Элластичный удар неподвижной массы

Сообщение №13104 от Докажи 08 сентября 2002 г. 19:00
Тема: Элластичный удар неподвижной массы

Задача:
Движущийся шар ударяет неподвижный вскольз. Известны массы, скорость и угол удара. Вычислить по з-нам сохранения углы и скорости после удара.
Если массы равны, то общий угол всегда 90 градусов - рассчёт по теореме косинусов.
Что делать если массы имеют соотношение n не равное 1?
Заранее благодарен за идеи.Д.


Отклики на это сообщение:

> Задача:
> Движущийся шар ударяет неподвижный вскольз. Известны массы, скорость и угол удара. Вычислить по з-нам сохранения углы и скорости после удара.
> Если массы равны, то общий угол всегда 90 градусов - рассчёт по теореме косинусов.
> Что делать если массы имеют соотношение n не равное 1?
> Заранее благодарен за идеи.Д.

Кое-что по этому вопросу есть здесь:
http://www.infoline.ru/g23/5495/Physics/English/par_txt.htm#Coll
Раздел "2. Collisions and scattering".


Александр!
А может вы знаете похожий сайт по квантовой механике? Можно и на русском и на английском. А в идеале - на английском но написан русскими :)


> Александр!
> А может вы знаете похожий сайт по квантовой механике? Можно и на русском и на английском. А в идеале - на английском но написан русскими :)

Похожий - в смысле с визуализациями? Попадалось несколько, но сразу что-то порекомендовать не смогу. Да и вряд ли в квантовой механике стоит что-то визуализировать, даже в уме. Мне всегда это только мешало. Если же речь идёт про статьи по квантовой механике, то видел пару хороших обзоров по различным темам на www.nature.ru

http://www.nature.ru/db/section_page.html?s=260000134&ext_sec=


> Задача:
> Движущийся шар ударяет неподвижный вскольз. Известны массы, скорость и угол удара. Вычислить по з-нам сохранения углы и скорости после удара.
> Если массы равны, то общий угол всегда 90 градусов - рассчёт по теореме косинусов.
> Что делать если массы имеют соотношение n не равное 1?
> Заранее благодарен за идеи.Д.

Уважаемый Д.!
Ваш вопрос неполно сформулирован. Надо внести ряд необходимых уточнений.
Если шары имеют конечные радиусы (как в реальном бильярде), то удар вскользь надо по-видимому понимать как удар в точку шара, не находящуюся на линии, проведенной через центр обоих шаров. Иными словами, удар нецентральный. Но тогда в результате удара шар-мишень начнет вращаться и часть энергии удара перейдет в энергию вращения. В зависимости от того, какой удар, может начать вращаться и налетающий шар. В результате мы приходим к довольно сложной задаче нецентрального удара с учетом вращения. Если соударение упругое (слово эластичное (кстати, с одним "л") в такой ситуации не употребляется), то нужно написать полную систему ньютоновских уравнений, вытекающих из законов сохранения энергии, импульса и момента. Лет 200 тому назад подобную задачу полностью решил Кориолис (его имя носит известная сила) и написал мемуар под названием "О бильярдной игре" или что-то в этом роде. Эта книга была издана в СССР году в 1950. Она есть в библиотеках.
С уважением AVB



Лет 200 тому назад подобную задачу полностью решил Кориолис (его имя носит известная сила) и написал мемуар под названием "О бильярдной игре" или что-то в этом роде. Эта книга была издана в СССР году в 1950. Она есть в библиотеках.
> С уважением AVB

Вы правы, но находясь за бугром трудно найти в библиотеке книги по физике на русском языке. А проблему эту я через тангенс сегодня решил- условие ВСЯ кинетическая энергия переходит в движение, закрутки нет.Теперь ищу решение с учётом прироста масс после удара. С уважением Д.

P.S.Спасибо за исправленные ошибки.


