Система пружин

Сообщение №38076 от ghost_in_machine 16 марта 2005 г. 22:43
Тема: Система пружин

Помогите, пожалуйста, биологу решить задачу из механики. Есть набор N пружин с известными коэффициентами жесткости k (у всех пружин разные). Все пружины прикреплены одним концом к одной материальной точке А с известными координатами. Координаты другого конца для всех пружин известны и постоянны. К точке А прикладывают импульс, со случайным значением направления вектора (в трехмерном пространстве), но с известной величиной модуля V и скаляра m. Необходимо найти объем фигуры, ограниченный путем l, который точка А может пройти в такой системе пружин под действием импульсов, приложенных под всеми возможными углами. Для модели, которую описывает задача можно рассматривать траекторию движения А как прямую.

Я хотел найти некую функцию l=f(alfa,beta) для связи длинны прямолинейного пробега и углов приложения импульса но застопорился уже на случае выражения для одного угла. Понятно, что l будет ограничена равновесной кинетической и потенциальной энергии:
Ski*(ri-r0i)2=0.5*mV2, где ri - расстояние в точке равновесия к i-той пружине. r0i - оптимальная длинна i-той пружины (она есть одновременно исходным длинной), ki -коэффициент жесткости i-той пружины.
Но при попытке выразить изменения потенциальной энергии пружин через общий путь я получил квадратное уравнение с одним из членов в виде суммы корней квадратных из переменной l и проекций пружин на прямую траектории. Такую функцию интегрировать по углам приложения вектора не представляется возможным (правильнее сказать мне кажется, что не возможно). Может, есть какой-то другой способ получить аналитическое решение для данной задачи.
Большое спасибо!


Отклики на это сообщение:

Мне, например, не совсем понятна система. Масса пружин ничтожна? Если все пружины прикреплены к одной точке, то каким образом? Соосно, то есть по одной линии? Масса точки А равна m или на свободных концах пружин сосредоточены некоторые массы? Должна же в системе присутствовать инерционная масса или даже несколько массивных точек? Из Ваших условий следует, что система свободна, то есть не прикреплена к какому-либо очень массивному телу. Так? Если пружины соосны, то траектория движения материальной точки будет лежать в одной плоскости. Так? Тогда при чём объём? Неопределенность и в том, как участвуют пружины в процессе, если они разной упругости и длины.


Спасибо за ответ, Арх!
0. Эта задача описывает некую модель макромолекулярных (белки, нуклеиновые кислоты) взаимодействий, где пружины играют роль атомарных взаимодействий, которые аппроксимируются к параболическим зависимостям типа U=kr2, где U потенциальная энергия точечного взаимодействия, r – отклонение от оптимального расстояния (равновесной сил притяжения и отталкивания), а k некий силовой коэффициент. Интеграл по углам описы


Спасибо за ответ, Арх!
0. Эта задача описывает некую модель макромолекулярных (белки, нуклеиновые кислоты) взаимодействий, где пружины играют роль атомарных взаимодействий, которые аппроксимируются к параболическим зависимостям типа U=kr2, где U потенциальная энергия точечного взаимодействия, r – отклонение от оптимального расстояния (равновесной сил притяжения и отталкивания), а k некий силовой коэффициент. Интеграл по углам описывает подвижность атома, окруженного определенной сетью взаимодействий. В первом приближении можно представить, что вся система (макромолекула) зафиксирована и только один ее атом может двигаться. Меня интересует объем фигуры, который образует его траектория при t -> бесконечность (по определенным причинам из построения модели он не может улететь в бесконечность) при заданной кинетической энергии этого атома.
Применение модели предусматривает возможность рассмотрения системы методами классической, а не квантовой механики.
1. Массы пружин не существует.
2. Пружины прикреплены к точке А только одним концом, второй их конец зафиксирован где-то в окружающем пространстве, но их координаты будут известны для каждого частного случая вычисления объема траектории.
3,4. На концах пружин массы нет, но сами концы неподвижны (иначе модель становиться слишком сложной). Единственное тело, обладающее массой - точка А.
5. Пружины не соосны в общем случае. Случай движения точки в плоскости абсолютно уникален и, видимо, не будет реализован никогда при практическом использовании модели.
6. Суть последней неопределенности не понял уже я.
P.S. Простите за запутанное формулирование проблемы.


