Исследование турбулентности

Сообщение №27353 от Delphin 16 октября 2003 г. 11:41
Тема: Исследование турбулентности

Итак, производится экспериментальное исследование турбулентности в бассейне. Для этого в одной пространственной точке r=(x,y,z) в течение времени T регистрируется мнгновенная скорость воды u(t). Таким образом, экспериментатор располагает записью скорости через ординаковый временной интервал dt в течение общего времени T, т.е. u(t1), u(t2),...,u(tn). Требуется получить корреляционную функцию скорости и спектральную плотность пульсаций кинетической энергии в этой точке. Возникает естесвенный вопрос - как в этом случае можно оценить (рассчитать) эти характеристики ?


Отклики на это сообщение:

> Итак, производится экспериментальное исследование турбулентности в бассейне. Для этого в одной пространственной точке r=(x,y,z) в течение времени T регистрируется мнгновенная скорость воды u(t). Таким образом, экспериментатор располагает записью скорости через ординаковый временной интервал dt в течение общего времени T, т.е. u(t1), u(t2),...,u(tn). Требуется получить корреляционную функцию скорости и спектральную плотность пульсаций кинетической энергии в этой точке. Возникает естесвенный вопрос - как в этом случае можно оценить (рассчитать) эти характеристики ?
А какие проблемы? Формулы есть в учебниках. Спектральная плотность это просто Фурье-спектр мощности. Нужно иметь в виду следующее.
Частота оцифровки должна более чем в два раза превышать верхнюю частоту спектра (Теорема Котельникова), иначе высшие частоты полезут в основну область.
Перед нахождением спектра желательно умножить последовательность на оконную функцию.
Спектр шумового сигнала тоже шум. Поэтому нужно найти спектры какого то числа реализаций и потом их усреднить.
Более правильно не от скорости спектр искать а от давления. Давление, все же скаляр.


> Более правильно не от скорости спектр искать а от давления. Давление, все же скаляр.

Анизотропии не поймаешь. Надо измерять пульсации скорости и плотности. Ну здесь плотность не меняется.


> А какие проблемы? Формулы есть в учебниках. Спектральная плотность это просто Фурье-спектр мощности. Нужно иметь в виду следующее.

Распределение кинетической энергии пульсаций по частотам это, как я понял, преобразование Фурье от корреляционной функции. Корреляцилонная функция стационарного эргодичного случайного процесса
K(t)=, <*> - усреднение по времени.
Проблема в том, что при расчёте корреляционной функции в точке t усреднение производится по временному интервалу (T-t), т.к. временной интервал ограничен. Это означает стремительную потерю точности при увеличении t, т.е. достаточно точно K(t) можно расчитать только при малых t.

> Частота оцифровки должна более чем в два раза превышать верхнюю частоту спектра (Теорема Котельникова), иначе высшие частоты полезут в основну область.
Может есть на примете ссылочка на эту теорему ?

> Перед нахождением спектра желательно умножить последовательность на оконную функцию.
А что понимается под оконной функцией ?

> Спектр шумового сигнала тоже шум. Поэтому нужно найти спектры какого то числа реализаций и потом их усреднить.
Не совсем понял как производить усреднение, можно пожалуйста чуть поподробнее ?


Прошу прошения у vk, что вмешиваюсь.

> Распределение кинетической энергии пульсаций по частотам это, как я понял, преобразование Фурье от корреляционной функции.

Не совсем. Спектр квадрата функции u(t) равен спектру свертки сигнала u(t) с самим собой:
τu(τ)*u(t-τ)

а кореляционная функция - это свертка сигнала u(t) с его инверсией по времени i(t) = u(-t):
τu(τ)*i(t-τ) = ∑τu(τ)*u(τ-t)

Конечно, понятие корреляционной функции существенно опирается на гипотезу эргодичности процесса, т.е. на то, что усреднение по реализациям можно заменить усреднением по времени.

