Простенькая(?) задачка

Сообщение №25442 от Snowman 28 августа 2003 г. 08:26
Тема: Простенькая(?) задачка

Катушку с внешним радиусом R, с намотанной на внутренний радиус r и привязанной к потолку нерастяжимой нитью, удерживают у самого потолка так, что нить вертикальна и натянута. Будет ли нить отклоняться от вертикали, если катушку отпустить?

Масса катушки m, момент инерции J, центр масс совпадает с центром катушки. Ускорение свободного падения g.


Отклики на это сообщение:

Прошу Слео, как признанного буквоеда (в хорошем смысле) "подчистить" возможные огрехи в формулировке, чтобы не возникло ситуации, когда каждый обсуждает свою собственную задачку, отличающуюся от других.

Тех, кто считает задачку слишком простой, просьба не беспокоиться. Например, Epros'a, Sleo, Бела, Ark'a и некоторых других, т.к. я уже заранее знаю, что вы напишете. Мне очень любопытно мнение остальной публики. Но если хотите, пишите.


> Прошу Слео, как признанного буквоеда (в хорошем смысле) "подчистить" возможные огрехи в формулировке, чтобы не возникло ситуации, когда каждый обсуждает свою собственную задачку, отличающуюся от других.

Вариант "описательной" части зпдачи:

"Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса R и массы m, насаженных на невесомую ось радиуса r. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку."

Но ваш вариант тоже понятен, если применить принцип "по умолчанию".

> Тех, кто считает задачку слишком простой, просьба не беспокоиться. Например, Epros'a, Sleo, Бела, Ark'a и некоторых других, т.к. я уже заранее знаю, что вы напишете. Мне очень любопытно мнение остальной публики. Но если хотите, пишите.

В следующий раз, ИМХО, лучше ограничиться общепринятым:

"Решивших задачу прошу до завтра не публиковать ответ"

А то я понял вас так, что вышеперечисленная публика вжисть правильно не решит задачу, ибо эта задача не столь проста, чтобы она с ней справилась :)


> Вариант "описательной" части зпдачи:

> "Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса R и массы m, насаженных на невесомую ось радиуса r. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку."

А вот теперь пришла моя очередь придраться, хе-хе! Где указание о том, что диски однородны?


> > Вариант "описательной" части зпдачи:

> > "Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса R и массы m, насаженных на невесомую ось радиуса r. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку."

> А вот теперь пришла моя очередь придраться, хе-хе! Где указание о том, что диски однородны?
>

Как говорит Бел: "Формально вы правы". Скажу лишь в защиту:

1. Здесь вообще нет характеристики дисков (например, "железный", или "сплошной").
2. Вы говорили о сплошном цилиндре, тогда как лучше было сказать об однородном. Именно так и делал Фейнман: когда в задаче шла речь о неоднородной системе, он употреблял термин "сплошной", в противном случае - "однородный".

Еще раз скажу, что большого криминала у вас не было, но малой кровью можно избежать и таких шероховатостей.


> > > Вариант "описательной" части зпдачи:

> > > "Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса R и массы m, насаженных на невесомую ось радиуса r. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку."

> > А вот теперь пришла моя очередь придраться, хе-хе! Где указание о том, что диски однородны?
> >

> Как говорит Бел: "Формально вы правы". Скажу лишь в защиту:

> 1. Здесь вообще нет характеристики дисков (например, "железный", или "сплошной").
> 2. Вы говорили о сплошном цилиндре, тогда как лучше было сказать об однородном. Именно так и делал Фейнман: когда в задаче шла речь о неоднородной системе, он употреблял термин "сплошной", в противном случае - "однородный".

> Еще раз скажу, что большого криминала у вас не было, но малой кровью можно избежать и таких шероховатостей.

Так... шутки ради... И у Фейнмана при желании можно найти неточности. Например, где указание, что цилиндр круговой????


> Но ваш вариант тоже понятен, если применить принцип "по умолчанию".
Ну тогда я спокоен, раз сам Sleo не придрался. :))

> В следующий раз, ИМХО, лучше ограничиться общепринятым:
> "Решивших задачу прошу до завтра не публиковать ответ"
Так тогда никто не станет публиковать до завтра свои ответы!

> А то я понял вас так, что вышеперечисленная публика вжисть правильно не решит задачу, ибо эта задача не столь проста, чтобы она с ней справилась :)
Да нет, конечно, я имел в виду, что их решения наверняка совпадут с моими, как обычно и бывает. Хотелось бы услышать оригинальные толкования.


Рискну дать ответ на эту забавную задачку: нить не отклонится. Внутренние силы не могут вызвать движение ЦМ, а горизонтальных сил тут нет (в начальный момент, а потому и в дальнейшем).


> Так... шутки ради... И у Фейнмана при желании можно найти неточности. Например, где указание, что цилиндр круговой????
>

Избыточное цитирование



> > В следующий раз, ИМХО, лучше ограничиться общепринятым:
> > "Решивших задачу прошу до завтра не публиковать ответ"
> Так тогда никто не станет публиковать до завтра свои ответы!

Здесь у меня неточность. Должно быть:

"Знающих точный ответ прошу до завтра его не публиковать"

> > А то я понял вас так, что вышеперечисленная публика вжисть правильно не решит задачу, ибо эта задача не столь проста, чтобы она с ней справилась :)
> Да нет, конечно, я имел в виду, что их решения наверняка совпадут с моими, как обычно и бывает. Хотелось бы услышать оригинальные толкования.

Это я шутил:) А если серьезно, то на личности лучше не переходить. Можно легко скрыть свое ФИО за ником, но свои эмоции, чувства и т.п. - тяжело. Меня приятно поразил Ark своим ответом. К сожалению, не часто всречаешься с адекватной реакцией. Поэтому от греха подальше:)


Отклоняться будет, при этом, почти наверняка, возникнут и колебания относительно вертикали, поскольку начальный центр масс смещен от точки подвеса.


> Отклоняться будет...
А слабО указать, под действием какой силы катушка будет смещаться горизонтально и откуда такая сила возьмется?


> > Отклоняться будет...
> А слабО указать, под действием какой силы катушка будет смещаться горизонтально и откуда такая сила возьмется?
Есть момент вертикальных сил.
Задачу возможно можно решить в линейном приближении, когда болтанка будет на малые углы-и синус можно заменить аргументом (длина нитки много больше радиуса катушки).
Если к нижнему концу веревки привязать конец горизонтального стержня и отпустить, то он будет болтаться и из за трения установится вертикально в конце концов. Хотя первоначально обе силы и вертикальны.


> А то я понял вас так, что вышеперечисленная публика вжисть правильно не решит задачу, ибо эта задача не столь проста, чтобы она с ней справилась :)

Если учесть что катушка висит у самого потолка то непробиваемая без компа, посколька угол колебаний не мал.
Даже просто уранение движения математического маятника не проинтегрировать аналитически, если он отклонен на большой угол.


> Если к нижнему концу веревки привязать конец горизонтального стержня и отпустить, то он будет болтаться и из за трения установится вертикально в конце концов. Хотя первоначально обе силы и вертикальны.

Но ведь катушка НЕ ПРИВЯЗАНА! Любая подвижка центра масс (условно - левого конца стержня) вызывает точно такую же подвижку "точки подвеса" (условно - правого конца стержня). В итоге "стержень" (а точнее - линия между центрм масс катушки и точкой контакта нити с катушкой) остается горизонтальным!


> > А то я понял вас так, что вышеперечисленная публика вжисть правильно не решит задачу, ибо эта задача не столь проста, чтобы она с ней справилась :)

> Если учесть что катушка висит у самого потолка то непробиваемая без компа, посколька угол колебаний не мал.
> Даже просто уранение движения математического маятника не проинтегрировать аналитически, если он отклонен на большой угол.

Сейчас без компа никуда... Правда, эту задачу вполне можно решить по старинке. Подозреваю, что многие знают решение:)

ЗЫ Да, соглашусь с вами, что "Если первокурсник физтеха такую задачу не умеет- его просто выгонят". Речь правда шла о другой, но очень похожей задаче...


