Почему производные второго порядка?

Сообщение №16265 от epros 07 января 2003 г. 14:34
Тема: Почему производные второго порядка?

Известно, что большинство физических процессов описывается (может быть описано) системами дифференциальных уравнений. В общем случае, конечно, в них могут встречаться производные любых порядков. Но есть некоторые области, где вторые производные почему-то являются определяющими.

Началось это, наверное, с Ньютоновской механики. Сегодня после общеобразовательной школы многие настолько проникаются уважением к ней, что считают ее образцом физической теории и готовы биться за нее со всеми физиками-теоретиками вместе с их теориями относительности, квантовыми механиками и прочими современными концепциями. Наверное им трудно представить, насколько революционной была в свое время эта концепция (НМ).

Действительно, в аристотелевских представлениях, согласно которым тела движутся только под действием некой изначально приданной им "силе", которая постепенно растрачивается, есть определенная логика. Пусть эти представления и не были доведены до достаточно строгих математических формализмов, в принципе это можно было бы сделать. Но физика пошла другим путем. Ньютоновская механика пересмотрела традиционные понятия: движение стало самодостаточной сущностью, не требующей для своего объяснения внешних воздействий (первый закон), а сила из передаваемой, накапливаемой и растрачиваемой субстанции превратилась в моментальную характеристику внешнего воздействия (второй закон).

И именно ньютоновская механика впервые декларировала, что внешние воздействия (силы), определяющие характер движения системы, определяют именно вторые производные координаты по времени. Эта особенность НМ, естественно, отразилась и на разработанном позднее лагранжевом формализме: лагранжиан системы записывается как функция только координат и их первых производных по времени, а вторые производные оказываются уже результатом применения принципа наименьшего действия (естественно, в рассмотрении более высоких производных необходимости уже не возникает).

Эту любовь к производным не более второго порядка можно было бы счесть исключительной особенностью НМ, если бы она не проявилась и в совершенно иных концепциях. Например - в ОТО. На первый взгляд может показаться, что ОТО унаследовала свои особенности от НМ. Но эта точка зрения не выдерживает критики: ОТО выводится скорее из геометрических соображений. О втором законе мы при этом даже не вспоминаем, по крайней мере до тех пор, пока не начинаем сравнивать выводы ОТО и НМ для малых скоростей и слабых гравитационных полей.

Фактически, "любовь ко вторым производным" заложена уже в дифференциальной геометрии (на которой построена ОТО): тензор кривизны записывается именно через вторые производные метрического тензора по координатам. Странно было бы считать, что эта чисто геометрическая особенность как-то связана со вторым законом Ньютона: в конце концов, если мы выражаем радиус сферы через метрический тензор, записанный в координатах φ и θ (долгота и широта), почему это должно быть как-то связано с механикой?

Вот я и думаю: неужели это какая-то особенность человеческого сознания, заставляющая его придавать значение производным по вторую включительно и отмахиваться от остальных? Может быть это связано с тем, что нам легко представить гладкие функции (дважды дифференцируемые), в то время как отсутствие у функции третьей производной, как нам кажется, несущественно отражается на ее виде? Только не говорите, что это особенность "устройства природы" :-)


Отклики на это сообщение:

> И именно ньютоновская механика впервые декларировала, что внешние воздействия (силы), определяющие характер движения системы, определяют именно вторые производные координаты по времени. Эта особенность НМ, естественно, отразилась и на разработанном позднее лагранжевом формализме: лагранжиан системы записывается как функция только координат и их первых производных по времени, а вторые производные оказываются уже результатом применения принципа наименьшего действия (естественно, в рассмотрении более высоких производных необходимости уже не возникает).

> Вот я и думаю: неужели это какая-то особенность человеческого сознания, заставляющая его придавать значение производным по вторую включительно и отмахиваться от остальных? Может быть это связано с тем, что нам легко представить гладкие функции (дважды дифференцируемые), в то время как отсутствие у функции третьей производной, как нам кажется, несущественно отражается на ее виде? Только не говорите, что это особенность "устройства природы" :-)


Хотелось бы отметить, что уравнения движения в том виде, в котором они записаны
через вторые производные обеспечивают в конечном итоге выполнение законов
сохранения энергии, импульса и момента импульса. Эти законы связаны как
известно соответственно с однородностью времени, пространства и изотропией
пространства. Именно эти свойства времени и пространства и являются
фундаментальными для Ньютоновской механики. Все остальное - следствия.

Лагранжев формализм и принцип наименьшего действия позволяют получить в
качестве следствий уравнения движения и сохранение соответствующих величин.
Поэтому Ньютоновская механика - это следствие более общих принципов и
это странное слово "любовь" (ко вторым производным) тут не причем.

Приведите пожалуйста уравнения движения через производные высших порядков
или вообще не вводя понятие производной, но так чтобы в классической модели
основные фундаментальные свойства времени и пространства были автоматически
удовлетворены???

Nemo


Сдается мне, что Вы в чем-то ошибаетесь.

> Хотелось бы отметить, что уравнения движения в том виде, в котором они записаны через вторые производные обеспечивают в конечном итоге выполнение законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Законы сохранения связаны с соответствующими симметриями лагранжиана. С порядком производных в уравнениях движения это вряд ли как-то связано. Полагаю, что к любой системе дифференциальных уравнений можно подобрать функцию, которая будет играть роль лагранжиана в соответствующей формулировке "принципа наименьшего действия" именно для этой системы уравнений. Аналогично, в соответствии с видом этого "лагранжиана" можно будет вывести формулы для интегралов движения - т.е. найти соответстующие сохраняющиеся величины.

> Эти законы связаны как известно соответственно с однородностью времени, пространства и изотропией пространства.

Да, однородность времени и пространства, а также изотропность последнего - это и есть соответствующие симметрии лагранжиана: по отношению к сдвигу по времени, к пространственному сдвигу и к повороту соответственно. Есть еще одна важная симметрия, которую Вы забыли упомянуть: относительность движения, связанная с возможностью перехода в другую инерциальную СО. В НМ она соответствует симметричности лагранжиана по отношению к преобразованиям Галилея, а в СТО - по отношению к преобразованиям Лоренца.

> Именно эти свойства времени и пространства и являются фундаментальными для Ньютоновской механики. Все остальное - следствия.

Я бы сказал, что перечисленные симметрии определяют кинематику, но ничего нам не говорят о динамике. Во всяком случае, второй закон Ньютона из них вряд ли можно вывести.

> Лагранжев формализм и принцип наименьшего действия позволяют получить в качестве следствий уравнения движения и сохранение соответствующих величин. Поэтому Ньютоновская механика - это следствие более общих принципов и это странное слово "любовь" (ко вторым производным) тут не причем.

Если известен лагранжиан, уравнения движения, естественно, выводятся. А если все, что известно о лагранжиане, это только перечисленные симметрии? Под эти требования подойдет множество различных вариантов лагранжианов, для каждого из которых выведутся свои уравнения движения.

А вот чтобы получились именно уравнения в производных не выше второй, нужно потребовать, чтобы лагранжиан был функцией только координат и их первых производных.

> Приведите пожалуйста уравнения движения через производные высших порядков или вообще не вводя понятие производной, но так чтобы в классической модели основные фундаментальные свойства времени и пространства были автоматически удовлетворены???

Думаю, что это можно сделать (хотя и технически неудобно в рамках форума). Для этого нужно просто записать лагранжиан как функцию не только координат и скоростей, но и ускорений. Симметрий это по-моему никак не нарушит. И в результате применения принципа наименьшего действия получатся уравнения движения с производными выше второго порядка. Конечно, это уже будет совсем не НМ, а нечто заведомо альтернативное.


> Известно, что большинство физических процессов описывается (может быть описано) системами дифференциальных уравнений. В общем случае, конечно, в них могут встречаться производные любых порядков. Но есть некоторые области, где вторые производные почему-то являются определяющими.

> Началось это, наверное, с Ньютоновской механики. Сегодня после общеобразовательной школы многие настолько проникаются уважением к ней, что считают ее образцом физической теории и готовы биться за нее со всеми физиками-теоретиками вместе с их теориями относительности, квантовыми механиками и прочими современными концепциями. Наверное им трудно представить, насколько революционной была в свое время эта концепция (НМ).

> Действительно, в аристотелевских представлениях, согласно которым тела движутся только под действием некой изначально приданной им "силе", которая постепенно растрачивается, есть определенная логика. Пусть эти представления и не были доведены до достаточно строгих математических формализмов, в принципе это можно было бы сделать. Но физика пошла другим путем. Ньютоновская механика пересмотрела традиционные понятия: движение стало самодостаточной сущностью, не требующей для своего объяснения внешних воздействий (первый закон), а сила из передаваемой, накапливаемой и растрачиваемой субстанции превратилась в моментальную характеристику внешнего воздействия (второй закон).

> И именно ньютоновская механика впервые декларировала, что внешние воздействия (силы), определяющие характер движения системы, определяют именно вторые производные координаты по времени. Эта особенность НМ, естественно, отразилась и на разработанном позднее лагранжевом формализме: лагранжиан системы записывается как функция только координат и их первых производных по времени, а вторые производные оказываются уже результатом применения принципа наименьшего действия (естественно, в рассмотрении более высоких производных необходимости уже не возникает).

> Эту любовь к производным не более второго порядка можно было бы счесть исключительной особенностью НМ, если бы она не проявилась и в совершенно иных концепциях. Например - в ОТО. На первый взгляд может показаться, что ОТО унаследовала свои особенности от НМ. Но эта точка зрения не выдерживает критики: ОТО выводится скорее из геометрических соображений. О втором законе мы при этом даже не вспоминаем, по крайней мере до тех пор, пока не начинаем сравнивать выводы ОТО и НМ для малых скоростей и слабых гравитационных полей.

> Фактически, "любовь ко вторым производным" заложена уже в дифференциальной геометрии (на которой построена ОТО): тензор кривизны записывается именно через вторые производные метрического тензора по координатам. Странно было бы считать, что эта чисто геометрическая особенность как-то связана со вторым законом Ньютона: в конце концов, если мы выражаем радиус сферы через метрический тензор, записанный в координатах φ и θ (долгота и широта), почему это должно быть как-то связано с механикой?

