Брошенное тело.

Сообщение №12894 от Школьник 27 августа 2002 г. 15:51
Тема: Брошенное тело.

Задача:
На рисунке лестница. Ширина и высота ступеней - a. С какой скоростью шарик должен скатиться с верхней ступени, чтобы по одному разу удариться о среднюю и последнюю ступень? Удары шарика о лестницу абсолютно упругие. Желательно дать не только ответ, но и решение.
Спорим, все будут присылать разные ответы?


Отклики на это сообщение:

> Задача:
> На рисунке лестница. Ширина и высота ступеней - a. С какой скоростью шарик должен скатиться с верхней ступени, чтобы по одному разу удариться о среднюю и последнюю ступень? Удары шарика о лестницу абсолютно упругие. Желательно дать не только ответ, но и решение.
> Спорим, все будут присылать разные ответы?
>

Максимальная начальная скорость= sqrt(a*g/4). Решается элементарно, если, к примеру, рассмотреть падение шарика с той же начальной скоростью, но с другого места - из точки, находящейся над углом средней стапени на высоте а .
Минимальную скорость вычислять что-то не хочется:)


> Задача:
> На рисунке лестница. Ширина и высота ступеней - a. С какой скоростью шарик должен скатиться с верхней ступени, чтобы по одному разу удариться о среднюю и последнюю ступень? Удары шарика о лестницу абсолютно упругие. Желательно дать не только ответ, но и решение.
> Спорим, все будут присылать разные ответы?
>


> > Задача:
> > На рисунке лестница. Ширина и высота ступеней - a. С какой скоростью шарик должен скатиться с верхней ступени, чтобы по одному разу удариться о среднюю и последнюю ступень? Удары шарика о лестницу абсолютно упругие. Желательно дать не только ответ, но и решение.
> > Спорим, все будут присылать разные ответы?
> >

>

>

Либо начальная скорость стремится к нулю (в этом случае о первую ступень шарик ударится явно не один раз), либо он должен слететь с такой скоростью, чтобы в момент, когда второй раз достигнет уровня средней ступени, он должен пролететь по горизонтали путь а (Мы пренебрегаем размерами шарика).
Время до второго соударения с первой ступенью:
t1=3*(t11), t11=[2a/g]^{1/2} — полёта по полупараболе (a=[gt^2]/2)
Отсюда получаем:
a>3*V*[2a/g]^{1/2} => V<[2ga/a]*[1/3] (1)

2) Чтобы шарик ежиножды попал по нижней ступени.

2а.
Чтобы не перелетел:
2at2=2t11+t21, (3)
t21=[4a/g]^{1/2} (4)
Из (2), (3) и (4) имеем:
2a>V*[2a/g]^{1/2}*[2+2^{1/2}]
V<(2ga)^{1/2}/[2+2^{1/2}] (5)

2б.
Чтобы шарик не ударился по нижней ступени больше одного раза.
2at3=2*t11+3*t21
2aV>[2ga]/[2+3*2^{1/2}] (6)

Итак, у нас есть неравенства (1), (5) и (6). Неравенство (1), которое вы указали в качестве результата минимальной скорости, исключается неравенством (6). Значит, минимальная скорость определяется уравнением (6), а максимальная — уравнением (5)

Или я что-то напутал?..


А вот еще задача, довольно старая: с вершины большого шара без трения скатывается маленький шарик (его размерами пренебрегаем). На какой высоте он оторвется от поверхности большого?


> > > Задача:
> > > На рисунке лестница. Ширина и высота ступеней - a. С какой скоростью шарик должен скатиться с верхней ступени, чтобы по одному разу удариться о среднюю и последнюю ступень? Удары шарика о лестницу абсолютно упругие. Желательно дать не только ответ, но и решение.
> > > Спорим, все будут присылать разные ответы?

> >

> Либо начальная скорость стремится к нулю (в этом случае о первую ступень шарик ударится явно не один раз), либо он должен слететь с такой скоростью, чтобы в момент, когда второй раз достигнет уровня средней ступени, он должен пролететь по горизонтали путь а (Мы пренебрегаем размерами шарика).
> Время до второго соударения с первой ступенью:
> t1=3*(t11), t11=[2a/g]^{1/2} — полёта по полупараболе (a=[gt^2]/2)
> Отсюда получаем:
> a>3*V*[2a/g]^{1/2} => V<[2ga/a]*[1/3] (1)

> 2) Чтобы шарик ежиножды попал по нижней ступени.

