Операторная форма теоремы Вика

Сообщение №21491 от NEMO 14 июня 2003 г. 01:35
Тема: Операторная форма теоремы Вика

Хотя теорема Вика используется в основном для того, чтобы выразить термодинамические средние
или средние по основному состоянию как сумму произведений пропагаторов, исходная теорема Вика
была сформулирована (1950) как операторное тождество. Пусть T и N - операторы временного
упорядочения и оператор нормального упорядочения соответственно. Свертка двух операторов A и
B определяется как

S(AB)=T(AB)-N(AB).

Теорема Вика утверждает, что упорядоченное по времени произведение n операторов равно сумме
нормально упорядоченных произведений всех возможных сверток:

T(A1A2...An) = N(A1A2...An) + сумма по всем одиночным сверткам(N(A1A2...An)) + сумма по всем парам сверток(N(A1A2...An)) + ... + сумма по всем полным сверткам(N(A1A2...An)).

Интересует физическое доказательство этой теоремы в том частном случае,
когда операторы A1, A2,...,An - это операторы рождения и уничтожения.

Спасибо.
Nemo


Отклики на это сообщение:

> Теорема Вика утверждает, что упорядоченное по времени произведение n операторов равно сумме
> нормально упорядоченных произведений всех возможных сверток:

> T(A1A2...An) = N(A1A2...An) + сумма по всем одиночным сверткам(N(A1A2...An)) + сумма по всем парам сверток(N(A1A2...An)) + ... + сумма по всем полным сверткам(N(A1A2...An)).

> Интересует физическое доказательство этой теоремы в том частном случае,
> когда операторы A1, A2,...,An - это операторы рождения и уничтожения.

Сумма только в бозонном случае, для фермионов нужно брать перестановки с правильным знаком.

А что имеется в виду под физическим доказательством? Формальные рассуждения, использующие коммутационные соотношения и индукцию, насколько я помню прекрасно работают.


> Сумма только в бозонном случае, для фермионов нужно брать перестановки с правильным знаком.

Дело в том, что операторы T и N включают в себя ответственность за правильный знак
атоматически. Это входит в их определение. Поэтому, формула, которую я написал
справедлива в общем случае как фермионов так и бозонов.

> А что имеется в виду под физическим доказательством? Формальные рассуждения, использующие коммутационные соотношения и индукцию, насколько я помню прекрасно работают.

Формальные рассуждения работают. Но тогда, мой вопрос - это оффтопик здесь и он
был бы удален :). Или перенесен на математический форум :).

Но не это главное. Если Вы теперь попробуете усреднить это формулу по состоянию для которого
все операторы уничтожения дают нулевой вектор, то получите обычную формулировку теоремы Вика.
То есть, что среднее по основному состоянию равно алгебраической сумме произведений
пропагаторов.

Таким образом для основного состояния теорема Вика работает всегда.

Но если взять неосновное состояние, то из данной формулировки теоремы Вика обычная форма
той же теоремы не вытекает в общем случае. То есть одних формальных рассуждений не достаточно.

Однако эта теорема все-таки верна и для произвольного состояния, но только в макроскопическом
пределе. Вот поэтому меня и интересует доказательство использующее макроскопичность системы и
я это решил назвать физическим доказательством.

Nemo


> > Сумма только в бозонном случае, для фермионов нужно брать перестановки с правильным знаком.

> Дело в том, что операторы T и N включают в себя ответственность за правильный знак
> атоматически. Это входит в их определение. Поэтому, формула, которую я написал
> справедлива в общем случае как фермионов так и бозонов.

Ok

> ... Если Вы теперь попробуете усреднить это формулу по состоянию для которого
> все операторы уничтожения дают нулевой вектор, то получите обычную формулировку теоремы Вика.
> То есть, что среднее по основному состоянию равно алгебраической сумме произведений
> пропагаторов.

> Таким образом для основного состояния теорема Вика работает всегда.

> Но если взять неосновное состояние, то из данной формулировки теоремы Вика обычная форма
> той же теоремы не вытекает в общем случае. То есть одних формальных рассуждений не достаточно.

> Однако эта теорема все-таки верна и для произвольного состояния, но только в макроскопическом
> пределе. Вот поэтому меня и интересует доказательство использующее макроскопичность системы и
> я это решил назвать физическим доказательством.

