Диск Эренфеста или Эйнштейна

Сообщение №41465 от Шимпанзе 06 ноября 2005 г. 18:36
Тема: Диск Эренфеста или Эйнштейна


Строгого математического выражения формы диска, вращающегося с релятивистской скоростью в литературе не встречал. Хотя, на мой взгляд, такую математическую зависимость найти нетрудно.
Пусть диск вращается относительно начала координат (X=0, Y=0) вокруг оси Y. Будем исходить из выводов СТО: сокращение размеров происходит лишь в направлении движения объекта.
Следовательно, сокращается периметр диска, диаметр же остаётся постоянным:

2πX = 2π R√ (1 - k²*R²) ,

отсюда

X = R√ (1 - k²*R²) , (1)

здесь

R – расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки на диске в состоянии покоя ( нормаль к оси Y) ;
X - расстояние от оси вращения до той же рассматриваемой точке на диске при вращении диска (нормаль к оси Y) ;

k = W/C ,

где W - угловая скорость вращения диска, C - скорость света.

Необходимо найти зависимость изменения положения точки по оси Y в зависимости от её расстояния R по оси X до центра вращения в состоянии покоя, Y = f (X ( R ) ) .

Дифференциал длины дуги кривой f (X ( R )) равен

dS = √((dY/dR)² + (dX/dR)²) *dR

По требованию СТО на всем участке кривой её длина S = R , следовательно,

(dY/dR)² + (dX/dR)² =1 (2)

dY = √ (1 - (dX/dR) ²) dR (3)


Решение уравнения (3) имеет вид:


Y = (1/2k)*ln((1-z)/(1+z)) + P , (4)


где z = √((3/4 - k²*R²)/(1 - k²*R²)), (5)


P- постоянная интегрирования. Для случая Y=0 при R=0:

P= (1/2k)*ln((1+1/2√3) ∕ (1-1/2√3)). (6)

Уравнение (4) показывает, что при вращении поверхности она сворачивается в идеальную "чашу", что совпадает с качественным описанием других авторов.
Максимальный диаметр «чаши» равен: (√3/2)*(C/W),
Высота чашки :
0.5*(C/W)* ln((1+(√3/2))/(1-(√3/2)).
Таким образом, отношение диаметра «чашки» к её высоте в предельном случае составляет 1.3152


Шимпанзе


Отклики на это сообщение:

Что-то не понял я Ваше рассуждение... С одной стороны Вы принимаете, что "сокращение размеров происходит лишь в направлении движения объекта", а с другой стороны "R – расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки на диске в состоянии покоя ( нормаль к оси Y)" у Вас не равно "X - расстояние от оси вращения до той же рассматриваемой точке на диске при вращении диска (нормаль к оси Y)". Разве тут нет противоречия?

А если применить Ваши рассуждения к вращающемуся кольцу радиусом R, какой будет вывод? Кольцо смещается вдоль оси вращения? Но ведь радиус от этого не изменится...

На мой взгляд, Вы совершаете ошибку когда предполагаете, что при вычислении лоренцевского сокращения длины вращающейся окружности в качестве "собственной длины" нужно брать длину неподвижной окружности. Вот представьте себе наблюдателя, находящегося на вращающемся диске на расстоянии R от оси вращения. Пусть этот наблюдатель ставит на диске отметку и ползет по диску с небольшой относительной скоростью, оставаясь на расстоянии R от оси. Если он, прикладывая линейку, измеряет длину окружности, как Вы думаете, сколько он намеряет, пока не доползет до начальной метки?


