Топология мыльной плёнки

Сообщение №20069 от Snowman 28 апреля 2003 г. 20:01
Тема: Топология мыльной плёнки

Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:

Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.


Отклики на это сообщение:

> Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

Что-то попробовал, мозги скрипят... :-)


> Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:
>
> Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
> Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

Для начала полезно представить хотя бы форму пленки между двумя соосными кольцами одного радиуса. Будет поверхность с двумя радиусами кривизны, сумма обратных радиусов которых в каждой точке = 0.


> > Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:
> >
> > Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
> > Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

> Для начала полезно представить хотя бы форму пленки между двумя соосными кольцами одного радиуса.
Действительно хорошо бы начать с чего-то подобного. Только кольца располагать не очень далеко друг от друга.

> Будет поверхность с двумя радиусами кривизны, сумма обратных радиусов которых в каждой точке = 0.
Ага. Лапласово давление должно нулю равняться, а оно как раз пропорционально сумме обратных радиусов (полной кривизне поверхности). И это верно для любой незамкнутой поверхности мыльной пленки (можно натянуть на любой контур). Для двух соосных колец поверхность будет гиперболоидом вращения.

Но все-же исходная задача скорее из топологии. К примеру, если взять одиночное кольцо (даже кривое), то все очевидно.
Но можно рассмотреть пример, когда его мы сначала поместим в струю воздуха, которая выдует большой пузырь, а потом дадим пленке устояться в спокойном воздухе, где она примет форму поверхности с минимальной площадью (и нулевой кривизной).

Но топологически обе поверхности одинаковы, от одной к другой можно перейти путем непрерывных трансформаций без разрывов и склеек (что пленка и сделала). Обычно такие трансформации не требуют большого напряжения воображения.

В данном случае основная сложность состоит в том, что нужно представить себе непрерывную поверхность (хотя бы какую-нибудь), с заданными границами. Мне это не удалось, когда я придумал данную задачу. Посмотрел в натуре, а потом (как это обычно и бывает) сказал: "Ну да, естественно, так и должно быть..."


> > > Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:
> > >
> > > Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
> > > Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

> > Для начала полезно представить хотя бы форму пленки между двумя соосными кольцами одного радиуса.
> Действительно хорошо бы начать с чего-то подобного. Только кольца располагать не очень далеко друг от друга.

> > Будет поверхность с двумя радиусами кривизны, сумма обратных радиусов которых в каждой точке = 0.
> Ага. Лапласово давление должно нулю равняться, а оно как раз пропорционально сумме обратных радиусов (полной кривизне поверхности). И это верно для любой незамкнутой поверхности мыльной пленки (можно натянуть на любой контур). Для двух соосных колец поверхность будет гиперболоидом вращения.

> Но все-же исходная задача скорее из топологии. К примеру, если взять одиночное кольцо (даже кривое), то все очевидно.
> Но можно рассмотреть пример, когда его мы сначала поместим в струю воздуха, которая выдует большой пузырь, а потом дадим пленке устояться в спокойном воздухе, где она примет форму поверхности с минимальной площадью (и нулевой кривизной).

> Но топологически обе поверхности одинаковы, от одной к другой можно перейти путем непрерывных трансформаций без разрывов и склеек (что пленка и сделала). Обычно такие трансформации не требуют большого напряжения воображения.

> В данном случае основная сложность состоит в том, что нужно представить себе непрерывную поверхность (хотя бы какую-нибудь), с заданными границами. Мне это не удалось, когда я придумал данную задачу. Посмотрел в натуре, а потом (как это обычно и бывает) сказал: "Ну да, естественно, так и должно быть..."

Интуитивно мне кажется, что будет несколько различных поверхностей непересекаюшихся друг с другом.


> > > > Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:
> > > >
> > > > Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
> > > > Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

> > > Для начала полезно представить хотя бы форму пленки между двумя соосными кольцами одного радиуса.
> > Действительно хорошо бы начать с чего-то подобного. Только кольца располагать не очень далеко друг от друга.

> > > Будет поверхность с двумя радиусами кривизны, сумма обратных радиусов которых в каждой точке = 0.
> > Ага. Лапласово давление должно нулю равняться, а оно как раз пропорционально сумме обратных радиусов (полной кривизне поверхности). И это верно для любой незамкнутой поверхности мыльной пленки (можно натянуть на любой контур). Для двух соосных колец поверхность будет гиперболоидом вращения.

> > Но все-же исходная задача скорее из топологии. К примеру, если взять одиночное кольцо (даже кривое), то все очевидно.
> > Но можно рассмотреть пример, когда его мы сначала поместим в струю воздуха, которая выдует большой пузырь, а потом дадим пленке устояться в спокойном воздухе, где она примет форму поверхности с минимальной площадью (и нулевой кривизной).

