Лужа на плоскости

Сообщение №20050 от Zeratul 28 апреля 2003 г. 18:03
Тема: Лужа на плоскости

А вот еше изяшная задачка
На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.


Отклики на это сообщение:

> А вот еше изяшная задачка
> На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

У меня на втором курсе был курсовик на тему поверхностное натяжение, где я эту задачу разбирал среди прочих. Тут нужно рассмотреть равновесие по горизонтали сил на фрагмент капли.


> А вот еше изяшная задачка
> На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

Поскольку воды много, то можно считать ее диском толщиной х. Потенциальную энергию (m*g*x/2) приравнять поверхностной энергии q*S.


> > А вот еше изяшная задачка
> > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> Поскольку воды много, то можно считать ее диском толщиной х. Потенциальную энергию (m*g*x/2) приравнять поверхностной энергии q*S.

Не-е... Надо найти минимум суммы.


> > > А вот еше изяшная задачка
> > > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> > Поскольку воды много, то можно считать ее диском толщиной х. Потенциальную энергию (m*g*x/2) приравнять поверхностной энергии q*S.

Надо найти минимум суммы потенциальной энергии тяжести и поверхностного натяжения. Причем учесть, что через краевой угол определяется коэффициент поверхностного натяжения на границе вода-пол. А q - это поверхностное натяжение на границе вода-воздух.


> > А вот еше изяшная задачка
> > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> У меня на втором курсе был курсовик на тему поверхностное натяжение, где я эту задачу разбирал среди прочих. Тут нужно рассмотреть равновесие по горизонтали сил на фрагмент капли.

Вы, где учились?


> Вы где учились?
Новосибирский госуниверситет.


> > Вы где учились?
> Новосибирский госуниверситет.

Я думал Вы из Москвы


> А вот еше изяшная задачка
> На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

Рассмотрим горизонтальную проекцию суммы сил на фрагмент лужи высотой h (выделен синим цветом). На нее действуют силы поверхностного натяжения sigma*l, где sigma - коэфф. пов. натяжения, l- ширина фрагмента (перпендикулярно плоскости рисунка, считается достаточно малой). Горизонтальная проекция равна sigma*l*(1-cos(alpha)). Она уравновешивает силу давления жидкости 1/2 ro*gh*l*h (половинка здесь потому что среднее давление равно половине давления на глубине h).
В результате получаем для высоты слоя жидкости h²=2*sigma*l*(1-cos(alpha))/(ro*g), откуда можно и требуемые соотношения получить. Атмосферное давление из ответа выпадает.


> > А вот еше изяшная задачка
> > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

>

> Рассмотрим горизонтальную проекцию суммы сил на фрагмент лужи высотой h (выделен синим цветом). На нее действуют силы поверхностного натяжения sigma*l, где sigma - коэфф. пов. натяжения, l- ширина фрагмента (перпендикулярно плоскости рисунка, считается достаточно малой). Горизонтальная проекция равна sigma*l*(1-cos(alpha)). Она уравновешивает силу давления жидкости 1/2 ro*gh*l*h (половинка здесь потому что среднее давление равно половине давления на глубине h).
> В результате получаем для высоты слоя жидкости h²=2*sigma*l*(1-cos(alpha))/(ro*g), откуда можно и требуемые соотношения получить. Атмосферное давление из ответа выпадает.

В общем верно, только Вы не учитываете в расчетах почему-то округлость лужи(радиус-R).


> > > А вот еше изяшная задачка
> > > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> >

> > Рассмотрим горизонтальную проекцию суммы сил на фрагмент лужи высотой h (выделен синим цветом). На нее действуют силы поверхностного натяжения sigma*l, где sigma - коэфф. пов. натяжения, l- ширина фрагмента (перпендикулярно плоскости рисунка, считается достаточно малой). Горизонтальная проекция равна sigma*l*(1-cos(alpha)). Она уравновешивает силу давления жидкости 1/2 ro*gh*l*h (половинка здесь потому что среднее давление равно половине давления на глубине h).
> > В результате получаем для высоты слоя жидкости h²=2*sigma*l*(1-cos(alpha))/(ro*g), откуда можно и требуемые соотношения получить. Атмосферное давление из ответа выпадает.

