Задачка на устойчивое равновесие

Сообщение №13736 от Alexander 11 октября 2002 г. 20:56
Тема: Задачка на устойчивое равновесие

Известно, что когда на вибрирующей поверхности станка лежат разные предметы, то при определённых соотношениях между частотой и амплитудой колебаний эти предметы будут подпрыгивать на постоянную высоту и как бы "зависать" в этом положении. Численное моделирование позволило найти один из таких "резонансов" (см. на анимации). Оказалось, что если амплитуда колебаний равна 10 дюймов, частота - 1 Гц и при ударе о поверхность тело теряет более 30% энергии, то для высоты подпрыгивания тела существуют точки устойчивого равновесия. Может ли кто-нибудь дать теоретическое обоснование наблюдаемого эффекта?


Отклики на это сообщение:

> Известно, что когда на вибрирующей поверхности станка лежат разные предметы, то при определённых соотношениях между частотой и амплитудой колебаний эти предметы будут подпрыгивать на постоянную высоту и как бы "зависать" в этом положении. Численное моделирование позволило найти один из таких "резонансов" (см. на анимации). Оказалось, что если амплитуда колебаний равна 10 дюймов, частота - 1 Гц и при ударе о поверхность тело теряет более 30% энергии, то для высоты подпрыгивания тела существуют точки устойчивого равновесия. Может ли кто-нибудь >дать теоретическое обоснование наблюдаемого эффекта?

Пусть движение площадки описывается как :A(t)=A0*sin(wt)
далее пусть k коэффицент отражения по импульсу p0=-k*p0+m*u(x),m масса шарика,
u(x) - скорость пплатформы в данной точке соударения
тогда пусть X0>0 - "точка равновесия". В моем понимании это значит что через каждый период скорость шарика(по модулю) в этой точке одинакова.Соответственно, должно быть и полет шарика должен занимать столько же времени как и движениу пластинки:Т=2V0/g - условие на времена "+" V0=kV0+u(X0) условие на скорости. Не знаю правда,пока, устойчиво ли это положжение в физ. смысле(не приведет ли малое отклонение к немеренным). Это не серьезное решение, извиняй:).

В такой задаче напрашивается выделить эффективную потенциальную энергию и исследовать на наличие минимума, но как ее ввести:)?

Если не ошибаюсь, то это задача называется резонанс Ферми(можно так подобрать частоту платфформы что шарик будет иметь наиболее большую амплитуду при данном k)(нам в свое время тоже давали такое моделировать, но про обоснование не говорили).


Привет.
Слушая, я тут два часа просидел нат книжкой по теоретической мехинике и понял, что ничего подобного нас считать не учили. Все системы стационарные. Везде положение равновесия - некоторая точка в пр-ве обобщенных координат. Вот и возникла у меня проблема - а что мы ищем? Как определяется положение равновесия в данном случае? Я пытался смотреть задачу с самого начала, т.е. с того момента, когда пылинка("чйник") лежит на неподвижной планке и она начинает двигаться. Тоже в тупик пршел. Полную энергию от времени так и не смог написать(я считал. что движение пластинки описывает x(t), которую мы счтаем периодической, более предположений не делал). Потом пытался сворганить какй-нибудь функционал и поставить вариационную задачу. Размышлял так "положение равновесия всегда связанно с экстремумом какой-то ф-ции", но так и не придумал, экстремум какой ф-ции надо
смотреть. Ибо непонятно, что называть в данном случае положением равновесия. В той постановке, которую предложил Александр, ты задачу решил. А вот как бы посмотреть процес с самого его начала....


> Привет.
> Слушая, я тут два часа просидел нат книжкой по теоретической мехинике и понял, что ничего подобного нас считать не учили. Все системы стационарные. Везде положение равновесия - некоторая точка в пр-ве обобщенных координат. Вот и возникла у меня проблема - а что мы ищем? Как определяется положение равновесия в данном случае? Я пытался смотреть задачу с самого начала, т.е. с того момента, когда пылинка("чйник") лежит на неподвижной планке и она начинает двигаться. Тоже в тупик пршел. Полную энергию от времени так и не смог написать(я считал. что движение пластинки описывает x(t), которую мы счтаем периодической, более предположений не делал). Потом пытался сворганить какй-нибудь функционал и поставить вариационную задачу. Размышлял так "положение равновесия всегда связанно с экстремумом какой-то ф-ции", но так и не придумал, экстремум какой ф-ции надо
> смотреть. Ибо непонятно, что называть в данном случае положением равновесия. В той постановке, которую предложил Александр, ты задачу решил. А вот как бы посмотреть процес с самого его начала....


В теор механике есть задача которые могут навести на мысль,например Маятник Капицы(тот который гелием занимался):

имеется маятник(палочка с шариком) точка подвеса маятника совершает колебания вдоль оси Y по закону a(t)*eps*a0*cos(w*t/eps), eps мало => w/eps велико.
Ну так вот у такой системы есть положение равнвесие в точке около pi.
Решить эту задачу очень просто надо выписать
гамильтониан= pdq/dt-L(q,dq/dt(p),t) и увидеть там эфф. потенциальную энергию которая имеет минимум тама(в pi).

теперь вернемя к чайнику:).

Здесь наверно нельзя написать что то типа x(t), но (<>-среднее за период), тут нельзя написать процесс от времени так как здесь налицо разделение двух систем. Плохо, что нет малых и больших параметров. Устойчивость здесь надо понимать в том смысле, что чайник не может выйти за пределы каких-то
допустимых границ(минимальных) интервала (y1,y2)(вот их то и надо найти). Здесь получается типа такого: имеется область в ней движется наш чайник и иногда в случайные моменты времени получает пинка. Можно попробовать написать стохастическое дифф уравнения и решать его, но как выписать его правильно.
вот что приходит на ум:

dV=-gdt+(k*V+u(t))*dw (плюс =0 за большое время) g=9.8, u(t) -скорость пластинки dw-процесс случайного блуждания dw*dw~dt.


И задачу Александра я не решил, ведь не доказано что положение устойчиво(это скорее всего верхняя точка горки, которая особая, но не устойчива в том смысле в котором я написал выше(она может и не принадлежать той области устойчивости).

Короче, надо еще думать.


> Устойчивость здесь надо понимать в том смысле, что чайник не может выйти за пределы каких-то > допустимых границ(минимальных) интервала (y1,y2)(вот их то и надо найти).

Мне представляется, что в этой задаче терминология устойчивость - неустойчивость неуместна. Речь идет о параметрах системы, при которых "чайник" будет совершать ПЕРИОДИЧЕСКОЕ движение (колебания) относително некоторого отсчетного положения (для системы)


Рассмотрим постановку задачи с самого начала. Я исходил из известного экспериментального наблюдения, что если на вибрирующей поверхности станка лежат разные предметы, то при определённой частоте эти предметы как бы "зависают" над поверхностью на определённой высоте. В общем случае они будут несинхронно подпрыгивать на разные высоты и такого эффекта не будет. Однако при некоторых частотах и амплитудах колебаний вибрирующей поверхности предметы будут подпрыгивать на постоянную высоту. Так как большее время они проводят в наивысшей точке траектории, то для глаза кажется, что предметы как бы "зависли" в этом положении.

В каком случае все предметы будут подпрыгивать на одинаковую высоту? Ну, например, когда удар абсолютно упругий, время полёта кратно целому числу полупериодов и предметы касаются поверхности в её наивысшей (или низшей) точке.

H = a + g(nT)2/8, где

где T = 1 Гц - период колебаний, a = 1 дюйм - амплитуда колебаний поверхности, n -целое число, g = 386,22 дюйм/с2 В этом случае предметы как бы отскакивают от неподвижной поверхности (её скорость в момент удара равна нулю). Такой случай для n=1 показан на рисунке (синяя кривая - тело, красная - поверхность). Высота подскока H=49,3  - точка равновесия.

 

А что будет, если мы отпустим тело с высоты, чуть меньшей, чем точка равновесия. Ну, например, с высоты Н=37,3 дюйма? Начнутся колебания (высоты подскока) относительно положения равновесия. При такой ситуации предметы не будут "зависать" на определённой высоте, да и абсолютно упругий удар - это нереально. Поэтому следующим шагом нужно рассмотреть влияние потерь энергии при ударе. 

 

 

Введём в систему потери энергии, равные 10% при каждом ударе. Отпустим груз с высоты Н=37,3 дюйма. Мы видим, что подскоки практически прекратились.

 

 

 

 

 

Увеличим амплитуду колебаний поверхности в 10 раз (до 10 дюймов). Мы видим, что подскоки не исчезают, но постоянная высота подскоков не устанавливается.

 

 

 

 

 

Увеличим коэффициент потери энергии при ударе, а груз отпустим с высоты 194 дюйма. Если при отскоке тело теряло более 30% энергии, то происходила стабилизация амплитуды подскока на уровне чуть меньшем, чем 70 дюймов. Причём при разных коэффициентах отражения (0,6 - 0,5 - 0,3 - 0,1) подскоки стягивались к одному и тому же периодическому движению, при котором возможно наблюдения эффекта "зависания" предметов над поверхностью.

 

Такая ситуация не изменяется  при небольших вариациях частоты. На рисунке видно в какие моменты происходят отскоки - несколько в стороне от максимального смещения поверхности. Ясно, что отрицательная обратная связь возникает за счёт нелинейности синусоиды. Если тело прилетает к поверхности чуть раньше, чем в установившемся состоянии, то поверхность ударяет по нему чуть сильнее, и наоборот.

