Задача с бесконечной цепью

Сообщение №17311 от Grave 30 января 2003 г. 17:34
Тема: Задача с бесконечной цепью

Уважаемые участники форума по физике!

Предлагаю Вашему вниманию следующую задачу:


Есть бесконечная двумерная сетка с квадратными ячейками (см. рис.). Сторона каждой ячейки имеет сопротивление R. В единицу времени разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки. Определить зависимость сопротивления между соседними узлами A и B от времени.


Отклики на это сообщение:

> В единицу времени разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки. Определить зависимость сопротивления между соседними узлами A и B от времени.

А как сторона может разрываться за единицу времени? Разрывание - это скачкообрвзный процесс. Был контакт и вот его нет.


>
Уважаемые участники форума по физике!

> Предлагаю Вашему вниманию следующую задачу:

>
> Есть бесконечная двумерная сетка с квадратными ячейками (см. рис.). Сторона каждой ячейки имеет сопротивление R. В единицу времени разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки. Определить зависимость сопротивления между соседними узлами A и B от времени.

>

Судя по формулировке, "случайно выбранная ячейка" никак не связана с точками А и В. Что тогда означает "случайно выбранная ячейка" при числе ячеек, равном бесконечности? Прямолинейный ответ на задачу: сопротивление меняться не будет (все разрывы на бесконечно большом расстоянии от точек).


> Судя по формулировке, "случайно выбранная ячейка" никак не связана с точками А и В. Что тогда означает "случайно выбранная ячейка" при числе ячеек, равном бесконечности? Прямолинейный ответ на задачу: сопротивление меняться не будет (все разрывы на бесконечно большом расстоянии от точек).

Мне кажется, что сопротивление меняться всё же будет. Скажу даже точнее - оно будет увеличиваться. При стремлении промежутка времени к бесконечности, сопротивление будет увеличиваться, разве это не очевидно?

Разрыв может быть в любом месте, не обязательно "на бесконечно большом расстоянии от точек". Если задача корректная (так это или нет, я не знаю), то ответ не будет зависеть от выбора мест разрыва.


> > Судя по формулировке, "случайно выбранная ячейка" никак не связана с точками А и В. Что тогда означает "случайно выбранная ячейка" при числе ячеек, равном бесконечности? Прямолинейный ответ на задачу: сопротивление меняться не будет (все разрывы на бесконечно большом расстоянии от точек).

> Мне кажется, что сопротивление меняться всё же будет. Скажу даже точнее - оно будет увеличиваться. При стремлении промежутка времени к бесконечности, сопротивление будет увеличиваться, разве это не очевидно?

> Разрыв может быть в любом месте, не обязательно "на бесконечно большом расстоянии от точек". Если задача корректная (так это или нет, я не знаю), то ответ не будет зависеть от выбора мест разрыва.


Я не случайно просил уточнить условие, поскольку понятие "случайно выбранная ячейка" при числе ячеек, равном бесконечности, лишено сколько-нибудь точного смысла.
Действительно, чему равна вероятность разрыва в ячейке с такими-то номерами? Она не может быть конечной величиной, поскольку ячеек бесконечно много. Тогда вероятность не будет нормирована на единицу. Остается полагать, что эта вероятность должна быть равна нулю со всеми вытекающими отсюда парадоксами.
В частности, вероятность того, что разрыв произойдет на расстоянии, не большем, чем Nd (N - сколь угодно большое, но конечное число, а d - шаг решетки), равна нулю. Поскольку содержит конечное число ячеек, а вероятность разрыва в каждой ячейке, как договорились, равна нулю.


> > В единицу времени разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки. Определить зависимость сопротивления между соседними узлами A и B от времени.

> А как сторона может разрываться за единицу времени? Разрывание - это скачкообрвзный процесс. Был контакт и вот его нет.

Если хотите, то пусть будет так:

Через каждую единицу времени разрывается одна сторона случайно выбранной ячейки.


> Я не случайно просил уточнить условие, поскольку понятие "случайно выбранная ячейка" при числе ячеек, равном бесконечности, лишено сколько-нибудь точного смысла.
> Действительно, чему равна вероятность разрыва в ячейке с такими-то номерами? Она не может быть конечной величиной, поскольку ячеек бесконечно много. Тогда вероятность не будет нормирована на единицу. Остается полагать, что эта вероятность должна быть равна нулю со всеми вытекающими отсюда парадоксами.
> В частности, вероятность того, что разрыв произойдет на расстоянии, не большем, чем Nd (N - сколь угодно большое, но конечное число, а d - шаг решетки), равна нулю. Поскольку содержит конечное число ячеек, а вероятность разрыва в каждой ячейке, как договорились, равна нулю.