> Проблема в том, что при расчёте корреляционной функции в точке t усреднение производится по временному интервалу (T-t), т.к. временной интервал ограничен. Это означает стремительную потерю точности при увеличении t, т.е. достаточно точно K(t) можно расчитать только при малых t.

При нормальном T это не есть проблема, поскольку корреляционная функция должна достаточно быстро стать практически нулевой (т.е. уже при t << T). Если этого не произошло, можете считать, что гипотеза эргодичности сигнала несостоятельна.

> > Частота оцифровки должна более чем в два раза превышать верхнюю частоту спектра (Теорема Котельникова), иначе высшие частоты полезут в основну область.
> Может есть на примете ссылочка на эту теорему ?

Замечу, что если посчитанная Вами ф-ция корреляции изменяется медленно по сравнению с шагом дискретизации, можете смело считать, что шаг дискретизации достаточно мелкий. Если нет - придется Вам делать более частые отсчеты.


> > Проблема в том, что при расчёте корреляционной функции в точке t усреднение производится по временному интервалу (T-t), т.к. временной интервал ограничен. Это означает стремительную потерю точности при увеличении t, т.е. достаточно точно K(t) можно расчитать только при малых t.

> При нормальном T это не есть проблема, поскольку корреляционная функция должна достаточно быстро стать практически нулевой (т.е. уже при t << T). Если этого не произошло, можете считать, что гипотеза эргодичности сигнала несостоятельна.

Не могу полностью с Вами согласится. Во-первых для эргодичности процесса не необходимо стремление корреляционной функции к нулю. Пример: X(t)=sin(wt+f), f-равномерно распределённая на [0,2*PI] случайная величина, корреляционная функция K(t)=cos(wt). Процесс стационарный и эргодичный, корреляционная функция к нулю не стремится.

Потом погрешность может столь быстро возрастать, что стремление корреляционной функции к нулю будет просто незаметно. Для примера я взял данные из известной книги Вентцеля "Теория вероятностей". Ниже приводится разбор примера из книги (отсканированы две страницы учебника) и результат расчёта корреляционной функции на ВСЁМ интервале. Как видно, проблема точности налицо.

Графики в Excel'е
Первая страница
Вторая страница

Если от корреляционной функции, полученной непосредственным расчётом ещё и взять преобразование Фурье, то точность окончательного расчёта превзойдёт все ожидания :).


> Не могу полностью с Вами согласится. Во-первых для эргодичности процесса не необходимо стремление корреляционной функции к нулю.

А я разве сказал, что это - необходимое условие эргодичности? Я сказал, что определение корреляционной функции через усреднение некоторого произведения по времени существенным образом основано но гипотезе эргодичности. Если Вы не можете исходить из гипотезы эргодичности, то бессмысленно что бы то ни было усреднять по параметру t, функцией которого является единственная имеющаяся в Вашем распоряжении реализация случайного процесса.

> Пример: X(t)=sin(wt+f), f-равномерно распределённая на [0,2*PI] случайная величина, корреляционная функция K(t)=cos(wt). Процесс стационарный и эргодичный, корреляционная функция к нулю не стремится.

Синусоида со случайной фазой? И откуда здесь следует эргодичность? Насколько я могу судить, корреляция между значениями в любых точках, посчитанная усреднением по реализациям, здесь будет нулевая, а корреляционная функция, определенная по любой отдельной реализации - ненулевая.

> Потом погрешность может столь быстро возрастать, что стремление корреляционной функции к нулю будет просто незаметно.

Не понял, о какой погрешности идет речь и в зависимости от чего она возрастает? Кажется, у Вас есть конкретные отсчеты, т.е. реализация случайного процесса. Вот и считайте по ней, в чем проблема?

Формально по стремлению (или не стремлению) корреляционной функции к нулю Вы не имеете право судить ни о чем: если она по-видимости стремится к нулю, это не исключает того, что за пределами рассматриваемой области она вдруг возрастет; а если она по-видимости вовсе не стремится к нулю, это не исключает того, что за пределами рассматриваемой области она вдруг обнулится.

