детский парадокс

Сообщение №28531 от Hydrogen 20 ноября 2003 г. 01:19
Тема: детский парадокс

Вот маленький детский парадокс из электростатики:

Заряд Q помещают рядом с бесконечной проводящей пластиной конечной толщины. Вопрос: какой заряд индуцируется на пластине?
Детское рассуждение: на одной поверхности пластины распределен заряд q, на противоположной поверхности -q. Из условия отсутствия поля внутри проводника и теоремы Гаусса легко получим, что q=Q/2.
Тем не менее, правильный ответ: |q|=|Q|
В чем ошибка приведенных рассуждений.

Вот второй маленький парадокс из механики:

Рассмотрим однородной поле сил, например силы тяжести вблизи поверхности Земли.
Очевидно, что в силу указанной однородности все точки пространства эквиваленты, законы движения не должны зависеть от координат и, как следствие этой самой однородности, импульс материальной точки в таком поле должен сохраняться. С другой стороны, еще более очевидно, что импульс в однородном поле не сохраняется- тела движутся равноускоренно. Где ошибка в рассуждениях?


Отклики на это сообщение:

> Вот маленький детский парадокс из электростатики:

> Заряд Q помещают рядом с бесконечной проводящей пластиной конечной толщины. Вопрос: какой заряд индуцируется на пластине?
> Детское рассуждение: на одной поверхности пластины распределен заряд q, на противоположной поверхности -q. Из условия отсутствия поля внутри проводника и теоремы Гаусса легко получим, что q=Q/2.
> Тем не менее, правильный ответ: |q|=|Q|
> В чем ошибка приведенных рассуждений.

Имхо ошибка в том, что задача недецкая отнюдь, а рассуждение детское. Я вот так на вскидку не знаю, как найти распределение заряда, если пластинка конечной толщины.
Надо б глянуть Батыгина-Топтыгина. Вы точно уверены что из Гаусса получается ку/2

> Вот второй маленький парадокс из механики:

> Рассмотрим однородной поле сил, например силы тяжести вблизи поверхности Земли.
> Очевидно, что в силу указанной однородности все точки пространства эквиваленты, законы движения не должны зависеть от координат и, как следствие этой самой однородности, импульс материальной точки в таком поле должен сохраняться. С другой стороны, еще более очевидно, что импульс в однородном поле не сохраняется- тела движутся равноускоренно. Где ошибка в рассуждениях?

:)) dP/dt = F.
:)) Закон сохранения импульса в силу однородности пространства скорее всего выводится только для замкнутых систем(если честно - не помню).
В данном случае система на замкнута, есть внешняя сила! Дак вот если вы рассмотрите систему Земля + тело то закон сохранения импульса в такой системе вы пол ня ет ся !


> Из условия отсутствия поля внутри проводника и теоремы Гаусса легко получим, что q=Q/2.
Да нет, с чего Вы взяли? Вы считаете, что на замыкающей полусфере очень большого радиуса R поле спадает как 1/R? Это верно лишь в отсутствие плоскости, а с нею Вы этого утверждать не можете.

Вообще-то поле спадает быстрее и интеграл стремится к нулю. Поэтому все нормально, правильный ответ: |q|=|Q|

> Очевидно, что в силу указанной однородности все точки пространства эквиваленты, законы движения не должны зависеть от координат и, как следствие этой самой однородности, импульс материальной точки в таком поле должен сохраняться. С другой стороны, еще более очевидно, что импульс в однородном поле не сохраняется- тела движутся равноускоренно. Где ошибка в рассуждениях?

Из однородности пространства выводится с помощью принципа наименьшего действия. При этом в Лагранжиан входит потенциальная энергия. Т.к. на разной высоте потенциалы разные, то пространство неоднородно.


> Из однородности пространства выводится с помощью принципа наименьшего действия. При этом в Лагранжиан входит потенциальная энергия. Т.к. на разной высоте потенциалы разные, то пространство неоднородно.

Пространство в данном случае однородно. Но неизотропно.


> > Вот маленький детский парадокс из электростатики:

> > Заряд Q помещают рядом с бесконечной проводящей пластиной конечной толщины. Вопрос: какой заряд индуцируется на пластине?
> > Детское рассуждение: на одной поверхности пластины распределен заряд q, на противоположной поверхности -q. Из условия отсутствия поля внутри проводника и теоремы Гаусса легко получим, что q=Q/2.
> > Тем не менее, правильный ответ: |q|=|Q|
> > В чем ошибка приведенных рассуждений.

