неразличимость

Сообщение №29402 от Ampy 23 декабря 2003 г. 17:07
Тема: неразличимость

Проблема с представлением неразличимых частиц. Правильно ли я понимаю - если грубо говоря в сосуде разделенном на 2 равные по объему сообщающиеся части находятся 2 неразличимые частицы, то вероятности того, что эти частицы находятся в разных частях равны вероятностям того, что они находятся в одной или в другой части, все вероятности равны 1/3. То есть
[* | *] 1/3
[**| ] 1/3
[ |**] 1/3

А если они различимы, то
[* | *] 1/2
[**| ] 1/4
[ |**] 1/4

Правильно ?
А могут быть неразличимы и половины сосуда ?
Касается ли свойство неразличимости только квантовомеханических объектов ? Могут ли быть неразличимыми атомы ?


Отклики на это сообщение:

> Проблема с представлением неразличимых частиц. Правильно ли я понимаю - если грубо говоря в сосуде разделенном на 2 равные по объему сообщающиеся части находятся 2 неразличимые частицы, то вероятности того, что эти частицы находятся в разных частях равны вероятностям того, что они находятся в одной или в другой части, все вероятности равны 1/3. То есть
> [* | *] 1/3
> [**| ] 1/3
> [ |**] 1/3

По-моему, так:

[* | *] 1/2
[**| ] 1/4
[ |**] 1/4

> А если они различимы, то
> [* | *] 1/2
> [**| ] 1/4
> [ |**] 1/4

Если они различимы, надо обозначать их по-разному и различать случаи [1 | 2] и [2 | 1], верно?

> Правильно ?
> А могут быть неразличимы и половины сосуда ?

Это от модели зависит. Другой вопрос, к чему такую модель приложить.

> Касается ли свойство неразличимости только квантовомеханических объектов ? Могут ли быть неразличимыми атомы ?

И даже молекулы.



> По-моему, так:

> [* | *] 1/2
> [**| ] 1/4
> [ |**] 1/4

А в чем неразличимость ?

> > А если они различимы, то
> > [* | *] 1/2
> > [**| ] 1/4
> > [ |**] 1/4

> Если они различимы, надо обозначать их по-разному и различать случаи [1 | 2] и [2 | 1], верно?
Это уже слишком сложно.
Ограничимся 2мя частицами.
Если различимы, то надо различать [x|y] [y|x].

> > Правильно ?
> > А могут быть неразличимы и половины сосуда ?
> Это от модели зависит. Другой вопрос, к чему такую модель приложить.
Ну вот и интересен был бы пример.

> > Касается ли свойство неразличимости только квантовомеханических объектов ? Могут ли быть неразличимыми атомы ?
> И даже молекулы.
Понятно, что одинаковые молекулы все сделаны "по одному образцу".
Но неразличимость не означает что мы не можем или не хотим отличать частицы, это что-то другое.
1. Они могут отличаться какими-нить квантовыми энергет. состояниями.
2. Можно наверное проследить за каждой и так их отличать.

Какую-нибудь бы главу в какой нибудь книжке почитать.


>
> > По-моему, так:

> > [* | *] 1/2
> > [**| ] 1/4
> > [ |**] 1/4

> А в чем неразличимость ?

Вот как это получено. Берем частицу, опускаем в ящик. С вероятностью 1/2 она находится в каждой из половинок. Берем вторую частицу, опускаем в ящик. Вероятность попадания в каждую половину та же, 1/2. Поскольку первое и второе события независимы, вероятности перемножаются. Для случаев [**| ] и [ |**] имеем вероятность 1/2*1/2=1/4. Случай [* | *] может реализоваться двумя способами, в зависимости от того, куда попала первая частица. Общая вероятность 1/4+1/4=1/2.


> > > А если они различимы, то
> > > [* | *] 1/2
> > > [**| ] 1/4
> > > [ |**] 1/4

> > Если они различимы, надо обозначать их по-разному и различать случаи [1 | 2] и [2 | 1], верно?
> Это уже слишком сложно.
> Ограничимся 2мя частицами.
> Если различимы, то надо различать [x|y] [y|x].

Я не количество частиц имел в виду, а по-разному их обозначил :) 1=x, 2=y.
> > > Правильно ?
> > > А могут быть неразличимы и половины сосуда ?
> > Это от модели зависит. Другой вопрос, к чему такую модель приложить.
> Ну вот и интересен был бы пример.

> > > Касается ли свойство неразличимости только квантовомеханических объектов ? Могут ли быть неразличимыми атомы ?
> > И даже молекулы.
> Понятно, что одинаковые молекулы все сделаны "по одному образцу".
> Но неразличимость не означает что мы не можем или не хотим отличать частицы, это что-то другое.
> 1. Они могут отличаться какими-нить квантовыми энергет. состояниями.

Этот случай как раз моделируется ящиком с перегородками. Каждый отсек - свое энергетическое состояние.

> 2. Можно наверное проследить за каждой и так их отличать.
> Какую-нибудь бы главу в какой нибудь книжке почитать.

В механике все частицы различимы. В молекулярной статистике - нет. Вот последнюю и почитайте. Главы будет мало, придется целый учебник, а то и не один.



> Вот как это получено. Берем частицу, опускаем в ящик. С вероятностью 1/2 она находится в каждой из половинок. Берем вторую частицу, опускаем в ящик. Вероятность попадания в каждую половину та же, 1/2. Поскольку первое и второе события независимы, вероятности перемножаются. Для случаев [**| ] и [ |**] имеем вероятность 1/2*1/2=1/4. Случай [* | *] может реализоваться двумя способами, в зависимости от того, куда попала первая частица. Общая вероятность 1/4+1/4=1/2.

Так это понятно. Это точка зрения нормальных людей, например Максвелла и Больцмана. А вот что написано в книге В. Феллера "Введение в теорию вероятностей...". "Тем больше было общее удивление, когда Бозе и Энштейн показали, что определенные типы частиц подчиняются статистике Бозе-Энштейна (подробнее см. пар. 5 гл. 2). В рассматриваемомом случае r=n=3 /3 ящика и 3 частицы/ модель Б-Э сопоставляет каждому из 10 элементарных событий вероятность 1/10." В главе 2 написано, что "эта (Максвелловская) статистика неприменима ни к каким известным частицам".

И что ? А как же идеальный газ ?

> Я не количество частиц имел в виду, а по-разному их обозначил :) 1=x, 2=y.
Ааа...

> > > > Касается ли свойство неразличимости только квантовомеханических объектов ? Могут ли быть неразличимыми атомы ?
> > > И даже молекулы.
> > Понятно, что одинаковые молекулы все сделаны "по одному образцу".
> > Но неразличимость не означает что мы не можем или не хотим отличать частицы, это что-то другое.
> > 1. Они могут отличаться какими-нить квантовыми энергет. состояниями.

> Этот случай как раз моделируется ящиком с перегородками. Каждый отсек - свое энергетическое состояние.
Нет, если и то и другое. Молекулы летают в сосуде, но имеют состояние.

> > 2. Можно наверное проследить за каждой и так их отличать.
> > Какую-нибудь бы главу в какой нибудь книжке почитать.

> В механике все частицы различимы. В молекулярной статистике - нет. Вот последнюю и почитайте. Главы будет мало, придется целый учебник, а то и не один.
Так вот я и читаю :(
Поэтому и вопросы.
Не хватает Фейнмановского такого "этого ребята все равно никто не понимает, поэтому просто запомните и все".