 

Однако не при всех амплитудах и частотах колебаний поверхности, а также начальных условий такая устойчивая высота подскока существует. Поэтому задача состоит в нахождении этих условий аналитически.


> Известно, что когда на вибрирующей поверхности станка лежат разные предметы, то при определённых соотношениях между частотой и амплитудой колебаний эти предметы будут подпрыгивать на постоянную высоту и как бы "зависать" в этом положении. Численное моделирование позволило найти один из таких "резонансов" (см. на анимации).

Указанная задача может решаться при разных условиях. Для упрощения примем, что удар упругий (без потерь) а поверхность станка значительно большей массы предмета. Напишем уравнение вибрации поверхности как: A(t)=A(0)sin(nt), (при этом скорость v(t)=A(0)n cos(nt)), где n-круговая частота вибрации.
Очевидно, что при малых амплитудах все предметы будут совершать синхронные колебания с поверхностью станка (т.е. не будут отрываться от поверхности). Определим предельную амплитуду, при которой предметы начнут отрываться от поверхности. Указанный отрыв произойдет тогда, когда максимальная скорость предмета (v=корень(hg)) а, следовательно, и поверхности станка (v=A(0)n) достигнет такой величины (A(t)=A(0)), при которой предмет поднимется на высоту равную амплитудной (h=A(0)). Итак, имеем:
корень(hg)=A(0)n ……… 1
h=A(0)
Исключая h, получим: А(0)=g/n^2 (при частоте 1 Гц получим порядка 25 см.)

Далее найдем минимальную амплитуду, при которой предметы войдут в «резонанс». Очевидно, что это произойдет в том случае, если время свободного движения предмета (2 корень(h/g)) составит ¾ периода вибрации (T). Решив уравнение, получим: h=9gT^2/64, с учетом уравнения 1 можно определить и необходимую амплитуду вибрации: A(0)=3gT/8n (при частоте 1 Гц получим 58,5 см)

Далее система входит в «резонанс» и время свободного движения будет равно периоду колебании поверхности станка, при этом высота, на которую будет подниматься предмет определиться так:
h(1)=gT^2/4 (при частоте 1 Гц получим 245 см). Как видно высота не зависит от амплитуды колебания поверхности станка. Поэтому после захвата указанная амплитуда может быть любой и в случае отсутствия потерь доведена до нуля. При монотонном изменении частоты высота изменяется пропорционально квадрату периода.

В случае неупругого удара для поддержания необходимо иметь соответствующую минимальную амплитуду, для компенсации указанных потерь. Система устойчива, т.к., если по тем или иным причинам меняется высота, меняется и время нахождения предмета до столкновения, а это приводит к тому, что меняется импульс при столкновении (отрицательная обратная связь). Указанный резонанс дает максимальную частоту предмета. Следующий резонанс наступит, если взаимодействие будет происходить через период и т.д. Высота в общем виде для последующих резонансов запишется:
H(m)=h(1)m^2, где m-номер резонанса, т.е. натуральные числа 1, 2, 3, и т.д.

"Оказалось, что если амплитуда колебаний равна 10 дюймов, частота - 1 Гц и при ударе о поверхность тело теряет более 30% энергии, то для высоты подпрыгивания тела существуют точки устойчивого равновесия."

Здесь я ничего не понял.

"Может ли кто-нибудь дать теоретическое обоснование наблюдаемого эффекта?"

Если что-то не понятно в представленном выше решении пишите. По мере возможности постараюсь ответить.


Всё это довольно правильные рассуждения, однако они не отвечают на главный вопрос  - при каких параметрах системы (частота колебаний, амплитуда и потери энергии при каждом ударе) высота подскока будет стягиваться к определённым устойчивым значениям. Наибольший практический интерес представляет ситуация, когда при ударе теряется от 10 до 90% энергии.

 

Абсолютно упругий удар даёт устойчивые амплитуды подскока, но вокруг этого положения будут происходить незатухающие осцилляции (амплитуды подскока), так что если на поверхность бросить горсть разных частиц, то над поверхностью будет наблюдаться полный хаос (см. рисунок вверху).

 

Однако при определённом и довольно узком соотношении между частотой колебаний и её амплитудой часть частиц группируется на вполне определённой высоте подскока (см. рисунок).

При некоторых значениях частоты удаётся даже наблюдать второе устойчивую высоту подскока (см. рисунок). Третье устойчивое положение в принципе тоже можно наблюдать, но группы становятся довольно размытыми.

Интерес представляют именно условия группировки частиц на определённой высоте, а не сами значения устойчивых высот. Также практический интерес представляют условия, по которым можно осуществить сепарацию частиц. Так что вопрос остаётся. Если нужно, я могу прислать дальнейший "экспериментальный" материал.



> Всё это довольно правильные рассуждения, однако они не отвечают на главный вопрос  - при каких параметрах системы (частота колебаний, амплитуда и потери энергии при каждом ударе) высота подскока будет стягиваться к определённым устойчивым значениям. Наибольший практический интерес представляет ситуация, когда при ударе теряется от 10 до 90% энергии.

 


Уважаемый Александр!
Если Вас не прижимает время, то далее могу продолжить решение. Сейчас же практически у меня нет такой возможности. Вот только сейчас смог ознакомиться с вашим ответом мне.
Во - первых, хочу сказать, что действительно за счет отрицательной связи как вроде должно наблюдаться устойчивое состояние, однако это необходимо проверить математически, для чего необходимо проверить указанное "устойчивое состояние" при малых отклонениях, к примеру по скорости (высоте).
Далее, очевидно, что в случае потерь точка отскока (взаимодействия) будет в зависимости от величины амплитуды станка и потерь смещаться в сторону встречного движения станка и частицы. Более того, при больших потерях и достаточной амплитуде колебаний необходимо учитывать тот факт, что столкновение будет происходить не на уровне нулевого смещения станка , а несколько ниже. Думаю, что Вас интересует только амплитуда частицы, а не абсолютная ее высота. Далее, хотелось бы получить уточнение по поводу потерь при столкновениях. Они (потери)берутся от энергии при взаимодействии или же от максимальной энергии частицы?
Итак, решение могу продолжить только в образовавшихся окнах, т.е. не так быстро, если Вас это устраивает пишите.
С уважением Эдуард.



> Интерес представляют именно условия группировки частиц на определённой высоте, а не сами значения устойчивых высот. Также практический интерес представляют условия, по которым можно осуществить сепарацию частиц. Так что вопрос остаётся. Если нужно, я могу прислать дальнейший "экспериментальный" материал.


На сколько я понял (возможно я ошибаюсь) Вы в своем "эксперименте" частицы устанавливаете на определенной высоте. Если это так, то необходимо их располагать на расчетной высоте, т.е. при частоте 1 Гц получим 245 см для первого "резонанса", 980 см. для второго 2205 см для третьего. При отсутствии потерь необходимо амплитуду платформы (станка) уменьшит до минимального значения, тогда "резонанс" будет более продолжительное время. В случае с потерями амплитуду соответственно необходимо устаневливать такой, чтобы ее энергии хватало на компенсацию указанных потерь.
Сделал некоторую прикидку по устойчивости (возможно где-то допустил ошибку). Как вроде несмотря на отрицательную связь устойчивости не наблюдается.


> Если Вас не прижимает время, то далее могу продолжить решение. Сейчас же практически у меня нет такой возможности. Вот только сейчас смог ознакомиться с вашим ответом мне.

Пожалуйста присылайте ваши идеи по поводу решения этой задачки в любое время. Её постоянный адрес (URL):

http://physics.nad.ru/new/Cyrillic/jump_txt.htm

Имя человека, внёсшего существенный вклад в её решение также будет указано на этой страничке.

> ..хотелось бы получить уточнение по поводу потерь при столкновениях. Они (потери)берутся от энергии при взаимодействии или же от максимальной энергии частицы?

k = W/W0, где W - кинетическая энергия отражённого тела, а W0 - его начальная кинетическая энергия, когда тело отражается от неподвижной поверхности массивного объекта(поверхности стола, например).


> > Интерес представляют именно условия группировки частиц на определённой высоте, а не сами значения устойчивых высот. Также практический интерес представляют условия, по которым можно осуществить сепарацию частиц. Так что вопрос остаётся. Если нужно, я могу прислать дальнейший "экспериментальный" материал.

> На сколько я понял (возможно я ошибаюсь) Вы в своем "эксперименте" частицы устанавливаете на определенной высоте. Если это так, то необходимо их располагать на расчетной высоте, т.е. при частоте 1 Гц получим 245 см для первого "резонанса", 980 см. для второго 2205 см для третьего. При отсутствии потерь необходимо амплитуду платформы (станка) уменьшит до минимального значения, тогда "резонанс" будет более продолжительное время. В случае с потерями амплитуду соответственно необходимо устаневливать такой, чтобы ее энергии хватало на компенсацию указанных потерь.

На тех рисунках с частичками разных размеров, которые я приводил ранее, они бросались на поверхность с разных высот. Устойчивую высоту подскока вычислить довольно просто, если пренебречь амплитудой колебаний поверхности. Цифры примерно те, что Вы даёте выше, только у меня они получились в 2 раза меньше. С учётом амплитуды колебаний плоскости тоже в принципе ясно как вычислять. Так что наибольший интерес здесь представляет именно критерий устойчивости или, точнее, условия, при которых частички на вибрирующем столе будут стягиваться в узкий слой.

