Определение потенциала

Сообщение №38490 от stopper 15 апреля 2005 г. 13:34
Тема: Определение потенциала

Во многих задачах по электричеству требуется решить следующую локальную задачу:
Имеется бесконечная тонкая заряженная нить. Линейная плотность заряда, распределённого по нити дана.
Как определять потенциал в точке удалённой на заданное расстояние от нити?


Отклики на это сообщение:

> Во многих задачах по электричеству требуется решить следующую локальную задачу:
> Имеется бесконечная тонкая заряженная нить. Линейная плотность заряда, распределённого по нити дана.
> Как определять потенциал в точке удалённой на заданное расстояние от нити?

Можно по теореме Остроградского-Гаусса посчитать напряженность. А из нее интегрированием потенциал.
А можно сразу интегрированием потенциал из потенциала точечного заряда.
До встречи, AID.


> > Во многих задачах по электричеству требуется решить следующую локальную задачу:
> > Имеется бесконечная тонкая заряженная нить. Линейная плотность заряда, распределённого по нити дана.
> > Как определять потенциал в точке удалённой на заданное расстояние от нити?

> Можно по теореме Остроградского-Гаусса посчитать напряженность. А из нее интегрированием потенциал.
> А можно сразу интегрированием потенциал из потенциала точечного заряда.
> До встречи, AID.

Собственно вторым способом я и пытался. Точнее у меня не получается подынтегральное выражение. Пропадает перпендикулярное расстояние от точки до нити. (см. рис.) Вообщем я полностью запутался. ../../img/poten.JPG


> > > Как определять потенциал в точке удалённой на заданное расстояние от нити?

> > Можно по теореме Остроградского-Гаусса посчитать напряженность. А из нее интегрированием потенциал.
> > А можно сразу интегрированием потенциал из потенциала точечного заряда.

> Собственно вторым способом я и пытался. Точнее у меня не получается подынтегральное выражение. Пропадает перпендикулярное расстояние от точки до нити. (см. рис.) Вообщем я полностью запутался. ../../img/poten.JPG

Тут, видимо, дело в некорректности использования понятия математической бесконечности, вместо физической. Если Вы зададите конкретные расстояния до концов стержней, то в Вашем интеграле будут конкретные пределы через углы, которые будут связаны именно с расстоянием до точки. Однако при переходе к пределу бесконечной длины интеграл будет расходиться логарифмически. Это связано с тем, что в задачах всегда надо понимать под бесконечно длинным стержнем физически бесконечный стержень, но не математически.

Вы можете просто получить общее выражение для данных расстояний до концов, которое, конечно, зависит от расстояния, а потом показать, что при переходе к пределу интеграл расходится.
До встречи, AID.


> Вы можете просто получить общее выражение для данных расстояний до концов, которое, конечно, зависит от расстояния, а потом показать, что при переходе к пределу интеграл расходится.
> До встречи, AID.

Правильно ли я понял. Если мы берём одно расстояние, интегрируем. Берём другое расстояне, интегрируем. Оба взятых интеграла будут абсолютно одинаковы и будут расходится? Т.е. вернее первым способом? Или там также всё выйдет?


Расходимость интеграла всего лишь означает появление в потенциале нефизической бесконечной константы. Ее нетрудно побороть, если вспомнить, что физическим смыслом обладает не сам потенциал, а разность потенциалов.
Поэтому вместо вычисления потенциала через интеграл в пределах от минус до плюс бесконечности
Ф(r)= \int С*dx/sqrt(r^2+x^2),
который действительно равен бесконечности, можно вычислять разность
Ф(r) - Ф(r0)= \int С*dx * [1/sqrt(r^2+x^2) - 1/sqrt(r0^2+x^2)],
которая уже сходится.
Используя табличный неопределенный интеграл
\int dx/sqrt(r^2+x^2) = ln[x + sqrt(r^2+x^2)],
эта разность находится мгновенно:
Ф(r) - Ф(r0) = 2*C * ln(r0/r).
(проще всего двойку в этом выражении воспроизвести, заменяя интеграл от минус до плюс бесконечности на два интеграла от нуля до плюс бесконечности).

Так что сам потенциал можно считать равным
Ф(r) = -2*С*ln(r) + const,
куда входит неопределенная (и никому не нужная) константа const. Электрическое же поле равно
E(r) = -dФ(r)/dr = 2*C/r.
Последний ответ можно было сразу получить из теоремы Гаусса без всяких заморочек.


> Правильно ли я понял. Если мы берём одно расстояние, интегрируем. Берём другое расстояне, интегрируем. Оба взятых интеграла будут абсолютно одинаковы и будут расходится? Т.е. вернее первым способом? Или там также всё выйдет?

