Зачем нужны инварианты электромагнитного поля?

Сообщение №17078 от bilbo 24 января 2003 г. 23:35
Тема: Зачем нужны инварианты электромагнитного поля?

Добрый день!
Незадачливый математик будет благодарен вам за ответ. На множежестве возможных значений дважды ковариантного тензора в пространстве Минковского есть много различных структур.
А в физике известны такие вещественнозначные функции как инварианты электромагнитного поля (которые относятся к первому абзацу). Но какое отношение они имеют к электромагнитным полям, когда такие же функции можно рассмотреть для произвольного антисимметричного тензора ранга (0,2). И зачем они нужны в физике? Буду рад ссылкам на соответствующие руководства.
С уважением, Ромка Низкий.
(СПб)


Отклики на это сообщение:

У электромагнитного поля два инварианта E^2-H^2 и --- коэффициенты
характеристического многочлена. Физический (и математический) смысл их
заключается в том, что они не меняются при лоренцевых преобразованиях, и
в зависимости от значения этих величин тензор электромагнитного поля
приводится к одной из трех канонических форм.

Из литературы могу порекомендовать книгу:
Дубровин, Новиков, Фоменко ``Современная геометрия: методы и приложения"



> У электромагнитного поля два инварианта E^2-H^2 и --- коэффициенты
> характеристического многочлена. Физический (и математический) смысл их
> заключается в том, что они не меняются при лоренцевых преобразованиях, и
> в зависимости от значения этих величин тензор электромагнитного поля
> приводится к одной из трех канонических форм.

То что, что некоторые величины не меняются при преобразованиях из некоторого класса - есть часть определений инвариантов тензора. Совсем необязательно для этого тензору быть электромагнитным. А для того, чтобы привести тензор к одной из трех канонических форм - достаточно одной функции, объединяющей эти два инварианта.
Неужели инварианты нужны только за этим? Неужели нет никакой взаимосвязи между ними и уравнениями Максвелла?


> То что, что некоторые величины не меняются при преобразованиях из некоторого класса - есть часть определений инвариантов тензора. Совсем необязательно для этого тензору быть электромагнитным.

Конечно. Но в электродинамике рассматривается тот тензор, который описывает поле, а никакой другой.

> А для того, чтобы привести тензор к одной из трех канонических форм - достаточно одной функции, объединяющей эти два инварианта.
> Неужели инварианты нужны только за этим? Неужели нет никакой взаимосвязи между ними и уравнениями Максвелла?

Уравнения Максвелла, как известно, можно записать в тензорном виде. Одна их пара просто выражает тривиальный факт, что тензор электромагнитного поля является ротором четырехвектора потенциала, а следовательно его дивергенция равна нулю. Вторая пара по-сути является просто определением четырехвектора тока.

И что? Какие с этим проблемы?


На шестимерном пространстве значений тензоров типа (0,2) заданы две функции, которые называются инвариантами электромагнитного поля и которые хочется исследовать.

Выясняется, что, во-первых, название не совсем точно - можно было их назвать инвариантами тензора, так как в определении не используется то, что тензор является решением уравнений Максвелла (и таким образом определение вообще оказывается за пределами физики). А во-вторых, мне не знакомо пока ни одно их свойство, кроме содержащихся в определении. Зачем тогда они рассматриваются в физике, когда сужествует много других инвариантов?

Например, есть пара пришедших в голову вопросов, ответы на которые непонятно кому нужны (но если кому-то известны ответы на них, то сообщите, пожалуйста).

1. Какие ограничения накладывают уравнения Максвелла (в вакууме) на инварианты электромагнитного поля в вакууме (как функции R^4->R)?

2. Можно ли взять решение уравнений Максвелла, и немного его пошевелить, чтобы при этом оно осталось решением, а значения инвариантов во всех точках осталось прежним?

Заранее спасибо.
С уважением, Ромка Низкий (Санкт-Петербург).


> Неужели инварианты нужны только за этим? Неужели нет никакой взаимосвязи между ними и уравнениями Максвелла?

Взаимосвязь между ними такая:
уравнения Максвелла в отсутствие зарядов получаются варьированием
потенциалов поля если в качестве лагранжиана выбрать $const(E^2 - H^2)$.