Задачка представляется мне довольно показательной как модель разработки новой теории и внедрения её в практику: эффект -> эксперимент -> теория -> применение. Пока здесь пройдено только два первых шага, причём интересно, что реальный эксперимент здесь удаётся заменить компьютерным моделированием.


> Известно, что когда на вибрирующей поверхности станка лежат разные предметы, то при определённых соотношениях между частотой и амплитудой колебаний эти предметы будут подпрыгивать на постоянную высоту и как бы "зависать" в этом положении. Численное моделирование позволило найти один из таких "резонансов" (см. на анимации). Оказалось, что если амплитуда колебаний равна 10 дюймов, частота - 1 Гц и при ударе о поверхность тело теряет более 30% энергии, то для высоты подпрыгивания тела существуют точки устойчивого равновесия. Может ли кто-нибудь дать теоретическое обоснование наблюдаемого эффекта?

А какое время удара тела о поверхность? Или удар у вас мгновенный?


> А какое время удара тела о поверхность? Или удар у вас мгновенный?

Да, удар мгновенный.


На: « Устойчивую высоту подскока вычислить довольно просто, если пренебречь амплитудой колебаний поверхности. Цифры примерно те, что Вы даёте выше, только у меня они получились в 2 раза меньше.»

1. Хочу сказать следующее: Как говорится, «поспешишь – людей насмешишь» или «семь раз отмерь – один отрежь».
Действительно у меня ошибка. В связи с чем, ниже привожу исправленный вариант!

Указанная задача может решаться при разных условиях. Для упрощения примем, что удар упругий (без потерь) а поверхность станка значительно большей массы предмета. Напишем уравнение вибрации поверхности как: A(t)=A(0)sin(nt), (при этом скорость v(t)=A(0)n cos(nt)), где n-круговая частота вибрации.
Очевидно, что при малых амплитудах все предметы будут совершать синхронные колебания с поверхностью станка (т.е. не будут отрываться от поверхности). Определим предельную амплитуду, при которой предметы начнут отрываться от поверхности. Указанный отрыв произойдет тогда, когда максимальная скорость предмета (v = корень(2hg)) а, следовательно, и поверхности станка (v=A(0)n) достигнет такой величины (A(t)=A(0)), при которой предмет поднимется на высоту равную амплитудной (h=A(0)). Итак, имеем:
Корень(2hg)=A(0)n ……… 1
h=A(0)
Исключая h, получим: А(0)=2g/n^2 (при частоте 1 Гц получим порядка 50 см.), если при этом время (t=корень(2h/g)) будет меньше или равно T/4. В противном случае: А(0)= gT^2 /8.

Далее найдем минимальную амплитуду, при которой предметы войдут в «резонанс». Очевидно, что это произойдет в том случае, если время свободного движения предмета (2 корень(2h/g)) составит ¾ периода вибрации (T). Решив уравнение, получим: h=9gT^2/128, с учетом уравнения 1 можно определить и необходимую амплитуду вибрации: A(0)=3gT/8n (при частоте 1 Гц получим 58,5 см)

Далее система входит в «резонанс» и время свободного движения будет равно периоду колебании поверхности станка, при этом высота, на которую будет подниматься предмет определиться так:
h(1)=gT^2/8 (при частоте 1 Гц получим 122,5 см). Как видно высота не зависит от амплитуды колебания поверхности станка. Поэтому после захвата указанная амплитуда может быть любой и в случае отсутствия потерь доведена до нуля. При монотонном изменении частоты высота изменяется пропорционально квадрату периода.

В случае неупругого удара для поддержания необходимо иметь соответствующую минимальную амплитуду, для компенсации указанных потерь. Система устойчива, т.к., если по тем или иным причинам меняется высота, меняется и время нахождения предмета до столкновения, а это приводит к тому, что меняется импульс при столкновении (отрицательная обратная связь). Указанный резонанс дает максимальную частоту предмета. Следующий резонанс наступит, если взаимодействие будет происходить через период и т.д. Высота в общем виде для последующих резонансов запишется:
H(m)=h(1)m^2, где m-номер резонанса, т.е. натуральные числа 1, 2, 3, и т.д.

2. На: «k = W/W0, где W - кинетическая энергия отражённого тела, а W0 - его начальная кинетическая энергия, когда тело отражается от неподвижной поверхности массивного объекта (поверхности стола, например)».

Думаю, что это вообще не потери, которые следовало бы записать Wп, а оставшаяся энергия равная W0 –Wп. Причем потери разумно считать от полной энергии взаимодействия (т.к. поверхность и тело движутся относительно неподвижной поверхности, этот факт необходимо учитывать). Конечно, проще движение поверхности не учитывать, но тогда усложняется практическая реализация такого устройства.

3. На: "Если нужно, я могу прислать дальнейший "экспериментальный" материал".

Хотелось бы получить "экспериментальный" материал, когда частицы в исходном состоянии находятся на неподвижной поверхности, которая затем начинает вибрировать. При какой амплитуде частицы начнут отрываться от поверхности. Далее интересно, что будет с ними происходить по мере увеличения амплитуды (желательно эксперимент провести в двух режимах, скажем с потерями 30% и без потерь). Желательно амплитуду довести до первого уровня группировки частиц.

4. На: "Интерес представляют именно условия группировки частиц на определённой высоте, а не сами значения устойчивых высот. Также практический интерес представляют условия, по которым можно осуществить сепарацию частиц."

Как я уже говорил ранее, резонанса как такового не наблюдается. Устойчивость же с «модуляцией» существует. Расчет приведу после основательной проверки решения. (Чтобы не было прокола, как это случилось в предыдущий раз, когда мной в расчетах была потеряна двойка).


> 3. На: "Если нужно, я могу прислать дальнейший "экспериментальный" материал".
>
> Хотелось бы получить "экспериментальный" материал, когда частицы в исходном состоянии находятся на неподвижной поверхности, которая затем начинает вибрировать. При какой амплитуде частицы начнут отрываться от поверхности. Далее интересно, что будет с ними происходить по мере увеличения амплитуды (желательно эксперимент провести в двух режимах, скажем с потерями 30% и без потерь). Желательно амплитуду довести до первого уровня группировки частиц.

Test09: Если амплитуда плавно увеличивалась от 0 до 127 см (50 дюймов), то "возбуждение" не наблюдалось. См. анимацию начиная с амплитуды 89 см (35 дюймов). k=0,78. Частота - 1 Гц.

../../img/test09.gif

Test11: Частота - 1 Гц. Амплитуда - 50,8 см. k=0,78 (т.е. от неподвижной плоскости отскок на 78% от начальной высоты). "Возбуждение" начинается если тело падает с высоты больше примерно 160 см (если начальная высота - 207 см, то уже половина частиц принимает участие в подпрыгивании). Если ниже, то практически не подпрыгивают. Установившаяся высота подскока - примерно 483 см.


Уважаемый Александр!
Вообще то я хотел получить материал следующего содержания: Вначале амплитуда колебания поверхности монотонно возрастает, скажем, до величины 100 см., после чего также монотонно спадает до нуля. (Коэффициент потерь равен нулю). Вот эту запись во времени и хотелось бы посмотреть. Если быть откровенным, то у меня имеются сомнения в правильности проведения моделирования, т.е. математической записи происходящего процесса. К примеру:
1. При контакте тела с поверхностью скорость отраженного тела будет равна Vт + 2Vп,
где Vт - скорость тела в момент удара о поверхность; (так ли это в модели?)
Vп – скорость поверхности в момент удара.
2. При падении тела с определенной высоты учитывается ли время, т.е фаза колебаний поверхности с которой происходит столкновение?
В случае, если этого не делается, хотелось бы получить временную (период колебаний поверхности) картину колебаний частиц. (т.е. в зависимости от фазы колебаний).


> Вообще то я хотел получить материал следующего содержания: Вначале амплитуда колебания поверхности монотонно возрастает, скажем, до величины 100 см., после чего также монотонно спадает до нуля. (Коэффициент потерь равен нулю). Вот эту запись во времени и хотелось бы посмотреть.

Хорошо, как будет время.

> Если быть откровенным, то у меня имеются сомнения в правильности проведения моделирования, т.е. математической записи происходящего процесса. К примеру:
> 1. При контакте тела с поверхностью скорость отраженного тела будет равна Vт + 2Vп,
> где Vт - скорость тела в момент удара о поверхность; (так ли это в модели?)
> Vп – скорость поверхности в момент удара.

Я проверил. Это выполняется с точностью 0,001%. Более того, с такой же точностью находится скорость отскока при ударе с потерей энергии. См. задачу ниже


Пусть шарик, движущийся со скоростью u, налетает на массивную стенку, движущуюся ему навстречу со скоростью v. С какой скоростью V отскочит шарик, если при ударе о неподвижную стенку его кинетическая энергия уменьшается в k раз. Ответ: V= v(1+Цk) + uЦk


> 2. При падении тела с определенной высоты учитывается ли время, т.е фаза колебаний поверхности с которой происходит столкновение?

Да, конечно.