> Вот я и думаю: неужели это какая-то особенность человеческого сознания, заставляющая его придавать значение производным по вторую включительно и отмахиваться от остальных? Может быть это связано с тем, что нам легко представить гладкие функции (дважды дифференцируемые), в то время как отсутствие у функции третьей производной, как нам кажется, несущественно отражается на ее виде? Только не говорите, что это особенность "устройства природы" :-)

Вопрос хороший, но Вы как-то уж очень субъективно его рассматриваете. Не мы же, в самом деле, навязали природе вторые производные. Думаю, что это именно "устройство природы". Кроме того, уравнений первого порядка в физике не меньше, чем второго (например, уравнения Максвелла и Дирака). Может быть, вопрос лучше поставить так: почему в природе действуют законы, для описания которых достаточно уравнений не выше второго порядка?
С уважением, Пав-л.


> Сдается мне, что Вы в чем-то ошибаетесь.

> > Хотелось бы отметить, что уравнения движения в том виде, в котором они записаны через вторые производные обеспечивают в конечном итоге выполнение законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

> Законы сохранения связаны с соответствующими симметриями лагранжиана. С порядком производных в уравнениях движения это вряд ли как-то связано. Полагаю, что к любой системе дифференциальных уравнений можно подобрать функцию, которая будет играть роль лагранжиана в соответствующей формулировке "принципа наименьшего действия" именно для этой системы уравнений. Аналогично, в соответствии с видом этого "лагранжиана" можно будет вывести формулы для интегралов движения - т.е. найти соответстующие сохраняющиеся величины.

Не в чем я не ошибаюсь. Возьмите, например, вывод закона сохранения энергии:

1) Вычисляем полную производную от функции Лагранжа с учетом отсутствия
явной зависимости от времени.

2) В выражении полученном в п. 1) имеется производная по времени от частной
производной функции Лагранжа по обобщенной скорости. Заменяем эту
производную согласно уравнениям движения Эйлера-Лагранжа (которые
второго порядка), являющимися следствием принципа наименьшего действия.
Отсюда получаем сохранение разности функции Лагранжа и суммы произведений
обобщенных импульсов и координат. Эту разность называют энергией.

Вывод других законов сохранения тоже требует применения уравнений дыижения
Эйлера-Лагранжа. Можете проверить.

Таким образом одной однородностью и изотропией не обойтись. Нужны уравнения
движения.

> > Эти законы связаны как известно соответственно с однородностью времени, пространства и изотропией пространства.

> Да, однородность времени и пространства, а также изотропность последнего - это и есть соответствующие симметрии лагранжиана: по отношению к сдвигу по времени, к пространственному сдвигу и к повороту соответственно. Есть еще одна важная симметрия, которую Вы забыли упомянуть: относительность движения, связанная с возможностью перехода в другую инерциальную СО. В НМ она соответствует симметричности лагранжиана по отношению к преобразованиям Галилея, а в СТО - по отношению к преобразованиям Лоренца.

Я еще забыл упомянуть симметрию по отношению к отражению, которая в квантовой
нерелятивистской теории приводит к закону сохранения четности.

> > Именно эти свойства времени и пространства и являются фундаментальными для Ньютоновской механики. Все остальное - следствия.

> Я бы сказал, что перечисленные симметрии определяют кинематику, но ничего нам не говорят о динамике. Во всяком случае, второй закон Ньютона из них вряд ли можно вывести.

> > Лагранжев формализм и принцип наименьшего действия позволяют получить в качестве следствий уравнения движения и сохранение соответствующих величин. Поэтому Ньютоновская механика - это следствие более общих принципов и это странное слово "любовь" (ко вторым производным) тут не причем.

> Если известен лагранжиан, уравнения движения, естественно, выводятся. А если все, что известно о лагранжиане, это только перечисленные симметрии? Под эти требования подойдет множество различных вариантов лагранжианов, для каждого из которых выведутся свои уравнения движения.

Вид Лагранжиана всегда известен из общих соображений. Если Вы используете
общепринятое определение обобщенной скорости и координаты, то вид
Лагранжиана будет единственным. Если Вы используете свое собственное
определение обобщенных координат и скоростей, то тогда выведутся другие
уравнения движения. Но для других величин, а не для тех обобщенных координат
и скоростей, которые общеприняты.

> А вот чтобы получились именно уравнения в производных не выше второй, нужно потребовать, чтобы лагранжиан был функцией только координат и их первых производных.

> > Приведите пожалуйста уравнения движения через производные высших порядков или вообще не вводя понятие производной, но так чтобы в классической модели основные фундаментальные свойства времени и пространства были автоматически удовлетворены???

> Думаю, что это можно сделать (хотя и технически неудобно в рамках форума). Для этого нужно просто записать лагранжиан как функцию не только координат и скоростей, но и ускорений. Симметрий это по-моему никак не нарушит. И в результате применения принципа наименьшего действия получатся уравнения движения с производными выше второго порядка. Конечно, это уже будет совсем не НМ, а нечто заведомо альтернативное.

Сделать то можно при новом определении обобщенных скоростей и координат,
но эта альтернативная механика будет изоморфна Ньтоновской.
Оперируя с другими величинам (не обобщенными скоростями и координатами), она
будет давать те же выводы, но только на своем языке. Единственной пользой от
нее будет только, то, что она может быть упростит решение ряда сложных задач,
т.е. может тривилизовать некоторые нетривиальные следствия Ньтоновской
формулировки. Но конечно же некоторые задачи решаемые достаточно посто в
рамках Ньтоновской формулировки будут усложнены, хотя это нельзя доказать
заранее.

Nemo


> 2) В выражении полученном в п. 1) имеется производная по времени от частной
> производной функции Лагранжа по обобщенной скорости. Заменяем эту
> производную согласно уравнениям движения Эйлера-Лагранжа (которые
> второго порядка), являющимися следствием принципа наименьшего действия.
> Отсюда получаем сохранение разности функции Лагранжа и суммы произведений
> обобщенных импульсов и координат. Эту разность называют энергией.

Я имел ввиду сумму произведений обобщенных импульсов и производных от
обобщенных координат по времени, а не сумму произведений обобщенных
импульсов и координат.

Nemo


Может, дело в экономии мышления? Одной производной явно мало для описания, двух пока оказывается достаточно.
Тема очень интересная, спасибо.


> Может, дело в экономии мышления? Одной производной явно мало для описания, двух пока оказывается достаточно.
> Тема очень интересная, спасибо.

Есть такая точка зрения что мир трехмерен потому что двумерный мир был бы слишком "жестким" для развития, а более-чем-трех-мерный - слишком "свободным".
Если движение описывать уравнениями третьей степени и выше, то резко возрастает число степеней свободы системы. Для задания начальных условий в случае даже одной материальной точки понадобится не 6 параметров (координаты и скорость), а уже 9 (плюс ускорения) и больше. Для тела добавьте еще угловые скорости и ускорения.


> Только не говорите, что это особенность "устройства природы"

Почему Вы запрещаете так говорить ?
Именно так, особенность природы и сознания.
Мы сначала решаем задачи попроще: с 1 и 2 производными.
Таких задач много решили и написали про них. Поэтому Вам кажется,
что в физике
> есть области, где вторые производные почему-то являются определяющими

Но есть примеры и более сложных нелинейных задач, где не только 2 произв.
Про них меньше написано потому, что меньше решено.
Чтобы решить хочется упростить и линеаризовать.
Вот и создается впечатление у некоторых про
"любовь ко вторым производным" в физике .


Наличие старших производных и локальность гамильтониана (без весьма специальных ограничений) приведет к неограниченной скорости распространения сигнала, что не очень хорошо.


> Вопрос хороший, но Вы как-то уж очень субъективно его рассматриваете. Не мы же, в самом деле, навязали природе вторые производные. Думаю, что это именно "устройство природы". Кроме того, уравнений первого порядка в физике не меньше, чем второго (например, уравнения Максвелла и Дирака). Может быть, вопрос лучше поставить так: почему в природе действуют законы, для описания которых достаточно уравнений не выше второго порядка?

Хочу объяснить, почему я просил не говорить об особенностях "устройства природы". Дело в том, что это слишком легкая тема для беспредметного философствования. Любое явление или даже любую интерпретацию явлений можно обозвать "особенностями устройства природы". Легко придумать какую-нибудь концепцию плоской Земли ("Разве не видите, что она плоская?"), а потом на все вопросы: "Почему Землю следует считать плоской?", отвечать: "Такова особенность устройства природы" или что-нибудь в том же духе.

Труднее взять на себя, а не сваливать на бессловесную "природу", ответственность за собственные концепции. Почему мы предпочитаем евклидову геометрию? Легко свалить это на "естественный порядок вещей", на то самое "устройство природы". Легко, но безответственно. Труднее признать собственные проблемы с изучением дифференциальной геометрии. Но если эти проблемы преодолены (а для этого их надо сначала признать), в арсенале появляется новый инструмент описания этой самой "природы", существенно расширяющий спектр возможностей.

Так что я полагаю, что именно мы сами "навязали вторые производные", правда не "природе" (которой безразлично, в какую математику мы играем), а самим себе.


> Наличие старших производных и локальность гамильтониана (без весьма специальных ограничений) приведет к неограниченной скорости распространения сигнала, что не очень хорошо.

В НМ вроде нет ограничений на скорость распространения сигналов.