Упругое соударение двух "биллиардных шаров". Но шар-мишень не покоится, а тоже движется. Известены модули скоростей обоих шаров до столкновения, угол между направлениями их движения и угол рассеяния. Нужно определить модуль скорости налетающего шара после соударения. Задача вреде не сложная и не сильно отличается от предыдущей. Получил формулу, но где то видимо ошибся - никак не могу найти где. В книжках почему то рассматривается только случай покоящейся мишени. Буду очень благодарен за помощь.


> Упругое соударение двух "биллиардных шаров". Но шар-мишень не покоится, а тоже движется.

Имеются два решения - одно с косым ударом по неподвижной массе и центральный удар двух двигающихся под любым углом друг к другу масс.
Пошлю по э-почте если хотите.

При решении должны учитываться 4 условия. 1 З-н сохранения энергии и 3 условия сохранения импульса.
а- сохранение геометрической суммы импульса до и после удара,
б - сохранение направления импульса,
с - сохранение скорости движения центра тяжести масс учавствующих в столкновении(или сумма масс перед и после столкновения остаётся неизменной!).
По простому -суммы импульсов по осям x,y,z не могут изменяться.

При расчёте учитывается ВСЯ масса тела умноженная на проекцию скорости на соответствующую ось x,y,z.

Комбинацию удара под углом и вскольз еще не разрешил - слишком много уравнений -
ещё бы надо задать 2 массы,2 скорости и 2 угла при чём последнии должны иметь точки отсчёта как направление одного тела и угол отношения масс друг к другу в момент удара. Кстати размеры масс не играют никакой роли если они шарообразны.

Учтите программа для Excel и НЕ учитывает прироста масс- это уравнение в 4 степени мне не по зубам - слишком мало уравнений по сравнению с количеством неизвестных после удара: 2-х масс, 2-х скоростей и углов.
Если у Вас есть идеи дополнительных условий мыльте на
Gravitation2@freenet.de но Латинскими буквами! или здесь на форуме по русски.
С уважением Д.


> Упругое соударение двух "биллиардных шаров". Но шар-мишень не покоится, а тоже движется. Известены модули скоростей обоих шаров до столкновения, угол между направлениями их движения и угол рассеяния. Нужно определить модуль скорости налетающего шара после соударения. Задача вреде не сложная и не сильно отличается от предыдущей. Получил формулу, но где то видимо ошибся - никак не могу найти где. В книжках почему то рассматривается только случай покоящейся мишени. Буду очень благодарен за помощь.

А почему бы не перейти в систему координат, в которой шар-мишень покоится.


> > Упругое соударение двух "биллиардных шаров". Но шар-мишень не покоится, а тоже движется. Известены модули скоростей обоих шаров до столкновения, угол между направлениями их движения и угол рассеяния. Нужно определить модуль скорости налетающего шара после соударения. Задача вреде не сложная и не сильно отличается от предыдущей. Получил формулу, но где то видимо ошибся - никак не могу найти где. В книжках почему то рассматривается только случай покоящейся мишени. Буду очень благодарен за помощь.

> А почему бы не перейти в систему координат, в которой шар-мишень покоится.

Если до сих пор не понятно, то дополню Александра.

Как я помню, Вы решали задачу о соударении двух шаров один из которых покоится.
Дано было массы шаров и вся топология и скорость налетающего шара. Теперь вы взялись за, как Вы наверное считаете, более сложную задачу. Теперь движутся оба шара. Но если мы будем двигаться на одном из них(сядем сверху и поедем), то для нас он будет неподвижным. И что мы получим? Правильно , мы получим уже решенную задачу.
Итак, схема решения сложной задачи.
1) перейти в систему отсчета, в которой один из шаров(любой, какой пожелаете) пооится.
2) решаем задачу с одним покоящимся шаром в новой системе координат(новой системе тсчета).
3) переходим в старую систему отсчета(систему координат).


Мое решение см. в ответе Frostу.
Случай "стоячей" мишени подробно описан в [Мак-Даниель И., "Физика атомных столкновений"]


Я поясню, известен ВЕКТОР скорости налетающего шара (т.е. его компоненты) а про шар мишень известен МОДУЛЬ его скорости и угол между направлением сколростей налетающего и мишени. В принципе, по таким данным можно определить и вектор скорости налетающего шара, но это явно нерационально для расчета.
Перейти в систему отсчета, в которой один из шаров покоится, конечно можно, но при этом надо будете пересчитать в нее и угол рассеяния.