> Даже просто уранение движения математического маятника не проинтегрировать аналитически, если он отклонен на большой угол.
Более того. Если стержень повесить на шарнире, а к нижнему концу другой стержень и отклонить их от вертикали (каждый на свой угол) то движение может хаотизоваться при этом фазовая траектория - странный аттрактор.
Кстати очень красивый домашний эксперимент- можно использовать две линейки и два гвоздика.
Уравнения то написать легко, но они нелинейны. В этом случае возможны неустойчивые решения. Это означает что малое отклонение от начальных условий приведет к экспоненциально большим ошибкам в решении и точности компа просто не хватит для определения положения системы на больших временах. Так что и комп может и не помочь даже для двух стержней.
Здесь с катущкой еще хуже, поскольку есть нить, которая в какие то моменты может провисать (сила натяжения обратится в 0), хотя число степеней свободы то же самое (длина нити и ее угол) от вертикали.
Так что про простенькую задачку не надо.



> Но ведь катушка НЕ ПРИВЯЗАНА! Любая подвижка центра масс (условно - левого конца стержня) вызывает точно такую же подвижку "точки подвеса" (условно - правого конца стержня). В итоге "стержень" (а точнее - линия между центрм масс катушки и точкой контакта нити с катушкой) остается горизонтальным!

В точке касания нити и катушки на катушку кроме силы натяжения действует еще и нормальная сила направленная к центру. ЕЕ нужно ввести для составления уравнения движения. А если так то и на нить тоже- от центра. А нить невесома.
значит начнет отклоняться чтобы в шарнире возникла такая же сила в противоположную сторону.


Должен признать, что ошибся. Вы правы.


> В точке касания нити и катушки на катушку кроме силы натяжения действует еще и нормальная сила направленная к центру. ЕЕ нужно ввести для составления уравнения движения. А если так то и на нить тоже- от центра. А нить невесома.
> значит начнет отклоняться чтобы в шарнире возникла такая же сила в противоположную сторону.

Не могли бы Вы пояснить,откуда берется эта составляющая силы, нормальная к катушке?

Насколько я понимаю, сила натяжения нити в любой точке - это сила, с которой одна часть веревки (до точки) действует на другую часть веревки (после точки). Часть веревки, намотанная на катушку, может оказывать давление на поверхность оной, поскольку силы натяжения, действующие с двух сторон на малый элемент нити, оказываются направлены друг относительно друга под углом, т.е. их сумма отлична от нуля. Но это касается всей поверхности катушки, а не одной точки.

Откуда же возьмется горизонтальная равнодействующая, дейстующая на катушку?



> Сейчас без компа никуда... Правда, эту задачу вполне можно решить по старинке. Подозреваю, что многие знают решение:)

> ЗЫ Да, соглашусь с вами, что "Если первокурсник физтеха такую задачу не умеет- его просто выгонят". Речь правда шла о другой, но очень похожей задаче...
Эта задача мало того что нелинейна, в отличие от математического маятника при больших углах. У нее еще нет периода. И две степени свободы превращают задачу в совершенно другую, поскольку в 4мерном фазовом пространстве, возможны бесконечные непересекающиеся фазовые траектории (странный аттрактор). И как я уже писал неустойчивость по Ляпунову (экспоненциальное разбегание соседних траекторий) делает невозможным решение задачи на больших временах для компа с конечной точностью вычислений. Да и с бесконечной тоже, поскольку малейшее возмущение (даже малая сила трения или сопротивление воздуха) приведет к экспоненциально большим ошибкам. Таков современный взгляд на проблему.
Это не я придумал- это в книжках 20 летней давности написано. Просто я этим "слегка" занимался.


> Насколько я понимаю, сила натяжения нити в любой точке - это сила, с которой одна часть веревки (до точки) действует на другую часть веревки (после точки). Часть веревки, намотанная на катушку, может оказывать давление на поверхность оной, поскольку силы натяжения, действующие с двух сторон на малый элемент нити, оказываются направлены друг относительно друга под углом, т.е. их сумма отлична от нуля. Но это касается всей поверхности катушки, а не одной точки.

Более того, в отсутствии трения между витками и между нитью и катушкой, сила натяжения будет во всей намотанной нити одинакова вплоть до точки закрепления.
Если число витков целое, то сумма всех этих радиальных сил равна 0 то это будет означать что начальное ускорение направлено вниз. Но это вовсе не означает что через некоторое время у точки касания не будет горизонтальной скорости. Несмотря на то что начальная скорость 0.
Если число витков полуцелое, то горизонтальное ускорение сразу появится, но не скорость. Обе компоненты скорости в начальный момент все равны 0.



> В точке касания нити и катушки на катушку кроме силы натяжения действует еще и нормальная сила направленная к центру. ЕЕ нужно ввести для составления уравнения движения. А если так то и на нить тоже- от центра. А нить невесома.
> значит начнет отклоняться чтобы в шарнире возникла такая же сила в противоположную сторону.

Что это за сила, действующая к (или от) центру??? Сила - это, как правило, реакция на взаимодействие чего-то с чем-то. Что на что давит и почему?


>
> > Сейчас без компа никуда... Правда, эту задачу вполне можно решить по старинке. Подозреваю, что многие знают решение:)

> > ЗЫ Да, соглашусь с вами, что "Если первокурсник физтеха такую задачу не умеет- его просто выгонят". Речь правда шла о другой, но очень похожей задаче...
> Эта задача мало того что нелинейна, в отличие от математического маятника при больших углах. У нее еще нет периода. И две степени свободы превращают задачу в совершенно другую, поскольку в 4мерном фазовом пространстве, возможны бесконечные непересекающиеся фазовые траектории (странный аттрактор). И как я уже писал неустойчивость по Ляпунову (экспоненциальное разбегание соседних траекторий) делает невозможным решение задачи на больших временах для компа с конечной точностью вычислений. Да и с бесконечной тоже, поскольку малейшее возмущение (даже малая сила трения или сопротивление воздуха) приведет к экспоненциально большим ошибкам. Таков современный взгляд на проблему.
> Это не я придумал- это в книжках 20 летней давности написано. Просто я этим "слегка" занимался.

Раз вы профессионально занимались подобными вопросами, долго разглагольствовать не буду, скажу лишь, что задачи, связанные с динамикой вращающихся твердых тел, часто "противоречат" привычной логике. Так, юла почему-то не падает на пол, а если насадить на длинную ось диск, привести его во вращение, разместить ось горизонтально, и опереть один конец оси о неподвижный столбик, то второй конец оси можете спокойно отпустить - и он "зависнет" в водухе. Вот почему я и намекал вам насчет бескомпового решения.


> Более того, в отсутствии трения между витками и между нитью и катушкой, сила натяжения будет во всей намотанной нити одинакова вплоть до точки закрепления.
> Если число витков целое, то сумма всех этих радиальных сил равна 0 то это будет означать что начальное ускорение направлено вниз. Но это вовсе не означает что через некоторое время у точки касания не будет горизонтальной скорости. Несмотря на то что начальная скорость 0.
> Если число витков полуцелое, то горизонтальное ускорение сразу появится, но не скорость. Обе компоненты скорости в начальный момент все равны 0.

Давайте рассмотрим механическую систему под названием "катушка".
На нее действуют:
1) Сила тяжести
2) Силы со стороны нити.
3) ??? вроде больше ничего

С первой все ясно. Со вторыми можно изрядно себя запутать, если начать рассматривать отдельные элементы нити (этого вообще-то делать и не нужно). Но давайте все же немножко попутаемся и рассмотрим какой-нибудь конкретный случай. Например, трение между катушкой и нитью отсутствует, а число витков полуцелое, точнее - всего имеется полвитка.

Пусть сила натяжения нити равна F. Нетрудно понять, что в отсутствие трения в точке закрепления именно такая сила F будет приложена к катушке со стороны нити, и что направлена она будет вниз. Нетрудно прикинуть, что со стороны нити на катушку будет еще действовать нормальная сила, на каждый ее малый сектор с углом dα - сила величиной F*dα Нетрудно прикинуть, что вертикальная равнодействующая этих сил будет равна интегралу от F*sin(α)*d&alpha, взятому по диапазону 0 < α < π. Т.е. эта сила будет равна 2F и направлена будет вверх. В сумме с силой в точке закрепления это как раз даст величину силы F, направленной вверх.

А вот горизонтальная составляющая силы, действующей на катушку со стороны нити, будет равна интегралу от F*cos(α)*d&alpha, взятому по диапазону 0 < α < π, т.е. она будет нулевой.

Я правильно рассуждаю? В таком случае из-за чего катушка приобретет горизонтальное ускорение?

P.S. Горизонтальный стержень, подвешенный за конец на вертикальную нить, несомненно станет раскачиваться. Но это несколько иной случай.