Мне кажется, во всем виновата человеческая лень ( в большинстве случаев основной двигатель прогресса :)). Для построения различных теорий в основном используется вариационный принцип. Т. е. надо найти точку стационарности некоего функционала. Самый простой (и убойный по своей силе) метод, это разложить функционал в ряд Тейлора до второго члена включительно. Меньше нет смысла, не будет ни максимума ни минимума ни перегиба. Дальше раскладывать - лень, если правильно подобрать точку разложения - все и так получится. Окрестность точки называется областью применения теории. (Там где действие велико получаем уравнения Ньютона, там где мало -уравнение Шредингера) Остается только найти связь между производными и теория готова.
Наиболее показательные примеры, использующие простейшие аппроксимации, на мой взгляд следующие:
1.элементарные теории теплопроводности и диффузии:
есть закон сохранения величины A :
dA/dt=divJa
Ja-ток величины А через поверхность
простейшие гипотизы о связи A и Ja:
Ja=-KgradA -тот же ряд Тейлора (дальше членов может быть немерено),
для температуры это закон Фурье, для диффузии закон Фика в результате получаются уравнения для вторых производных:
dA/dt=-divKgradA
2. Уравнения для механических коллебаний:
раскладываем силу в ряд Тейлора F=-kX, и получаем волновое уравнение.
3. Уравнение Навье-Стокса диссипативные силы опять же по Тейлору
и т.д.

При желании можно и дальнейшие производные учесть. Но зачем? И так все хорошо. Тут уж видимо "природа так устроена" :)


> Может, дело в экономии мышления?

Эта мысль мне нравится. Сам свое мышление очень люблю экономить :-)

> Одной производной явно мало для описания, двух пока оказывается достаточно.

В принципе, оба утверждения при желании можно оспорить:

1) Думаю, что аристотелевскую концепцию движения можно было бы довести до уравнений в первых производных. Если введенных параметров станет очевидным образом не хватать для адекватного описания наблюдаемых явлений, можно еще несколько дополнительных параметров ("физических величин") ввести. Помните, уравнения во вторых производных можно всегда свести к системам уравнений в первых производных, введя дополнительные параметры? А потом давайте забудем о том, что вторые производные существовали, и будем считать, что "так и было в природе".

2) С тем, что двух производных достаточно, тоже можно поспорить. Почему достаточно, с экспериментом все достаточно точно сходится? А может мы просто для того, чтобы добиться этого "сходства", слишком много лишних сущностей и взаимодействий между ними наплодили? Может при описании в третьих производных сущностей окажется втрое меньше? Как с Птолемеевской системой: можно было эпициклы за эпициклами придумывать, а вот ведь - взяли гелиоцентрическую систему и все стало просто безо всяких эпициклов.


> Вывод других законов сохранения тоже требует применения уравнений дыижения
> Эйлера-Лагранжа. Можете проверить.

Да я и не сомневаюсь.

> Таким образом одной однородностью и изотропией не обойтись. Нужны уравнения
> движения.

А чтобы их получить, нужен лагранжиан. Но даже если он нам неизвестен (известен только факт его симметрии), мы можем сказать, что соответствующий интеграл движения существует, хотя мы и не будем знать, чему он равен. Но это все не имеет отношение к порядку производных в уравнениях движения.

> Я еще забыл упомянуть симметрию по отношению к отражению, которая в квантовой
> нерелятивистской теории приводит к закону сохранения четности.

Точно :-) Зеркальная симметрия - тоже из числа фундаментальных. Правда, как оказалось, не настолько, чтобы не нарушаться в слабом взаимодействии. Но с точки зрения НМ она, конечно, "один из фундаментальных принципов устройства Вселенной".

> Вид Лагранжиана всегда известен из общих соображений. Если Вы используете
> общепринятое определение обобщенной скорости и координаты, то вид
> Лагранжиана будет единственным. Если Вы используете свое собственное
> определение обобщенных координат и скоростей, то тогда выведутся другие
> уравнения движения. Но для других величин, а не для тех обобщенных координат
> и скоростей, которые общеприняты.

В том то и дело, что существует "общепринятый" принцип, согласно которому лагранжиан записывается как функция обобщенных координат и скоростей, но не "обобщенных ускорений".

> Сделать то можно при новом определении обобщенных скоростей и координат,
> но эта альтернативная механика будет изоморфна Ньтоновской.
> Оперируя с другими величинам (не обобщенными скоростями и координатами), она
> будет давать те же выводы, но только на своем языке. Единственной пользой от
> нее будет только, то, что она может быть упростит решение ряда сложных задач,
> т.е. может тривилизовать некоторые нетривиальные следствия Ньтоновской
> формулировки. Но конечно же некоторые задачи решаемые достаточно посто в
> рамках Ньтоновской формулировки будут усложнены, хотя это нельзя доказать
> заранее.

Скорее не изоморфна НМ, а будет ее расширением. Можно, конечно, рассматривать это расширение как излишнее, а можно и поискать какие-нибудь "эффекты" которые мы не заметили в рамках НМ.


> > Таким образом одной однородностью и изотропией не обойтись. Нужны уравнения
> > движения.

> А чтобы их получить, нужен лагранжиан. Но даже если он нам неизвестен (известен только факт его симметрии), мы можем сказать, что соответствующий интеграл движения существует, хотя мы и не будем знать, чему он равен. Но это все не имеет отношение к порядку производных в уравнениях движения.

Уравнения движения записываются через лагранжиан причем сам он неизвестен.
Не нужно знать его вид. Уравнения Эйлера-Лагранжа - это следствие принципа
наименьшего действия и при их выводе вид лагранжиана не используется.
Используется только тот факт, что это функция обобщенных координат, скоростей
и времени.

Вы ошибаетесь. Исходя из одной симметрии мы ничего не можем сказать про
существование интегралов движения. Чтобы установить сохранение той или иной
величины в классической механике нужны не только соответствующии симметрии, но
и уравнения движения.

> В том то и дело, что существует "общепринятый" принцип, согласно которому лагранжиан записывается как функция обобщенных координат и скоростей, но не "обобщенных ускорений".

Мне кажется Вы не понимаете, что я имел ввиду. Хорошо давайте конкретизировать.
Рассматриваем лагранжиан как функцию обобщенных координат, скоростей и
ускорений. Из принципа наименьшего действия Вы тогда получите уравнения
движения отличные от уравнений Эйлера-Лагранжа. В эти уравнения действительно
войдут производные порядка выше второго. Однако, если Вы теперь попробуете,
используя эти новые уравнения движения, вычислить полную производную по
времени от функции Лагранжа, то при учете отсутствия явной зависимости от
времени последней Вы получите, что разность функции Лагранжа и суммы
произведений обобщенных импульсов и производных по времени от обобщенных
координат не является константой. Эксперементально же доказано, что эта
разность постоянна. Ее называют энергией (с точностью до знака). Более того
новые уравнения движения не обеспечивают сохранение также и никакой другой
величины, так как не удается выделить полную производную по времени, которая
равнялась бы нулю. Аналогично и с другими законами сохранения.
Можете проверить все это сами.

Вот почему уравнения движения Эйлера-Лагранжа, являющиеся дифференциальными
уравнениями второго порядка, являются единственно возможными уравнениями
движения в классической механике, которые обеспечивают выполнение
фундаментальных свойств времени и пространства в рамках классической модели.

И Вам никогда не удастся составить лагранжиан, введя в него что-то еще
помимо обобщенных координат и скоростей, да так чтобы уравнения движения
полученные из него принципом наименьшего действия удовлетворяли бы
фундаментальным свойствам времени и пространства.

Nemo


> В том то и дело, что существует "общепринятый" принцип, согласно которому лагранжиан записывается как функция обобщенных координат и скоростей, но не "обобщенных ускорений".

Вы поставили слово "общепринятый" в кавычки, чтобы подчеркнуть произвольность такого выбора переменных? Между тем из опыта известно, что именно координаты и скорости полностью определяют состояние механической системы.


> Действительно, в аристотелевских представлениях, согласно которым тела движутся только под действием некой изначально приданной им "силе", которая постепенно растрачивается, есть определенная логика.

Не кажется ли Вам, что эта "сила" есть ни что иное как импульс?


> > Вопрос хороший, но Вы как-то уж очень субъективно его рассматриваете. Не мы же, в самом деле, навязали природе вторые производные. Думаю, что это именно "устройство природы". Кроме того, уравнений первого порядка в физике не меньше, чем второго (например, уравнения Максвелла и Дирака). Может быть, вопрос лучше поставить так: почему в природе действуют законы, для описания которых достаточно уравнений не выше второго порядка?

> Хочу объяснить, почему я просил не говорить об особенностях "устройства природы". Дело в том, что это слишком легкая тема для беспредметного философствования. Любое явление или даже любую интерпретацию явлений можно обозвать "особенностями устройства природы". Легко придумать какую-нибудь концепцию плоской Земли ("Разве не видите, что она плоская?"), а потом на все вопросы: "Почему Землю следует считать плоской?", отвечать: "Такова особенность устройства природы" или что-нибудь в том же духе.

> Труднее взять на себя, а не сваливать на бессловесную "природу", ответственность за собственные концепции. Почему мы предпочитаем евклидову геометрию? Легко свалить это на "естественный порядок вещей", на то самое "устройство природы". Легко, но безответственно. Труднее признать собственные проблемы с изучением дифференциальной геометрии. Но если эти проблемы преодолены (а для этого их надо сначала признать), в арсенале появляется новый инструмент описания этой самой "природы", существенно расширяющий спектр возможностей.

Уважаемый Epros!

> Так что я полагаю, что именно мы сами "навязали вторые производные", правда не "природе" (которой безразлично, в какую математику мы играем), а самим себе.

>Труднее взять на себя, а не сваливать на бессловесную "природу", ответственность за собственные концепции. Почему мы предпочитаем евклидову геометрию?
>Так что я полагаю, что именно мы сами "навязали вторые производные", правда, не "природе" (которой безразлично, в какую математику мы играем), а самим себе.

Давайте по порядку. 1) Мы или материалисты, или идеалисты. Предполагаем первое. Тогда природа существует сама по себе, по каким-то своим законам, которые мы хотим открыть, описать и использовать.2) Отсюда следует, что должна существовать картина, модель описания, которая является инвариантной по отношению к нашим желаниям, предпочтениям, фантазиям. Отрицая это, мы находимся в рамках идеализма (с крайним ее выражением, религией) и не имеем науки (тогда не о чем разговаривать). 3) Человеку свойственно быть субъективным , т.е. фантазировать, ошибаться, иметь предпочтения и т.д. Поэтому мы изобрели и будем изобретать множество моделей, которые можно "мыслить", но они не соответствуют природным закономерностям. 4) Как происходит отбор моделей, соответствующих природе? Во-первых, методом проб и ошибок (не научный метод, но на самом деле давший очень много); во-вторых, задавая природе вопросы и получая на них ответы по определенной методике, отработанной методом проб и ошибок (научный метод: гипотеза, теория, эксперимент). 5) Вся сегодняшняя математика в общем, а математика физики, в частности, являются моделью природы. Можно придумать множество математик. Но та, что остается и работает, проверена и продолжает проверяться указанными методами, а значит, соответствует природе.