Тем не менее, на основе наблюдаемого участка корреляционной функции Вы можете сформулировать гипотезу о ее дальнейшем поведении. Точно так же Вы можете сформулировать гипотезу об эргодичности процесса, но у Вас никогда не будет достаточных оснований для того, чтобы однозначно подтвердить ее или опровергнуть.

> Для примера я взял данные из известной книги Вентцеля "Теория вероятностей". Ниже приводится разбор примера из книги (отсканированы две страницы учебника) и результат расчёта корреляционной функции на ВСЁМ интервале. Как видно, проблема точности налицо.

"Вычисление корреляционной функции по формуле (17.8.6) производят для m = 0, 1 , 2, ... последовательно вплоть до таких значений m, при которых корреляционная функция становится практически равной нулю или совершает небольшие регулярные колебания около нуля."

Разве это не то же самое, что я написал Вам в предыдущем посте? И еще далее:

"Чем более высокочастотный состав имеют колебания, образующие случайную функцию, тем чаще нужно располагать опорные точки при обработке. Ориентировочно можно рекомендовать выбирать элементарный участок Δt так, чтобы на полный период самой высокочастотной гармоники в составе случайной функции приходилось 5-10 опорных точек."

Это примерно соответствует тому, что я написал относительно частоты отсчетов.

А в Ваших данных я что-то не усматриваю ни того, ни другого. Отсчеты явно слишком редкие, так что процесс выглядит практически как белый шум (за исключением наличия постоянной составляющей). А с другой стороны с ф-цией корреляции странным образом что-то происходит вплоть до конца интервала измерения.

Я бы не сказал, что в этих данных можно усмотреть что-то содержательное.

> Если от корреляционной функции, полученной непосредственным расчётом ещё и взять преобразование Фурье, то точность окончательного расчёта превзойдёт все ожидания :).

Непонятно, каким образом преобразование Фурье может повысить точность расчетов. Это просто другой взгляд на те же результаты. Если функция корреляции представляет собой полный бардак, ее спектр скорее всего тоже будет вполне бардачным.


> > Пример: X(t)=sin(wt+f), f-равномерно распределённая на [0,2*PI] случайная величина, корреляционная функция K(t)=cos(wt). Процесс стационарный и эргодичный, корреляционная функция к нулю не стремится.

> Синусоида со случайной фазой? И откуда здесь следует эргодичность? Насколько я могу судить, корреляция между значениями в любых точках, посчитанная усреднением по реализациям, здесь будет нулевая, а корреляционная функция, определенная по любой отдельной реализации - ненулевая.

Если усреднение производить по периоду T=2*pi/w, то мат. ожидание=0, а корреляцилнная функция K(t')=1/T*integral{x(t)x(t+t')dt,0,T}=cos(wt), что полностью совпадает с расчётом при усреднении по ансамблю.

> Тем не менее, на основе наблюдаемого участка корреляционной функции Вы можете сформулировать гипотезу о ее дальнейшем поведении. Точно так же Вы можете сформулировать гипотезу об эргодичности процесса, но у Вас никогда не будет достаточных оснований для того, чтобы однозначно подтвердить ее или опровергнуть.

Я с Вами полностью согласен. Дело в том, что при оценке корреляционной функции с увеличением времени t интервал усреднения уменьшается до (T-t). Это означает уменьшение числа отсчётов, по которым производится усреднение. Таким образом, повыщается статистическая погрешность. Для предпоследней точки t_{n-1}, например, K(t_{n-1})=x(t0)*x(t_{n-1}), т.е. остаётся вообще только один отсчёт. Это я и понимал под погрешностью

> "Вычисление корреляционной функции по формуле (17.8.6) производят для m = 0, 1 , 2, ... последовательно вплоть до таких значений m, при которых корреляционная функция становится практически равной нулю или совершает небольшие регулярные колебания около нуля."

> Разве это не то же самое, что я написал Вам в предыдущем посте?

Но ведь практически через две точки она стремительно возрастает, что и видно по моему графику, кторый на самом деле является отрисовкой данных из Вентцеля и расчётом корреляционной функции !