> В общем верно, только Вы не учитываете в расчетах почему-то округлость лужи(радиус-R).

Еще одно дополнительное простенькое уравнение нужно написать: M=ro*pi*R^2*h, с помощью его и избавиться от высоты h.


> > В общем верно, только Вы не учитываете в расчетах почему-то округлость лужи(радиус-R).

> Еще одно дополнительное простенькое уравнение нужно написать: M=ro*pi*R^2*h, с помощью его и избавиться от высоты h.

Радиус R будет ещё проявляться в лапласовском давлении сигма/R. Хотя, наверное, эта поправка мала.


> > > > А вот еше изяшная задачка
> > > > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> > >

> > > Рассмотрим горизонтальную проекцию суммы сил на фрагмент лужи высотой h (выделен синим цветом). На нее действуют силы поверхностного натяжения sigma*l, где sigma - коэфф. пов. натяжения, l- ширина фрагмента (перпендикулярно плоскости рисунка, считается достаточно малой). Горизонтальная проекция равна sigma*l*(1-cos(alpha)). Она уравновешивает силу давления жидкости 1/2 ro*gh*l*h (половинка здесь потому что среднее давление равно половине давления на глубине h).
> > > В результате получаем для высоты слоя жидкости h²=2*sigma*l*(1-cos(alpha))/(ro*g), откуда можно и требуемые соотношения получить. Атмосферное давление из ответа выпадает.

Проверьте размерность. Не получается м².

> > В общем верно, только Вы не учитываете в расчетах почему-то округлость лужи(радиус-R).

> Еще одно дополнительное простенькое уравнение нужно написать: M=ro*pi*R^2*h, с помощью его и избавиться от высоты h.



> Еще одно дополнительное простенькое уравнение нужно написать: M=ro*pi*R^2*h, с помощью его и избавиться от высоты h.

Я не про то, Вы в своих расчетах расматривали 2мерный случай, когда 2 стороны лужи паралельны друг другу и уходят в бесконечность.


>
> > Еще одно дополнительное простенькое уравнение нужно написать: M=ro*pi*R^2*h, с помощью его и избавиться от высоты h.

> Я не про то, Вы в своих расчетах расматривали 2мерный случай, когда 2 стороны лужи паралельны друг другу и уходят в бесконечность.

Нет, я рассматривал "ломоть" малой постоянной ширины l от "лепешки" радиуса R. При l<<R "ломоть" можно считать плоским в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка.

На самом деле даже это можно учесть. Тогда появится добавка к силе поверхностного натяжения sigma*l*h/R, которая как видно будет много меньше основной силы sigma*l*(1-cos(alpha)).


> > > > > А вот еше изяшная задачка
> > > > > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> > > >

> > > > Рассмотрим горизонтальную проекцию суммы сил на фрагмент лужи высотой h (выделен синим цветом). На нее действуют силы поверхностного натяжения sigma*l, где sigma - коэфф. пов. натяжения, l- ширина фрагмента (перпендикулярно плоскости рисунка, считается достаточно малой). Горизонтальная проекция равна sigma*l*(1-cos(alpha)). Она уравновешивает силу давления жидкости 1/2 ro*gh*l*h (половинка здесь потому что среднее давление равно половине давления на глубине h).
> > > > В результате получаем для высоты слоя жидкости h²=2*sigma*l*(1-cos(alpha))/(ro*g), откуда можно и требуемые соотношения получить. Атмосферное давление из ответа выпадает.

> Проверьте размерность. Не получается м².

Вы правы, я забыл сократить в формуле на ширину l, от нее ответ очевидно не должен зависеть. Правильно так: h²=2*sigma*(1-cos(alpha))/(ro*g)


> > > > > > А вот еше изяшная задачка
> > > > > > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> > > > > В результате получаем для высоты слоя жидкости h²=2*sigma*l*(1-cos(alpha))/(ro*g), откуда можно и требуемые соотношения получить. Атмосферное давление из ответа выпадает.

