Деформация сплошной среды и геометрия

Сообщение №24451 от Руслан 04 августа 2003 г. 07:53
Тема: Деформация сплошной среды и геометрия

В классическом варианте теории упругости принято рассматривать малые деформации. Это отвечает большинству практических рассчетных задач. Однако, при первоначальном изучении предмета гораздо важнее уловить существо предмета и важнейшие принципы, лежащие в самой основе. Вот как раз для достижения такой цели приближенная теория или приближенное изложение теории может оказаться крайне неудобным. Это все равно что стараться разглядеть детали изображения на плохо сфокусированной фотографии.

В учебниках, излагающих теорию малых деформаций, точную теорию (теорию больших деформаций) обычно представляют чем-то заоблачно сложным. На самом деле это не так. Особенно если отойти от обозначений нарочито привязанных к теории малых деформаций:
$$
x'=x+\delta x.
$$
Возьмем сплошную среду, вморозим в нее три вектора, образующие репер, или, проще говоря, базис. Затем изогнем среду. Базис тоже изогнется. Мы хотим измерить степеь изогнутости среды в точке. Тогда базис надо взять маленьким, в пределе бесконечно маленьким. Для такого базиса искривление базисных векторов будет эффектом высокого порядка малости. В начальном же порядке малости изгиб среды приведет к изменению длин векторов и изменению углов между ними. А эти величины целиком определяются матрицей из скалярных произведений базисных векторов:
$$
g_{ij}=(\bold e_i,\bold e_j)
$$
В курсе аналитической геометрии ее называют матрицей Грама, а в дифференциальной геометрии и в теории относительности - метрическим тензором. За деформацией среды можно следить, отслеживая изменение матрицы Грама в процессе деформации. И вообще, проникновение геометрии в физику всегда бывает плодотворным. Это замечено еще во времена Эйнштейна.

Обращаюсь к нынешнему поколению физтехов, к студентам 21-го века. Добейтесь того, чтобы у Вас читался полноценный курс дифференциальной геометрии. Аналитической геометрии и теории матриц на сегодняшний день явно маловато.

Что же касается нелинейной теории деформаций, с которой начался этот разговор, для знакомства с ней предлагаю свою статью

http://arXiv.org/abs/cond-mat/0304190

В ней вы найдете не только геометрию упругих деформаций, но и геометрию пластических деформаций, что гораздо реже встречается в учебной литературе. Кроме того, все это дается в связи с динамическими уравнениями и уравнениями термодинамики. Готов ответить на возникающие вопросы в порядке дискуссии в сентябре, когда вернусь из отпуска. Готов также выслушать конструктивную критику.

С уважением, Руслан Шарипов.

Статья


Отклики на это сообщение:

Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100