>  Увеличим коэффициент потери энергии при ударе, а груз отпустим с высоты 194 дюйма. Если при отскоке тело теряло более 30% энергии, то происходила стабилизация амплитуды подскока на уровне чуть меньшем, чем 70 дюймов. Причём при разных коэффициентах отражения (0,6 - 0,5 - 0,3 - 0,1) подскоки стягивались к одному и тому же периодическому движению, при котором возможно наблюдения эффекта "зависания" предметов над поверхностью.

1.Если при каждом подскоке тело теряет энергию, то как возникает стационарое состояние системы, т.е. "стабилизация амплитуды подскока"?
2. Как практически осуществить постоянное значение коэффициента потери энергии? Ведь при взаимодействии частицы с колеблющейся поверхностью коэффициент потери энергии k может зависеть и от фазы колебаний. Это следует из вашего определения коэффициента потери энергии: "k = W/W0, где W - кинетическая энергия отражённого тела, а W0 - его начальная кинетическая энергия, когда тело отражается от неподвижной поверхности массивного объекта(поверхности стола, например)", и из зависимости скорости колеблющейся поверхности от фазы.


> 1.Если при каждом подскоке тело теряет энергию, то как возникает стационарое состояние системы, т.е. "стабилизация амплитуды подскока"?

В состоянии с установившейся высотой подскока при каждом ударе потери энергии в тепло компенсируются подкачкой энергии со стороны вибрирующей поверхности. При этом скорость u, с которой тело падает на поверхность, должна быть равна скорости V, с которой тело отражается от поверхности.

 u = v(1+Цk) + uЦk  (1)
Отсюда
v = u (1-Цk)/(1+Цk) (2)

Другое условие, налагаемое на скорость отскока u, следует из того, что время полёта t=2u/g должно быть кратно периоду колебания плоскости Tn. Поэтому

u = gTn/2  (3)

Таким образом, в стационарном состоянии скорость поверхности в момент удара равна

v = (gTn/2) (1-Цk)/(1+Цk) (4)

Колебания поверхности происходят по гармоническому закону с амплитудой A  и угловой частотой w. Дифференцируя по времени, найдём скорость плоскости v:

v = Awcos(wt)  (5)

Приравнивая скорость из (4) и (5), находим условия, при которых стационарные состояния могут существовать:

(gT2n/4pA)(1-Цk)/(1+Цk) Ј 1  (6)

Например, при Т=1 и k=0,64 первое стационарное состояние (с n=1) может существовать, если амплитуда колебаний A > 8,6 см. Однако это рассмотрение пока ничего не говорит о том, насколько устойчивой будет эта установившаяся высота подскока.

> 2. Как практически осуществить постоянное значение коэффициента потери энергии? Ведь при взаимодействии частицы с колеблющейся поверхностью коэффициент потери энергии k может зависеть и от фазы колебаний. Это следует из вашего определения коэффициента потери энергии: "k = W/W0, где W - кинетическая энергия отражённого тела, а W0 - его начальная кинетическая энергия, когда тело отражается от неподвижной поверхности массивного объекта(поверхности стола, например)", и из зависимости скорости колеблющейся поверхности от фазы.

Коэффициент потерь зависит от фазы колебаний плоскости в момент удара. Именно поэтому возникает отрицательная обратная связь. Если плоскость ударяет тело чуть раньше, чем нужно для стационарного состояния, то энегрия сообщаемая телу будет чуть больше, чем в стационарном сотоянии, так что до следующего удара оно будет лететь чуть дольше и прилетит ближе к стационарному состоянию.


> > Вообще то я хотел получить материал следующего содержания: Вначале амплитуда колебания поверхности монотонно возрастает, скажем, до величины 100 см., после чего также монотонно спадает до нуля. (Коэффициент потерь равен нулю). Вот эту запись во времени и хотелось бы посмотреть.

> Хорошо, как будет время.
Здесь меня больше всего интересует спад до амплитуды порядка 20см. (если я не ощибаюсь при указанной амплитуде должна происходить "стабилизация".

> > Если быть откровенным, то у меня имеются сомнения в правильности проведения моделирования, т.е. математической записи происходящего процесса. К примеру:
> > 1. При контакте тела с поверхностью скорость отраженного тела будет равна Vт + 2Vп,
> > где Vт - скорость тела в момент удара о поверхность; (так ли это в модели?)
> > Vп – скорость поверхности в момент удара.

> Я проверил. Это выполняется с точностью 0,001%. Более того, с такой же точностью находится скорость отскока при ударе с потерей энергии. См. задачу ниже


> Пусть шарик, движущийся со скоростью u, налетает на массивную стенку, движущуюся ему навстречу со скоростью v. С какой скоростью V отскочит шарик, если при ударе о неподвижную стенку его кинетическая энергия уменьшается в k раз. Ответ: V= v(1+Цk) + uЦk



Не совсем это очевидно (скорей всего в указанном примере V = v + u), что V = u+2v.
По поводу: "С какой скоростью V отскочит шарик, если при ударе о неподвижную стенку его кинетическая энергия уменьшается в k раз.

Ранее я спрашивал: Потери берутся от полной энергии столкновения или только от энергии шарика? Полная энергия при столкновении будет E = m(v+u)^2/2, а энергия шарика до столкновения E=mu^2/2, после столкновения E = m(u+2v)^2/2. Чтобы не было разночтений, я постоянно и задаю указанный вопрос.



> > Пусть шарик, движущийся со скоростью u, налетает на массивную стенку, движущуюся ему навстречу со скоростью v. С какой скоростью V отскочит шарик, если при ударе о неподвижную стенку его кинетическая энергия уменьшается в k раз. Ответ: V= v(1+Цk) + uЦk



> Не совсем это очевидно (скорей всего в указанном примере V = v + u), что V = u+2v.

Все-таки очевидно: просто положите k=1 (формула V = u+2v верна для упругого удара).


> > 1.Если при каждом подскоке тело теряет энергию, то как возникает стационарое состояние системы, т.е. "стабилизация амплитуды подскока"?

> В состоянии с установившейся высотой подскока при каждом ударе потери энергии в тепло компенсируются подкачкой энергии со стороны вибрирующей поверхности. При этом скорость u, с которой тело падает на поверхность, должна быть равна скорости V, с которой тело отражается от поверхности.

 u = v(1+Цk) + uЦk  (1)
> Отсюда
> v = u (1-Цk)/(1+Цk) (2)

> Другое условие, налагаемое на скорость отскока u, следует из того, что время полёта t=2u/g должно быть кратно периоду колебания плоскости Tn. Поэтому

u = gTn/2  (3)

> Таким образом, в стационарном состоянии скорость поверхности в момент удара равна

v = (gTn/2) (1-Цk)/(1+Цk) (4)

> Колебания поверхности происходят по гармоническому закону с амплитудой A  и угловой частотой w. Дифференцируя по времени, найдём скорость плоскости v:

v = Awcos(wt)  (5)

> Приравнивая скорость из (4) и (5), находим условия, при которых стационарные состояния могут существовать:

(gT2n/4pA)(1-Цk)/(1+Цk) Ј 1  (6)

> Например, при Т=1 и k=0,64 первое стационарное состояние (с n=1) может существовать, если амплитуда колебаний A > 8,6 см. Однако это рассмотрение пока ничего не говорит о том, насколько устойчивой будет эта установившаяся высота подскока.

> > 2. Как практически осуществить постоянное значение коэффициента потери энергии? Ведь при взаимодействии частицы с колеблющейся поверхностью коэффициент потери энергии k может зависеть и от фазы колебаний. Это следует из вашего определения коэффициента потери энергии: "k = W/W0, где W - кинетическая энергия отражённого тела, а W0 - его начальная кинетическая энергия, когда тело отражается от неподвижной поверхности массивного объекта(поверхности стола, например)", и из зависимости скорости колеблющейся поверхности от фазы.

> Коэффициент потерь зависит от фазы колебаний плоскости в момент удара. Именно поэтому возникает отрицательная обратная связь. Если плоскость ударяет тело чуть раньше, чем нужно для стационарного состояния, то энегрия сообщаемая телу будет чуть больше, чем в стационарном сотоянии, так что до следующего удара оно будет лететь чуть дольше и прилетит ближе к стационарному состоянию.

Полностью согласен. Кроме того, удар всетаки не мгновенный, то есть сама поверхность станка в момент удара тоже поменяла скорость. Если удар мгновенный, то откуда берутся потери энергии? Мне кажется, что при мгновенном ударе возможен только обмен энергией. Нет?


И вообще.Я думаю, что потеря энергии зависит от времени удара и вида соприкасающихся материалов, и больше ниотчего. Спинным мозгом чувствую, что можно это доказать, но имеет место дифицит времени.


> > 1.Если при каждом подскоке тело теряет энергию, то как возникает стационарое состояние системы, т.е. "стабилизация амплитуды подскока"?