Я сначала подумал, что здесь какая-то путаница, потом взглянул в пару мест и, вроде, все в порядке, но хотелось бы уточнить. Вы имеете в виду под теоремой Вика утверждение о вакуумных средних? Что среднее от Т-произведение равно сумме произведений соответствующих пропагаторов?

Дело в том, что нас в свое время учили, что теорема Вика это операторное тождество, грубо говоря, способ перегруппировать слагаемые, используя то обстоятельство, что (анти)коммутатор --- с-число. В доступных мне книжках нашлось и первое и второе (в особенности обращу внимание на Ициксона и Зюбера Квантовая теория поля, и на книжку, доступную в сети, Садовский Лекции по квантовой теории поля
http://elib.catalysis.nsk.su/elib/sci-lib/DjVu%20books%20edition/nuclear_physics/Q_field1.djvu). И, имея в виду, операторных подход мне не совсем понятна роль макроскопичности.

В любом случае, давайте посмотрим, что мы можем получить, если будем брать не вакуумное среднее, а среднее по какому-то другому собственному состоянию.

Представив хронологическое упорядочение через нормальные упорядочения всевозможных спариваний у нас, наряду с традиционным вкладом от всех пропагаторов (поскольку это с-число, то тот факт, что мы берем среднее не по вакууму ничего не меняет) будет еще вклад от частично неспаренных N-произведений. Этот вклад понятным образом зависит от структуры собственного состояния. Пусть

В простейшем случае мы рассмотрим Видно, что из неспаренных ненулевой вклад дадут только те слагаемые, где только два оператора неспаренны. Т.е. у нас появятся слагаемые вида

Для того чтобы выразить их через "k-пропагаторы"

G_k(1,2) =

рассмотрим определение спаривания

S(A_1 A_2) = T(A_1 A_2) - N(A_1 A_2)

Взяв вакуумное среднее, получаем, что (с учетом того что S это с-число) S(A_1 A_2) = <0|T(A_1 A_2)|0> = G(1,2),

взяв же среднее по состоянию k

S(A_1 A_2) = G_k(1, 2) -

откуда

= G_k(1, 2) - G_0(1, 2).

Заметим, что второе слагаемое, после подстановки в выражение для исходного среднего, дает слагаемое, уже содержащееся в сумме произведений всех спаренных операторов, но с противоположным знаком. Таким образом можно сформулировать результат

среднее по собственному состоянию k от хронологического произведения распадается на известную сумму произведений, где в каждом слагаемом один вакуумный пропагатор заменен на k-пропагатор.

Средние по состояниям более сложной структуры будут включать в себя k_1,k_2-пропагаторы и т.д. и надо смотреть отдельно, поскольку там появятся N(A_1, ...A_4), которые надо выражать, используя "обратную" теорему Вика и, видимо, стоит ожидать что в результирующем представлении просто надо будет заменить пары вакуумных пропагаторов на G_{k_1, k_2}.


А, чтоб эти тэги сгорели!

Дополнение некоторых формул (их видно в окне ответа)

... Этот вклад понятным образом зависит от структуры собственного состояния. Пусть

\langle k_1, k_2, ..| = <0| a_{k_1} a_{k_2} ...

В простейшем случае мы рассмотрим \langle k| = <0| a_k

Видно, что из неспаренных ненулевой вклад дадут только те слагаемые, где только два оператора неспаренны. Т.е. у нас появятся слагаемые вида

\langle k| N(A_1 A_2)|k>

Для того чтобы выразить их через "k-пропагаторы"

G_k(1,2) = \langle k| N(A_1 A_2)|k>

....

взяв же среднее по состоянию k

S(A_1 A_2) = G_k(1, 2) - \langle k|N(A_1 A_2)|k>

откуда

\langle k|N(A_1 A_2)|k> = G_k(1, 2) - G_0(1, 2).

....


> > > Сумма только в бозонном случае, для фермионов нужно брать перестановки с правильным знаком.

> > Дело в том, что операторы T и N включают в себя ответственность за правильный знак
> > атоматически. Это входит в их определение. Поэтому, формула, которую я написал
> > справедлива в общем случае как фермионов так и бозонов.

> Ok

> > ... Если Вы теперь попробуете усреднить это формулу по состоянию для которого
> > все операторы уничтожения дают нулевой вектор, то получите обычную формулировку теоремы Вика.
> > То есть, что среднее по основному состоянию равно алгебраической сумме произведений
> > пропагаторов.

