о деформациях и о геометрии в физике

Сообщение №22548 от Руслан 03 июля 2003 г. 15:15
Тема: о деформациях и о геометрии в физике

В классическом варианте теории упругости принято рассматривать малые деформации. Это отвечает большинству практических рассчетных задач. Однако, при первоначальном изучении предмета гораздо важнее уловить существо предмета и важнейшие принципы, лежащие в самой основе. Вот как раз для достижения такой цели приближенная теория или приближенное изложение теории может оказаться крайне неудобным. Это все равно что стараться разглядеть детали изображения на плохо сфокусированной фотографии.
В учебниках, излагающих теорию малых деформаций, точную теорию (теорию больших деформаций) обычно представляют чем-то заоблачно сложным. На самом деле это не так. Особенно если отойти от обозначений нарочито привязанных к теории малых деформаций:
$$
x'=x+\delta x.
$$
Возьмем сплошную среду, вморозим в нее три вектора, образующие репер, или, проще говоря, базис. Затем изогнем среду. Базис тоже изогнется. Мы хотим измерить степеь изогнутости среды в точке. Тогда базис надо взять маленьким, в пределе бесконечно маленьким. Для такого базиса искривление базисных векторов будет эффектом высокого порядка малости. В начальном же порядке малости изгиб среды приведет к изменению длин векторов и изменению углов между ними. А эти величины целиком определяются матрицей из скалярных произведений:
$$
g_{ij}=(\bold e_i,\bold e_j)
$$
В курсе аналитической геометрии ее называют матрицей Грама, а в дифференциальной геометрии и в теории относительности - метрическим тензором. За деформацией среды можно следить, отслеживая изменение матрицы Грама в процессе деформации. И вообще, проникновение геометрии в физику всегда бывает плодотворным. Это замечено еще во времена Эйнштейна.

Обращаюсь к нынешнему поколению физтехов, к студентам 21-го века. Добейтесь того, чтобы у вас читался полноценный курс дифференциальной геометрии. Аналитической геометрии и теории матриц на сегодняшний день явно маловато.

Что же касается нелинейной теории деформаций, с которой начался этот разговор, для знакомства с ней предлагаю свою статью

http://arXiv.org/abs/cond-mat/0304190

В ней вы найдете не только геометрию упругих деформаций, но и геометрию пластических деформаций, что гораздо реже встречается в учебной литературе. Кроме того, все это дается в связи с динамическими уравнениями и уравнениями термодинамики. Готов ответить на возникающие вопросы в порядке дискуссии в сентябре, когда вернусь из отпуска. Готов также выслушать конструктивную критику.

С уважением, Руслан Шарипов.

e-mail: R_Sharipov@ic.bashedu.ru
r-sharipov@mail.ru
ra_sharipov@hotmail.com
Home page: http://www.geocities.com/r-sharipov

Текст статьи в PDF, PS или же TeX формате на выбор


Отклики на это сообщение:

> В курсе аналитической геометрии ее называют матрицей Грама, а в дифференциальной геометрии и в теории относительности - метрическим тензором. За деформацией среды можно следить, отслеживая изменение матрицы Грама в процессе деформации. И вообще, проникновение геометрии в физику всегда бывает плодотворным. Это замечено еще во времена Эйнштейна.

Есть противоположное мнение. Был бы Вам признателен, если бы Вы проделали обратную операцию. Например, изложили ОТО, как теорию упругости с дефектами.


Pogodite, esli "izognut'" sistemu otscheta togda v nej telo budet nedeformirovannym?

Chto kasaetsa linejno priblijenija ispol'zuemogo v teorii deformatsij, to on sleduet iz togo chto sila vzaimodejstvija vblizi ravnovesija (nula) est' kakaja to funktsija rasstojanija F(r), kotoraja pri dostatochno malom otklonenii dr vsegda vygladit kak pramaja linija. Vot i obosnovanie shirokoj primenimosti linejnoj teorii.

Dla ne malyx deformatsij neobxodimo znanie sledujushix Teilorovskix chlenov v razlojenii F(r), to est' neobxodimo bolee tochnoe znanie formy krivoj sily F(r) (ili krivij potentsial'noj energii U(r)) - chto strogo individual'no dla kajdogo veshestva. To est' teorija ne malyx deformatsij ne mojet byt' postroena v otryve ot konkretnogo veshestva. Skol'ko veshestv - stol'ko budet i nelinejnyx teorij.

Kstati, mnogie veshestva ne vyderjivajut sil'nyx deformatsij - proisxodat fazovye perexody menajushie vid krivoj U(r), ili razrushenie vsledstvie ne svazannyx s formoj krivoj vzaimodejstvija sosednix atomov U(r) prichin (dislokatsii, defekty, primesi, struktura kristallicheskix zeren, treshiny, etc.)