> В состоянии с установившейся высотой подскока при каждом ударе потери энергии в тепло компенсируются подкачкой энергии со стороны вибрирующей поверхности. При этом скорость u, с которой тело падает на поверхность, должна быть равна скорости V, с которой тело отражается от поверхности.

 u = v(1+Цk) + uЦk  (1)
> Отсюда
> v = u (1-Цk)/(1+Цk) (2)

Вы утверждаете, что "потери энергии в тепло компенсируются подкачкой энергии со стороны вибрирующей поверхности". Ясно, что в общем случае произвольной фазы колебаний поверхности эта вибрирующая поверхность может как подкачивать, так и откачивать кинетическую энергию от частиц. Уравнение (1) справедливо в случае подкачки энергии; в противоположном случае перед первым слагаемым в правой части нужно поставить знак "-". Вы пытаетесь обойти случай откачки энергии правильным выбором частоты вибраций плоскости, однако такой подход ничего не объясняет, ибо здесь важна не только частота, но и фаза (сдвиг фаз), которая может меняться неконтролированно. Ниже вы говорите об отрицательной обратной связи. Но вы рассматриваете случай, когда плоскость ударяет тело чуть раньше, чем нужно для стационарного состояния. А если чуть позднее? А если частица вообще находится в состоянии откачки энергии? Ответ на эти вопросы имеет прямое отношение к обоснованию устойчивости высоты подскока.
Относительно коэффициента потерь энергии k. В физике удара широко использоуют т.н. коэффициент восстановления, который определяют через отношение относительных скоростей двух сталкивающихся тел до и после удара. Этот коэффициент с хорошей точностью является величиной постоянной и зависит только от материала соударяющихся тел. Так, для дерева он равен 0.5, для стекла- 0.94, и т.д. Не лучше-бы и вам использовать этот коэффициент восстановления относительной скорости вместо коэффициента потерь энергии k?

> Другое условие, налагаемое на скорость отскока u, следует из того, что время полёта t=2u/g должно быть кратно периоду колебания плоскости Tn. Поэтому

u = gTn/2  (3)

> Таким образом, в стационарном состоянии скорость поверхности в момент удара равна

v = (gTn/2) (1-Цk)/(1+Цk) (4)

> Колебания поверхности происходят по гармоническому закону с амплитудой A  и угловой частотой w. Дифференцируя по времени, найдём скорость плоскости v:

v = Awcos(wt)  (5)

> Приравнивая скорость из (4) и (5), находим условия, при которых стационарные состояния могут существовать:

(gT2n/4pA)(1-Цk)/(1+Цk) Ј 1  (6)

> Например, при Т=1 и k=0,64 первое стационарное состояние (с n=1) может существовать, если амплитуда колебаний A > 8,6 см. Однако это рассмотрение пока ничего не говорит о том, насколько устойчивой будет эта установившаяся высота подскока.

> > 2. Как практически осуществить постоянное значение коэффициента потери энергии? Ведь при взаимодействии частицы с колеблющейся поверхностью коэффициент потери энергии k может зависеть и от фазы колебаний. Это следует из вашего определения коэффициента потери энергии: "k = W/W0, где W - кинетическая энергия отражённого тела, а W0 - его начальная кинетическая энергия, когда тело отражается от неподвижной поверхности массивного объекта(поверхности стола, например)", и из зависимости скорости колеблющейся поверхности от фазы.

> Коэффициент потерь зависит от фазы колебаний плоскости в момент удара. Именно поэтому возникает отрицательная обратная связь. Если плоскость ударяет тело чуть раньше, чем нужно для стационарного состояния, то энегрия сообщаемая телу будет чуть больше, чем в стационарном сотоянии, так что до следующего удара оно будет лететь чуть дольше и прилетит ближе к стационарному состоянию.


> Не совсем это очевидно (скорей всего в указанном примере V = v + u), что V = u+2v.

На анимации изображён следующий эксперимент:
k = W/W0 = 0,64
u = 5 м/с (скорость шара до удара)
v = 2 м/с (скорость плоскости)
V = 7,6 м/с (скорость шара после удара)

> По поводу: "С какой скоростью V отскочит шарик, если при ударе о неподвижную стенку его кинетическая энергия уменьшается в k раз.

> Ранее я спрашивал: Потери берутся от полной энергии столкновения или только от энергии шарика? Полная энергия при столкновении будет E = m(v+u)^2/2, а энергия шарика до столкновения E=mu^2/2, после столкновения E = m(u+2v)^2/2. Чтобы не было разночтений, я постоянно и задаю указанный вопрос.

k=W/W0, где W-кинетическая энергия тела после его отскока, W0-начальная кинетическая энергия тела. Всё рассматривается в системе координат, в которой поверхность массивного тела (от которого происходит отскок) покоится. k=1 в случае абсолютно упругого удара, k=0 в случае абсолютно неупругого удара.

В состоянии с установившейся высотой подскока при каждом ударе потери энергии в тепло компенсируются подкачкой энергии со стороны вибрирующей поверхности. При этом скорость u, с которой тело падает на поверхность, должна быть равна скорости V, с которой тело отражается от поверхности.

 u = v(1+Цk) + uЦk  (1)
Отсюда
v = u (1-Цk)/(1+Цk) (2)

Другое условие, налагаемое на скорость отскока u, следует из того, что время полёта t=2u/g должно быть кратно периоду колебания плоскости Tn. Поэтому

u = gTn/2  (3)

Таким образом, в стационарном состоянии скорость поверхности в момент удара равна

v = (gTn/2) (1-Цk)/(1+Цk) (4)

Колебания поверхности происходят по гармоническому закону с амплитудой A  и угловой частотой w.

x = Asin(wt)  (5)

Дифференцируя по времени, найдём скорость плоскости v:

v = Awcos(wt)  (6)

Приравнивая скорость из (4) и (5), находим условия, при которых стационарные состояния могут существовать:

(gT2n/4pA)(1-Цk)/(1+Цk) Ј 1  (7)

Например, при Т=1с и k=0,64 первое стационарное состояние (с n=1) может существовать, если амплитуда колебаний A > 8,6 см.

Высота подскока в стационарном состоянии H равна сумме высоты подскока от поверхности g(nT)2/8 и собственно смещению поверхности по вертикале в момент удара x. Из (4)-(6) находим

H = g(nT)2/8 + (A2 - (gT2n/4p)2(1-Цk)2/(1+Цk)2)1/2   (8)

Если Т=1 с, A=25,4 см (10 дюймов) и k=0,5, то H= 56,7 дюйма. Интересно, что зависящий от k член в (8) даёт уменьшение высоты подскока лишь на 2%.

"Эксперимент" (test16): Т=1 с, A=25,4 см (10 дюймов), k=0,52±0,01. Шарик радиуса 10 дюймов сбрасывался на плоскость с высоты 200 дюймов. Колебание плоскости происходило по синусоидальному закону. В результате высота подскока устанавливалась равной 67±3 дюйма, что с учётом радиуса шарика совпадает с теоретическими оценками.

Осталось рассмотреть собственно условия устойчивости.


> Относительно коэффициента потерь энергии k. В физике удара широко использоуют т.н. коэффициент восстановления, который определяют через отношение относительных скоростей двух сталкивающихся тел до и после удара. Этот коэффициент с хорошей точностью является величиной постоянной и зависит только от материала соударяющихся тел. Так, для дерева он равен 0.5, для стекла- 0.94, и т.д. Не лучше-бы и вам использовать этот коэффициент восстановления относительной скорости вместо коэффициента потерь энергии k?

Коэффициент восстановления K=Цk

На анимации изображён следующий эксперимент:
k = 0,64
u = 5 м/с (скорость шара до удара)
v = 2 м/с (скорость плоскости)
V = 7,6 м/с (скорость шара после удара)

V = v(1+Цk) + uЦk = v(1+K) + uK

где

k = W/W0 = 0,64

K = (V-v)/(u+v) = 0,8


> > Относительно коэффициента потерь энергии k. В физике удара широко использоуют т.н. коэффициент восстановления, который определяют через отношение относительных скоростей двух сталкивающихся тел до и после удара. Этот коэффициент с хорошей точностью является величиной постоянной и зависит только от материала соударяющихся тел. Так, для дерева он равен 0.5, для стекла- 0.94, и т.д. Не лучше-бы и вам использовать этот коэффициент восстановления относительной скорости вместо коэффициента потерь энергии k?

> Коэффициент восстановления K=Цk

Итак, коэффициент потерь k является квадратом коэффициента восстановления К, и, поэтому, зависит только от материала соударяющихся тел, но не зависит от относительных скоростей. Почему же в своем сообщении №13945 вы пишете: "Коэффициент потерь зависит от фазы колебаний плоскости в момент удара"?


> Итак, коэффициент потерь k является квадратом коэффициента восстановления К, и, поэтому, зависит только от материала соударяющихся тел, но не зависит от относительных скоростей. Почему же в своем сообщении №13945 вы пишете: "Коэффициент потерь зависит от фазы колебаний плоскости в момент удара"?

Всё зависит от того в какой системе отсчёта мы рассматриваем отражение тела. Если в системе отсчёта, связанной с отражающей поверхностью массивного тела, то, действительно, кинетическая энергия тела до отражения будет с хорошей точностью пропорциональна энергии тела после отражения. Коэффициент пропорциональности k = W/W0 зависит от материала тела и отражателя.

Если же мы находимся в системе отсчёта, в которой и тело, и отражатель движутся, то коэффициент потерь зависит от текущей скорости отражателя v = Awcos(wt) в момент удара:

k1 = [v(1+Цk) + uЦk]2/u2

В стационарном состоянии k1=1. Когда k1>1, высота подскока увеличивается и, наоборот, если k1<1, то высота подскока уменьшается.