>
> Строгого математического выражения формы диска, вращающегося с релятивистской скоростью в литературе не встречал. Хотя, на мой взгляд, такую математическую зависимость найти нетрудно.
> Пусть диск вращается относительно начала координат (X=0, Y=0) вокруг оси Y. Будем исходить из выводов СТО: сокращение размеров происходит лишь в направлении движения объекта.
> Следовательно, сокращается периметр диска, диаметр же остаётся постоянным:
>
> 2πX = 2π R√ (1 - k²*R²) ,
>
> отсюда
>
> X = R√ (1 - k²*R²) , (1)
>
> здесь

> R – расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки на диске в состоянии покоя ( нормаль к оси Y) ;
> X - расстояние от оси вращения до той же рассматриваемой точке на диске при вращении диска (нормаль к оси Y) ;
>
> k = W/C ,

> где W - угловая скорость вращения диска, C - скорость света.

> Необходимо найти зависимость изменения положения точки по оси Y в зависимости от её расстояния R по оси X до центра вращения в состоянии покоя, Y = f (X ( R ) ) .

> Дифференциал длины дуги кривой f (X ( R )) равен

> dS = √((dY/dR)² + (dX/dR)²) *dR

> По требованию СТО на всем участке кривой её длина S = R , следовательно,
>
> (dY/dR)² + (dX/dR)² =1 (2)

> dY = √ (1 - (dX/dR) ²) dR (3)

>
> Решение уравнения (3) имеет вид:

>
> Y = (1/2k)*ln((1-z)/(1+z)) + P , (4)

>
> где z = √((3/4 - k²*R²)/(1 - k²*R²)), (5)

>
> P- постоянная интегрирования. Для случая Y=0 при R=0:

> P= (1/2k)*ln((1+1/2√3) ∕ (1-1/2√3)). (6)


> Уравнение (4) показывает, что при вращении поверхности она сворачивается в идеальную "чашу", что совпадает с качественным описанием других авторов.
> Максимальный диаметр «чаши» равен: (√3/2)*(C/W),
> Высота чашки :
> 0.5*(C/W)* ln((1+(√3/2))/(1-(√3/2)).
> Таким образом, отношение диаметра «чашки» к её высоте в предельном случае составляет 1.3152

А в какую сторону от плоскости вращения диск будет сгибаться в чашу? Вроде бы изначально оба полупространства ничем не выделены. Или тут нарушение чётности, как в слабом взаимодействии? ;)


> > Уравнение (4) показывает, что при вращении поверхности она сворачивается в идеальную "чашу", что совпадает с качественным описанием других авторов.
> > Таким образом, отношение диаметра «чашки» к её высоте в предельном случае составляет 1.3152
> А в какую сторону от плоскости вращения диск будет сгибаться в чашу? Вроде бы изначально оба полупространства ничем не выделены. Или тут нарушение чётности, как в слабом взаимодействии? ;)
И как выключаются центробежные силы?

См. в поисковике:
Диск Эренфеста + Томас Фипс и его фотографии(1973г.) вращающихся колец на спицах.
До.



> А в какую сторону от плоскости вращения диск будет сгибаться в чашу? Вроде бы изначально оба полупространства ничем не выделены. Или тут нарушение чётности, как в слабом взаимодействии? ;)


Все дело в самом наблюдателе, именно он наблюдатель условно делит пространство. Вращающийся диск как бы прогибается под ним и наблюдатель оказывается в яме вне зависимости от того в какую сторону относительно наблюдателя вращается диск. Обратите внимание, что из преобразований Лоренца следует, что величина сокращения длины объекта относительно неподвижного наблюдателя не зависит в какую сторону движется объект, справа налево или слева направо, то есть при прямолинейном движении неважно направление скорости. Аналогично и при вращении соблюдается полная симметрия, совершенно неважно куда направлен относительно наблюдателя теперь уже вектор угловой скорости вращающегося диска, в любом случае наблюдатель замечает, что стенки диска приподнимаются в положительном направлении оси вращения. А какое направление выберет наблюдатель за положительное направление дело самого наблюдателя.

Шимпанзе


График прогиба диска при вращении в соответствии с полученным уравнением:
Y = (0.5/k)*ln((1-z)/(1+z)) + P ,

где k = W/C ,
где W - угловая скорость вращения диска, C - скорость света.
z = √((3/4 - k²*R²)/(1 - k²*R²)),
R – расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки на диске в состоянии покоя;

P= (0.5/k)*ln((1+ 0.5√3)/(1-0.5√3)).