> > Но топологически обе поверхности одинаковы, от одной к другой можно перейти путем непрерывных трансформаций без разрывов и склеек (что пленка и сделала). Обычно такие трансформации не требуют большого напряжения воображения.

> > В данном случае основная сложность состоит в том, что нужно представить себе непрерывную поверхность (хотя бы какую-нибудь), с заданными границами. Мне это не удалось, когда я придумал данную задачу. Посмотрел в натуре, а потом (как это обычно и бывает) сказал: "Ну да, естественно, так и должно быть..."

> Интуитивно мне кажется, что будет несколько различных поверхностей непересекаюшихся друг с другом.

Меняю мнение - думаю пленка не сможет вообще устойчиво образоваться, предыдушая моя гипотеза не верна потому-как пленка не может находится в равновесие если один ее край свободный - не закреплен к рамке.


> > > > > Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:
> > > > >
> > > > > Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
> > > > > Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

> > > > Для начала полезно представить хотя бы форму пленки между двумя соосными кольцами одного радиуса.
> > > Действительно хорошо бы начать с чего-то подобного. Только кольца располагать не очень далеко друг от друга.

> > > > Будет поверхность с двумя радиусами кривизны, сумма обратных радиусов которых в каждой точке = 0.
> > > Ага. Лапласово давление должно нулю равняться, а оно как раз пропорционально сумме обратных радиусов (полной кривизне поверхности). И это верно для любой незамкнутой поверхности мыльной пленки (можно натянуть на любой контур). Для двух соосных колец поверхность будет гиперболоидом вращения.

> > > Но все-же исходная задача скорее из топологии. К примеру, если взять одиночное кольцо (даже кривое), то все очевидно.
> > > Но можно рассмотреть пример, когда его мы сначала поместим в струю воздуха, которая выдует большой пузырь, а потом дадим пленке устояться в спокойном воздухе, где она примет форму поверхности с минимальной площадью (и нулевой кривизной).

> > > Но топологически обе поверхности одинаковы, от одной к другой можно перейти путем непрерывных трансформаций без разрывов и склеек (что пленка и сделала). Обычно такие трансформации не требуют большого напряжения воображения.

> > > В данном случае основная сложность состоит в том, что нужно представить себе непрерывную поверхность (хотя бы какую-нибудь), с заданными границами. Мне это не удалось, когда я придумал данную задачу. Посмотрел в натуре, а потом (как это обычно и бывает) сказал: "Ну да, естественно, так и должно быть..."

> > Интуитивно мне кажется, что будет несколько различных поверхностей непересекаюшихся друг с другом.

> Меняю мнение - думаю пленка не сможет вообще устойчиво образоваться, предыдушая моя гипотеза не верна потому-как пленка не может находится в равновесие если один ее край свободный - не закреплен к рамке.

Хе... То, что я наблюдал в эксперименте, оказывается не единственно возможная поверхность. Только что придумал еще одну, топологически более простую, но тем не менее тоже очень интересную, и обладающую интересными топологическими свойствами. Приятно осознавать, что воображение еще не закостенело. А в эксперименте данную поверхность реализовать труднее, чем ту, которую я ранее наблюдал. Попробую ее нарисовать, через несколько дней размещу.


> > > > > > Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:
> > > > > >
> > > > > > Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
> > > > > > Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

> > > > > Для начала полезно представить хотя бы форму пленки между двумя соосными кольцами одного радиуса.
> > > > Действительно хорошо бы начать с чего-то подобного. Только кольца располагать не очень далеко друг от друга.

> > > > > Будет поверхность с двумя радиусами кривизны, сумма обратных радиусов которых в каждой точке = 0.
> > > > Ага. Лапласово давление должно нулю равняться, а оно как раз пропорционально сумме обратных радиусов (полной кривизне поверхности). И это верно для любой незамкнутой поверхности мыльной пленки (можно натянуть на любой контур). Для двух соосных колец поверхность будет гиперболоидом вращения.

> > > > Но все-же исходная задача скорее из топологии. К примеру, если взять одиночное кольцо (даже кривое), то все очевидно.
> > > > Но можно рассмотреть пример, когда его мы сначала поместим в струю воздуха, которая выдует большой пузырь, а потом дадим пленке устояться в спокойном воздухе, где она примет форму поверхности с минимальной площадью (и нулевой кривизной).

> > > > Но топологически обе поверхности одинаковы, от одной к другой можно перейти путем непрерывных трансформаций без разрывов и склеек (что пленка и сделала). Обычно такие трансформации не требуют большого напряжения воображения.