> Так это понятно. Это точка зрения нормальных людей, например Максвелла и Больцмана. А вот что написано в книге В. Феллера "Введение в теорию вероятностей...". "Тем больше было общее удивление, когда Бозе и Энштейн показали, что определенные типы частиц подчиняются статистике Бозе-Энштейна (подробнее см. пар. 5 гл. 2). В рассматриваемомом случае r=n=3 /3 ящика и 3 частицы/ модель Б-Э сопоставляет каждому из 10 элементарных событий вероятность 1/10." В главе 2 написано, что "эта (Максвелловская) статистика неприменима ни к каким известным частицам".

Все верно, но следует иметь в виду, что при небольших числах заполнения ячеек статистика Максвелла-Больцмана и Бозе-Эйнштейна (и Ферми-Дирака) дают практически одно и то же. Поэтому то статистика М-Б успешно используется в молекулярной физике.

> > > > > Касается ли свойство неразличимости только квантовомеханических объектов ? Могут ли быть неразличимыми атомы ?
> > > > И даже молекулы.
> > > Понятно, что одинаковые молекулы все сделаны "по одному образцу".
> > > Но неразличимость не означает что мы не можем или не хотим отличать частицы, это что-то другое.
Неразличимость означает принципиальную невозможность поставить метку на частицу.
> > > 1. Они могут отличаться какими-нить квантовыми энергет. состояниями.
Если частицы (молекулы,...) находятся в разных квантовых состояниях, то они различимы. Например, протон и его возбужденное состояние дельта-изобара - разные частицы.


> > > 2. Можно наверное проследить за каждой и так их отличать.

Можно проследить, пока они не сошлись на малое расстояние. Вот тут-то они и перепутываются. Классический пример - упругое рассеяние альфа- частиц друг на друге (есть где-то у Фейнмана).
> > > Какую-нибудь бы главу в какой нибудь книжке почитать.

И Феллер, и Фейнман прекрасные книжки. Если хотите более подробно, поищите:
Я.М.Гельфер, В.Л.Любошиц, М.И. Подгорецкий "Парадокс Гиббса и тождественность частиц в квантовой механике" (Наука, М, 1975)



> > > > Какую-нибудь бы главу в какой нибудь книжке почитать.

> И Феллер, и Фейнман прекрасные книжки. Если хотите более подробно, поищите:
> Я.М.Гельфер, В.Л.Любошиц, М.И. Подгорецкий "Парадокс Гиббса и тождественность частиц в квантовой механике" (Наука, М, 1975)

В сети довольно много материала. См., напр.,

§ 4. Парадоксы Гиббса
9. О ТЕОРЕМЕ ГИББСА ОБ ЭНТРОПИИ СМЕСИ ГАЗОВ

ЗЫ Что-то давно не захаживали. Все в порядке?


>> Проблема с представлением неразличимых частиц. Правильно ли я понимаю - если грубо говоря в сосуде разделенном на 2 равные по объему сообщающиеся части находятся 2 неразличимые частицы, то вероятности того, что эти частицы находятся в разных частях равны вероятностям того, что они находятся в одной или в другой части, все вероятности равны 1/3. То есть
[* | *] 1/3
[**| ] 1/3
[ |**] 1/3


А какой размер частей сосуда ?
Макроскопический или сравнимый с размерами частиц ?

Если макроскопический - эффекты неразличимости экспоненциально малы.
Неразличимость проявляется только тогда, когда частицы подходят достаточно
близко друк к другу.

Если сравнимый с размерами частиц - то приблизительно получим
[* | *] 1/3
[**| ] 1/3
[ |**] 1/3
,но чтобы этот ответ был точным - надо было бы взять бесконечно малые объемы.
(неразличимость применяется к квантовым состояниям, а таковыми в данной ситуации
являются дельта-функции).


> Неразличимость означает принципиальную невозможность поставить метку на частицу.

На самом деле не так. Правильно - невозможность (по крайней мере пока) поставить метку в реальном эксперименте.

Даже в квантовой механике - метки то на самом деле ставятся - ими являются например номера (индексы) аргументов волновой функции. В математике без меток обойтись никак нельзя.


> Проблема с представлением неразличимых частиц. Правильно ли я
> понимаю - если грубо говоря в сосуде разделенном на 2 равные
> по объему сообщающиеся части находятся 2 неразличимые частицы,
> то вероятности того, что эти частицы находятся в разных частях
> равны вероятностям того, что они находятся в одной или в другой
> части, все вероятности равны 1/3. То есть
> [* | *] 1/3
> [**| ] 1/3
> [ |**] 1/3
Если частицы не находятся в поле, т.е. задача симметрична
относительно сосудов, то вероятность зарегистрировать одну частицу
в каждой из половинок равна, очевидно, 1/2. Если регистрируем обе частицы одновременно, то эффект неразличимости будет проявляться в том, что вероятности нахождения частиц в одной и том же сосуде будет меняться по сравнению с классическими неразличимыми частицами. В последнем случае вероятности таковы
> [* | *] 1/2
> [**| ] 1/4
> [ |**] 1/4

Квантовый эффект зависит от того, бозоны эти частицы или фермионы. Если это фермионы, то вероятность найти частицы в одном и том же сосуде будет уменьшена.
Что будет в случае бозонов, я сразу и не соображу.


> А если они различимы, то
> [* | *] 1/2
> [**| ] 1/4
> [ |**] 1/4
Нет, если различимы, то первый случай необходимо разбить на два различных.

> Могут ли быть неразличимыми атомы ?
Конечно. Это ведль тоже квантовомеханический объект



> В сети довольно много материала. См., напр.,

> § 4. Парадоксы Гиббса
> 9. О ТЕОРЕМЕ ГИББСА ОБ ЭНТРОПИИ СМЕСИ ГАЗОВ

Да, по парадоксу Гиббса публикаций уйма. В ссылке, которую я привел, подробно и с разных сторон анализируется понятие неразличимости.

> ЗЫ Что-то давно не захаживали. Все в порядке?
Я заглядывал время от времени, но ничего не успевал написать. Так что все в порядке. Спасибо.


> > Неразличимость означает принципиальную невозможность поставить метку на частицу.

> На самом деле не так. Правильно - невозможность (по крайней мере пока) поставить метку в реальном эксперименте.

1. Мне кажется, что "реальный эксперимент" здесь не при чем. Независимо от того, ставим мы какой-то эксперимент или нет, природа ведет себя в соответствии с принципом неразличимости.
2. Ваша оговорка "по крайней мере пока" наводит на мысль, что в принципе можно научиться ставить метки на частицы. Тогда перестанут работать лазеры, изменится распределение по энергии электронов в кристаллах и будет куча других следствий. Так что, как говорил боец Сухов, "это вряд ли".

> Даже в квантовой механике - метки то на самом деле ставятся - ими являются например номера (индексы) аргументов волновой функции. В математике без меток обойтись никак нельзя.


А с тем, что в математике (и следовательно в формализме КМ, который основан
на матеметике)невозможно работать без меток Вы согласны ?


> А с тем, что в математике (и следовательно в формализме КМ, который основан
> на матеметике)невозможно работать без меток Вы согласны ?

Я, видимо, не совсем понимаю, о чем Вы здесь говорите. В любом формализме перестановка двух неразличимых (тождественных) частиц не дает состояния, отличающегося от исходного - это то же самое состояние.


>Я, видимо, не совсем понимаю, о чем Вы здесь говорите.

Отвлечемся пока от КМ.

Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать
(те поставить на них метки). Так устроен язык математики.

Согласны ли Вы с таким утверждением ?


Пользуясь случаем - спасибо за ответы.

> >Я, видимо, не совсем понимаю, о чем Вы здесь говорите.
> Отвлечемся пока от КМ.
> Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать
> (те поставить на них метки). Так устроен язык математики.
> Согласны ли Вы с таким утверждением ?

