Задачка о подпрыгивающих шариках.

Сообщение №15638 от Hyperboloid 16 декабря 2002 г. 16:53
Тема: Задачка о подпрыгивающих шариках.

Отвлекитесь от теории относительности и квантов! В классической кинематике тоже много занятного. Например, эта задачка:

Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать. Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью. Размерами шаров по сравнению с Н можно пренебречь. Зависимостью ускорения свободного падения от высоты также пренебрегаем. Релятивисткими эффектами тоже ;)


Отклики на это сообщение:

Да на ту же и подпрыгнут:))



> Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать.

Наверное одновременно отпускают

> Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью. Размерами шаров по сравнению с Н можно пренебречь. Зависимостью ускорения свободного падения от высоты также пренебрегаем. Релятивисткими эффектами тоже ;)

Конечностью скорости звука тоже наверное

Если все так то Xerx прав так и будут скакать как и были


> Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать. Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью. Размерами шаров по сравнению с Н можно пренебречь. Зависимостью ускорения свободного падения от высоты также пренебрегаем. Релятивисткими эффектами тоже ;)

Если шары абсолютно жёсткие (не деформируются), то на ту же самую высоту.


А вот у меня получилось, что в предельном случае, когда верхний шарик гораздо легче нижнего, он подпрыгнет в девять(!) раз выше первоначальной высоты.
Я, экспериментатор по призванию, взял баскетбольный мяч, прислюнявил сверху шарик от пинг-понга (настольного тенниса) и уронил всё это на пол с высоты, примерно, ... ну, вам по пояс будет ;) Пинг-понговый шарик чуть потолок не пробил...
Ну, это так - частности. Меня интересует общее решение для всех возможных соотношений масс шаров. Особенно, когда верхний шар тяжелее нижнего.
Есть какие-либо идеи?


> Отвлекитесь от теории относительности и квантов! В классической кинематике тоже много занятного. Например, эта задачка:

> Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать. Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью. Размерами шаров по сравнению с Н можно пренебречь. Зависимостью ускорения свободного падения от высоты также пренебрегаем. Релятивисткими эффектами тоже ;)


> А вот у меня получилось, что в предельном случае, когда верхний шарик гораздо легче нижнего, он подпрыгнет в девять(!) раз выше первоначальной высоты.
> Я, экспериментатор по призванию, взял баскетбольный мяч, прислюнявил сверху шарик от пинг-понга (настольного тенниса) и уронил всё это на пол с высоты, примерно, ... ну, вам по пояс будет ;) Пинг-понговый шарик чуть потолок не пробил...
> Ну, это так - частности. Меня интересует общее решение для всех возможных соотношений масс шаров. Особенно, когда верхний шар тяжелее нижнего.
> Есть какие-либо идеи?

>
> > Отвлекитесь от теории относительности и квантов! В классической кинематике тоже много занятного. Например, эта задачка:

> > Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать. Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью. Размерами шаров по сравнению с Н можно пренебречь. Зависимостью ускорения свободного падения от высоты также пренебрегаем. Релятивисткими эффектами тоже ;)

В момент соударения с плоскостью скорости шаров (по модулю) одинаковы, и равны V. Это означает, что в лучшем случае скорость "верхнего" шара может быть 2V, если удар считать упругим. Поэтому в этом предположении высота "верхнего" шара не может превзойти 4Н.


Для удобства рассуждений введем малюсенький зазорчик между шарами.
Итак, шары долетели до пола, набрав скорость +V. (Пусть "+" - это "вниз")
1. Нижний шар отскакивает от пола, изменив направление скорости на противоположное -V. Верхний шар все еще летит вниз (зазорчик) +V.
2. Сажаем набдюдателя на нижний шар. Он видит, что на него летит верхний шар с относительной скоростью +2V, стукается и отлетает вверх с относительной (относительно нижнего шара) скоростью -2V. (Модуль скорости практически не меняется из-за чрезвычайной легкости верхнего шарика).
3. Так как относительно пола нижний шар имеет скорость -V, то скорость верхнего шара относительно пола будет -V-2V=-3V.
4. Высота подскока пропорциональна квадрату скорости, значит равна H*3^2=9H.

> В момент соударения с плоскостью скорости шаров (по модулю) одинаковы, и равны V. Это означает, что в лучшем случае скорость "верхнего" шара может быть 2V, если удар считать упругим. Поэтому в этом предположении высота "верхнего" шара не может превзойти 4Н.


> А вот у меня получилось, что в предельном случае, когда верхний шарик гораздо легче нижнего, он подпрыгнет в девять(!) раз выше первоначальной высоты.
> Я, экспериментатор по призванию, взял баскетбольный мяч, прислюнявил сверху шарик от пинг-понга (настольного тенниса) и уронил всё это на пол с высоты, примерно, ... ну, вам по пояс будет ;) Пинг-понговый шарик чуть потолок не пробил...

Похоже на кумулятивный эффект. Например, на полу стоит ведро со сметаной, со стола в ведро падает камень, следы от сметаны оказываются на потолке.


> > В момент соударения с плоскостью скорости шаров (по модулю) одинаковы, и равны V. Это означает, что в лучшем случае скорость "верхнего" шара может быть 2V, если удар считать упругим. Поэтому в этом предположении высота "верхнего" шара не может превзойти 4Н.

> Для удобства рассуждений введем малюсенький зазорчик между шарами.
> Итак, шары долетели до пола, набрав скорость +V. (Пусть "+" - это "вниз")
> 1. Нижний шар отскакивает от пола, изменив направление скорости на противоположное -V. Верхний шар все еще летит вниз (зазорчик) +V.
> 2. Сажаем набдюдателя на нижний шар. Он видит, что на него летит верхний шар с относительной скоростью +2V, стукается и отлетает вверх с относительной (относительно нижнего шара) скоростью -2V. (Модуль скорости практически не меняется из-за чрезвычайной легкости верхнего шарика).
> 3. Так как относительно пола нижний шар имеет скорость -V, то скорость верхнего шара относительно пола будет -V-2V=-3V.
> 4. Высота подскока пропорциональна квадрату скорости, значит равна H*3^2=9H.

Насчет -3V вы, конечно, правы. Объясню, в каком случае будет -2V. Пусть масса "нижнего" шара будет в 3 раза больше массы "верхнего" шара. Тогда легко видеть, что после столкновения "нижний" шар станет неподвижным, т.е. он передаст всю свою энергию "верхнему" шару. Этот случай "максимальной эффективности" передачи энергии я и рассмотрел.


> А вот у меня получилось, что в предельном случае, когда верхний шарик гораздо легче нижнего, он подпрыгнет в девять(!) раз выше первоначальной высоты.
> Я, экспериментатор по призванию, взял баскетбольный мяч, прислюнявил сверху шарик от пинг-понга (настольного тенниса) и уронил всё это на пол с высоты, примерно, ... ну, вам по пояс будет ;) Пинг-понговый шарик чуть потолок не пробил...
> Ну, это так - частности. Меня интересует общее решение для всех возможных соотношений масс шаров. Особенно, когда верхний шар тяжелее нижнего.
> Есть какие-либо идеи?


Есть такая конструкция унитазов, в которых по оси "процесса" стоит вода. Ну, все уже поняли ;) Эффект - просто бидЭ.
Или полевой туалет на дачном участке весной, когда яма заполнена водой.
Но в этих примерах все сложнее, так как неупруго и нарушается целостность взаимодействующих объектов. Если уронить гирю в ведро с гайками, то энергии может хватить на то, чтобы одна из гаек вылетела из ведра со скоростью пули и ухлопала экспериментатора. Аккуратнее, коллеги!

И все же! Кто осилит общее решение задачи для произвольных сочетаний масс? Признаюсь, аналитического решения, типа: h=f(m1,m2), у меня нет, только расчеты с помощью компьютера. Вся надежда на вас!


> Похоже на кумулятивный эффект. Например, на полу стоит ведро со сметаной, со стола в ведро падает камень, следы от сметаны оказываются на потолке.


Каким инстрУментом соорудили? Гиф-аниматором?

А эта модель работает для произвольных сочетаний масс? ;)


> Есть такая конструкция унитазов, в которых по оси "процесса" стоит вода. Ну, все уже поняли ;) Эффект - просто бидЭ.
> Или полевой туалет на дачном участке весной, когда яма заполнена водой.
> Но в этих примерах все сложнее, так как неупруго и нарушается целостность взаимодействующих объектов. Если уронить гирю в ведро с гайками, то энергии может хватить на то, чтобы одна из гаек вылетела из ведра со скоростью пули и ухлопала экспериментатора. Аккуратнее, коллеги!

> И все же! Кто осилит общее решение задачи для произвольных сочетаний масс? Признаюсь, аналитического решения, типа: h=f(m1,m2), у меня нет, только расчеты с помощью компьютера. Вся надежда на вас!

H = Ho*((3M-m)/(M+m))^2,

где М-масса "нижнего" шара, m-"верхнего".

>
> > Похоже на кумулятивный эффект. Например, на полу стоит ведро со сметаной, со стола в ведро падает камень, следы от сметаны оказываются на потолке.

А что такое "кумулятивный эффект"? Не можете дать пояснение, ссылку?


> H = Ho*((3M-m)/(M+m))^2,

> где М-масса "нижнего" шара, m-"верхнего".

Из постановки задачи ясно, что нижний шар не сможет подпрыгнуть выше верхнего. Не пролетит же он сквозь него?! Судя по тому, что в Вашем решении при m=0 H=9, формула выписана для верхнего шарика. Но у Вас же при m=3M H=0. То есть, верхний шарик, а значит и нижний, прилипнут к полу! А куда энергия подевалась? Всё ведь абсолютно упруго!

> А что такое "кумулятивный эффект"? Не можете дать пояснение, ссылку?

Хоть и не я упомЯнул этот эффект, но смысл его в том, что энергия собирается, накапливается и направленно выплескивается в некую малую часть вещества.

КУМУЛЯТИВНЫЙ ЭФФЕКТ


> > H = Ho*((3M-m)/(M+m))^2,

> > где М-масса "нижнего" шара, m-"верхнего".

> Из постановки задачи ясно, что нижний шар не сможет подпрыгнуть выше верхнего. Не пролетит же он сквозь него?! Судя по тому, что в Вашем решении при m=0 H=9, формула выписана для верхнего шарика. Но у Вас же при m=3M H=0. То есть, верхний шарик, а значит и нижний, прилипнут к полу! А куда энергия подевалась? Всё ведь абсолютно упруго!

Уточню: я получил формулу для случая, когда верхний и нижний шарики после столкновения летят вверх (каждый со своей скоростью). Это соответствует таким массам: M >= 3m. Не составляет труда посчитать случай когда нижний шарик полетит вниз. Но зачем вам это надо? Высота подъема верхнего шарика Н ведь будет снижаться.

> > А что такое "кумулятивный эффект"? Не можете дать пояснение, ссылку?

> Хоть и не я упомЯнул этот эффект, но смысл его в том, что энергия собирается, накапливается и направленно выплескивается в некую малую часть вещества.

Я тоже знаю спецприменения кумулятивного эффекта, но был удивлен терминологией в применении к брызгам сметаны.


