Интеграл Фурье

Сообщение №26976 от EL 06 октября 2003 г. 11:01
Тема: Интеграл Фурье

Вопрос скорее в форум по математике, но тем не менее, в учебнике Савельева
в параграфе "Дисперсия света" написано что ... "... согласно теореме Фурье световой импульс можно представить как наложение волн вида E=Acos(w*t-kx+альфа) (I), с частотами заключенными в некотором интервале дельта W, суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте называется волновым пакетом или группой волн. Аналитическое выражение для группы волн имеет вид - ИНТЕГРАЛ по Wo на некотором частотном интервале в окрестности Wo, той самой функции (I)которая выше приводилась, только амплитуда, волновое число и альфа зависят от частоты W "
Я хотел спросить, световой импульс представленный как наложение волн вида (I)
Это должно быть волны с бесконечно малыми амилитудами? Это имеется ввиду? Ведь это же все таки интеграл..., т.е. бесконечно большая сумма бесконечно малых произведений... Ну или если считать что разбиение на интервале интегрирования равномерное, одинаковые интервалы delta W, и его в сумме произведений вынести за скобку, в пределе вроде так и получается, и если его вынести за скобку то в скобках получается сумма бесконечно большого числа функций, а само содержимое скобок опять умножается, на бесконечно малую величину delta W (в пределе).


Отклики на это сообщение:

Что Вас смутило? Интеграл Фурье является пределом ряда Фурье. В ряд Фурье разлагается периодический процесс. При этом каждая гармоника оказывается конечной амплитуды и отстоит от соседних гармоник на конечный интервал частот.

Возьмите некую функцию времени f(t). Рассмотрим ее только в интервале (t1, t2). Этот кусок можно разложить в РЯД Фурье. Этим мы неявно полагаем, что за пределами рассматриваемого интервала рассматриваемый кусок периодически повторяется с периодом t2 - t1. Увеличим длину рассматриваемого куска. Чем она больше, чем меньше будут интервалы частот между соседними гармониками и тем меньше будет амплитуда самих гармоник. В пределе, при длине куска, стремащейся к бесконечности, можно рассматривать отношение: средняя амплитуда гармоники на данном маленьком отрезке спектра к интервалу частот между гармониками. Эта величина в пределе и даст интеграл Фурье.


Я смотрел на интеграл Фурье в лоб. Так как он написан... И увидел там суперпозицию бесконечного числа колебаний с бесконечно маленькой амплитудой....,
Это так? Я правильно понимаю?


Да и потом мы раскладываем световой импульс, там непериодическая функция, за пределами импульса функция нулевая а у самого импульса периуда нет, амплитуда меняется.


> Да и потом мы раскладываем световой импульс, там непериодическая функция, за пределами импульса функция нулевая а у самого импульса периуда нет, амплитуда меняется.

Да, когда мы расписываем ряд Фурье для конечного интервала T, мы фактически рассматриваем сигнал в форме исходного импульса, повторяемого с периодом T. Устремляем T в бесконечность, "повторения" импульса тоже уезжают в бесконечность (повторяемость с бесконечным периодом можно считать за неповторяемость). Полученные гармоники становятся чаще и мельче, в пределе - непрерывный спектр. Вот это и есть интеграл Фурье.

Так что можете считать, что реальный сигнал состоит из бесконечного числа бесконечно малых гармоник. Если сложить все такие гармоники, лежащие в некоем очень маленьком интервале частот, то получится уже не бесконечно малая, но и не совсем гармоника: сигнал, очень похожий на синусоиду, но все же не совсем она.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100