то как не интегрируй на катушку все равно F вверх со стороны нити и mg вниз.
И в первый момент горизонтальное ускорение 0.
Но это не противоречит тому что потом появиться горизонтальная скорость?
Например, если гор. ускорение=kt или kt^2 то в первый момент 0 а потом уже нет.
Если мат. маятник отклонить на 90 град. от вертикали то в первый момент горизонтальное ускорение тоже равно 0 а потом нет.


а если насадить на длинную ось диск, привести его во вращение, разместить ось горизонтально, и опереть один конец оси о неподвижный столбик, то второй конец оси можете спокойно отпустить - и он "зависнет" в водухе. Вот почему я и намекал вам насчет бескомпового решения.
да вроде прецессировать должен такой диск в горизонтальной плоскости.
А занимался я магнтной гидродинамикой и хаосом.
А две линейки это классический пример нелинойной системы всего с двумя степенями свободы, но хаотизирущейся.


> > а если насадить на длинную ось диск, привести его во вращение, разместить ось горизонтально, и опереть один конец оси о неподвижный столбик, то второй конец оси можете спокойно отпустить - и он "зависнет" в водухе. Вот почему я и намекал вам насчет бескомпового решения.

> да вроде прецессировать должен такой диск в горизонтальной плоскости.

Конечно будет прецессировать, но вниз не свалится. В этом смысле я и писал "зависнет".


> > В точке касания нити и катушки на катушку кроме силы натяжения действует еще и нормальная сила направленная к центру. ЕЕ нужно ввести для составления уравнения движения. А если так то и на нить тоже- от центра. А нить невесома.
> > значит начнет отклоняться чтобы в шарнире возникла такая же сила в противоположную сторону.

> Что это за сила, действующая к (или от) центру??? Сила - это, как правило, реакция на взаимодействие чего-то с чем-то. Что на что давит и почему?

При записи уравнений движения нужно ввести координаты. Удобно выбрать L и фи (угол отклонения нити). После этого написать уравнения динамики. После этого проинтегрировать их и подставить начальные условия. фи0=0. В решении получится что для начального момента горизонтальная сила равна 0 и горизонтальное ускорение тоже но они могут появться несколько позже начального момента.
Ответ на вопрос опять же даст полученное решение.



> то как не интегрируй на катушку все равно F вверх со стороны нити и mg вниз.
> И в первый момент горизонтальное ускорение 0.
> Но это не противоречит тому что потом появиться горизонтальная скорость?
> Например, если гор. ускорение=kt или kt^2 то в первый момент 0 а потом уже нет.
> Если мат. маятник отклонить на 90 град. от вертикали то в первый момент горизонтальное ускорение тоже равно 0 а потом нет.

А в какой момент появится горизонтальное ускорение? Вообще-то ускорение с силой должно быть однозначно связано. А я так полагаю, что пока катушка не размотается полностью и не повиснет на точке крепления нити, никаких горизонтальных сил на нее действовать не будет.


потом нужно будет положить угол малым . Или в обратном порядке. Тогда проинтегрурется, скорее всего для малых времен.


> потом нужно будет положить угол малым . Или в обратном порядке. Тогда проинтегрурется, скорее всего для малых времен.

Некоторое время назад была в моде японская игрушка. ЁЁ - так она, кажется, называлась. Ничего не напоминает?

По задаче. Мое мнение - нить отклоняться не будет. Пока нить разматывается, линия, соединяющая точку приложения силы натяжения нити и центр масс катушки, куда приложена сила веса, строго горизонтальна. На этом отрезке действуют строго поперечные силы (вертикальные), которые не имеют проекций на горизонтальное направление. Поэтому центр тяжести катушки будет двигаться строго вертикально - не будет сил, стремяшихся его сместить от вертикали.


Я как-то поспешил согласиться c уважаемым vk после того, как он привел пример со стержнем. Теперь беру свои слова назад и возвращаюсь к своему первому ответу: нить не отклонится. Могу это доказать, разбирая уравнения вертикального падения.

Имеем 1 условие на движение центра катушки, одно условие на угол её поворота, одно условие на длину нити:

M*y'' = M*g - T (M=масса катушки, T=натяжение нити, y=расстояние от центра катушки до уровня подвеса нити)

I*ф'' = r*T (I=момент инерции катушки, ф=угол поворота катушки, r=её радиус)

y = y0 + r*ф (y0=начальная длина свободного участка нити; нить предполагается натянутой)

Штрихи означают производную по времени.
Других уравнений или связей я не вижу. Если не прав, поправьте меня.

Эти три уравнения для трех величин y,ф,T явно совместны. При этом

(M*g-T)*I = M*r^2*T, откуда T=M*g * I/(M*r^2+I) = const.

А линейное и угловое ускорение тоже постоянны и даются вышеуказанными уравнениями. В частности

y'' = g * M*r^2/(M*r^2+I).

Из совместности уравнений я и заключаю, что вертикальное движение осуществимо, а значит таковым и будет (движение же единственно!).



> потом нужно будет положить угол малым . Или в обратном порядке. Тогда проинтегрурется, скорее всего для малых времен.

Ну что ж, можно и через Лагранжиан все расписать. Только нужно ли? По-моему, задачка вполне школьная (по крайней мере до момента полной размотки нити).


Да, задачка школьная. Если не заметили - ее расписал чуть выше в посте 19:28. Нить не отклонится.



> Некоторое время назад была в моде японская игрушка. ЁЁ - так она, кажется, называлась. Ничего не напоминает?
Напоминает маятник Максвелла.
Но в той игрушке ЁЁ никто специально не следил за углом отклонения нити.
Когда нить уже полметра то угол несколько градусов никто и не заметит, если специально не следить.


> По задаче. Мое мнение - нить отклоняться не будет. Пока нить разматывается, линия, соединяющая точку приложения силы натяжения нити и центр масс катушки, куда приложена сила веса, строго горизонтальна. На этом отрезке действуют строго поперечные силы (вертикальные), которые не имеют проекций на горизонтальное направление. Поэтому центр тяжести катушки будет двигаться строго вертикально - не будет сил, стремяшихся его сместить от вертикали.

> а с другой стороны как было замечено есть еще и силы нормального давления направленные к центру.
Посмотрю попозже.


> > По задаче. Мое мнение - нить отклоняться не будет. Пока нить разматывается, линия, соединяющая точку приложения силы натяжения нити и центр масс катушки, куда приложена сила веса, строго горизонтальна. На этом отрезке действуют строго поперечные силы (вертикальные), которые не имеют проекций на горизонтальное направление. Поэтому центр тяжести катушки будет двигаться строго вертикально - не будет сил, стремяшихся его сместить от вертикали.

> > а с другой стороны как было замечено есть еще и силы нормального давления направленные к центру.
> Посмотрю попозже.

А посмотрите еще с одной стороны: проекция импульса на горизонтальное направление изначально равна нулю. Проекции сил натяжения нити и тяжести катушки на горизонтальное направление также равны нулю. Отсюда ясно, что горизонтальная проекция импульса катушки измениться не может. А значит, катушка будет падать вертикально вниз без отклонений - у нее ведь нет реактивного двигателя!


при дополнительном предположении, что нить вертикальна.
если например рядом с точкой касания с катушкой вести маленькое колечко. Или нить идет в вертикальной трубке, которая удлиняется по мере удлинения нити.
В этом случае все верно.
С вашими уравнения я почти согласен, а у меня свои для более общего случая когда нить отклонена. Наружный радиус почти не нужен. он входит только в начальное условие по высоте. Будем считать r=R
Обозначения
а-угол отклонения нити
са-косинус а
sa- sin a
L-текущая длина нити
x y абсцисса и ордината центра. Ордината от потолка вниз.
I*ф'' = r*T это оставим как у Вас (1)
знаки умножения будем опускать.
Tsa=mx''(2)
mg-Tca=my''(3)
Уравнения связей
y=Lca-rsa (4)
x=Lsa+rca (5)
ф=(L-r)/(2Pir)(6)
6 5 4 подставим в 1 2 3
а потом T из 1 в 2,3
Получим систему из двух нелинейных дифф. уравнений второго порядка относительно длины нити от подвеса до точки касания L и угла отклонения ф которая аналитически не решается.
А то что нить будет отклоняться есть следствие того что сумма сил действующий на катушку создает момент, вращающий катушку относительно точки подвеса.



> А посмотрите еще с одной стороны: проекция импульса на горизонтальное направление изначально равна нулю. Проекции сил натяжения нити и тяжести катушки на горизонтальное направление также равны нулю. Отсюда ясно, что горизонтальная проекция импульса катушки измениться не может. А значит, катушка будет падать вертикально вниз без отклонений - у нее ведь нет реактивного двигателя!

