к цистерне в какой-то момент времени t=T, внутри цистерны имеется поток воды, направленный против скорости V(t). Для расчета импульса можно считать, что поток не затрагивает глубинные слои воды, а только перемещает за небольшое время dt верхний слой воды массой -dM(t) назад (к краю цистерны), сдвигая центр масс этой порции на расстояние L/2. Соответствующий импульс воды в ИСО(Т) равен
> P_внутр = (-dM)*(-L/2)/dt = L/2 * dM/dt.
> При этом и импульс цистерны с остающейся водой, и (горизонтальный) импульс выбрасываемой воды равны нулю.

> В неподвижной ИСО = ИСО(0) импульс "цистерны + воды внутри" равен
> M(t)*V(t) + P_внутр(t) = M(t)*V(t) + (L/2)*dM(t)/dt,
> а импульс воды снаружи определяется интегралом от -dM(t)*V(t) на интервале времени от 0 до t.

> Так как внешних горизонтальных сил, приложенных к системе, нет, то полный импульс остается нулевым. Дифференциал полного импульса равен
> d(M(t)*V(t) + L/2*dM(t)/dt) - dM(t)*V(t) =0.
> Или
> dV(t) = -L/2 / M(t) * d(dM(t)/dt).

> Получающаяся итоговая скорость цистерны V(t) и ее перемещение X(t) = интеграл от V(t)*dt зависят от графика расхода воды. Самый простой вариант для обсчета - это вариант с постоянной величиной расхода воды
> -dM/dt = M' = (M1-M2)/T > 0
> (представьте себе наличие на цистерне небольшого насоса на аккумуляторе).
> Здесь M1 и M2 - начальная и конечная масса цистерны с водой, а Т - время расхода воды.
> Тогда (глядим на уравнение для dV и выписываем его решение):

> сразу после включения насоса скорость цистерны подпрыгивает до
> V1 = L/2 / M1 * M' = L/2 * (M1-M2)/(M1*T)> 0.
> Эта скорость остается постоянной вплоть до выключения насоса, когда она опять рывком скачет в
> V2 = V1 - L/2 / M2 * M' = -L/2 * (M1-M2)^2 / (M1*M2*T) < 0.
> Скорость V2 отрицательна, потому что вода массы M1-M2, вылитая по дороге, имела положительную скорость V1. Работает баланс импульса:
> (M1-M2)*V1 + M2*V2 = 0.

> Перемещение цистерны за время T равно
> X(T) = V1*Т = L/2 * (M1-M2)/M1.
> Перемещение же за бесконечное время равно минус бесконечности.

> Естественно, при другом графике расхода воды ответы будут слегка другие.

"Соответствующий импульс воды в ИСО(Т) равен
> P_внутр = (-dM)*(-L/2)/dt = L/2 * dM/dt."


«(-L/2)/dt» - можно узнать, что эта за величина ?


Шимпанзе


> "Соответствующий импульс воды в ИСО(Т) равен
> > P_внутр = (-dM)*(-L/2)/dt = L/2 * dM/dt."
> «(-L/2)/dt» - можно узнать, что эта за величина ?

Избыточное цитирование


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100