А какая форма у молекулы? Если в ней содержится несколько групп атомов, то, может быть, принять ее форму как сферическую? Инерционных масс, по Вашей модели, получается две: масса одного конкретного атома и масса молекулы, состоящая из остальных атомов. Если форма молекулы сферическая, тогда можно предположить, что один атом колеблется, имея некоторую автономную энергию. Во внешнюю сторону потенциальная энергия этого атома Еп = m*k*(1/ro-1/r), из предположения, что потенциальная энергия материальной точки, подобно гравитационной, увеличивается обратно пропорционально расстоянию между центром масс молекулы радиусом ro и атомом, удалившегося от сферы на расстояние r-ro . А когда атом отклоняется внутрь сферы, то его потенциальная энергия, подобно гравитационной, изменяется в точном соответствии с законом ее изменения для пружинной системы Еп = m*k*(r-ro)^2. Правда, атом обязан, при взаимодействии, подобном гравитационному, проскочить сквозь всю молекулу, выскочить с обратной стороны, потом удалиться за сферу, потом опять углубиться внутрь сферы и т.д.
Если строить пружинную модель молекулы, может быть, имеет смысл изготовить механическую натуральную модель? Раз Вы предполагаете такую механическую модель, то она вполне реализуема в натуральном виде. И посмотреть как она себя ведет. Даже получить объемные фотографии колебаний такой системы. Без логических ошибок. Извините, если не в тему написал. Зато, может быть, какой-нибудь более искусстный эксперементатор или теоретик откликнется.


Эту задачу лучше всего решать, если выписать суммарную потенциальную энергию всех пружин, как функцию координат точки А. У вас получится некоторая функция V(x,y,z). Ограничтесь для наглядности двумя координатами и тогда эта ваша функция будет выглядеть в виде объемного потенциального рельефа. Далее можно представить, что по этому рельефу без трения скользит мат точка под действием силы тяжести. Это полностью эквивалентно вашей исходной задаче.
У рельефа будет минимум один или несколько. Это точки равновесия. Вблизи этих точек возможны малые колебвния как в обычном анизотропном осцилляторе. Если вы хотите, чтобы ваша точка испытывала случайные толчки, то в такой картине их тоже легко представить.
Мне кажется, что лучше всего запрограммировать эту задачку и посмотреть на экране, как будет двигаться точка под влиянием случайных толчков по этому рельефу.


> Ограничтесь для наглядности двумя координатами и тогда эта ваша функция будет выглядеть в виде объемного потенциального рельефа. Далее можно представить, что по этому рельефу без трения скользит мат точка под действием силы тяжести. Это полностью эквивалентно вашей исходной задаче.

Эквивалентно, только если не принимать во внимание вклад в кинетическую энергию, связанную с движением по возникшей дополнительной координате.


Если Вас интересует поведение всех составных частей модели, то есть резон в сооружении подобной механической модели. Наглядно, убедительно, правдоподобно и не требует громоздких вычислений. А если Вас интересует изменения объёма молекулы при внутримолекулярных взаимодействиях или межмолекулярных, то и модель, по-моему, не нужна в таком случае. В термодинамике очень подробно такие закономерности расписаны.


Большое спасибо всем за помощь!
To Apx.
Молекула - это белковый комплекс в несколько десятков тысяч атомов. Масса молекулы несравненно больше массы атома, потому я считаю пружины не имеющими массы, но статически закрепленным в заданных координатах. Траектория данного атома - некая неправильная сфера, радиус которой в общем случае ни в каком направлении не больше расстояния от исходной точки до ближайшего соседнего атома (центра взаимодействия). Иначе модель не имеет смысла. Меня не интересуют конкретные резонансы или поведение фрагментов системы, они не корректны в том смысле, что здесь должна использоваться уже квантовая механика. Меня интересует лишь подвижности каждого определенного атома, как функция его окружения. Такая информация скорее характеризует сеть взаимодействий молекулы, и может быть получена более простыми методами классической механики.

To qqruza.
А как получить саму функцию V(x,y,z)? Я хочу аналитическое решение т.к. данную задачу придется решать порядка 50-100 млн. раз для каждого применения модели. Такие вычисления не представляться возможными без эффективного алгоритма, потому варианты с построениями рельефов или гридов не подходят :(. Толчки материальной точки сами по себе меня вовсе не интересуют, нужно узнать лишь объем пространства, где потенциальная меньше кинетической (конкретного числа).


Большое спасибо всем за помощь!
To Apx.
Молекула - это белковый комплекс в несколько десятков тысяч атомов. Масса молекулы несравненно больше массы атома, потому я считаю пружины не имеющими массы, но статически закрепленным в заданных координатах. Траектория данного атома - некая неправильная сфера, радиус которой в общем случае ни в каком направлении не больше расстояния от исходной точки до ближайшего соседнего атома (центра взаимодействия). Иначе модель не имеет смысла. Меня не интересуют конкретные резонансы или поведение фрагментов системы, они не корректны в том смысле, что здесь должна использоваться уже квантовая механика. Меня интересует лишь подвижности каждого определенного атома, как функция его окружения. Такая информация скорее характеризует сеть взаимодействий молекулы, и может быть получена более простыми методами классической механики.