Таким образом, мы ничего "не сваливаем на бессловесную природу". Мы, действительно, "играем в математику", но отбираем только ту математику, которая строго соответствует природе. (Мы выдумываем гораздо больше математических моделей, чем остается после естественного отбора). Поэтому вторые производные и пр., что мы сегодня используем на практике, заданы природой, а не нашими играми в математику. А вопрос в моей постановке (почему в природе действуют законы, для описания которых достаточно уравнений не выше второго порядка?) отнюдь не "слишком легкая тема для беспредметного философствования". Ответ можно сформулировать так: это соответствует законам, которые описывают "минимальную" схему природы.
Почему природа построена по "минимальной", т.е. простейшей схеме, это уже другой вопрос, хотя и об этом можно порассуждать.

С уважением, Пав-л.



> Давайте по порядку. 1) Мы или материалисты, или идеалисты.

Чтобы не загубить философией хорошую тему, прошу Вас перейти на форум новых теорий и дать там ответы на вопросы:
- что подразумевается под словом "материализм" ?
- что подразумевается под словом "материя" ?

Обещаю поддержать дискуссию.

СУВЖ


> > Давайте по порядку. 1) Мы или материалисты, или идеалисты.

> Чтобы не загубить философией хорошую тему, прошу Вас перейти на форум новых теорий и дать там ответы на вопросы:
> - что подразумевается под словом "материализм" ?
> - что подразумевается под словом "материя" ?

> Обещаю поддержать дискуссию.

Могу присоединиться.
И согласен, что на физическом форуме этой дискуссии не место.


> Уравнения движения записываются через лагранжиан причем сам он неизвестен.
> Не нужно знать его вид. Уравнения Эйлера-Лагранжа - это следствие принципа
> наименьшего действия и при их выводе вид лагранжиана не используется.
> Используется только тот факт, что это функция обобщенных координат, скоростей
> и времени.

Какая нам польза от уравнений Эйлера-Лагранжа, записанных в общем виде через неизвестный нам лагранжиан? Конкретные уравнения движения мы получим только тогда, когда подставим в них известный нам лагранжиан.

> Вы ошибаетесь. Исходя из одной симметрии мы ничего не можем сказать про
> существование интегралов движения. Чтобы установить сохранение той или иной
> величины в классической механике нужны не только соответствующии симметрии, но
> и уравнения движения.

Странные вещи Вы говорите. Во-первых, на этот предмет, помнится, существует теорема Нётер. Во-вторых, как Вы сами сказали, уравнения движения всегда можно записать через лагранжиан (даже если его конкретный вид нам неизвестен). Именно это и делается при доказательстве теоремы.

> Мне кажется Вы не понимаете, что я имел ввиду. Хорошо давайте конкретизировать.
> Рассматриваем лагранжиан как функцию обобщенных координат, скоростей и
> ускорений. Из принципа наименьшего действия Вы тогда получите уравнения
> движения отличные от уравнений Эйлера-Лагранжа. В эти уравнения действительно
> войдут производные порядка выше второго. Однако, если Вы теперь попробуете,
> используя эти новые уравнения движения, вычислить полную производную по
> времени от функции Лагранжа, то при учете отсутствия явной зависимости от
> времени последней Вы получите, что разность функции Лагранжа и суммы
> произведений обобщенных импульсов и производных по времени от обобщенных
> координат не является константой.

Ну и что? Кто сказал, что гамильтониан в "механике третьего порядка" должен записываться именно этим выражением?

> Эксперементально же доказано, что эта
> разность постоянна.

Спорное утверждение. Экспериментально показано, что в рамках определенного круга явлений данная величина с достаточной точностью может считаться постоянной. Это не исключает возможности поиска новых эффектов в рамках более широкого круга явлений и более строгих требований к точности.

> Ее называют энергией (с точностью до знака). Более того
> новые уравнения движения не обеспечивают сохранение также и никакой другой
> величины, так как не удается выделить полную производную по времени, которая
> равнялась бы нулю. Аналогично и с другими законами сохранения.
> Можете проверить все это сами.

Непонятно, откуда Вы это взяли. По-моему, всегда можно сконструировать величину, которая будет сохраняться со временем. Естественно, выражение для нее не всегда будет выглядеть так же, как в НМ.


> > Действительно, в аристотелевских представлениях, согласно которым тела движутся только под действием некой изначально приданной им "силе", которая постепенно растрачивается, есть определенная логика.

> Не кажется ли Вам, что эта "сила" есть ни что иное как импульс?

Если Вы о НМ, то сила выражает производную оного по времени.

У Аристотеля сила - нечто совсем иное.

Вспоминается дискуссия Лейбница с картезианцами на тему: "какая величина сохраняется при движении тела - пропорциональная скорости или ее квадрату?" Забавно, что в согласии с Аристотелевской традицией обе стороны называли обсуждаемую величину "силой".


> Вы поставили слово "общепринятый" в кавычки, чтобы подчеркнуть произвольность такого выбора переменных? Между тем из опыта известно, что именно координаты и скорости полностью определяют состояние механической системы.

Можно расценивать это как тонкую шутку? Разумеется, в рамках НМ координаты и скорости полностью определяют "состояние механической системы": просто потому, что значение и первая производная функции полностью определяют начальные условия для решения уравнения второго порядка.

Причем здесь опыт? Допустим, Вы не знаете о существовании "тяготения". Каким образом опыт подтвердит Ваш теоретический вывод о том, что кирпич, отпущенный с нулевой скоростью в метре над землей, останется в таком положении вечно? Не подтвердит? Оказывается, нужно "тяготение" ввести? Прекрасно. А теперь давайте встанем на позиции Аристотеля. Каким образом опыт подтвердит наш теоретический вывод о том, что разогнавшийся хоккеист сможет продолжать двигаться только до тех пор, пока он обладает "движущей силой"? Хоккеист движется, а "движущих сил" не видно? Так давайте их введем. И "опыт" все прекрасно подтвердит.

Эйнштейн, помнится говорил: "То, что может и чего не может наблюдать эксперимент, определяется теорией." Вдумайтесь в смысл сей парадоксальной фразы. Неглупый был мужик :-)


> У Аристотеля сила - нечто совсем иное.

Аристотеля не читал. Но то, о чем Вы написали:

> Действительно, в аристотелевских представлениях, согласно которым тела движутся только под действием некой изначально приданной им "силе", которая постепенно растрачивается, есть определенная логика.

действительно напоминает импульс (в современной формулировке), хотя и названо "силой"



> Какая нам польза от уравнений Эйлера-Лагранжа, записанных в общем виде через неизвестный нам лагранжиан? Конкретные уравнения движения мы получим только тогда, когда подставим в них известный нам лагранжиан.

Большая польза. Уравнения Эйлера-Лагранжа записанные в общем виде помогают
установить сохранение соответствующих величин. И даже общий их вид говорит
о том, что там нет производных порядка выше второго.

> > Вы ошибаетесь. Исходя из одной симметрии мы ничего не можем сказать про
> > существование интегралов движения. Чтобы установить сохранение той или иной
> > величины в классической механике нужны не только соответствующии симметрии, но
> > и уравнения движения.

> Странные вещи Вы говорите. Во-первых, на этот предмет, помнится, существует теорема Нётер. Во-вторых, как Вы сами сказали, уравнения движения всегда можно записать через лагранжиан (даже если его конкретный вид нам неизвестен). Именно это и делается при доказательстве теоремы.

Я говорю правильные вещи. Странно, что они Вам кажутся странными. В прошлый
раз (сообщение 16325) Вы говорили, что одной симметрии достаточно для того,
чтобы сказать, что соответствующий интеграл движения существует. Я Вам
сказал (см. выше), что этого недостаточно и что нужны уравнения движения.
Теперь Вы приводите мне теорему, при доказательстве которой используется
уравнения движения (а также наличие однопараметрической группы иффеоморфизмов).
Это, что Вы таким способом соглашаетесь со мной или я чего-то не понимаю.

> > Мне кажется Вы не понимаете, что я имел ввиду. Хорошо давайте конкретизировать.
> > Рассматриваем лагранжиан как функцию обобщенных координат, скоростей и
> > ускорений. Из принципа наименьшего действия Вы тогда получите уравнения
> > движения отличные от уравнений Эйлера-Лагранжа. В эти уравнения действительно
> > войдут производные порядка выше второго. Однако, если Вы теперь попробуете,
> > используя эти новые уравнения движения, вычислить полную производную по
> > времени от функции Лагранжа, то при учете отсутствия явной зависимости от
> > времени последней Вы получите, что разность функции Лагранжа и суммы
> > произведений обобщенных импульсов и производных по времени от обобщенных
> > координат не является константой.

> Ну и что? Кто сказал, что гамильтониан в "механике третьего порядка" должен записываться именно этим выражением?

Гамильтониан здесь непричем. Я этого не говорил. Я говорил про разность функции
Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и производных по времени от
обобщенных координат.

> > Эксперементально же доказано, что эта
> > разность постоянна.

> Спорное утверждение. Экспериментально показано, что в рамках определенного круга явлений данная величина с достаточной точностью может считаться постоянной. Это не исключает возможности поиска новых эффектов в рамках более широкого круга явлений и более строгих требований к точности.

Привидите являния в рамках классической картины, которые описываются функцией
Лагранжа не зависящей от времени явно да такие, чтобы разность функции
Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и производных по времени от
обобщенных координат была бы непостоянной величиной????