Вы можете взять точку, находящуюся напротив конца стержня и найти интеграл. Там получится логарифмическое выражение, в которое будет входить расстояние до точки и длина стержня. Для точки в центре стержня удвоенной длины умножаете интеграл на два.
Устремляя потом x к бесконечности, Вы получите расходящийся интеграл.
Говорить о том, что оба расходящихся интеграла равны, наверно, не совсем корректно, т.к. зависит от скорости, с какой мы стремимся к бесклнечности в каждом интеграле.

Решая через теорему Гаусса Вы тоже не получите определенного значения.
Напряженность Вы найдете правильно, т.е. тот же результат, что и интегрированием по принципу суперпозиции. Интеграл будет сходиться и давать то же, что и теорема Гаусса. Однако потом, чтобы найти потенциал, Вам надо взять интеграл от напряженности от данной точки до бесконечности и Вы опять получите бесконечность. Дело в том, что нормировка на бесконечно удаленную точку для математически бесконечных структур перестает работать. Это легко понять для бесконечной заряженной плоскости. Там, если пронормировать потенциал на ноль на поверхности плоскости, то на бесконечности получите бесконечность (или вспомните то же mgh, при h->infty, потенциальная энергия стремится к бесконечности. А для нити еще хуже, т.к. там расходимости будут и в нуле и в бесконечности. Тут уже надо вспомнить, что математически бесконечно тонких нитей тоже не бывает.

Имхо, Вы можете решать по таким пунктам
1. Найти напряженность интегрированием. Сначала для конечного стержня, а потом перейти к бесконечному пределу. Интеграл будет сходиться.
2. Найти напряженность через ТГ. Убедиться, что результат одинаков.
3. Для конечного стержня найти потенциал, как интеграл от напряженности от данной точки до бесконечности.
4. Найти потенциал интегрированием, как Вы и решали и показать, что результат тот же самый.
5. Перейти к пределу и показать, что потенциал в пределе бесконечно длинной нити расходится. Это следствие некорректности использования понятия математически бесконечных структур.

Упомяну, что реально такие проблемы вставали при анализе такой бесконечной структуры, как наша вселенная. (фотометрический парадокс и гравитационный парадокс)- можете поискать в интете. Решение проблем потребовало привлечения общей теории относительности.
До встречи, AID.


> Во многих задачах по электричеству требуется решить следующую локальную задачу:
> Имеется бесконечная тонкая заряженная нить. Линейная плотность заряда, распределённого по нити дана.
> Как определять потенциал в точке удалённой на заданное расстояние от нити?

Задача очень просто решается в лоб, только надо стараться не перемудрить. На листке это одна картинка и две строчки, здесь неудобно, но я напишу :-)
Картинка - та самая нить, точка А на расстоянии y от нее, на нити выюелен участок dx на расстоянии х от проекции А на нить. удельный заряд s. Тогда поле в А, создаваемое элементом dx равно
dE = s*dx/(y^2+x^2)
Нас интересует проекция поля, перпендикулярная нити (Er) - в связи с симметричностью задачи
dEr = s*dx/(y^2+x^2) * y/(y^2+x^2)
Полное поле - два интеграла от 0 до бесконечности - в связи с симметрией задачи опять же (Int(...) - интеграл от 0 до бесконечности):
Er = 2*s* Int(y*dx/(y^2+x^2)^2) = 2*s/y^2*Int(dx/(1+x^2)^2)
Интеграл, конечно, сходится и пусть он равен К - Двайта под рукой нет, а считать лень
Er = 2*s*K/y^2
Далее интегрируете это по у от у0 до бесконечности - это уже в качестве домашнего задания :-)) (если интеграл не сойдется, срочно берите академ!)

Что интересно, потенциал меняется как 1/r, как и у точечного заряда... на вскидку, мог бы быть и логарифмом... потому как у заряженной плоскости он уже расходится... :-))


Вы бы ...этта... размерности што ли проверили прежде чем писать... И про косинус почитали че нибудь...


> Во многих задачах по электричеству требуется решить следующую локальную задачу:
> Имеется бесконечная тонкая заряженная нить. Линейная плотность заряда, распределённого по нити дана.
> Как определять потенциал в точке удалённой на заданное расстояние от нити?

Ну, размерность - я там всякие епсилон нулевые, конечно, не писал - выбирайте систему и добавляйте епсилоны и 4-пи всякие. А так в общем [s*dx/y^2]=[Q/r^2] - вполне размерность поля. И косинус там тоже есть - в выражении для Er есть сомножитель у/(y^2+x^2)... упс, корень забыл... Ну, сути это не меняет, тогда:

Er = 2*s/y*Int(dx/(1+x^2)^(3/2))

Здесь интеграл все равно сходится, а при втором интегрировании получится логарифмическая расходимость. Ну, в общем, нормально, для заряженной плоскости потенциал расходится уже как r. Что поделать, такова жизнь, энергия бесконечной нити бесконечна... :-)

Абшибка вышла, извиняйте... :-)


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100