> Уточню: я получил формулу для случая, когда верхний и нижний шарики после столкновения летят вверх (каждый со своей скоростью). Это соответствует таким массам: M >= 3m. Не составляет труда посчитать случай когда нижний шарик полетит вниз. Но зачем вам это надо? Высота подъема верхнего шарика Н ведь будет снижаться.

Вниз лететь некуда! Так что нижний шарик, поколбасившись между полом и верхним шариком, все равно отскочит вверх. Ну, накрайняк, останется лежать на полу. В рассуждениях с маленьким зазорчиком между шарами легкий нижний шарик может несколько раз перестукиваться между верхним и полом, пока, наконец, оба не полетят вверх. Вопрос: НА СКОКА ТОЧНО?! Существует ли функция, которая выражает высоту от m/M и которую можно построить на графике?


> > Уточню: я получил формулу для случая, когда верхний и нижний шарики после столкновения летят вверх (каждый со своей скоростью). Это соответствует таким массам: M >= 3m. Не составляет труда посчитать случай когда нижний шарик полетит вниз. Но зачем вам это надо? Высота подъема верхнего шарика Н ведь будет снижаться.

> Вниз лететь некуда! Так что нижний шарик, поколбасившись между полом и верхним шариком, все равно отскочит вверх. Ну, накрайняк, останется лежать на полу. В рассуждениях с маленьким зазорчиком между шарами легкий нижний шарик может несколько раз перестукиваться между верхним и полом, пока, наконец, оба не полетят вверх. Вопрос: НА СКОКА ТОЧНО?! Существует ли функция, которая выражает высоту от m/M и которую можно построить на графике?

Я привел вам формулу, которая позволяет легко выразить высоту через m/M для случая 4Ho >= Н >= 9Ho и одного столкновения между шарами. Если столкновений больше 2-х, то задача резко усложняется, и я отскакиваю в сторону:)


> > > Уточню: я получил формулу для случая, когда верхний и нижний шарики после столкновения летят вверх (каждый со своей скоростью). Это соответствует таким массам: M >= 3m. Не составляет труда посчитать случай когда нижний шарик полетит вниз. Но зачем вам это надо? Высота подъема верхнего шарика Н ведь будет снижаться.

> > Вниз лететь некуда! Так что нижний шарик, поколбасившись между полом и верхним шариком, все равно отскочит вверх. Ну, накрайняк, останется лежать на полу. В рассуждениях с маленьким зазорчиком между шарами легкий нижний шарик может несколько раз перестукиваться между верхним и полом, пока, наконец, оба не полетят вверх. Вопрос: НА СКОКА ТОЧНО?! Существует ли функция, которая выражает высоту от m/M и которую можно построить на графике?

> Я привел вам формулу, которая позволяет легко выразить высоту через m/M для случая 4Ho >= Н >= 9Ho и одного столкновения между шарами. Если столкновений больше 2-х, то задача резко усложняется, и я отскакиваю в сторону:)

Конечно, 4Ho =< Н <= 9Ho


> А вот у меня получилось, что в предельном случае, когда верхний шарик гораздо легче нижнего, он подпрыгнет в девять(!) раз выше первоначальной высоты.
> Я, экспериментатор по призванию, взял баскетбольный мяч, прислюнявил сверху шарик от пинг-понга (настольного тенниса) и уронил всё это на пол с высоты, примерно, ... ну, вам по пояс будет ;) Пинг-понговый шарик чуть потолок не пробил...
> Ну, это так - частности. Меня интересует общее решение для всех возможных соотношений масс шаров. Особенно, когда верхний шар тяжелее нижнего.
> Есть какие-либо идеи?

Здравствуйте Hyperboloid,

ответ на Ваш вопрос прост: Если массы шаров относятся 1 к 3 , то ВСЯ энергия более тяжёлого нижнего шара передаётся более лёгкому. При этом соотношении верхний шарик подпрыгнет без учёта сопротивления воздуха и при точечных размерах шаров на 4-х кратную высоту. При отношении 1 к 7 высота подскока увеличивается в 6,25 раз для лёгкого и уменьшается для тяжёлого в 4 раза. Пусть соотношение масс шаров равно почти бесконечности(100 000), высота подскока лёгкого шара увеличится
почти в 9 раз а высота подскока тяжёлого почти не изменится.
Не буду утомлять Вас формулами. Если хотите, вышлю Вам програмку
для Ехсеl , позволяющую задавать отдельно высоты и массы для каждого шара.

> С уважением Д.


И хочу, чтобы утомили именно формулами! Программку в Экселе я давно уже сочинил, причем для ВСЕХ возможных отношений масс! От НУЛЯ до БЕСКОНЕЧНОСТИ (почти ;).
Напишите, к примеру, формулу для частного случая, когда ВЕРХНИЙ шар в 100 раз тяжелее нижнего (интересно, что насчитает для этого случая Ваша программа? ;).

С неменьшим уважением,
Hyperboloid.

> Здравствуйте Hyperboloid,

> ответ на Ваш вопрос прост: Если массы шаров относятся 1 к 3 , то ВСЯ энергия более тяжёлого нижнего шара передаётся более лёгкому. При этом соотношении верхний шарик подпрыгнет без учёта сопротивления воздуха и при точечных размерах шаров на 4-х кратную высоту. При отношении 1 к 7 высота подскока увеличивается в 6,25 раз для лёгкого и уменьшается для тяжёлого в 4 раза. Пусть соотношение масс шаров равно почти бесконечности(100 000), высота подскока лёгкого шара увеличится
> почти в 9 раз а высота подскока тяжёлого почти не изменится.
> Не буду утомлять Вас формулами. Если хотите, вышлю Вам програмку
> для Ехсеl , позволяющую задавать отдельно высоты и массы для каждого шара.

> > С уважением Д.


> И хочу, чтобы утомили именно формулами! Программку в Экселе я давно уже сочинил, причем для ВСЕХ возможных отношений масс! От НУЛЯ до БЕСКОНЕЧНОСТИ (почти ;).
> Напишите, к примеру, формулу для частного случая, когда ВЕРХНИЙ шар в 100 раз тяжелее нижнего (интересно, что насчитает для этого случая Ваша программа? ;).

> С неменьшим уважением,
> Hyperboloid.

Если я правильно понял, оба шара падают, причем лёгкий снизу. После удара более лёгкий толкает тяжёлый наверх. Вы хотите вычислить высоту более тяжёлого шара?
Правильно? Д.


Спасибо за посылку, отправил свой вариант.

> Если я правильно понял, оба шара падают, причем лёгкий снизу. После удара более лёгкий толкает тяжёлый наверх. Вы хотите вычислить высоту более тяжёлого шара?
> Правильно? Д.


> А эта модель работает для произвольных сочетаний масс? ;)


>
Пусть шары падают под действием силы тяжести g с задержкой времени t с высоты H , тогда более лёгкий шар летит наверх навстречу тяжёлому (отношение масс 1:200), ударяется (почти не изменяя скорость верхнего), летит с почти 3-х кратной скоростью (в момент удара, чем выше удар h, тем меньше скорость v = корень( 2*g*(H-h)) )вниз снова наверх увеличивает свою скорость в момент удара в 1,6 раза и...

И приехали. Тяжёлый шар падает в течении времени Т = корень( 2*H/g). При высоте падения 4 м имеем 0,9 секунды для нашего эксперимента(затыкайте уши!).
Максимальный эффект достигается только вблизи земли(скорости обоих шаров максимальны) Пусть задержка времени t выбрана так, чтобы шары встретились на полпути на высоте 2 м, скорость лёгкого шара 6,26м/сек, после удара 18,66.
Скорость тяжёлого шара уменьшилась на незначительную величину 0,12 м/сек.
Следующий удар должен произойти для точечных шаров через 0,16 секунды на высоте 101см над полом((2*2-x)/18,66 = x/6,14, x=0,99 м). Скорость шара увеличивается, и равна 30,69м/сек скорость тяжёлого равна 5,89 м/сек. Следующая встреча через 0,05 сек на высоте 73 см, скорость лёгкого: 42,11 м/сек а тяжёлого 5,53 м/сек... Всё теория, сцентрировать шары уже после второго удара тяжело, все расчёты не учитывали радиусы шаров итд. итп.

Из –за размеров шаров не равных нулю происходит ещё не одно! ускорение лёгкого шара – кидая резиновые мячики на твёрдом полу можно услышать как быстро увеличивается частота ударов шара о шар если их массы различны. Д.


Вот что мне удалось насчитать.
На графике по горизонтали отложено отношение масс верхнего шарика к нижнему. По вертикали - скорости в момент отскока по отношению к скорости перед самым ударом. Красная линия - верхний шарик, зеленая - нижний. Вот такая лабуда получается из простой задачки:


> > А эта модель работает для произвольных сочетаний масс? ;)

>


Остановились на самом интересном месте! Рекламная пауза? :)

> >
> Пусть шары падают под действием силы тяжести g с задержкой времени t с высоты H , тогда более лёгкий шар летит наверх навстречу тяжёлому (отношение масс 1:200), ударяется (почти не изменяя скорость верхнего), летит с почти 3-х кратной скоростью (в момент удара, чем выше удар h, тем меньше скорость v = корень( 2*g*(H-h)) )вниз снова наверх увеличивает свою скорость в момент удара в 1,6 раза и...

> И приехали. Тяжёлый шар падает в течении времени Т = корень( 2*H/g). При высоте падения 4 м имеем 0,9 секунды для нашего эксперимента(затыкайте уши!).
> Максимальный эффект достигается только вблизи земли(скорости обоих шаров максимальны) Пусть задержка времени t выбрана так, чтобы шары встретились на полпути на высоте 2 м, скорость лёгкого шара 6,26м/сек, после удара 18,66.
> Скорость тяжёлого шара уменьшилась на незначительную величину 0,12 м/сек.
> Следующий удар должен произойти для точечных шаров через 0,16 секунды на высоте 101см над полом((2*2-x)/18,66 = x/6,14, x=0,99 м). Скорость шара увеличивается, и равна 30,69м/сек скорость тяжёлого равна 5,89 м/сек. Следующая встреча через 0,05 сек на высоте 73 см, скорость лёгкого: 42,11 м/сек а тяжёлого 5,53 м/сек... Всё теория, сцентрировать шары уже после второго удара тяжело, все расчёты не учитывали радиусы шаров итд. итп.

> Из –за размеров шаров не равных нулю происходит ещё не одно! ускорение лёгкого шара – кидая резиновые мячики на твёрдом полу можно услышать как быстро увеличивается частота ударов шара о шар если их массы различны. Д.


> Остановились на самом интересном месте! Рекламная пауза? :)

Избыточное цитирование, чат.



> Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать. Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью.

Резиновый снеговик
Бросая резиновые мячики с определённым отношением их масс друг к другу можно добиться 100! кратной высоты начального броска. Отношение масс лёгкой к тяжёлой (закономерность каждого второго члена +2, и +1) должна выглядеть так:
1/3, ½, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 7/9, 4/5, 9/11. Высота подъема возрастает в n²(4,9,16,25… 100) раз. Масса самого лёгкого шара в 55 раз меньшая самого тяжёлого подпрыгнет на полкилометра если она упала с высоты 5 метров. Расчёты не учитывают размеры масс и сопротивление воздуха, предполагается что ВСЯ энергия шаров передаётся самому лёгкому шару.