Но ведь мы можем выбрать хоть какую-нибудь сторону ячейки и разорвать её. И так каждую секунду. Вот и всё, что я имел в виду.


> > Я не случайно просил уточнить условие, поскольку понятие "случайно выбранная ячейка" при числе ячеек, равном бесконечности, лишено сколько-нибудь точного смысла.
> > Действительно, чему равна вероятность разрыва в ячейке с такими-то номерами? Она не может быть конечной величиной, поскольку ячеек бесконечно много. Тогда вероятность не будет нормирована на единицу. Остается полагать, что эта вероятность должна быть равна нулю со всеми вытекающими отсюда парадоксами.
> > В частности, вероятность того, что разрыв произойдет на расстоянии, не большем, чем Nd (N - сколь угодно большое, но конечное число, а d - шаг решетки), равна нулю. Поскольку содержит конечное число ячеек, а вероятность разрыва в каждой ячейке, как договорились, равна нулю.

> Но ведь мы можем выбрать хоть какую-нибудь сторону ячейки и разорвать её. И так каждую секунду. Вот и всё, что я имел в виду.


Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"


> Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:


Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.


> > Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

> Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

Так ведь именно это мы и доказали. Слова "разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки" не имеют смысла, если (как в условии задачи) число ячеек бесконечно велико! И если кто-то от Вас требует решения, Вы вправе потребовать уточнения этого вопроса. Не меняя условия, этого сделать нельзя.

> Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

>
>

> Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.

По дороге домой подумаю.



>
Уважаемые участники форума по физике!

> Предлагаю Вашему вниманию следующую задачу:

>
> Есть бесконечная двумерная сетка с квадратными ячейками (см. рис.). Сторона каждой ячейки имеет сопротивление R. В единицу времени разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки. Определить зависимость сопротивления между соседними узлами A и B от времени.

Ваша задача имеет отношение к теории протекания.
Даю ссылку на А.Л.Эфроса "Физика и геометрия беспорядка"
Эфрос А.Л.
Обратите внимание на разделы 1 и 12


> Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

>
>

> Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.


Ответ:R.


> > > Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

> > Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

> Так ведь именно это мы и доказали. Слова "разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки" не имеют смысла, если (как в условии задачи) число ячеек бесконечно велико! И если кто-то от Вас требует решения, Вы вправе потребовать уточнения этого вопроса. Не меняя условия, этого сделать нельзя.

> > Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

> >
> >

> > Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.

> По дороге домой подумаю.

Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление тока (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.


> Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление тока (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.

Именно такой ответ я Вам дал 1.02 в 17363. Признаюсь, что первая половина задачи (со сплошной решеткой) известна мне была давно (надо было вспомнить). Второй шаг прост.


> > > > Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

> > > Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

> > Так ведь именно это мы и доказали. Слова "разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки" не имеют смысла, если (как в условии задачи) число ячеек бесконечно велико! И если кто-то от Вас требует решения, Вы вправе потребовать уточнения этого вопроса. Не меняя условия, этого сделать нельзя.

> > > Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

> > >
> > >

> > > Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.

> > По дороге домой подумаю.

> Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление тока (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.

Что-то не доходит, откуда следует "суперпозиция". Это следствие Кирхгофа?
Мне кажется, что вполне естественно предположить, что по элементу АВ течет ток I/4 а не I/2.
А если между точками А и В будет 2 звена? Какая будет "суперпозиция"?


> > > > > Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

> > > > Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

> > > Так ведь именно это мы и доказали. Слова "разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки" не имеют смысла, если (как в условии задачи) число ячеек бесконечно велико! И если кто-то от Вас требует решения, Вы вправе потребовать уточнения этого вопроса. Не меняя условия, этого сделать нельзя.

> > > > Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

> > > >
> > > >

> > > > Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.

> > > По дороге домой подумаю.

> > Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление тока (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.

> Что-то не доходит, откуда следует "суперпозиция". Это следствие Кирхгофа?

Можно считать, что это следствие Кирхгофа. Хотя точнее - Кирхгоф есть следствие суперпозиции.