> Обращаюсь к нынешнему поколению физтехов, к студентам 21-го века. Добейтесь того, чтобы у вас читался полноценный курс дифференциальной геометрии. Аналитической геометрии и теории матриц на сегодняшний день явно маловато.

Присоединяюсь. Неплохо было-бы и квантовую электродинамику в полном объеме прочитать, а не перескакивать с нерелятивистской квантовой механики и теории классического (неквантового) поля сразу к теории конденсированного состояния. Раньше эти дисциплины, очевидно, по идеологическим соображеним исключались. Сегодня это уже смешно.

http://e-pros.narod.ru


> Есть противоположное мнение. Был бы Вам признателен, если бы Вы проделали обратную операцию. Например, изложили ОТО, как теорию упругости с дефектами.

У Логунова его релятивистская теория гравитации изложена в форме надстройки над "истинным" плоским пространством-временем Минковского. Правда это не имеет отношения к теории упругости, но тоже за "естественную" основу принято плоское (так сказать, "до деформации") состояние пространства. По-моему, это довольно странно: исходить из ненаблюдаемого "идеального" состояния, единственное преимущество которого состоит в том, что мы к нему привыкли, вместо того, чтобы записать метрику пространства в наиболее общем виде и дальше исходить только из этого.

Попытки вывода ОТО из классической механики (единственное преимущество которой состоит только в том, что мы к ней привыкли со школы) и теории упругости представляются мне столь же странными.

http://e-pros.narod.ru


> > Есть противоположное мнение. Был бы Вам признателен, если бы Вы проделали обратную операцию. Например, изложили ОТО, как теорию упругости с дефектами.

> У Логунова его релятивистская теория гравитации изложена в форме надстройки над "истинным" плоским пространством-временем Минковского. Правда это не имеет отношения к теории упругости, но тоже за "естественную" основу принято плоское (так сказать, "до деформации") состояние пространства. По-моему, это довольно странно: исходить из ненаблюдаемого "идеального" состояния, единственное преимущество которого состоит в том, что мы к нему привыкли, вместо того, чтобы записать метрику пространства в наиболее общем виде и дальше исходить только из этого.

> Попытки вывода ОТО из классической механики (единственное преимущество которой состоит только в том, что мы к ней привыкли со школы) и теории упругости представляются мне столь же странными.

Испанские компрачикосы, похищали маленьких детей и, пользуясь тем, что кости младенцев и другие части тела находятся ещё в размягченном состоянии, выращивали из них уроdцев. Например, туго перетягивая череп, придавали ему форму сахарной головы, сохранявшейся затем в течение всей жизни. Встречая потом людей с формой головы, соответствующей той, которая дала им природа, эти жертвы экспериментов, удивлялись странной её форме.
Скажите, пожалуйста, какой же из экспериментов указывает на то, что пустое пространство может быть неплоским?
И вообще, видимо, вы позабыли, что речь идёт о физике, а не о математике. Геометрия мотивирована формой материальных тел и может быть рассмотрена отдельно от них только условно. Например, математика оперирует с абстрактной категорией, называемой цилиндр. А физика имеет дело с барабаном или поленом цилиндрической формы. В математике вы рассуждаете о свойствах тора. А в физике - о свойствах бублика или bаранки, имеющих форму тора.
Логическая ошибка, которую вы допускаете в ваших рассуждениях, была хорошо известна ещё в древности. Диоген, Антисфен и другие киники неоднократно предупреждали о недопустимости отрыва понятия лошадности от лошади и той опасности для нравственного здоровья общества, которую такого рода "философия" представляет.
Дaвно уже известно, что ОТО является подалгеброй теории упругости с дефектами (E.Kroner, 1956). В частности, именно из этого естественного (!) подхода к моделированию физического пространства видно, что сопоставлять g00 гравитационному потенциалу - грубейшая оплошность. Если эта величина и имеет отношение к всемирному тяготению, то выражение для энергия взаимодействия двух гравитирующих тел должно иметь вид свертки:

U12 ~ ∫ g00(1)g00(2)d3x



> Скажите, пожалуйста, какой же из экспериментов указывает на то, что пустое пространство может быть неплоским?

Никакие. Равным образом никакие эксперименты не подтверждают и противоположного суждения. Пустое пространство ненаблюдаемо.