P.S. Я эксперементировал с тремя шарами(диаметр 7, 16 и 40 см(60см шар было лень надувать)). Д.



Я уже вроде писал эту задачу, еще раз напишу по причине собравшейся новой тусы.

Задача такова ;-)
Есть колеко массы м, оно стоит вертикально, типа покатится если толкнешь (2Д задача).
На колечке в верхней точке приделана точка массы М. Все это дело начинает катиться (катята не при делах ;) ). Дак вот вопрос такой - при каком отношении масс колечка и точечки, что приделана на колечке, это колечко подпрыгнет в процессе своего качаения. В оригинале ничего не говорится про причину начала качения, потому и я не пишу; признаю, я ее так и не решил когда пытался.

то Модератор.
Я знаю, что с русским языком плоховато у меня. Но это правилам не противоречит полюбому ;-))) Так что не удаляй плиз, пусть пацаны помучаются, задачка-то хороша , сам понимаешь ;),. Я не против, если выделишь в отдельный пост и по-своему напишешь ;) Тока не удаляй %))


> Вот что мне удалось насчитать.
> На графике по горизонтали отложено отношение масс верхнего шарика к нижнему. По вертикали - скорости в момент отскока по отношению к скорости перед самым ударом. Красная линия - верхний шарик, зеленая - нижний. Вот такая лабуда получается из простой задачки:
>

Пусть отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3. Тогда скорость верхнего шарика в момент отскока должна = 0. У вас же она равна скорости шарика перед самым ударом:(


Скорость верхнего шарика НИКОГДА не может быть меньше единицы.
Из закона сохранения энергии.
А скорость нижнего НИКОГДА не может быть больше скорости верхнего. По жизни :)
Я уже писал об этом здесь:
http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15781.html

> Пусть отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3. Тогда скорость верхнего шарика в момент отскока должна = 0. У вас же она равна скорости шарика перед самым ударом:(


> Скорость верхнего шарика НИКОГДА не может быть меньше единицы.
> Из закона сохранения энергии.
> А скорость нижнего НИКОГДА не может быть больше скорости верхнего. По жизни :)
> Я уже писал об этом здесь:
> http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15781.html

> > Пусть отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3. Тогда скорость верхнего шарика в момент отскока должна = 0. У вас же она равна скорости шарика перед самым ударом:(

В своем выводе я уверен. Готов заключить пари.
Давайте уточним еще раз: речь идет об одном (единственном) столкновении вертикально падающих шаров с разными массами. Если задачу я и вы понимаем одинаково, то я готов заключить пари на любых ваших условиях. Но советую вам хорошо подумать:)



здесь:
http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15638.html

То, что шары могут не один раз столкнуться друг с другом и опорой прежде, чем отпрыгнуть, - не более чем умозрительная модель с допушением о малюсеньком зазорчике между ними. Можно ещё поспорить о применимости такой модели, ведь по условию задачи зазорчика нет.
Видимо, Вас ввело в заблуждение то, что на приведенном мною графике отложены скорости (лень было их в квадрат возводить), а в задаче предлагается найти высоты. Уточню: на графике отложены sqrt(H1) и sqrt(H2).
Где sgrt - корень квадратный, H1 - высота подскока верхнего шарика (красная линия), H2 - высота подскока нижнего шарика (зеленая линия).

Если ещё есть предмет для пари - я готов! ;)

> В своем выводе я уверен. Готов заключить пари.
> Давайте уточним еще раз: речь идет об одном (единственном) столкновении вертикально падающих шаров с разными массами. Если задачу я и вы понимаем одинаково, то я готов заключить пари на любых ваших условиях. Но советую вам хорошо подумать:)


> То, что шары могут не один раз столкнуться друг с другом и опорой прежде, чем отпрыгнуть, - не более чем умозрительная модель с допушением о малюсеньком зазорчике между ними. Можно ещё поспорить о применимости такой модели, ведь по условию задачи зазорчика нет.
> Видимо, Вас ввело в заблуждение то, что на приведенном мною графике отложены скорости (лень было их в квадрат возводить), а в задаче предлагается найти высоты. Уточню: на графике отложены sqrt(H1) и sqrt(H2).
> Где sgrt - корень квадратный, H1 - высота подскока верхнего шарика (красная линия), H2 - высота подскока нижнего шарика (зеленая линия).

> Если ещё есть предмет для пари - я готов! ;)

Мое утверждение: если отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3, тогда H1=0. Малюсенький зазорчик между шарами пусть будет; рассматриваем момент непосредственно после столкновения. Тогда нижний шар устремится вниз, а верхний-замрет. Если вы не согласны-выдвигайте условия пари. Заранее на них согласен.

> > В своем выводе я уверен. Готов заключить пари.
> > Давайте уточним еще раз: речь идет об одном (единственном) столкновении вертикально падающих шаров с разными массами. Если задачу я и вы понимаем одинаково, то я готов заключить пари на любых ваших условиях. Но советую вам хорошо подумать:)


> Мое утверждение: если отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3, тогда H1=0. Малюсенький зазорчик между шарами пусть будет; рассматриваем момент непосредственно после столкновения. Тогда нижний шар устремится вниз, а верхний-замрет. Если вы не согласны-выдвигайте условия пари. Заранее на них согласен.

Уточнение: конечно, dH1=0, V1=0.


> > Мое утверждение: если отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3, тогда H1=0. Малюсенький зазорчик между шарами пусть будет; рассматриваем момент непосредственно после столкновения. Тогда нижний шар устремится вниз, а верхний-замрет. Если вы не согласны-выдвигайте условия пари. Заранее на них согласен.
> Уточнение: конечно, dH1=0, V1=0.

Далее, нижний шар, устремившись (с удвоенной скоростью 2V) вниз, оттолкнется от опоры, изменив направление своей скорости на противоположное, и влепит по "замершему" верхнему снизу. Верхний от неожиданности такого поворота событий приобретет скорость V, направленную вверх, а нижний - такую же V, но направленную вниз. А там его поджидает опора, привычно изменяющая направление скорости. Теперь уже у нижнего шара нет импульса (относительная скорость по отношению к верхнему нулевая), чтобы наподдать верхнему шару. В результате имеем два шара, отлетающих вверх с одинаковыми скоростями V. И поднимутся они (оба), ни больше ни меньше, на первоначальную высоту.
Так как весь процесс проистекает в пределах "зазорчика", то, устремив его к нулю, можно считать, что всё это происходит МГНОВЕННО. Так что "замирать" просто некогда ;)
Понятно, что при бОльших массах верхнего шара будет болше актов умозрительных столкновений, прежде чем верхний шар станет удаляться от опоры со скоростью, большей, или равной, скорости нижнего шара (именно при этом условии они уже не смогут столкнуться в обозримом будущем).
Вот такие пироги...


> > > Мое утверждение: если отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3, тогда H1=0. Малюсенький зазорчик между шарами пусть будет; рассматриваем момент непосредственно после столкновения. Тогда нижний шар устремится вниз, а верхний-замрет. Если вы не согласны-выдвигайте условия пари. Заранее на них согласен.
> > Уточнение: конечно, dH1=0, V1=0.

> Далее, нижний шар, устремившись (с удвоенной скоростью 2V) вниз, оттолкнется от опоры, изменив направление своей скорости на противоположное, и влепит по "замершему" верхнему снизу. Верхний от неожиданности такого поворота событий приобретет скорость V, направленную вверх, а нижний - такую же V, но направленную вниз. А там его поджидает опора, привычно изменяющая направление скорости. Теперь уже у нижнего шара нет импульса (относительная скорость по отношению к верхнему нулевая), чтобы наподдать верхнему шару. В результате имеем два шара, отлетающих вверх с одинаковыми скоростями V. И поднимутся они (оба), ни больше ни меньше, на первоначальную высоту.
> Так как весь процесс проистекает в пределах "зазорчика", то, устремив его к нулю, можно считать, что всё это происходит МГНОВЕННО. Так что "замирать" просто некогда ;)
> Понятно, что при бОльших массах верхнего шара будет болше актов умозрительных столкновений, прежде чем верхний шар станет удаляться от опоры со скоростью, большей, или равной, скорости нижнего шара (именно при этом условии они уже не смогут столкнуться в обозримом будущем).
> Вот такие пироги...

Уважаемый Hyperboloid!
Я вас просил настоятельно уточнить количество актов столкновений. Сейчас вы говорите о множественных ударах. До этого - об одном ударе. Проясните для себя этот вопрос. Ваш график для скоростей, думаю, вы строили для одного удара. В противном случае необходимо ввести новый важный параметр - величину первоначального зазора.
Совет на будущее-не бойтесь признавать свои ошибки. В итоге вы выиграете, а не проиграете. Обратное тоже верно.


> Мое утверждение: если отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3, тогда H1=0. Малюсенький зазорчик между шарами пусть будет; рассматриваем момент непосредственно после столкновения. Тогда нижний шар устремится вниз, а верхний-замрет. Если вы не согласны-выдвигайте условия пари. Заранее на них согласен.


> > Мое утверждение: если отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3, тогда H1=0. Малюсенький зазорчик между шарами пусть будет; рассматриваем момент непосредственно после столкновения. Тогда нижний шар устремится вниз, а верхний-замрет. Если вы не согласны-выдвигайте условия пари. Заранее на них согласен.

>

Читать внимательно: "отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3", т.е. верхний шарик тяжелее нижнего в 3 раза! Тогда dH1=0, V1=0.


> Читать внимательно: "отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3", т.е. верхний шарик тяжелее нижнего в 3 раза! Тогда dH1=0, V1=0.


> > Читать внимательно: "отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3", т.е. верхний шарик тяжелее нижнего в 3 раза! Тогда dH1=0, V1=0.

>

Уже лучше!
Если не трудно, изобразите момент удара "растянутым" во времени, сделайте небольшой зазор перед ударом, и остановите симуляцию перед вторым столкновением. В промежуток времени между столкновениями верхний шар "зависает".
Спасибо!


Но я-таки не нашел, в каком месте я кого-либо ограничивал в количестве актов взаимодействия между шарами. Приведите ссылку, плиииизззз.

Кстати, если верхний шарик легче одной трети от нижнего, то болше одного стуканья и не происходит.

Мой график учитывает ВСЕ акты взаимодействия (посчитаны на компьютере) в рамках предложенной мною модели (с зазорчиком).

Вот Alexander ведь понял же меня - знай себе мультики клепает! Жаль только, что молча ;) А ведь его модель (на вид) полностью соответствует моему графику.

И еще. Мои рассуждения основываются на ГИПОТЕЗЕ, что зазор бесконечно мал и от его величины ничего не зависит. Повторяю - ГИПОТЕЗЕ! Собственно, правомерность своих рассуждений я и хотел проверить на прочность, разместив задачу на этом форуме. И вовсе не ставил себе целью меряться с кем-либо планками (речь не о постоянной Макса Планка ;)
Надеюсь, никого не обидел?
Все равно, прошу прощения.