> > Итак, коэффициент потерь k является квадратом коэффициента восстановления К, и, поэтому, зависит только от материала соударяющихся тел, но не зависит от относительных скоростей. Почему же в своем сообщении №13945 вы пишете: "Коэффициент потерь зависит от фазы колебаний плоскости в момент удара"?

> Всё зависит от того в какой системе отсчёта мы рассматриваем отражение тела. Если в системе отсчёта, связанной с отражающей поверхностью массивного тела, то, действительно, кинетическая энергия тела до отражения будет с хорошей точностью пропорциональна энергии тела после отражения. Коэффициент пропорциональности k = W/W0 зависит от материала тела и отражателя.

> Если же мы находимся в системе отсчёта, в которой и тело, и отражатель движутся, то коэффициент потерь зависит от текущей скорости отражателя v = Awcos(wt) в момент удара:

k1 = [v(1+Цk) + uЦk]2/u2

> В стационарном состоянии k1=1. Когда k1>1, высота подскока увеличивается и, наоборот, если k1<1, то высота подскока уменьшается.

Уважаемый Alexander!
Пожалуйста, определитесь (для себя), что такое "коэффициент потерь". Раньше у вас шла речь о коэффициенте k, и все ваши формулы с этим коэффициентом были понятны и корректны. Сейчас вы вводите под этим же именем ДРУГОЙ параметр k1, а это уже находиться за гранью моего понимания.
Желаю успехов, sleo.



> Уважаемый Alexander!
> Пожалуйста, определитесь (для себя), что такое "коэффициент потерь". Раньше у вас шла речь о коэффициенте k, и все ваши формулы с этим коэффициентом были понятны и корректны. Сейчас вы вводите под этим же именем ДРУГОЙ параметр k1, а это уже находиться за гранью моего понимания.
> Желаю успехов, sleo.

Я уже очень много раз объяснял, что коэффициент k определяется в системе отсчёта, связанной с отражателем. Вы попытались определить его в другой системе отсчёта. Естественно он получается другим. В этом нет ничего удивительного. Надеюсь, что текст, который я привожу ниже, поможет Вам окончательно разобраться с этим вопросом.

Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно очень мал (на практике ~10-4..10-5 с), а развивающиеся на площадках контакта соударяющихся тел силы (т. н. ударные или мгновенные) очень велики. За время удара они изменяются в широких пределах и достигают значений, при которых средние величины давления (напряжений) на площадках контакта имеют порядок 104 и даже 105 атм. Ввиду малости времени удара, импульсами всех неударных сил, таких, например, как сила тяжести, а также перемещениями точек тела за время удара пренебрегают. Процесс соударения двух тел можно разделить на две фазы: 1) сближение соприкасающихся тел и 2) их расхождение. В первой фазе кинетическая энергия тел переходит в энергию деформации, а во второй фазе, накопленная энергия деформации полностью или частично переходит в кинетическую энергию тел. Для совершенно упругих тел механическая энергия к концу удара восстанавливается полностью и скорость их сближения до удара равна относительной скорости расхождения. Наоборот, удар совершенно неупругих тел закончился бы на 1-й фазе и два тела двигались бы вместе (с нулевой относительной скоростью). При ударе реальных тел механическая энергия к концу удара восстанавливается лишь частично вследствие потерь на образование остаточных деформаций, нагревание тел и др. Для учёта этих потерь вводится т. н. коэффициент восстановления K, который считается зависящим только от физ. свойств материалов тел

K = пv01-v02п/пv11-v12п

где v01, v02 - скорости тел до столкновения, а  v11, v12- их скорости после столкновения. Если одно из тел - массивный отражатель, скорость которого v не изменяется в результате удара, то

K = (V - v)/(u + v)

где v - скорость отражателя, u - скорость налетающего тела, V - скорость тела после отражения.

Можно также ввести коэффициент k потерь энергии при отражении от неподвижного массивного тела. k=W/W0, где W0 - кинетическая энергия налетающего тела, W - кинетическая энергия после удара в системе отсчёта, связанной с массивным отражателем. При этом K=Цk. Значение k определяется экспериментально, например, измерением высоты h, на которую отскакивает шарик, свободно падающий на горизонтальную плиту из того же материала, что и шарик, с высоты Н; в этом случае k= h/Н. По данным опытов, при соударении тел из дерева k=0,25, из стали - 0,30, из слоновой кости - 0,79, из стекла - 0,88. В предельных случаях при совершенно упругом ударе k=1, а при совершенно неупругом k = 0. Зная скорость u, с которой тело налетает на отражатель, движущийся со скоростью v и коэффициент k (или K), можно найти скорость тела V после столкновения:

V = v(1+Цk) + uЦk =  v(1+K) + uK 

Для определения времени удара, ударных сил и вызванных ими в телах напряжений и деформаций необходимо учесть механические свойства материалов тел и изменения этих свойств за время удара, а также характер начальных и граничных условий. Решение проблемы существенно усложняется не только из-за трудностей чисто математического характера, но и ввиду отсутствия достаточных данных о параметрах, определяющих поведение материалов тел при ударных нагрузках, что заставляет делать при расчётах ряд существенных упрощающих предположений. Наиболее разработана теория удара совершенно упругих тел, в которой предполагается, что тела за время удара подчиняются законам упругого деформирования и в них не появляется остаточных деформаций. Деформация, возникшая в месте контакта, распространяется в таком теле в виде упругих волн со скоростью, зависящей от физ. свойств материала. Если время прохождения этих волн через всё тело много меньше времени удара., то влиянием упругих колебаний можно пренебречь и считать характер контактных взаимодействий при ударе таким же, как в статическом состоянии. На таких допущениях основывается контактная теория удара Г.Герца. Если же время прохождения упругих волн через тело сравнимо со временем удара, то для расчётов пользуются волновой теорией удара. Изучение удара не вполне упругих тел - задача значительно более сложная, требующая учёта как упругих, так и пластических свойств материалов.


> > Уважаемый Alexander!
> > Пожалуйста, определитесь (для себя), что такое "коэффициент потерь". Раньше у вас шла речь о коэффициенте k, и все ваши формулы с этим коэффициентом были понятны и корректны. Сейчас вы вводите под этим же именем ДРУГОЙ параметр k1, а это уже находиться за гранью моего понимания.
> > Желаю успехов, sleo.

> Я уже очень много раз объяснял, что коэффициент k определяется в системе отсчёта, связанной с отражателем. Вы попытались определить его в другой системе отсчёта. Естественно он получается другим. В этом нет ничего удивительного. Надеюсь, что текст, который я привожу ниже, поможет Вам окончательно разобраться с этим вопросом.

> Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно очень мал (на практике ~10-4..10-5 с), а развивающиеся на площадках контакта соударяющихся тел силы (т. н. ударные или мгновенные) очень велики. За время удара они изменяются в широких пределах и достигают значений, при которых средние величины давления (напряжений) на площадках контакта имеют порядок 104 и даже 105 атм. Ввиду малости времени удара, импульсами всех неударных сил, таких, например, как сила тяжести, а также перемещениями точек тела за время удара пренебрегают. Процесс соударения двух тел можно разделить на две фазы: 1) сближение соприкасающихся тел и 2) их расхождение. В первой фазе кинетическая энергия тел переходит в энергию деформации, а во второй фазе, накопленная энергия деформации полностью или частично переходит в кинетическую энергию тел. Для совершенно упругих тел механическая энергия к концу удара восстанавливается полностью и скорость их сближения до удара равна относительной скорости расхождения. Наоборот, удар совершенно неупругих тел закончился бы на 1-й фазе и два тела двигались бы вместе (с нулевой относительной скоростью). При ударе реальных тел механическая энергия к концу удара восстанавливается лишь частично вследствие потерь на образование остаточных деформаций, нагревание тел и др. Для учёта этих потерь вводится т. н. коэффициент восстановления K, который считается зависящим только от физ. свойств материалов тел

K = (V - v)/(u + v)

> где v - скорость отражателя, u - скорость налетающего тела, V - скорость тела после отражения.

> Можно также ввести коэффициент k потерь энергии при отражении от неподвижного массивного тела. k=W/W0, где W0 - кинетическая энергия налетающего тела, W - кинетическая энергия после удара в системе отсчёта, связанной с массивным отражателем. При этом K=Цk.

1. ВЫ, а не я, ввели два параметра k и k1, под одинаковам именем "коэффициент потерь". Я где-нибудь говорил о системе координат применительно к определению k (К)?
2. Коэффициент восстановления K по приведенной вами формуле содержит v - скорость отражателя. Эта скорость у вас всегда 0? Если "да", зачем ее сохраняют в формуле?
3. Надеюсь, что безусловно правильный текст, который вы привели, поможет Вам окончательно разобраться с этим вопросом.


> Осталось рассмотреть собственно условия устойчивости.

Хочу начать с данного утверждения. Согласен с Вами и чтобы не "заболтать" это (тем более к данной задаче подключились и другие участники) хочу сказать, что ранее указанная мной амплитуда колебаний в районе 20см. (по моим расчетам, если конечно мной не допущена ошибка) при нулевых потерях (к =1) есть не что иное как устойчивое положение системы с заданными параметрами.

Не хотелось бы давать не проверенный материал по поводу расчета устойчивости, однако я не могу уделить достаточного времени для основательной проверки расчета устойчивости. Если Вас устроит могу представить "сырой" материал. В этом случае, проверка и приведение (при необходимости) в надлежащюю форму будет за Вами.