Я бы сказал, что просто тут не подходит слово "частица".
Потому что это нечто отдельное. И когда рассуждаешь о частице, то подразумеваешь, что она отлична от другой, то есть это возможно такая же, но не та же частица.


> Я бы сказал, что просто тут не подходит слово "частица".
Потому что это нечто отдельное. И когда рассуждаешь о частице, то подразумеваешь, что она отлична от другой, то есть это возможно такая же, но не та же частица.

Это Вы мне или Белу ? Согласны ли Вы с вышеуказанным утверждением ?


> > > > Но неразличимость не означает что мы не можем или не хотим отличать частицы, это что-то другое.
> Неразличимость означает принципиальную невозможность поставить метку на частицу.

Это определение для статистики бесполезно. Понятно, что метки мы не можем ставить ни на "классические" молекулы газа, ни на бозоны, ни на фермионы. Статистика же суть комбинаторные формулы, её выводы проверяются косвенным образом. В ней неразличимость означает уменьшение статистического веса. Например, для различимых частиц [xy | zt] и [yx | tz] означают два микросостояния, для неразлиимых - одно.


> Отвлечемся пока от КМ.
Не уверен, что это можно сделать. В том смысле, что нам придется тогда поменять законы природы.

> Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать
> (те поставить на них метки). Так устроен язык математики.

> Согласны ли Вы с таким утверждением ?

Если две альфа-частицы находятся одна слева в 100 км, другая справа в 100 км, нумеруйте на здоровье. Но это будут Ваши личные метки. Дальше частицы сближаются и рассиваются так, что каждая отклоняется на угол 60 градусов (энергии предполагаем одинаковыми, рассмотрение в системе центра масс). Так вот опыт показывает, что вероятность такого рассеяния определяется модулем квадрата суммы амплитуд:"первая" на угол 60 град + "вторая" на угол 120 град.А амплитуды складываются только в том случае, когда конечные состояния неразличимы. то есть, презрев все наши метки, частицы рассеиваются как полностью неразличимые.


> В сети довольно много материала. См., напр.,

> § 4. Парадоксы Гиббса

Кстати, кое-что меня тут удивило:

----цитата-----
Для рассматриваемого здесь вопроса важна только часть возможных состояний, возникающая при переборе координат частиц. Пусть система N частиц в объеме V находится в равновесном состоянии. Каждая из них, причем независимо от других, может находиться в любом месте объема. Тогда общее число возможных состояний частиц пропорционально объему в степени числа частиц. Логарифм этого числа с точностью до слагаемого, связанного, очевидно, лишь с выбранными единицами «измерения» числа точек в объеме, равен логарифму объема, умноженному на число частиц:
S = N lnV.
Возьмем удвоенный объем с удвоенным числом частиц. По предыдущей формуле получится:
S2 = 2N ln2V.
По законам термодинамики энтропия вдвое большей системы должна быть и большей в два раза (свойство аддитивности энтропии), однако здесь это не получается:
S2 - 2S = 2N ln2V - 2N lnV = 2N (ln2V - lnV) = 2N ln2.
Это противоречие побудило Гиббса выдвинуть интерпретацию, согласно которой при подсчете числа (микро)состояний не следует считать различными состояния, отличающиеся лишь тем, что в таких-то местах находятся именно такие-то частицы, а не иные - так как перестановки между собой одинаковых (!) частиц не приводят ни к каким видимым изменениям, т.е. как бы все состояния с переставленными частицами есть одно и то же микросостояние и должны подсчитываться один раз. Число различных вариантов перестановок N частиц равно факториалу числа частиц, т.е. N !. Тогда полученное выше число состояний, пропорциональное объему в степени числа частиц, следует разделить на N!. В дальнейшем используется тот факт, что обычные термодинамические системы состоят из очень большого числа частиц. При больших N факториал этого числа с некоторой не существенной для дела поправкой можно приближенно (по формуле Стирлинга) заменить N-й степенью этого числа, откуда
Z = VN/N! --> VN/NN = (V/N)N .
Энтропия как логарифм этой величины

S = N ln(V/ N)

оказывается аддитивной: при увеличении объема системы с сохранением плотности числа частиц она растет как число частиц, т.е. как объем системы.
---конец цитаты----

Z по смыслу должно быть всегда целым (число состояний) В вышеприведенной формуле это не так, что легко проверить прямым счётом.


> > > > > Но неразличимость не означает что мы не можем или не хотим отличать частицы, это что-то другое.
> > Неразличимость означает принципиальную невозможность поставить метку на частицу.

> Это определение для статистики бесполезно. Понятно, что метки мы не можем ставить ни на "классические" молекулы газа, ни на бозоны, ни на фермионы.
Я, разумеется не имел в виду проблему закрепления инвентарного номера на частицах. Метка - более широкое понятие. Атомы водорода, находящиеся в k-том и k+1 возбужденных состояниях не тождественны, если эти уровни не перекрываются. Но чем сильнее перекрытие уровней (из-за собственной ширины), тем больший эффект даст неразличимость.



Мое утверждение (Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать(те поставить на них метки). Так устроен язык математики.)
касается только математики и ее языка.

Вы же изучали математику - так ответьте пожалуйста согласны ли с ним или нет ?



> Мое утверждение (Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать(те поставить на них метки). Так устроен язык математики.)
> касается только математики и ее языка.

> Вы же изучали математику - так ответьте пожалуйста согласны ли с ним или нет ?

Мне казалось, что я ответил на ваш вопрос в 466.
Частицы ведут себя как неразличимые независимо от того, успели мы с Вами присвоить им мысленно какие-то номера или никто на них даже не смотрел. это закон природы. Что Вы хотите выяснить: что означает этот закон или какими словами мы описываем эту неразличимость? Похоже, что второе. Но слова могут быть разными в разных учебниках.


Мой вопрос чисто математический.
В нем не фигурируют физические категории.

Поэтому и в ответе они не должны фигурировать. (А в 466 фигурируют.)

Я просто хотел услышать в ответ просто да или нет - если нет то
аргументацию (опять же в математических категориях).

Вы все никак не можете его понять/воспринять как математический.

Я обсуждаю не 'слова', а математиский язык, а он очевидно един для всех -
и разным быть не может.


> Мой вопрос чисто математический.
> В нем не фигурируют физические категории.

" Мое утверждение (Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать(те поставить на них метки). Так устроен язык математики.) "

Если Вы слово "метки" толкуете достаточно широко (Например, шар из левого ящика перекладываем в правый ящик), то ответ, пожалуй "да". Не знаю только, насколько этот вопрос "математический".


> Если Вы слово "метки" толкуете достаточно широко

Нет.

Тогда сначала разберемся согласны ли Вы с:
"Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать. Так устроен язык математики".


> > Я бы сказал, что просто тут не подходит слово "частица".
> Потому что это нечто отдельное. И когда рассуждаешь о частице, то подразумеваешь, что она отлична от другой, то есть это возможно такая же, но не та же частица.

> Это Вы мне или Белу ?
эээ
это я на обсуждение

> Согласны ли Вы с вышеуказанным утверждением ?
К сожалению не знаю КМ.


> > Если Вы слово "метки" толкуете достаточно широко

> Нет.

> Тогда сначала разберемся согласны ли Вы с:
> "Чтобы какие-то объекты переставлять Вы должны сначала их проиндексировать. Так устроен язык математики".
Наверное не язык математики а мышление. Если вы думаете о двух объектах, то это 2 объекта. В общем то в этом и состоит моя проблема - мне трудно представить себе неразличимые частицы. И наверное вопрос мой в том, как правильно работать с такими объектами, не нумеруя их. Получается - либо отказаться от представления о частице, говоря неразличимая частица представлять сразу группу этих частиц либо считать, что они не независимы, а состояние одной (вот уже и нумерация) зависит от состояния другой.