> > > Пусть отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3. Тогда скорость верхнего шарика в момент отскока должна = 0. У вас же она равна скорости шарика перед самым ударом:(

> В своем выводе я уверен. Готов заключить пари.
> Давайте уточним еще раз: речь идет об одном (единственном) столкновении вертикально падающих шаров с разными массами. Если задачу я и вы понимаем одинаково, то я готов заключить пари на любых ваших условиях. Но советую вам хорошо подумать:)

Уважаемый Sleo, я думаю понял куда Вы клоните, скорость шарика на полу перед ударом максимальна и после удара об пол максимальна- это утверждает Ваш оппонент Hyperboloid - он прав, Шарик деформированный и лежащий в тесном контакте на полу имеет скорость нуль- Вы правы. Но не забывайте что энергия и импульс не исчезают- сравните шарик с сжатой пружиной и Вы поймёте почему в конечном итоге Ваш оппонент выйграет этот спор(кстати вычисления скоростей взаимодействующих шариков я делал с помощью програмки которую я Вам когда то послал, и я могу только подтвердить утверждения Hyperboloid).

Hyperboloid проверяет свои утверждения на практике, он может например положить шарик на пол(даже приклеить его) и бросить на него другим- расчёты будут проводиться тогда только для шарика который падает.

Повторяю ещё раз -если Вы ведёте к тому, что шаприк в момент соприкосновения с землёй имеет нулевую скорость, то это утверждение длиться только одно мгновение.
С уважением Д.



Этот график неправильный. Если масса верхнего шара больше нижнего и зазор между ними не равен нулю, тогда имеем дело с затухающим колебаниями, скорость верхнего шара замедляется НО не изменяется на противоположную!
Лёгкий шар НЕ в состоянии изменить НаправлениЕ движения тяжёлого.
Неверите - экспериментируйте!

С уважением Д.

>


Где тогда прокол в моих рассуждениях (по ссылке)?
http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15914.html
Колебания нижнего шарика затухают по амплитуде, но нарастают по скорости, аккумулируя импульс/энергию всей системы. Максимальную энергию нижний шарик соберет, когда верхний "замрет" на мгновение, а потом пойдет перекачка энергии от нижнего к верхнему. Нижний будет биться (и в прямом и в переносном смысле) до тех пор, пока не только изменит направление скорости вернего, но и заставит его двигаться быстрее себя.


> Этот график неправильный. Если масса верхнего шара больше нижнего и зазор между ними не равен нулю, тогда имеем дело с затухающим колебаниями, скорость верхнего шара замедляется НО не изменяется на противоположную!
> Лёгкий шар НЕ в состоянии изменить НаправлениЕ движения тяжёлого.
> Неверите - экспериментируйте!

> С уважением Д.


> Но я-таки не нашел, в каком месте я кого-либо ограничивал в количестве актов взаимодействия между шарами. Приведите ссылку, плиииизззз.

> Кстати, если верхний шарик легче одной трети от нижнего, то болше одного стуканья и не происходит.

> Мой график учитывает ВСЕ акты взаимодействия (посчитаны на компьютере) в рамках предложенной мною модели (с зазорчиком).

> Вот Alexander ведь понял же меня - знай себе мультики клепает! Жаль только, что молча ;) А ведь его модель (на вид) полностью соответствует моему графику.

> И еще. Мои рассуждения основываются на ГИПОТЕЗЕ, что зазор бесконечно мал и от его величины ничего не зависит. Повторяю - ГИПОТЕЗЕ! Собственно, правомерность своих рассуждений я и хотел проверить на прочность, разместив задачу на этом форуме. И вовсе не ставил себе целью меряться с кем-либо планками (речь не о постоянной Макса Планка ;)
> Надеюсь, никого не обидел?
> Все равно, прошу прощения.

Я не призывал вас виниться в грехах, если вы не чувствуете себя виноватым.
Теперь-цитирую вас:
"Скорость верхнего шарика НИКОГДА не может быть меньше единицы.
Из закона сохранения энергии."
После этого я уточнил: одно столкновение.
Ваш ответ:
"То, что шары могут не один раз столкнуться друг с другом и опорой прежде, чем отпрыгнуть, - не более чем умозрительная модель с допушением о малюсеньком зазорчике между ними. Можно ещё поспорить о применимости такой модели, ведь по условию задачи зазорчика нет."
Как мне нужно было интерпретировать ваши слова? Я понял, что одно столкновение-легитимно. Помните, я в самом начале сказал, что задачу с бОльшим числом столкновений решать не буду? Вам было понятно, что я всегда говорю об одном столкновении?
Теперь я понимаю, что вы рассматриваете случай N столкновений. В этом случае центр масс системы двух шаров должен совершать колебания с амплитудой, не превышающей Но. При этом Но достигается только в редком случае V1=V2=0. Думаю, вы это и без меня знаете:)



> Где тогда прокол в моих рассуждениях (по ссылке)?

> Колебания нижнего шарика затухают по амплитуде, но нарастают по скорости, аккумулируя импульс/энергию всей системы. Максимальную энергию нижний шарик соберет, когда верхний "замрет" на мгновение, а потом пойдет перекачка энергии от нижнего к верхнему. Нижний будет биться (и в прямом и в переносном смысле) до тех пор, пока не только изменит направление скорости вернего, но и заставит его двигаться быстрее себя.

Слово замрёт неверно- замедлит движение -да! но не замрёт. Считайте, проверяйте на практике- условие зазор(чем больше тем нагляднее)! между шарами.Верхний шар тяжелее нижнего передача импульса происходит линейно в зависимости от скоростей взаимодействия и нелинейно при передаче энергии- т.е. при взаимодействии двух различных масс более лёгкая получит большую энергию!(ВЫСТРЕЛ ИЗ РУЖЬЯ НАПРИМЕР).

Тяжёлый шар подпрыгнет только тогда, когда более лёгкий, нижний будет иметь контакт с полом и ПРЕНАДЛЕЖАТЬ К ПОЛУ т.е. массе Земли!
С уважение Д.
> > Этот график неправильный. Если масса верхнего шара больше нижнего и зазор между ними не равен нулю, тогда имеем дело с затухающим колебаниями, скорость верхнего шара замедляется НО не изменяется на противоположную!
> > Лёгкий шар НЕ в состоянии изменить НаправлениЕ движения тяжёлого.
> > Неверите - экспериментируйте!

> > С уважением Д.


Давайте вернемся к исходной позиции, то есть сюда:
http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15638.html

Предложите Ваше решение задачи.
Как будут выглядеть графики Hv(Mv/Mn) и Hn(Mv/Mn)?
(Индекс "v" соответствует верхнему шарику. "n" - соответственно, нижнему.)


> Как мне нужно было интерпретировать ваши слова? Я понял, что одно столкновение-легитимно. Помните, я в самом начале сказал, что задачу с бОльшим числом столкновений решать не буду? Вам было понятно, что я всегда говорю об одном столкновении?

И я говорю о ПЕРВОМ отскоке от пола!
Давайте так: зазорчика в условиях задачи НЕТ (это моя бредовая гипотеза). Станцуем от печки:
http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15928.html


> И я говорю о ПЕРВОМ отскоке от пола!
> Давайте так: зазорчика в условиях задачи НЕТ (это моя бредовая гипотеза). Станцуем от печки:

Ну тогда просто: ВСЯ запасенная энергия обоих шариков/мячиков передастся верхнему, нижний останется недвижно лежать на полу. С уважением Д.


> Ну тогда просто: ВСЯ запасенная энергия обоих шариков/мячиков передастся верхнему, нижний останется недвижно лежать на полу. С уважением Д.

Это справедливо при любых Mv/Mn ? 8-[]
Или только для Mv>Mn ?
И как это обосновать? Докажи!
И как же тогда этот случай?
http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15759.html


> И я говорю о ПЕРВОМ отскоке от пола!
> Давайте так: зазорчика в условиях задачи НЕТ (это моя бредовая гипотеза). Станцуем от печки:
> http://forum.nad.ru/rusboard/messages/15928.html

Какой тупик? Ваша задача нечетко поставлена. Возможна неоднозначность.
Пример : Пусть падают не два шара, а один, но после отскока шар расстыковавается на две отдельные части - нижнюю и верхнюю половинки. Ясно, что их скорости всегда будут одинаковыми.
Мораль: взаимодействие между шарами в вашей задаче нуждается в доопределении.


Что тут еще доопределять?
Шара - два. То есть, их ничто не связывает. Ни до, ни после удара.

> Какой тупик? Ваша задача нечетко поставлена. Возможна неоднозначность.
> Пример : Пусть падают не два шара, а один, но после отскока шар расстыковавается на две отдельные части - нижнюю и верхнюю половинки. Ясно, что их скорости всегда будут одинаковыми.
> Мораль: взаимодействие между шарами в вашей задаче нуждается в доопределении.


> > Какой тупик? Ваша задача нечетко поставлена. Возможна неоднозначность.
> > Пример : Пусть падают не два шара, а один, но после отскока шар расстыковавается на две отдельные части - нижнюю и верхнюю половинки. Ясно, что их скорости всегда будут одинаковыми.
> > Мораль: взаимодействие между шарами в вашей задаче нуждается в доопределении.

> Что тут еще доопределять?
> Шара - два. То есть, их ничто не связывает. Ни до, ни после удара.

В таком случае я волен считать два вместе летящих шара как одно тело. После отскока от пола их скорости всегда одинаковы.
Ну как, не будете доопределять?


Ведь эксперимент с баскетбольным мячом и пинг-понговым шариком ясно показывает - скорости отнюдь не одинаковые :(

> В таком случае я волен считать два вместе летящих шара как одно тело. После отскока от пола их скорости всегда одинаковы.
> Ну как, не будете доопределять?


> Есть такая конструкция унитазов, в которых по оси "процесса" стоит вода. Ну, все уже поняли ;) Эффект - просто бидЭ.

А зачем в Штатах, кстати, такие унитазы? Из-за этого кумулятивного эффекта весь зад мокрый. Может они с запахом так борются?


> > В таком случае я волен считать два вместе летящих шара как одно тело. После отскока от пола их скорости всегда одинаковы.
> > Ну как, не будете доопределять?

> Ведь эксперимент с баскетбольным мячом и пинг-понговым шариком ясно показывает - скорости отнюдь не одинаковые :(

К сожалению, задача не из простых. Общий подход вряд ли возможен. Вы должны ограничиться рамками конкретной задачи.
Что касается эксперимента с баскетбольным мячом и пинг-понговым шариком, то здесь хорошо видно, что природа сил имеет большое значение. Вероятно, "решающей" значение имеет колебание газа внутри баскетбольного мяча. Кстати, частота собственных колебаний будет слабо отличаться от собственных колебаний газа в резонаторе Гельмгольца (см. К.Магнус "Колебания"). Возможно, вам следует более тщательно проработать теорию колебаний (связанные колебания; "разрывные" движения).
Предложенная вами простая модель 2-х шаров с начальным небольшим зазором небезинтересна. Почти не сомневаюсь, что она уже просчитана. Поищите. Если мне попадется что-то, я дам знать.