> Мне кажется, что вполне естественно предположить, что по элементу АВ течет ток I/4 а не I/2.

Так оно и есть, если источник подключен только к точке А. Если же в В подключен источник обратной полярности (потенциал на бемконечности принимаем за 0), то еше I/4 в ту же сторону.

> А если между точками А и В будет 2 звена? Какая будет "суперпозиция"?

А это совсем другая песня...


> > > > > > Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

> > > > > Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

> > > > Так ведь именно это мы и доказали. Слова "разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки" не имеют смысла, если (как в условии задачи) число ячеек бесконечно велико! И если кто-то от Вас требует решения, Вы вправе потребовать уточнения этого вопроса. Не меняя условия, этого сделать нельзя.

> > > > > Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

> > > > >
> > > > >

> > > > > Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.

> > > Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление тока (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.

> > Что-то не доходит, откуда следует "суперпозиция". Это следствие Кирхгофа?

> Можно считать, что это следствие Кирхгофа. Хотя точнее - Кирхгоф есть следствие суперпозиции.

Не можете подробнее расписать?

> > Мне кажется, что вполне естественно предположить, что по элементу АВ течет ток I/4 а не I/2.

> Так оно и есть, если источник подключен только к точке А. Если же в В подключен источник обратной полярности (потенциал на бемконечности принимаем за 0), то еше I/4 в ту же сторону.

ЧтО мне не нравится. В объяснении читаем:
"Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4."
Если сетка бесконечна, то сопротивление бесконечно, а ток = 0, и соответственно, I/4 = 0. Поэтому "подвести ток" означает приложить бесконечное напряжение. В то же время в задаче напряжение между А и В может быть вполне конечным. И как вообще можно сравнивать токи, соответствующие разным напряжениям? Буквы (I) одинаковые, а значения?




> > > > > > Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.

> > > > Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление тока (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.

> > > Что-то не доходит, откуда следует "суперпозиция". Это следствие Кирхгофа?

> > Можно считать, что это следствие Кирхгофа. Хотя точнее - Кирхгоф есть следствие суперпозиции.

> Не можете подробнее расписать?
Над точной формулировкой надо думать. Будем считать, что это следствие Кирхгофа. См. ниже.

> > > Мне кажется, что вполне естественно предположить, что по элементу АВ течет ток I/4 а не I/2.

> > Так оно и есть, если источник подключен только к точке А. Если же в В подключен источник обратной полярности (потенциал на бемконечности принимаем за 0), то еше I/4 в ту же сторону.

> ЧтО мне не нравится. В объяснении читаем:
> "Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4."
> Если сетка бесконечна, то сопротивление бесконечно, а ток = 0, и соответственно, I/4 = 0. Поэтому "подвести ток" означает приложить бесконечное напряжение. В то же время в задаче напряжение между А и В может быть вполне конечным. И как вообще можно сравнивать токи, соответствующие разным напряжениям? Буквы (I) одинаковые, а значения?

Замечание о сопротивлении бесконечной сетки интересное.
Поэтому предлагаю переформулировать задачу так. Сетка конечна и имеет форму круга, радиус которого в миллион (миллиард, ...) раз больше расстояния АВ. Тогда сопротивление между точкой А(В) и периметром сетки (проложим по периметру толстый проводник) наверняка конечно. Вопрос прежний - о сопротивлении между А и В.
Подключаем к А + батареи-1 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из А, потечет ток I.
Отключаем батарею-1. Подключаем к В - батареи-2 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из В, потечет ток I.
Включаем обе батареи. Токи в АВ одинаково направлены (как при подключении б-1, так и б-2). Значит ток в АВ равен 2I.
Применим к АВ закон Ома: 2I=2U/R. То есть R=U/I.
Поставим амперметр-1 между +б-1 и точкой А и амперметр-2 между -б-2 и точкой В. Они будут показывать одинаковые токи 4I.
Батареи соединены последовательно. Следовательно, напряжение между А и В равно 2U.
Тогда сопротивление (полное) между А и В по Ому r=2U/4I, то есть R/2.
Рассуждение остается верным для любого сколь угодно большого радиуса круга, сделанного из сетки.



> Если сетка бесконечна, то сопротивление бесконечно,

Здесь Вы, похоже, правы. Рассмотрим такую сетку. Плоскость покрыта тонкими кольцами с очень высокой проводимостью. Между центром первого кольца и первым кольцом одна проволочка с сопртивлением 1 Ом. Между первым и вторым кольцами - 2 такие же проволочки, между вторым и третьим - 3 и т.д.
Тогда общее сопротивление 1+1/2+1/3+... . То есть у бесконечной сетки ("актуальная бесконечность") сопротивление бесконечно.
Поэтому задачу лучше формулировать так, как в 17436.