To qqruza.
А как получить саму функцию V(x,y,z)? Я хочу аналитическое решение т.к. данную задачу придется решать порядка 50-100 млн. раз для каждого применения модели. Такие вычисления не представляться возможными без эффективного алгоритма, потому варианты с построениями рельефов или гридов не подходят :(. Толчки материальной точки сами по себе меня вовсе не интересуют, нужно узнать лишь объем пространства, где потенциальная меньше кинетической (конкретного числа).


> А как получить саму функцию V(x,y,z)? Я хочу аналитическое решение т.к. данную задачу придется решать порядка 50-100 млн. раз для каждого применения модели. Такие вычисления не представляться возможными без эффективного алгоритма, потому варианты с построениями рельефов или гридов не подходят :(. Толчки материальной точки сами по себе меня вовсе не интересуют, нужно узнать лишь объем пространства, где потенциальная меньше кинетической (конкретного числа).

V(x,y,z) = 1/2Σki(x-xi)2 + то же самое по y и z. Сумма по всем неподвижным атомам.
Вам нужно найти минимум V(x,y,z), т.е. приравнять производные нулю. После дифференцирования у вас будет система из 3х линейных уравнений, которые вы можете решить и получить точки равновесия.
Теперь в точке равновесия вам нужно найти матрицу вторых производных V.
После приведения этой матрицы к диагональному виду, вы получите на диагонали 3 числа, которые равны жесткостям "приведенного осциллятора", т.е. суммарного осциллятора. Не знаю, как принято это называть в теории малых колебаний.
Это квадратичная аппроксимация потенциальной энергии в минимумах.
Я думаю, что вам вполне можно этим ограничиться. В любом случае, с этогонужно начинать. Такое решение легко алгоритмизуемо.


Спасибо, qqruza!
Часть идеи из Вашего решения я понял, но много вопросов в виду моего незнания теории. Не могли бы Вы подсказать название подраздела физики, где можно почитать с нормальными выкладками о таких решениях (я имею в виду не механику или термодинамику, а что-то более "точечное" в смысле данной задачи). Если Вы знаете/помните конкретные источники то эта информация тоже будет очень полезной.
Еще раз большое спасибо!


> Спасибо, qqruza!
> Часть идеи из Вашего решения я понял, но много вопросов в виду моего незнания теории. Не могли бы Вы подсказать название подраздела физики, где можно почитать с нормальными выкладками о таких решениях (я имею в виду не механику или термодинамику, а что-то более "точечное" в смысле данной задачи). Если Вы знаете/помните конкретные источники то эта информация тоже будет очень полезной.

Механика. Теория колебаний.
Советую вам пойти в како-нить универсиет на кафедру физики или теормеха и попросить там, чтобы рассказали и проверили выкладки. Иначе ошибетесь с непривычки. Задача в общем-то простая.
Давайте я еще раз переформулирую ее.
У вас есть большая молекула. Известен потенциал взаимодействия отдельных атомов между собой. Предполагая, что все атомы закреплены кроме одного, нужно найти его полную потенциальную энергию. Затем найти равновесное положение этого атома (минимум потенциальной энергии) и разложить в минимуме до квадратичных членов. Т.е. расчитать малые колебания относительно положения равновесия.
Я рекомендую вместо исходных пружин взять более реальный потенциал взаимодействия, потому что это не сильно повлияет на сложность вычислений, а конечный результат будет больше похожим на правду.
Если вы в Москве, то могу отвести вас к проф. Шайтану, он на биофаке МГУ и у него считают нечто подобное. Кстати, у него есть сайт http://www.moldyn.ru/library/moldyn/moldyn.htm
посмотрите.


> Большое спасибо всем за помощь!
> To Apx.
> Молекула - это белковый комплекс в несколько десятков тысяч атомов. Масса молекулы несравненно больше массы атома, потому я считаю пружины не имеющими массы, но статически закрепленным в заданных координатах. Траектория данного атома - некая неправильная сфера, радиус которой в общем случае ни в каком направлении не больше расстояния от исходной точки до ближайшего соседнего атома (центра взаимодействия). Иначе модель не имеет смысла. Меня не интересуют конкретные резонансы или поведение фрагментов системы, они не корректны в том смысле, что здесь должна использоваться уже квантовая механика. Меня интересует лишь подвижности каждого определенного атома, как функция его окружения. Такая информация скорее характеризует сеть взаимодействий молекулы, и может быть получена более простыми методами классической механики.