ЗДЕСЬ графики

> К сожалению, задача не из простых. Общий подход вряд ли возможен. Вы должны ограничиться рамками конкретной задачи.
> Что касается эксперимента с баскетбольным мячом и пинг-понговым шариком, то здесь хорошо видно, что природа сил имеет большое значение. Вероятно, "решающей" значение имеет колебание газа внутри баскетбольного мяча. Кстати, частота собственных колебаний будет слабо отличаться от собственных колебаний газа в резонаторе Гельмгольца (см. К.Магнус "Колебания"). Возможно, вам следует более тщательно проработать теорию колебаний (связанные колебания; "разрывные" движения).

Чует мое сердце, газодинамика здесь ни при чём ;) Думаю, любые упругие (монолитно-резиновые, например) шары поступили бы точно так же. И теория колебаний тоже ни при чём. Чему там колебаться, если соударения абсолютно упруги? То есть, энергия на колебания внутренностей шара не расходуется.

> Предложенная вами простая модель 2-х шаров с начальным небольшим зазором небезинтересна. Почти не сомневаюсь, что она уже просчитана. Поищите. Если мне попадется что-то, я дам знать.

Очень буду признателен, если найдется что-нибудь. Особенно аналититическое решение ;)



> Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать. Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью. Размерами шаров по сравнению с Н можно пренебречь. Зависимостью ускорения свободного падения от высоты также пренебрегаем. Релятивисткими эффектами тоже ;)

Это очень хороший пример очень плохой задачи :-),
за которую нужно ставить 2 не студенту, а экзаменатору, ее составившему.
При внешней простоте в ней нет достаточных данных для решения.

Распределение энергии между абсолютно упругими шарами после удара
зависит не только от их масс, но и от "механизма удара"(величины и скорости
нарастания и убывания упругой деформации, радиусов шаров, их материала,
условий удара: шар, зажатый между плоскостью и другим шаром деформируется
иначе, чем верхний). Характер удара нелинейно зависит и от величины скорости.
И удары не могут долго оставаться центральными.

Поскольку ударов много, нельзя совсем не учитывать потери энергии.

Даже более простая задача: отскоки 1 шара от абсолютно упругой плоскости
не имеет простого решения. После удара плоскость начнет колебаться.
При втором ударе шар встречается не с неподвижной плоскостью.
А ее колебания после удара 2 меняются. Возможен резонанс и т.д.

Условия задачи нужно конкретизироать и рассматривать много разных
вариантов.


> > Ну тогда просто: ВСЯ запасенная энергия обоих шариков/мячиков передастся верхнему, нижний останется недвижно лежать на полу. С уважением Д.

> 1Это справедливо при любых Mv/Mn ? 8-[]
> 2Или только для Mv>Mn ?
> 3И как это обосновать? Докажи!
> 4И как же тогда этот случай?


1 - Если зазора нет то отношение масс неважно(энергия/импульс не могут теряться)
2-смотрите 1, рисуя функцию для соотношений скоростей больше, меньше и равной 1, Вы получите НЕПРЕРЫВНУЮ функцию.
3-смотрите 1 то бишь учитывайте з-ны сохранения (ЕСЛИ ЛЁГКИЙ ШАР СВЕРХУ, то он подпрыгнет конечно выше- никаких чудес в физике не бывает)
4-смотрите 1 и Ваши собственные расчёты - они абсолютно верны!

Для лучшего понимания этого примера представьте себе Вы стреляете из ружья находясь на поезде который двигается скажем со скоростью 20 м/сек и попадаете в неподвижную мишень пулей 10 грамм. Скорость вылета пули из ружья -скажем 300 м/сек. Если Вы поняли з-ны сохранения правильно, то у Вас появится ещё один вопрос к условиям этой задачи, если же Вы сразу же высчитаете энергию удара то скорее всего не сможете объяснить почему прирост энергии пули пропорционален(300+20)² а не 300² + 20² - т.е. Вы должны объяснить откуда взялась избыточная энергия пропорциональная 2*30*20.
С уважением Д.



> Это очень хороший пример очень плохой задачи :-),
> за которую нужно ставить 2 не студенту, а экзаменатору, ее составившему.
> При внешней простоте в ней нет достаточных данных для решения.

> Распределение энергии между абсолютно упругими шарами после удара
> зависит не только от их масс, но и от "механизма удара"(величины и скорости
> нарастания и убывания упругой деформации, радиусов шаров, их материала,
> условий удара: шар, зажатый между плоскостью и другим шаром деформируется
> иначе, чем верхний). Характер удара нелинейно зависит и от величины скорости.
> И удары не могут долго оставаться центральными.

> Поскольку ударов много, нельзя совсем не учитывать потери энергии.

> Даже более простая задача: отскоки 1 шара от абсолютно упругой плоскости
> не имеет простого решения. После удара плоскость начнет колебаться.
> При втором ударе шар встречается не с неподвижной плоскостью.
> А ее колебания после удара 2 меняются. Возможен резонанс и т.д.

> Условия задачи нужно конкретизироать и рассматривать много разных
> вариантов.

Вы правы можно учесть неровность поверхности, сопротивление воздуха, нагрев и заряд падующего шара, положение Луны и Солнца сдвиг центра тяжести шара, его ротацию после удара и...
Но Вы не правы - физические задачи решаются для ИДЕАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ!
Масса Земли должна в 10 000 раз больше массы падающего шара, всё стальное НЕВАЖНО. Упругий удар, высота падения, массы обоих шаров ДОСТАТОЧНЫ чтобы рассчитать поведение последних после удара если они подскаивают в верх в условиях Луны(безвоздушное пространство)без вращения и излучения.

Важен принцип, а с остальным как нибудь разберёмся.
С уважением Д.



> Но Вы не правы - физические задачи решаются для ИДЕАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ!

И какие же условия идеальны ?

> Масса Земли должна в 10 000 раз больше массы падающего шара, всё стальное НЕВАЖНО.

Вы забыли условие задачи: шар "над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью".
При чем тут масса Земли ?
Если ударить по такой плоскости шаром, будут колебания ? Безусловно.
Вы можете их посчитать, не зная упругих свойств плоскости ?
Сколько энергии на них пойдет ?

> Упругий удар, высота падения, массы обоих шаров ДОСТАТОЧНЫ чтобы рассчитать поведение последних после удара если они подскаивают в верх в условиях Луны(безвоздушное пространство)без вращения и излучения.

Нет. Легкий шар может отскочить от тяжелого с разной скоростью.
Она зависит от упругих свойств шаров, которые не определяются массой
и не заданы в задаче.


> > Предложенная вами простая модель 2-х шаров с начальным небольшим зазором небезинтересна. Почти не сомневаюсь, что она уже просчитана. Поищите. Если мне попадется что-то, я дам знать.

> Очень буду признателен, если найдется что-нибудь. Особенно аналититическое решение ;)

Если у вас есть готовая программа для счета модели 2-х шаров с начальным небольшим зазором, то можете проверить применимость теоремы вириала для такой системы. Вы, конечно, знаете, что теорема вириала связывает между собой среднюю кинетическую энергию системы частиц и среднюю потенциальную энергию системы частиц. Так, если K - средняя кинетическая энергия системы частиц, U - средняя потенциальная энергия системы частиц, то теорема вириала выглядит как:
K = U - для гармонических колебаний,
K = -U/2 - для гравитационного или электростатического взаимодействия. И т.д.
Если вам это не трудно, то зафиксируйте отношение масс шаров, ширину зазора, и найдите эти средние энергии за большой промежуток времени. Думаю, что для других отношений масс отношение средних энергий будет тем же.


такой удар, при котором выполняются законы сохранения механической энергии и импульса. То есть, после столкновения деформация бесследно исчезает, не отхватив ни капли энергии для поддержания своей жизни.


Ведь здесь не средние величины нужны...
Ладно, порисую на досуге...
Будут результаты - доложу. Если интересно.


> такой удар, при котором выполняются законы сохранения механической энергии и импульса. То есть, после столкновения деформация бесследно исчезает, не отхватив ни капли энергии для поддержания своей жизни.

В Вашей задаче нет ни слова про Абсолютно упругий удар.
Есть Абсолютно упругая плоскость - такая, механические колебания которой
сохраняются без потерь.
И Абсолютно упругие шары - похожи на Абсолютно упругую плоскость.
Но и при Абсолютно упругом ударе распределение энергии между
легким и тяжелым нужно задать дополнительно.


Позвольте воспользоваться словами сэра Исаака:
"Я усерднейше прошу о том, чтобы все здесь изложенное читалось с благосклонностью и чтобы недостатки в столь трудном предмете не осуждались бы, а пополнялись новыми трудами и исследованиями."
И. Ньютон

Хорошо, я поработаю над второй редакцией текста задачи, обложивщись толковыми словарями и энциклопедиями. Но ведь и так понятно, что имеется ввиду в постановке задачи - абсолютно упругие удары. НЕТ передачи энергии во внутренность шаров и плиты.

> В Вашей задаче нет ни слова про Абсолютно упругий удар.
> Есть Абсолютно упругая плоскость - такая, механические колебания которой
> сохраняются без потерь.
> И Абсолютно упругие шары - похожи на Абсолютно упругую плоскость.
> Но и при Абсолютно упругом ударе распределение энергии между
> легким и тяжелым нужно задать дополнительно.

Из каких соображений делить энергию? По братски, поровну, по честному или по справедливости? Пусть сэр Исаак распределит энергию ;) А мы попытаемся её вычислить.



> Хорошо, я поработаю над второй редакцией текста задачи

Ждем -с

> Но ведь и так понятно, что имеется ввиду в постановке задачи - абсолютно упругие удары.

По аналогии. Когда я говорю белый и так понятно, что имеется ввиду черный.

> НЕТ передачи энергии во внутренность шаров и плиты.

Опять неточность. Не бывает ударов без передачи энергии (во время удара)

> > Но и при Абсолютно упругом ударе распределение энергии между
> > легким и тяжелым нужно задать дополнительно.

> Из каких соображений делить энергию?

Про это я уже писал.
Сообщение №15953 от Gusev
Коротко: деление энергии зависит от соотношения упругости тел.



> По аналогии. Когда я говорю белый и так понятно, что имеется ввиду черный.
Ну, Вас то я понял... Потому что старался понять...

> Опять неточность. Не бывает ударов без передачи энергии (во время удара)
Бывает. Апоплексический удар, например :)

> Коротко: деление энергии зависит от соотношения упругости тел.
Абсольтные тела абсолютно одинаковы. Масса только разная ;)


> Ведь здесь не средние величины нужны...
> Ладно, порисую на досуге...
> Будут результаты - доложу. Если интересно.

Мне интересно. Дело в том, что я как-то собирался (из чистого интереса) просчитать задачу, очень похожую на вашу, но только для легкого верхнего тела. Задача возникла после того, что я прочел о принципиальной возможности создания устройства без движущихся частей, которое позволяет подавать воду на высоту бОльшую, чем уровень воды верхнего водоема, используя лишь перепад высот двух водоемов. Но руки не дошли:).
Что касается теоремы вириала. Напомню, что уравнение состояния реальных газов было вначале получено именно с ее помощью (не зря входящие в уравнение коэффициенты называются вириальными). Ваша задача - в каком-то смысле статистическая, ибо на большом промежутке времени моменты столкновений хаотизируются. Информация о средних значениях энергии K и U важна со многих точек зрения. Я предполагал, что соотношение между K и U не зависит от соотношения масс шаров; не исключаю, что ошибся. Вполне возможно, что средняя полная энергия имеет "кинетический" характер, когда верхний шар тяжелый, и "потенциальный" характер в противном случае.
Если до вас это никто не сделал (продолжаю сомневаться), то из этой вашей задачи можете сделать конфетку:)


Вы не хотите признать свои ошибки. Жаль.