Падает вертикально вниз- у меня есть такая игрушка: YO-YO.
Ваш Д.



>
> > А посмотрите еще с одной стороны: проекция импульса на горизонтальное направление изначально равна нулю. Проекции сил натяжения нити и тяжести катушки на горизонтальное направление также равны нулю. Отсюда ясно, что горизонтальная проекция импульса катушки измениться не может. А значит, катушка будет падать вертикально вниз без отклонений - у нее ведь нет реактивного двигателя!
математического маятника отклоненного горизонтально, но он все таки будет болтаться.

> Падает вертикально вниз- у меня есть такая игрушка: YO-YO.
> Ваш Д.
Это не доказательство, поскольку небольшую болтанку порядка нескольких градусов уловить трудно и все можно списать на то что неровно отпустили или дрожь в руках.
Если радиус намотки 1 см а длина нити 50 см то отклонение центра масс на величину радиуса будет примерно градус.
А отклонения можно ожидать на величины порядка радиуса намотки.
Так что оба "доказательства" таковыми не являются.



Такие уравнения я тоже вначале для себя писал (кстати, 2pi не нужно в уравнении 6). Но потом сообразил, что это из пушки по воробьям. Общие уравнения имеют ТОЧНОЕ частное решение с x=r=const, a=0 (нить не отклонена). Это решение я описал. Именно оно и описывает движение катушки с теми начальными данными, которые дал Snowman. Колечко или трубка, которые вы упоминали, тут ни причем.
Теперь согласны, что нить останется вертикальной? Единственной причиной, почему это может быть не так, это неустойчивость частного решения. Хотя устойчивость я не исследовал, но в нее интуитивно верю.


Давайте попробуем понять, в чем разница между падением катушки, с которой нить СМАТЫВАЕТСЯ, и катушки, в которой нить закреплена неподвижно? Я приготовил два рисунка, которые и предлагаю рассмотреть. В обоих показаны два положения, разделенных небольшим временным интервалом. В исходном положении в обоих случаях нет усилий, действующих в горизонтальном направлении. Через небольшой промежуток времени для привязанной катушки появляется сила, действующая в горизонтальнром направлении (из рисунка видно, почему). Ясно, что эту катушку ожидает судьба маятника (правда, довольно сложного).
А вот настоящая катушка через тот же промежуток времени окажется в состоянии, неотличимом от исходного с точки зрения баланса сил. Никаких горизонтальных сил не появляется. Значит, катушка будет продолжать движение вертикально вниз.


Рисунки хорошие. Только почему Вы разлагаете по осям не силу Т, а некую f?


"угла отклонения ф которая аналитически не решается"
следует читать как
"угла отклонения а которая аналитически не решается"



> Теперь согласны, что нить останется вертикальной? Единственной причиной, почему это может быть не так, это неустойчивость частного решения. Хотя устойчивость я не исследовал, но в нее интуитивно верю.

В ваших уравнениях Вы "ручками" выкинули одну степень свободы. Те заранее положили что не отклонится.Что хотели то и получили. Если справа вдоль нити поставить стенку, так что катушка ее касается (без трения), то Ваше решение верно.
Вопрос об устойчивости очень важен. В частности, предположение о болтанке, когда центр масс болтается по горизонтали Вами исключен заранее. Поэтому такое решение из Вашей системы получить точно нельзя.
Вот если жидкость течет по трубе, то при некоторых скоростях возникают колебания а потом и турбулентность. Хотя если про них забыть то получим ламинарное течение до сколь угодно больших скоростей. Но оно "положение равновесия" но неустойчивое.


> Давайте попробуем понять, в чем разница между падением катушки, с которой нить СМАТЫВАЕТСЯ, и катушки, в которой нить закреплена неподвижно?

Хорошие рисунки.
Осталось понять, почему рассуждение:"в начальный момент нет горизонтальных
сил, поэтому они не появятся и движение будет вертикальным"
не действует во втором случае.

Разница в том, что свободное тело момент крутит относительно центра
инерции. А закрепленное - относительно точки закреплния.
Поворот относительно точки закрепления должен привести к появлению
горизонтальных сил.
Но это объяснение не очень убедительно. Кто даст лучче ?


> Разница в том, что свободное тело момент крутит относительно центра
> инерции. А закрепленное - относительно точки закреплния.

Нет. Скорее не цилиндр вращается относительно точки закрепления, а точка закрепления во втором случае начинает вращаться вокруг центра цилиндра. В результате нитка приобретает наклон (это и показано на рисунке) и у силы натяжения появляется горизонтальная составляющая.


> Рисунки хорошие. Только почему Вы разлагаете по осям не силу Т, а некую f?

Можно разложить и Т. Тоже будет видно, что есть горизонтальная составляющая. Просто в задаче не требуется найти точных значений ускорений и т.д. а получить качественный ответ: отклонится - не отклонится?


> > Давайте попробуем понять, в чем разница между падением катушки, с которой нить СМАТЫВАЕТСЯ, и катушки, в которой нить закреплена неподвижно?

> Хорошие рисунки.
> Осталось понять, почему рассуждение:"в начальный момент нет горизонтальных
> сил, поэтому они не появятся и движение будет вертикальным"
> не действует во втором случае.
>
> Разница в том, что свободное тело момент крутит относительно центра
> инерции. А закрепленное - относительно точки закреплния.
> Поворот относительно точки закрепления должен привести к появлению
> горизонтальных сил.
> Но это объяснение не очень убедительно. Кто даст лучче ?

На мой взгляд, объяснение нормальное, хотя и не совсем точное - ведь сама точка закрепления нити на катушке также приходит в движение, в результате чего нить отклоняется от вертикали и появляется горизонтальная составляющая натяжения...



> > Разница в том, что свободное тело момент крутит относительно центра
> > инерции. А закрепленное - относительно точки закреплния.

> Нет. Скорее не цилиндр вращается относительно точки закрепления, а точка закрепления во втором случае начинает вращаться вокруг центра цилиндра. В результате нитка приобретает наклон (это и показано на рисунке) и у силы натяжения появляется горизонтальная составляющая.

Уточняю:
А закрепленное - относительно мгновенной точки закреплния,
которая тоже вращается.
Оба правы ?
Но на главный вопрос у Вас нет лучшего ответа?
[почему рассуждение:"в начальный момент нет горизонтальных
сил, поэтому они не появятся и движение будет вертикальным"
не действует во втором случае.]


> >

> > Падает вертикально вниз- у меня есть такая игрушка: YO-YO.
> > Ваш Д.
> Это не доказательство, поскольку небольшую болтанку порядка нескольких градусов уловить трудно и все можно списать на то что неровно отпустили или дрожь в руках.
> Так что оба "доказательства" таковыми не являются.

Я держу недрожащую руку на недрожащем колене на недрожащей ноге поставленной на стул. Одновременно прошу пару очевидцев подтвердить вертикальное падение.
Ваш Д.


> > Осталось понять, почему рассуждение:"в начальный момент нет горизонтальных
> > сил, поэтому они не появятся и движение будет вертикальным"
> > не действует во втором случае.
> >
> > Разница в том, что свободное тело момент крутит относительно центра
> > инерции. А закрепленное - относительно точки закреплния.
> > Поворот относительно точки закрепления должен привести к появлению
> > горизонтальных сил.
> > Но это объяснение не очень убедительно. Кто даст лучче ?

> На мой взгляд, объяснение нормальное, хотя и не совсем точное - ведь сама точка закрепления нити на катушке также приходит в движение, в результате чего нить отклоняется от вертикали и появляется горизонтальная составляющая натяжения...

Не нормальное. Оно не отвечает прямо на поставленный вопрос
(почему не действует).
Думаю, ответ такой:
"в начальный момент нет горизонтальных
сил, поэтому они не появятся и движение будет вертикальным"
-этот тезис справедлив не всегда (т.е., вообще говоря, неверен).
Поэтому он не может служить доказательством ответов ни в 1-ой,
ни во 2-ой задаче.
Прав vk, что для доказательства нужно составить и решить уравнения.

А как оценить решение студента первой задачи на основе этого принципа
(без решения уравнений), что движение будет вертикальным ?
Как правильное или нет ?


> Я держу недрожащую руку на недрожащем колене на недрожащей ноге поставленной на стул. Одновременно прошу пару очевидцев подтвердить вертикальное падение.
> Ваш Д.
С какой точностью очевидцы измеряют угол нити с вертикалью?
Сначала он мал потому что медленно все движется. Потом он мал потому что нить длинная.
Возможно даже что при произвольных соотношениях между параметрами отклонение будет а при каком то одном определенном не будет и в игрушке именно оно реализовано.