> > Если сетка бесконечна, то сопротивление бесконечно,

> Здесь Вы, похоже, правы. Рассмотрим такую сетку. Плоскость покрыта тонкими кольцами с очень высокой проводимостью. Между центром первого кольца и первым кольцом одна проволочка с сопртивлением 1 Ом. Между первым и вторым кольцами - 2 такие же проволочки, между вторым и третьим - 3 и т.д.
> Тогда общее сопротивление 1+1/2+1/3+... . То есть у бесконечной сетки ("актуальная бесконечность") сопротивление бесконечно.

Если рассмотреть бесконечную квадратную сетку, которая была рассмотрена в самом начале, то ее сопротивление (от точки А до бесконечной переферии) будет задаваться рядом
(1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...)/4
А такой ряд расходится, т.е. и в этом случае сопротивление бесконечно.


> > Если сетка бесконечна, то сопротивление бесконечно, а ток = 0, и соответственно, I/4 = 0. Поэтому "подвести ток" означает приложить бесконечное напряжение. В то же время в задаче напряжение между А и В может быть вполне конечным. И как вообще можно сравнивать токи, соответствующие разным напряжениям? Буквы (I) одинаковые, а значения?

> Замечание о сопротивлении бесконечной сетки интересное.
> Поэтому предлагаю переформулировать задачу так. Сетка конечна и имеет форму круга, радиус которого в миллион (миллиард, ...) раз больше расстояния АВ. Тогда сопротивление между точкой А(В) и периметром сетки (проложим по периметру толстый проводник) наверняка конечно. Вопрос прежний - о сопротивлении между А и В.
> Подключаем к А + батареи-1 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из А, потечет ток I.

Оценим ток I: наноамперы

> Отключаем батарею-1. Подключаем к В - батареи-2 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из В, потечет ток I.

Оценим ток I: снова наноамперы

> Включаем обе батареи. Токи в АВ одинаково направлены (как при подключении б-1, так и б-2). Значит ток в АВ равен 2I.

Подключенные две батареи указанным вами способом представляют собой не что иное, как две последовательно соединенные батареи, клеммы которых соединены с А и В. Ток пойдет по коротким путям. Оценим ток: амперы!
Итак, это разные токи, поэтому все последующие вычисления некорректны.

> Применим к АВ закон Ома: 2I=2U/R. То есть R=U/I.
> Поставим амперметр-1 между +б-1 и точкой А и амперметр-2 между -б-2 и точкой В. Они будут показывать одинаковые токи 4I.
> Батареи соединены последовательно. Следовательно, напряжение между А и В равно 2U.
> Тогда сопротивление (полное) между А и В по Ому r=2U/4I, то есть R/2.
> Рассуждение остается верным для любого сколь угодно большого радиуса круга, сделанного из сетки.



> > > Если сетка бесконечна, то сопротивление бесконечно, а ток = 0, и соответственно, I/4 = 0. Поэтому "подвести ток" означает приложить бесконечное напряжение. В то же время в задаче напряжение между А и В может быть вполне конечным. И как вообще можно сравнивать токи, соответствующие разным напряжениям? Буквы (I) одинаковые, а значения?

> > Замечание о сопротивлении бесконечной сетки интересное.
> > Поэтому предлагаю переформулировать задачу так. Сетка конечна и имеет форму круга, радиус которого в миллион (миллиард, ...) раз больше расстояния АВ. Тогда сопротивление между точкой А(В) и периметром сетки (проложим по периметру толстый проводник) наверняка конечно. Вопрос прежний - о сопротивлении между А и В.
> > Подключаем к А + батареи-1 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из А, потечет ток I.

> Оценим ток I: наноамперы
Ну и что?
> > Отключаем батарею-1. Подключаем к В - батареи-2 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из В, потечет ток I.

> Оценим ток I: снова наноамперы
Ну и что?
> > Включаем обе батареи. Токи в АВ одинаково направлены (как при подключении б-1, так и б-2). Значит ток в АВ равен 2I.