> На шестимерном пространстве значений тензоров типа (0,2) заданы две функции, которые называются инвариантами электромагнитного поля и которые хочется исследовать.

> Выясняется, что, во-первых, название не совсем точно - можно было их назвать инвариантами тензора, так как в определении не используется то, что тензор является решением уравнений Максвелла (и таким образом определение вообще оказывается за пределами физики).

Ну не используется. Что в этом страшного? Мы же конкретный тензор рассматриваем, а не любой.

Что оказывается за пределами физики? Общие определения инвариантов тензоров? Ну и пусть. Физика просто использует инвариантность этих величин.

> А во-вторых, мне не знакомо пока ни одно их свойство, кроме содержащихся в определении. Зачем тогда они рассматриваются в физике, когда сужествует много других инвариантов?

Наверное, из других инвариантов нельзя сделать таких простых и практически полезных выводов. Но то, что будет инвариантом любого тензора, очевидно будет и инвариантом поля.

Или я чего-то не понял в Ваших вопросах?


Простите, но я в очередной раз попробую повторить вопрос.

> Ну не используется. Что в этом страшного? Мы же конкретный тензор рассматриваем, а не любой.

> Что оказывается за пределами физики? Общие определения инвариантов тензоров? Ну и пусть. Физика просто использует инвариантность этих величин.

ГДЕ она их ИСПОЛЬЗУЕТ?

> > А во-вторых, мне не знакомо пока ни одно их свойство, кроме содержащихся в определении. Зачем тогда они рассматриваются в физике, когда сужествует много других инвариантов?

> Наверное, из других инвариантов нельзя сделать таких простых и практически полезных выводов. Но то, что будет инвариантом любого тензора, очевидно будет и инвариантом поля.

КАКИХ ВЫВОДОВ? О том и речь.


> > Физика просто использует инвариантность этих величин.

> ГДЕ она их ИСПОЛЬЗУЕТ?

Очевидно, при решении некоторых задач на переход в другую систему отсчета. Чем выписывать полную формулу преобразования тензора, может оказаться легче воспользоваться соотношением, следующим из инвариантности некоторой простой величины.

> > Наверное, из других инвариантов нельзя сделать таких простых и практически полезных выводов. Но то, что будет инвариантом любого тензора, очевидно будет и инвариантом поля.

> КАКИХ ВЫВОДОВ? О том и речь.

Ну возьмите, например, тот простой вывод, что при переходе из системы отсчета, в которой наблюдалась чистая электростатика, в систему отсчета, движущуюся относительно нее, будет наблюдаться появление магнитного поля.


В результате обсуждения пришли к выводу, что инварианты электромагнитного поля хороши только тем, что сохраняются при лоренцевых преобразованиях.
А теперь расмотрим не только лоренцевы преобразования.
Встречались ли кому-нибудь значения тензора электромагнитного поля, заданные в криволинейных координатах?


> > КАКИХ ВЫВОДОВ? О том и речь.

> Ну возьмите, например, тот простой вывод, что при переходе из системы отсчета, в которой наблюдалась чистая электростатика, в систему отсчета, движущуюся относительно нее, будет наблюдаться появление магнитного поля.

Приведите пример экспериментального подтверждения данного утверждения.

Группа Естественной Физики


> > > КАКИХ ВЫВОДОВ? О том и речь.

> > Ну возьмите, например, тот простой вывод, что при переходе из системы отсчета, в которой наблюдалась чистая электростатика, в систему отсчета, движущуюся относительно нее, будет наблюдаться появление магнитного поля.

> Приведите пример экспериментального подтверждения данного утверждения.

"Группа Естественной Физики" приглашается на
Форум новых теорий


> > > > КАКИХ ВЫВОДОВ? О том и речь.

> > > Ну возьмите, например, тот простой вывод, что при переходе из системы отсчета, в которой наблюдалась чистая электростатика, в систему отсчета, движущуюся относительно нее, будет наблюдаться появление магнитного поля.

> > Приведите пример экспериментального подтверждения данного утверждения.

> "Группа Естественной Физики" приглашается на
> Форум новых теорий
>

Спасибо за приглашение, но я попросил предъявить фундаментальный эксперимент подтверждающий столь фундаментальное свойство окружающей действительности, заявленное официальной теорией.

Группа Естественной Физики


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100