> А в Ваших данных я что-то не усматриваю ни того, ни другого. Отсчеты явно слишком редкие, так что процесс выглядит практически как белый шум (за исключением наличия постоянной составляющей). А с другой стороны с ф-цией корреляции странным образом что-то происходит вплоть до конца интервала измерения.
> Я бы не сказал, что в этих данных можно усмотреть что-то содержательное.

Это данные из книги Вентцеля, за что купил, за то и продаю. Я слабо представляю себе , как автоматизированно определить когда корреляционная функция может быть принято нулевой. В Вентцеле они это сделали наглаз, да ещё и довольно странным образом, по полному графику даже на глаз это сделать сложно ...

> Непонятно, каким образом преобразование Фурье может повысить точность расчетов. Это просто другой взгляд на те же результаты. Если функция корреляции представляет собой полный бардак, ее спектр скорее всего тоже будет вполне бардачным.

Согласен с Вами, в этом тоже большая проблема... Которую тем не менее мне надо каким-то образом решить.


> Если усреднение производить по периоду T=2*pi/w, то мат. ожидание=0, а корреляцилнная функция K(t')=1/T*integral{x(t)x(t+t')dt,0,T}=cos(wt), что полностью совпадает с расчётом при усреднении по ансамблю.

С усреднением по времени все ясно. Каким образом Вы усредняете по ансамблю?

> > "Вычисление корреляционной функции..."

> Но ведь практически через две точки она стремительно возрастает, что и видно по моему графику, кторый на самом деле является отрисовкой данных из Вентцеля и расчётом корреляционной функции !

Там вроде были графики и они были вполне приличные. Может Вы что-то не то или не так считаете. Да и вообще, зачем Вам обсчитывать данные из учебника? Я думал, у Вас есть результаты собственного эксперимента.

> Это данные из книги Вентцеля, за что купил, за то и продаю. Я слабо представляю себе , как автоматизированно определить когда корреляционная функция может быть принято нулевой. В Вентцеле они это сделали наглаз, да ещё и довольно странным образом, по полному графику даже на глаз это сделать сложно ...

Полный график в своей конечной части - это вообще данные, которые не могут иметь никакого смысла. Так что вторую половину можете даже и не рассматривать. А судя по первой половине у Вас имеется вяло выраженный (очень короткий) пик в нуле и дальше - какой-то шум. Так что похоже, что по книжке Вам следует отбросить все, кроме начального пика. А он - малоинформативен, поскольку фактически одной-двумя точками описывается. В общем, либо сигнал - белый шум и ловить в нем нечего, либо нужно повышать частоту отсчетов и пытаться уточнить форму пика около нуля.


> С усреднением по времени все ясно. Каким образом Вы усредняете по ансамблю?

В данном модельном случайном процессе ? Очень просто, мы же предполагаем, что распределение f - равномномерное на [0,2*Pi], значит функция плотностей вероятностей случ. величины f g(x) известна g(x)=1/(2*PI) при 0 K(t1,t2)=M[X(t1)X(t2)] - считаем формально и убеждаемся, что
K(t1,t2)=k(t2-t1)=cos(w*(t2-t1)).

> Там вроде были графики и они были вполне приличные. Может Вы что-то не то или не так считаете. Да и вообще, зачем Вам обсчитывать данные из учебника? Я думал, у Вас есть результаты собственного эксперимента.

Там приводятся результаты расчёта корреляционной функции для первых,.. по-моему восьми точек, дальше начинается бардак, но об этом в книге тактично умалчивают ! У меня есть данные для собственного эксперимента, точнее я должен написать систему для их обработки. Но вначале я решил протестировать на известных примерах.

