Кинематический метод вычислений

Сообщение №38917 от Арх 17 мая 2005 г. 13:03
Тема: Кинематический метод вычислений

Просьба найти уязвимые места в этом методе.
__Кинематический метод расчета характеристик движения.
Из определений v=dx/dt и a=dv/dt получаем v*dv =a*dx или v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
Из уравнения закона сохранения механической энергии Ек = m*v^2/2 = m* I (a(x)*dx) = Еп, где I - знак интеграла, поделив его на m, получаем уже выведенное выше уравнение. Из него можно вывести кинематические зависимости
V(x), t(x), x(t) для известных зависимостей ускорения a(x).

Можно составить твблицу по такому методу:
Даны зависимости ускорения от координаты х и некой константы С: a(x)= f(C,x).
Проинтегрировав уравенение: v*dv=a(x)*dx находим зависимость скорости от координаты х: v(x)=(2* I (a(x)*dx))^0,5, проинтегрировав уравнение dt=dx/v(x), получим зависимость времени от координаты: t(x)= I ( dx/v(x)), обратная функция от которой даст зависимость координаты от времени: x(t)=1/f(t(x)).

Примеры:

a(x)=C*x^-3__ __v(x)= (4*c*(x^-2 - b^-2)^0,5__
t(x)=b*((x^2 - x^2)/C)^0,5__ __x(t)=(C*b^2 + (C*t/b)^2)^0,5

a(x)=Cx^-2__ __v(x)=(2*C*(x^-1 - b^-1)^0,5__
t(x)=(2*C)^-0,5*b^3/2*(Pi/2 - arcsin((x/b)^0,5) + (x/b)*(b/x - 1)^0,5)

a(x)=C*x^-1__ __v(x)= I (2*C*ln(x/b))^0,5__
t(x)= I (dx/(2*C*ln(x/b))^0,5)

a(x)=C__ __v(x)=(2*c*(x-b))^0,5__
t(x)=(2*(x-b)/C)^0,5__ __x(t)=b-C*t^2/2

a(x)=Cx__ __v(x)=(C*(x^2-b^2))^0,5__
t(x)= C^-0,5*arcsin(x/b)__ __x(t)=b*sin(c^0,5*t)
v(x)=(C*(b^2-x^2))^0,5__ __t(x)=C^-0,5*ln(((b^2-x^2)^0,5+x)/b)
v(x)=C*(x-b)__ __t(x)=C^-1*ln(x/b)__ __x(t)=b*e^Ct

Во втором примере - время падения тела в поле тяготения.
В четвертом - равноускоренное движение.
В пятом - упругие колебания, движение во вращающейся системе, закон естественного роста/ распада.

Можно продолжить таблицу для других известных зависимостей а(x) и даже не известных, а выраженных хотя бы в элементарных функциях, со знаком + и -.



Отклики на это сообщение:

> Просьба найти уязвимые места в этом методе.
> __Кинематический метод расчета характеристик движения.
> Из определений v=dx/dt и a=dv/dt получаем v*dv =a*dx или v(x)*dv(x)=a(x)*dx.
> Из уравнения закона сохранения механической энергии Ек = m*v^2/2 = m* I (a(x)*dx) = Еп, где I - знак интеграла, поделив его на m, получаем уже выведенное выше уравнение. Из него можно вывести кинематические зависимости
> V(x), t(x), x(t) для известных зависимостей ускорения a(x).

> Можно составить твблицу по такому методу:
> Даны зависимости ускорения от координаты х и некой константы С: a(x)= f(C,x).
> Проинтегрировав уравенение: v*dv=a(x)*dx находим зависимость скорости от координаты х: v(x)=(2* I (a(x)*dx))^0,5, проинтегрировав уравнение dt=dx/v(x), получим зависимость времени от координаты: t(x)= I ( dx/v(x)), обратная функция от которой даст зависимость координаты от времени: x(t)=1/f(t(x)).

> Примеры:

> a(x)=C*x^-3__ __v(x)= (4*c*(x^-2 - b^-2)^0,5__
> t(x)=b*((x^2 - x^2)/C)^0,5__ __x(t)=(C*b^2 + (C*t/b)^2)^0,5

> a(x)=Cx^-2__ __v(x)=(2*C*(x^-1 - b^-1)^0,5__
> t(x)=(2*C)^-0,5*b^3/2*(Pi/2 - arcsin((x/b)^0,5) + (x/b)*(b/x - 1)^0,5)

> a(x)=C*x^-1__ __v(x)= I (2*C*ln(x/b))^0,5__
> t(x)= I (dx/(2*C*ln(x/b))^0,5)

> a(x)=C__ __v(x)=(2*c*(x-b))^0,5__
> t(x)=(2*(x-b)/C)^0,5__ __x(t)=b-C*t^2/2

> a(x)=Cx__ __v(x)=(C*(x^2-b^2))^0,5__
> t(x)= C^-0,5*arcsin(x/b)__ __x(t)=b*sin(c^0,5*t)
> v(x)=(C*(b^2-x^2))^0,5__ __t(x)=C^-0,5*ln(((b^2-x^2)^0,5+x)/b)
> v(x)=C*(x-b)__ __t(x)=C^-1*ln(x/b)__ __x(t)=b*e^Ct

> Во втором примере - время падения тела в поле тяготения.
> В четвертом - равноускоренное движение.
> В пятом - упругие колебания, движение во вращающейся системе, закон естественного роста/ распада.