Шимпанзе


>
> > А в какую сторону от плоскости вращения диск будет сгибаться в чашу? Вроде бы изначально оба полупространства ничем не выделены. Или тут нарушение чётности, как в слабом взаимодействии? ;)

>
> Все дело в самом наблюдателе, именно он наблюдатель условно делит пространство. Вращающийся диск как бы прогибается под ним и наблюдатель оказывается в яме вне зависимости от того в какую сторону относительно наблюдателя вращается диск. Обратите внимание, что из преобразований Лоренца следует, что величина сокращения длины объекта относительно неподвижного наблюдателя не зависит в какую сторону движется объект, справа налево или слева направо, то есть при прямолинейном движении неважно направление скорости. Аналогично и при вращении соблюдается полная симметрия, совершенно неважно куда направлен относительно наблюдателя теперь уже вектор угловой скорости вращающегося диска, в любом случае наблюдатель замечает, что стенки диска приподнимаются в положительном направлении оси вращения. А какое направление выберет наблюдатель за положительное направление дело самого наблюдателя.

Есть такая любопытная задача: каким видится летящий с субсветовой скоростью куб точечному наблюдателю. Решения не помню, но ответ там такой: куб кажется повёрнутым (а не сплющенным в γ раз). Видимо, Ваша задача того же сорта? Если же под "наблюдателем" иметь в виду, как обычно, всю совокупность измерений в данной СО, никакой анизотропии возникнуть не может.


> Есть такая любопытная задача: каким видится летящий с субсветовой скоростью куб точечному наблюдателю. Решения не помню, но ответ там такой: куб кажется повёрнутым (а не сплющенным в γ раз). Видимо, Ваша задача того же сорта? Если же под "наблюдателем" иметь в виду, как обычно, всю совокупность измерений в данной СО, никакой анизотропии возникнуть не может.

Эффект связан с конечностью скорости света (не путать со СТО-эффектами!). Просто свет от дальнего конца неожиданно "повернувшейся" к на боковоц грани доходит с задержкой, когда ее нижний конец уже сместился на некое расстояние. Довольно подробно это разобрано в старой, но хорошей книжке "Физика пространства--времени" Тейлора и Уилера. Многим опровергателям СТО и ОТО надо бы ее почитать - достаточно популярно и очень квалифицированно...


> Ну-у-у... Диск не может вращаться с релятивистской скоростью вокруг своей оси, если только сама ось не вращается со скоростью с! Речь может идти о кольце, причём ширина ононго определяется из условия, что скорость края диска = с(или близкая)Крайний случай не чаша, а цилиндр! Ежели Вы центр диска будуте вращать со скоростью с, то всё выродится в ось. Такие вот пироги.


> > > Уравнение (4) показывает, что при вращении поверхности она сворачивается в идеальную "чашу", что совпадает с качественным описанием других авторов.
> > > Таким образом, отношение диаметра «чашки» к её высоте в предельном случае составляет 1.3152
> > А в какую сторону от плоскости вращения диск будет сгибаться в чашу? Вроде бы изначально оба полупространства ничем не выделены. Или тут нарушение чётности, как в слабом взаимодействии? ;)
> И как выключаются центробежные силы?

> См. в поисковике:
> Диск Эренфеста + Томас Фипс и его фотографии(1973г.) вращающихся колец на спицах.
> До.

А причем здесь «центробежные силы»? Рассмотрена лишь кинематика вращающегося диска. Если рассматривать динамику, то здесь одними «центробежными силами» ( которых кстати и в природе нет, а есть силы инерции) не обойтись, тут надо будет «подключать» центростремительные силы, прочность материала диска на растяжения, а также релятивистскую динамику. И встанет вопрос, а реален ли вообще релятивистский диск, не разорвется ли он раньше времени?


Шимпанзе


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100