> Полный график в своей конечной части - это вообще данные, которые не могут иметь никакого смысла. Так что вторую половину можете даже и не рассматривать. А судя по первой половине у Вас имеется вяло выраженный (очень короткий) пик в нуле и дальше - какой-то шум. Так что похоже, что по книжке Вам следует отбросить все, кроме начального пика. А он - малоинформативен, поскольку фактически одной-двумя точками описывается. В общем, либо сигнал - белый шум и ловить в нем нечего, либо нужно повышать частоту отсчетов и пытаться уточнить форму пика около нуля.

Думаю, Вы правы. Но проблема в том, что это - результат качественного анализа. А как научить программу производить этот анализ ? Даже если считать корреляционную функцию белого шума, вначале мы получим пик на одной точке - его дисперсию, дальше небольшие колебания около нуля (что и следует ожидать), а по мере приближения к концу интервала - резкое увеличение колебаний до уровня, сравнимого с дисперсией !


> Но проблема в том, что это - результат качественного анализа. А как научить программу производить этот анализ ? Даже если считать корреляционную функцию белого шума, вначале мы получим пик на одной точке - его дисперсию, дальше небольшие колебания около нуля (что и следует ожидать), а по мере приближения к концу интервала - резкое увеличение колебаний до уровня, сравнимого с дисперсией !

Конец и не надо считать, потому что большой разброс показаний здесь - результат усреднения по малому числу отсчетов. Так что дальше середины в любом случае не стоит ходить. Уровень небольших колебаний около нуля можно оценить теоретически (для белого шума). Он будет определяться числом отсчетов. Возьмите пороговый уровень с запасом, скажем, больше в два-три раза. Когда очередные пять-семь значений корреляции подряд лягут ниже этого порога, останавливайте расчет.

Если надежность этого алгоритма окажется неудовлетворительной, возьмите порог с еще бОльшим запасом и бОльшее количество отсчетов, лежащих ниже этого порога, после которого нужно останавливать расчет.

Боюсь только, что для приведенных данных Вам придется останавливать расчет в самом начале. Т.е. данные будут восприниматься как белый шум. Но это уж внутреннее свойство данных, тут ничего не поделаешь.


> > А какие проблемы? Формулы есть в учебниках. Спектральная плотность это просто Фурье-спектр мощности. Нужно иметь в виду следующее.

> Распределение кинетической энергии пульсаций по частотам это, как я понял, преобразование Фурье от корреляционной функции. Корреляцилонная функция стационарного эргодичного случайного процесса
> K(t)=, <*> - усреднение по времени.
> Проблема в том, что при расчёте корреляционной функции в точке t усреднение производится по временному интервалу (T-t), т.к. временной интервал ограничен. Это означает стремительную потерю точности при увеличении t, т.е. достаточно точно K(t) можно расчитать только при малых t.

> > Частота оцифровки должна более чем в два раза превышать верхнюю частоту спектра (Теорема Котельникова), иначе высшие частоты полезут в основну область.
> Может есть на примете ссылочка на эту теорему ?
На теорему ссылочек в инете полно. А про то что высшие частоты полезут этого прямо в теореме не говорится. Но если Вы из Ваших точек получили спектр до 100 Гц то 905Гц (805, 705 итд)будут выглядеть как 5 Гц.

> > Перед нахождением спектра желательно умножить последовательность на оконную функцию.
> А что понимается под оконной функцией ?
Эта такая функция которая в середине интервала 1 а по краям обращается в 0. Желательно с несколькими производными. Это долго объяснять тут, но суть состоит в том что если в Вашем спектре даже всего одна частота, но частота оцифровки ей не кратна, то в спектре Вы получите пик с фраунгоферовским окружением (побочные боковые пики). Можете легко численно проверить на пробном массиве чистой синусоиды.

> > Спектр шумового сигнала тоже шум. Поэтому нужно найти спектры какого то числа реализаций и потом их усреднить.
> Не совсем понял как производить усреднение, можно пожалуйста чуть поподробнее ?
Снимаете 100 массивов данных, находите 100 спектров мощности и усредняете по каждой частоте.


