Есть ли аналог соотношения неопределенностей для Sx Sy Sz ?

Сообщение №22644 от xalex 04 июля 2003 г. 21:50
Тема: Есть ли аналог соотношения неопределенностей для Sx Sy Sz ?

Существует ли аналог соотношения неопределенностей Гейзенберга для Sx Sy Sz ?
(проекций спина)


Отклики на это сообщение:

> Существует ли аналог соотношения неопределенностей Гейзенберга для Sx Sy Sz ?
> (проекций спина)

Можно попробовать. Только ничего особенно интересного не получится.
К сожалению, тут не особенно попишешь формулы, могу только результат привести.
Для любых эрмитовых операторов А,В можно вывести соотношение
(дельта А)(дельта В) > |(среднее от [A,B]|/2 или словами:
произведение среднеквадратичных отклонений А и В не меньше чем среднее от коммутатора по модулю, деленное на 2.
Подставим A=Sx, B=Sy, [Sx,Sy]=iSz.
Среднее Sz по произвольному спинору (a,b) (для спина 1/2) легко посчитать. Оно равно |a|^2-|b|^2. Эта величина по модулю меняется от 0 до 1 в зависимости от состояния. Если проекция спина на z равна 1/2, то произведение среднеквадратичных отклонений проекций на оси x и y не меньше 1/2.
Я бы сказал, что это неинтересно.

Для больших спинов или угловых моментов интересней. Только если взять не проекции, а пары величин проекция момента и угол. Т.е. угол Fi и Lz=-i(d/dFi).
Тогда получаются (при некоторых условиях, которые так сразу не сформулирую) обычное соотношение неопределенности.


> Подставим A=Sx, B=Sy, [Sx,Sy]=iSz.
> Среднее Sz по произвольному спинору (a,b) (для спина 1/2) легко посчитать. Оно равно |a|^2-|b|^2. Эта величина по модулю меняется от 0 до 1 в зависимости от состояния. Если проекция спина на z равна 1/2, то произведение среднеквадратичных отклонений проекций на оси x и y не меньше 1/2.
> Я бы сказал, что это неинтересно.


Ну почему же не интересно???!!! Очень даже интересно!!! Вы утверждаете, что в состоянии, в котором проекция спина на ось z имеет определенное
значение, проекции спина на оси x и y имеют среднеквадратичные отклонения.

У меня вопрос к вам. От чего отклоняются проекции спина
на оси x и y в состоянии, в котором проекция спина на ось z имеет
определенное значение???


Nemo


> > Подставим A=Sx, B=Sy, [Sx,Sy]=iSz.
> > Среднее Sz по произвольному спинору (a,b) (для спина 1/2) легко посчитать. Оно равно |a|^2-|b|^2. Эта величина по модулю меняется от 0 до 1 в зависимости от состояния. Если проекция спина на z равна 1/2, то произведение среднеквадратичных отклонений проекций на оси x и y не меньше 1/2.
> > Я бы сказал, что это неинтересно.


> У меня вопрос к вам. От чего отклоняются проекции спина
> на оси x и y в состоянии, в котором проекция спина на ось z имеет
> определенное значение???

От нуля. Среднее значение обоих равно нулю.

Для спина 1/2 прекция на любую ось может принимать только два значения.
Если Sz определенная, то Sx,Sy полностью неопределены; измерение Sx дает с равной вероятностью значения +1/2 и -1/2
Это очевидно и без выведенного соотношения. Более того, это соотношение не отражает полностью специфику спина. Если взять состояние со спином, лежащим в плоскости xy, то получим справа 0. А на самом деле , 0 получается только если состояние с определенной проекцией либо на x либо на y.
Для 2-мерного для пространства спина 1/2 все просто, и полученное неравенство малоинтересно.


> Для 2-мерного для пространства спина 1/2 все просто, и полученное неравенство малоинтересно.

Действительно от нуля. Но все-таки не понятно почему оно неинтересно.
Есть состояние с определенным значением проекции спина на ось z. В этом
состоянии имеется соотношение неопределенностей для проекций спина на
оси x и y полученное вами.

Интерес заключается в том, что из этого соотношения неопределенностей
следует, что мы можем точно измерить проекцию на ось x за счет полной
неопределенности проекции на ось y. То есть в состоянии с определенной
проекцией спина на ось z проекция на ось x может быть точно измерена.