Я немного занимаюсь похожими вещами. Правда скорее в физике плазмы.

Тут проблема в следующем. Если кинетическая энергия сравнима с потенциальной
то аналитически задача не считается. На самом деле аналитически не получиться найти таже все стационарные точки поскольку задача нелинейная и решений очень много. То бишь аналитически результат можно получить вблизи уже известной точки равновесия.
В случае малых кинетических энергий можно сразу сказать что это будет элипсоид его оси можно найти через вторые производные от потенциальной энергии. С моей "колокольни" это результат большого смысла не имеет хотя может я и ошибаюсь:)

В случае если интерсует энергия вблизи сравнимые с точкой "плавления" или другого фазового перехода (то бишь атом может подойти близко к границе не возвращения). То остается только считать. Объем можно посчитать например методом монте-карло. При этом достаточно далекие атомы можно не учитывать поскольку они должны быть хорошо заэкранированы собственными электронами.
Там потенциал должен спадать экспоненциально



Спасибо qqruza!
К сожалению, я из Киева, но попробую связаться с группой проф. Шайтаном по I-net, если теория окажется неподъемной.
Я хочу задать Вам один вопрос относительно Вашей переформулировки. Позволит ли такая модель почувствовать зависимость объема эллипса от суперпозиции окружающих атомов при неизменной потенциальной энергии?


Спасибо Volody!
Эта модель нужна для оценки вероятности переключения конформаций (значений двугранных углов атомарных цепей) фрагментов молекул. Поэтому некоторые взаимодействия (электростатические, Ван-дер-ваальсовые) будут сравнимы и даже меньше кинетической энергии, но всегда будут валентные связи, которые должны задавать минимумы (я надеюсь). Хотелось бы увидеть, в какой степени окружающая атом сеть слабых взаимодействий его фиксирует (относительно других атомов). Такая фиксация должна быть неким показателем кластерной организации переходов в биологических макромолекулах (здесь я могу ошибаться).


> Спасибо qqruza!
> К сожалению, я из Киева, но попробую связаться с группой проф. Шайтаном по I-net, если теория окажется неподъемной.
Да, свяжитесь. Кстати, у него проект есть, он всем, кто хочет помочь его исследованиям предлагает участвовать в расчетах молекулярной динамики. У него весь софт где-то выложен, но я не нашел ссылку сейчас. В прошлом году я ее где-то видел.
> Я хочу задать Вам один вопрос относительно Вашей переформулировки. Позволит ли такая модель почувствовать зависимость объема эллипса от суперпозиции окружающих атомов при неизменной потенциальной энергии?

Я не понял последней части фразы.
... зависимость от суперпозиции окружающих атомов при неизменной потенциальной энергии.
У нас есть конфигурация окружающих атомов. Есть наш центральный атом, который как-то колеблется. Что мы делаем, от чего мы должны получить зависимость? Что значит условие неизменности потенциальной энергии.


> Спасибо Volody!
> Эта модель нужна для оценки вероятности переключения конформаций (значений двугранных углов атомарных цепей) фрагментов молекул. Поэтому некоторые взаимодействия (электростатические, Ван-дер-ваальсовые) будут сравнимы и даже меньше кинетической энергии, но всегда будут валентные связи, которые должны задавать минимумы (я надеюсь). Хотелось бы увидеть, в какой степени окружающая атом сеть слабых взаимодействий его фиксирует (относительно других атомов). Такая фиксация должна быть неким показателем кластерной организации переходов в биологических макромолекулах (здесь я могу ошибаться).

Проблема в том что вы хотите фактически считать фазовый переход, но тогда все будет сильно зависеть от температуры. То бишь флуктуации положения и движения соседних атомов надо учитывать обязательно. Без этого это будет некая абстракция.

По хорошему надо численно решать задачу молекулярной динамики и считать энергию связи для разных конфигураций при заданной температуре и смотреть какая меньше.



Простите, qqruza, за запутанное объяснение.
Возьмем две одинаковых системы атомов, сместим один из атомов системы два так, что бы потенциальная энергия исходного состояния не изменилась. Будет ли модель чувствительна к проведенному смещению или нет (изменится ли рассчитанная полная потенциальная энергия системы два)?


Проблема такая имеется, но тот объем вычислений, который необходимо произвести для молекулярной динамики выполнить просто невозможно. С другой стороны, атомный кластер, если он есть, должен быть достаточно стабильным (иначе его, по сути, нету), значит до фазового перехода [локального!] еще достаточно далеко (иначе уже можно делать вывод о неперспективности/неустойчивости данной конформации). С третьей стороны, я не представляю как решать задачу учета движений соседних атомов :(.