практический фурье-анализ заметно отличается от теоретического.
Сняв, к примеру, 1024 точки вы получите спектр вторая половина которого будет отражением первой относительно серединной частоты. Если у Вас к половинной частоте спектр не затухнет это и будет означать что в реальном спектре есть частоты выше чем половинная частота отсчетов. При этом реальный смысл имеет только первая половина спектра.
Не забудьте что спектр мощности это сумма квадратов синусовой и косинусовой компонент.
Ваш датчик наверняка имеет верхнюю частоту. После датчика нужно обрезать частоты выше его верхней аналоговым фильтром, для того чтобы шумы усилителя не перенеслись в основную область, при этом частота оцифровки должна быть более чем вдвое выше этой частоты среза.


> > Может есть на примете ссылочка на эту теорему ?
> На теорему ссылочек в инете полно. А про то что высшие частоты полезут этого прямо в теореме не говорится. Но если Вы из Ваших точек получили спектр до 100 Гц то 905Гц (805, 705 итд)будут выглядеть как 5 Гц.

Спасибо, я уже в книге нашёл :-).

> > А что понимается под оконной функцией ?
> Эта такая функция которая в середине интервала 1 а по краям обращается в 0. Желательно с несколькими производными. Это долго объяснять тут, но суть состоит в том что если в Вашем спектре даже всего одна частота, но частота оцифровки ей не кратна, то в спектре Вы получите пик с фраунгоферовским окружением (побочные боковые пики). Можете легко численно проверить на пробном массиве чистой синусоиды.

Понятно, а не приведёт ли это к модификации спектра ?

> > Не совсем понял как производить усреднение, можно пожалуйста чуть поподробнее ?
> Снимаете 100 массивов данных, находите 100 спектров мощности и усредняете по каждой частоте.

Такой возможности принципиально нет ! Все массивы данных - данные при разных условиях, с этим ничего не поделаешь. Работать можно только по одной реализации.


> Конец и не надо считать, потому что большой разброс показаний здесь - результат усреднения по малому числу отсчетов. Так что дальше середины в любом случае не стоит ходить. Уровень небольших колебаний около нуля можно оценить теоретически (для белого шума). Он будет определяться числом отсчетов. Возьмите пороговый уровень с запасом, скажем, больше в два-три раза. Когда очередные пять-семь значений корреляции подряд лягут ниже этого порога, останавливайте расчет.

Я про это и говорил. Проблема в том, что в реальных данных не будет ни белого шума, ни чистых синусоид. Как вы понимаете, запись мнгновенных скоростей в турбулентином потоке представляет собой довольно сложный и запутанный сигнал. Как выюбрать в нём пороговый уровень не совсем понятно.

> Боюсь только, что для приведенных данных Вам придется останавливать расчет в самом начале. Т.е. данные будут восприниматься как белый шум. Но это уж внутреннее свойство данных, тут ничего не поделаешь.

Ну если вернутся к Вентцелю, то там так и делается. Проблема ещё в том, что корреляционная функция может быть немонотонной и впоследствии снова возрасти...


> > Конец и не надо считать, потому что большой разброс показаний здесь - результат усреднения по малому числу отсчетов. Так что дальше середины в любом случае не стоит ходить. Уровень небольших колебаний около нуля можно оценить теоретически (для белого шума). Он будет определяться числом отсчетов. Возьмите пороговый уровень с запасом, скажем, больше в два-три раза. Когда очередные пять-семь значений корреляции подряд лягут ниже этого порога, останавливайте расчет.

> Я про это и говорил. Проблема в том, что в реальных данных не будет ни белого шума, ни чистых синусоид. Как вы понимаете, запись мнгновенных скоростей в турбулентином потоке представляет собой довольно сложный и запутанный сигнал. Как выюбрать в нём пороговый уровень не совсем понятно.

Я же говорю - из теоретического предположения, что сигнал есть гауссов белый шум, т.е. невзирая на реальную природу сигнала. Тогда формула для оценки корреляции (для любого t) по N дискретным отсчетам может рассматриваться как определение некой случайной величины, дисперсию которой нетрудно расчитать, зная среднюю мощность сигнала и число отсчетов N.