> Подключенные две батареи указанным вами способом представляют собой не что иное, как две последовательно соединенные батареи, клеммы которых соединены с А и В.
Да.
> Ток пойдет по коротким путям.
?
> Оценим ток: амперы!
Ну и что?
> Итак, это разные токи, поэтому все последующие вычисления некорректны.

А вот это для меня уже полная загадка. Рассматриваем черный ящик с тремя клеммами: А,В и О (О - это периферия сетки, потенциал 0). Нужно определить сопротивление между клеммами А и В. Вставляем амперметр и вольтметр, делим показания, получаем ответ. Какое нам дело до того, что где-то в цепи наноамперы, а где-то килоамперы?

> > Применим к АВ закон Ома: 2I=2U/R. То есть R=U/I.
> > Поставим амперметр-1 между +б-1 и точкой А и амперметр-2 между -б-2 и точкой В. Они будут показывать одинаковые токи 4I.
> > Батареи соединены последовательно. Следовательно, напряжение между А и В равно 2U.
> > Тогда сопротивление (полное) между А и В по Ому r=2U/4I, то есть R/2.
> > Рассуждение остается верным для любого сколь угодно большого радиуса круга, сделанного из сетки.



> > > > > > Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

> > > > > Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

> > > > Так ведь именно это мы и доказали. Слова "разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки" не имеют смысла, если (как в условии задачи) число ячеек бесконечно велико! И если кто-то от Вас требует решения, Вы вправе потребовать уточнения этого вопроса. Не меняя условия, этого сделать нельзя.

> > > > > Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

> > > > >
> > > > >

> > > > > Сопротивление одной стороны R. Цепь бесконечная.

> > > > По дороге домой подумаю.

> > > Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление то
ка (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.

> > Что-то не доходит, откуда следует "суперпозиция". Это следствие Кирхгофа?

> Можно считать, что это следствие Кирхгофа. Хотя точнее - Кирхгоф есть следствие суперпозиции.

> > Мне кажется, что вполне естественно предположить, что по элементу АВ течет ток I/4 а не I/2.

> Так оно и есть, если источник подключен только к точке А. Если же в В подключен источник обратной полярности (потенциал на бемконечности принимаем за 0), то еше I/4 в ту же сторону.

> > А если между точками А и В будет 2 звена? Какая будет "суперпозиция"?

> А это совсем другая песня...

Для двух звеньев рассмотренное выше решение в лоб не проходит, так как 2 звена нельзя выделить в качестве отдельного элемента, то есть схему нельзя представить в виде "два звена+все остальное". Что касается суперпозиции. Это следствие линейности уравнений Кирхгофа по отношению к токам. Ток в любом элементе схемы можно представить как сумму токов по некоторым ее контурам.


> > > > > > > Проблемы, какую сторону у ячейки разорвать, нет. Проблема в том, как, например, с помощью генератора случайных чисел (или иным способом)выбрать случайную ячейку. "Вот в чем вопрос"

> > > > > > Дальше спорить бесполезно... Мне и самому задача не нравится, но надо её решить, или доказать что она некорректная.

> > > > > Так ведь именно это мы и доказали. Слова "разрывается одна сторона выбранной случайно ячейки" не имеют смысла, если (как в условии задачи) число ячеек бесконечно велико! И если кто-то от Вас требует решения, Вы вправе потребовать уточнения этого вопроса. Не меняя условия, этого сделать нельзя.

> > > > > > Предлагаю для начала найти сопротивление между A и B в такой цепи:

> > > > > >
> > > > > >

> > > > > > Сопротивление одной стороны R. Цепь бескон
ечная.

> > > > Это - задача Польских физических олимпиад. Решение такое (не мое, авторское). Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4. Рассмотрим теперь обратное направление тока (ток собирается к точке В, соседней с точкой А). Все то же самое, только направления токов везде противоположные. Суперпозиция этих двух картин дает распределение тока по сетке при его подводе в точку А и отводе в точке В. Значит по элементу АВ течет ток I/4+I/4=I/2. Оставшаяся часть I/2 протекает по остальным элементам сетки, которые включены параллельно АВ. Поэтому сопротивление оставшейся части сетки равно сопротивлению выброшенного элемента.

> > > Что-то не доходит, откуда следует "суперпозиция". Это следствие Кирхгофа?

> > Можно считать, что это следствие Кирхгофа. Хотя точнее - Кирхгоф есть следствие суперпозиции.

> Не можете подробнее расписать?

> > > Мне кажется, что вполне естественно предположить, что по элементу АВ течет ток I/4 а не I/2.