> Имхо ошибка в том, что задача недецкая отнюдь, а рассуждение детское. Я вот так на вскидку не знаю, как найти распределение заряда, если пластинка конечной толщины.
> Надо б глянуть Батыгина-Топтыгина. Вы точно уверены что из Гаусса получается ку/2
Вот "рассуждение" в деталях: поле внутри проводника отсутсвует. Это обеспечивается распределением зарядов на поверхностях проводника. Поток поля через плоскость, проведенную внутри проводника, в силу равенства поля нулю равен нулю. С другой стороны приравнивая потоки от поля точечного заряда и от зарядов на поверхностях, через указанную плоскость (полусферу бесконечного радиуса) получим 2q=Q

> > Вот второй маленький парадокс из механики:

> > Рассмотрим однородной поле сил, например силы тяжести вблизи поверхности Земли.
> > Очевидно, что в силу указанной однородности все точки пространства эквиваленты, законы движения не должны зависеть от координат и, как следствие этой самой однородности, импульс материальной точки в таком поле должен сохраняться. С другой стороны, еще более очевидно, что импульс в однородном поле не сохраняется- тела движутся равноускоренно. Где ошибка в рассуждениях?

> :)) dP/dt = F.
> :)) Закон сохранения импульса в силу однородности пространства скорее всего выводится только для замкнутых систем(если честно - не помню).
> В данном случае система на замкнута, есть внешняя сила! Дак вот если вы рассмотрите систему Земля + тело то закон сохранения импульса в такой системе вы пол ня ет ся !

Это верно, но полезно проследить какую роль играет замкнутость в формальном выводе сохранения импульса, основанном на однородности пространсва.


> Пространство в данном случае однородно.
Да нет. Лагранжиан зависит от координат.

> Но неизотропно.
Ну эт само собой.


> > Пространство в данном случае однородно.
> Да нет. Лагранжиан зависит от координат.

Пускай себе. В любой точке пространства любой прибор даст одно и то же показание. Это и есть однородность. А мерить лагранжиан - нет такого прибора :)



> Вот маленький детский парадокс из электростатики:

> Заряд Q помещают рядом с бесконечной проводящей пластиной конечной толщины. Вопрос: какой заряд индуцируется на пластине?

Если тупо по физике прцесса, а не абстрактной электростатике.

Допустим, от некой железяки Вы отобрали н-електронов (ЕДС-МДС какая-нибудь) и обозвали эту железяку Q естественно +. Затем Вы потихоньку подносите енту железяку +Q к нейтральной пластине А, которая тоже железяка, и понятное дело имеет електроны в зоне проводимости.

На поверхности железяки А возникает градиент, и ея електроны, которые ухитрились перепрыгнуть через Е-барьер, собираются кучкой. Макушка кучки в точности под нормалью от +Q. Распределение, для простоты вопроса, нормальное (хотя реальные дела несколько хуже). Проинтегрировав эту кучку по поверхности наверняка выйдет -Q. Иначе говоря, пока все тип-топ.

Ясен пень, поскольку на одной поверхности А електронов собралось больше, они эдак начинают экранировать заряд +Q, и не дают електронам из глубины пластины лезть наверх. Окромя бешенных електронов, конечно, которые могут сдуру вообще улететь к +Q (термо-эмиссия, фотоэффект и прочая чушь)...

При хорошем раскладе (весьма достойной температуре А, комнатной к примеру), електрончики внутри пластины ведут себя как обычно и не дергаются, то есть распределены изотропно. При плохом раскладе, если пластинка слишком тонкая, или +Q охрененной величины, может быть 2 исхода.

Исход 1. Тихо и спокойно на обратной стороне пластины образуется обедненная е- область, поскольку електроны удрали до кучки. Свято место пусто не бывает, и со всех сторон (боков пластины) туды лезут е-. Тут дела динамические, в основном. Ежели +Q прибавлять потихоньку, процесс устойчив.

Исход 2. На обратной стороне А образуется инверсный слой -Q, который как бы зеркален кучке сверху. При сем естественно далекие края пластинки оплюссовываются, а промеж кучек сверху-снизу сплошные дырки (вакансии которые). В динамике эта штука весьма красивая, если быстро дрыгать величиной +Q, и на ентой фигне всяких эффектов понаоткрыто до дури. Ну и, разумеется, вся современная (семи-кондовая) електроника держится.

> Детское рассуждение: на одной поверхности пластины распределен заряд q, на противоположной поверхности -q. Из условия отсутствия поля внутри проводника и теоремы Гаусса легко получим, что q=Q/2.
> Тем не менее, правильный ответ: |q|=|Q|
> В чем ошибка приведенных рассуждений.

Вот, попробовал объяснить. Да, забыл. Если сверху завесили -Q, то все куда проще.