P.S. Если я правильно понимаю, то окончательное "k" это все-таки не потери, а
(u -v)/V = корень(k), где (u -v)- относительная скорость тела по отношению к поверхности, а V - также относительная скорость тела после взаимодействия с поверхностью.



> > Осталось рассмотреть собственно условия устойчивости.

> Хочу начать с данного утверждения. Согласен с Вами и чтобы не "заболтать" это (тем более к данной задаче подключились и другие участники) хочу сказать, что ранее указанная мной амплитуда колебаний в районе 20см. (по моим расчетам, если конечно мной не допущена ошибка) при нулевых потерях (к =1) есть не что иное как устойчивое положение системы с заданными параметрами.

> Не хотелось бы давать не проверенный материал по поводу расчета устойчивости, однако я не могу уделить достаточного времени для основательной проверки расчета устойчивости. Если Вас устроит могу представить "сырой" материал. В этом случае, проверка и приведение (при необходимости) в надлежащюю форму будет за Вами.

> P.S. Если я правильно понимаю, то окончательное "k" это все-таки не потери, а
> (u -v)/V = корень(k), где (u -v)- относительная скорость тела по отношению к поверхности, а V - также относительная скорость тела после взаимодействия с поверхностью.

Извините, что вмешиваюсь в вашу дискуссию. С моей, "другой" точки зрения, вы вводите еще одно (третье по счету!) "окончательное" определение бедного коэффикиента k :)))
В действительности коэффициент k потому и называют "коэффициентом потерь", что он характеризует необратимые потери энергии. Он подобен механическому КПД; а посему V - относительная скорость тела ПОСЛЕ взаимодействия с поверхностью в знаменатель входить не должна...
С глубоким почтением и пр.
sleo



> > P.S. Если я правильно понимаю, то окончательное "k" это все-таки не потери, а
> > (u -v)/V = корень(k), где (u -v)- относительная скорость тела по отношению к поверхности, а V - также относительная скорость тела после взаимодействия с поверхностью.

> Извините, что вмешиваюсь в вашу дискуссию. С моей, "другой" точки зрения, вы вводите еще одно (третье по счету!) "окончательное" определение бедного коэффикиента k :)))
> В действительности коэффициент k потому и называют "коэффициентом потерь", что он характеризует необратимые потери энергии. Он подобен механическому КПД; а посему V - относительная скорость тела ПОСЛЕ взаимодействия с поверхностью в знаменатель входить не должна...
> С глубоким почтением и пр.
> sleo
В соответствии с утверждением Александра:
" Можно также ввести коэффициент k потерь энергии при отражении от неподвижного массивного тела. k=W/W0, где W0 - кинетическая энергия налетающего тела, W - кинетическая энергия после удара в системе отсчёта, связанной с массивным отражателем. При этом K=корень(k)".
коэффициент k есть не что иное как коэффициент остаточной энергии после взаимодействия. Коэффициент потерь по определению должен быть равен Wп/W0=m, где W0 - кинетическая энергия налетающего тела, Wп - энергия потерь в системе отсчёта, связанной с массивным отражателем. И, следовательно, введенный коэффициент k=W/W0 через коэффициент потерь(m) выразится так: k = W/W0 =(W0-Wп)/W0 = 1-m.



> Не хотелось бы давать не проверенный материал по поводу расчета устойчивости, однако я не могу уделить достаточного времени для основательной проверки расчета устойчивости. Если Вас устроит могу представить "сырой" материал. В этом случае, проверка и приведение (при необходимости) в надлежащюю форму будет за Вами.

Пожалуйста, в любое время, как вам будет удобно. Ниже привожу свои идеи по этому поводу.

4. Теоретическое рассмотрение стационарных высот подскока.

В состоянии с установившейся высотой подскока при каждом ударе потери энергии в тепло компенсируются подкачкой энергии со стороны вибрирующей поверхности. При этом скорость u, с которой тело падает на поверхность, должна быть равна скорости V, с которой тело отражается от поверхности.

 u = v(1+Цk) + uЦk  (1)

Отсюда
v = u (1-Цk)/(1+Цk) (2)

Другое условие, налагаемое на скорость отскока u, следует из того, что время полёта t=2u/g должно быть кратно периоду колебания плоскости Tn. Поэтому

u = gTn/2  (3)

Таким образом, в стационарном состоянии скорость поверхности в момент удара равна

v = (gTn/2) (1-Цk)/(1+Цk) (4)

Колебания поверхности происходят по гармоническому закону с амплитудой A  и угловой частотой w.

x = Acos(wt)  (5)

Дифференцируя по времени, найдём скорость плоскости v:

v = -Awsin(wt)  (6)

Приравнивая скорость из (4) и (5), находим условия, при которых стационарные состояния могут существовать:

(gT2n/4pA)(1-Цk)/(1+Цk) Ј 1  (7)

Например, при Т=1с и k=0,5 первое стационарное состояние (с n=1) может существовать, если амплитуда колебаний A > 13,3 см.

Высота подскока в стационарном состоянии H равна сумме высоты подскока от поверхности g(nT)2/8 и собственно смещению поверхности в вертикальном направлении x в момент удара. Из (4)-(6) находим

H = g(nT)2/8 + (A2 - (gT2n/4p)2(1-Цk)2/(1+Цk)2)1/2   (8)

Если Т=1 с, A=25,4 см (10 дюймов) и k=0,5, то H= 56,7 дюйма. Интересно, что зависящий от k член в (8) даёт уменьшение высоты подскока лишь на 2%.

Компьютерное моделирование: Т=1 с, A=25,4 см (10 дюймов), k=0,52±0,01. Шарик радиуса 10 дюймов сбрасывался на плоскость с высоты 200 дюймов. Колебание плоскости происходило по синусоидальному закону. В результате высота подскока устанавливалась равной 67±3 дюйма, что с учётом радиуса шарика совпадает с теоретическими оценками.

5. Анализ условий устойчивости.

Если удар тела о плоскость не абсолютно упругий, то в стационарном состоянии отскок происходит чуть раньше, чем плоскость достигла максимальной высоты и ещё движется вверх с некоторой скоростью. Введём фазу колебаний d = wt . Удар в стационарном состоянии происходит при d = dст + 2pk, где к - целое число.

Рассмотрим устойчивость системы к малым вариациям d. Для этого предположим, что удар происходит в момент, когда фаза равна d0. Найдём, какая фаза колебаний d1 будут в момент следующего удара. Для  этого выразим время полёта t через скорость плоскости в момент удара v = -Awsind и скорость шарика до удара  u=gT/2

t = (2/g)( -Aw(1+Цk)sind0 + gTЦk/2 )  (9)

Домножая (9) на w находим фазу d1 и, соответственно, Dd=d1-d0 - сдвиг фазы при двух последовательных ударах.

Dd = -2(Aw2/g)(1+Цk)sind0 - 2p(1-Цk  (10)

 Из (4) и (6) видно, что в стационарном состоянии

-Awsindст = (gT/2) (1-Цk)/(1+Цk)   (11)

Подставляя (11) в (10), видим, что в стационарном состоянии Dd=0, т.е. удары происходят при одной и той же фазе колебаний пластины. Если же начальная фаза d0 чуть смещена относительно dст, то Dd будет отлична от нуля. 

Будем предполагать, что удары при каждом отскоке происходят упруго, так что коэффициент k близок к единице. Тогда dст мал и sind0 в (10) можно линеаризовать.  Вводя Dd0=d0-dст , выразим Dd через этот параметр. 

Dd = -2(Aw2/g)(1+Цk)Dd0   (12)

Подскоки будут устойчивыми, когда |Dd| < 2|Dd0|

При большем Dd система будет "самовозбуждаться". При строгом равенстве, будут происходить незатухающие осцилляции высоты подскока. Итак, условия устойчивости:

A < gT2/4p2(1+Цk)  (12)

Например, при Т=1с и k=0,5  для устойчивости высоты подскока требуется, чтобы: A < 13,8 см. Совместно с условием (7) получаем следующие ограничения на амплитуду колебаний пластины: A = 13,3 ... 14,6 см. В компьютерном же эксперименте удавалось получать устойчивую картину подскоков и при A = 25 см. Дело, видимо, в том, что при выводе (12) из (10) было сделано допущение о малом отклонении фазы от стационарного состояния и, соответственно, взят лишь первый линейный член от разложения синуса в ряд. Если условие (12) не выполняется, то Dd0 будет расти и за счёт нелинейности синусоиды будет достигнуто значение Dd0, когда |Dd| < 2|Dd0| . Это означает, что в эксперименте мы должны наблюдать небольшие флуктуации высоты подскока относительно стационарного значения. Проверим это.

На рисунке приведены результаты компьютерного моделирования отскоков шарика радиуса 10 дюймов от поверхности, вибрирующей по гармоническому закону с частотой 1 Гц. k=0,51. Синяя кривая соответствует амплитуде вибрации плоскости A=10 дюймов, а красная кривая для А=8 дюймов. Из компьютерной модели видно, что для A=10 дюймов высота подскока стабилизировалась на уровне около 67+-3 дюйма , однако время от времени происходили выбросы на значение примерно в 60 и 70 дюймов. При уменьшении амплитуды колебаний плоскости до 8 дюймов устойчивость системы заметно повышалась и высота подскока довольно точно стабилизировалась на уровне 64,5+-0,1 дюйма.

