Cкорость звука

Сообщение №39290 от Арх 11 июня 2005 г. 13:17
Тема: Cкорость звука

В молекулярно-кинетической теории скорость молекул выводится из представлений о прямолинейном движении. P=p*v^2/3 _____ v=(3P/p)^0,5.
Такой же вывод можно сделать из представлений о круговом движении. Представив не кубик, а шарик, в котором молекулы двигаются по дуге с радиусом R со скоростью v, получим все нужные выводы.

Сила давления приравнивается к силе центробежной:
F/S=P=(M*v^2/R)/S= p*v^2/3, так как M/(R*S)=p.

Из такого представления получается, что внешний импульс из одной точки сферы к противоположной ее точке будет передаваться по дуге окружности. Тогда скорость звука можно вывести кинематически. c = 2*v/Pi.

Для движения при двух степенях свободы представляем цилиндр и выводим формулу скоростного напора /уравнение Бернулли/:
F/S=P=(M*v^2/R)/S= p*v^2/2.

Для одной степени свободы получим только прямолинейное движение и формулу давления F/S = P = p*v^2, доказав это индуктивным методом.

Согласны, что такой вывод легко запомнить и воспроизвести?


Отклики на это сообщение:

> Из такого представления получается, что внешний импульс из одной точки сферы к противоположной ее точке будет передаваться по дуге окружности. Тогда скорость звука можно вывести кинематически. c = 2*v/Pi.

Но это неправильная формула.
До встречи, AID.


Шар.
1. Описка: M/(R*S/3) = p. А то не поймут.
2. Что значит кинематически?
Вы хотите сказать, что v*2*R = c*Pi*R ?
Вообще-то, при свободном движении с^2 = P/p=v^2/3.



> > Из такого представления получается, что внешний импульс из одной точки сферы к противоположной ее точке будет передаваться по дуге окружности. Тогда скорость звука можно вывести кинематически. c = 2*v/Pi.

> Но это неправильная формула.
> До встречи, AID.

Да, она не совсем точна, зато выводится теоретическим путем. Я думал, что будут возражения вообще против такой модели движения. Из определения средней скорости молекул вдоль каждой из трех перпендикулярных осей координат вывод скорости звука дает еще менее точную формулу. Средняя скорость - скорость молекулы за достаточно большой промежуток времени. Молекулы, по идее, должны переносить импульс возмущения от одной грани куба к другой с этой самой средней скоростью. Тогда с = Vcp, но оказывается c=Vcp/2^0,5, еще точнее c=Vcp/1,38...


> Да, она не совсем точна, зато выводится теоретическим путем.

А каким еще путем выводят формулы?


> Из определения средней скорости молекул вдоль каждой из трех перпендикулярных осей координат вывод скорости звука дает еще менее точную формулу.

А где Вы видели такой вывод?

Средняя скорость - скорость молекулы за достаточно большой промежуток времени. Молекулы, по идее, должны переносить импульс возмущения от одной грани куба к другой с этой самой средней скоростью. Тогда с = Vcp, но оказывается c=Vcp/2^0,5, еще точнее c=Vcp/1,38...

Признаться, непонятно, зачем вообще выводить то, что выводится в учебниках.
И откуда Вы взяли c=Vcp/1,38?
Для двухатомных газов получается 1.35. Для одноатомных 1.27. Для трехатомных 1.38. И то не для всех трехатомных.
До встречи, AID.


> Шар.
> 1. Описка: M/(R*S/3) = p. А то не поймут.
Благодарен за замечание.
> 2. Что значит кинематически?
То есть, зная только значение средней скорости молекул, пытаюсь оценить скорость распространения возмущения вдоль прямой линии /скорость звука/.
> Вы хотите сказать, что v*2*R = c*Pi*R ?
Подразумевая, что импульс возмущения переносится со средней скоростью молекул, но, так как молекулы имеют круговую траекторию, то делим V на Pi/2 и получаем скорость звука вдоль прямой линии. Хотя эта формула не соответствует действительности, но дает не большую погрешность.
> Вообще-то, при свободном движении с^2 = P/p=v^2/3.
А как это доказывается?



> > Да, она не совсем точна, зато выводится теоретическим путем.
> А каким еще путем выводят формулы?
Существует же множество эмпирических формул.
> Признаться, непонятно, зачем вообще выводить то, что выводится в учебниках.
> И откуда Вы взяли c=Vcp/1,38?
> Для двухатомных газов получается 1.35. Для одноатомных 1.27. Для трехатомных 1.38. И то не для всех трехатомных.
> До встречи, AID.
Я ни чего фундаментального и не предлагаю. Предложил простое объяснение молекулярно-кинетической теории на основе кругового движения, которое легко запомнить. Использовал всего две формулы: давления и центробежной силы. В учебниках похожего объяснения, кажется, нет. А также расчитывал на то, что кто-то возмутится: молекулы двигаются только по прямым линиям и ни о каком круговом движении речи не может быть!


> Подразумевая, что импульс возмущения переносится со средней скоростью молекул, но, так как молекулы имеют круговую траекторию, то делим V на Pi/2 и получаем скорость звука вдоль прямой линии. Хотя эта формула не соответствует действительности, но дает не большую погрешность.