> > Так оно и есть, если источник подключен только к точке А. Если же в В подключен источник обратной полярности (потенциал на бемконечности принимаем за 0), то еше I/4 в ту же сторону.

> ЧтО мне не нравится. В объяснении читаем:
> "Рассмотрим растекание тока от точки А во все стороны по бесконечной сетке (к точке А подводится ток I). По каждому соседнему с точкой А сопротивлению течет ток I/4."
> Если сетка бесконечна, то сопротивление бесконечно, а ток = 0, и соответственно, I/4 = 0. Поэтому "подвести ток" означает приложить бесконечное напряжение. В то же время в задаче напряжение между А и В может быть вполне конечным. И как вообще можно сравнивать токи, соответствующие разным напряжениям? Буквы (I) одинаковые, а значения?

Могу согласиться. Все эти задачи с бесконечностями требуют конечно корректной постановки. Надо бы брать сетку конечную размера АхА и смотреть пределы при А стремящемся к бесконечности.


Вы правы. Снимаю поспешное 17440 и вариант решения, который я предлагал.


> > > Подключаем к А + батареи-1 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из А, потечет ток I.

> > Оценим ток I: наноамперы
> Ну и что?
> > > Отключаем батарею-1. Подключаем к В - батареи-2 с напряжением U. Второй (заземленный) полю подключаем к периферии сетки. По каждому из проводников, выходящих из В, потечет ток I.

> > Оценим ток I: снова наноамперы
> Ну и что?
> > > Включаем обе батареи. Токи в АВ одинаково направлены (как при подключении б-1, так и б-2). Значит ток в АВ равен 2I.

> > Подключенные две батареи указанным вами способом представляют собой не что иное, как две последовательно соединенные батареи, клеммы которых соединены с А и В.
> Да.
> > Ток пойдет по коротким путям.
> ?

Нужно разъяснение этим словам? Самый короткий путь между А и В - это одно звено R. Тот же порядок - в ближайшей окрестности.

> > Оценим ток: амперы!
> Ну и что?
> > Итак, это разные токи, поэтому все последующие вычисления некорректны.
>
> А вот это для меня уже полная загадка. Рассматриваем черный ящик с тремя клеммами: А,В и О (О - это периферия сетки, потенциал 0). Нужно определить сопротивление между клеммами А и В. Вставляем амперметр и вольтметр, делим показания, получаем ответ. Какое нам дело до того, что где-то в цепи наноамперы, а где-то килоамперы?

> > > Применим к АВ закон Ома: 2I=2U/R. То есть R=U/I.
> > > Поставим амперметр-1 между +б-1 и точкой А и амперметр-2 между -б-2 и точкой В. Они будут показывать одинаковые токи 4I.
> > > Батареи соединены последовательно. Следовательно, напряжение между А и В равно 2U.
> > > Тогда сопротивление (полное) между А и В по Ому r=2U/4I, то есть R/2.
> > > Рассуждение остается верным для любого сколь угодно большого радиуса круга, сделанного из сетки.

В черный ящик с тремя клеммами можем поместить любые комбинации резисторов. Получим отсчеты амперметра и вольтметра. Но без знания "внутренности ящика" ничего сказать о распределении токов внутри ящика мы не можем. Пример: пусть батарея А подключена; потенциал точки В до и после подсоединения второй батареи будет разным. Это значит, что токи будут совершенно разными. Какие 2I или 4I?
Давайте сделаем так. Я нарисовал рисунок под вашу схему, а вы опишите пошагово все операции, и запишите аккуратно формулы (обратите внимание на обозначения, это важно).


> Могу согласиться. Все эти задачи с бесконечностями требуют конечно корректной постановки. Надо бы брать сетку конечную размера АхА и смотреть пределы при А стремящемся к бесконечности.

Конечно.
Если чуть-чуть изменить задачу, то решение тоже изменится, и возникает вопрос: какова общая методика поиска решений?
Для примера приведу сетку, у которой удалено 3 звена. Чему равно сопротивление между А и В (сетка - бесконечная)?



> Вы правы. Снимаю поспешное 17440 и вариант решения, который я предлагал.

Я послал сообщение 17457 до того, как увидел это ваше сообщение. Сказанное там остается в силе. Кое-какие мысли по другому подходу к решению у меня есть, но сырые. Задача неплохая, считаю, что стОит повозиться.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100