> > Таким образом для основного состояния теорема Вика работает всегда.

> > Но если взять неосновное состояние, то из данной формулировки теоремы Вика обычная форма
> > той же теоремы не вытекает в общем случае. То есть одних формальных рассуждений не достаточно.

> > Однако эта теорема все-таки верна и для произвольного состояния, но только в макроскопическом
> > пределе. Вот поэтому меня и интересует доказательство использующее макроскопичность системы и
> > я это решил назвать физическим доказательством.

> Я сначала подумал, что здесь какая-то путаница, потом взглянул в пару мест и, вроде, все в порядке, но хотелось бы уточнить. Вы имеете в виду под теоремой Вика утверждение о вакуумных средних? Что среднее от Т-произведение равно сумме произведений соответствующих пропагаторов?

Именно это я и имею ввиду, говоря об обычной форме теоремы Вика.

> Дело в том, что нас в свое время учили, что теорема Вика это операторное тождество, грубо говоря, способ перегруппировать слагаемые, используя то обстоятельство, что (анти)коммутатор --- с-число. В доступных мне книжках нашлось и первое и второе (в особенности обращу внимание на Ициксона и Зюбера Квантовая теория поля, и на книжку, доступную в сети, Садовский Лекции по квантовой теории поля
> http://elib.catalysis.nsk.su/elib/sci-lib/DjVu%20books%20edition/nuclear_physics/Q_field1.djvu). И, имея в виду, операторных подход мне не совсем понятна роль макроскопичности.

Чем просмотреть djvu?

Про макроскопичность. В координатном представлении операторы рождения и уничтожения - это
пси операторы. Их можно разложить по плоским волнам. В результате произведение пси операторов
будет выражаться через сумму по импульсам. Плоская волна нормирована так, что в знаменателе
стоит корень квадратный из объема. В макроскопическом пределе сумма по импульсам заменяется
интегралом умноженным на определенную степень объема системы. Для некоторых слагаемых
объемы сокращаются, а для некоторых в знаменателе остается объем. Последние слагаемые в
макроскопическом пределе (объем -> бесконечность) исчезают. Оставшиеся члены должны давать
теорему Вика.

> В любом случае, давайте посмотрим, что мы можем получить, если будем брать не вакуумное среднее, а среднее по какому-то другому собственному состоянию.

> Представив хронологическое упорядочение через нормальные упорядочения всевозможных спариваний у нас, наряду с традиционным вкладом от всех пропагаторов (поскольку это с-число, то тот факт, что мы берем среднее не по вакууму ничего не меняет) будет еще вклад от частично неспаренных N-произведений. Этот вклад понятным образом зависит от структуры собственного состояния. Пусть

>

Можно ли показать, что эти слагаемы в макроскопическом пределе исчезают?

> В простейшем случае мы рассмотрим

> Видно, что из неспаренных ненулевой вклад дадут только те слагаемые, где только два оператора неспаренны. Т.е. у нас появятся слагаемые вида

>

> Для того чтобы выразить их через "k-пропагаторы"

> G_k(1,2) =

Здесь должен быть оператор T вместо N.

> Средние по состояниям более сложной структуры будут включать в себя k_1,k_2-пропагаторы и т.д. и надо смотреть отдельно, поскольку там появятся N(A_1, ...A_4), которые надо выражать, используя "обратную" теорему Вика и, видимо, стоит ожидать что в результирующем представлении просто надо будет заменить пары вакуумных пропагаторов на G_{k_1, k_2}.

Последнее утверждение я интуитивно не чувствую. Надо вычислять.

Nemo


> А, чтоб эти тэги сгорели!

> Дополнение некоторых формул (их видно в окне ответа)

> ... Этот вклад понятным образом зависит от структуры собственного состояния. Пусть

> \langle k_1, k_2, ..| = <0| a_{k_1} a_{k_2} ...

> В простейшем случае мы рассмотрим \langle k| = <0| a_k

> Видно, что из неспаренных ненулевой вклад дадут только те слагаемые, где только два оператора неспаренны. Т.е. у нас появятся слагаемые вида

> \langle k| N(A_1 A_2)|k>

> Для того чтобы выразить их через "k-пропагаторы"

> G_k(1,2) = \langle k| N(A_1 A_2)|k>

Здесь надо писать оператор T вместо N.

> ....