> Проблема такая имеется, но тот объем вычислений, который необходимо произвести для молекулярной динамики выполнить просто невозможно. С другой стороны, атомный кластер, если он есть, должен быть достаточно стабильным (иначе его, по сути, нету), значит до фазового перехода [локального!] еще достаточно далеко (иначе уже можно делать вывод о неперспективности/неустойчивости данной конформации). С третьей стороны, я не представляю как решать задачу учета движений соседних атомов :(.

Задаются связи между атомами они уже у вас есть:)
Далее предполагается что атомы движутся в потенциалах соседних атомов U_i. То бишь решаются уравнения ньютона
dP_j/dt=F_u + F_tr + F_сл=
dx_j / dt=P_j/M

F_u=sum_i -grad U_i
i- номер атома

Далее задается температура
Это делается следующим образом:
1) задается случайная сила действующая на атом F_сл=6TM δ(t)
Т- температура
М - масса атома
2) задается трение
F_tr=-Mν_tr V
V скорость атома.

Поскольку как я понял у вас не все атомы связаны со всеми (связи валентные) то тысяч 10 атомов должно считаться достаточно быстро
если конечно не требуются милионы подобных расчетов.


Простите, но я не понял разницы между Вашей схемой вычислений и молекулярной динамикой. Ваша схема вычислений реализует итерационный подход к решению уравнений ньютона, или учет F_сл можно реализовать аналитически? Дело в том, что анализу надо поддать около 250-500 тысяч молекулярных структур (не больше чем за неделю Р4 времени). Хотя решение вроде как более общее получается (и более близкое к реальности) но для итерационного подхода просто не хватит вычислительных ресурсов.


> Простите, но я не понял разницы между Вашей схемой вычислений и молекулярной динамикой. Ваша схема вычислений реализует итерационный подход к решению уравнений ньютона, или учет F_сл можно реализовать аналитически?

Можно это будет уравнение Фоккера-Планка но для 10000 тысяч атомов оно не решабельно.

> Дело в том, что анализу надо поддать около 250-500 тысяч молекулярных структур (не больше чем за неделю Р4 времени). Хотя решение вроде как более общее получается (и более близкое к реальности) но для итерационного подхода просто не хватит вычислительных ресурсов.

Боюсь что да. Недели точно не хватит. Просто то что вы предлагаете соответствует молекуле при 0 температуре. Что боюсь бессмысленно. Все возможные величины могут в этом случае отличаться на порядки от своих действительных значений при комнатной температуре. По крайней мере для такой более простой структуры как твердое тело это так.


> Можно это будет уравнение Фоккера-Планка но для 10000 тысяч атомов оно не решабельно.

А можно ли использовать этот аппарат для решения хотя бы одного подвижного слоя атомов (10-15 шт.) при фиксации всех остальных? Я не знаю, что такое уравнение Фоккера-Планка, потому хочу сориентироваться: стоит ли заниматься этой теорией.

> Боюсь что да. Недели точно не хватит. Просто то что вы предлагаете соответствует молекуле при 0 температуре. Что боюсь бессмысленно. Все возможные величины могут в этом случае отличаться на порядки от своих действительных значений при комнатной температуре. По крайней мере для такой более простой структуры как твердое тело это так.

А если рассматривать разницу полученных в приближении жесткой фиксации значений подвижности для ранжировки стабильности конформаций? Или это тоже бессмысленно с физической точки зрения?


> > Можно это будет уравнение Фоккера-Планка но для 10000 тысяч атомов оно не решабельно.

> А можно ли использовать этот аппарат для решения хотя бы одного подвижного слоя атомов (10-15 шт.) при фиксации всех остальных? Я не знаю, что такое уравнение Фоккера-Планка, потому хочу сориентироваться: стоит ли заниматься этой теорией.

Нет оно даже для двух атомов плохо решабельно.

> > Боюсь что да. Недели точно не хватит. Просто то что вы предлагаете соответствует молекуле при 0 температуре. Что боюсь бессмысленно. Все возможные величины могут в этом случае отличаться на порядки от своих действительных значений при комнатной температуре. По крайней мере для такой более простой структуры как твердое тело это так.

> А если рассматривать разницу полученных в приближении жесткой фиксации значений подвижности для ранжировки стабильности конформаций? Или это тоже бессмысленно с физической точки зрения?


> Нет оно даже для двух атомов плохо решабельно.

Жаль, в любом случае БОЛЬШОЕ СПАСИБО за помощь!


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100