> В общем то в этом и состоит моя проблема - мне трудно представить себе неразличимые частицы.

А неразличимость двух классических электромагнитных волн Вы можете себе представить? Например, есть плоская монохроматическая волна амплитуды - a, правой круговой поляризации, частоты - ω, начальной фазы относительно заданного момента времени - φ, распространяющаяся по направлению пространственной оси x. Назовем ее "волна A". Потом рассмотрим "другую" волну - "волну B". Она тоже плоская монохроматическая, амплитуды - a, правой круговой поляризации, частоты - ω, начальной фазы относительно заданного момента времени - φ и распространяющаяся по направлению пространственной оси x.

Разные ли это две волны? Если допустимо существование еще какого-нибудь скрытого параметра, позволяющего их отличить, то разные. Но электродинамика не допускает существование скрытого параметра. Она утверждает, что электромагнитное поле полностью описывается этими параметрами. Это можно считать определением сущности под названием "электромагнитное поле". Если даже мы и найдем "что-то еще", то чтобы не нарушить это определение, нам придется трактовать его как новую сущность. С этой точки зрения описанные две волны - суть одно и то же, они тождественны.

Так и с электронами - электрон в заданном состоянии - по существу такой же "квант", как фотон, только немного другого типа. Так что неразличимость электронов означает, что каждый из них является не уникальным объектом, а проявлением состояния единой сущности - "электроны Вселенной".


> Наверное не язык математики а мышление. Если вы думаете о двух объектах, то это 2 объекта. В общем то в этом и состоит моя проблема - мне трудно представить себе неразличимые частицы. И наверное вопрос мой в том, как правильно работать с такими объектами, не нумеруя их. Получается - либо отказаться от представления о частице,

Это один из возможных путей интуитивного понимания. Пока Вы мыслите частицы как маленькие шарики, представить себе неразличимость трудно. Ведь мы за каждым шариком следим "мысленным взором". Но квантовая частица траектории не имеет, это не классический шарик. Можно попытаться представить ее себе в виде волнового пакета, этакого облачка, которое занимает в пространстве некоторый объем. Тогда при перекрытии, взаимопроникновении облачков их индивидуальность утрачивется.


> > В сети довольно много материала. См., напр.,

> > § 4. Парадоксы Гиббса

> Кстати, кое-что меня тут удивило:

Так что именно Вас удивило, в чем заключаются парадоксы Губина?

> Z по смыслу должно быть всегда целым (число состояний) В вышеприведенной формуле это не так, что легко проверить прямым счётом.

Один из парадоксов в том, что Z - не целое? А какая в этом беда? Ведь размер элементарной ячейки мы знаем по существу лишь по порядку величины.


> > > В сети довольно много материала. См., напр.,

> > > § 4. Парадоксы Гиббса

> > Кстати, кое-что меня тут удивило:

> Так что именно Вас удивило, в чем заключаются парадоксы Губина?

Именно это:
> > Z по смыслу должно быть всегда целым (число состояний) В вышеприведенной формуле это не так, что легко проверить прямым счётом.

> Один из парадоксов в том, что Z - не целое? А какая в этом беда? Ведь размер элементарной ячейки мы знаем по существу лишь по порядку величины.

У Губина V - целое (сходите по ссылке, не поленитесь). Число Z размещений N частиц по V ячейкам должно быть целым. Далее, Губин оценивает Z формулой
Z = VN
Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.


> > > > В сети довольно много материала. См., напр.,

> > > > § 4. Парадоксы Гиббса

> > > Кстати, кое-что меня тут удивило:

> > Так что именно Вас удивило, в чем заключаются парадоксы Губина?

> Именно это:
> > > Z по смыслу должно быть всегда целым (число состояний) В вышеприведенной формуле это не так, что легко проверить прямым счётом.

> > Один из парадоксов в том, что Z - не целое? А какая в этом беда? Ведь размер элементарной ячейки мы знаем по существу лишь по порядку величины.

> У Губина V - целое (сходите по ссылке, не поленитесь). Число Z размещений N частиц по V ячейкам должно быть целым. Далее, Губин оценивает Z формулой
> Z = VN

Каюсь, по ссылке не сходил. В Вашей цитате "система N частиц в объеме V", то есть V - объем. Вопрос о том, целое это число или нет, лишен смысла, поскольку ответ зависит от выбора единиц (куб метры или куб "планки"). Можно принять, что V - целое. То есть V - число элементарных ячеек.

> Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.

Она дает число микросостояний при условии, что все частицы неразличимы. То есть перестановка любой пары приводит к тому же самому микросостоянию. Потому и делят на N!.
Или я не так понял Ваш вопрос?


> > > > > В сети довольно много материала. См., напр.,

> > > > > § 4. Парадоксы Гиббса

> > > > Кстати, кое-что меня тут удивило:

> > > Так что именно Вас удивило, в чем заключаются парадоксы Губина?

> > Именно это:
> > > > Z по смыслу должно быть всегда целым (число состояний) В вышеприведенной формуле это не так, что легко проверить прямым счётом.

> > > Один из парадоксов в том, что Z - не целое? А какая в этом беда? Ведь размер элементарной ячейки мы знаем по существу лишь по порядку величины.

> > У Губина V - целое (сходите по ссылке, не поленитесь). Число Z размещений N частиц по V ячейкам должно быть целым. Далее, Губин оценивает Z формулой
> > Z = VN

> Каюсь, по ссылке не сходил. В Вашей цитате "система N частиц в объеме V", то есть V - объем. Вопрос о том, целое это число или нет, лишен смысла, поскольку ответ зависит от выбора единиц (куб метры или куб "планки"). Можно принять, что V - целое. То есть V - число элементарных ячеек.

> > Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.

> Она дает число микросостояний при условии, что все частицы неразличимы. То есть перестановка любой пары приводит к тому же самому микросостоянию. Потому и делят на N!.
> Или я не так понял Ваш вопрос?

Примем V=3, N=4. Тогда VN=81. N!=24. 81/24=3.375 - число состояний??



> Примем V=3, N=4. Тогда VN=81. N!=24. 81/24=3.375 - число состояний??

Получается, что так.


> Примем V=3, N=4. Тогда VN=81. N!=24. 81/24=3.375 - число состояний??

Избыточное цитирование.


> > > > > > В сети довольно много материала. См., напр.,

> > > > > > § 4. Парадоксы Гиббса

> > > > > Кстати, кое-что меня тут удивило:

> > > > > Z по смыслу должно быть всегда целым (число состояний) В вышеприведенной формуле это не так, что легко проверить прямым счётом.

> > > > Один из парадоксов в том, что Z - не целое? А какая в этом беда? Ведь размер элементарной ячейки мы знаем по существу лишь по порядку величины.

> > > У Губина V - целое (сходите по ссылке, не поленитесь). Число Z размещений N частиц по V ячейкам должно быть целым. Далее, Губин оценивает Z формулой
> > > Z = VN


> Примем V=3, N=4. Тогда VN=81. N!=24. 81/24=3.375 - число состояний??

У Губина читаем:

"В дальнейшем используется тот факт, что обычные термодинамические системы состоят из очень большого числа частиц. При больших N факториал этого числа с некоторой не существенной для дела поправкой можно приближенно (по формуле Стирлинга) заменить N-й степенью этого числа, откуда
Z = VN/N! ≈ VN/NN = (V/ N)N."

В вашем примере числа несопоставимы со "статистическими". Если число состояний - не 3.375, а 100000000000.375, то не будет большого греха считать его равным 100000000000.