Да нет, задача вроде простая. Ниже привожу мое решение. Просто меня где то переклинило и я не могу никак найти в нем ошибку:

mpVp^2+mgVg^2=mpUp^2+mgUg^2 (1) - З.С.Э.
mpVp+mgVg=mpUp+mgUg (2) - З.С.И.

mp, mg - массы налетающей частицы и мишени соответственно
Vp, Vg - скорости ....................................... до столкновения
Ug, Ug - скорости ....................................... после столкновения

в (2) имеются в виду ВЕКТОРЫ скоростей

(2)=>mgUg=mpVp+mgVg-mpUp => (mgUg)^2=(mpVp+mgVg-mpUp)^2=
=(mpVp)^2+(mgVg)^2+(mpUp)^2+2mpmg(Vp.Vg)-2mgmp(Vg.Up)-2mpmp(Vp.Up) (3)

Здесь записи вида (Vp.Vg) - скалярное произведение векторов

(3)=>(mpVp)^2+(mgVg)^2+(mpUp)^2+2mpmg(Vp*Vg)cos(t0)-2mgmp(Vp*Up)cos(t)-2mpmp(Vg*Up)cos(t+-t0) (4)

t0 - угол между векторами Vp и Vg, t - уол рассеяния
Последнее слагаемое становится понятно, если нарисовать все эти векторы и углы.

Умножаем (1) на mg и подставляем (4) в (1). Получаем квадратное уравнение относительно Up. Проблема в том, что квадратное ур., как известно, не всегда имеет (действительное) решение, что и получаеться. Хотя по физике решение вроде бы должно быть. Значит где то здесь ошибка.


Мое решение см. в ответе Frostу.
Случай "стоячей" мишени подробно описан в [Мак-Даниель И., "Физика атомных столкновений"]


Я тут посмотрел - формулы для определения компонент Vg получаются не такие уж страшные. Нужно только задать еще и азимутальный угол для направления Vg.
А зная их можно пейти в систему центра масс - это даже удобнее, если угол рассеяния задать в Ц-системе .

Почему то этот очевидный путь я с самого начала отверг, но благодарю помощи коллекивного разума вновь встал на путь истинный.


). Получаем квадратное уравнение относительно Up. Проблема в том, что квадратное ур., как известно, не всегда имеет (действительное) решение, что и получаеться. Хотя по физике решение вроде бы должно быть. Значит где то здесь ошибка.

Мои уравнения дают ВСЕГДА один ответ, второй ответ ВСЕГДА неизменённые скорости и массы. Выражение под корнем у меня всегда положительно.
Удар вскольз, один шар покоится v2=0.
В -угол скользящего удара

Vx1= v1*(m1-m2*cos2B)/(m1+m2) Скорости по осям
Vy1=v1*m2*sin2B/(m1+m2)
Vx2=2*v1*m1*cos²B/(m1+m2)
Vy2=v1*m1*sin2B/(m1+m2)

V1=v1(Wurzel(m1²+m2²-2*m1*m2*cos2B)/(m1+m2))Скорости после удара
V2=2*v1*m1/(Wurzel(tan²B+1)*(m1+m2))
Gamma= ArcCos((V1²*m1²-V1²*m1²-V2²*m2²)/(2*V1*V2*m1*m2))угол разлёта после удара

Кто хочет - подарю готовую программу для проверки в ЕХСЕL С уважением Д


У нас есть два шара, т.е. 4 переменных. У нас есть закон сохранения импульса и энергии. Т.е. 3 уранения. Ни и че дальше?????


> У нас есть два шара, т.е. 4 переменных. У нас есть закон сохранения импульса и энергии. Т.е. 3 уранения. Ни и че дальше?????