> Абсольтные тела абсолютно одинаковы. Масса только разная ;)

Тела разной массы не могут быть одинаково упруги.
Или они разного радиуса. Или они из разного материала.
А у Вас они еще разной формы: шар и плоскость.
Упругость и от формы зависит.



> > > Пусть отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3. Тогда скорость верхнего шарика в момент отскока должна = 0.

Уважаемый, sleo !
В "момент отскока" скорость обычно меняется от V1(до удара) до V2(после удара). Вы, вероятно, имеете ввиду =0 сразу после удара.

> В своем выводе я уверен. Готов заключить пари.
> Давайте уточним еще раз: речь идет об одном (единственном) столкновении вертикально падающих шаров с разными массами. Если задачу я и вы понимаем одинаково, то я готов заключить пари на любых ваших условиях. Но советую вам хорошо подумать:)

Я показал в Сообщении №15953 от Gusev
что эта скорость зависит не только от масс, но и от упругости шаров.
Поэтому Ваше утверждение я считаю неверным.
Согласны ли Вы с этим ?
И с тем, что я выииграл пари ? :-)



>
> > > > Пусть отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3. Тогда скорость верхнего шарика в момент отскока должна = 0.

> Уважаемый, sleo !
> В "момент отскока" скорость обычно меняется от V1(до удара) до V2(после удара). Вы, вероятно, имеете ввиду =0 сразу после удара.

> > В своем выводе я уверен. Готов заключить пари.
> > Давайте уточним еще раз: речь идет об одном (единственном) столкновении вертикально падающих шаров с разными массами. Если задачу я и вы понимаем одинаково, то я готов заключить пари на любых ваших условиях. Но советую вам хорошо подумать:)

> Я показал в Сообщении №15953 от Gusev
> что эта скорость зависит не только от масс, но и от упругости шаров.
> Поэтому Ваше утверждение я считаю неверным.
> Согласны ли Вы с этим ?
> И с тем, что я выииграл пари ? :-)

Извините, запямятовал: когда я вам предлагал пари?
Пари я предлогал Hyperboloid-у. В задаче коэффициент восстановления скорости принимался равным 1. Если вы согласны на такие условия, я к вашим услугам.




> В задаче коэффициент восстановления скорости принимался равным 1.

А что это такое ?(и еше при ударе 2 тел о плоскость) ?


>
> > В задаче коэффициент восстановления скорости принимался равным 1.

> А что это такое ?(и еше при ударе 2 тел о плоскость) ?

коэффициент восстановления

А вам самому тяжело было найти?


в известном всем направлении. Не соизволите ли последовать за мной? ;)

Интересно, как бы Вы решали, например, эту Контрольную работу?

Модератору. Неплохо бы создать "Форум для демагогов" и ссылать туда дослужившихся до этого звания участников. Готов первым отбыть там наказание за неприлично долгое поддержание этой тупиковой подветви.

> Вы не хотите признать свои ошибки. Жаль.

> > Абсольтные тела абсолютно одинаковы. Масса только разная ;)

> Тела разной массы не могут быть одинаково упруги.
> Или они разного радиуса. Или они из разного материала.
> А у Вас они еще разной формы: шар и плоскость.
> Упругость и от формы зависит.


> >
> > > В задаче коэффициент восстановления скорости принимался равным 1.

> > А что это такое ?(и еше при ударе 2 тел о плоскость) ?

> коэффициент восстановления

В этом источнике речь идет о коэффициенте восстановления энергии.(не скорости)
При упругом ударе он =1. С этим дополнительным условием задачи я согласен.
Но этого условия не достаточно для для решения задачи !


> > >
> > > > В задаче коэффициент восстановления скорости принимался равным 1.

> > > А что это такое ?(и еше при ударе 2 тел о плоскость) ?

> > коэффициент восстановления

> В этом источнике речь идет о коэффициенте восстановления энергии.(не скорости)
> При упругом ударе он =1. С этим дополнительным условием задачи я согласен.
> Но этого условия не достаточно для для решения задачи !

В БСЭ речь идет о коэффициенте восстановления именно не скорости. Рассматриваются отношения скоростей. В сети есть масса ссылок. Навскидку:

коэффициент восстановления скорости К

Вам, видимо, проще получать информацию "на шарик".
Приведенных условий вполне достаточно для решения задачи столкновения 2-х шаров, после которого один шар "замирает".


> > > >
> > > > > В задаче коэффициент восстановления скорости принимался равным 1.

> > > > А что это такое ?(и еше при ударе 2 тел о плоскость) ?

> > > коэффициент восстановления

> > В этом источнике речь идет о коэффициенте восстановления энергии.(не скорости)
> > При упругом ударе он =1. С этим дополнительным условием задачи я согласен.
> > Но этого условия не достаточно для для решения задачи !

> В БСЭ речь идет о коэффициенте восстановления именно не скорости. Рассматриваются отношения скоростей. В сети есть масса ссылок. Навскидку:

> коэффициент восстановления скорости К

> Вам, видимо, проще получать информацию "на шарик".
> Приведенных условий вполне достаточно для решения задачи столкновения 2-х шаров, после которого один шар "замирает".

Опечатка! Читать:
"В БСЭ речь идет о коэффициенте восстановления именно скорости."


> > > > >
> > > > > > В задаче коэффициент восстановления скорости принимался равным 1.

> > > > > А что это такое ?(и еше при ударе 2 тел о плоскость) ?


> > коэффициент восстановления скорости К

В этом источнике коэффициент восстановления скорости определяется
только для столкновения шара с плоскостью. И в этом случае он совпадает
с коэффициентом восстановления энергии.
В исходной задаче речь идет о ударе 3 тел.
Я просил Вас дать определение для этого случая.
Ждем -с.


> В исходной задаче речь идет о ударе 3 тел.
> Я просил Вас дать определение для этого случая.
> Ждем -с.

В задаче-пари речь шла о ударе 2 тел. Однократное столкновение двух шаров. Я формулировал именно так. Когда это стало прозрачно, предмет для спора исчез сам собой.


> > В исходной задаче речь идет о ударе 3 тел.

> В задаче-пари речь шла о ударе 2 тел. Однократное столкновение двух шаров. Я формулировал именно так. Когда это стало прозрачно, предмет для спора исчез сам собой.

1.Вы не говорили, что решаете не исходную задачу.(Отбросили плоскость).
2.Вы согласны, что если исходную задачу дополнить условием:
коэффициент восстановления энергии =1, она остается неопределенной ?
3.Вы согласны, что невозможно дать определение коэффициента восстановления скорости для 3 тел ?
4.Вы согласны, что для 2 тел при коэффициенте восстановления энергии =1
результат столкновения зависит от их упругости ?
5.Вы согласны, что тела разной массы имеют разную упругость ?


> > > В исходной задаче речь идет о ударе 3 тел.

> > В задаче-пари речь шла о ударе 2 тел. Однократное столкновение двух шаров. Я формулировал именно так. Когда это стало прозрачно, предмет для спора исчез сам собой.

> 1.Вы не говорили, что решаете не исходную задачу.(Отбросили плоскость).
> 2.Вы согласны, что если исходную задачу дополнить условием:
> коэффициент восстановления энергии =1, она остается неопределенной ?
> 3.Вы согласны, что невозможно дать определение коэффициента восстановления скорости для 3 тел ?
> 4.Вы согласны, что для 2 тел при коэффициенте восстановления энергии =1
> результат столкновения зависит от их упругости ?
> 5.Вы согласны, что тела разной массы имеют разную упругость ?

По пятому пункту - полный консенсус:)


> > Остановились на самом интересном месте! Рекламная пауза? :)

> Избыточное цитирование, чат.

Гиперболоид походу статью про эти шарики пишет по мотивам форума. А может на шнобеля позариться решил?
Сдались они вам? Решите лучше такую задачу :) :

найти угловое распределение фтонов излучающихся при переходе |2p> -> |1s> тома водорода.

Хоть намекните, как подобраться??


> Отвлекитесь от теории относительности и квантов! В классической кинематике тоже много занятного. Например, эта задачка:

> Два абсолютно упругих шара массой М1 и М2 расположены над абсолютно упругой горизонтальной плоскостью на высоте Н один над другим, касаясь друг-друга. Шары отпускают свободно падать. Определить, на какую высоту подпрыгнет каждый шар после соударения с плоскостью. Размерами шаров по сравнению с Н можно пренебречь. Зависимостью ускорения свободного падения от высоты также пренебрегаем. Релятивисткими эффектами тоже ;)

Беглый просмотр данной задачи показал, что несмотря на то, что в задаче однозначно сказано об илеальном упругом ударе, рассматривается все же другой удар. (Возможно участники уже и разобрались с этим, тогда прошу прощенья)
При абсолютно упругом ударе о такую же плоскость шары сменят только направление движения оставаясь в исходном состоянии, т.е
отанутся находиться "один над другим, касаясь друг-друга"!


> найти угловое распределение фтонов излучающихся при переходе |2p> -> |1s> тома водорода.

> Хоть намекните, как подобраться??

В 8-9 томах Фейнмановского курса эта задача (об угловом распределении)рассматривается наилучшим образом. Сначала фиксируем состояние атома (по проекциям орбитального момента на ось z), потом, считая заданной амплитуду распада под нулевым углом, находим амплитуды распада в фиксированные спиновые состояния фотона под произвольным углом. Это будут соответствующие элементы матрицы поворота для спина 1.
Например,
f_{1+} = a(1 + \cos \theta)/2
f_{1-} = a(1 - \cos \theta)/2

Итоговое угловое распределение получается суммированием квадратов модулей амплитуд
F_1(\theta) = |a|^2/2(1 + \cos^2 \theta).


Две груженые тележки массой М1 и М2, касаясь друг друга и двигаясь по горизонтальной плоскости с одинаковой скоростью V, абсолютно упруго ударяются о стену (см. рисунок). Определить, с какой скоростью будет двигаться каждая тележка после удара.

Теперь для особо дотошных ;)
Пренебрегаем: всевозможным трением, массой колес, сопротивлением воздуха, релятивисткими эффектами, потерями энергии на нагрев и остаточные упругие колебания буферов тележек (для сверхдотошных я на стене закрепил точно такой же буфер, как на тележках). Все буферы одинаковы (это для тех, кто считает, что у разных масс разные абсолютные упругости). Тележки между собой взаимодействуют также абсолютно упруго. Под массой подразумевается совокупная масса тележки с грузом (при желании можете считать тележки невесомыми, а всю массу сосредоточить в грузе). Тележки при ударе не сминаются, груз не выплескивается, колеса не отваливаются :)
Ежели чего забыл - напомните и дополните. У меня нет цели слукавить на некорректно поставленных условиях, мне интересно найти аналитическое решение этой задачи.
Кстати, в такой постановке эта задача, не теряя сути, содержащейся в варианте с подпрыгивающими шарами, очень близка к жизни. Железнодорожники должны оценить, особенно "кумулятивный эффект". Надо бы их известить о возможных катастрофах на сортировочных станциях. А то ... "мужики-то не знают" ;)


> Две груженые тележки массой М1 и М2, касаясь друг друга и двигаясь по горизонтальной плоскости с одинаковой скоростью V, абсолютно упруго ударяются о стену (см. рисунок). Определить, с какой скоростью будет двигаться каждая тележка после удара.