> Вот второй маленький парадокс из механики:

> Рассмотрим однородной поле сил, например силы тяжести вблизи поверхности Земли.
> Очевидно, что в силу указанной однородности все точки пространства эквиваленты, законы движения не должны зависеть от координат и, как следствие этой самой однородности, импульс материальной точки в таком поле должен сохраняться. С другой стороны, еще более очевидно, что импульс в однородном поле не сохраняется- тела движутся равноускоренно. Где ошибка в рассуждениях?

Тут мы не копенгаген. Терпеть не могем Лагранжа, все у него в парадоксах. А Вы в локально-однородных падающих лифтах часом не катались?


> Да нет, с чего Вы взяли? Вы считаете, что на замыкающей полусфере очень большого радиуса R поле спадает как 1/R? Это верно лишь в отсутствие плоскости, а с нею Вы этого утверждать не можете.

> Вообще-то поле спадает быстрее и интеграл стремится к нулю. Поэтому все нормально, правильный ответ: |q|=|Q|

Вот подробные рассуждения, основанные на принципе суперпозиции:
Поток от любого малого заряда dq, находящегося на поверхности, через указанную полусферу большого радиуса равен 2 Pi dq. Для всех зарядов на одной поверхности этот поток 2 Pi q, поток от зарядов на противоположной поверхности с учетом знака те же 2 pi q, итого поток от поля зарядов, индуцированных на противоположных поверхностях проводника 4 Pi q. Поток от исходного точечного заряда Q есть 2 pi Q. Поскольку поле внутри проводника равно 0 , суммарный поток также равен 0 : 4 pi q = -2 pi Q т.о q=-Q/2.

>> Из однородности пространства выводится с помощью принципа наименьшего действия. При этом в Лагранжиан входит потенциальная энергия. Т.к. на разной высоте потенциалы разные, то пространство неоднородно.

Однородность означает эквивалентность всех экспериментов независимо от точки проведения эксперимента. Очевидно, в однородном поле независимо от того, в какой точке вы проведете эксперимент, уравнения движения будут одинаковыми. Именно поэтому и делается вывод о независимости функции Лагранжа от координат как следствие однородности. С другой стороны, как вы сами сказали, функция Лагранжа от координат таки зависит, импульс не сохраняется (в направлении поля), в этом и состоит парадокс, который предлагается разрешить.


> > Вот маленький детский парадокс из электростатики:

> > Заряд Q помещают рядом с бесконечной проводящей пластиной конечной толщины. Вопрос: какой заряд индуцируется на пластине?

> Если тупо по физике прцесса, а не абстрактной электростатике.

> Допустим, от некой железяки Вы отобрали н-електронов (ЕДС-МДС какая-нибудь) и обозвали эту железяку Q естественно +. Затем Вы потихоньку подносите енту железяку +Q к нейтральной пластине А, которая тоже железяка, и понятное дело имеет електроны в зоне проводимости.

> На поверхности железяки А возникает градиент, и ея електроны, которые ухитрились перепрыгнуть через Е-барьер, собираются кучкой. Макушка кучки в точности под нормалью от +Q. Распределение, для простоты вопроса, нормальное (хотя реальные дела несколько хуже). Проинтегрировав эту кучку по поверхности наверняка выйдет -Q. Иначе говоря, пока все тип-топ.

> Ясен пень, поскольку на одной поверхности А електронов собралось больше, они эдак начинают экранировать заряд +Q, и не дают електронам из глубины пластины лезть наверх. Окромя бешенных електронов, конечно, которые могут сдуру вообще улететь к +Q (термо-эмиссия, фотоэффект и прочая чушь)...

> При хорошем раскладе (весьма достойной температуре А, комнатной к примеру), електрончики внутри пластины ведут себя как обычно и не дергаются, то есть распределены изотропно. При плохом раскладе, если пластинка слишком тонкая, или +Q охрененной величины, может быть 2 исхода.

> Исход 1. Тихо и спокойно на обратной стороне пластины образуется обедненная е- область, поскольку електроны удрали до кучки. Свято место пусто не бывает, и со всех сторон (боков пластины) туды лезут е-. Тут дела динамические, в основном. Ежели +Q прибавлять потихоньку, процесс устойчив.

> Исход 2. На обратной стороне А образуется инверсный слой -Q, который как бы зеркален кучке сверху. При сем естественно далекие края пластинки оплюссовываются, а промеж кучек сверху-снизу сплошные дырки (вакансии которые). В динамике эта штука весьма красивая, если быстро дрыгать величиной +Q, и на ентой фигне всяких эффектов понаоткрыто до дури. Ну и, разумеется, вся современная (семи-кондовая) електроника держится.

> > Детское рассуждение: на одной поверхности пластины распределен заряд q, на противоположной поверхности -q. Из условия отсутствия поля внутри проводника и теоремы Гаусса легко получим, что q=Q/2.
> > Тем не менее, правильный ответ: |q|=|Q|
> > В чем ошибка приведенных рассуждений.