> Испанские компрачикосы, похищали маленьких детей и, пользуясь тем, что кости младенцев и другие части тела находятся ещё в размягченном состоянии, выращивали из них уроdцев. Например, туго перетягивая череп, придавали ему форму сахарной головы, сохранявшейся затем в течение всей жизни. Встречая потом людей с формой головы, соответствующей той, которая дала им природа, эти жертвы экспериментов, удивлялись странной её форме.
> Скажите, пожалуйста, какой же из экспериментов указывает на то, что пустое пространство может быть неплоским?

Странная история и странный вопрос. Разве я говорю о том, что та или иная геометрия пространства является естественной, а остальные - странными? Я, кажется, исхожу из того, что все геометрии следует трактовать как равноправные.

Эксперимент, конечно, дело хорошее. Но наивно полагать, что геометрия, с которой мы сталкиваемся в своем уголке Вселенной, характеризующемся ничтожными гравитационными полями и мизерными относительными скоростями большинства объектов, является универсальным законом.

И опять же: что такое "пустое пространство"? В терминах ОТО пустым пространством обычно называют пространство, в котором есть только гравитация. Пространство, в котором нет и гравитации, с точки зрения ОТО является не просто пустым, а плоским. В терминах КТП физический вакуум - в принципе такая же среда, как и любая другая. В терминах ньютоновской механики да, существует идельное пустое евклидово пространство - "чувствилище Господа", как выражался Ньютон (так по крайней мере это звучит в некоторых переводах). Что такое "пустое пространство вообще", вне зависимости от всяких концепций, мне совершенно неясно.

> Логическая ошибка, которую вы допускаете в ваших рассуждениях, была хорошо известна ещё в древности. Диоген, Антисфен и другие киники неоднократно предупреждали о недопустимости отрыва понятия лошадности от лошади и той опасности для нравственного здоровья общества, которую такого рода "философия" представляет.

Философия дело хорошее в смысле развития фантазии и способностей к рассуждениям, но вряд ли в ней стоит искать непосредственные обоснования тех или иных ПРАКТИЧЕСКИ используемых концепций: я Вам подберу философию, оправдывающую любую практику.

В физических концепциях понятия вводятся не для того, чтобы удовлетворить киников, а для того, чтобы сделать возможными и эффективными с практической точки зрения соответствующие типы расчетов.

Скажем, Вам может не нравится то, что ОТО построена на произвольной дифференциальной геометрии пространства-времени, но это позволяет вывести уравнения гравитации для любой формы тяготеющей материи и в силу логической согласованности теории сделать из них множество содержательных выводов по вполне стандартным правилам. Есть ли у нас основания для того, чтобы упираться на идее евклидова пространства и пытаться в его рамках сконструировать теорию гравитации из шариков и пружинок, в соответствии со здравым смыслом полуобразованного обывателя или каких-нибудь древних философов? Чтобы так сказать "не отрывать понятие притяжения от пружинок и ниточек"?

http://e-pros.narod.ru


Г-н Просветитель! Повторенье - мать ученья.
С позиции "полуобразованного обывателя" элемент метрического тензора g00 никак не может иметь смысла гравитационного потенциала. Это такая же грубая ошибка, как скажем принимать за меру кинетической энергии u вместо u2. Пожалуйста, обоснуйте этот момент в интерпретации вашей геометрии.


> С позиции "полуобразованного обывателя" элемент метрического тензора g00 никак не может иметь смысла гравитационного потенциала. Это такая же грубая ошибка, как скажем принимать за меру кинетической энергии u вместо u2. Пожалуйста, обоснуйте этот момент в интерпретации вашей геометрии.

К чему Вы это? Не помню, чтобы я пытался Вам сейчас доказать, что g00 - это и есть гравитационный потенциал. Если Вы хотите, то я конечно могу высказаться по этому поводу. Скалярный гравитационный потенциал - это понятие ньютоновской теории гравитации. Строго говоря, он не имеет полного аналога в ОТО, поскольку здесь гравитационное поле описывается не скалярным потенциалом, а метрическим тензором. Но, как известно, в пределе слабых гравитационных полей и малых скоростей ОТО переходит в ньютоновскую теорию тяготения. В этом пределе как раз g00 и переходит в ньютоновский скалярный потенциал. Это иногда и дает основание называть этот компонент тензора гравитационным потенциалом.

Вы это хотели услышать?

Кстати, не устаю подчеркивать: нет никакой "моей геометрии", есть общеизвестная дисциплина - дифференциальная геометрия, и есть ее использование в ОТО.

http://e-pros.narod.ru



> К чему Вы это? Не помню, чтобы я пытался Вам сейчас доказать, что g00 - это и есть гравитационный потенциал.

Пожалуйста, попытайтесь сейчас доказать, что g00 - это и есть гравитационный потенциал.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100