Ответ на данную задачу дан мной выше.
Интерес представляет центральный (нецентральный более общий и более сложный) упругий удар двух масс с неким зазором между ними. (В реальности даже упругий удар сопровождается некой деформацией и, следовательно, иногда может рассматриваться как взаимодействие с неким зазором.)
Для случая с зазором задачу можно представить так: Два шара с общей массой «М» , масса верхнего шара «м». Исходная скорость (в момент удара для обеих шаров одинакова (задана постоянная энергия и импульс).
1. Найти отношение энергий (импульсов) шаров после удара в зависимости от отношения их масс.
2. Определить (найти) минимальный импульс при взаимодействии с плоскостью. (Какое соотношение масс?)
3. Что будет происходить, если масса нижнего шара будет меньше, чем при минимальном импульсе?


> > Две груженые тележки массой М1 и М2, касаясь друг друга и двигаясь по горизонтальной плоскости с одинаковой скоростью V, абсолютно упруго ударяются о стену (см. рисунок). Определить, с какой скоростью будет двигаться каждая тележка после удара.

>
> Ответ на данную задачу дан мной выше.

Не верю в ваш ответ! Обоснуйте! Опровергните ЭТО

> Интерес представляет центральный (нецентральный более общий и более сложный) упругий удар двух масс с неким зазором между ними. (В реальности даже упругий удар сопровождается некой деформацией и, следовательно, иногда может рассматриваться как взаимодействие с неким зазором.)

Давайте, для начала, с центральным разберемся.

> Для случая с зазором задачу можно представить так: Два шара с общей массой «М» , масса верхнего шара «м». Исходная скорость (в момент удара для обеих шаров одинакова (задана постоянная энергия и импульс).
> 1. Найти отношение энергий (импульсов) шаров после удара в зависимости от отношения их масс.
> 2. Определить (найти) минимальный импульс при взаимодействии с плоскостью. (Какое соотношение масс?)
> 3. Что будет происходить, если масса нижнего шара будет меньше, чем при минимальном импульсе?

Хорошие вопросы! Мне нравятся! Осталось только ответы верные найти... ;)


> > > Две груженые тележки массой М1 и М2, касаясь друг друга и двигаясь по горизонтальной плоскости с одинаковой скоростью V, абсолютно упруго ударяются о стену (см. рисунок). Определить, с какой скоростью будет двигаться каждая тележка после удара.

> >
> > Ответ на данную задачу дан мной выше.

> Не верю в ваш ответ! Обоснуйте!
Абсолютно упругий удар – это такой удар, когда полностью сохраняется кинетическая энергия, а импульс меняет лишь свое направление на противоположное.
Решение будем искать в соответствии с понятием абсолютно упругого удара.
Имеем, до столкновения с заданной плоскостью, энергию - W=Mv^2/2, импульс - p=Mv, где M - масса двух, касающихся друг друга, шаров, причем m - масса верхнего шара. После столкновения верхний шар будет иметь скорость v1 и, следовательно, его кинетическая энергия - W1= mv1^2/2, импульс- p1=mv1. Нижний шар будет иметь скорость v2 и, следовательно, его кинетическая энергия – W2= (M-m)v2^2/2, импульс- p2=(M-m)v2.
Сравнивая энергию (W) и импульс (p) до столкновения и после, соответственно, (W1+ W2) и (p1+ p2), получим систему двух уравнений из которых однозначно определяется, что v1= v2= v!
Ответ и вывод.
При абсолютно упругом ударе два касающихся друг друга шаров будут двигаться в противоположном направлении движению до столкновения со скоростью равной их скорости до столкновения с поверхностью.


> Опровергните ЭТО

Судя по вашему эксперименту, Вы плохой экспериментатор. Вы подменили упругий удар (в случае упругого удара отскок баскетбольного мяча должен происходить на ту же высоту с которой он был первоначально пущен) чем-то средним между абсолютным упругим и неупругим.
Как я уже говорил (см. ниже), «В реальности даже упругий удар сопровождается некой деформацией и, следовательно, иногда может рассматриваться как взаимодействие с неким зазором»
Рассмотрим ваш случай с позиции упругого удара двух шаров с зазором между ними, т.е. аналог вышерассмотренной задачи, но с малым зазором между шарами. Исходные данные сохраняются:
Имеем, до столкновения с заданной плоскостью, энергию - W=Mv^2/2, импульс - p=Mv, где M - масса двух шаров с зазором между ними, причем m - масса верхнего шара. После столкновения верхний шар будет иметь скорость v1 и, следовательно, его кинетическая энергия - W1= mv1^2/2, импульс- p1=mv1. Нижний шар будет иметь скорость v2 и, следовательно, его кинетическая энергия – W2= (M-m)v2^2/2, импульс- p2=(M-m)v2. Учитывая, что столкновение с поверхностью было только с нижним шаром, получим, что суммарный импульс системы изменится (-p1+ p2), а суммарная энергия сохранится (W1+ W2= W).
Решая систему уравнений, определяем v1 и v2. (Решение указанных уравнений оставляю любителям, однако в случае затруднений постараюсь помочь)

> Давайте, для начала, с центральным разберемся.

> Для случая с зазором задачу можно представить так: Два шара с общей массой «М» , масса верхнего шара «м». Исходная скорость (в момент удара для обеих шаров одинакова (задана постоянная энергия и импульс).
> 1. Найти отношение энергий (импульсов) шаров после удара в зависимости от отношения их масс.
> 2. Определить (найти) минимальный импульс при взаимодействии с плоскостью. (Какое соотношение масс?)
> 3. Что будет происходить, если масса нижнего шара будет меньше, чем при минимальном импульсе?
> Хорошие вопросы! Мне нравятся! Осталось только ответы верные найти... ;)

Надеюсь, что с вышеприведенным пояснением данные вопросы успешно решите!



> Абсолютно упругий удар – это такой удар, когда полностью сохраняется кинетическая энергия, а импульс меняет лишь свое направление на противоположное.

Неверно второе! Импульс - вектор, который не может менять своё направление.
Не смущайтесь если направление одного из шаров(более лёгкого) после удара изменилось на противоположное- импульс всей системы до и после удара не изменится -более тяжёлый шар изменит своё движение так, что центр тяжести обоих шаров(при падении не забыть массу Земли!) останется как и перед ударом.


> > 1. Найти отношение энергий (импульсов) шаров после удара в зависимости от отношения их масс.

Могу послать общее решение - считайте до потери пульса.
> > 2. Определить (найти) минимальный импульс при взаимодействии с плоскостью. (Какое соотношение масс?)
> > 3. Что будет происходить, если масса нижнего шара будет меньше, чем при минимальном импульсе?

Что такое минимальный импульс? Импульс равный нулю?

С уважением Д.


Вы опять предлагаете некорректную задачу.(В которой недостаточно данных
для ее однозначного решения). Похоже, составление задач -не Ваш профиль.
Если путешествия получаются у Вас лучше, нужно подумать о переквалификации.:-)

В этой задаче результат зависит от характеристик пружин и V.
Так, при одних пружинах возможен такой ответ.
V1=sqrt((m1+m2)/(2*m1))*V V2=sqrt((m1+m2)/(2*m2))*V при m2<=m1 и V2<=Vmax
V1=V2=V при m2>=m1

При других: V1=V2=V независимо от масс

При третьих: ....


> > > > В исходной задаче речь идет о ударе 3 тел.
> > > В задаче-пари речь шла о ударе 2 тел.

Вашу попытку изменить условие исходной задачи я расцениваю как
попытку уйти от ответственности :-) и от проигыша пари.
Вот Ваш текст
> 15905: пари? sleo 23 декабря
> В своем выводе я уверен. Готов заключить пари.
> Давайте уточним еще раз: речь идет об одном (единственном) столкновении вертикально падающих шаров с разными массами.
> 15909: предмет для пари sleo 23 декабря
> Мое утверждение: если отношение масс верхнего шарика к нижнему равно 3,
> тогда H1=0.

Если убрать 3-е тело- стенку, то шары не столкнутся никогда.
При столкновении 2-х шаров разной массы ни один из них не остановится.
Сформулируйте задачу, которую Вы решали, и приведите решение.


>
> > Абсолютно упругий удар – это такой удар, когда полностью сохраняется кинетическая энергия, а импульс меняет лишь свое направление на противоположное.

> Неверно второе! Импульс - вектор, который не может менять своё направление.
> Не смущайтесь если направление одного из шаров(более лёгкого) после удара изменилось на противоположное- импульс всей системы до и после удара не изменится -более тяжёлый шар изменит своё движение так, что центр тяжести обоих шаров(при падении не забыть массу Земли!) останется как и перед ударом.

Можете еще учесть массу Солнца и Луны, а также всех планет солнечной системы и др.. Для упрощения решения задач выбирают соответствующую систему координат. Для решения указанной задачи выбирается абсолютная система координат, в которой материальная точка имеет свой импульс и кинетическую энергию (может иногда задаваться и кинетическая энергия). В задачах, когда рассматривается столкновение указанной материальной точки с плоскостью (она считается бесконечно массивной), скорость падения равна скорости отражения (перпендикулярная скорость меняет свой знак)!

> > > 1. Найти отношение энергий (импульсов) шаров после удара в зависимости от отношения их масс.

> Могу послать общее решение - считайте до потери пульса.
Не понял!? Вообще - то это элементарная задача.

> > > 2. Определить (найти) минимальный импульс при взаимодействии с плоскостью. (Какое соотношение масс?)
> > > 3. Что будет происходить, если масса нижнего шара будет меньше, чем при минимальном импульсе?

> Что такое минимальный импульс? Импульс равный нулю?

Если бы Вы решили п.2, то поняли, что по мере увеличения массы верхнего шара будет происходить уменьшение массы нижнего шара. До определенной массы столкновение с плоскостью будет осуществляться только нижним шаром (верхний не будет передавать часть своего импульса плоскости). Ясно, что чем меньше масса нижнего шара, то в этом случае, и импульс взаимодействия с плоскостью будет меньше. Ясно так же, что при уменьшении массы нижнего шара помимо его импульса, на плоскость будет оказывать влияние и верхний шар. (Предельный случай, когда вся масса сосредоточена либо в верхнем либо в нижнем шаре, импульс взаимодействия с плоскостью будет равен 2mv). Надеюсь, что подробно пояснил (Импульс, в данном случае, равным нулю не может быть!)


Предлагаю еще один вариант задачи.