Не понял. Можно поподробнее?

> > Вообще-то, при свободном движении с^2 = P/p=v^2/3.
> А как это доказывается?

Линеаризованное уравнение Эйлера
(1)       ρtu = –∂xp
Линеаризованное уравнение непрерывности (сохранение массы)
(2)       ∂tρ + ρxu = 0
Линеаризованное уравнение состояния
(3)       p = c2ρ
Дифференцируем (1) по t и подставляем в него (3) и (2).
Получаем уравнение волны
(4)       ∂t2u = c2x2u
Из него видим, что коэффициент c уравнения состояния (3) имеет смысл скорости волны.
С другой стороны, для идеального газа
(5)       F = N2mux/t
(6)       t = 2l/ux
Из (5) и (6)
(7)       p = F/S = Nmux2/V
Уравнение (7) дает
(8)       p = ρu2%


> > Вы хотите сказать, что v*2*R = c*Pi*R ?
> Подразумевая, что импульс возмущения переносится со средней скоростью молекул, но, так как молекулы имеют круговую траекторию, то делим V на Pi/2 и получаем скорость звука вдоль прямой линии.

Не понял. Можно поподробнее?

> > Вообще-то, при свободном движении с^2 = P/p=v^2/3.
> А как это доказывается?

Линеаризованное уравнение Эйлера
(1)       ρtu = –∂xp
Линеаризованное уравнение непрерывности (сохранение массы)
(2)       ∂tρ + ρxu = 0
Линеаризованное уравнение состояния
(3)       p = c2ρ
Дифференцируем (1) по t и подставляем в него (3) и (2).
Получаем уравнение волны
(4)       ∂t2u = c2x2u
Из него видим, что коэффициент c уравнения состояния (3) имеет смысл скорости волны.
С другой стороны, для идеального газа
(5)       F = N2mux/t
(6)       t = 2l/ux
Из (5) и (6)
(7)       p = F/S = Nmux2/V
Уравнение (7) дает
(8)       p = ρu2/3
Сравнивая (3) и (8), найдем
(9)       с2 = u2/3
ч.т.д.


> > > Вы хотите сказать, что v*2*R = c*Pi*R ?
> > Подразумевая, что импульс возмущения переносится со средней скоростью молекул, но, так как молекулы имеют круговую траекторию, то делим V на Pi/2 и получаем скорость звука вдоль прямой линии.

> Не понял. Можно поподробнее?
>
> > > Вообще-то, при свободном движении с^2 = P/p=v^2/3.
> > А как это доказывается?

> Линеаризованное уравнение Эйлера
> (1)       ρtu = –∂xp
> Линеаризованное уравнение непрерывности (сохранение массы)
> (2)       ∂tρ + ρxu = 0
> Линеаризованное уравнение состояния
> (3)       p = c2ρ
> Дифференцируем (1) по t и подставляем в него (3) и (2).
> Получаем уравнение волны
> (4)       ∂t2u = c2x2u
> Из него видим, что коэффициент c уравнения состояния (3) имеет смысл скорости волны.
> С другой стороны, для идеального газа
> (5)       F = N2mux/t
> (6)       t = 2l/ux
> Из (5) и (6)
> (7)       p = F/S = Nmux2/V
> Уравнение (7) дает
> (8)       p = ρu2/3
> Сравнивая (3) и (8), найдем
> (9)       с2 = u2/3
> ч.т.д.

Но это тоже неправильная формула. Причем более неправильная, чем у Арха. Какая у Вас получится скорость звука в воздухе при нормальной температуре?
До встречи, AID.


> > (9)       с2 = u2/3
> > ч.т.д.

> Но это тоже неправильная формула. Причем более неправильная, чем у Арха.

Остроумно.
У Арх
c = 2u/π = 0,637u
У меня
c = u/31/2 = 0,577u


> Какая у Вас получится скорость звука в воздухе при нормальной температуре?

Считаем.
Универсальная газовая постоянная
R = 8314 г·м2/(сек2·K·моль)
Температура 20° C
T = 293,14 K
Масса "молекулы" воздуха
M = 30 г/моль
c2 = u2/3 = RT/M = 8314·293,14·/30 м2/сек2 = 81238,87 м2/сек2
c = 285 м/сек
Опытное значение скорости звука в воздухе
331,46 м/сек




> Остроумно.
> У Арх
> c = 2u/π = 0,637u
> У меня
> c = u/31/2 = 0,577u

>
> > Какая у Вас получится скорость звука в воздухе при нормальной температуре?