Это ведь из вашего соотношения неопределенностей вытекает. Или я неправ???

Nemo


> Действительно от нуля. Но все-таки не понятно почему оно неинтересно.
> Есть состояние с определенным значением проекции спина на ось z. В этом
> состоянии имеется соотношение неопределенностей для проекций спина на
> оси x и y полученное вами.

> Интерес заключается в том, что из этого соотношения неопределенностей
> следует, что мы можем точно измерить проекцию на ось x за счет полной
> неопределенности проекции на ось y. То есть в состоянии с определенной
> проекцией спина на ось z проекция на ось x может быть точно измерена.

> Это ведь из вашего соотношения неопределенностей вытекает. Или я неправ???

Нет, неправ. Вопервых, таких соотношений три, путем циклической перестановки индексов x,y,z их можно получить.
При определенном значении Sz, мы получаем, что среднее значение Sz равно 1/2.
Произведение неопределенностей Sx на Sy больше 1/2.
Только одна проекция может быть точно известна.


> Нет, неправ. Вопервых, таких соотношений три, путем циклической перестановки индексов x,y,z их можно получить.
> При определенном значении Sz, мы получаем, что среднее значение Sz равно 1/2.
> Произведение неопределенностей Sx на Sy больше 1/2.
> Только одна проекция может быть точно известна.

А в чем я неправ? Не понимаю. Я воспринимаю соотношение неопределенностей для
двух величин как возможность измерить одну из них точно за счет
неопределенности другой.

Вы получили соотношение неопределенностей для двух
проекций спина в состоянии, в котором третья проекция имеет определенное
значение. То есть одну из первых двух компонент можно измерить сколь угодно
точно в таком состоянии в котором третья компонента имеет определенное
значение.

Скажите пожалуйста где ошибка в рассуждениях?

Nemo


> Вы получили соотношение неопределенностей для двух
> проекций спина в состоянии, в котором третья проекция имеет определенное
> значение. То есть одну из первых двух компонент можно измерить сколь угодно
> точно в таком состоянии в котором третья компонента имеет определенное
> значение.

Ошибка в том, что из соотношения (delta Sx)*(delta Sy)>1/2 нельзя сделать вывод, что можно знать Sx точно. Если (delta Sx) ->0, то (delta Sy) должно -> к бесконечности. Но это невозможно, потому что (delta Sy) не может быть больше 1. В случае полной неопределенности Sy, эта величина с равной вероятностью принимает только два значения +-1/2. Значит и неопределенность равна 1/2.
Наверное, в неравенстве нужно поставить 1/4, я ошибся где-то.
Если точно известна Sz, а неопределенности Sx и Sy не могут превышать 1/2, то из неравенства следует, что обе они принимают максимальное значение по 1/2.
И этот вывод правильный, потому что его легко получить непосредственно из рассмотрения спиновых состояний.


> Ошибка в том, что из соотношения (delta Sx)*(delta Sy)>1/2 нельзя сделать вывод, что можно знать Sx точно.


Тогда это соотношение не является соотношением неопределенностей в общепринятом
понимании этого физического термина. Поэтому такое соотношение
в физической литературе не приводится как соотношение неопределенностей.

Nemo


> Тогда это соотношение не является соотношением неопределенностей в общепринятом
> понимании этого физического термина. Поэтому такое соотношение
> в физической литературе не приводится как соотношение неопределенностей.

Ну, наверное, так можно сказать. Я и говорю, что полученное неравенство не очень интересно. Попросили аналог неравенств Гейзенберга для спинов, я получил.


> > Тогда это соотношение не является соотношением неопределенностей в общепринятом
> > понимании этого физического термина. Поэтому такое соотношение
> > в физической литературе не приводится как соотношение неопределенностей.

> Ну, наверное, так можно сказать. Я и говорю, что полученное неравенство не очень интересно. Попросили аналог неравенств Гейзенберга для спинов, я получил.

Подождите. Не попросили, а спросили есть ли такие аналоги. Так вот ответ таков, что аналогов
в общепринятом смысле нет. Но есть другие соотношения, выведенные вами, которые можно
воспринимать как соотношения неопределенностей, не забывая при этом о том, что физический смысл
таких соотношений отличается от гейзенберговского смысла.