Если рассчитанное по экспериментальным данным значение корреляции стабильно болтается около этого уровня, значит Вы наблюдаете уже не какую-то характеристику реального сигнала, а разброс, связанный с конечностью точек отсчетов.

> > Боюсь только, что для приведенных данных Вам придется останавливать расчет в самом начале. Т.е. данные будут восприниматься как белый шум. Но это уж внутреннее свойство данных, тут ничего не поделаешь.

> Ну если вернутся к Вентцелю, то там так и делается. Проблема ещё в том, что корреляционная функция может быть немонотонной и впоследствии снова возрасти...

С корреляционной функцией впоследствии может произойти все, что угодно. Попытка судить об этом сродни попытке предугадать будущие результаты при игре в казино. Вы можете предполагать, что через пять-шесть попыток непременно выпадет джекпот, утверждая, что "просто чувствуете это". И когда он не выпадет, можете продолжать ожидать его уже на следующих пяти-шести попытках. И так далее. Так и с ожидаением всплеска корреляционной функции - Вы имеете право его ждать сколь угодно долго, не взирая ни на что, но можете так никогда и не дождаться.

Но с точки зрения практики - не советую Вам застревать в казино Так и с корреляционной функцией - определите себе твердое правило, когда остановиться (после десяти, двадцати или еще какого-то числа отсчетов, в течение которых результат болтается ниже порога) и придерживайтесь его.


> > > Может есть на примете ссылочка на эту теорему ?
> > На теорему ссылочек в инете полно. А про то что высшие частоты полезут этого прямо в теореме не говорится. Но если Вы из Ваших точек получили спектр до 100 Гц то 905Гц (805, 705 итд)будут выглядеть как 5 Гц.

> Спасибо, я уже в книге нашёл :-).

> > > А что понимается под оконной функцией ?
> > Эта такая функция которая в середине интервала 1 а по краям обращается в 0. Желательно с несколькими производными. Это долго объяснять тут, но суть состоит в том что если в Вашем спектре даже всего одна частота, но частота оцифровки ей не кратна, то в спектре Вы получите пик с фраунгоферовским окружением (побочные боковые пики). Можете легко численно проверить на пробном массиве чистой синусоиды.

> Понятно, а не приведёт ли это к модификации спектра ?

> > > Не совсем понял как производить усреднение, можно пожалуйста чуть поподробнее ?
> > Снимаете 100 массивов данных, находите 100 спектров мощности и усредняете по каждой частоте.

> Такой возможности принципиально нет ! Все массивы данных - данные при разных условиях, с этим ничего не поделаешь. Работать можно только по одной реализации.

на нет и суда нет. Теория такова что спекктр шумового спектра тоже шум.
Да и еще по поводу склонения вентцеля знайте что это ОНА
так что лучше не склоняйте)))


> Да и еще по поводу склонения вентцеля знайте что это ОНА
> так что лучше не склоняйте)))

(1) Вентцель пишется с заглавной буквы.
(2) Вентцел-ей много. Лично мне известны четыре.
(3) Если Вы имели в виду Елену Сергеевну (она же И.Грекова), то у нее есть сын Александр.
И у сына есть книжка.
А.Д. Вентцель.
«Курс теории случайных процессов». Наука. 1975



> Я же говорю - из теоретического предположения, что сигнал есть гауссов белый шум, т.е. невзирая на реальную природу сигнала. Тогда формула для оценки корреляции (для любого t) по N дискретным отсчетам может рассматриваться как определение некой случайной величины, дисперсию которой нетрудно расчитать, зная среднюю мощность сигнала и число отсчетов N.

Возможно так и стоит поступить, спасибо за конструктивное предложение. А как Вы предложите рассчитать эту дисперсию ?