> Проблема с представлением неразличимых частиц. Правильно ли я понимаю - если грубо говоря в сосуде разделенном на 2 равные по объему сообщающиеся части находятся 2 неразличимые частицы, то вероятности того, что эти частицы находятся в разных частях равны вероятностям того, что они находятся в одной или в другой части, все вероятности равны 1/3. То есть
> [* | *] 1/3
> [**| ] 1/3
> [ |**] 1/3
Нет, это не так. Равновероятными являются собятия обнаружения одной частицы в правой или левой половине сосуда. Вероятности одновременного нахождения 2 независимых (невзаимодействующих) частиц перемножаются, а факт неразличимости состоит в том, что состояние [*|*] имеет вероятность 2* 1/4=1/2.
> А если они различимы, то
> [* | *] 1/2
> [**| ] 1/4
> [ |**] 1/4
различимось состоит только в том, что можно различить два состяния [A|B] и [B|A], имеющие равные вероятности 1/4.
> А могут быть неразличимы и половины сосуда ?
> Касается ли свойство неразличимости только квантовомеханических объектов ? Могут ли быть неразличимыми атомы ?

Неразличимость связана с тем, что у квантовых объектов отсутсвует понятие траектории. Это значит, что присвоив однажды одной из тождественных частиц номер, мы не можем в последующий момент времени проследить ее положение и утверждать, что это именно частица с данным номером.
В классическом случае, поскольку возможно идентифицировать траекторию, возможно и различать одинаковые частицы по траекториям.


>
> > Вот как это получено. Берем частицу, опускаем в ящик. С вероятностью 1/2 она находится в каждой из половинок. Берем вторую частицу, опускаем в ящик. Вероятность попадания в каждую половину та же, 1/2. Поскольку первое и второе события независимы, вероятности перемножаются. Для случаев [**| ] и [ |**] имеем вероятность 1/2*1/2=1/4. Случай [* | *] может реализоваться двумя способами, в зависимости от того, куда попала первая частица. Общая вероятность 1/4+1/4=1/2.

> Так это понятно. Это точка зрения нормальных людей, например Максвелла и Больцмана. А вот что написано в книге В. Феллера "Введение в теорию вероятностей...". "Тем больше было общее удивление, когда Бозе и Энштейн показали, что определенные типы частиц подчиняются статистике Бозе-Энштейна (подробнее см. пар. 5 гл. 2). В рассматриваемомом случае r=n=3 /3 ящика и 3 частицы/ модель Б-Э сопоставляет каждому из 10 элементарных событий вероятность 1/10." В главе 2 написано, что "эта (Максвелловская) статистика неприменима ни к каким известным частицам".

> И что ? А как же идеальный газ ?
Не надо путать "ячейки" в обычном пространстве (т.е. части сосуда) с ячейками в фазовом пространстве, о которых идет речь в статистике Б-Э. Такая "ячейка" представляет собой квантовое состояние, характеризующееся набором физических величин, каждая из которых может принимать дискретные значения. Статиситка Б-Э, также как и статистика Ферми переходит в Больцмановскую в пределах больших чисел заполнения.


> А если они различимы, то
> [* | *] 1/2
> [**| ] 1/4
> [ |**] 1/4
различимось состоит только в том, что можно различить два состяния [A|B] и [B|A], имеющие равные вероятности 1/4.

Ну здрасте, блин. Если бы с неразличимостью было все так просто, то откуда был бы весь этот сыр-бор вокруг квантовой механики.
Такая ваша неразличимость бывает и в макромире, если в два кармана положить по одинаковой копейке.

Суть неразличимости в том и состоит, что неотличимые частицы ведут себя вовсе не как отдельные частицы, а как результат вычисления состояния их общей волновой функции. Подробностей к сожалению не знаю, образование не позволяет,
но суть такова.

Вопрос конечно задан не совсем корректно, поскольку в макроскопических размеров соссуде получить принципиально неразличимые частицы крайне сложно.
Под неразличимостью, насколько я понимаю имеется ввиду принципиальная неотличимость, защищенная принципом неопределенности, а не просто однотипность частиц. В однотипности нет ничего особо интересного.


> > Примем V=3, N=4. Тогда VN=81. N!=24. 81/24=3.375 - число состояний??

> У Губина читаем:

> "В дальнейшем используется тот факт, что обычные термодинамические системы состоят из очень большого числа частиц. При больших N факториал этого числа с некоторой не существенной для дела поправкой можно приближенно (по формуле Стирлинга) заменить N-й степенью этого числа, откуда
> Z = VN/N! ≈ VN/NN = (V/ N)N."

Я не про дальнейшее, я про формулу для Z, которая обязаны давать целое число ссостояний. И ещё процитирую сам себя:
Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.


> Она дает число микросостояний при условии, что все частицы неразличимы. То есть перестановка любой пары приводит к тому же самому микросостоянию. Потому и делят на N!.

Если все частицы неразличимы, то любое их распределение по ячейкам имеет статистический вес =1. Например, состояния
[****|****]
[********| ]
тогда реализуются каждое единственным способом. Физически это означает, что газ самопроизвольно может собраться в любой сколь угодно малой части состуда.



> > "В дальнейшем используется тот факт, что обычные термодинамические системы состоят из очень большого числа частиц. При больших N факториал этого числа с некоторой не существенной для дела поправкой можно приближенно (по формуле Стирлинга) заменить N-й степенью этого числа, откуда
> > Z = VN/N! ≈ VN/NN = (V/ N)N."

> Я не про дальнейшее, я про формулу для Z, которая обязаны давать целое число ссостояний. И ещё процитирую сам себя:
> Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.

ВЫ не про дальнейшее, а Губин-то именно про дальнейшее! Конечно, Z - целое число. Но как его вычислить? Губин предлагает оценочную формулу, которая дает
приближенное значение Z. Если вы еще требуете, чтобы приближенное значение было бы целым, то это - сильное требование, практически невыполнимое:)


> > А если они различимы, то
> > [* | *] 1/2
> > [**| ] 1/4
> > [ |**] 1/4
> различимось состоит только в том, что можно различить два состяния [A|B] и [B|A], имеющие равные вероятности 1/4.

> Ну здрасте, блин. Если бы с неразличимостью было все так просто, то откуда был бы весь этот сыр-бор вокруг квантовой механики.
> Такая ваша неразличимость бывает и в макромире, если в два кармана положить по одинаковой копейке.

> Суть неразличимости в том и состоит, что неотличимые частицы ведут себя вовсе не как отдельные частицы, а как результат вычисления состояния их общей волновой функции. Подробностей к сожалению не знаю, образование не позволяет,
> но суть такова.

> Вопрос конечно задан не совсем корректно, поскольку в макроскопических размеров соссуде получить принципиально неразличимые частицы крайне сложно.
> Под неразличимостью, насколько я понимаю имеется ввиду принципиальная неотличимость, защищенная принципом неопределенности, а не просто однотипность частиц. В однотипности нет ничего особо интересного.

Речь идет о конкретном вопросе- как посчитать вероятность различных распределений частиц. Ответ, притом КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ, как раз и состоит в том, что вероятность события [*|*] равна 1/2. Неразличимость сказывается в том, что нет экспериментальной возможности в событии [*|*] различить события
[A|B], [B|A].
Что касается волновой функции невзаимодействующих тождественных частиц, то она есть симметричная для бозонов (антисимметричная для фермионов)сумма произведений волновых функций каждой из отдельных частиц, что и дает вышеприведенный ответ.
Таким образом, случай различных частиц приведет к той же вероятности события [*|*], если мы только не уточняем какая частица в какой части сосуда находится.