> > Ее называют энергией (с точностью до знака). Более того
> > новые уравнения движения не обеспечивают сохранение также и никакой другой
> > величины, так как не удается выделить полную производную по времени, которая
> > равнялась бы нулю. Аналогично и с другими законами сохранения.
> > Можете проверить все это сами.

> Непонятно, откуда Вы это взяли. По-моему, всегда можно сконструировать величину, которая будет сохраняться со временем. Естественно, выражение для нее не всегда будет выглядеть так же, как в НМ.

Все очень просто. Я это вычислил используя понятия вариационного исчисления,
такие как, например, понятие вариационной производной. Предлагаю Вам
проделать то же самое. Рассмотрите функцию Лагранжа как функцию обобщенных
координат, скоростей и ускорений. Используя вариационный принцип получите
уравнения движения в общем виде. Затем вычислите полную производную по
времени от функции Лагранжа (включая обобщенные ускорения). И Вы увидите, что
разность функции Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и
производных по времени от обобщенных координат не сохраняется. Вы также
увидите, что не получается в полученном выражении выделить полную производную
по времени которая бы равнялась нулю.

Очень советую Вам проделать эти элементарные вычисления. После нескольких
неудач с новыми уравнениями движения (порядка выше второго) Вы придете к
выводу, что толко уравнения Эйлера-Лагранжа (которые второго порядка) не
нарушают фундаментальных свойств времени и пространства в рамках классической
картины явлений.

Nemo


> Аристотеля не читал. Но то, о чем Вы написали:

> > Действительно, в аристотелевских представлениях, согласно которым тела движутся только под действием некой изначально приданной им "силе", которая постепенно растрачивается, есть определенная логика.

> действительно напоминает импульс (в современной формулировке), хотя и названо "силой"

В принципе согласен, напоминает. Но в упомянутой выше дискуссии Лейбниц как раз возражал против этого и предлагал в качестве "силы" ту величину, которую мы бы сегодня назвали кинетической энергией. Так что импульс или не импульс - это еще не совсем понятно.


Что-то мы все вокруг да около ходим и все как-то в сторону отклоняемся.

> Уравнения Эйлера-Лагранжа записанные в общем виде помогают
> установить сохранение соответствующих величин. И даже общий их вид говорит
> о том, что там нет производных порядка выше второго.

Разве я с этим спорю?

> Я говорю правильные вещи. Странно, что они Вам кажутся странными. В прошлый
> раз (сообщение 16325) Вы говорили, что одной симметрии достаточно для того,
> чтобы сказать, что соответствующий интеграл движения существует. Я Вам
> сказал (см. выше), что этого недостаточно и что нужны уравнения движения.

Опять пошли по кругу. Нужны не конкретные уравнения движения, а уравнения Эйлера-Лагранжа в общем виде. И в этом случае мы из факта симметрии лагранжиана (не зная его конкретного вида) выведем соответствующий закон сохранения. Это же Ваше собственное утверждение, что "при отсутствии явной зависимости функции Лагранжа от времени можно вывести, что разность функции Лагранжа и сумм произведений обобщенных импульсов и обобщенных скоростей является константой", не так ли? Это же в общем случае для НМ выводится, конкретного вида лагранжиана мы не знаем, а значит и конкретных уравнений движения у нас нет. А общий вывод - есть.

> Теперь Вы приводите мне теорему, при доказательстве которой используется
> уравнения движения (а также наличие однопараметрической группы иффеоморфизмов).
> Это, что Вы таким способом соглашаетесь со мной или я чего-то не понимаю.

Да и я что-то не пойму, что Вы мне хотите возразить. И зачем Вы вообще завели разговор о симметриях и законах сохранения, которые совершенно не имеют отношения к порядку производных в уравнениях.

> Гамильтониан здесь непричем. Я этого не говорил. Я говорил про разность функции
> Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и производных по времени от
> обобщенных координат.

Опа. А разве здесь Вы не об однородности времени и о сохранении полной энергии говорили?

> Привидите являния в рамках классической картины, которые описываются функцией
> Лагранжа не зависящей от времени явно да такие, чтобы разность функции
> Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и производных по времени от
> обобщенных координат была бы непостоянной величиной????

А разве я говорил о том, что такие явления известны? Я не утверждал даже что новые явления не всегда будут описываться в рамках этого формализма: в конце концов, добавив степеней свободы и новых видов взаимодействий в системе, наверняка можно описать все что угодно и с любой степенью точности даже в рамках этого формализма. Но разве отсюда следует, что этот формализм является единственно допустимым?

Но если Вам непременно нужны каверзные примеры, возьмите, например, такую простую задачку: Кирпич кладется на горку. Известны: его масса, угол наклона горки, сила тяжести и коэффициент трения. Найти зависимость высоты кирпича от времени.

Интересно, как бы Вы ее решили в лагранжевом формализме и чему у Вас окажется равна "разность функции Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и обобщенных скоростей"? Заметьте, я не утверждаю, что эта задача неразрешима :-)

> Все очень просто. Я это вычислил используя понятия вариационного исчисления,
> такие как, например, понятие вариационной производной. Предлагаю Вам
> проделать то же самое. Рассмотрите функцию Лагранжа как функцию обобщенных
> координат, скоростей и ускорений. Используя вариационный принцип получите
> уравнения движения в общем виде. Затем вычислите полную производную по
> времени от функции Лагранжа (включая обобщенные ускорения). И Вы увидите, что
> разность функции Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и
> производных по времени от обобщенных координат не сохраняется.

Далась Вам эта разность. Я же сказал: раз это уже не НМ, выражения для интегралов движения будут другие.

> Вы также
> увидите, что не получается в полученном выражении выделить полную производную
> по времени которая бы равнялась нулю.

В каком "полученном выражении"? Я предлагаю сконструировать новое выражение, производная которого по времени будет равна нулю.


> Опять пошли по кругу. Нужны не конкретные уравнения движения, а уравнения Эйлера-Лагранжа в общем виде. И в этом случае мы из факта симметрии лагранжиана (не зная его конкретного вида) выведем соответствующий закон сохранения. Это же Ваше собственное утверждение, что "при отсутствии явной зависимости функции Лагранжа от времени можно вывести, что разность функции Лагранжа и сумм произведений обобщенных импульсов и обобщенных скоростей является константой", не так ли? Это же в общем случае для НМ выводится, конкретного вида лагранжиана мы не знаем, а значит и конкретных уравнений движения у нас нет. А общий вывод - есть.

Таким образом Вы согласны, что помимо симметрии нужны уравнения движения.
Это хорошо. Вы также согласны, что нужны не какие-нибудь уравнения движения,
а именно Эйлера-Лагранжа. Тоже неплохо. Так вот, уравнениями Эйлера-Лагранжа
называются уранения, полученные принципом наименьшего действия, в котором
функция Лагранжа рассматривается как функция обобщенных координат и
скоростей. И поэтому, не смотря на то, что как Вы говорите "конкретных
уравнений движения у нас нет", заранее ясно, что любая конкретизация этих
уравнений не может содержать производных по времени от обобщенных координат
порядка выше второго. Это ясно?

> Да и я что-то не пойму, что Вы мне хотите возразить. И зачем Вы вообще завели разговор о симметриях и законах сохранения, которые совершенно не имеют отношения к порядку производных в уравнениях.

Если ясно, что я написал выше, то тогда, так как Вы согласились с тем,
что помимо симметрии для доказательства законов сохранения нужны дополнительно
именно уравнения движения Эйлера-Лагранжа, Вам должно теперь быть ясно какое
отношение имеют здесь порядки производных в уравнениях движения.

> > Гамильтониан здесь непричем. Я этого не говорил. Я говорил про разность функции
> > Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и производных по времени от
> > обобщенных координат.

> Опа. А разве здесь Вы не об однородности времени и о сохранении полной энергии говорили?

Я повторяю гамильтониан здесь непричем. Вы сами сказали (сообщение 16344),
что если ввести обобщенные ускорения, то гамильтониан примет другой вид.
Поэтому я говорю, что такой гамильтониан никакого отношения к тому, что
принято называть энергией иметь не будет.

> А разве я говорил о том, что такие явления известны? Я не утверждал даже что новые явления не всегда будут описываться в рамках этого формализма: в конце концов, добавив степеней свободы и новых видов взаимодействий в системе, наверняка можно описать все что угодно и с любой степенью точности даже в рамках этого формализма. Но разве отсюда следует, что этот формализм является единственно допустимым?

Запрета на количество формализмов конечно нет. Поэтому существуют и не
противоречат друг другу, например, Лагранжева механика и Гамильтонова механика.

> Но если Вам непременно нужны каверзные примеры, возьмите, например, такую простую задачку: Кирпич кладется на горку. Известны: его масса, угол наклона горки, сила тяжести и коэффициент трения. Найти зависимость высоты кирпича от времени.

> Интересно, как бы Вы ее решили в лагранжевом формализме и чему у Вас окажется равна "разность функции Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и обобщенных скоростей"? Заметьте, я не утверждаю, что эта задача неразрешима :-)

Если Вы имеете ввиду разность функции Лагранжа кирпича и суммы произведений
его обобщенных импульсов и обобщенных скоростей, то посмотрите внимательнее мое
сообщение 16356, где я просил Вас дать пример системы, функция Лагранжа которой
не зависит от времени явно. Чуть внимательнее. Если же Вы имеете ввиду эту
разность для системы "кирпич + горка", то она (эта разность) будет постоянной.
Это точно установленный наукой факт называется законом сохранения энергии.
Можете проверить он работает.

> > Все очень просто. Я это вычислил используя понятия вариационного исчисления,
> > такие как, например, понятие вариационной производной. Предлагаю Вам
> > проделать то же самое. Рассмотрите функцию Лагранжа как функцию обобщенных
> > координат, скоростей и ускорений. Используя вариационный принцип получите
> > уравнения движения в общем виде. Затем вычислите полную производную по
> > времени от функции Лагранжа (включая обобщенные ускорения). И Вы увидите, что
> > разность функции Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и
> > производных по времени от обобщенных координат не сохраняется.

> Далась Вам эта разность. Я же сказал: раз это уже не НМ, выражения для интегралов движения будут другие.