> > Да и еще по поводу склонения вентцеля знайте что это ОНА
> > так что лучше не склоняйте)))

> (1) Вентцель пишется с заглавной буквы.
> (2) Вентцел-ей много. Лично мне известны четыре.
> (3) Если Вы имели в виду Елену Сергеевну (она же И.Грекова), то у нее есть сын Александр.
> И у сына есть книжка.
> А.Д. Вентцель.
> «Курс теории случайных процессов». Наука. 1975

Обязательно учту на будущее :) ! Хотя по моему скромному мнению, врятли это имеет принципиальное значение для хода дисскусии...


> Обязательно учту ...

А Вы при чём?
Учитывать надо (или «нужно»? VK знает, как правильно писать) VK.
Он же Вас поправлял.
Вроде бы.



> > Я же говорю - из теоретического предположения, что сигнал есть гауссов белый шум, т.е. невзирая на реальную природу сигнала. Тогда формула для оценки корреляции (для любого t) по N дискретным отсчетам может рассматриваться как определение некой случайной величины, дисперсию которой нетрудно расчитать, зная среднюю мощность сигнала и число отсчетов N.

> Возможно так и стоит поступить, спасибо за конструктивное предложение. А как Вы предложите рассчитать эту дисперсию ?

А прямо по формулам теорвера: находим дисперсию произведения двух независимых случайных величин u(τ) и u(τ - t) - для этого нужно знать их дисперсии, оценка для которых у Вас есть - это K(0). Рассматриваем далее любые две случайные величины u(τ1)*u(τ1 - t) и u(τ2)*u(τ2 - t) тоже как независимые. Остается оценить дисперсию суммы из N таких cлучайных величин (где N - количество отсчетов, по которым определяется K(t)). Естественно, в конце интервала N будет приближаться к нулю, так что относительная погрешность оценки корреляции приблизится к 100%. Поэтому я и предлагал вторую половину графика корреляции заведомо не рассматривать.


> А прямо по формулам теорвера: находим дисперсию произведения двух независимых случайных величин u(τ) и u(τ - t) - для этого нужно знать их дисперсии, оценка для которых у Вас есть - это K(0). Рассматриваем далее любые две случайные величины u(τ1)*u(τ1 - t) и u(τ2)*u(τ2 - t) тоже как независимые. Остается оценить дисперсию суммы из N таких cлучайных величин (где N - количество отсчетов, по которым определяется K(t)). Естественно, в конце интервала N будет приближаться к нулю, так что относительная погрешность оценки корреляции приблизится к 100%. Поэтому я и предлагал вторую половину графика корреляции заведомо не рассматривать.

Получилось следущее: если D[X(t)]=d, то
D[1/m*∑&tau u(τ2)*u(τ2 - t)]=d*d/m
Суммирование производится по m отсчётам.


> Получилось следущее: если D[X(t)]=d, то
> D[1/m*∑τ u(τ)*u(τ - t)]=d*d/m
> Суммирование производится по m отсчётам.

Правильно исправил опечатки?

Вроде, так и должно получиться. Теперь нужно установить пороговый уровень где-нибудь ~3*σ, где σ - средне-квадратичное отклонение, т.е. корень из данной величины дисперсии: Kпор = 3*d/Sqrt(m)

Ну и, конечно, нужно подставить правильную оценку для d. Кстати, Вы как-нибудь учитываете то, что мат. ожидание u может оказаться существенно ненулевым?

Да, еще один момент. Количество отсчетов n, лежащих ниже порога, после которых нужно остановиться, не должно быть слишком большим или слишком маленьким. Оценить его можно следующим образом. Берем оценку вероятности того, что нормально распределенная случайная величина со средне-квадратичным отклонением σ окажется по модулю больше, чем Kпор. Далее, считаем оценку вероятности того, что в n независимых отсчетах этой случайной величины она ХОТЯ БЫ РАЗ выйдет за пределы Kпор. Это - примерно равно произведению вышеуказанной вероятности на n. Выбираем n таким образом, чтобы это произведение было ~0.1 (т.е. << 1, но все же не настолько малым, чтобы n тоже было малым: если n будет слишком маленьким, есть реальный шанс остановиться там, где корреляция просто временно пересекает нуль).


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100