Таков самый начальный анализ устойчивости системы. Этот вопрос можно ещё поизучать, но интересно подумать также, может ли этот эффект быть использован как-либо.



> Пожалуйста, в любое время, как вам будет удобно.

Прошу прощенья за публикацию "сырого" непроверенного материала. (Не исключаю возможные ошибки, поэтому прошу проверить). Возможно, после проверки и корректировки, кто-то опубликует в надлежащей форме?

Под устойчивостью будем понимать вынужденные колебания тела 1 с установившейся постоянной амплитудой под воздействием удара при взаимодействии с другим телом 2, совершающим гармоническое колебание, амплитуда которого изменяется по закону:
A(t)=A(0)cos(nt)
и скорость, соответственно, как:
v(t) = - v(0)sin(nt), где:
A(t) – амплитуда колеблющегося тела 2 в заданный момент времени;
A(0) – величина амплитуды;
n – круговая частота:
t –время;
v(t) – скорость колеблющегося тела 2 в заданный момент времени;
v(0) амплитудное значение скорости, равное A(0) n.
Ранее было показано, что установившаяся амплитуда тела 1 будет наблюдаться в том случае, когда время (2t1=2u(0)/g, где u(0) –скорость тела после столкновения, g – ускорение свободного падения) свободного движения тела 1 в постоянном гравитационном поле от столкновения до столкновения будет кратно периоду колебаний (mT) другого тела 2, т.е. 2 t(1)= mT. Установившаяся амплитуда (высота от точки столкновения) и, соответственно, скорость при этом будет: H(1)= g(mT)^2/8; u(0) = g(mT)/2.

Для проверки устойчивости вначале будем считать удар упругим, т.е. без потерь энергии при столкновении. Очевидно, что устойчивость можно ожидать только, когда столкновение происходит в момент v(t)=0, т.е. sin(nt)=0, следовательно, cos(nt)=1, т.е. в наивысшей точке столкновения (A(t)=A(0)).
Легко показать, что в нижней точке (cos(nt)=-1) рассматриваемой устойчивости нет.

Анализ устойчивости можно провести, если предположить, что по каким-то причинам произошло изменение скорости тела 1 на величину (– du). Очевидно, что при этом произойдет и изменение времени свободного движения тела 1. (Можно также анализ устойчивости проводить только за счет изменения (вариации) времени). Итак, после столкновения будем иметь:
u(1)= u(0) – du - v(0)sin(-ndt)] .
При малом dt можно записать:
u(1)= u(0) – du + 2v(0)ndt.
В соответствии с выше приведенной формулой:
2t(1)=2u(1)/g, где u(1) – скорость тела после столкновения, g – ускорение свободного падения, можем определить время до следующего столкновения (2t(1)) . Вычтя из указанного времени кратный период колебаний, т.е. 2u(0)/g, и dt, определим точку очередного столкновения во времени:
dt(1)= – 2du/g + 4v(0)ndt/g - dt.
Откуда определим очередную скорость тела 1 (u(2)) после указанного столкновения:
u(2)= u(1) – 2 v(0)sin(ndt(1)).
По аналогии с выше приведенным замечанием (при малом dt(1)), подставляя значение u(1) будем иметь:
u(2)= u(0) - du + 2v(0)ndt - 2 v(0)ndt(1) = u(0) - du + 2v(0)ndt - 2 v(0)n[– 2du/g + 4v(0)ndt/g – dt] = u(0) - du + 4v(0)ndt + 4 v(0)ndu/g - 8 v(0)nv(0)ndt/g.
В связи с тем, что вариации производятся по двум независимым параметрам (du и dt) можно принять, что u(2)= u(0) – du. (Конечно, более строгое доказательство устойчивости - решение для получения второго уравнения, когда dt(3) было меньше dt(1))
Откуда: 4v(0)ndt + 4 v(0)ndu/g - 8 v(0)nv(0)ndt/g=0.
Далее можем определить время до следующего столкновения (2t(2) =2u(2)/g) и по аналогии с выше приведенным рассуждением, определяем точку очередного столкновения во времени:
dt(2)= 2u(2)/g – 2u(0)/g + dt(1)=– 4du/g + 4v(0)ndt/g – dt
Учитывая то, что для устойчивости необходимо, чтобы dt(2) было меньше dt, получим второе уравнение
-4du/g + 4v(0)ndt/g <2 dt.
Исключая du/dt из указанных уравнений (g + (du/dt) - 2 v(0)n=0; -2(du/dt) + 2v(0)n g
Или v(0) > g/2n
Ранее было показано, что «Очевидно, что при малых амплитудах все предметы будут совершать синхронные колебания с поверхностью станка (т.е. не будут отрываться от поверхности). Определим предельную амплитуду, при которой предметы начнут отрываться от поверхности. Указанный отрыв произойдет тогда, когда максимальная скорость предмета (v = корень(2hg)) а, следовательно, и поверхности станка (v=A(0)n) достигнет такой величины (A(t)=A(0)), при которой предмет поднимется на высоту равную амплитудной (h=A(0)). Итак, имеем:
Корень(2hg)=A(0)n ……… 1
h=A(0)
Исключая h, получим: А(0)=2g/n^2 (при частоте 1 Гц получим порядка 50 см.)»

Учитывая, что «v(0) амплитудное значение скорости, равное A(0) n», получим, что устойчивость будет при: A(0)уст > g/2n^2 (при частоте 1 Гц получим более 12,5 см.)

Более детальный анализ рассматриваемой системы может заключаться в нахождении скоростного пространства (или фазы) все тела, находящиеся в указанном пространстве будут стремиться к своему устойчивому состоянию. Решение данной задачи может выполняться по указанному выше сценарию, только в этом случае должен сохраняться sin, а не его приближение. Решение же при неупругом ударе, так же можно проводить по вышеуказанному сценарию, однако проще воспользоваться принципом суперпозиции, т.е. рассматривать два независимых гармонических колебания. Амплитуда одного из них описывается косинусоидой (вышеприведенный вариант). Амплитуда другого колебания, необходимая для компенсации потерь при ударе, описывается синусоидой. В связи с тем, что подпитка происходит при максимальной скорости, а устойчивость обеспечивается при нулевой скорости, указанный выше расчет устойчивости переносится без каких-либо изменений на неупругий удар. Если известны амплитуды указанных гармонических колебаний одинаковой частоты, то сложение их дает синусоиду (косинусоиду) с заданной амплитудой и фазой.



Привет всем в ком еще не угасла тяга к знаниям.
Теория это хорошо, конечно... А я вот поставил реальный, а не виртуальный эксперимент и увидел, что на самом деле движение сложнее и интереснее.

Экспериментальная проверка теории.
На вибрирующий поддон кладется монетка в 50 евро.
Частота вибрации 50 герц. Амплитуда плавно регулируется в диапазоне от 0 до 10 мм.
Движение условно можно разбить на 6 этапов или групп:

1. Монетка вообще не отрывается от поддона
2. Монетка часть времени проводит лежа на поддоне , а часть в полете. Полет очевидно состоит из бесконечного количества затухающих в геометрической прогресии ударов. Это серия ударов занимает конечное время T < 1/50 секунд. При этом энергия ударов полностью преврашается в тепло до начала следующего подбрасывания.
3. Дальше происходит все то, о чем вы пишете на вашем сайте то есть периодическое движение с периодом, кратным 0,02 секунды.
4. Как Вы справедливо заметили – периодическое движение теряет устойчивость.
Если бы и дальше движение монетки происходило бы вдоль одной степени свободы, как шар, то все происходит как в обычной нелинейной системе. То есть удвоение периода и затем переход к хаосу.

5. Но монетка – не шар и поэтому при дальнейшем увеличении амплитуды характер движения резко меняется: происходит скачкообразный фазовый переход.
Монетка начинает поочередно биться то одним то другим концом. При этом энергия, полученная при ударе о поддон идет не только на подбрасывание монетки но и на ее вращение вокруг некоторой оси параллельной плоскости поддона. Причем вращение при каждом ударе меняет направление...

Так что здесь появляется движение вдоль еще одной степени свободы. Соответсвенно на эту степень свободы уходит в среднем половина всей кинетической энергии.

Если вместо монетки взять длинный стержень, то на этом можно ограничиться.
Было бы интересно посмотреть это в вашей мультипликации. Сделайте, если можно, или подскажите, как мне это сделать самому...

6. Но монетка имеет еще одну степень свободы – вращение вдоль вертикальной оси. При дальнейшем увеличении амплитуды при каждом ударе монетка начинает немножко поворачиваться. Поворот идет каждый раз в ту же сторону и на тот же угол. То есть угловая скорость постоянна. Направление вращения монетка выбирает сама случайным образом в начале этой фазы, а затем сохраняет его. Таким образом она ударяется уже не диаметрально противоположными точками, а точками под несколько меньшим углом (180 – альфа). Причем альфа растет по мере усиления амплитуды вибрации поддона вплоть до 90 градусов. Доля кинетической энергии, приходящаяся на эту степень свободы мала так как скорость этого вращения мала.
7. Затем наступает абсолютный хаос – монетка бьеся как угодно и уже не периодически.

Короче – просьба к Александру : сделайте мультяшки. У Вас это очень здорово получается.

С дружеским приветом
Владимир Ворохобов


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100