Совершенно верно, поэтому требуется еще одно соотношение, описывающее характер взаимодействия шаров. Обычно задают угол рассеяния в системе центра масс, который, в классическом приближении, вычисляется по форме потенциала взаимодействия.


Обычно задают угол рассеяния в системе центра масс, который, в классическом приближении, вычисляется по форме потенциала взаимодействия.

Что такое угол рассеяния?

Что такое потенциал взаимодействия?
Получили ли Вы мою программку?

С уважением Д.


> > У нас есть два шара, т.е. 4 переменных. У нас есть закон сохранения импульса и энергии. Т.е. 3 уранения. Ни и че дальше?????

Если удар происходит не под 180 градусов, то импульсы складываются геометрически и решений бесконечное множество.
Но эти решения лежат на прямых (цилиндре?) лежащих параллельно суммарному импульсу и проходящих через начала этих импульсов.
Док-во: площади векторных параллелограмов до и после удара равны!

Докажи.


> Что такое угол рассеяния?

Это угол между векторами скоростей налетающей частицы до и после столкновения.

> Что такое потенциал взаимодействия?

Имеется в виду потенциальная энергия взаимодействия частиц. Например, если у нас два заряженных шара (частицы) - то это будет кулоновский потенциал и т.д.

> Получили ли Вы мою программку?

Пограммку получил но у меня Exel не установлен, поэтому еще не смотрел.
Я кажется получил решение, учитывая воспользовавшись советом Frosta. Могу прислать Фортрановский исходник.

А Вы не пытались где нибудь в литературе найти эту задачу?

С уважением Влад.


> Мои уравнения дают ВСЕГДА один ответ, второй ответ ВСЕГДА неизменённые скорости и массы. Выражение под корнем у меня всегда положительно.
> Удар вскольз, один шар покоится v2=0.
> В - угол скользящего удара

Что такое "угол скользящего удара"?



"Угол скользящего удара" - это угол между направлением скорости налетающей частицы и радиусом, проведенным из центра мишени в точку касания?
Значит вы рассматривали только частный случай - именно соударение твердых шаров (на плоскости?)? Я имел в виду общий случай - столкновение с произвольным потенциалом взаимодействия.

С Уважением.
Влад.



> А Вы не пытались где нибудь в литературе найти эту задачу?

> С уважением Влад.

Спасибо за ответ.
Литература - учебник физики для института. Формула - столкновение двух масс на прямой. Всё остальное пришлось самому модифицировать.
А Excel прекрасная программа для комбинированных условий. Можно поиграть с негативной массой, превратиь её в нуль итд. Всего хоршего Д.


> "Угол скользящего удара" - это угол между направлением скорости налетающей частицы и радиусом, проведенным из центра мишени в точку касания?
> Значит вы рассматривали только частный случай - именно соударение твердых шаров (на плоскости?)? Я имел в виду общий случай - столкновение с произвольным потенциалом взаимодействия.

> С Уважением.
> Влад.

Совершенно верно! Скользящий удар - тела задели друг друга но их мысленно проведённые линии движения не пересекаются так чтобы их центры тяжести лежали на этой точки пересечения. Если хотите Это случай несинхронного удара. По идее если на дороге которой редко пользуются не произошло аварии то это тоже случай экстремного несинхронного столкновения - грузовик проехал утром, машина вечером, их линии движения пересеклись а ЧП не произошло. Д.


За программу спасибо. Может быть пригодится.

А если не секрет, зачем вам такая странная задача? С приростом массы, с отрицательной массой ...

У меня все просто - розыгрыш столкновений атомов с ионами.



> А если не секрет, зачем вам такая странная задача? С приростом массы, с отрицательной массой ...

Чтобы понять природу, надо ставить такие вопросы, которые нас приведут дальше.
Например я пишу программу в Турбо-Паскале - симметричный многогранник.
Потом задаю условие - рисуй 6 углов, 5, 1, 0.45, -12...
Комрьютер часто ругается, приходиться граничные условия пересматривать но это упражнение защищает программу от Еrror. Если Вы вручную считаете, вот формулы:

Упругий удар и его расчёт.

