Задача: параметрическое уравнение эллипса

Сообщение №15255 от sleo 09 декабря 2002 г. 15:08
Тема: Задача: параметрическое уравнение эллипса

[Перенесено модератором с "Форума по математике"]

Сообщение от sleo 28 ноября 2002 г. 11:06
Тема: Задача: параметрическое уравнение эллипса

В системе координат, построенной на главных осях эллипса, параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

x = cos(wt)
y = sin(wt)

Считая, что w=const, t-время, определить,будет ли такое движение совпадать с движением тела в кеплеровской задаче 2-х тел?


Отклики на это сообщение:

> В системе координат, построенной на главных осях эллипса, параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

> x = a*cos(wt)
> y = b*sin(wt)

> Считая, что w=const, t-время, определить,будет ли такое движение совпадать с движением тела в кеплеровской задаче 2-х тел?

 


> > В системе координат, построенной на главных осях эллипса, параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

> > x = a*cos(wt)
> > y = b*sin(wt)

> > Считая, что w=const, t-время, определить,будет ли такое движение совпадать с движением тела в кеплеровской задаче 2-х тел?

В кеплеровской задаче 2-х тел ускорение тела обратно пропорционально квадрату радиус-вектора, а вектор ускорения всегда направлен в фокус эллипса.
Что будет в рассматриваемой задаче?


> > В системе координат, построенной на главных осях эллипса, параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

> > x = a*cos(wt)
> > y = b*sin(wt)

> > Считая, что w=const, t-время, определить,будет ли такое движение совпадать с движением тела в кеплеровской задаче 2-х тел?

Конечно не будет. Это видно хотя бы из того, что в данном случае величины скорости в двух "апогеях" будут равны, в то время как при кеплеровском движении скорость в перигее больше скорости в апогее.

 


> > > В системе координат, построенной на главных осях эллипса, параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

> > > x = a*cos(wt)
> > > y = b*sin(wt)

> > > Считая, что w=const, t-время, определить,будет ли такое движение совпадать с движением тела в кеплеровской задаче 2-х тел?

> Конечно не будет. Это видно хотя бы из того, что в данном случае величины скорости в двух "апогеях" будут равны, в то время как при кеплеровском движении скорость в перигее больше скорости в апогее.

Конечно, вы правы. Не хотите еще повозиться с вектором ускорения и секторной скоростью? По-моему, это интересно.


> > > > В системе координат, построенной на главных осях эллипса, параметрическое уравнение эллипса имеет вид:

> > > > x = a*cos(wt)
> > > > y = b*sin(wt)

> > > > Считая, что w=const, t-время, определить,будет ли такое движение совпадать с движением тела в кеплеровской задаче 2-х тел?

> > Конечно не будет. Это видно хотя бы из того, что в данном случае величины скорости в двух "апогеях" будут равны, в то время как при кеплеровском движении скорость в перигее больше скорости в апогее.

> Конечно, вы правы. Не хотите еще повозиться с вектором ускорения и секторной скоростью? По-моему, это интересно.

Хочу пояснить, чтО мне показалось интересным.

1. Секторная скорость тела относительно центра эллипса постоянна (в кеплеровской задаче секторная скорость тела относительно фокуса эллипса постоянна).

2. Ускорение тела направлено к центру эллипса и пропорционально расстоянию от тела до этого центра (в кеплеровской задаче ускорение тела направлено к фокусу эллипса и обратно пропорционально квадрату расстояния от тела до фокуса).

Мы как-то привыкли отождествлять движение по эллипсу с кеплеровым движением (или движением электрических зарядов). Однако на этом примере ясно видно, что есть и другие варианты. Практически осуществить такое движение, видимо, не сложно. Предложу вариант: раскрутить над головой грузик на элластичной резинке. При больших удлинениях ц.с. сила примерно пропорциональна расстоянию от грузика до центра вращения, а надлежащим выбором начальных условий можно создать эллиптическую траекторию.


Отклики на это сообщение:

Что в этом особенно замечательного?

> Для такого движения:
>
> 1. Секторная скорость тела относительно центра эллипса постоянна (в кеплеровской задаче секторная скорость тела относительно фокуса эллипса постоянна).

Ну да, конечно. Секторная скорость прямо связана с кинетическим моментом k = [vxr]. Нетрудно убедиться, что в данном примере единственная ненулевая составляющая вектора k, направленная по оси z, будет равна kz = vyx - vxy = abw, т.е. константа.