> > На мой взгляд, объяснение нормальное, хотя и не совсем точное - ведь сама точка закрепления нити на катушке также приходит в движение, в результате чего нить отклоняется от вертикали и появляется горизонтальная составляющая натяжения...

> Не нормальное. Оно не отвечает прямо на поставленный вопрос
> (почему не действует).
> Думаю, ответ такой:
> "в начальный момент нет горизонтальных
> сил, поэтому они не появятся и движение будет вертикальным"
> -этот тезис справедлив не всегда (т.е., вообще говоря, неверен).
> Поэтому он не может служить доказательством ответов ни в 1-ой,
> ни во 2-ой задаче.
> Прав vk, что для доказательства нужно составить и решить уравнения.

> А как оценить решение студента первой задачи на основе этого принципа
> (без решения уравнений), что движение будет вертикальным ?
> Как правильное или нет ?

Уравнения составляются и решаются ЭЛЕМЕНТАРНО. По уровню сложности - это обычная школьная задача. Я считаю, что вполне достаточно показать, что при малом перемещении катушки нить остается вертикальной - перемещение центра равно удлинению нити - геометрия, кинематика. Есть и другие подходы к этой задаче, да жалко времени. А второй рисунок - просто иллюстрация к вопросу, что получается, если этот механизм не работает...
А впрочем, ждя желающих составить и решить полное ур-е движения - флаг в руку и пожелание успехов...


http://physics.nad.ru/rusboard/messages/25526.html
осталось их решить.Точнее рассчитать на компе.
Желательно в двух случаях. При нулевом начальном угле и при одном градусе.
Если колебания по амплитуде будут нарастать, значит решение с нулевом углом неустойчиво и колебания возникнут и с нулевого угла. Флуктуация всегда найдется.


как я его понимаю. Есть механистическое решение в котором изначально заложено что нить не отклоняется и найдено ускорение.
(Вопрос. Будет ли стоять карандаш на острие поставленный вертикально.)
Есть предположение что движение по вертикали неустоичиво и колебания будут нарастать.
Устойчивость первого решения никак пока не доказана.
Итог. Задача не решена.


кто смелый?
а-угол отклонения нити
са-косинус а
sa- sin a
L-текущая длина нити
x y абсцисса и ордината центра. Ордината от потолка вниз. y0=r
Положим r=1,m=1,g=1
I*ф'' = T (1)
T*sa=x''(2)
1-T*ca=my''(3)
Уравнения связей
y=L*ca-sa (4)
x=L*sa+ca (5)
ф=L-1(6)
6 подставим в 1
I*L'' = T (1)
T*sa=x''(2)
1-T*ca=y''(3)
а потом T из 1 в 2,3
Окончательная система для компа
I*L''*sa=x''(2)
1-I*L''*ca=y''(3)
y=L*ca-sa (4)
x=L*sa+ca (5)
С начальными условиями для координат и скоростей
L=1
L'=0
a=0 (0.01 для анализа на устойчивость)
a'=0
Еще вроде нужно для ускорений.
x''=0 y''=1/(I+1)


> Такие уравнения я тоже вначале для себя писал (кстати, 2pi не нужно в уравнении 6). Но потом сообразил, что это из пушки по воробьям. Общие уравнения имеют ТОЧНОЕ частное решение с x=r=const, a=0 (нить не отклонена). Это решение я описал. Именно оно и описывает движение катушки с теми начальными данными, которые дал Snowman. Колечко или трубка, которые вы упоминали, тут ни причем.
> Теперь согласны, что нить останется вертикальной? Единственной причиной, почему это может быть не так, это неустойчивость частного решения. Хотя устойчивость я не исследовал, но в нее интуитивно верю.

Вы сами сформулировали правильное решение (пишу по памяти - за два дня накопилась уйма материала). Очень четко и правильно рассуждал Epros. Можно на всякий случай чуть формализовать его утверждение. Теорема о движении центра масс утверждает, что ускорение ЦМ определяется векторной суммой сил приложенных к телу (моменты сил могут быть какие угодно при этом). А к телу приложены только две силы и обе по вертикали. Так что если нач. скорость нулевая, то и движение катушки будет по вертикали.


> В ваших уравнениях Вы "ручками" выкинули одну степень свободы.
Да. Я предположил, что поперечная степень свободы не возбуждается.

> Те заранее положили что не отклонится.Что хотели то и получили.
Нет. Могло бы случиться, что чисто вертикальное падение несоместно с законами Ньютона. Тогда бы я сказал: раз такое падение невозможно, отклонение появиться просто обязано. Но так не случилось. Проверка показала, что чисто вертикальное падение законам Ньютона не противоречит.

> Вопрос об устойчивости очень важен.
Да. Я сам об этом сказал. Но тут есть большое но.
Если бы имелась ляпуновская неустойчивость (мода с мнимой частотой), то отклонение нити от вертикали было бы случайным. Оно могло быть и вправо, и влево - в зависимости от крохотных случайных воздействий. Но ведь вы уверенно говорите, что отклонение должно произойти в определенную сторону (на рис Snowman вправо). А это никакая не неустойчивость.
Такое определенное отклонение не может вызываться случайными воздействиями, и для его объяснения случайные воздействия можно выключить. Но тогда мы приходим к задаче о движении системы с 2 степенями свободы с известными начальными условиями. Решение этой задачи однозначно. Оно было предъявлено (если хотите - угадано). Это чисто вертикальное падение.

Нить не отклонится. Точка.


> как я его понимаю. Есть механистическое решение в котором изначально заложено что нить не отклоняется и найдено ускорение.
> (Вопрос. Будет ли стоять карандаш на острие поставленный вертикально.)
> Есть предположение что движение по вертикали неустоичиво и колебания будут нарастать.
> Устойчивость первого решения никак пока не доказана.
> Итог. Задача не решена.

Может быть, я что-то проворонил, просматривая дискуссии за два дня, но, по-моему Epros дал совершенно четкий ответ. Кое-что по мелочи я сейчас добавил в 604. Или я не о том?


> Очень четко и правильно рассуждал Epros.
Я знаю. Я это раньше его сказал (в посте 28 августа 11:12).

Но тут не все так просто. Потому что (пример, данный vk) в случае нитки, привязанной к концу горизонтального стержня, который затем отпускают, ответ иной (нить отклонится), хотя силы, на первый взгляд, все вертикальные.

Формальную причина можно усмотреть в том, что в случае привязанного стержня предположение о чисто вертикальном падении ведет к противоречию с законами Ньютона и/или нерастяжимостью нити. А вот в случае катушки - не ведет. В этом и разница! А вы говорите - без уравнений...


Уравнение 6 (связь угла поворота катушки и длины нити до точки касания) геометрически неправильно. Сначала его надо поправить, а экспериментировать потом.
Или не экспериментировать, а посмотреть мой пост 29 августа 16:25.


> > Очень четко и правильно рассуждал Epros.
> Я знаю. Я это раньше его сказал (в посте 28 августа 11:12).

> Но тут не все так просто. Потому что (пример, данный vk) в случае нитки, привязанной к концу горизонтального стержня, который затем отпускают, ответ иной (нить отклонится), хотя силы, на первый взгляд, все вертикальные.

> Формальную причина можно усмотреть в том, что в случае привязанного стержня предположение о чисто вертикальном падении ведет к противоречию с законами Ньютона и/или нерастяжимостью нити. А вот в случае катушки - не ведет. В этом и разница! А вы говорите - без уравнений...


В соответствии с тем, что я писал, ускорение стержня в первый момент времени тоже будет направлено вертикально вниз. Но в этом случае через малый промежуток времени нить перестает быть вертикальной. Соответственно и ускорение центра масс перестанет быть направленным по вертикали.
А в случае сформулированной задачи через любое время (если, конечно, нить не раскрутилась полностью) силы, действующие на катушку, вертикальны.
PS Ваш приоритет я не подвергал сомнению - даже написал, что Вы (первый) дали правильный ответ.


Так что если нач. скорость нулевая, то и движение катушки будет по вертикали.

Тогда что?


Плохо сказал. Вместо
> в случае привязанного стержня предположение о чисто вертикальном падении...

хотел сказать:
в случае привязанного стержня предположение о падении с неотклоненной нитью...


> В соответствии с тем, что я писал, ускорение стержня в первый момент времени тоже будет направлено вертикально вниз. Но в этом случае через малый промежуток времени нить перестает быть вертикальной. Соответственно и ускорение центра масс перестанет быть направленным по вертикали.