Конкретнее пожалуйста. Какое будет выражение, например, для энергии, если,
как Вы предложили, ввести в функцию Лагранжа обобщенные ускорения.

> > Вы также
> > увидите, что не получается в полученном выражении выделить полную производную
> > по времени которая бы равнялась нулю.

> В каком "полученном выражении"?

Да в том, которое получается после вычисления полной производной от
функции Лагранжа (с у четом обобщенных ускорений) и переноса результата
в левую часть. Правая часть равна нулю, а левая не является полной
производной чего-либо. А это означает, что из однородности времени не
следует никакой закон сохранения. Таким образом Ваши уравнения движения
(уравнения движения Эпроса) нарушают однородность времени.

Настоятельно рекомендую проделать вычисления, о которых я Вам говорил ранее.

> Я предлагаю сконструировать новое выражение, производная которого по
> времени будет равна нулю.

Да я непротив конструирования новых выражений, полная производная по
времени которых равна нулю. Я против того, что эти конструирования не вытекают
из фундаментальных свойств времени и пространства.

А вот чтобы получить выражения, с равенством нулю полной производной по
времени, исходя из фундаментальных свойств времени и пространства, нужны именно
уравнения Эйлера-Лагранжа, которые являются дифференциальными уравнениями
порядка не выше второго (см. выше).

Nemo


> > Вы поставили слово "общепринятый" в кавычки, чтобы подчеркнуть произвольность такого выбора переменных? Между тем из опыта известно, что именно координаты и скорости полностью определяют состояние механической системы.

> Можно расценивать это как тонкую шутку?

Да, Ландау с Лифшицем однажды так пошутили :)

Разумеется, в рамках НМ координаты и скорости полностью определяют "состояние механической системы": просто потому, что значение и первая производная функции полностью определяют начальные условия для решения уравнения второго порядка.

Но почему именно второго порядка? Мы вернулись к исходному Вашему вопросу, ответа на который я не знаю.

> Причем здесь опыт? Допустим, Вы не знаете о существовании "тяготения". Каким образом опыт подтвердит Ваш теоретический вывод о том, что кирпич, отпущенный с нулевой скоростью в метре над землей, останется в таком положении вечно? Не подтвердит? Оказывается, нужно "тяготение" ввести? Прекрасно. А теперь давайте встанем на позиции Аристотеля. Каким образом опыт подтвердит наш теоретический вывод о том, что разогнавшийся хоккеист сможет продолжать двигаться только до тех пор, пока он обладает "движущей силой"? Хоккеист движется, а "движущих сил" не видно? Так давайте их введем. И "опыт" все прекрасно подтвердит.

Единичный опыт подтвердит все что угодно, хоть святого духа. Теория должна объяснять по возможности широкий круг явлений. Практика показала плодотворность концепции тяготения и бесплодность позиции Аристотеля.

> Эйнштейн, помнится говорил: "То, что может и чего не может наблюдать эксперимент, определяется теорией." Вдумайтесь в смысл сей парадоксальной фразы. Неглупый был мужик :-)

Ну что тут сказать? Разве запустить в Вас цитатой другого классика: hypotheses non fingo. Ирония в том, что оба мэтра злостно нарушали собственные методологические концепции :)


Настолько, что я готов преодолеть свойственную мне лень и ответить на Ваш вопрос:

> Конкретнее пожалуйста. Какое будет выражение, например, для энергии, если,
> как Вы предложили, ввести в функцию Лагранжа обобщенные ускорения.

Давайте сначала повторю вывод интеграла движения из лагранжиана НМ, чтобы была четко видна аналогия. Итак, лагранжиан в НМ является функцией обобщенных координат и скоростей: L(q, q'). Здесь и далее штрихом я буду обозначать полную производную по времени. Кроме того, сюда сразу заложена явная независимость лагранжиана от времени, т.е. частная производная ∂L/∂t = 0.

Действие запишется интегралом: ∫Ldt, где интегрирование ведется по времени в пределах от начальной точки tнач траектории q(t), до конечной точки tкон. Минимум действия достигается на реальной траектории q(t). т.е. при малых вариациях δq(t) этой траектории соответствующие вариации функционала должны быть равны нулю (свойство экстремума):
∫δLdt = 0
Распишем вариацию лагранжиана через частные производные:
δL = ∂L/∂q * δq + ∂L/∂q' * δq'
Подставим в интеграл и чтобы избавиться от вариации обобщенной скорости δq' проинтегрируем второе слагаемое по частям. Учитывая, что вариации обобщенных координат на концах траектории (tнач и tкон) равны нулю, получаем выражение для вариации действия:
∫{∂L/∂q - (∂L/∂q')'}δqdt = 0
Поскольку δq - произвольные вариации траектории, равенство выполняется в том и только том случае, когда выражение в фигурных скобках равно нулю. В этом и состоят уравнения Эйлера-Лагранжа, описывающие реальное движение:
∂L/∂q - (∂L/∂q')' = 0
Выражение ∂L/∂q' еще называют обобщенным импульсом и обозначают p (выражение ∂L/∂q - обобщенной силой). Но я оставлю их в таком виде, как есть, чтобы в дальнейшем видеть аналогию.

Уравнения Эйлера-Лагранжа содержат производные по времени до вторых включительно, поскольку сам лагранжиан содержит первые производные, да плюс производится еще одно дифференцирование по времени (обобщенных импульсов).

Выведем теперь выражение для полной производной лагранжиана по времени:
L' = ∂L/∂q * q' + ∂L/∂q' * q''
Здесь учтено отсутствие явной зависимости лагранжиана от времени (та самая однородность времени).
Подставим теперь сюда ∂L/∂q из уравнений Эйлера-Лагранжа. Получим:
L' = (∂L/∂q')' * q' + ∂L/∂q' * q'' = (∂L/∂q' * q')'
Отсюда сразу видно, что для реальной траектории полная производная по времени от выражения:
H = L - ∂L/∂q' * q'
будет равна нулю. Это и есть Гамильтониан - выражение для полной энергии системы, которая всегда сохраняется при реальном движении.

Теперь перейдем к "расширенному" варианту механики. В этом варианте можно записать лагранжиан как функцию не только обобщенных координат и скоростей, но и ускорений: L(q, q', q''). По-прежнему предполагаем отсутствие его явной зависимости от времени. Запишем вариацию действия через частные производные лагранжиана:
∫{∂L/∂q * δq + ∂L/∂q' * δq' + ∂L/∂q'' * δq''}dt = 0
Второе слагаемое по-прежнему интегрируем по частям. Третье слагаемое интегрируем по частям дважды. При этом учитываем, что на концах траектории равны нулю вариации не только обобщенных координат, но и скоростей. Мы это можем себе позволить, поскольку граничные условия для уравнений этой механики включают в себя и задание скоростей. В результате получаем выражение
для вариации действия:
∫{∂L/∂q - (∂L/∂q')' + (∂L/∂q'')''}δqdt = 0
Аналог уравнений Эйлера-Лагранжа:
∂L/∂q - (∂L/∂q')' + (∂L/∂q'')'' = 0
Видим, что уравнения движения в этой механике могут содержать производные по времени вплоть до четвертых (лагранжиан содержит вторые, а третье слагаемое еще и дважды дифференцируется по времени).

Запишем теперь полную производную от лагранжиана по времени:
L' = ∂L/∂q * q' + ∂L/∂q' * q'' + ∂L/∂q'' * q'''
Здесь тоже учтено отсутствие его явной зависимости от времени.

Подставим сюда ∂L/∂q из аналога уравнений Эйлера-Лагранжа. Получим:
L' = (∂L/∂q')' * q' - (∂L/∂q'')'' * q' + ∂L/∂q' * q'' + ∂L/∂q'' * q''' = (∂L/∂q' * q')' - (∂L/∂q'')'' * q' + ∂L/∂q'' * q'''

Кажется, что у нас не получилось полной производной по времени? Что к привычному первому слагаемому добавляются еще два лишних, которые все портят? Вы на этом, наверное, остановились?

Ну что ж, давайте продолжим. Давайте рассмотрим полную производную по времени от выражения:
∂L/∂q'' * q'' - (∂L/∂q'')' * q'
Загадочным образом она оказывается равна:
(∂L/∂q'')' * q'' + ∂L/∂q'' * q''' - (∂L/∂q'')'' * q' - (∂L/∂q'')' * q'' = ∂L/∂q'' * q''' - (∂L/∂q'')'' * q'
что в точности совпадает с двумя мешающими нам слагаемыми.

Так что полную производную лагранжиана по времени можно записать как:
L' = (∂L/∂q' * q' + ∂L/∂q'' * q'' - (∂L/∂q'')' * q')'

Теперь становится очевидным, что полная производная по времени от выражения:
H = L - ∂L/∂q' * q' - ∂L/∂q'' * q'' + (∂L/∂q'')' * q'
будет всегда равна нулю для реальных траекторий. Вот мы и получили в рамках "расширенной" механики выражение для той самой "полной энергии системы" которая всегда сохраняется при движении.

А что Вы там говорили о "фундаментальных свойствах пространства и времени" которые якобы навязывают нам производные второго порядка в уравнениях механики?

> > Но если Вам непременно нужны каверзные примеры, возьмите, например, такую простую задачку: Кирпич кладется на горку. Известны: его масса, угол наклона горки, сила тяжести и коэффициент трения. Найти зависимость высоты кирпича от времени.

> > Интересно, как бы Вы ее решили в лагранжевом формализме и чему у Вас окажется равна "разность функции Лагранжа и суммы произведений обобщенных импульсов и обобщенных скоростей"? Заметьте, я не утверждаю, что эта задача неразрешима :-)

> Если Вы имеете ввиду разность функции Лагранжа кирпича и суммы произведений
> его обобщенных импульсов и обобщенных скоростей, то посмотрите внимательнее мое
> сообщение 16356, где я просил Вас дать пример системы, функция Лагранжа которой
> не зависит от времени явно. Чуть внимательнее. Если же Вы имеете ввиду эту
> разность для системы "кирпич + горка", то она (эта разность) будет постоянной.
> Это точно установленный наукой факт называется законом сохранения энергии.
> Можете проверить он работает.