> > Проверьте размерность. Не получается м².

> Вы правы, я забыл сократить в формуле на ширину l, от нее ответ очевидно не должен зависеть. Правильно так: h²=2*sigma*(1-cos(alpha))/(ro*g)

Интересно отметить, что глубина (высота) лужи h не зависит ни от радиуса лужи R, ни от массы воды M, а только от экстенсивных параметров sigma, alpha и ro.


> >
> > > Еще одно дополнительное простенькое уравнение нужно написать: M=ro*pi*R^2*h, с помощью его и избавиться от высоты h.

> > Я не про то, Вы в своих расчетах расматривали 2мерный случай, когда 2 стороны лужи паралельны друг другу и уходят в бесконечность.

> Нет, я рассматривал "ломоть" малой постоянной ширины l от "лепешки" радиуса R. При l<<R "ломоть" можно считать плоским в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка.

это не корректно, потому-что возникает вопрос о силе поверхностного натяжения на участке среза по линии от края капли к центру. Надо было просто вырезать из лужи круговой сегмент и к нему прикладывать вышеуказанные силы. Ответ у меня получается тот же.

> На самом деле даже это можно учесть. Тогда появится добавка к силе поверхностного натяжения sigma*l*h/R, которая как видно будет много меньше основной силы sigma*l*(1-cos(alpha)).


> > > > Еще одно дополнительное простенькое уравнение нужно написать: M=ro*pi*R^2*h, с помощью его и избавиться от высоты h.

> > > Я не про то, Вы в своих расчетах расматривали 2мерный случай, когда 2 стороны лужи паралельны друг другу и уходят в бесконечность.

> > Нет, я рассматривал "ломоть" малой постоянной ширины l от "лепешки" радиуса R. При l<<R "ломоть" можно считать плоским в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка.

> это не корректно, потому-что возникает вопрос о силе поверхностного натяжения на участке среза по линии от края капли к центру. Надо было просто вырезать из лужи круговой сегмент и к нему прикладывать вышеуказанные силы. Ответ у меня получается тот же.

Почему не корректно? У меня плоскости среза параллельны (я же писал "постоянной ширины"), и рассматриваются проекции сил на данные плоскости. Правильный ответ является порукой корректности примененного подхода (ведь мы с Вами разошлись лишь в мелочи).

> > На самом деле даже это можно учесть. Тогда появится добавка к силе поверхностного натяжения sigma*l*h/R, которая как видно будет много меньше основной силы sigma*l*(1-cos(alpha)).


> > > > > > > А вот еше изяшная задачка
> > > > > > > На ровную однородную поверхность вылили воду(много) так что образовалась лужа радиуса R, найти зависимость между массой воды M и радиусом R, коеф.поверхностного натяжения q, краевой угол а.

> > > > > > В результате получаем для высоты слоя жидкости h²=2*sigma*l*(1-cos(alpha))/(ro*g), откуда можно и требуемые соотношения получить. Атмосферное давление из ответа выпадает.

> > > Проверьте размерность. Не получается м².

> > Вы правы, я забыл сократить в формуле на ширину l, от нее ответ очевидно не должен зависеть. Правильно так: h²=2*sigma*(1-cos(alpha))/(ro*g)

> Интересно отметить, что глубина (высота) лужи h не зависит ни от радиуса лужи R, ни от массы воды M, а только от экстенсивных параметров sigma, alpha и ro.

Вы наверное хотели сказать: "интенсивных параметров"?
Да, получается, неважно, где края лужи, но важно, что они в принципе есть.


> > Интересно отметить, что глубина (высота) лужи h не зависит ни от радиуса лужи R, ни от массы воды M, а только от экстенсивных параметров sigma, alpha и ro.

> Вы наверное хотели сказать: "интенсивных параметров"?
> Да, получается, неважно, где края лужи, но важно, что они в принципе есть.

Когда отправил, и посмотрел, то увидел, что написал:( Правда, хотел написать не "интенсивных параметров", а "неэкстенсивных параметров", чтобы подчеркнуть независимость от объема-массы, но получилось как всегда:)


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100