> Речь идет о конкретном вопросе- как посчитать вероятность
> различных распределений частиц. Ответ, притом КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ,
> как раз и состоит в том, что вероятность события [*|*] равна 1/2.
А как же с принципом запрета Паули для фермионов? Ведь он запрещает
занимать некоторые из одинаковых состояний в случаях [**|] и [|**],
а значит, уменьшает вероятность нахождения обеих частиц в одном
сосуде, и увеличивает эту вероятность для случая [*|*]


> > Речь идет о конкретном вопросе- как посчитать вероятность
> > различных распределений частиц. Ответ, притом КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ,
> > как раз и состоит в том, что вероятность события [*|*] равна 1/2.
> А как же с принципом запрета Паули для фермионов? Ведь он запрещает
> занимать некоторые из одинаковых состояний в случаях [**|] и [|**],
> а значит, уменьшает вероятность нахождения обеих частиц в одном
> сосуде, и увеличивает эту вероятность для случая [*|*]

Принцип Паули запрещает двум фермионам находится в одном и том же КВАНТОВОМ состоянии. Квантовое состояние не определяется тем, в какой части сосуда находятся частицы. В сосуде заданных размеров квантовое состояние определяется набором из 3 компонент импульса частицы (принимающих дискретные значения) и проекцией спина. Если у двух фермионов состояния отличаются, скажем, проекцией спина, то они ведут себя как различные частицы, если их состояния тождественны (равны импульсы и проекции спинов), то два таких фермиона не могут вообще находится в сосуде- вероятность равна 0 во всем сосуде.


> > Я не про дальнейшее, я про формулу для Z, которая обязаны давать целое число ссостояний. И ещё процитирую сам себя:
> > Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.

> ВЫ не про дальнейшее, а Губин-то именно про дальнейшее! Конечно, Z - целое число. Но как его вычислить? Губин предлагает оценочную формулу, которая дает
> приближенное значение Z. Если вы еще требуете, чтобы приближенное значение было бы целым, то это - сильное требование, практически невыполнимое:)

Если бы речь шла о какой-то экспериментально определяемой величине, для которой предложена оценочная формула, я бы не возражал. Но число состояний - теоретическое понятие, формула для которого обязана давать целочисленное значение. Как в задачке про землекопов :)
Вероятно, Губин поддался соблазну упростить изложение материала для наглядности и сделал это в ущерб правильности.


> > > Я не про дальнейшее, я про формулу для Z, которая обязаны давать целое число ссостояний. И ещё процитирую сам себя:
> > > Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.

> > ВЫ не про дальнейшее, а Губин-то именно про дальнейшее! Конечно, Z - целое число. Но как его вычислить? Губин предлагает оценочную формулу, которая дает
> > приближенное значение Z. Если вы еще требуете, чтобы приближенное значение было бы целым, то это - сильное требование, практически невыполнимое:)

> Если бы речь шла о какой-то экспериментально определяемой величине, для которой предложена оценочная формула, я бы не возражал. Но число состояний - теоретическое понятие, формула для которого обязана давать целочисленное значение. Как в задачке про землекопов :)
> Вероятно, Губин поддался соблазну упростить изложение материала для наглядности и сделал это в ущерб правильности.

Формула Стирлинга широко используется в статистической физике. См, напр.,
6.3. Распределение Бозе-Эйнштейна

Странно, что вы не сталкивались ранее с этим разложением.



> > А как же с принципом запрета Паули для фермионов? Ведь он запрещает
> > занимать некоторые из одинаковых состояний в случаях [**|] и [|**],
> > а значит, уменьшает вероятность нахождения обеих частиц в одном
> > сосуде, и увеличивает эту вероятность для случая [*|*]

> Принцип Паули запрещает двум фермионам находится в одном
> и том же КВАНТОВОМ состоянии.
Согласен

> Квантовое состояние
> не определяется тем, в какой части сосуда находятся
> частицы.
Строго говоря, это не так. Собственные состояния энергии,
о которых вы говорите, имеют, вообще говоря, сложную
пространственную зависимость, и не обязательно имеют
равную вероятность нахождения частицы в обеих частях сосуда.
Напомню, что по условию, части равны только по объему,
но не обязательно по форме, что не позволяет предполагать
симметрию задачи. Значит, распределение вероятностей
нахождении одной из частиц по частям сосуда будет,
вообще говоря, асимметричным. Частицы же, согласно
принципу Паули, будут "вытеснять" друг друга
в разные части сосуда.


> > Если бы речь шла о какой-то экспериментально определяемой величине, для которой предложена оценочная формула, я бы не возражал. Но число состояний - теоретическое понятие, формула для которого обязана давать целочисленное значение. Как в задачке про землекопов :)
> > Вероятно, Губин поддался соблазну упростить изложение материала для наглядности и сделал это в ущерб правильности.

> Формула Стирлинга широко используется в статистической физике. См, напр.,
> 6.3. Распределение Бозе-Эйнштейна

> Странно, что вы не сталкивались ранее с этим разложением.

К чему это Вы? На всякий случай - с наступающим.


> > Она дает число микросостояний при условии, что все частицы неразличимы. То есть перестановка любой пары приводит к тому же самому микросостоянию. Потому и делят на N!.

> Если все частицы неразличимы, то любое их распределение по ячейкам имеет статистический вес =1. Например, состояния
> [****|****]
> [********| ]
> тогда реализуются каждое единственным способом. Физически это означает, что газ самопроизвольно может собраться в любой сколь угодно малой части состуда.


Если V0 - маленький "элементарный" объем, то число состояний в объеме V равно (V/V0)N/N!, а в объеме V/10 число возможных состояний в 10N/N раз меньше. Так что собраться в малой части сосуда при большом числе частиц не удастся.


> > Странно, что вы не сталкивались ранее с этим разложением.

> К чему это Вы? На всякий случай - с наступающим.

Да ни к чему, собственно. Просто у меня, как и у всех, наверное, сложился свой образ участников форума, и вы - на хорошем счету:).
Взаимно - с Новым годом! Хороших вопросов и блестящих ответов вам и всем форумчанам!



> Речь идет о конкретном вопросе- как посчитать вероятность различных распределений частиц. Ответ, притом КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ, как раз и состоит в том, что вероятность события [*|*] равна 1/2. Неразличимость сказывается в том, что нет экспериментальной возможности в событии [*|*] различить события
> [A|B], [B|A].

Такая экспериментальная возможность в обычных условиях всегда есть, поскольку в принципе возможно после обнаружения частицы измерить ее параметры, параметры других частей установки, и определить как каждая из частиц взаимодействовала с окружающим миром до попадания в соосуд, и соответсвенно отличить частицы.
Никакой квантовой механики здесь нет.
Квантовые эффекты появляются только когда происхождение частиц таково, что их действительно в принципе нельзя отличить.
Вопрос был не совсем корректно поставлен, и касался скорее частиц, которые вы называете "взаимодействующими". Для таких взаимодействующих неотличимых частиц вероятность видимо и будет распределена 1/3, в нарушение классических представлений о вероятности.


> Если V0 - маленький "элементарный" объем, то число состояний в объеме V равно (V/V0)N/N!, а в объеме V/10 число возможных состояний в 10N/N раз меньше. Так что собраться в малой части сосуда при большом числе частиц не удастся.


Должно было быть:... а в объеме V/10 число возможных состояний в 10N раз меньше.


> Да ни к чему, собственно. Просто у меня, как и у всех, наверное, сложился свой образ участников форума, и вы - на хорошем счету:).
> Взаимно - с Новым годом! Хороших вопросов и блестящих ответов вам и всем форумчанам!

Спасибо большое, и Вам того же.