Я имею в виду полный лагранжиан рассматриваемой системы. Предлагаю Вам записать все обобщенные координаты, которые Вы сочтете необходимыми для полного описания состояния системы, выражение лагранжиана в этих координатах, а потом вывести выражение для сохраняющейся полной энергии.


Должен признать, что Вы правы. Я действительно не преобразовал два
дополнительных слагаемых и поэтому не выделил полную производную.
Я также применил указанный Вами прием преобразования для доказательства
законов сохранения импулься и момента импульса. Удивительно, но всегда
можно выделить полную производную и в этих случаях. Так что все работает
с Вашими новыми уравнениями (уравнениями Эпроса). Таким образом формально
(не имея конкретного вида функции Лагранжа) можно построить механику с
уравнениями движения порядка выше второго и которые удовлетворяют
фундаментальным свойствам пространства и времени в том смысле, что дают
сохранение неких величин, исходя из однородности и изотропии.

Немного странным мне представляется, то что не выводится закон инерции.
Рассмотрим свободно движущуюся материальную точку в инерциальной системе
отсчета (т.е. пространство однородно, изотропно и время однородно). Функция
Лагранжа этой точки тогда не зависит явно от ее радиус вектора и времени.
Тогда наша функция Лагранжа зависит только от скорости и ускорения. В силу
изотропии она зависит только от абсолютных величин скорости и ускорения.
Тогда из новых уравнений движения Эпроса мы не получим постоянства скорости
свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета. Мы получим лишь
следующее уравнение:

(∂L/∂q')' = (∂L/∂q'')''.

Из этого уравнения не следует, что q' = const !!! Что означает непостоянство
скорости? Опыт показывает, что в таких условиях скорость постоянна.

С другой стороны, если не вводить ускорений в функцию Лагранжа, то мы легко
получим, что q' = const и это согласуется с реальным опытом.

Nemo


> Немного странным мне представляется, то что не выводится закон инерции.
> Рассмотрим свободно движущуюся материальную точку в инерциальной системе
> отсчета (т.е. пространство однородно, изотропно и время однородно). Функция
> Лагранжа этой точки тогда не зависит явно от ее радиус вектора и времени.
> Тогда наша функция Лагранжа зависит только от скорости и ускорения. В силу
> изотропии она зависит только от абсолютных величин скорости и ускорения.
> Тогда из новых уравнений движения Эпроса мы не получим постоянства скорости
> свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета. Мы получим лишь
> следующее уравнение:

> (∂L/∂q')' = (∂L/∂q'')''.

> Из этого уравнения не следует, что q' = const !!! Что означает непостоянство
> скорости? Опыт показывает, что в таких условиях скорость постоянна.

> С другой стороны, если не вводить ускорений в функцию Лагранжа, то мы легко
> получим, что q' = const и это согласуется с реальным опытом.

Дело в том, что исключительные права на первый закон Ньютона в известной формулировке принадлежат, очевидно, НМ :-)

Понятие "свободного движения" в "расширенной" механике неизбежно должно отличаться от этой формулировки: здесь "свободным" будет уже движение, которое вовсе не обязательно является прямолинейным и равномерным. Это не должно нас удивлять. Если по определению движение считается свободным тогда, когда отсутствуют "силы", то это условие выполнено (∂L/∂q = 0). Почему оно не является прямолинейным и равномерным? Очевидно, потому, что существуют и другие действующие факторы, помимо "сил": те самые ∂L/∂q'', которым пока нет названия ввиду отсутствия им аналогов в НМ :-)

Подтверждаемость или неподтверждаемость опытом - это на самом деле лишь вопрос интерпретации. Приведу в пример ту же гравитацию: Можно считать, что спутник движется вокруг Земли под действием "сил тяготения", т.е. его движение отлично от прямолинейного равномерного именно потому, что движение не является свободным. А можно считать, что гравитация - это никакие не "силы", а просто искривление пространственно-временного континуума. И "на самом-то деле" спутник движется свободно, просто в искривленном континууме.

Так и здесь: На опыте наблюдается прямолинейное равномерное движение? В рамках НМ мы должны считать, внешние силы взаимно скомпенсированы между собой. В рамках "расширенной" механики мы должны считать, что внешние силы скомпенсированы дополнительными факторами ∂L/∂q''. Вопрос интерпретации наблюдаемого в рамках тех или иных понятий.

P.S. Дабы не быть изгнанным за альтернативу, хочу заявить, что я вовсе не пропагандирую "новую" версию механики, а просто привожу примеры возможных способов построения и применения тех или иных формализмов.



> Дело в том, что исключительные права на первый закон Ньютона в известной формулировке принадлежат, очевидно, НМ :-)

> Понятие "свободного движения" в "расширенной" механике неизбежно должно отличаться от этой формулировки: здесь "свободным" будет уже движение, которое вовсе не обязательно является прямолинейным и равномерным. Это не должно нас удивлять. Если по определению движение считается свободным тогда, когда отсутствуют "силы", то это условие выполнено (∂L/∂q = 0). Почему оно не является прямолинейным и равномерным? Очевидно, потому, что существуют и другие действующие факторы, помимо "сил": те самые ∂L/∂q'', которым пока нет названия ввиду отсутствия им аналогов в НМ :-)

> Подтверждаемость или неподтверждаемость опытом - это на самом деле лишь вопрос интерпретации. Приведу в пример ту же гравитацию: Можно считать, что спутник движется вокруг Земли под действием "сил тяготения", т.е. его движение отлично от прямолинейного равномерного именно потому, что движение не является свободным. А можно считать, что гравитация - это никакие не "силы", а просто искривление пространственно-временного континуума. И "на самом-то деле" спутник движется свободно, просто в искривленном континууме.

> Так и здесь: На опыте наблюдается прямолинейное равномерное движение? В рамках НМ мы должны считать, внешние силы взаимно скомпенсированы между собой. В рамках "расширенной" механики мы должны считать, что внешние силы скомпенсированы дополнительными факторами ∂L/∂q''. Вопрос интерпретации наблюдаемого в рамках тех или иных понятий.

Я понял, что Вы имеете ввиду. Конечно число интерпретаций неограничено.
Однако для того, чтобы люди из разных школ понимали друг друга, необходим
некий стандарт. Исторически сложилось, что этим стандартом стала Нютоновская
интерпретация. Конечно же история могла пойти и по другому пути и мы имели
бы другую интерпретацию. Я думаю, что в конечном итоге все они эквивалентны,
так как являются следствием наблюдения одной и той же сущности - мира, в
котором мы существуем и действуем. И поэтому в настоящее время, когда
построено довольно большое здание науки базирующееся на общепринятой
интерпретации было бы бесполезно вытаскивать нижние кирпичики из пирамиды
и делать все заново. Нового врядли открыть, а время будет потрачено много.
Поэтому, чтобы не тратить жизнь впустую, лучше продвигаться вперед в рамках
стандартных интерпретаций. Я уверен, что эта стандартная интерпретация
ничего не упускает из виду и всегда может быть продвинута дальше для
объяснения нового.

Итак чтобы поставить точку в дискуссии необходим явный вид функции Лагранжа.
Наличие скорости приводит к появлению массы. В Вашей интерпретации,
включающей также обобщенные ускорения, необходимо ввести еще некую
характеристику частицы. Что это за характеристика? Если продолжить Ваш метод
и ввести в функцию Лагранжа производные еще более высокого порядка, то в
общем случае мы придем к выводу о том, что частица помимо массы обладает
бесконечным числом дополнительных характеристик. Это представляется странным,
так как ведет к выводу о бесконечном числе взаимодействий. Однако, реально,
число взаимодействий, как Вы знаете, конечно. Может все-таки такая
интерпретация не является оптимальной по сравнению с Ньютоновской? Она плодит
число взаимодействий до бесконечности!!!

Nemo


> Поэтому, чтобы не тратить жизнь впустую, лучше продвигаться вперед в рамках
> стандартных интерпретаций.

Как Вам не ай-яй-яй! А еслы бы Эйнштейн так рассуждал :)


Епрос, я думаю, что ответом будет "природа так устроена".
Почему, например, размерность наего пространства 3?
Может иметь место также и леность нашего ума, хотя я так не думаю.

Природа устроена просто. Если бы сила вызывала только изменение координаты (т.е. F=mv), то, наверное, не было бы и многообразия явлений, и мир был бы убого прост и неинитересен. Если бы сила вызывала только изменение ускорения, то интеренсость мира давалось бы излишне сложно. Поэтому второй порядок.. удобен Творцу.


> Епрос, я думаю, что ответом будет "природа так устроена".

Почему голова наверху, а ноги внизу? Природа так устроена.

Прекрасный ответ. Главное, абсолютно ко всему подходит :-)


> > Епрос, я думаю, что ответом будет "природа так устроена".

> Почему голова наверху, а ноги внизу? Природа так устроена.

> Прекрасный ответ. Главное, абсолютно ко всему подходит :-)

Оххх..
ты мне лучше объясни, почему в природе действует закон инерции.
Тогда я тебе скажу про вторые производные.



> ты мне лучше объясни, почему в природе действует закон инерции.
> Тогда я тебе скажу про вторые производные.

А где проблема? Энергию и импульс затратили?, излучения и трения нет?
значит получайте инерцию.

С уважением Д.


> А где проблема? Энергию и импульс затратили?, излучения и трения нет?
> значит получайте инерцию.
> С уважением Д.

Что есть энергия и импульс?
Я считаю более первичным фундаментальное свойство тел, именуемое инерцией.

Р.Ы. Незадача в том, что мне могут указать на уравнение Шредингера для частицы в постоянном потенциале ,что дает нам плоскую незатухающую волну.
Р.Ы. Но я все же счиатю инерцию наглядней и первичней уравнения (второго Порядка) Шредингера :))))


> Оххх..
> ты мне лучше объясни, почему в природе действует закон инерции.
> Тогда я тебе скажу про вторые производные.