Чтобы такое утверждение доказать (а не просто произнести), нужно писать уравнения. Поэтому я и написал, что уравнения абсолютно необходимы. Несмотря на то, что они очень простенькие.


> http://physics.nad.ru/rusboard/messages/25526.html
> осталось их решить.Точнее рассчитать на компе.
> Желательно в двух случаях. При нулевом начальном угле и при одном градусе.
> Если колебания по амплитуде будут нарастать, значит решение с нулевом углом неустойчиво и колебания возникнут и с нулевого угла. Флуктуация всегда найдется.

Относительно устойчивости. Я как-то проделывал такой опыт (эта штука по-другому называется маятник Максвелла). И, помнится, никаких особых раскачек не наблюдалось. Даже когда катушка доходит до нижней мертвой точки и начинает наматывать нить на себя. Памяти, правда, полностью верить нельзя...


> > В соответствии с тем, что я писал, ускорение стержня в первый момент времени тоже будет направлено вертикально вниз. Но в этом случае через малый промежуток времени нить перестает быть вертикальной. Соответственно и ускорение центра масс перестанет быть направленным по вертикали.

> Чтобы такое утверждение доказать (а не просто произнести), нужно писать уравнения. Поэтому я и написал, что уравнения абсолютно необходимы. Несмотря на то, что они очень простенькие.

Значит, наши разногласия несущественны. В данном случае мне кажется, что все ясно и без уравнений. Впрочем, это дело вкуса.


> Так что если нач. скорость нулевая, то и движение катушки будет по вертикали.

> Тогда что?

Тогда и нить остается вертикальной.



> Может быть, я что-то проворонил, просматривая дискуссии за два дня, но, по-моему Epros дал совершенно четкий ответ. Кое-что по мелочи я сейчас добавил в 604. Или я не о том?

В ряде физических задач получаются два и больше решений и одно оказывается неустойчивым, в математическом смысле, и его отбрасывают.
Вертикальность нити искусственно не поддерживают. Возникает вопрос не приведет ли первоначальное малое отклонение от вертикали к нарастанию колебаний? Если приведет, то решение неустойчиво. Для этого нужно рассмотреть еще степень свободы- угол и проанализировать на устойчивость.


> Так что если нач. скорость нулевая, то и движение катушки будет по вертикали.

> Тогда что?

Засомневался, правильно ли я понял Ваш вопрос.
Если начальная скорость катушки нулевая, то она движется вертикально вниз. Нить остается вертикальной.
Если начальная скорость ненулевая, но направлена по вертикали, то ответ тот же.
Если начальная скорость имеет горизонтальную компоненту, то это другая задача.



> В ряде физических задач получаются два и больше решений и одно оказывается неустойчивым, в математическом смысле, и его отбрасывают.
> Вертикальность нити искусственно не поддерживают. Возникает вопрос не приведет ли первоначальное малое отклонение от вертикали к нарастанию колебаний? Если приведет, то решение неустойчиво. Для этого нужно рассмотреть еще степень свободы- угол и проанализировать на устойчивость.


В принципе Вы правы. Кое что на эту тему в 617.


> Значит, наши разногласия несущественны. В данном случае мне кажется, что все ясно и без уравнений.

В общем-то да. Лично мне написание и сравнение уравнений движения в предположении неотклоненной нити кажется поучительным. В одном случае (привязанный стержень) уравнения не имеют решения - значит нить отклонится. А в другом случае (катушка) уравнения имеют решение - значит нить не отклонится. Это дает ответ на умное возражение vk.


> Уравнение 6 (связь угла поворота катушки и длины нити до точки касания) геометрически неправильно. Сначала его надо поправить, а экспериментировать потом.
ф входит только в комплекте с I. Я I перенормировал. На компе все безразмерно)))


> В соответствии с тем, что я писал, ускорение стержня в первый момент времени тоже будет направлено вертикально вниз.
Так

> Но в этом случае через малый промежуток времени нить перестает быть вертикальной.

Это правильная гипотеза, но не доказательство.

> А в случае сформулированной задачи через любое время (если, конечно, нить не раскрутилась полностью) силы, действующие на катушку, вертикальны.

И Это правильная гипотеза, но не доказательство,
что нить сразу не начнет отклоняться, а тогда появятся и горизонтальные силы.

Хороший пример здесь привели про карандаш, стоящий вертикально на острие.
Если ограничиться только Вашими рассуждениями, то он не упадет.



Видимо вы меня не поняли. ф это угол поворота катушки относительно неповернутых координатных осей (иначе уравнение Iф''=rT неверно). А длина свободной нити L связана с ф уравнением L = const + r*(ф-a).
Угол alpha туда входит потому, что отклонение нити от вертикали приводит к наматыванию нити на катушку.


> > В соответствии с тем, что я писал, ускорение стержня в первый момент времени тоже будет направлено вертикально вниз.
> Так

> > Но в этом случае через малый промежуток времени нить перестает быть вертикальной.

> Это правильная гипотеза, но не доказательство.

> > А в случае сформулированной задачи через любое время (если, конечно, нить не раскрутилась полностью) силы, действующие на катушку, вертикальны.

> И Это правильная гипотеза, но не доказательство,
> что нить сразу не начнет отклоняться, а тогда появятся и горизонтальные силы.

> Хороший пример здесь привели про карандаш, стоящий вертикально на острие.
> Если ограничиться только Вашими рассуждениями, то он не упадет.

Давайте еще раз
1. Ускорение а центра масс тела определяется уравнением F=mа, где F - сумма всех сил, действующих на тело. Это - строгая теорема о движении центра масс. Следовательно, по крайней мере в начальный момент времени, ускорение направлено по вертикали.
2. Начальная скорость тела равна нулю или направлена по вертикали. Через время dt приращение скорости будет dv=аdt. Приращение скорости тоже направлено по вертикали. Следовательно, через время dt все будет выглядеть точно так же, как на картинке Snowman-а.


> Относительно устойчивости. Я как-то проделывал такой опыт (эта штука по-другому называется маятник Максвелла). И, помнится, никаких особых раскачек не наблюдалось. Даже когда катушка доходит до нижней мертвой точки и начинает наматывать нить на себя. Памяти, правда, полностью верить нельзя...
Маятник Максвелла может висеть на 4 х нитях- по 2 с каждой стороны намотанные в противоположные стороны или вообще одна с каждой стороны с двумя концам для подвеса. Тогда колебаний точно не будет.
А вот если с каждой стороны по одной нити то отклонение нити будет меняться при проходе нижней точки.


Еще одна попытка подхода.
Пусть момент инерции очень велик и катушка движется вниз очень медленно. При этом угловая скорость тоже невелика, но и за большого момента вертикальная скорость все равно мала.
Отклоним ее чуть от вертикали. При этом на фоне вертикального движения возникнут малые боковые колебания. (При I/mr^2>>1 и I/mL^2<<1 относительное изменение длины нити за период <<1.)
Опускаясь система получает энергию (за счет потенциальной) которая вся или частично переходит во вращение, но возможно часть и в энергию колебаний.
Вопрос, будут ли колебания нарастающими или затухающими?
В первом случае решение с чисто вертикальным движением нужно считать неустойчивым.



Памяти, правда, полностью верить нельзя...
> Маятник Максвелла может висеть на 4 х нитях- по 2 с каждой стороны намотанные в противоположные стороны или вообще одна с каждой стороны с двумя концам для подвеса. Тогда колебаний точно не будет.
> А вот если с каждой стороны по одной нити то отклонение нити будет меняться при проходе нижней точки.

Нитей было две - по одну сторону. Разумеется при прохождении нижней мертвой точки небольшая раскачка неизбежна. Но она оставалась малой. Хотя при специально подобранных параметрах, наверное, возможен резонанс.



> Относительно устойчивости. Я как-то проделывал такой опыт (эта штука по-другому называется маятник Максвелла). И, помнится, никаких особых раскачек не наблюдалось. Даже когда катушка доходит до нижней мертвой точки и начинает наматывать нить на себя. Памяти, правда, полностью верить нельзя...

Представьте себе что мы заменили нить эквивалентом из нерастижимой нити и эту нить прикрепили к пружинке.
Нельзя забывать что крепление нити на катушке невозможно в ЦМ этой катушки(ось катушки имеет ненулевой радиус).
Раскачка маятника(катушки) после прохождения самой нижней точки катушкой, неизбежна.
Ваш Д.