> Можно продолжить таблицу для других известных зависимостей а(x) и даже не известных, а выраженных хотя бы в элементарных функциях, со знаком + и -.

Бога ради, зачем вы это делаете? Повторю, такой метод решения уравнений
y''=f(y) входит во все учебники по дифференциальным уравнениям, где никак не связывается с кинематикой, и практически во все курсы по теормеху (Вам указывал Snowman). Вы книжки читаете?



> Бога ради, зачем вы это делаете? Повторю, такой метод решения уравнений
> y''=f(y) входит во все учебники по дифференциальным уравнениям, где никак не связывается с кинематикой, и практически во все курсы по теормеху (Вам указывал Snowman). Вы книжки читаете?

Благодарю Вас за информацию. Я, действительно, книг не читал, кроме школьных учебников. Snowman подтвердил, что именно такой метод есть в солидном учебнике по теормеху. По этой теме участниками форума были высказаны возражения: уравнение годится только для равноускоренного движения, то есть а=const.
Возражали и по выводу уравнения v(x)*dv(x)= a(x)*dx, которое приводит к доказательству закона сохранения механической энергии. А еще у меня есть предположение такое: из w=dv/dr и w=v(r)/r получается уравнение v(r)*dr=r*dv, которое приводит к доказательству закона сохранения момента импульса. Будут возражения? А кто знает другой способ доказательства этого закона?


> Благодарю Вас за информацию. Я, действительно, книг не читал, кроме школьных учебников.

Что ж, развлекайтесь...


Принципиальных возражений не последовало, даже поступили подтверждения, что такой метод давно применяется. Если бы я написал какой-нибудь абсурд, в роде "Парадоксы закона тяготения", желающих поколотить меня нашлось бы много.
Подчистил еще немного свою "диссертацию" и на этом заканчиваю тему.

__Кинематический метод расчета характеристик движения.

Из кинематических тождеств v=dx/dt и a=dv/dt получаем дифференциальное уравнение v*dv =a*dx или v(x)*dv(x)=a(x)*dx. ___ (1)

Из него можно вывести прямым интегрированием кинематические зависимости
V(x), t(x) для известных зависимостей ускорения a(x), а также найти x(t), как обратную функцию от t(x).

По такому методу можно составить таблицу :
Даны зависимости ускорения от координаты х и некой константы С: a(x)= f(C,x).
Проинтегрировав уравенение: v*dv=a(x)*dx находим зависимость скорости от координаты х: v(x)=(2* I (a(x)*dx))^0,5, проинтегрировав уравнение dt=dx/v(x), получим зависимость времени от координаты: t(x)= I ( dx/v(x)), обратная функция от которой даст зависимость координаты от времени: x(t)=1/f(t(x)).

> Примеры:

> a(x)=C*x^-3__ __v(x)= (4*c*(x^-2 - b^-2)^0,5__
> t(x)=b*((x^2 - x^2)/C)^0,5__ __x(t)=(C*b^2 + (C*t/b)^2)^0,5

> a(x)=Cx^-2__ __v(x)=(2*C*(x^-1 - b^-1)^0,5__
> t(x)=(2*C)^-0,5*b^3/2*(Pi/2 - arcsin((x/b)^0,5) + (x/b)*(b/x - 1)^0,5)

> a(x)=C*x^-1__ __v(x)= I (2*C*ln(x/b))^0,5__
> t(x)= I (dx/(2*C*ln(x/b))^0,5)

> a(x)=C__ __v(x)=(2*c*(x-b))^0,5__
> t(x)=(2*(x-b)/C)^0,5__ __x(t)=b-C*t^2/2

> a(x)=Cx__ __v(x)=(C*(x^2-b^2))^0,5__
> t(x)= C^-0,5*arcsin(x/b)__ __x(t)=b*sin(c^0,5*t)
> v(x)=(C*(b^2-x^2))^0,5__ __t(x)=C^-0,5*ln(((b^2-x^2)^0,5+x)/b)
> v(x)=C*(x-b)__ __t(x)=C^-1*ln(x/b)__ __x(t)=b*e^Ct

Во втором примере - время падения тела в поле тяготения.
В четвертом - равноускоренное движение.
В пятом - упругие колебания, движение во вращающейся системе, закон естественного роста/ распада.
Можно продолжить таблицу для других известных зависимостей а(x) и даже не известных, а выраженных хотя бы в элементарных функциях, со знаком + и -.
Причем находим решения для всех возможных вариантов пределов интегрирования.