> 2а.
> Чтобы не перелетел:
> 2at2=2t11+t21, (3)
> t21=[4a/g]^{1/2} (4)
> Из (2), (3) и (4) имеем:
> 2a>V*[2a/g]^{1/2}*[2+2^{1/2}]
> V<(2ga)^{1/2}/[2+2^{1/2}] (5)

> 2б.
> Чтобы шарик не ударился по нижней ступени больше одного раза.
> 2at3=2*t11+3*t21
> 2aV>[2ga]/[2+3*2^{1/2}] (6)

> Итак, у нас есть неравенства (1), (5) и (6). Неравенство (1), которое вы указали в качестве результата минимальной скорости, исключается неравенством (6). Значит, минимальная скорость определяется уравнением (6), а максимальная — уравнением (5)

> Или я что-то напутал?..

Что касается максимальной скорости: у вас и у d360 ответ одинаков
V=(ga)^{1/2}/[1+2^{1/2}],
и это правильный результат.
Минимальная скорость: у вас в неравенстве(6) не все в порядке с размерностями.
Замечание: вместо знаков "больше", "меньше" используйте, пожалуйста, HTML-теги, а то для ответа на ваше сообщение мне пришлось вручную его подправлять.


> > > > Задача:
> > > > На рисунке лестница. Ширина и высота ступеней - a. С какой скоростью шарик должен скатиться с верхней ступени, чтобы по одному разу удариться о среднюю и последнюю ступень? Удары шарика о лестницу абсолютно упругие. Желательно дать не только ответ, но и решение.
> > > > Спорим, все будут присылать разные ответы?

> > >

> > Либо начальная скорость стремится к нулю (в этом случае о первую ступень шарик ударится явно не один раз), либо он должен слететь с такой скоростью, чтобы в момент, когда второй раз достигнет уровня средней ступени, он должен пролететь по горизонтали путь а (Мы пренебрегаем размерами шарика).
> > Время до второго соударения с первой ступенью:
> > t1=3*(t11), t11=[2a/g]^{1/2} — полёта по полупараболе (a=[gt^2]/2)
> > Отсюда получаем:
> > a>3*V*[2a/g]^{1/2} => V<[2ga/a]*[1/3] (1)

> > 2) Чтобы шарик ежиножды попал по нижней ступени.

> > 2а.
> > Чтобы не перелетел:
> > 2at2=2t11+t21, (3)
> > t21=[4a/g]^{1/2} (4)
> > Из (2), (3) и (4) имеем:
> > 2a>V*[2a/g]^{1/2}*[2+2^{1/2}]
> > V<(2ga)^{1/2}/[2+2^{1/2}] (5)

> > 2б.
> > Чтобы шарик не ударился по нижней ступени больше одного раза.
> > 2at3=2*t11+3*t21
> > 2aV>[2ga]/[2+3*2^{1/2}] (6)

> > Итак, у нас есть неравенства (1), (5) и (6). Неравенство (1), которое вы указали в качестве результата минимальной скорости, исключается неравенством (6). Значит, минимальная скорость определяется уравнением (6), а максимальная — уравнением (5)

> > Или я что-то напутал?..

> Что касается максимальной скорости: у вас и у d360 ответ одинаков
> V=(ga)^{1/2}/[1+2^{1/2}],
> и это правильный результат.
> Минимальная скорость: у вас в неравенстве(6) не все в порядке с размерностями.
> Замечание: вместо знаков "больше", "меньше" используйте, пожалуйста, HTML-теги, а то для ответа на ваше сообщение мне пришлось вручную его подправлять.

Для минимальной скорости то же, что и для максимальной, только в уравнении на рисунке вместо 2vt1+vt2=2a надо писать 2vt1+3vt2=2a. Получается, что Vmin=(ga)^{1/2}/[3+2^{1/2}]. Итак, для одного удара по первой ступеньке V=(0,235...0,707)*(ga)^{1/2}, а для одного удара по второй ступеньке V=(0,224...0,414)*(ga)^{1/2}. Поэтому ответ: V=(2^{1/2}/6...1/[1+2^{1/2}])*(ga)^{1/2}.


> А вот еще задача, довольно старая: с вершины большого шара без трения скатывается маленький шарик (его размерами пренебрегаем). На какой высоте он оторвется от поверхности большого?



Записываем равенство сил для маленького шара:
mg cosj - N = mv2/R,
где j - угол между радиусом-вектором на шарик и вертикалью

При отрыве N = 0:
mg cosj= mv2/R

Скорость найдём из закона сохранения энергии:
mg (R-Rcosj) = mv2/2

Отсюда получаем равенство для угла:
R cosj = 2R(1-cosj)
cosj = 2/3

Ответ:
j = 48,2 градуса

Численные расчёты подтверждают
этот результат с точностью до десятых долей градуса.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100