При субсветовых скоростях -
нечётные числа стоят для одного тела, чётные для другого.

Угол столкновения- Alpha°, угол разлёта Betta°
Импульсы перед ударом р1 = m1* V1; р2 = m2* V2
Импульсы после удара р3 = m3* V3; р4 = m4* V4

При малых скоростях и массах m1= m3; m2 = m4

Сумма импульсов Р до и после эластичного удара постоянна

Р = корень(р1^2 +р2^2+2* р1*р2*Соs(Alpha°))
= корень(р3^2 +р4^2+2* р3*р4*Соs(Betta °))

Площадь А импульсного, ВЕКТОРНОГО параллелограмма постоянна
А = р1*р2*Sin(Alpha°) = р3*р4*Sin(Betta°)

Сумма масс m до и после удара постоянна
m = m1+ m2 = m3+ m4
Кинетическая энергия Е до и после удара постоянна
Е = m1* V1^2/2+ m2* V2^2/2 = m3* V3^2/2+ m4* V4^2/2

Оба тела можно заменить ОДНИМ эквивалентом!
Эквивалентная масса mq = P^2 / (2*E)
Эквивалентная скрорость Vq = 2*E / Р

Расчёт скоростей после удара
V3 = 2*корень( (р2^2+(m1-m2)^2* V1^2 + р2* V1*(m1-m2) * Соs(Alpha°)) / (m3+m4) )
V4 = 2*корень( (р1^2+(m2-m1)^2* V2^2 + р1* V2*(m2-m1) * Соs(Alpha°)) / (m3+m4) )
Расчёт угла разлёта после удара
Betta° = ArcCos ( (m1^2*( V1^2-V3^2) + m2^2*( V2^2-V4^2)+2*р1*р2* Соs(Alpha°)) / (2*(m3*m4* V3* V4)) ) или

Соs(Betta °) = (m1^2*( V1^2-V3^2)+m2^2*( V2^2-V4^2)+2*р1*р2*Соs(Alpha°))/(2*р3*р4)

P.S. Прирост масс в этих формулах не учитывается.

Удачи! Докажи.


> > > У нас есть два шара, т.е. 4 переменных. У нас есть закон сохранения импульса и энергии. Т.е. 3 уранения. Ни и че дальше?????

> Если удар происходит не под 180 градусов, то импульсы складываются геометрически и решений бесконечное множество.

Для каждого определенного угла одно решение.

> Но эти решения лежат на прямых (цилиндре?) лежащих параллельно суммарному импульсу и проходящих через начала этих импульсов.
> Док-во: площади векторных параллелограмов до и после удара равны!

Тут какой-то гон. Импульс - вктор.Вектор - мнозжество. Если имеем векторное уравнение, то его решением будет вектор, Т.е. некоторое множество равнонаправленных отрезков , равных по модулю. И тем не менее принято говорить, что уравнение имеет одно решение(если ткой вектор единственен)

А откуда ты выдумал илиндр вообще не пойму. У нас задача 2-хмерная :*)

или я чего-то не догоняю?



> Тут какой-то гон. Импульс - вктор.Вектор - мнозжество. Если имеем векторное уравнение, то его решением будет вектор, Т.е. некоторое множество равнонаправленных отрезков , равных по модулю. И тем не менее принято говорить, что уравнение имеет одно решение(если ткой вектор единственен)

> А откуда ты выдумал цилиндр вообще не пойму. У нас задача 2-хмерная :*)

> или я чего-то не догоняю?

Всё просто. Пусть даны два вектора и угол между ними -сумма двух векторов есть искомый вектор Д - ответ один.
Пусть задан вектор В и надо найти его составляющие - ответов бесконечное множество, даже тогда когда мы знаем что площадь ЭТИХ векторных паралеллограмов равна определённому значению. Множество этих решений лежит на стенках цилиндра вокруг заданного вектора В. Однозначное решение возможно если дополнительно выполняются такие условия как в нашем случае- сохранение энергии. С уважением Д.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100