Еще одно применение кинематического метода:
v(x)*dv(x)=a(x)*dx. ___ (1)
Умножив обе части уравнения на m и проинтегрировав их, получим закон сохранения механической энергии Ек = m*v^2(x)/2 = - m* I (a(x)*dx) = Еп, где I - знак интеграла.

И еще одно:
Из тождеств вращательного движения w=dv/dr и w=v(r)/r получается уравнение
v(r)*dr = -r*dv, или v(r)*dr + r*dv = 0, которое приводит к доказательству закона сохранения момента импульса m*v*r=const.

Формула центростремительного ускорения a = w^2*R = V^2/R ведь тоже выводится кинематическим методом.

Возможно, кому то и пригодится эта статья. Думаю, что пятеро из десяти даже не подозревают, что можно найти скорость по пройденному расстоянию, не имея ни какой информации о времени, а зная только закон изменения ускорения на пути.


> Еще одно применение кинематического метода:
> v(x)*dv(x)=a(x)*dx. ___ (1)
> Умножив обе части уравнения на m и проинтегрировав их, получим закон сохранения механической энергии Ек = m*v^2(x)/2 = - m* I (a(x)*dx) = Еп, где I - знак интеграла.

Здесь надо еще поставить изменение Ek, Eп.

> И еще одно:
> Из тождеств вращательного движения w=dv/dr и w=v(r)/r получается уравнение
> v(r)*dr = -r*dv, или v(r)*dr + r*dv = 0, которое приводит к доказательству закона сохранения момента импульса m*v*r=const.

Над этим Вам надо еще поработать. В частности уточнить - для какого частного случая выведена формула. Момент импульса он же не всегда сохраняется. И не всегда записывается в таком виде. И что за формула w=dv/dr?

До встречи, AID.


> > Еще одно применение кинематического метода:
> > v(x)*dv(x)=a(x)*dx. ___ (1)
> > Умножив обе части уравнения на m и проинтегрировав их, получим закон сохранения механической энергии Ек = m*v^2(x)/2 = - m* I (a(x)*dx) = Еп, где I - знак интеграла.

> Здесь надо еще поставить изменение Ek, Eп.
Благодарю за замечание. Да, правильнее было бы записать вывод в виде определенных интегралов V^2(x2) - V^2(x1) + 2*(A(x2)- A(x1)) = С, где А(x) - первообразная от a(x).
> > И еще одно:
> > Из тождеств вращательного движения w=dv/dr и w=v(r)/r получается уравнение
> > v(r)*dr = -r*dv, или v(r)*dr + r*dv = 0, которое приводит к доказательству закона сохранения момента импульса m*v*r=const.

> Над этим Вам надо еще поработать. В частности уточнить - для какого частного случая выведена формула. Момент импульса он же не всегда сохраняется. И не всегда записывается в таком виде. И что за формула w=dv/dr?
Формула для случая движения тела вдоль жесткого радиуса при постоянной W: dv=W*dr. Принял в обоих тождествах W , как переменную, v - как тангенциальную скорость. Исключив из из двух уравнений w, получил единственное условие, при котором w может быть переменной: v*dr+r*dv=0.
Доказательство корявое, так как я не знаю современных записей тождественных преобразований дифференциальных выражений.
Честно говоря, я дожидался именно Вашей рецензии, AID. Ваша способность принять точку зрения аппонента и разобраться в ней меня поражает. И тактичность, конечно.


> > > Из тождеств вращательного движения w=dv/dr и w=v(r)/r получается уравнение
> > > v(r)*dr = -r*dv, или v(r)*dr + r*dv = 0, которое приводит к доказательству закона сохранения момента импульса m*v*r=const.

> Формула для случая движения тела вдоль жесткого радиуса при постоянной W: dv=W*dr. Принял в обоих тождествах W , как переменную, v - как тангенциальную скорость. Исключив из из двух уравнений w, получил единственное условие, при котором w может быть переменной: v*dr+r*dv=0.
> Доказательство корявое, так как я не знаю современных записей тождественных преобразований дифференциальных выражений.

Т.е. v - тангенсальная составляющая скорости?
Что-то мне все равно не нравится. Ведь не всегда момент импульса сохраняется. Например, тело падает на землю. Относительно кирпича в стене, мимо которого оно пролетает, тело не сохраняет момент импульса.
А вообще, для точки закон сохранения момента импульса действительно легко доказывается.
До встречи, AID.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100