Элементарно: закон инерции действует потому, что его ввел сэр Ньютон. До него такого закона не было: телам, на которые ничто не действует, по закону положено было со временем останавливаться. :-)


Фигню какую-то разводите.
Я предпологаю следующее.
Так, как наш мир трехмерен, то равнонаправленное распростронение - есть сфера.
Для сферического злучения имеем множество формул полей,

F=k|q1||q2|/rr

возьмем за основу 1/rr - тогда вся суть вопроса сводится к формуле площади сферы, я ее не знаю и потому предоставляю право дальнейшей бседы вам...
однако могу предположить, что сумма напряженностей сферы одинакова во всех случаях, а концентрация напряженность должно быть ~1/rr.

вот вроди и все, но это все действительно если рассматривать геометрию поля, как общую картину мира...



> возьмем за основу 1/rr - тогда вся суть вопроса сводится к формуле площади > сферы, я ее не знаю и потому предоставляю право дальнейшей бседы вам...

Нууу... вообще эта задача (отыскание площади сферы) сродни теореме Ферма. Очень сложная, до сих пор никто не решил. Почитайте про модулярные формы, может найдете решение, я уверн , ответ зарыт именно там.



> Итак чтобы поставить точку в дискуссии необходим явный вид функции Лагранжа.
> Наличие скорости приводит к появлению массы. В Вашей интерпретации,
> включающей также обобщенные ускорения, необходимо ввести еще некую
> характеристику частицы. Что это за характеристика? Если продолжить Ваш метод
> и ввести в функцию Лагранжа производные еще более высокого порядка, то в
> общем случае мы придем к выводу о том, что частица помимо массы обладает
> бесконечным числом дополнительных характеристик. Это представляется странным,
> так как ведет к выводу о бесконечном числе взаимодействий. Однако, реально,
> число взаимодействий, как Вы знаете, конечно. Может все-таки такая
> интерпретация не является оптимальной по сравнению с Ньютоновской? Она плодит
> число взаимодействий до бесконечности!!!
Дополнительная характеристика частицы - заряд.
Движение заряда e массой m под действием силы f с учетом радиационной силы с
ускорением w
f=m*w-2/3*e^2/c^3*w'
Но сколько появляется при этом "чудес"!
Домножим уравнение на ds=v*dt, обозначим k=2/3*e^2/c^3 получим
f*ds=d(m*v^2/2)-d(k*w*v)+k*w^2*dt
или работа внешних сил ( f*ds ) равна изменению кинетической энергии ( d(m*v^2/2))
минус изменение энергии поля ( d(k*w*v )) плюс излучение (k*w^2*dt)
1. Появилась неустранимая утечка энергии из системы ( k*w^2*dt всегда неотрицательна )
2. Появилась стрела времени. Обращение времени не возращает на пройденную
траекторию ( если не предпологать, что откуда то в частицу закачивается излучение,
пропорциональное квадрату ее ускорения ).
3. При разгоне частицы скорость заряженной частицы растет быстрее, чем скорость
нейтральной ( при одинаковой силе и массе ). Заряженная частица при этом еще и излучает.
При падении в гравитационном поле заряженная частица в конце пути будет иметь
большую скорость, чем нейтральная и при этом по дороге еще часть энергии излучит.
Ну и куча других. Один саморазгон заряда от толчка чего стоит. Правда в реальности
саморазгон не происходит, так как такое выражение для радиационной силы справед-
ливо только когда она намного меньше, чем m*w.
И чего хорошего в третьей производной? Одни проблемы.


> Дополнительная характеристика частицы - заряд.
> Движение заряда e массой m под действием силы f с учетом радиационной силы с
> ускорением w
> f=m*w-2/3*e^2/c^3*w'
> Но сколько появляется при этом "чудес"!
> Домножим уравнение на ds=v*dt, обозначим k=2/3*e^2/c^3 получим
> f*ds=d(m*v^2/2)-d(k*w*v)+k*w^2*dt
> или работа внешних сил ( f*ds ) равна изменению кинетической энергии ( d(m*v^2/2))
> минус изменение энергии поля ( d(k*w*v )) плюс излучение (k*w^2*dt)
> 1. Появилась неустранимая утечка энергии из системы ( k*w^2*dt всегда неотрицательна )
> 2. Появилась стрела времени. Обращение времени не возращает на пройденную
> траекторию ( если не предпологать, что откуда то в частицу закачивается излучение,
> пропорциональное квадрату ее ускорения ).
> 3. При разгоне частицы скорость заряженной частицы растет быстрее, чем скорость
> нейтральной ( при одинаковой силе и массе ). Заряженная частица при этом еще и излучает.
> При падении в гравитационном поле заряженная частица в конце пути будет иметь
> большую скорость, чем нейтральная и при этом по дороге еще часть энергии излучит.
> Ну и куча других. Один саморазгон заряда от толчка чего стоит. Правда в реальности
> саморазгон не происходит, так как такое выражение для радиационной силы справед-
> ливо только когда она намного меньше, чем m*w.
> И чего хорошего в третьей производной? Одни проблемы.

Как я понял, Вы имеете ввиду функцию Лагранжа следующего вида:

L = (m*v^2)/2 - U - e^2*w*v/c^3 + e^2*w^2*t/c^3 .

Правильно я Вас понял?

Поскольку она явно зависит от времени, то из однородности времени не
следует сохранение какой-либо величины. Таким образом, тот интеграл
движения, который в новой формулировке естественно называть энергией
не сохраняется.

Этот же временной член приводит к неэквивалентности двух направлений
времени. Это тоже ясно.

Разница скоростей заряженной и незаряженной частиц также очевидна.

Если Вы внимательно прочитаете всю дискуссию по этой теме, то увидите,
что мы пытались получить новую механику с функцией Лагранжа для свободной
частицы, не зависящей от времени явно. Для такого случая мы установили
сохранение некой величины, играющей роль энергии. Далее мы хотели получить
уравнения движения, которые эквивалентны для заряженной и незаряженной
частиц в отсутствие электромагнитных полей. Именно в этом смысле мне и
показалось странным наличие дополнительной характеристики частицы. Я не
могу представить такую характеристику, но не исключаю ее существования.
Кроме того, что бы не вызывать в будущем вопросов "а почему производные
четвертого порядка ?", естественно продолжить процедуру и включить производные
более высоких порядков. Это как я говорил в указанном выше смысле ведет
к появлению бесконечного числа характеристик частицы и как следствие
взаимодействий. Я этого тоже не исключаю. Возможно, что свойства частицы
неисчерпаемы и поэтому число взаимодействий неисчерпаемо. Но они могут
быть настолько малы и несущественны, что мы никогда и никаким опытами
их не сможем зафиксировать. В этом смысле они для нас не существуют, т.е.
мы как бы ограничены в числе взаимодействий. Я имею ввиду некий порог на
котором та часть природы, которую нам разрешено наблюдать заканчивается
известными взаимодействиями и характеристиками частицы. После этого порога -
это уже не наша территория, не наша природа. Возможно, что этот порог плавный,
но все это непроверяемо.

Поэтому Ваше способ включить ускорения довольно интересен, но к сожалению
не укладывается в ту концепцию, которую мы здесь хотели продвинуть. Ваш
метод делает неэквивалентными заряженную и нейтральную частицы даже в
отсутствие электромагнитного поля, а также вносится явная зависимость от
времени для движения свободной частицы.

Nemo



> Как я понял, Вы имеете ввиду функцию Лагранжа следующего вида:

> L = (m*v^2)/2 - U - e^2*w*v/c^3 + e^2*w^2*t/c^3 .

> Правильно я Вас понял?

> Поскольку она явно зависит от времени, то из однородности времени не
> следует сохранение какой-либо величины. Таким образом, тот интеграл
> движения, который в новой формулировке естественно называть энергией
> не сохраняется.

> Этот же временной член приводит к неэквивалентности двух направлений
> времени. Это тоже ясно.

> Разница скоростей заряженной и незаряженной частиц также очевидна.

> Если Вы внимательно прочитаете всю дискуссию по этой теме, то увидите,
> что мы пытались получить новую механику с функцией Лагранжа для свободной
> частицы, не зависящей от времени явно. Для такого случая мы установили
> сохранение некой величины, играющей роль энергии. Далее мы хотели получить
> уравнения движения, которые эквивалентны для заряженной и незаряженной
> частиц в отсутствие электромагнитных полей. Именно в этом смысле мне и
> показалось странным наличие дополнительной характеристики частицы. Я не
> могу представить такую характеристику, но не исключаю ее существования.
> Кроме того, что бы не вызывать в будущем вопросов "а почему производные
> четвертого порядка ?", естественно продолжить процедуру и включить производные
> более высоких порядков. Это как я говорил в указанном выше смысле ведет
> к появлению бесконечного числа характеристик частицы и как следствие
> взаимодействий. Я этого тоже не исключаю. Возможно, что свойства частицы
> неисчерпаемы и поэтому число взаимодействий неисчерпаемо. Но они могут
> быть настолько малы и несущественны, что мы никогда и никаким опытами
> их не сможем зафиксировать. В этом смысле они для нас не существуют, т.е.
> мы как бы ограничены в числе взаимодействий. Я имею ввиду некий порог на
> котором та часть природы, которую нам разрешено наблюдать заканчивается
> известными взаимодействиями и характеристиками частицы. После этого порога -
> это уже не наша территория, не наша природа. Возможно, что этот порог плавный,
> но все это непроверяемо.

> Поэтому Ваше способ включить ускорения довольно интересен, но к сожалению
> не укладывается в ту концепцию, которую мы здесь хотели продвинуть. Ваш
> метод делает неэквивалентными заряженную и нейтральную частицы даже в
> отсутствие электромагнитного поля, а также вносится явная зависимость от
> времени для движения свободной частицы.

Это не мой способ. Это стандартное выражение для радиационной силы ( силы реакции излучения ).
И естественно нейтральная и заряженная частицы неэквивалентны, нейтральная при
ускорении не излучает. И явная зависимость от времени - это следствие излучения.
Я просто хотел проиллюстрировать, к каким "чудесам" приводит третья производная
в уравнении движения.


http://www.geocities.com/knyshus/

Primitive potentials and Newton's laws rom symmetry


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100