> 2. Ускорение тела направлено к центру эллипса

Это, опять же, очевидно: если бы это было не так, это соответствовало бы ненулевому моменту сил, действующих на объект, т.е. кинетический момент не мог бы сохраняться.

> и пропорционально расстоянию от тела до этого центра (в кеплеровской задаче ускорение тела направлено к фокусу эллипса и обратно пропорционально квадрату расстояния от тела до фокуса).

Это - центральное поле (не обязательно кулоновского типа): сферически симметричное и направленное всегда к центру (или от него). В таком поле секторная скорость всегда будет постоянной, хотя объект может двигаться и не по кеплеровскому эллипсу.

Например, чтобы просчитать релятивистский эффект смещения перигелия Меркурия, достаточно учесть поправку к ньютоновскому закону тяготения, учитывающую отклонение зависимости величины солнечной гравитации от GM/r2. В рамках такой "приближенной" модели траектория Меркурия уже не является замкнутой кривой - кеплеровским эллипсом.

> Мы как-то привыкли отождествлять движение по эллипсу с кеплеровым движением (или движением электрических зарядов). Однако на этом примере ясно видно, что есть и другие варианты. Практически осуществить такое движение, видимо, не сложно. Предложу вариант: раскрутить над головой грузик на элластичной резинке. При больших удлинениях ц.с. сила примерно пропорциональна расстоянию от грузика до центра вращения, а надлежащим выбором начальных условий можно создать эллиптическую траекторию.

И какие из этого следуют ценные выводы?


> > 1. Секторная скорость тела относительно центра эллипса постоянна (в кеплеровской задаче секторная скорость тела относительно фокуса эллипса постоянна).

> Ну да, конечно. Секторная скорость прямо связана с кинетическим моментом k = [vxr]. Нетрудно убедиться, что в данном примере единственная ненулевая составляющая вектора k, направленная по оси z, будет равна kz = vyx - vxy = abw, т.е. константа.

Согласен.

> > 2. Ускорение тела направлено к центру эллипса

> Это, опять же, очевидно: если бы это было не так, это соответствовало бы ненулевому моменту сил, действующих на объект, т.е. кинетический момент не мог бы сохраняться.

Здесь тоже согласен; если исключить случай, когда опыт проводится около карусели:)))

> > Мы как-то привыкли отождествлять движение по эллипсу с кеплеровым движением (или движением электрических зарядов). Однако на этом примере ясно видно, что есть и другие варианты. Практически осуществить такое движение, видимо, не сложно. Предложу вариант: раскрутить над головой грузик на элластичной резинке. При больших удлинениях ц.с. сила примерно пропорциональна расстоянию от грузика до центра вращения, а надлежащим выбором начальных условий можно создать эллиптическую траекторию.

> Что в этом особенно замечательного?
> И какие из этого следуют ценные выводы?

Цену продукта определяет рынок. Сейчас на соседнем форуме эта задача интенсивно (даже черезчур) обсуждается.


Лично я пока не вижу здесь вообще темы для обсуждения. Ясно, что кеплеровское движение тело по эллиптической орбите не описывается теми простейшими уравнениями эллипса, которые Вы привели в начале. Если в этом состоит Ваше открытие, то можно только за Вас порадоваться. Если же Вы предлагаете решить задачу о том, по какой траектории будет двигаться камень не резинке, то возможно это и имело бы смысл. Однако таких высосанных из пальца задач можно придумать множество. Давайте посчитаем, например, радиус разлёта брызг, когда горизонтальная струя ударяется о кафельную стенку.


> Лично я пока не вижу здесь вообще темы для обсуждения. Ясно, что кеплеровское движение тело по эллиптической орбите не описывается теми простейшими уравнениями эллипса, которые Вы привели в начале. Если в этом состоит Ваше открытие, то можно только за Вас порадоваться. Если же Вы предлагаете решить задачу о том, по какой траектории будет двигаться камень не резинке, то возможно это и имело бы смысл. Однако таких высосанных из пальца задач можно придумать множество. Давайте посчитаем, например, радиус разлёта брызг, когда горизонтальная струя ударяется о кафельную стенку.

Для большинства участников форума ваша задача имеет практический смысл:). Я бы только уточнил: посчитать распределение радиуса разлёта брызг, когда заданная струя ударяется о кафельную стенку, а угол отклонения струи от надира меняется от 0 до 90 градусов.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама: Стоимость технического обслуживания шевроле Круз в Воронеже
Rambler's Top100