Nemo


> Подождите. Не попросили, а спросили есть ли такие аналоги. Так вот ответ таков, что аналогов
> в общепринятом смысле нет. Но есть другие соотношения, выведенные вами, которые можно
> воспринимать как соотношения неопределенностей, не забывая при этом о том, что физический смысл
> таких соотношений отличается от гейзенберговского смысла.

Вполне согласен с вашей формулировкой.
Дествительно, смысл этих неравенств довольно туманен. Толку от них никакого. В отличие от Гейзенберговских.


>> > Ошибка в том, что из соотношения (delta Sx)*(delta Sy)>1/2 нельзя сделать вывод, что можно знать Sx точно.

>>Тогда это соотношение не является соотношением неопределенностей в общепринятом понимании этого физического термина.


Означает ли это (следует ли из этих неравенств),
что вообще говоря не существует процесса измерения компоненты спина Si
(в отличие от существования такого для координаты или импульса)с любой заданной точностью ? Те всегда будет существовать квантовое состояние для которого данный процесс измерения не сможет измерить Si с любой заданной точностью.


> Означает ли это (следует ли из этих неравенств),
> что вообще говоря не существует процесса измерения компоненты спина Si
> (в отличие от существования такого для координаты или импульса)с любой заданной точностью ? Те всегда будет существовать квантовое состояние для которого данный процесс измерения не сможет измерить Si с любой заданной точностью.

Эти неравенства, а также и соотношение неопределенностей Гейзенберга, если их выводить таким образом, как это делал я, ниего про измерение не говорят.
Это неравенства на средние величины для произвольного состояния.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса можно применить для ситуации измерения. В этоим случае неопределенности, входящие в неравенство, имеют совсем другой смысл, и доказывать их нужно по другому.
Формулировка следующая. Если координата х измеряется с конечной точностью Dx, то импульс p получает после измерения дополнительную неопределенность, Dp > h/2Pi/Dx.
То доказательство, которое я использова и которое приведено в большинстве учебниках здесь не проходит, т.к. практически нигде в этих учебниках не рассматривается теория неточных измерений.
Существует способ измерения проекции спина -- классический опыт Штерна-Герлаха. Разумеется, измерение производится с конечной точностью, хотя для этого опыта точность можно практически идеальной. Он работает для любого спинового начального начального состояния электрона.

P.S. Кстати, есть т.н. "измерение без взаимодействия". Если интересно, поищите в архиве по словам "interaction free measurement". Забавная штука, вполне реальная.


> Существует способ измерения проекции спина -- классический опыт Штерна-Герлаха. Разумеется, измерение производится с конечной точностью, хотя для этого опыта точность можно практически идеальной. Он работает для любого спинового начального начального состояния электрона.

А что Вы имели в виду, утверждая, что "для этого опыта точность можно считать практически идеальной"? Дискретность возможных значений сама по себе не означает идеальной точности измерений: как бы точно мы ни проводили измерение, всегда существует некая вероятность того, что проекция спина имеет другое значение - не то, что мы получили.

http://e-pros.narod.ru


> > Существует способ измерения проекции спина -- классический опыт Штерна-Герлаха. Разумеется, измерение производится с конечной точностью, хотя для этого опыта точность можно практически идеальной. Он работает для любого спинового начального начального состояния электрона.

> А что Вы имели в виду, утверждая, что "для этого опыта точность можно считать практически идеальной"? Дискретность возможных значений сама по себе не означает идеальной точности измерений: как бы точно мы ни проводили измерение, всегда существует некая вероятность того, что проекция спина имеет другое значение - не то, что мы получили.

В Штерне-Герлахе мы запускаеим волновой пакет в облать неоднородного поля. Пакет можно сделать достаточно маленьки, а область неоднородного поля большой.
В результате две компоненты пакета, соответствующие разным проекциям спина, приобретут противоположные скорости. Пока они летят к экрану, они сильно разделятся в пространстве. поскольку пакеты можно сделать гауссовыми, то точность измерения получается очень высокой. Но это не значит, что ее можно сделать бесконечной.
Бесконечной точности не бывает. При измерении знака заряда элементарной частицы тоже будет конечная ошибка. Т.е. мы всегда с конечной точностью отличаем электрон от позитрона.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100