Малые возмущения КА на орбите

Сообщение №19116 от Zeratul 04 апреля 2003 г. 22:19
Тема: Малые возмущения КА на орбите

Хочу исследовать вопрос малых отклонений орбиты спутника от воздействия внешних возмущений. Условия задачи:
спутник(КА) на круговой орбите радиуса R (не обязательно геостационарной)
В момент времени t0 возникло короткое возмущение придавшее небольшой импульс КА
Найти отклонение КА от той точки где он должен был быть(если бы возмущение отсутствовало, и он продолжал движение по круговой орбите) - точки W.
решение:
Введем неинерциальную систему отсчета(НСО) с центром в точке W, ось Х направим по касательной к круговой орбите, ось Y - ей перпендикулярно и в направление от центра Земли(в небо), а ось Z -перпендик. X,Y (правостороняя система координат).
Тогда искомый вектор отклонения r от W, есть вектор xi + yj.
Напишем ускорение КА в этой НСО :
a(отн)= а(абс)-dv/dt - (w*(w*r)) -2(w*v(отн))
где
а(абс)=GM/l^2 - ускорение за счет притяжение Земли, а l - растояние от КА до центра Земли.
вектор l = вектор R + вектор r
dv/dt =w^2*R - ускорение НСО относительно центра Земли и направленно в центр.
w-угловая скорость вращения НСО(совпадает с угловой скоростью точки W относительно центра Земли)

Далее предполагая r<При этом все очень здорово сокращается и остается только поправка от а(абс) и (w*v(отн)).

В итоге получим 2 ур-я
d(dx/dt)/dt=2w*dy/dt (1)
d(dy/dt)/dt=3w^2 *y -2w*dx/dt (2)

интегрируя (1) получим dx/dt=2w*y + C (3)
подставим в (2)
d(dy/dt)/dt=-w^2 *y -2*w*C (4)
Анализируя это ура-е видно, что в общем случае его решение будет гармоническое колебание
y=-(2*C)/w + А cos(wt+a)
А из (3) видно, что если С не равно нулю(т.е. в начальный момент времени возмущение скорости имеет не нулевую компоненту по Х), то x(t)=гармоника(wt) + C*t - и значит неограниченно возрастает, хотя y-остается ограниченно.
Но вот если C=0(возмущение только по направлению y - к Земле или от нее), то КА совершает гармонические колебания относительно W.
Если я нигде не ошибся, то вроде получается так.
Snowman, как интересно этот результат согласуется с тем, что Вы говорили про колебания КА, но лишь на очень высоких орбитах?


Отклики на это сообщение:

> Если я нигде не ошибся, то вроде получается так.
Вывод о колебаниях вокруг определенной точки можно было получить и из законов Кеплера. Довольно легко показать, что (с точностью до квадратичного члена по отношению скорости возмущения и орбитальной скорости, что очевидно соответствует Вашим приближениям) период обращения остается постоянным. Поэтому также ясно, что период колебаний во вращающейся исходной системе равен периоду обращения. А малые колебания при гладких функциях сил - всегда гармонические.

Если возмущение направлено вдоль орбиты, то возмущение периода уже пропорционально первой степени отношения возмущения к орбитальной скорости. А первым порядком Вы очевидно не пренебрегали.


> Snowman, как интересно этот результат согласуется с тем, что Вы говорили про колебания КА, но лишь на очень высоких орбитах?
Ну я говорил о колебаниях КА на привязи, на тросе. Поэтому и орбиты должны быть выше геостационарной, с более низкой трос станцию стянет вниз.
Тут вообще все получается очень просто. Силы Кориолиса можно не учитывать, так как трос постоянно натянут. Поэтому радиальных движений нет, следовательно тангенциальной силы Кориолиса не будет, а радиальную - натяжение троса отработает. Ну и можно рассмотреть колебания физического маятника в поле двух сил: гравитационной и центробежной. (Кориолисом можно пренебречь еще и в силу малости скоростей, т.к. колебания малые).


> > Если я нигде не ошибся, то вроде получается так.
> Вывод о колебаниях вокруг определенной точки можно было получить и из законов Кеплера.

Да, можно, но так красивше, да и можно исследовать случаи воздействия каких-то сил при движении, я это подвожу к тросу, может получится учесть.

> Довольно легко показать, что (с точностью до квадратичного члена по отношению скорости возмущения и орбитальной скорости, что очевидно соответствует Вашим приближениям) период обращения остается постоянным.

А вчера мне казалось мы по-этому вопросу немного спорили.

> Если возмущение направлено вдоль орбиты, то возмущение периода уже пропорционально первой степени отношения возмущения к орбитальной скорости. А первым порядком Вы очевидно не пренебрегали.

>
> > Snowman, как интересно этот результат согласуется с тем, что Вы говорили про колебания КА, но лишь на очень высоких орбитах?
> Ну я говорил о колебаниях КА на привязи, на тросе. Поэтому и орбиты должны быть выше геостационарной, с более низкой трос станцию стянет вниз.
> Тут вообще все получается очень просто. Силы Кориолиса можно не учитывать, так как трос постоянно натянут. Поэтому радиальных движений нет, следовательно тангенциальной силы Кориолиса не будет, а радиальную - натяжение троса отработает. Ну и можно рассмотреть колебания физического маятника в поле двух сил: гравитационной и центробежной. (Кориолисом можно пренебречь еще и в силу малости скоростей, т.к. колебания малые).



Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100