ЗЫ. После беседы с Вами и Белом уже сам себе кажусь занудой. Но все же: формула 6.32 - (N+Z-1)!/(N!*(Z-1)!) - из href="http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch6/texthtml/ch6_3_text.htm">6.3. Распределение Бозе-Эйнштейна
дает целое значение статистического веса для любого натурального числа частиц и ячеек. В отлиие от формулы Губина.


> ЗЫ. После беседы с Вами и Белом уже сам себе кажусь занудой. Но все же: формула 6.32 - (N+Z-1)!/(N!*(Z-1)!) - из href="http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch6/texthtml/ch6_3_text.htm">6.3. Распределение Бозе-Эйнштейна
> дает целое значение статистического веса для любого натурального числа частиц и ячеек. В отлиие от формулы Губина.

Ну конечно стат. вес в квантовой статистике - целое число. Но в ссылке после формулы 6.34 читаем: "Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга...", и т.д. и т.п. В чем проблема?


> Формула Стирлинга широко используется в статистической физике. См, напр.,
> 6.3. Распределение Бозе-Эйнштейна

> Странно, что вы не сталкивались ранее с этим разложением.

Избыточное цитирование. Пожалуйста не путайте правила тут и там.


>
> > > А как же с принципом запрета Паули для фермионов? Ведь он запрещает
> > > занимать некоторые из одинаковых состояний в случаях [**|] и [|**],
> > > а значит, уменьшает вероятность нахождения обеих частиц в одном
> > > сосуде, и увеличивает эту вероятность для случая [*|*]

> > Принцип Паули запрещает двум фермионам находится в одном
> > и том же КВАНТОВОМ состоянии.
> Согласен

> > Квантовое состояние
> > не определяется тем, в какой части сосуда находятся
> > частицы.
> Строго говоря, это не так. Собственные состояния энергии,
> о которых вы говорите, имеют, вообще говоря, сложную
> пространственную зависимость, и не обязательно имеют
> равную вероятность нахождения частицы в обеих частях сосуда.
> Напомню, что по условию, части равны только по объему,
> но не обязательно по форме, что не позволяет предполагать
> симметрию задачи. Значит, распределение вероятностей
> нахождении одной из частиц по частям сосуда будет,
> вообще говоря, асимметричным.

Это верно, но совершенно излишне для понимания сути вопроса о вычислении вероятности различных событий.

> Частицы же, согласно
> принципу Паули, будут "вытеснять" друг друга
> в разные части сосуда.

Не согласен с этим. Принцип Паули не приводит к эффективному отталкиванию для 2 частиц в ящике. Запишите симметризованную волновую функцию двух невзаимодействующих частиц, вычислите вероятность и сами увидите.


>
> > Речь идет о конкретном вопросе- как посчитать вероятность различных распределений частиц. Ответ, притом КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЙ, как раз и состоит в том, что вероятность события [*|*] равна 1/2. Неразличимость сказывается в том, что нет экспериментальной возможности в событии [*|*] различить события
> > [A|B], [B|A].


> Вопрос был не совсем корректно поставлен, и касался скорее частиц, которые вы называете "взаимодействующими". Для таких взаимодействующих неотличимых частиц вероятность видимо и будет распределена 1/3, в нарушение классических представлений о вероятности.

Не ясно, что вы подразумеваете под взаимодействущими частицами. Могли бы вы привести пример взаимодействия между частицами (притягивательное, отталкивательное?), которое приведет к вероятности 1/3?


> > > Я не про дальнейшее, я про формулу для Z, которая обязаны давать целое число ссостояний. И ещё процитирую сам себя:
> > > Она дает число микросостояний при условии, что частицы, находящиеся в одной ячейке, неразличимы. Какой физический смысл заключается в делении этого Z на N!, я не понимаю.

> > ВЫ не про дальнейшее, а Губин-то именно про дальнейшее! Конечно, Z - целое число. Но как его вычислить? Губин предлагает оценочную формулу, которая дает
> > приближенное значение Z. Если вы еще требуете, чтобы приближенное значение было бы целым, то это - сильное требование, практически невыполнимое:)

> Если бы речь шла о какой-то экспериментально определяемой величине, для которой предложена оценочная формула, я бы не возражал. Но число состояний - теоретическое понятие, формула для которого обязана давать целочисленное значение. Как в задачке про землекопов :)

Формула совсем не обязана давать целочисленное значение. Желательно, конечно, что бы это было так, и, если бы такая возможность существовала, лучше было бы применять такую оценку. Но нет такой формулы. Что прикажете делать? Поэтому пошли по пути наименьшего зла. Применяют формулу, которая дает точность для физики сверхдостаточную. Что еще нужно для счастья?

> Вероятно, Губин поддался соблазну упростить изложение материала для наглядности и сделал это в ущерб правильности.

Не только Губин. Так ВСЕ делают.


Вообще-то я уже сказал всё, то имел сказать. Но повторить несложно :)

> > Если бы речь шла о какой-то экспериментально определяемой величине, для которой предложена оценочная формула, я бы не возражал. Но число состояний - теоретическое понятие, формула для которого обязана давать целочисленное значение. Как в задачке про землекопов :)

> Формула совсем не обязана давать целочисленное значение. Желательно, конечно, что бы это было так, и, если бы такая возможность существовала, лучше было бы применять такую оценку. Но нет такой формулы. Что прикажете делать? Поэтому пошли по пути наименьшего зла. Применяют формулу, которая дает точность для физики сверхдостаточную. Что еще нужно для счастья?

Что значит "нет такой формулы"? У нас ящик с V ячейками и N частиц. Количество перестановок (микросостояний) для разных случаев:

для различимых частиц: VN
для неразличимых частиц: (N+V-1)!/N!(V-1)!
если частицы неразличимы в пределах одной ячейки (новое микросостояние образуется при перестановке частиц из разных ячеек, но не частиц из одной ячейки), величину VN надо разделить на произведение Ni!, где i = 1...V, Ni - число частиц в i-й ячейке.
Все эти формулы дают целочисленные значения, проверьте.
Губин же делит VN на N!, что не только дает дробное значение, но попросту не имеет физического смысла.

> > Вероятно, Губин поддался соблазну упростить изложение материала для наглядности и сделал это в ущерб правильности.

> Не только Губин. Так ВСЕ делают.

Мой скромный опыт говорит обратное. Сколько видел выводов выражений статистического веса (в т.ч. в приведенной Вами ссылке на статистику бозонов) - все они давали целочисленные результаты.



> > Напомню, что по условию, части равны только по объему,
> > но не обязательно по форме, что не позволяет предполагать
> > симметрию задачи. Значит, распределение вероятностей
> > нахождении одной из частиц по частям сосуда будет,
> > вообще говоря, асимметричным.

> Это верно, но совершенно излишне для понимания сути вопроса
> о вычислении вероятности различных событий.

> > Частицы же, согласно
> > принципу Паули, будут "вытеснять" друг друга
> > в разные части сосуда.

> Не согласен с этим. Принцип Паули не приводит к эффективному
> отталкиванию для 2 частиц в ящике.
Приводит, и это даже имеет свое название - "обменное взаимодействие"

> Запишите симметризованную
> волновую функцию двух невзаимодействующих частиц, вычислите
> вероятность и сами увидите.
Давайте лучше так. Выберем в качестве базовых собственные
функции координат двух частиц.. Напомню, что это будут дельта функции.
Тогда волновая функция будет представлять собой просто набор амплитуд для данных базовых функций.

Согласно принципу Паули, никакие две частицы не могут
занимать одно и то же состояние. Это означает, что волновая функция
будет обращаться в 0 во всех точках, где координаты частиц равны. В ближайшей окрестности таких точек она будет пропорциональна расстоянию между частицами.
Квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности найти частицы в данных положениях, будет пропорционален квадрату расстояния между частицами.