> Считаем.
> Универсальная газовая постоянная
> R = 8314 г·м2/(сек2·K·моль)
> Температура 20° C
> T = 293,14 K
> Масса "молекулы" воздуха
> M = 30 г/моль
> c2 = u2/3 = RT/M = 8314·293,14·/30 м2/сек2 = 81238,87 м2/сек2
> c = 285 м/сек
> Опытное значение скорости звука в воздухе
> 331,46 м/сек
Еще есть формула для воздуха с = 20,1*(T)^0,5 = 332 м/с при Т = 273 К.
Если предположить, что импульс возмущения переносится молекулами с их средней скоростью, то возможны варианты:
1. участвуют 1/3 молекул /1 ст.своб/ и переносят импульс со скор. c^2 = Vcp^2
2. участвуют 2/3 молекул /2 ст.своб/ и переносят импульс со скор. c^2 = Vcp^2/2
3. участвуют все молекулы /3 ст.своб/ и переносят импульс со скор.c^2 = Vcp^2/3
4. участвуют все молекулы и переносят импульс по дугам окружностей любого радиуса со скоростью Vcp, при этом скорость переноса импульса будет меньше Vcp, так, из модели кругового движения, вдоль прямой линии этот импульс будет иметь скорость в 1,57.. раза меньше.
Получаем коэффициенты 1, 1,41.., 1,72.., 1,57.Для идеального газа.
AID привел такие: 1,27, 1,35, 1,38. Для реальных газов. Расхождение есть.



> > AID привел такие: 1,27, 1,35, 1,38. Для реальных газов. Расхождение есть.

> Я привел данные тоже для идеальных газов (одно- двух- и трехатомных).

Кстати, я писал отношения именно для СРЕДНЕЙ скорости. Вы же с Механистом пишете о среднеквадратичной
скорости.
Для среднеквадратичной скорости
1-атомный газ: 1.34
2-атомный: 1.46
3-атомный: 1.5
До встречи, AID.


> > > AID привел такие: 1,27, 1,35, 1,38. Для реальных газов. Расхождение есть.

> > Я привел данные тоже для идеальных газов (одно- двух- и трехатомных).

> Кстати, я писал отношения именно для СРЕДНЕЙ скорости. Вы же с Механистом пишете о среднеквадратичной
> скорости.
> Для среднеквадратичной скорости
> 1-атомный газ: 1.34
> 2-атомный: 1.46
> 3-атомный: 1.5
> До встречи, AID.
Благодарю Вас, AID, за консультации. Все-таки не так далеко от истины оказалось значение скорости, расчитанное по "школьным" формулам. Силу давления на сферу с внешней стороны приравнял к центробежной силе молекул внутри сферы. Полученную скорость поделил на Pi/2 и получил приблизительное значение скорости звука.
Пример: c = (3P/p)^0,5/Pi=(3*10^5/1,22)^0,5/1,57=316 м/с
В левом столбике - скорость звука в стандартной атмосфере для высот 0, 5, 10, 20, 30, 60, 80 км. Я взял из справочника,но соответствуют формуле c=20*T^0,5.
В правом - расчитанные по давлению и плотности, без учета температуры.
340 316
320 300
300 280
295 290
304 282
331 312
270 820 очень большое расхождение.
На высоте 80 км кинематика не сработала.


> В молекулярно-кинетической теории скорость молекул выводится из представлений о прямолинейном движении. P=p*v^2/3 _____ v=(3P/p)^0,5.
> Такой же вывод можно сделать из представлений о круговом движении. Представив не кубик, а шарик, в котором молекулы двигаются по дуге с радиусом R со скоростью v, получим все нужные выводы.
>
> Сила давления приравнивается к силе центробежной:
> F/S=P=(M*v^2/R)/S= p*v^2/3, так как M/(R*S)=p.

Уважаемый Apx!

Уже разобрались, прежде чем что-то к чему-то приравнивать, в причинах противоречивости формулы "F/S=P" элементарному эксперименту, демонстрирующему, что показания прибора для измерения давления не зависит от формы сосуда, содержащего газ (взяв две емкости ОДИНАКОВОГО объема, но РАЗНОЙ геометрической формы (РАЗЛИЧНОЙ площади поверхности), к примеру, шарообразной и кубической, и наполнив их одинаковым количеством одного и того же газа, Вы и сможете убедиться в том, что при одинаковых внешних условиях показания манометров в этих двух случаях НЕ ОТЛИЧАЮТСЯ)?

С уважением.



> Уже разобрались, прежде чем что-то к чему-то приравнивать, в причинах противоречивости формулы "F/S=P" элементарному эксперименту, демонстрирующему, что показания прибора для измерения давления не зависит от формы сосуда, содержащего газ (взяв две емкости ОДИНАКОВОГО объема, но РАЗНОЙ геометрической формы (РАЗЛИЧНОЙ площади поверхности), к примеру, шарообразной и кубической, и наполнив их одинаковым количеством одного и того же газа, Вы и сможете убедиться в том, что при одинаковых внешних условиях показания манометров в этих двух случаях НЕ ОТЛИЧАЮТСЯ)?
Во как! Предложение на восемь строчек растянулось. Только в конце предложения догадался, что это - вопрос. Возражений не последовало по этому поводу: то есть допустимо рассматривать давление газа и в кубике, и в шарике и в сосуде любой формы. Форму шара я предложил потому, что вывод формулы давления идеального газа легко запоминается. И формула скорости звука, хотя и приблизительно, но зато просто выводится. Через кинематические представления.
> С уважением.


Вы не ответили на 39244.
???


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100