> взяв же среднее по состоянию k

> S(A_1 A_2) = G_k(1, 2) - \langle k|N(A_1 A_2)|k>

> откуда

> \langle k|N(A_1 A_2)|k> = G_k(1, 2) - G_0(1, 2).

> ....

Все-таки последнее утверждение об обратной теореме Вика интуитивно не чувствуется.

Nemo


> > Дело в том, что нас в свое время учили, что теорема Вика это операторное тождество, грубо говоря, способ перегруппировать слагаемые, используя то обстоятельство, что (анти)коммутатор --- с-число. В доступных мне книжках нашлось и первое и второе (в особенности обращу внимание на Ициксона и Зюбера Квантовая теория поля, и на книжку, доступную в сети, Садовский Лекции по квантовой теории поля
> > http://elib.catalysis.nsk.su/elib/sci-lib/DjVu%20books%20edition/nuclear_physics/Q_field1.djvu). И, имея в виду, операторных подход мне не совсем понятна роль макроскопичности.

> Чем просмотреть djvu?

Есть специальный plug-in для браузера

http://www.lizardtech.com/download/?x=2&p=1&o=1

И также существует просмотрщик для Unix-like систем. Сейчас очень много литературы доступно в этом формате, поэтому стоит иметь просмотрщик.

> Про макроскопичность. В координатном представлении операторы рождения и уничтожения - это
> пси операторы. Их можно разложить по плоским волнам. В результате произведение пси операторов
> будет выражаться через сумму по импульсам. Плоская волна нормирована так, что в знаменателе
> стоит корень квадратный из объема. В макроскопическом пределе сумма по импульсам заменяется
> интегралом умноженным на определенную степень объема системы. Для некоторых слагаемых
> объемы сокращаются, а для некоторых в знаменателе остается объем. Последние слагаемые в
> макроскопическом пределе (объем -> бесконечность) исчезают. Оставшиеся члены должны давать
> теорему Вика.

Боюсь, я все равно не совсем понимаю (может к концу отпуска приду в норму). Для того чтобы теорема Вика была справедливой необходимо выполнение двух условий: 1) чтобы (анти)коммутатор был с-числом, 2) чтобы нормальная форма отличалась от любой другой на перестановку. Первое требование получается автоматом при квантовании системы, а вот со вторым, как мне кажется, возможны, вообще говоря, некоторые сложности, которые, однако, преодолимы в том смысле, что при вычислении функций Грина по теории возмущений можно перейти к представлению взаимодействия, что приводит к диаграммным рядам.

Правда сейчас мне что-то вообще перестала нравиться теорема Вика. Дело в том, что возбужденные состояния получаются в результате действия операторов, через которые полевые операторы линейно не выражаются и потому для вычислений средних не по вакууму необходимо с помощью теоремы Вика необходимо прибегать к теории возмущений, что ценность теоремы сильно занижает.

Исчезнут ли соответствующие члены при переходе к макроскопике? Сомневаюсь. Конкретных оснований для этого нет (попытался что-то быстренько посчитать, но ни к чему убедительному не пришел), но из общих соображений можно ожидать всяких неприятностей.

> > В простейшем случае мы рассмотрим \langle k| = <0| a_k

> > Видно, что из неспаренных ненулевой вклад дадут только те слагаемые, где только два оператора неспаренны. Т.е. у нас появятся слагаемые вида

> > \langle k| N(A_1 A_2)|k>

> > Для того чтобы выразить их через "k-пропагаторы"

> > G_k(1,2) = \langle k| N(A_1 A_2)|k>

> Здесь должен быть оператор T вместо N.

Это верно, я здесь опечатался.

> > Средние по состояниям более сложной структуры будут включать в себя k_1,k_2-пропагаторы и т.д. и надо смотреть отдельно, поскольку там появятся N(A_1, ...A_4), которые надо выражать, используя "обратную" теорему Вика и, видимо, стоит ожидать что в результирующем представлении просто надо будет заменить пары вакуумных пропагаторов на G_{k_1, k_2}.

> Последнее утверждение я интуитивно не чувствую. Надо вычислять.

Здесь довольно простая идея: после того как мы распишем N(A_1, ...A_4) через T и нормальные произведения вроде N(A_1, A_2), то последние войдут со знаком - и их будет точно столько же, сколько таких двойных нормальных произведений. Т.е., конечно, надо проверять, но вроде кажется разумным.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100