>
> Раскачка маятника(катушки) после прохождения самой нижней точки катушкой, неизбежна.
> Ваш Д.

Именно это : "Разумеется при прохождении нижней мертвой точки небольшая раскачка неизбежна." я и писал в 25671



> Именно это : "Разумеется при прохождении нижней мертвой точки небольшая раскачка неизбежна." я и писал в 25671

Я читаю все новые сообщения от низу до верху, и пытаюсь отвечать сразу.
Ваше сообщение я прочитал позже- слово не воробей...
Кстати что такое маятник Максвелла с 2, 4 нитями, тем более если эти нити намотанны в разные стороны(у Вас они были намотанны в одну)?
С уважением Д.



> Кстати что такое маятник Максвелла с 2, 4 нитями, тем более если эти нити намотанны в разные стороны(у Вас они были намотанны в одну)?

Маятник Максвелла это по сути то, что нарисовал Snowman в исходной задаче. Тонкий цилиндр, на который в центре насажен массивный диск (несколько массивных дисков). Наматывают на цилиндр две нити (симметрично относительно центра цилиндра), концы которых закреплены на цилиндре, и отпускают. Система (цилиндр с дисками) медленно движется вниз с небольшим ускорением (ускорение нетрудно рассчитать). Когда нити размотаются полностью, они начнут наматываться на цилиндр, система пойдет вверх и т.д.

Что касается 4-х нитей, то это, видимо, потребует усложнения конструкции маятника.


>
> > Кстати что такое маятник Максвелла с 2, 4 нитями,
тем более если эти нити намотанны в разные стороны?


> Что касается 4-х нитей, то это, видимо, потребует усложнения конструкции маятника.

Понятно. Но если нити намотаны в РАЗНЫХ направлениях, то в этом маятнике должны быть подшипники, или я ошибаюсь?
С уважением Д.



> > Что касается 4-х нитей, то это, видимо, потребует усложнения конструкции маятника.

> Понятно. Но если нити намотаны в РАЗНЫХ направлениях, то в этом маятнике должны быть подшипники, или я ошибаюсь?

Без этого, видимо, не обойтись.


>
> > > Что касается 4-х нитей, то это, видимо, потребует усложнения конструкции маятника.

> > Понятно. Но если нити намотаны в РАЗНЫХ направлениях, то в этом маятнике должны быть подшипники, или я ошибаюсь?

> Без этого, видимо, не обойтись.
Про 4 это я нафантазировал. Я имел в виду что если на конец оси намотать сколько то витков и ОБА конца нити и длинный и короткий подвесить в одну точку, (длинный будет провисать) то при движении маятника вниз короткий будет удлиняться а длинный укорачиваться. В нижней точке они сравняются. Потом при движении вверх попрежнему тот который был длинным станет укорачиваться (и станет коротким) а короткий удлиняться.

Эта система более симметрична- лишь бы нити не запутывались)))


Кажется, и без всяких критериев устойчивости видно, что колебания будут затухающими.


Рассмотрим сначала случай, когда катушка (или цилиндр) скатывается по наклонной плоскости. Намотанная нить при этом служит для обеспечения качения без проскальзывания, поэтому трение в рассмотрение включать не будем. Движение очевидно: катушка катится по плоскости, не отрываясь от нее.

Запишем систему уравнений для этого случая.

m*dV/dt=mg*sinα-T1
J*dω/dt=T*R
0=N1-mg*cosα
dV/dt=R*dω/dt

Из данных четырех уравнений можно найти четыре величины: V(t), ω(t), T и N. Нас в данном случае интересует только последнее - сила реакции опоры, которая тривиально находится из третьего уравнения.
N1=mg*cosα
Очевидно, что для α=π/2 сила реакции обращается в нуль, то есть катушка плоскости=стенки больше не чувствует! Стенку можно убрать, на движение это влиять не будет. Нить останется вертикальной.


> Кажется, и без всяких критериев устойчивости видно, что колебания будут затухающими.

Против таких убедительных аргументов не попрешь.


> > Кажется, и без всяких критериев устойчивости видно, что колебания будут затухающими.

> Против таких убедительных аргументов не попрешь.

А это и не аргумент.

Я бы вообще не стал поднимать вопрос устойчивости в явно школьной задачке. Вы мне показались вполне умным и образованным человеком. Ну, допустили ошибку, с кем не бывает? Как ни странно, это особенно характерно для простых вещей: о многих из них мы давно уже не задумываемся и считаем их самими собой разумеющимися. Для многих оказывается открытием, что утверждение 2*2=4 - вовсе не аксиома, а имеет доказательство. Просто в школе такие веши "проходили мимо", а потом это считалось за истину, к которой нет смысла возвращаться.

Но упорствовать-то зачем? К чему эти разговоры про уравнения в обобщенных координатах, странные аттракторы и проблемы устойчивости? Все равно случай с вертикальной нитью является формально правильным решением этой задачи.


А если посмотреть крайний случай, когда моменти инерции - бесконечность?
То есть катушка не раскручивается.


> А если посмотреть крайний случай, когда моменти инерции - бесконечность?
> То есть катушка не раскручивается.

Все равно, решая в общем виде, Вы неизбежно полагаете величины конечными. После, в решении можете устремлять к бесконечности любую из них.

Решать сразу с бесконечным значением чего-либо - крайне рискованно.
Каково будет по-Вашему ускорение свободного падения тела бесконечной массы?


> > А если посмотреть крайний случай, когда моменти инерции - бесконечность?
> > То есть катушка не раскручивается.

> Все равно, решая в общем виде, Вы неизбежно полагаете величины конечными. После, в решении можете устремлять к бесконечности любую из них.

> Решать сразу с бесконечным значением чего-либо - крайне рискованно.
> Каково будет по-Вашему ускорение свободного падения тела бесконечной массы?

Посмотрите на систему двух тел - катушка с ниткой. У нее есть точка подвеса - там где нитка крепится к потолку. Относительно этой точки на систему действует момент силы тяжести. Направленный против часовой стрелки. Если катушка "приклеена" к нитке - не крутится - все просто - система качнется вправо как единое тело. В случае когда катушка раскручивается вниз вдоль по нитке момент инерции системы "катушка-нитка" возрастает. При этом центр тяжести систему (совпадающий с центром тяжести катушки") совершает круговое движение относительно точки подвеса - против часовой стрелки.
Мне кажется если момент инерции катушки достаточно велик, то она будет довольно медленно раскручиваться и скорость ее движения вниз не сможет обеспечить круговое движение относительно точки подвеса соответствующее моменту силы тяжести. И в этом случае система "катушка с ниткой" качнется вправо.


> > Решать сразу с бесконечным значением чего-либо - крайне рискованно.
> > Каково будет по-Вашему ускорение свободного падения тела бесконечной массы?
Кстати, ускорение будет равно нулю. (Хоть Вы на данный вопрос не ответили)

> Посмотрите на систему двух тел - катушка с ниткой. У нее есть точка подвеса - там где нитка крепится к потолку. Относительно этой точки на систему действует момент силы тяжести. Направленный против часовой стрелки. Если катушка "приклеена" к нитке - не крутится - все просто - система качнется вправо как единое тело. В случае когда катушка раскручивается вниз вдоль по нитке момент инерции системы "катушка-нитка" возрастает. При этом центр тяжести систему (совпадающий с центром тяжести катушки") совершает круговое движение относительно точки подвеса - против часовой стрелки.
Можно и так. Только если уж точно считать, то окажется, что полное изменение момента импульса относительно точки подвеса (без отклонения вправо) как раз равно моменту силы тяжести.

> Мне кажется если момент инерции катушки достаточно велик, то она будет довольно медленно раскручиваться и скорость ее движения вниз не сможет обеспечить круговое движение относительно точки подвеса соответствующее моменту силы тяжести. И в этом случае система "катушка с ниткой" качнется вправо.
Это гадание на кофейной гуще. Чтобы утверждать, нужно решить задачу.

Можно проще, как уже предлагали не раз: горизонтальные силы отсутствуют и не могут появиться в процессе движения.


> Кстати, ускорение будет равно нулю. (Хоть Вы на данный вопрос не ответили)

Я было хотел ответить так, но передумал.

> Можно проще, как уже предлагали не раз: горизонтальные силы отсутствуют и не могут появиться в процессе движения.