> > > > В данном случае основная сложность состоит в том, что нужно представить себе непрерывную поверхность (хотя бы какую-нибудь), с заданными границами. Мне это не удалось, когда я придумал данную задачу. Посмотрел в натуре, а потом (как это обычно и бывает) сказал: "Ну да, естественно, так и должно быть..."

> > > Интуитивно мне кажется, что будет несколько различных поверхностей непересекаюшихся друг с другом.

> > Меняю мнение - думаю пленка не сможет вообще устойчиво образоваться, предыдушая моя гипотеза не верна потому-как пленка не может находится в равновесие если один ее край свободный - не закреплен к рамке.

> Хе... То, что я наблюдал в эксперименте, оказывается не единственно возможная поверхность. Только что придумал еще одну, топологически более простую, но тем не менее тоже очень интересную, и обладающую интересными топологическими свойствами. Приятно осознавать, что воображение еще не закостенело. А в эксперименте данную поверхность реализовать труднее, чем ту, которую я ранее наблюдал. Попробую ее нарисовать, через несколько дней размещу.

Так что образовалась непрерывная поверхность?


> > Хе... То, что я наблюдал в эксперименте, оказывается не единственно возможная поверхность. Только что придумал еще одну, топологически более простую, но тем не менее тоже очень интересную, и обладающую интересными топологическими свойствами. Приятно осознавать, что воображение еще не закостенело. А в эксперименте данную поверхность реализовать труднее, чем ту, которую я ранее наблюдал. Попробую ее нарисовать, через несколько дней размещу.

> Так что образовалась непрерывная поверхность?

Ага. Представить ее по-моему легче, чем реализовать.


Понял, как будет


> Понял, как будет

Вот так?:

Это - известная лента Мёбиуса. Мыльная пленка имеет всего одну поверхность!

Но есть еще одно (по крайней мере) любопытное решение. И менее очевидное.


> > Понял, как будет

> Вот так?:

>

> Это - известная лента Мёбиуса. Мыльная пленка имеет всего одну поверхность!

> Но есть еще одно (по крайней мере) любопытное решение. И менее очевидное.

да, я так и представлял,
про другое решение не знаю, но было бы интересно увидеть.


> > > Окунем в мыльный раствор проволочную рамку следующего вида:
> > >
> > > Как видите, это обычный узел с замкнутыми концами. Вопрос, на что будет похожа поверхность мыльной пленки?
> > > Забавно сделать это экспериментально (и несложно), но гораздо интереснее попытаться представить себе это.

> > Для начала полезно представить хотя бы форму пленки между двумя соосными кольцами одного радиуса.
> Действительно хорошо бы начать с чего-то подобного. Только кольца располагать не очень далеко друг от друга.

> > Будет поверхность с двумя радиусами кривизны, сумма обратных радиусов которых в каждой точке = 0.
> Ага. Лапласово давление должно нулю равняться, а оно как раз пропорционально сумме обратных радиусов (полной кривизне поверхности). И это верно для любой незамкнутой поверхности мыльной пленки (можно натянуть на любой контур). Для двух соосных колец поверхность будет гиперболоидом вращения.


Интересно, что у этой фигуры(гиперболоид вращения) должна быть минимальная площадь поверхности, что визуально на-1й взгляд не очевидно.


> > > Понял, как будет

> > Вот так?:

> >

> > Это - известная лента Мёбиуса. Мыльная пленка имеет всего одну поверхность!

> > Но есть еще одно (по крайней мере) любопытное решение. И менее очевидное.

> да, я так и представлял,
> про другое решение не знаю, но было бы интересно увидеть.

Snowman, у Вас, краски закончились?, с нетерпением ждем-с рисунка.


Прошу прощения за затяжку с ответом. Сначала не мог внятно изобразить. Даже фото сделал, но на нем пленку практически не видно. Потом забыл. Но лучше поздно, чем никогда:

Сделал насколько мог наглядно. Надеюсь, понятно, что более темный голубой цвет - это там, где одна пленка видна сквозь другую (где в проекции две пленки). Рамка стала бледно-синей там, где она видна сквозь пленку.

Если рамку окунуть в мыльный раствор, то получится первая фигура, где синие тонкие линии - линии схождения трех(!) пленок (не на проволоке, а самих по себе). Это вроде как сходятся на общей границе три поверхности у двух слипшихся мыльных пузырей - две внешних пленки и одна между. От общей границы пленки расходятся под углом 120°

Если проткнуть центральную часть, то получим вторую картинку - поверхность Мёбиуса. Если проткнуть одну из боковых - то получим третью - она в принципе тоже весьма забавна, по синей тонкой линии сходятся опять три поверхности.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100