Отличник Петя по заданию учителя проводил опыты в физическом кабинете.
На расстоянии H=1 метр от чугунной плиты, которая лежала на полу, он
одновременно отпускал 2 стальных шарика массой m1=500 и m2=50 грамм.
Он убедился в правоте Галлилея. Шарики отскакивали от плиты и подпрыгивали
на высоту 92 сантиметра одновременно.
А проказник Вася стал бросать шарики, положив маленький шарик на большой,
и убедился, что в этом случае они отскакивают на разную высоту.
Над плитой на высоте 4 метра висела лампочка. Могла ли она разбиться при
опытах Васи? Обоснуйте ответ.

Ответ: Да, могла.

Решение.
Опыты Пети показзыают, что при отскоках энергия сохраняется (с точностью 8%).
На первый взгляд, у Васи шарики должны отскакивать на такую же высоту.
Дело в том, что в этом случае энергия тоже сохраняеися, но перераспределяется
между шариками. Во время удара происходит сложный динамический процесс,
при котором шарики сжимаются и расширяются, передавая энергию друг другу.
Рассчитать его точно очень трудно. Но в первом приближении в данном случае
можно считать, что энергия делится между шариками поровну.
Из уравнения баланса энергиии до и после удара легко находим, что высота
отскока равна: h1=0.5*(m1+m2)/m1*H h2=0.5*(m1+m2)/m2*H.
Для учета потерь энергии эти значения нужно умножить на коэффициент 0.92,
который определил Петя. Получится h2=0.92*0.5*(500+50)/50*1метр=5 метров.
Поэтому лампу на высоте 4 метра Вася мог разбить.

Типичные ошибки при решении.
1.При решении используют законы сохранения энергии и импульса, забывая, что
они справедливы только для изолированной системы. А в данном случае
плита может поглотить значительную часть и энергии и импульса.
2.При ударе упругих тел нельзя заранее считать, что удар тоже упругий.
При ударе сначала вся кинетическая энергия переходит в деформацию.
Но затем тела могут оторваться друг от друга раньше, чем деформация
закончится. При этом неизбежно оставшаяся часть энергии деформации рассеется.

Критикуйте.


> 2.При ударе упругих тел нельзя заранее считать, что удар тоже упругий.
> При ударе сначала вся кинетическая энергия переходит в деформацию.
> Но затем тела могут оторваться друг от друга раньше, чем деформация
> закончится. При этом неизбежно оставшаяся часть энергии деформации рассеется.

Ваши слова верны, но, по определению, такой случай соответствует неупругому удару (пусть частично неупругому). Вот что пишет БСЭ:

"Наиболее разработана теория У. совершенно упругих тел, в которой предполагается, что тела за время У. подчиняются законам упругого деформирования и в них не появляется остаточных деформаций. Деформация в месте контакта распространяется в таком теле в виде упругих волн со скоростью, зависящей от физических свойств материала. Если время прохождения этих волн через всё тело много меньше времени У., то влиянием упругих колебаний можно пренебречь и считать характер контактных взаимодействий при У. таким же, как в статическом состоянии. На таких допущениях основывается контактная теория удара Г. Герца. Если же время прохождения упругих волн через тело сравнимо со временем У., то для расчётов пользуются волновой теорией У."


> Типичные ошибки при решении.
> 1.При решении используют законы сохранения энергии и импульса, забывая, что
> они справедливы только для изолированной системы. А в данном случае
> плита может поглотить значительную часть и энергии и импульса.

Забыть не могу!
По определению, плита не поглощает энергию (абсолютно упругий удар). На счет импульса все верно, плита его отражает.

> 2.При ударе упругих тел нельзя заранее считать, что удар тоже упругий.

Во второй редакции я специально для Вас ничего не сказал об упругих телах, а написал, что тележки абсолютно упруго ударяются.

> При ударе сначала вся кинетическая энергия переходит в деформацию.

Охотно верю.

> Но затем тела могут оторваться друг от друга раньше, чем деформация
> закончится. При этом неизбежно оставшаяся часть энергии деформации рассеется.

Не верю! (См. ответ на П.1)

> Критикуйте.

Если Вам так хочется - введите параметры пружин. Пусть F=k*x, где жесткость k очень большая величина (в идеале - бесконечность), а масса пружины крайне мала (в идеале - равна нулю). Все пружины - ОДИНАКОВЫ!


1.Какова максимальная высота подскока шарика m2,если он будет еще легче ?
Из формулы получается при m2-> к 0, h2->к бесконечности.
Но применять эту формулу для определени max высоты нельзя.
Поскольку скорость m2 не может превысить скорость деформации поверхности m1,
то она ограничивает сверху скорость m2 (и,следовательно, высоту).
В задаче нет данных для ответа на этот вопрос.

2. А что будет, если более тяжелый шарик сверху ?
В этом случае тоже нельзя применять полученную формулу.
В первом приближении тела поднимутся вместе на первоначальную высоту*0.92.
Но для более точного ответа нужен эксперимент.

Рассмотрение этих случаев показывает, что принцип деления энергии поровну
не является всеобщим законом, а справедлив только при определенных условиях.


Бутылку шампанского Вы проиграли ?


> Бутылку шампанского Вы проиграли ?

Я то не против, вот знать бы кому и за что? :)))



> Я уже вроде писал эту задачу, еще раз напишу по причине собравшейся новой тусы.

> Задача такова ;-)
> Есть колеко массы м, оно стоит вертикально, типа покатится если толкнешь (2Д задача).
> На колечке в верхней точке приделана точка массы М. Все это дело начинает катиться (катята не при делах ;) ). Дак вот вопрос такой - при каком отношении масс колечка и точечки, что приделана на колечке, это колечко подпрыгнет в процессе своего качаения. В оригинале ничего не говорится про причину начала качения, потому и я не пишу; признаю, я ее так и не решил когда пытался.

> то Модератор.
> Я знаю, что с русским языком плоховато у меня. Но это правилам не противоречит полюбому ;-))) Так что не удаляй плиз, пусть пацаны помучаются, задачка-то хороша , сам понимаешь ;),. Я не против, если выделишь в отдельный пост и по-своему напишешь ;) Тока не удаляй %))


Отношение масс колечка и точки определяется следующим неравенством:

2*(b^3)+[4+5*a]*(b^2)+2*[2*(a^2)+3*a+1]*b+(a^3)+6*(a^2)+5*a <= 0,

где b = (a^(1/3))*((a+2)^(2/3))-a-1, a = m/M,
m - масса колечка, M - масса точки.

Решение дает (m/M) <= 0.077, т.е., например, m = 1 кг, M = 12.987 кг -
критические значения, когда отрыв только начинается. Например,
при m = 1 кг, M = 13 кг система уже проводит некоторое время в полете.

Если интересует как решается, то дайте знать.

Я также обнаружил, что при отношении масс в определенном диапазоне, системе
выгоден в энергетическом смысле также и второй подскок через короткий
промежуток времени после завершения первого подскока. Возможно также вычислить
время полета.

Nemo


> Если интересует как решается, то дайте знать.

конечно интересует!!! Тем более, что ответ правильный. Можно тут, можно на satyr@2ka.mipt.ru. Лучше, если пдф, текстовик или картинка. Доки не понимаю.

> Я также обнаружил, что при отношении масс в определенном диапазоне, системе
> выгоден в энергетическом смысле также и второй подскок через короткий
> промежуток времени после завершения первого подскока. Возможно также вычислить
> время полета.

Про второй подскок. Мы ведь ничего не знаем по упругость системы, потому говорить и втоом подскоке не стоит. Например приабсолютно упругом ударе система начнет прыгать после первого удара до бесконечности.


> Nemo

Satyr
PS Крут Nemo, крут.


> конечно интересует!!! Тем более, что ответ правильный. Можно тут, можно на satyr@2ka.mipt.ru. Лучше, если пдф, текстовик или картинка. Доки не понимаю.

Я напишу схему решения. Вычисления проделаете сами. Если что-то не получится,
то сообщите и я проделаю вычисления прямо в форуме.

1) Написать закон сохранения системы до отрыва. Найти отсюда угловую скорость
и угловое ускорение точки относительно центра колечка как функции угла alpha
между вертикалью (ось y) и вектором, проведенным из центра колечка к точке.
Этот угол меняется от 0 до 2*pi и в начале alpha = 0 при t = 0.

2) Написать уравнение движения центра масс системы в проекции на ось y.
В это уравнение входит проекция силы реакции опоры на ось y. Выразить
отсюда эту проекцию как функцию угла alpha. Обозначим ее через Ny.
Ny - это функция alpha и (m/M): Ny = Ny(alpha, m/M).

3) Найти минимумы Ny(alpha, m/M) как функции от alpha. Пусть минимум
достигается при alpha_min. Величина alpha_min также является функцией
отношения масс: alpha_min = alpha_min(m/M).

4) Поставить условие Ny(alpha_min(m/M), m/M) <= 0. Равенство нулю означает
начало отсутствия реакции опоры, т.е. начало отрыва. Отрицательность
реакции опоры конечно же не имеет смысла. Это означает, что уравнения
движения, которые мы составили для катящегося колечка становятся
неприменимы, когда колечко находится в полете. Поэтому отрицательность
Ny может служить индикатором того, что система в полете.


> Про второй подскок. Мы ведь ничего не знаем по упругость системы, потому говорить и втоом подскоке не стоит. Например приабсолютно упругом ударе система начнет прыгать после первого удара до бесконечности.

Я поисследовал Ny на экстремумы и обнаружил, что при определенных (m/M)
существуют две области отрицательных значений Ny разделенных областью
положительных значений Ny. Моя интерпретация этого заключается в том, что
имеется два подскока. Но это скорее всего неверно. Хотя если хотите, то
можете попробовать разобраться в этом. Я сам не пытался раскусить в чем
тут суть. Если разберетесь с этим, то дайте пожалуйста знать.

Nemo


Вы у нас знамениты недетской скоротью программирования...
Намек понят?
Я сам давненько хотел смоделировать эту задачу... хотел, хотел... да и забыл метод Рунге-Кутта. А потом и винду забыл. А под линукс графику писать не халява. Дельфи-то нету :))

Посмотрите условие, может там все просто и делов на час. Тогда будем рады увидеть иллюстрацию. Если есть вопросы по условию - обращайтесь.


> Вы опять предлагаете некорректную задачу.(В которой недостаточно данных
> для ее однозначного решения). Похоже, составление задач -не Ваш профиль.
> Если путешествия получаются у Вас лучше, нужно подумать о переквалификации.:-)

Я учился (видимо - плохо учился ;) на задачах Петра Леонидовича. Интересно, что бы вы потребовали от него добавить к задаче №8?
"С какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы лопнувшая шина не сминалась?"
Полагаю, как минимум - номер водительского удостоверения.
:)))


> Ведь здесь не средние величины нужны...
> Ладно, порисую на досуге...
> Будут результаты - доложу. Если интересно.

Видать, с результатами не густо:)
А я вам ссылочку нашел:

Прыгающий шарик


> > Ведь здесь не средние величины нужны...
> > Ладно, порисую на досуге...
> > Будут результаты - доложу. Если интересно.

> Видать, с результатами не густо:)
> А я вам ссылочку нашел:

> Прыгающий шарик

C досугом напряженка.
Спасибо за ссылку.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100