Можно взять другой предельный случай - пусть радиус намотки нити очень-очень мал. То есть катушка будет раскручиваться и двигаться вниз ну очень медленно, почти незаметно. В этом случае система качнется вправо.
Горизонтальные силы не нужны. Есть момент силы тяжести относительно неподвижной точки подвеса системы "катушка+нить".
Можно прикинуть оценку когда нить достаточно длиная, то есть свободный ее участок намного больше радиуса катушки. Тогда в случае когда "эффективный" радиус катушки больше радиуса намотки - система непременно качнется вправо.
Если же нить намотана на внешнюю сторону катушки - то колебаний не будет.


Возьмите тело в виде буквы L за верхний кончик - вроде бы никаких горизонтальных сил. А тем не менее оно качнется влево.


> В этом случае система качнется вправо.
> Горизонтальные силы не нужны.
Как это не нужны? А за счет чего центр масс получит ускорение вправо?


> Возьмите тело в виде буквы L за верхний кончик - вроде бы никаких горизонтальных сил. А тем не менее оно качнется влево.

Вот именно, что вроде. если фигура жесткая, то в точке подвеса сила после отпускания не будет направлена точно вверх. Появится горизонтальная составляющая, которая и обеспечит движение по горизонтали.


> Рассмотрим сначала случай, когда катушка (или цилиндр) скатывается по наклонной плоскости. Намотанная нить при этом служит для обеспечения качения без проскальзывания, поэтому трение в рассмотрение включать не будем. Движение очевидно: катушка катится по плоскости, не отрываясь от нее.

> Запишем систему уравнений для этого случая.

> m*dV/dt=mg*sinα-T1
> J*dω/dt=T*R
> 0=N1-mg*cosα
> dV/dt=R*dω/dt

> Из данных четырех уравнений можно найти четыре величины: V(t), ω(t), T и N. Нас в данном случае интересует только последнее - сила реакции опоры, которая тривиально находится из третьего уравнения.
> N1=mg*cosα
> Очевидно, что для α=π/2 сила реакции обращается в нуль, то есть катушка плоскости=стенки больше не чувствует! Стенку можно убрать, на движение это влиять не будет. Нить останется вертикальной.

Вы использовали только третье уравнение. Жалко не поанализировать остальные. Интересный результат получается для ускорения катушки. В рассмотренном случае r=R, поэтому

a = (2/3)g

Интересно отметить, что решение единственное:)


> > 0=N1-mg*cosα
> > Очевидно, что для α=π/2 сила реакции обращается в нуль, то есть катушка плоскости=стенки больше не чувствует! Стенку можно убрать, на движение это влиять не будет. Нить останется вертикальной.

> Вы использовали только третье уравнение. Жалко не поанализировать остальные. Интересный результат получается для ускорения катушки. В рассмотренном случае r=R, поэтому

> a = (2/3)g

Уравнение составлено так что в случае вертикального движения реакция составит 0. То есть сила тяжести направлена вдоль поверхности стенки.

На самом деле могут быть случаи когда катушка будет качаться. Можно смотреть моменты сил относительно неподвижной точки крепления нити к потолку.
Можно рассматривать в точке касания нити к катушке. Пусть эта точка А. Момент силы тяжести относительно А - mgr. Катушка стремится совершить круговое движение вокруг точки А с угловым ускорением q=mgr/Ia, где Ia - момент инерции катушки относительно точки А. Но катушка вращается относительно своего центра под влиянием момента силы натяжения нити Т. Угловое ускорение вращения T/I.
Так вот если вращательное ускорение больше q, то катушка просто не успевает повернуться вокруг точки А.
Но в некоторых случаях может произойти такое что катушка начнет качаться в горизонтальном направлении.
Вот такой предельный случай - когда катушка неоднородна, и скажем в некоторый момент времени практически вся масса катушки сосредоточена в точке А. Тогда момент инерции Ia в этот момент времени окажется почти ноль.


> Уравнение составлено так что в случае вертикального движения реакция составит 0. То есть сила тяжести направлена вдоль поверхности стенки.

> На самом деле могут быть случаи когда катушка будет качаться. Можно смотреть моменты сил относительно неподвижной точки крепления нити к потолку.
> Можно рассматривать в точке касания нити к катушке. Пусть эта точка А. Момент силы тяжести относительно А - mgr. Катушка стремится совершить круговое движение вокруг точки А с угловым ускорением q=mgr/Ia, где Ia - момент инерции катушки относительно точки А. Но катушка вращается относительно своего центра под влиянием момента силы натяжения нити Т. Угловое ускорение вращения T/I.
> Так вот если вращательное ускорение больше q, то катушка просто не успевает повернуться вокруг точки А.
> Но в некоторых случаях может произойти такое что катушка начнет качаться в горизонтальном направлении.
> Вот такой предельный случай - когда катушка неоднородна, и скажем в некоторый момент времени практически вся масса катушки сосредоточена в точке А. Тогда момент инерции Ia в этот момент времени окажется почти ноль.


То, что могут быть случаи, когда катушка будет качаться - не удивительно. Довольно странно, что вообще существует возможность вертикальной нити:)
Если хототе поразмяться, решите задачку. которую я предложил позавчера vk, но безответно.
Задача - в ответ на следующее сообщение:

> Предметы в разных местах станции находятся на разных расстояниях от центра планеты и имеют разный период обращения. Поэтому одни будут двигаться в одну сторону относительно центра станции а другие в другую.

Пусть центр масс (ЦМ) гантели совпадает с ЦМ станции, а ось гантели расположена под углом 45 град по отношению к скорости станции и лежит в плоскости орбиты. Относительное движение ЦМ друг относительно друга в начальный момент отсутствует. Опишите качественно движение гантели.



> Пусть центр масс (ЦМ) гантели совпадает с ЦМ станции, а ось гантели расположена под углом 45 град по отношению к скорости станции и лежит в плоскости орбиты. Относительное движение ЦМ друг относительно друга в начальный момент отсутствует. Опишите качественно движение гантели.

Видимо гантель будет вращаться.



> > Пусть центр масс (ЦМ) гантели совпадает с ЦМ станции, а ось гантели расположена под углом 45 град по отношению к скорости станции и лежит в плоскости орбиты. Относительное движение ЦМ друг относительно друга в начальный момент отсутствует. Опишите качественно движение гантели.

> Видимо гантель будет вращаться.

В какую сторону? Уточним. Из начального положения ось гантели может двинуться либо в сторону вектора скорости, либо в сторону вектора местной вертикали (можете предложить еще варианты). Что вы выберете?



> В какую сторону? Уточним. Из начального положения ось гантели может двинуться либо в сторону вектора скорости, либо в сторону вектора местной вертикали (можете предложить еще варианты). Что вы выберете?

Я думаю что гантель будет как бы "катиться" по ходу движения станции.


>
> > В какую сторону? Уточним. Из начального положения ось гантели может двинуться либо в сторону вектора скорости, либо в сторону вектора местной вертикали (можете предложить еще варианты). Что вы выберете?

> Я думаю что гантель будет как бы "катиться" по ходу движения станции.

Вернемся к условию. Вначале "...ось гантели расположена под углом 45 град по отношению к скорости станции". Будет ли угол увеличиваться или уменьшаться от этого начального положения (в первые моменты движения)?


> Вернемся к условию. Вначале "...ось гантели расположена под углом 45 град по отношению к скорости станции". Будет ли угол увеличиваться или уменьшаться от этого начального положения (в первые моменты движения)?

Сначала будет увеличиваться, т.к. устойчивое состояние гантели когда ее ось проходит через центр Земли. Период малых колебаний в √3 раз больше периода обращения (хотя 45° конечно не малый угол), если считать гантель одинаковыми точечными грузиками, соединенными невесомым стержнем.


> > Вернемся к условию. Вначале "...ось гантели расположена под углом 45 град по отношению к скорости станции". Будет ли угол увеличиваться или уменьшаться от этого начального положения (в первые моменты движения)?

> Сначала будет увеличиваться, т.к. устойчивое состояние гантели когда ее ось проходит через центр Земли. Период малых колебаний в √3 раз больше периода обращения (хотя 45° конечно не малый угол), если считать гантель одинаковыми точечными грузиками, соединенными невесомым стержнем.

Не спорю:)
Эту задачу я привел потому, что в обсуждение темы прозвучало:

> Предметы в разных местах станции находятся на разных расстояниях от центра планеты и имеют разный период обращения. Поэтому одни будут двигаться в одну сторону относительно центра станции а другие в другую.

Отсюда, на первый взгляд следует, что устойчивое состояние гантели будет тогда, когда, грубо говоря, ее ось ориентирована по скорости станции. Однако это не так.
Рассмотренная гантель - примитивная модель системы пассивной гравитационной ориентации простейших спутников.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100