> Вот, попробовал объяснить. Да, забыл. Если сверху завесили -Q, то все куда проще.

> > Вот второй маленький парадокс из механики:

> > Рассмотрим однородной поле сил, например силы тяжести вблизи поверхности Земли.
> > Очевидно, что в силу указанной однородности все точки пространства эквиваленты, законы движения не должны зависеть от координат и, как следствие этой самой однородности, импульс материальной точки в таком поле должен сохраняться. С другой стороны, еще более очевидно, что импульс в однородном поле не сохраняется- тела движутся равноускоренно. Где ошибка в рассуждениях?

> Тут мы не копенгаген. Терпеть не могем Лагранжа, все у него в парадоксах. А Вы в локально-однородных падающих лифтах часом не катались?

Нравится мне ваше рассуждение. Резюмируя, можно утверждать следующее: устойчивой ( при медленном приближении индуцирующего заряда Q) является конфигурация, когда индуцированный заряд собран на поверхности вблизи заряда Q, а противоположный ему (в силу начальной нейтральности проводника) уходит на бесконечность и вклада не дает. Именно поэтому q=Q.
Вторая конфигурация, рассмотренная в обосновании парадокса, действительно приводит к q=Q/2 , но не реализуетсяв силу неустойчивости(если специально не изворачиваться) Так ли?



> Нравится мне ваше рассуждение. Резюмируя, можно утверждать следующее: устойчивой ( при медленном приближении индуцирующего заряда Q) является конфигурация, когда индуцированный заряд собран на поверхности вблизи заряда Q, а противоположный ему (в силу начальной нейтральности проводника) уходит на бесконечность и вклада не дает. Именно поэтому q=Q.

Вообще-то надо уточнять, какого знака заряд. Подвижность основных и неосновных носителей обычно разная, поэтому картина может радикально меняться.

Для металла основные е-, поэтому при Q+ электроны собираются макс.концентрацией в точности под внешним зарядом. Говорить о том, что противоположный заряд, который собственно есть обеднение металла пластины носителями, удален в бесконечность и оттого =0 неприлично. Для сего дела понадобится бесконечное же время, не говоря уже о бедном Череповецком заводе и сварщиках, подваривающих листы железа...

Просто о появлении заряда на пов.пластины говорить и вовсе нехорошо. Число е- в металле не изменяется, изменяется только распределение, изменяется плотность е- на ед.площади (объема), грубо говоря. Енто изменение, собственно, называется електрическим током, и существует в принципе только в динамике. Если не будит Киргоффа, разумеется, цепи там всякие не составлять с ЕДСами. Тут мы заодно наивно забываем про эмиссии, шумы тепловые и прочия гадости.

Короче, -q всяко меньше +Q, и интеграл q растет с приближением Q к пластине А. Ежели +Q дотронется до А, то часть е- перебежит на +Q, тогда заряд распределится соответсвенно электро-емкости объектов (скоростя "распределенья" не считаем, не было беды еще с индуктивностью связываться!). Суммарный заряд тогда будет тот же +Q.

> Вторая конфигурация, рассмотренная в обосновании парадокса, действительно приводит к q=Q/2 , но не реализуетсяв силу неустойчивости(если специально не изворачиваться) Так ли?

Повторю. Величина q меняется от 0, когда +Q в бесконечности от А до -q=+Q (почти) перед самым касанием (поменьше, в зависимости от емкостей и динамики). Замечу только, что "величину" можно померить вольтметром от низу до верху А, ежели проводов хватит. Но! В этом случае через вольтметер долже течь махонький ток, из чего следует, что должна быть ЕДС, которая сделает U. ЕДС при неподвижном +Q получить весьма непросто. Если же просто ткнуть вольтметром, то индуцированные поверхностные е- быстренько стекут и воровняют потенциалы. Короче, просто разрядится кондер.


> Это верно, но полезно проследить какую роль играет замкнутость в формальном выводе сохранения импульса, основанном на однородности пространсва.

Esli potencial sistemy U(x) invarianten pri translyaciyakh vdol' x to Mx''==-dU/dx obraschaetsya v nul' (0). t.e. p=Mx' vdol' x ne menyaetsya, ili drugimi slovami sil nikakikh ne dejstvuet so vsemy vytekayuschimi posledstviyami. Eto odna odnorodnost'.

Esli U invarianten naprimer pri povorotakh vokrug x=0,y=0, to perekhodya v polyarnye koordinaty, mozno uvidet', sokranyat'sya budet M(yx'-xy') chto est' moment kol. dvizheniya otnositel'no osi perp. (xy). Eto drugaya odnorodnost'.

I t.d...


Перекодировка транслита:


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100