Это находится в явном противоречии со случаем различимых частиц, где амплитуда в местах встречи частиц, вообще говоря, не обращается в ноль. Неразличимые фермионы как будто выталкивают друг друга из той области пространства, где они находятся.

Таким образом, можно выделить две различных неразличимости: 1) измерительную неразличимость, где нам не важно, какую частицу мы обнаружили; квантовомеханически же они могут быть различимы. Большинство ответов в этой тему, как я понимаю, относилось к этому виду неразличимости.

2)Квантовомеханическая неразличимость. Такая неразличимость влияет на более глубокие, квантовые свойства системы, давая обычно небольшие, классически необъяснимые эффекты.



> Не ясно, что вы подразумеваете под взаимодействущими частицами. Могли бы вы привести пример взаимодействия между частицами (притягивательное, отталкивательное?), которое приведет к вероятности 1/3?

Не знаю, сам хотел бы знать.

В качестве влияния неразличимости всегда приводят пример со столкновением частиц. В этом примере действительно есть принципиальная разница между результатом эксперимента с тождественными частицами и отличимыми.
И дело там не только в том, что мы не можем отличить частицы а в том, что и природа будучи не в состоянии отличить эти частицы поступает с ними не так как с теми, котроые она может отличить. Вроде по логике вещей должна быть возможность поставить более наглядный эксперимент, в котором этот эксперимент, в котором этот своеобразный "глюк" в физических законах природы проявляется более явно.


> Давайте лучше так. Выберем в качестве базовых собственные
> функции координат двух частиц.. Напомню, что это будут дельта функции.
> Тогда волновая функция будет представлять собой просто набор амплитуд для данных базовых функций.

> Согласно принципу Паули, никакие две частицы не могут
> занимать одно и то же состояние. Это означает, что волновая функция
> будет обращаться в 0 во всех точках, где координаты частиц равны. В ближайшей окрестности таких точек она будет пропорциональна расстоянию между частицами.
> Квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности найти частицы в данных положениях, будет пропорционален квадрату расстояния между частицами.

Позвольте с вами не вполне согласиться.
Прежде всего начнем с состояний отдельной частицы в кубическом( для простоты) ящике. Координатная часть волновой функции есть phi1(x1,y1,z1)=Sin(p_n x1)Sin(q_m y1) Sin(k_t z1), где импульсы p_n, q_m, k_t находятся из условия p_n =Pi n/L,q_m=Pi m/L, k_t=Pi t/L где L- размер куба. Координатная часть волновой функции двух частиц есть симметризованное произведение phi1(x1,y1,z1) phi2(x2,y2,z2)+/- phi1(x2,y2,z2)phi2(x1,y1,z1) Знак + или - зависит от полного спина двух фермионов (рассмотри для простоты фермионы со спином 1/2). Плюс соответсвует спину 0, - спину 1. Отсюда сразу следует, что если импульсы первой и второй частицы одинаковы n1=n2, m1=m2, t1=t2 то состояние с полным спином S=0 не приводит ни к каким 0 плотности вероятности в точке, где координаты первой и второй частицы совпадают, а состояние с полным спином S=1 просто запрещено (волновая функция его обращается в 0 тождечтвено).
Поэтому ваше утверждение об обменном взаимодействии (которое, кстати, бывает и притягивательным) в данном случае не работает.

С вашим утверждением можно согласиться в случае, когда импульсы частиц различны и речь идет о состоянии с полным спином S=1. Тогда действительно полная волновая функция обращается в нуль в точках, где координаты обоих частиц совпадают. Однако, замечу, это не единственная точка, где полная волновая функция обращается в 0 в результате симметризации. Всюду, где выполнено условие Sin(p1 x1)Sin(q1 y1)Sin(k1 z1)=Sin(p2 x2)Sin(q2 y2)Sin(k2 z2)
полная волновая функция обратиться в 0, для достаточно больших импульсов (или больших ящиков) таких точек должно быть много.
И главное, если теперь посчитать распределение вероятности обнаружения частиц по половинам ящика, ситуация будет такая: P[**| ]=P[ |**]=1/2P[*|*]=1/4


Теперь о


> Губин же делит VN на N!, что не только дает дробное значение, но попросту не имеет физического смысла.

Цитата из Губина:

"Для рассматриваемого здесь вопроса важна только часть возможных состояний, возникающая при переборе координат частиц. Пусть система N частиц в объеме V находится в равновесном состоянии. Каждая из них, причем независимо от других, может находиться в любом месте объема. Тогда общее число возможных состояний частиц пропорционально объему в степени числа частиц. Логарифм этого числа с точностью до слагаемого, связанного, очевидно, лишь с выбранными единицами «измерения» числа точек в объеме, равен логарифму объема, умноженному на число частиц:
S = N lnV."

Обратите внимание на слова: "с точностью до слагаемого, связанного, очевидно, лишь с выбранными единицами «измерения». Это означает, что под знаком логарифма (а до этого - степени) должнен стоять не объем V, а безразмерная величина (типа V/V0). Губин это опускает, но честно об этом говорит. Методически это не совсем хорошо, и вы можете придираться, но не более. Выводы следуют верные.


> ЗЫ. После беседы с Вами и Белом уже сам себе кажусь занудой.

Это совсем не плохо, особенно если Вы - экспериментатор. Говорят, что в кабинете Л.А.Арцимовича висела табличка: "Только зануда может быть хорошим экспериментаторм".
> Но все же: формула 6.32 - (N+Z-1)!/(N!*(Z-1)!) - из href="http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch6/texthtml/ch6_3_text.htm">6.3. Распределение Бозе-Эйнштейна
> дает целое значение статистического веса для любого натурального числа частиц и ячеек. В отлиие от формулы Губина.

Правильная формула для энтропии ln(V/N) получается и в феноменологической термодинамике без привлечения каких-либо соображений о тождественности частиц. Для ее вывода достаточно постулировать аддитивность энтропии (см, например, второй том Д.В.Сивухина, В.Г.Левич "Введение в стат. физику",...)

Губин в книге, указанной sleo, ставит еще один вопрос. Как получается с учетом неразличимости частиц (деление на N! с последующей приближенной заменой факториала разложением Стирлинга) точная формула для энтропии ln(V/N).
Ответ скорее всего такой:
"При переходе от статфизики к термодинамике обычно используется термодинамический предел: количество частиц стремится к бесконечности..."
(Статья Игоря Иванова "Революция в термодинамике" http://www.scientific.ru/journal/tsallis/tsallis.html)
Кстати, статья очень хороша сама по себе.


> (Статья Игоря Иванова "Революция в термодинамике" http://www.scientific.ru/journal/tsallis/tsallis.html)
> Кстати, статья очень хороша сама по себе.

Спасибо, ссылка действительно любопытная. Как говорил Фейерабенд, "anything goes", в том числе наверное и подгон формул под эмпирические зависимости :) Но мне всё же больше по душе подход Губина, анализирующего сам смысл, вкладываемый в понитие энтропии.


> > (Статья Игоря Иванова "Революция в термодинамике" http://www.scientific.ru/journal/tsallis/tsallis.html)
> > Кстати, статья очень хороша сама по себе.

> Спасибо, ссылка действительно любопытная. Как говорил Фейерабенд, "anything goes", в том числе наверное и подгон формул под эмпирические зависимости :) Но мне всё же больше по душе подход Губина, анализирующего сам смысл, вкладываемый в понитие энтропии.

Имеете полное право. Поскольку именно статфизика обосновывает феноменологическую термодинамику и определяет границы ее применимости.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100